m n
n m
3. 指数函数的定义 一般地，函数y=ax(a＞0，且a¹ 1)叫做指数函数， 其中x是自变量．
4. 指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0<a<1
图象
定义域 R
(0，+∞) (0,1) y>1 ； 当x>0时，____ y<1 当x<0时，0< ____ 在(-∞，+∞)上是 增函数 ______
R
(0，+∞) (0,1) 0<y<1 ； 当x>0时，______ y>1 当x<0时，______ 在(-∞，+∞)上是 减函数 ______
值域 过定点 性 质
基础达标
1. (教材改编题)化简 A. 3x2y D 解析：
4
4
81x 8 y 4
B. 3xy
(x＜0，y＜0)得 ( ) C. 9x2y D. -3x2y
【例1】 化简或计算．
1 3 0 10 2 3 (1)(2 5 ) (0.064) (2 27 ) 3 (0.01)0.5
(2) a a 3 ÷ 3 a 8 3 a15 (3)已知a，b是方程x2-6x+4=0的两根，且a>b>0，
3
7 2
求 a b
1 2
1 2
的值．
解 (1) 2 -1 4 -2 原式=1+ + - 3
第六节 指数与指数函数
基础梳理
1. 根式 n次方根 ， (1)定义：如果xn＝a，那么x叫做a的________ 其中n＞1，n∈ N .当n是奇数时，正数的n次方 正数 ，负数的n次方根是一个________ 负数 ， 根是一个________ n 记作________ ．当n是偶数时，正数的n次方根 a 相反数 ， 有________ 两个 ，这两个数互为________ 记作________ n a ，负数没有________ 偶次 方根， 零的n次方根是零．
4. (教材改编题)函数
1 y 的定义域为 2
1 x
________，值域为________． {x|x≠0} {y|y＞0且y≠1} 解析： 定义域为{x|x≠0}，∵
1 0∴ x
1 x 1 2
1
∴值域为{y|y＞0且y ≠ 1}．
经典例题
题型一 指数运算性质的应用
其图象分成两部分：一部分是
的图象，由下列变换可得到：
1 y 2
x2
,( x 2)
x2 1 左移２个单位 1 y y 2 2
x
另一部分y=2x+2(x<－2)的图象， 由下列变换可得到：
y=2x
左移２个单位
y=2x+2
函数
1 y 2
81x8 y 4 (81x8 y ) (34 (-x)8 (-y) ) 3x2 y
1 4 4
1 4 4
2. 若函数y=(a2-3a+3)×ax是指数函数，则有 ( ) A. a=1或a=2 B. a=1 C. a=2 D. a>0且a≠1 C 解析：
a 2 3a 3 1 由y=(a2-3a+3)×ax为指数函数， a 0且a 1
可得
a 1或a 2 a 0且a 1
即a=2.
3. 已知集合M={-1,1}，N= 则M∩N=________. {-1}
1 2
1 x 1 x Z 2 4， 2
解析：
<2x+1<4 即为2－1<2x+1<22，因为y=2x在R上 是增函数，所以－1<x+1<2.又 因为x∈Z， 所以x=－1，0， 所以N={－1,0}，因此M∩N={－1}．
5
1 10
=1+
5 2
7 6
9 16
+
1 = 243 10 80
3 2 1 3 8 3 1 2 15 3 1 2
(2)原式=a ×a- ´ ¸(a- ´ ×a ´ 4 5 7 1 3 2 -6 ¸ 2 (aa =a ) =a + - =a2 3 4 3 5 2 1 2
)
(3)由条件知a+b=6，ab=4，又a>b>0，所以 a +b = 1 1 10 a b 2= a b 2 ab = . 6 2 4 =
2 2
1 2
1 2
题型二 指数函数的图象的应用 【例2】 已知函数
1 y 2
| x 2|
(1)作出函数的图象； (2)指出该函数的单调递增区间； (3)求函数的值域．
解：(1)由函数解析式可得
1 y 2
| x 2|
1 x 2 , x 2 2 x2 2 , x 2
(2)两个重要公式 a ，n是奇数 n n ① a a ,a 0 |a| -a , a 0
n n （ a ） ②
n是偶数
a (注意：a必须使 n a有意义)
2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念 n n m a ①正分数指数幂： a m ______ *，且n＞1)； (a＞0，m，n∈N 1 n 1 a m ＝________＝________. ②负分数指数幂： a a (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． 0 ③0的正分数指数幂等于______ ， 没有意义 ． 0的负分数指数幂___________ (2)实数指数幂的性质 ①aras＝________( a＞0，r，s∈Q)； ar+s ②(ar)s＝________( a＞0，r，s∈Q)； ars ③(ab)r＝________( a＞0，b＞0，r∈Q)． arbr
| x 2|
的图象如图
1 2
(2)由图象观察知函数在(-∞，-2]上是增函数．
(3)由图象观察知，x=－2时，函数
1 y 2
| x 2|
有最大值，最大值为1，没有最小值，
故其值域为(0,1]．
变式2-1 若函数y=ax+b-1(a＞0，且a≠1)的图象经过 第二、三、四象限，则一定有( ) A. 0＜a＜1，且b＞0 B. a＞1，且b＞0 C. 0＜a＜1，且b＜0 D. a＞1，且b＜0 C 解析：
如图，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上 (纵截距小于零)，即a0+b-1＜0，且0＜a＜1，
