不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题

一、不定积分的解题技巧引例：不定积分 /(1 -x)cos2xdx f (1 -x)cos2xdx=/cos2xdx - f xcos2xdx=(1/2) f cos2xd2x -(1/4) f 2xcos2xd2x=(1/2)sin2x- (1/4) f 2xdsin2x=(1/2)sin2x- (1/2)xsin2x (1/4) f sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x Cf (1 -x)cos2xdx求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：f (1 -x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，f a*bdx哪个放到d后面去(那个先反过来求导)？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。

越后的先放到d里去如f x A2 cosxdx x A2 是幂函数，cosx是三角函数。

所以，要这样化f xA2dsinx而不是1/3 f cosxdxA3引例2: f 1/(1 xA4)dx原式=1/2((1 xA2 1-xA2)/1 xA4)=0.5(1 xA2/1 xA4) 0.5(1咲人2/1 xA4)=0.5(1 xA-2/xA-2 xA2)< 就是分子分母同除x的平方>如果是不定积分，两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到，绝对不是“暴力“积岀来的，一想到你的方法越做越陷入死路，我想因该要变通.第二,对于有独特的因子你要留意.定积分，比不定积分要难一些，因为很多函数是没有初等函数的，方法是拼凑法和化为二元再交换顺序，其中拼凑发很关键，我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1. 凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”岀一个函数的微分。

对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式，另一方面，对于那些不易观察的，则不妨从被积函数中拿岀一个表达式，求其微分，从而决定如何凑微分。

不定积分典型例题一、直接积分法直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式. 例1、求 dx x x x ∫−)11(2解 原式＝ C x x dx x x ++=−∫−41474543474)(例2、求 dx e e x x ∫++113解 原式＝ C x e e dx e e x xx x ++−=+−∫2221)1( 例3、求 dx xx ∫22cos sin 1解 原式 ∫∫∫+=+=dx x dx x dx x x x x 222222sin 1cos 1cos sin cos sin C x x +−=cot tan 例4、 ∫dx x2cos 2 解 原式＝ C x x dx x ++=+∫2sin 2cos 1 例5、 dx xx ∫+221 解 原式∫∫+−=+−+=dx x dx x x )111(111222C x x +−=arctan 注：本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.二、第一类换元积分法(凑微分法)C x G Cu G duu g dxx x g dx x f ux ++====∫∫∫=)]([)()()(')]([)()(ϕϕϕϕ还原求出令凑成在上述过程中，关键的一步是从被积函数)(x f 中选取适当的部分作为)('x ϕ，与dx 一起凑成 )(x ϕ的微分 du x d =)(ϕ且 ∫du u g )(易求.例1、求 ∫dx xxcos tan 解 原式＝ ∫∫−=x x xd dx x x x cos cos cos cos cos sin C xx d x +=−=−∫cos 2cos )(cos 23 例2、求 ∫−dx xx x 2arcsin解 原式)()(1arcsin 211arcsin 2x d x x dx xxx ∫∫−=⋅−=C x x d x +==∫2)(arcsin )(arcsin arcsin 2注)(21x d dx x= 例3、求 ∫−−dx xx 2491解 原式∫∫−−+−=−)49()49(81)2(3)2(21221222x d x x x dC x x x x x d +−+=−+−=∫222494132arcsin 214941)32(1)32(21例4、求 ∫+⋅+dx xx x 2211tan解 原式＝ C x x d x ++−=++∫|1cos |ln 11tan 222例5、求 dx x x x ∫−−12解 原式＝ ∫∫∫−+=−−−+dx x x dx x dx x x x x x 1)1()1(22222 C x x x d x x +−+=−−+=∫2323223)1(313)1(1213例6、求 ∫+dx xtan 11解 原式＝ ∫∫+−+=+dx xx xx dx x x x sin cos sin cos 1(21cos sin cos C x x x x x d x x x +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∫|)sin cos |ln (21)sin (cos sin cos 121 例7、求 ∫−+−dx xxx 11ln 112 解 原式＝C xx x x d x x +−+=−+−+∫11ln 41)11(ln 11ln 212 例8、求 ∫+dx e x11解 原式＝ ∫∫∫+−=+−+dx e e dx dx e e e x x x xx 111 C e x e d edx xx x++−=++−=∫∫)1ln()1(11例9、求 ∫−+dx e e xx 1解 原式＝ C e e d e dx e e x x x x x +=+=+∫∫arctan )()(11122 例10、求 ∫+dx xxsin 1sin解 原式＝ ∫∫∫−−=+−dx xxdx dx x 2cos sin 1)sin 111( dx xxdx x x ∫∫+−=22cos sin cos 1C x x x ++−=sec tan 例11、求 ∫−xx dxln 32解 原式 )(ln )ln 32(21x d x −∫−=C x x d x +−+−⋅−=−−−=∫−2121)ln 32(121131)ln 32()31()ln 32( C x +−−=ln 3232例 12、求 ∫+dx xb x a 2222cos sin 1解 原式＝ ∫∫+=+)tan ()tan (111)(tan tan 12222x badx ba ab x d xa b C x baab +=)tan arctan(1 例13、求 ∫++dx x x 1164解 原式＝∫∫∫+++−=+++−dx x x dx x x x dx x x x x 232322226224)(1)(1)(11 C x x dx x dx x ++=+++=∫∫33232arctan 31arctan )(113111 例14、求 ∫+dx x x )1(18解 原式＝∫∫∫+−=+−+dx x x dx x dx x x x x 8788811)1(1C x x ++−=)1ln(81||ln 8例15、求 ∫+−−dx x x x 54232解 原式＝ dx x x x x x x d ∫∫+−++−+−541454)54(23222∫+−−++−=1)2()2(4|54|ln 2322x x d x x C x x x +−++−=)2arctan(4|54|ln 232 注 由于分子比分母低一次，故可先将分子凑成分母的导数，把积分化为形如 ∫++dx cbx ax 21的积分(将分母配方，再凑微分). 例16、已知 2ln )1(222−=−x x x f ，且 x x f ln )]([=ϕ，求 ∫dx x )(ϕ.解 因为 1111ln )1(222−−+−=−x x x f ，故 11ln )(−+=x x x f ，又因为x x x x f ln 1)(1)(ln)]([=−+=ϕϕϕ，得x x x =−+1)(1)(ϕϕ，解出11)(−+=x x x ϕ，从而C x x dx x dx x x dx x +−+=−+=−+=∫∫∫|1|ln 2)121(11)(ϕ 例17、求 ∫dx x4cos 1解 原式C x x x d x x xd ++=+==∫∫322tan 31tan tan )tan 1(tan sec例18、求 ∫++dx x x x2)ln (2ln 1 解 原式＝C x x x x x x d +=+∫)2ln arctan(21)ln (2)ln (2三、第二类换元法设 )(t x ϕ=单调可导，且0)('≠t ϕ，已知 C t F dt t t f +=∫)()(')]([ϕϕ，则C x F Ct F dt t t f dxx f x t t x ++==−===∫∫−)]([)()(')]([)(1)()(1ϕϕϕϕϕ还原令选取代换 )(t x ϕ=的关键是使无理式的积分化为有理式的积分(消去根号)，同时使 dt t t f ∫)(')]([ϕϕ易于计算.例1、求 ∫−+221)1(xx xdx解 令 tdt dx t x cos ,sin ==原式＝∫∫−−=+t td t t tdt t 22cos 2cos cos )1(sin cos sin t d tt cos )cos 21cos 21(221∫++−−= C xx C t t +−−−+−=+−+−=221212ln 221cos 2cos 2ln 221例2、求 ∫+241xxdx解 令 tdt dx t x 2sec ,tan ==原式＝t d t t t d ttt tdt t t tdt sin )sin (sin sin sin sin 1sin cos sec tan sec 24424342∫∫∫∫−−−=−==⋅ C xx x x C t t ++++−=++−=)1(3)1(sin 1sin 13123323 例3、求 dx x x ∫−229解 令 t x sec 3=，则 tdt t dx tan sec 3⋅=原式＝ ∫∫∫−==⋅⋅dt t t dt tttdt t t t )cos (sec sec tan tan sec 3sec 9tan 3221sin |tan sec |ln C t t t +−+=12222ln C xa x a a x a x +−−−+=C xa x a x x +−−−+=2222ln 例4、求 ∫+dx x x )2(17解 令 t x 1=，则dt tdx 21−=，原式∫∫∫++−=+−=−+=)21(21114121)1(2777627t d t dt t t dt t ttC x x C t +++−=++−=||ln 21|2|ln 141|21|ln 14177 注 设n m ,分别为被积函数的分子，分母关于x 的最高次数，当1>−m n 时，可用倒代换求积分.例5、求 dx x xx ∫−+1122解 令t x 1=，dt tdx 21−=原式 ∫∫−+−=−−+=dt t t dt t t t t 222211)1(11111∫∫−−+−−=22212)1(11t t d dt tC xx x C t t +−−=+−+−=1arcsin 11arcsin 22例6、求 dx xx x∫−432解 原式 ∫∫∫−⋅=−=⋅−==dt t t t dt t t dt t t t t tx dt t dx 11211212541051411386121211令∫∫−++=⋅−+−=5554510)111(51211112dt t t dt t t t C t t t +−++=|1|ln 51251210125510 C x x x +−++=1ln 5125125612512565例7、求 ∫+xedx 1解 令t e x =+1，12−=t e x ，dt t tdx 122−=原式＝ C t t dt t dt t t t ++−=−=−⋅∫∫11ln 11212122C e e x x +++−+=1111ln例8、求 ∫+dx xx xln 1ln解 令x t ln 1+=原式∫∫−=+=dt tt x d x x 1ln ln 1lnC x x C t t dt tt ++−=+−=−=∫ln 1)2(ln 32232)1(2123例9、求 dx x x ∫++−+1111 解 令 tdt dx t x t x 2,1,12=−==+因为原式dx xx x x dx x x x ∫∫+−+=+−+=12||ln 2122而 ∫∫∫−+=−=+dt t t dt t dx x x 111(2121222 C x x x C t t t +++−+++=++−+=1111ln 1211ln2原式＝C x x x x x +++−+−+−+1111ln214||ln 2＝C x x x +++++−11ln 414四、分部积分法分部积分公式为 ∫∫−=vdx u uv dx uv ''使用该公式的关键在于 ',v u 的选取，可参见本节答疑解惑4. 例1、求 ∫dx e x x 3解 原式＝x x x x x x de x e x e x de x e x de x ∫∫∫+−=−=63323233 C e xe e x e x x x x x +−+−=66323 例2、求 ∫dx xx 2cos 22 解 原式∫∫+=+=xdx x x dx x x cos 2161)cos 1(21232 ∫∫−+=+=xdx x x x x x d x x sin sin 2161sin 21612323 ∫∫−++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323 C x x x x x x +−++=sin cos sin 216123 例3、求 ∫dx e x 3解 原式C e te e t det dt e t t t t tttx dtt dx ++−==∫∫==66333222332令C eex ex xxx++−=333663332例4、求 ∫dx x )cos(ln解 原式 ∫+=dx x x x )sin(ln )cos(ln∫−+=dx x x x x x )cos(ln )sin(ln )cos(ln移项，整理得原式C x x x++=)]sin(ln )[cos(ln 2注 应用一次分部积分法后，等式右端循环地出现了我们所要求出的积分式，移项即得解，类似地能出现循环现象的例题是求如下不定积分：∫∫xdx e xdx e xx ββααsin cos 或例5、求 ∫++dx x x )1ln(2解 原式 dx x x x x x ∫+−++=221)1ln(C x x x x ++−++=221)1ln(例6、求 ∫dx xx23ln解 原式＝ ∫∫−−=−=1(ln 3ln )1(ln 233xxd x x x xdC x x x x x x x x xd xx x x +−−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=∫6ln 6ln 3ln )1(ln 2ln 3ln 2323 例7、推导 ∫+dx a x n)(122的递推公式 解 令 ∫+=dx a x I nn )(122∫++−+++=dx a x a a x n a x x I n n n 12222222)(2)(∫++−++=dx a x na nI a x x n n n 122222)(122)(122222)(+−++=n n nI na nI a x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=+n nn I n a x xna I )12()(212221 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−=−−11222)32()()1(21n n n I n a x xa n I 例8、推导 ∫=xdx I n n tan 的递推公式.解 ∫⋅=−xdx x I n n 22tan tan ∫−⋅=−dx x x n )1(sec tan 22∫∫−−−⋅=xdx xdx x n n 222tan sec tan 2122tan 11)(tan tan −−−−−−=−=∫n n n n I x n I x xd 注 应用分部积分法可以建立与正整数n 有关的一些不定积分的递推公式. 例9、已知)(x f 的一个原函数是 2x e −，求 ∫dx x xf )(' 解 原式C e x xf dx x f x xf x xdf x +−=−==−∫∫2)()()()( 例10、求 ∫+dx x x x )1ln(arctan 2解 因为 ∫+dx x x )1ln(2∫++=)1()1ln(2122x d x C x x x +−++=22221)1ln()1(21 所以 原式＝ ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++22221)1ln()1(21arctan x x x xd[]∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−−++=2222221)1ln(21arctan )1ln()1(21x x x x x x x []C x x xx x x x +++−−−++=23)1ln(23)1ln()1(arctan 212222 注 本题是三类函数相乘的形式，这类问题大多采用本题的方法.例11、求 ∫+dx x xe x)1(2arctan 解 令 tdt dx t x 2sec ,tan ==原式dt e t t dt tte t t t ∫∫=⋅=cos sin sec sec tan 42 C t t e dt te t t+−==∫)2cos 2(sin 1012sin 21C x x x e x ++−+=)1(5)1(22arctan 例12、求 xdx x x arctan 122∫+ 解 原式＝ xdx x arctan )111(2∫+−∫∫+−=xdx x dx x arctan 11arctan 2 C x x x x +−+−=22)(arctan 21)1ln(21arctan例13、求 ∫−+⋅dx x x x x 22211arcsin 解 令 tdt dx t x t x cos ,arcsin ,sin ===，原式 ∫∫∫+=⋅+=tdt dt t ttdt tt t t 222sin cos cos sin )sin 1(2221cot cot 21)cot (t tdt t t t t td ∫∫++−=+−= C t t t t +++−=221|sin |ln cosC x x x x x +++−−=22)(arcsin 21||ln arcsin 1注 直接积分法、换元法、分部积分法是求不定积分最重要的方法，主要用到了“拆、凑、换、分”的技巧，同时应注意这些方法的综合运用. 五、有理函数的积分有理函数的积分总可化为整式和如下四种类型的积分： (1) C a x A dx ax A+−=−∫||ln (2) )1()(11)(1≠+−−−=−−∫n C a x n A dx a x A n n (3) ∫=∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=+++−n upx ap q nna u dup q p x dxdx q px x dx )(44)2()(2224422222＝令＝令 (4) ∫∫++−+++−−=+++−n n n q px x dxp a q px x n dx q px x dx a x )()2()(1)1(21)()(2122,其中 042<−q p .这就是说有理函数积分，从理论上讲，可先化假分式为整式与真分式之和，再将真分式化为若干部分分式之和，然后逐项积分，但这样做有时非常复杂，因此我们最好先分析被积函数的特点，寻求更合适，更简捷的方法也是很必要的. 例1、求 ∫+−322x x dx解 原式＝ C x x x d x dx +−=−+−=+−∫∫21arctan 21)1(2)1(2)1(22例2、求 ∫++++dx x x x x 4545242 解 原式＝ ∫∫++++++dx x x xdx x x x )4)(1(5)4)(1(422222 2222222)4111(65arctan )4)(1(251dx x x x x x dx x dx ∫∫∫+−++=++++= C x x x ++++=41ln 65arctan 22 本题若用待定系数法，较麻烦一些，也可获得同样的结果.事实上，设 41454522242+++++=++++x DCx x B Ax x x x x ，通分后应有 )1)(()4)((45222+++++=++x D Cx x B Ax x x比较等式两端x 的同次幂的系数，得0=+C A ，0=+D B ，54=+C A ，44=+D B 由此， 1,35,1,35−=−===D C B A故原式＝ dx x x x x ∫⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+−−+++4135113522C x x x ++++=arctan 41ln 6522 例3、求 ∫−13x xdx解 设11123++++−=−x x C Bx x A x x ，通分后应有)1)(()1(2−++++=x C Bx x x A x 比较等式两端x 的同次幂的系数，得0 ,1 ,0=−=+−=+C A C B A B A ，由此，31,31,31=−==C B A故原式＝ dx x x x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−−−)1(31)1(312∫∫∫+++++++−−=43)21()21(211126113122x x d dx x x x x dx C x x x x +++++−=312arctan 311)1(ln 6122例4、求 ∫−)1(42x x dx解 原式＝ dx x x dx x x dx x x x x ∫∫∫+−−−=−−+)1)(1(1)1(1)1()1(22224222 dx x x dx x x ∫∫++−−−+=)1111(21)111(2222 ∫∫+−−+−=dx x dx x x 22112111211 C x x x x +−−++−=arctan 2111ln411 注：本题若用待定系数法，应当将被积函数分解为)1)(1)(1(1)1(12242x x x x x x ++−=−22111x F Ex x D x C x B x A +++++−++= 然后再确定系数，显然这样做比较麻烦，也可获同样结果，此处从略.例5、求 ∫++dx x x dxx 334811 解 令u x =4，则dx x du 34=，于是，原式∫∫+−++=++=du u u du u u u )24111(41234122 )|2|ln 4|1|ln (41C u u u ++−++=C x x x ++−++=)2ln()1ln(414444例6、求 ∫+dx x x 325)32( 解 令 dt xdx t x t x =−==+4,23,3222，从而， 原式＝ ∫∫+−=⋅−dt tt t dt t t 961(16144)3(3232 C t t t +−+=296||(ln 1612C x x x ++−+++=)32(29326|32|[ln 1612222 例7、求 ∫++dx x x x 45244解 45)45(145242244+++−+=++x x x x x x 设 4145)45(222211242+++++=+++−x B x A x B x A x x x ，通分后应有)1)(()4)(()45(2222112+++++=+−x B x A x B x A x由此， 316,0,31,02211−====B A B A ，故原式＝ dx x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−++)4(316)1(31122C xx x +−+=2arctan 38arctan 31例8、求 ∫+210)1(x x dx解 由于2109102101010210)1()1(1)1(1)1(1+−+=+−+=+x x x x x x x x x x 2109109)1()1(1+−+−=x x x x x 原式＝ dx x x x x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−2109109)1()1(1∫∫++−++−=210101010)1()1(1011)1(101||ln x x d x x d x C x x x ++++−=)1(101)1ln(101||ln 1010C x x x ++++=)1(1011ln 101101010注 对被积函数先做初等变形常常可以使问题得到简化，常见的初等变形有：分子分母同乘一个因子；有理化；加一项或者减一项以及利用三角函数恒等变形等.六、三角函数有理式的积分一般从理论上讲，三角函数有理式的积分 ∫dx x x R )cos ,(sin 可通过万能代换2tan xt =化为代数有理式的积分，但有时较繁，因此我们常采用三角恒等变形，然后再求解. 例1、求 ∫xx dx4cos sin 解 原式＝ ∫∫∫+=+x x dxdx x x dx x x x x 24422cos sin cos sin cos sin cos sin ∫∫∫++−=x dx dx x x x d xsin cos sin )(cos cos 124 ∫+−=|2tan |ln cos )(cos cos 3123x x x d x C x x x +++=|2tan |ln cos 1cos 313例2、求 ∫+dx x sin 1解 原式＝ ∫++dx x x x x 2cos 2sin 22cos 2sin 22∫∫+=+=dx xx dx x x )2cos 2(sin )2cos 2(sin2 C x x ++−=2sin 22cos 2例3、求 ∫+−5cos sin 2x x dx解 令2tan x t =，则222212,11cos ,12sin tdtdx t t x t t x +=+−=+=，于是 原式＝C x C t t t dt +⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=++∫512tan 3arctan 51513arctan 512232 例4、求 ∫+dx xxsin 1sin解 原式＝ ∫−dx x x x 2cos )sin 1(sin dx x xdx x x ∫∫−−=222cos cos 1cos sin C x x x++−=tan cos 1例5、求 ∫+dx xx xcos sin sin解 原式＝dx x x x x dx x x x x x x ∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−++cos sin cos sin 121cos sin cos sin cos sin 21 C x x x x x x x d x ++−=++−+=∫|)cos sin |ln (21cos sin )cos (sin 2121 例6、求 ∫xdx x cos 5sin解 原式＝C x x dx x x +−−=+∫6cos 1214cos 81]6sin 4[sin 21 注 积化和差公式])cos()[cos(21cos cos ])cos()[cos(21sin sin ])sin()[sin(21cos sin x x x x x x x x x x x x βαβαβαβαβαβαβαβαβα−++=⋅+−−=⋅−++=⋅例7、求 ∫+xx dxcos )sin 2(2解 令 dt xdx t x ==cos ,sin于是原式＝ dt t t t t t t dt∫∫−+−++=−+)1)(2()1()2(31)1)(2(222222C tt t t dt t dt ++−+=++−=∫∫2arctan(23111ln 6123113122 C x x x ++−+=2sin arctan(231sin 1sin 1ln 61注 形如∫dx x x R )cos ,(sin 的有理函数的积分，一般可利用代换 t x=2tan 化为有理函数的积分.(i) 若 )cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R −=−或)cos ,(sin )cos ,(sin x x R x x R −=− 成立，最好利用代换 t x =cos 或对应的 t x =sin .(ii) 若等式 )cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R =−−成立，最好利用代换t x =tan .例8、求 ∫+dx xx x33cos sin sin21 解 令 t x =tan ，则 dt xdx =2sec ，于是原式＝ ∫∫∫∫+−+−+=+−++−−+=+t dt dt t t t dt t t t t t t dt t t 1311131)1)(1()1()1(31122223 ＝ C t t t t ++−−++−|1|ln 31)312arctan(31)1ln(612 ＝C x x x x +−+++−31tan 2arctan(31)tan 1(1tan tan ln 6122。

不定积分计算公式积分是微积分中的一个重要概念，不定积分即求导的逆运算。

计算不定积分可以使用一些常见的公式和技巧，下面将介绍一些常见的不定积分公式。

1.基本积分公式(1) ∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n不等于-1(2) ∫1/x dx = ln，x， + C。

(3) ∫e^x dx = e^x + C。

(4) ∫a^x dx = (1/lna) * a^x + C。

(5) ∫sinx dx = -cosx + C。

(6) ∫cosx dx = sinx + C。

(7) ∫tanx dx = -ln，cosx， + C。

(8) ∫cotx dx = ln，sinx， + C。

(9) ∫sec^2x dx = tanx + C。

(10) ∫cosec^2x dx = -cotx + C。

2.函数的初等不定积分公式(1) ∫e^u du = e^u + C。

(2) ∫sinu du = -cosu + C。

(3) ∫cosu du = sinu + C。

(4) ∫tanu du = -ln，cosu， + C。

(5) ∫cotu du = ln，sinu， + C。

(6) ∫sec^2u du = tanu + C。

(7) ∫cosec^2u du = -cotu + C。

(8) ∫secu * tanu du = secu + C。

(9) ∫cosecu * cotu du = -cosecu + C。

(10) ∫(1+u^2) du = u + (1/3)u^3 + C。

3.基本积分法则(1) 线性法则：∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b为常数。

(2) 乘法法则：∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x) dx。

(3) 分部积分法：∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫g(x)f'(x) dx。

不定积分典型例题一、直接积分法直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式. 例1、求 dx x x x ∫−)11(2解 原式＝ C x x dx x x ++=−∫−41474543474)(例2、求 dx e e x x ∫++113解 原式＝ C x e e dx e e x xx x ++−=+−∫2221)1( 例3、求 dx xx ∫22cos sin 1解 原式 ∫∫∫+=+=dx x dx x dx x x x x 222222sin 1cos 1cos sin cos sin C x x +−=cot tan 例4、 ∫dx x2cos 2 解 原式＝ C x x dx x ++=+∫2sin 2cos 1 例5、 dx xx ∫+221 解 原式∫∫+−=+−+=dx x dx x x )111(111222C x x +−=arctan 注：本题所用“加1减1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧.二、第一类换元积分法(凑微分法)C x G Cu G duu g dxx x g dx x f ux ++====∫∫∫=)]([)()()(')]([)()(ϕϕϕϕ还原求出令凑成在上述过程中，关键的一步是从被积函数)(x f 中选取适当的部分作为)('x ϕ，与dx 一起凑成 )(x ϕ的微分 du x d =)(ϕ且 ∫du u g )(易求.例1、求 ∫dx xxcos tan 解 原式＝ ∫∫−=x x xd dx x x x cos cos cos cos cos sin C xx d x +=−=−∫cos 2cos )(cos 23 例2、求 ∫−dx xx x 2arcsin解 原式)()(1arcsin 211arcsin 2x d x x dx xxx ∫∫−=⋅−=C x x d x +==∫2)(arcsin )(arcsin arcsin 2注)(21x d dx x= 例3、求 ∫−−dx xx 2491解 原式∫∫−−+−=−)49()49(81)2(3)2(21221222x d x x x dC x x x x x d +−+=−+−=∫222494132arcsin 214941)32(1)32(21例4、求 ∫+⋅+dx xx x 2211tan解 原式＝ C x x d x ++−=++∫|1cos |ln 11tan 222例5、求 dx x x x ∫−−12解 原式＝ ∫∫∫−+=−−−+dx x x dx x dx x x x x x 1)1()1(22222 C x x x d x x +−+=−−+=∫2323223)1(313)1(1213例6、求 ∫+dx xtan 11解 原式＝ ∫∫+−+=+dx xx xx dx x x x sin cos sin cos 1(21cos sin cos C x x x x x d x x x +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∫|)sin cos |ln (21)sin (cos sin cos 121 例7、求 ∫−+−dx xxx 11ln 112 解 原式＝C xx x x d x x +−+=−+−+∫11ln 41)11(ln 11ln 212 例8、求 ∫+dx e x11解 原式＝ ∫∫∫+−=+−+dx e e dx dx e e e x x x xx 111 C e x e d edx xx x++−=++−=∫∫)1ln()1(11例9、求 ∫−+dx e e xx 1解 原式＝ C e e d e dx e e x x x x x +=+=+∫∫arctan )()(11122 例10、求 ∫+dx xxsin 1sin解 原式＝ ∫∫∫−−=+−dx xxdx dx x 2cos sin 1)sin 111( dx xxdx x x ∫∫+−=22cos sin cos 1C x x x ++−=sec tan 例11、求 ∫−xx dxln 32解 原式 )(ln )ln 32(21x d x −∫−=C x x d x +−+−⋅−=−−−=∫−2121)ln 32(121131)ln 32()31()ln 32( C x +−−=ln 3232例 12、求 ∫+dx xb x a 2222cos sin 1解 原式＝ ∫∫+=+)tan ()tan (111)(tan tan 12222x badx ba ab x d xa b C x baab +=)tan arctan(1 例13、求 ∫++dx x x 1164解 原式＝∫∫∫+++−=+++−dx x x dx x x x dx x x x x 232322226224)(1)(1)(11 C x x dx x dx x ++=+++=∫∫33232arctan 31arctan )(113111 例14、求 ∫+dx x x )1(18解 原式＝∫∫∫+−=+−+dx x x dx x dx x x x x 8788811)1(1C x x ++−=)1ln(81||ln 8例15、求 ∫+−−dx x x x 54232解 原式＝ dx x x x x x x d ∫∫+−++−+−541454)54(23222∫+−−++−=1)2()2(4|54|ln 2322x x d x x C x x x +−++−=)2arctan(4|54|ln 232 注 由于分子比分母低一次，故可先将分子凑成分母的导数，把积分化为形如 ∫++dx cbx ax 21的积分(将分母配方，再凑微分). 例16、已知 2ln )1(222−=−x x x f ，且 x x f ln )]([=ϕ，求 ∫dx x )(ϕ.解 因为 1111ln )1(222−−+−=−x x x f ，故 11ln )(−+=x x x f ，又因为x x x x f ln 1)(1)(ln)]([=−+=ϕϕϕ，得x x x =−+1)(1)(ϕϕ，解出11)(−+=x x x ϕ，从而C x x dx x dx x x dx x +−+=−+=−+=∫∫∫|1|ln 2)121(11)(ϕ 例17、求 ∫dx x4cos 1解 原式C x x x d x x xd ++=+==∫∫322tan 31tan tan )tan 1(tan sec例18、求 ∫++dx x x x2)ln (2ln 1 解 原式＝C x x x x x x d +=+∫)2ln arctan(21)ln (2)ln (2三、第二类换元法设 )(t x ϕ=单调可导，且0)('≠t ϕ，已知 C t F dt t t f +=∫)()(')]([ϕϕ，则C x F Ct F dt t t f dxx f x t t x ++==−===∫∫−)]([)()(')]([)(1)()(1ϕϕϕϕϕ还原令选取代换 )(t x ϕ=的关键是使无理式的积分化为有理式的积分(消去根号)，同时使 dt t t f ∫)(')]([ϕϕ易于计算.例1、求 ∫−+221)1(xx xdx解 令 tdt dx t x cos ,sin ==原式＝∫∫−−=+t td t t tdt t 22cos 2cos cos )1(sin cos sin t d tt cos )cos 21cos 21(221∫++−−= C xx C t t +−−−+−=+−+−=221212ln 221cos 2cos 2ln 221例2、求 ∫+241xxdx解 令 tdt dx t x 2sec ,tan ==原式＝t d t t t d ttt tdt t t tdt sin )sin (sin sin sin sin 1sin cos sec tan sec 24424342∫∫∫∫−−−=−==⋅ C xx x x C t t ++++−=++−=)1(3)1(sin 1sin 13123323 例3、求 dx x x ∫−229解 令 t x sec 3=，则 tdt t dx tan sec 3⋅=原式＝ ∫∫∫−==⋅⋅dt t t dt tttdt t t t )cos (sec sec tan tan sec 3sec 9tan 3221sin |tan sec |ln C t t t +−+=12222ln C xa x a a x a x +−−−+=C xa x a x x +−−−+=2222ln 例4、求 ∫+dx x x )2(17解 令 t x 1=，则dt tdx 21−=，原式∫∫∫++−=+−=−+=)21(21114121)1(21777627t d t dt t t dt t ttC x x C t +++−=++−=||ln 21|2|ln 141|21|ln 14177 注 设n m ,分别为被积函数的分子，分母关于x 的最高次数，当1>−m n 时，可用倒代换求积分.例5、求 dx x xx ∫−+1122解 令t x 1=，dt tdx 21−=原式 ∫∫−+−=−−+=dt t t dt t t t t 222211)1(11111∫∫−−+−−=22212)1(11t t d dt tC xx x C t t +−−=+−+−=1arcsin 11arcsin 22例6、求 dx xx x∫−432解 原式 ∫∫∫−⋅=−=⋅−===dt t t t dt t t dt t t t t tx dt t dx 11211212541051411386121211令∫∫−++=⋅−+−=5554510)111(51211112dt t t dt t t t C t t t +−++=|1|ln 51251210125510 C x x x +−++=1ln 5125125612512565例7、求 ∫+xedx 1解 令t e x =+1，12−=t e x ，dt t tdx 122−=原式＝ C t t dt t dt t t t ++−=−=−⋅∫∫11ln 11212122C e e x x +++−+=1111ln例8、求 ∫+dx xx xln 1ln解 令x t ln 1+=原式∫∫−=+=dt tt x d x x 1ln ln 1lnC x x C t t dt tt ++−=+−=−=∫ln 1)2(ln 32232)1(2123例9、求 dx x x ∫++−+1111 解 令 tdt dx t x t x 2,1,12=−==+因为原式dx xx x x dx x x x ∫∫+−+=+−+=12||ln 2122而 ∫∫∫−+=−=+dt t t dt t dx x x 111(2121222 C x x x C t t t +++−+++=++−+=1111ln 1211ln2原式＝C x x x x x +++−+−+−+1111ln214||ln 2＝C x x x +++++−11ln 414四、分部积分法分部积分公式为 ∫∫−=vdx u uv dx uv ''使用该公式的关键在于 ',v u 的选取，可参见本节答疑解惑4. 例1、求 ∫dx e x x 3解 原式＝x x x x x x de x e x e x de x e x de x ∫∫∫+−=−=63323233 C e xe e x e x x x x x +−+−=66323 例2、求 ∫dx xx 2cos 22 解 原式∫∫+=+=xdx x x dx x x cos 2161)cos 1(21232 ∫∫−+=+=xdx x x x x x d x x sin sin 2161sin 21612323 ∫∫−++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323 C x x x x x x +−++=sin cos sin 216123 例3、求 ∫dx e x 3解 原式C e te e t det dt e t t t t tttx dtt dx ++−==∫∫==66333222332令C eex ex xxx++−=333663332例4、求 ∫dx x )cos(ln解 原式 ∫+=dx x x x )sin(ln )cos(ln∫−+=dx x x x x x )cos(ln )sin(ln )cos(ln移项，整理得原式C x x x++=)]sin(ln )[cos(ln 2注 应用一次分部积分法后，等式右端循环地出现了我们所要求出的积分式，移项即得解，类似地能出现循环现象的例题是求如下不定积分：∫∫xdx e xdx e xx ββααsin cos 或例5、求 ∫++dx x x )1ln(2解 原式 dx x x x x x ∫+−++=221)1ln(C x x x x ++−++=221)1ln(例6、求 ∫dx xx23ln解 原式＝ ∫∫−−=−=1(ln 3ln )1(ln 233xxd x x x xdC x x x x x x x x xd xx x x +−−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=∫6ln 6ln 3ln )1(ln 2ln 3ln 2323 例7、推导 ∫+dx a x n)(122的递推公式 解 令 ∫+=dx a x I nn )(122∫++−+++=dx a x a a x n a x x I n n n 12222222)(2)(∫++−++=dx a x na nI a x x n n n 122222)(122)(122222)(+−++=n n nI na nI a x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=+n nn I n a x xna I )12()(212221 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−=−−11222)32()()1(21n n n I n a x xa n I 例8、推导 ∫=xdx I n n tan 的递推公式.解 ∫⋅=−xdx x I n n 22tan tan ∫−⋅=−dx x x n )1(sec tan 22∫∫−−−⋅=xdx xdx x n n 222tan sec tan 2122tan 11)(tan tan −−−−−−=−=∫n n n n I x n I x xd 注 应用分部积分法可以建立与正整数n 有关的一些不定积分的递推公式. 例9、已知)(x f 的一个原函数是 2x e −，求 ∫dx x xf )(' 解 原式C e x xf dx x f x xf x xdf x +−=−==−∫∫2)()()()( 例10、求 ∫+dx x x x )1ln(arctan 2解 因为 ∫+dx x x )1ln(2∫++=)1()1ln(2122x d x C x x x +−++=22221)1ln()1(21 所以 原式＝ ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++22221)1ln()1(21arctan x x x xd[]∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−−++=2222221)1ln(21arctan )1ln()1(21x x x x x x x []C x x xx x x x +++−−−++=23)1ln(23)1ln()1(arctan 212222 注 本题是三类函数相乘的形式，这类问题大多采用本题的方法.例11、求 ∫+dx x xe x)1(2arctan 解 令 tdt dx t x 2sec ,tan ==原式dt e t t dt tte t t t ∫∫=⋅=cos sin sec sec tan 42 C t t e dt te t t+−==∫)2cos 2(sin 1012sin 21C x x x e x ++−+=)1(5)1(22arctan 例12、求 xdx x x arctan 122∫+ 解 原式＝ xdx x arctan )111(2∫+−∫∫+−=xdx x dx x arctan 11arctan 2 C x x x x +−+−=22)(arctan 21)1ln(21arctan例13、求 ∫−+⋅dx x x x x 22211arcsin 解 令 tdt dx t x t x cos ,arcsin ,sin ===，原式 ∫∫∫+=⋅+=tdt dt t ttdt tt t t 222sin cos cos sin )sin 1(2221cot cot 21)cot (t tdt t t t t td ∫∫++−=+−= C t t t t +++−=221|sin |ln cosC x x x x x +++−−=22)(arcsin 21||ln arcsin 1注 直接积分法、换元法、分部积分法是求不定积分最重要的方法，主要用到了“拆、凑、换、分”的技巧，同时应注意这些方法的综合运用. 五、有理函数的积分有理函数的积分总可化为整式和如下四种类型的积分： (1) C a x A dx ax A+−=−∫||ln (2) )1()(11)(1≠+−−−=−−∫n C a x n A dx a x A n n (3) ∫=∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++=+++−n upx ap q nna u dup q p x dxdx q px x dx )(44)2()(2224422222＝令＝令 (4) ∫∫++−+++−−=+++−n n n q px x dxp a q px x n dx q px x dx a x )()2()(1)1(21)()(2122,其中 042<−q p .这就是说有理函数积分，从理论上讲，可先化假分式为整式与真分式之和，再将真分式化为若干部分分式之和，然后逐项积分，但这样做有时非常复杂，因此我们最好先分析被积函数的特点，寻求更合适，更简捷的方法也是很必要的. 例1、求 ∫+−322x x dx解 原式＝ C x x x d x dx +−=−+−=+−∫∫21arctan 21)1(2)1(2)1(22例2、求 ∫++++dx x x x x 4545242 解 原式＝ ∫∫++++++dx x x xdx x x x )4)(1(5)4)(1(422222 2222222)4111(65arctan )4)(1(251dx x x x x x dx x dx ∫∫∫+−++=++++= C x x x ++++=41ln 65arctan 22 本题若用待定系数法，较麻烦一些，也可获得同样的结果.事实上，设 41454522242+++++=++++x DCx x B Ax x x x x ，通分后应有 )1)(()4)((45222+++++=++x D Cx x B Ax x x比较等式两端x 的同次幂的系数，得0=+C A ，0=+D B ，54=+C A ，44=+D B 由此， 1,35,1,35−=−===D C B A故原式＝ dx x x x x ∫⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+−−+++4135113522C x x x ++++=arctan 41ln 6522 例3、求 ∫−13x xdx解 设11123++++−=−x x C Bx x A x x ，通分后应有)1)(()1(2−++++=x C Bx x x A x 比较等式两端x 的同次幂的系数，得0 ,1 ,0=−=+−=+C A C B A B A ，由此，31,31,31=−==C B A故原式＝ dx x x x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−−−)1(31)1(312∫∫∫+++++++−−=43)21()21(211126113122x x d dx x x x x dx C x x x x +++++−=312arctan 311)1(ln 6122例4、求 ∫−)1(42x x dx解 原式＝ dx x x dx x x dx x x x x ∫∫∫+−−−=−−+)1)(1(1)1(1)1()1(22224222 dx x x dx x x ∫∫++−−−+=)1111(21)111(2222 ∫∫+−−+−=dx x dx x x 22112111211 C x x x x +−−++−=arctan 2111ln411 注：本题若用待定系数法，应当将被积函数分解为)1)(1)(1(1)1(12242x x x x x x ++−=−22111x F Ex x D x C x B x A +++++−++= 然后再确定系数，显然这样做比较麻烦，也可获同样结果，此处从略.例5、求 ∫++dx x x dxx 334811 解 令u x =4，则dx x du 34=，于是，原式∫∫+−++=++=du u u du u u u )24111(41234122 )|2|ln 4|1|ln (41C u u u ++−++=C x x x ++−++=)2ln()1ln(414444例6、求 ∫+dx x x 325)32( 解 令 dt xdx t x t x =−==+4,23,3222，从而， 原式＝ ∫∫+−=⋅−dt tt t dt t t 961(16144)3(3232 C t t t +−+=296||(ln 1612C x x x ++−+++=)32(29326|32|[ln 1612222 例7、求 ∫++dx x x x 45244解 45)45(145242244+++−+=++x x x x x x 设 4145)45(222211242+++++=+++−x B x A x B x A x x x ，通分后应有)1)(()4)(()45(2222112+++++=+−x B x A x B x A x由此， 316,0,31,02211−====B A B A ，故原式＝ dx x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−++)4(316)1(31122C xx x +−+=2arctan 38arctan 31例8、求 ∫+210)1(x x dx解 由于2109102101010210)1()1(1)1(1)1(1+−+=+−+=+x x x x x x x x x x 2109109)1()1(1+−+−=x x x x x 原式＝ dx x x x x x ∫⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−2109109)1()1(1∫∫++−++−=210101010)1()1(1011)1(101||ln x x d x x d x C x x x ++++−=)1(101)1ln(101||ln 1010C x x x ++++=)1(1011ln 101101010注 对被积函数先做初等变形常常可以使问题得到简化，常见的初等变形有：分子分母同乘一个因子；有理化；加一项或者减一项以及利用三角函数恒等变形等.六、三角函数有理式的积分一般从理论上讲，三角函数有理式的积分 ∫dx x x R )cos ,(sin 可通过万能代换2tan xt =化为代数有理式的积分，但有时较繁，因此我们常采用三角恒等变形，然后再求解. 例1、求 ∫xx dx4cos sin 解 原式＝ ∫∫∫+=+x x dxdx x x dx x x x x 24422cos sin cos sin cos sin cos sin ∫∫∫++−=x dx dx x x x d xsin cos sin )(cos cos 124 ∫+−=|2tan |ln cos )(cos cos 3123x x x d x C x x x +++=|2tan |ln cos 1cos 313例2、求 ∫+dx x sin 1解 原式＝ ∫++dx x x x x 2cos 2sin 22cos 2sin 22∫∫+=+=dx xx dx x x )2cos 2(sin )2cos 2(sin2 C x x ++−=2sin 22cos 2例3、求 ∫+−5cos sin 2x x dx解 令2tan x t =，则222212,11cos ,12sin tdtdx t t x t t x +=+−=+=，于是 原式＝C x C t t t dt +⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=++∫512tan 3arctan 51513arctan 512232 例4、求 ∫+dx xxsin 1sin解 原式＝ ∫−dx x x x 2cos )sin 1(sin dx x xdx x x ∫∫−−=222cos cos 1cos sin C x x x++−=tan cos 1例5、求 ∫+dx xx xcos sin sin解 原式＝dx x x x x dx x x x x x x ∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−++cos sin cos sin 121cos sin cos sin cos sin 21 C x x x x x x x d x ++−=++−+=∫|)cos sin |ln (21cos sin )cos (sin 2121 例6、求 ∫xdx x cos 5sin解 原式＝C x x dx x x +−−=+∫6cos 1214cos 81]6sin 4[sin 21 注 积化和差公式])cos()[cos(21cos cos ])cos()[cos(21sin sin ])sin()[sin(21cos sin x x x x x x x x x x x x βαβαβαβαβαβαβαβαβα−++=⋅+−−=⋅−++=⋅例7、求 ∫+xx dxcos )sin 2(2解 令 dt xdx t x ==cos ,sin于是原式＝ dt t t t t t t dt∫∫−+−++=−+)1)(2()1()2(31)1)(2(222222C tt t t dt t dt ++−+=++−=∫∫2arctan(23111ln 6123113122 C x x x ++−+=2sin arctan(231sin 1sin 1ln 61注 形如∫dx x x R )cos ,(sin 的有理函数的积分，一般可利用代换 t x=2tan 化为有理函数的积分.(i) 若 )cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R −=−或)cos ,(sin )cos ,(sin x x R x x R −=− 成立，最好利用代换 t x =cos 或对应的 t x =sin .(ii) 若等式 )cos ,(sin )cos ,sin (x x R x x R =−−成立，最好利用代换t x =tan .例8、求 ∫+dx xx x33cos sin sin21 解 令 t x =tan ，则 dt xdx =2sec ，于是原式＝ ∫∫∫∫+−+−+=+−++−−+=+t dt dt t t t dt t t t t t t dt t t 1311131)1)(1()1()1(31122223 ＝ C t t t t ++−−++−|1|ln 31)312arctan(31)1ln(612 ＝C x x x x +−+++−31tan 2arctan(31)tan 1(1tan tan ln 6122。

例题1dx e x x ⎰+)12( ce e x dxe e x x d e e x de x x x xx x x x+-+=•-+=+-+=+=⎰⎰⎰2)12(2)12()12()12()12( 根据分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。

（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。

例题2dx xe x ⎰-ce xe dxe e xe dx e xe xde x x x x x x x++-=•+-=--=-=-------⎰⎰⎰1)(x e -是一个复合函数，其导数应为1-•-x e例题3⎰xdx arctanc x x x xd xx x dx x x x x xxd x x ++-=++-=+-•=-•=⎰⎰⎰)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。

其它的反三角导数是arcsinx ’=211x -、arccosx ’=211x --、arccotx ’=211x +-例题4dx x x ⎰2cos 2sin|cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d xdx xx dx xx x -=-===⎰⎰⎰这里用到二倍角公式，如下：Sin2x=2sinxcosxCos2x=2cos 2x-1=1-sin 2x-1例题5dx x x ⎰++2cos 1sin 12c x x x xdx dx dx x dx xx +-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰21tan 21sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。

常用的24个不定积分公式及证明一、基本积分公式。

1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 证明：根据求导公式(kx + C)'=k，所以∫ kdx = kx + C。

2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 证明：对frac{x^n + 1}{n+1}+C求导，根据求导公式(x^m)'=mx^m - 1，可得(frac{x^n+1}{n + 1}+C)'=frac{(n + 1)x^n+1-1}{n+1}=x^n，所以∫ x^n dx=frac{x^n +1}{n+1}+C(n≠ - 1)。

3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 证明：当x>0时，(ln x)'=(1)/(x)；当x < 0时，[ln(-x)]'=(1)/(-x)×(-1)=(1)/(x)。

所以∫(1)/(x)dx=lnx+C。

4. ∫ e^x dx=e^x+C- 证明：因为(e^x)' = e^x，所以∫ e^x dx=e^x+C。

5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- 证明：设y = a^x，则ln y=xln a，y = e^xln a。

对y=(a^x)/(ln a)+C求导，((a^x)/(ln a)+C)'=(1)/(ln a)× a^xln a=a^x，所以∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)。

6. ∫sin xdx=-cos x + C- 证明：因为(-cos x)'=sin x，所以∫sin xdx =-cos x+C。

7. ∫cos xdx=sin x + C- 证明：因为(sin x)'=cos x，所以∫cos xdx=sin x + C。

8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 证明：因为(tan x)'=sec^2x=(1)/(cos^2)x，所以∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C。

不定积分的解法汇总不定积分，也称为不定积分或者原函数，是微积分中的一个重要概念，它是确定函数的不定积分。

不定积分的解法涉及到多种技巧和方法，掌握这些技巧和方法可以帮助我们更加灵活地求解不定积分。

本文将对不定积分的解法进行汇总，包括常用的积分公式、基本积分法、分部积分法、换元积分法等内容，希望能够帮助大家更好地掌握不定积分的解法。

一、常用的积分公式1. 幂函数积分公式当被积函数为幂函数时，可以通过直接积分法求解。

定义在区间[a, b]上的幂函数f(x)=x^n的不定积分为∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C,其中C为常数。

2. 三角函数积分公式当被积函数为三角函数时，可以通过三角函数的性质和积分公式求解。

sin(x)的不定积分为∫sin(x) dx = -cos(x) + C,cos(x)的不定积分为∫cos(x) dx = sin(x) + C。

3. 指数函数和对数函数积分公式当被积函数为指数函数或对数函数时，可以利用指数函数和对数函数的性质求解。

指数函数e^x的不定积分为∫e^x dx = e^x + C，对数函数ln(x)的不定积分为∫ln(x) dx = x * ln(x) - x + C。

二、基本积分法基本积分法又称为换元积分法，它是求不定积分的基本方法之一。

基本积分法的步骤如下：1. 选择适当的换元变量u，使得被积函数中的一部分可以变成u的导数；2. 对被积函数进行合理的替换，将被积函数变为u的函数；3. 求出u的不定积分；4. 将u的不定积分转换为原函数中的自变量。

对于不定积分∫2x * (x^2 + 1)^3 dx，我们可以选择u=x^2+1，然后求出du=2x dx。

接着将被积函数中的2x dx替换为du，得到∫(u^3) du，然后求出u的不定积分，最后用u的原函数替换进行还原得到不定积分的结果。

四、其他积分法除了基本积分法和分部积分法外，还有其他一些常用的积分法，如换元积分法、有理函数积分法、反常积分法等。

不定积分的解法汇总不定积分是微积分中的一个重要概念，是求函数的原函数的过程。

对于一个函数f(x)，如果存在一个函数 F(x)，使得 F'(x) = f(x)，则称 F(x) 是函数 f(x) 的一个原函数，或者说 F(x) 是 f(x) 的一个不定积分。

不定积分的解法有很多种，其中包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法、三角函数的积分等。

下面对这些常用的解法进行汇总。

1. 基本积分公式：基本积分公式是指一些常见函数的不定积分公式，可以直接使用这些公式求解不定积分。

例如：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)∫ e^x dx = e^x + C∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C通过这些基本积分公式，可以将不定积分转化为简单的代数运算求解。

2. 换元积分法：对于一些复杂的函数，可以通过换元积分法将其转化为简单的函数求解。

换元积分法的基本思想是通过引入一个新的变量，使得被积函数中的变量整体简化或者变得更易于处理。

例如：∫ (2x+1)^3 dx令 u = 2x+1，那么可以得到 du = 2 dx，进而可以将原式转化为：(1/2) ∫ u^3 du这个不定积分可以直接求解：(1/2) * (u^4/4) + C= (1/2) * (2x+1)^4/4 + C通过换元积分法可以简化积分的过程，但选择合适的换元是关键。

对于一些复杂的函数乘积的不定积分，可以通过分部积分法将其转化为两个函数积分之差。

分部积分法是通过对乘积函数中的一个因子求导，对另一个因子求不定积分，最后将两部分组合起来求解。

4. 三角函数的积分：三角函数的不定积分是常见的情况，可以通过一些常用的积分公式求解，或者通过换元积分法、分部积分法等方法简化求解的过程。

根据三角恒等式 cos^2(x) = (1+cos(2x))/2，可以将上述积分表示为：∫ (1+cos(2x))/2 dx通过使用三角恒等式和常用的三角函数的不定积分公式，可以求解三角函数的不定积分。

不定积分的计算一、常见不定积分公式的计算22221()1(1)ln .(0)(2)arcsin 1(3)arctan 1111(4)ln (0)22sin (cos )(5)tan cos cos dx d ax b ax b C a ax b a ax b ax d x C a dx x C x a a a dx x adx C a x a a x a x a a x ax d x xdx dx x x +==++≠++⎛⎫ ⎪==+=++-⎛⎫=-=+≠ ⎪--++⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；；；tan ln cos cos (sin )(6)cot ln sin sin sin sec (sec tan )(sec tan )(7)sec ln sec tan sec tan sec tan (8)csc ln csc cot (9)sec ln sec tan x a ux C x d x xdx dx x C x x x x x d x x xdx dx x x C x x x x xdx x x C udu u u C ==-+===+++===++++=-++==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；；；；sec sin 2222tan 23ln (10)sec ln sec tan ln 1cos 2(11)cos cos 211sin 2arcsin 222(12)sec sec tan 2x a ux a tx a u x C udu u u C x C ta t a tdt a dt a a x t C C a a a udu u u ===+==++=++=⋅=⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭==⎰⎰⎰⎰；；；()()()2sec 222322ln sec tan arcsin 2(13)tan sec sec sec 1sec tan ln sec tan ln .222x a uu u Ca x C aa u udu a u u dua a u u u u C x C =+++=++=⋅=-=-++=-+⎰⎰；32233212sec sec tan sec tan sec tan sec tan sec (sec 1)sec tan ln sec tan sec .11sec sec tan ln sec tan .22sec d .()(1)sec d ln sec tan sec n n xdx xd x x x x xdxx x x x dx x x x x xdx xdx x x x x C I x x n I x x x x C I x +==-=--=++-=+++=∈==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 【】：因此【】：计算，注例2222222222d tan .(2)3sec d(tan )sec tan (2)sec tan d sec tan (2)sec d (2)sec d sec tan (2)(2).12sec tan .11n n n n n n n n n n n n n x x C n I x x x x n x x x x x n x x n x x x x n I n I n I x x I n n ---------=+≥==--⋅=--+-=--+--=+--⎰⎰⎰⎰⎰当时，因此二、常见的“凑微分”公式：22222221d (1)d d()(2)e d d(e )(3)d(ln )111(4)d d()d()d()222(5)sin d d(cos )(6)cos d d(sin )(7)sec d d(tan )(8)sec tan d d(sec )d (9)d(arctan )(10)d(arcsin 1x x xx ax b x x a x x x x x a a x x x x x x x x x x x x x x x x x=+====±=--=-=====+；；；；；；；；；222).d x x x =====-，【】：实际上，所谓常见的“凑微分”公式就是简单的积分公式.注三、不定积分中常见的积分变换2222.2(1)(2)sin cos (3)tan sec (4)sec sec tan 2(5)ln(1)1(6)u b u u x dx du a a x a u dx a udu x a u dx udu x a u dx a u udu uduu x u dx u -===========-=-在计算不定积分时，有一个宗旨就是“有根号去根号”：，则：；，则：；，则：；，则：；，则：，常见的积分变换222222().()11(7).du b ad bc u u x dx du a cu a cu x dx du u u--===--==-，则：倒数变换：令，则：【】：其实，换元法就是将被积函数中不熟悉的、复杂的转化为熟悉的和简单的再进行计算；一个基本原则是“有根号去根号”，将反三角函数通过变量代换化为三角函数等.积累一些常见函数的不定积分及不定积分的计算方法，对于不定积分的学习会有很大的帮助.注 四、 典型例题选讲【例题1】：e cos d e sin d .ax ax I bx x J bx x ==⎰⎰计算和()2222222211e cos cos (e )e cos e sin 11e cos sin (e )e cos e sin e cos .1e cos e cos sin .1e sin e sin cos ax axax ax ax axax ax ax axax ax axb I bxdx bxd bx bxdx a a a b b b bx bxd bx bx bxdx a a a a abxdx a bx b bx C a bbxdx a bx b b a b===+=+=+-=+++=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【】：因此同样方法一()()()()()()()()()()()22222222.e cos sin e e d 1e cos sin ()1e cos sin sin cos .11e cos sin e sin cos .ax a ib x a ib xaxaxaxax x C bx i bx x C C a ib a ibbx i bx a ib C a b a bx b bx i a bx b bx C a b I a bx b bx C J a bx b bx C a b a b ++++=+=+++=+-++=++-++=++=-+++⎰【】：因此，；方法二【例题2】222221arctan arctan 1arctan ()(1)1arctan 1arctan 1ln ln(1)ln .221x dx x x I xd dx x x x x x x x x x x x x C C x x x⎛⎫=-=-+=-+- ⎪++⎝⎭=-+-++=-+++⎰⎰⎰【例题3】22.arcsin(21).01sin 2sin cos .2sin cos 2.sin cos C I x C x x u dx u udu u udu I u C C u u ==+=====-+<<====+=+⎰【】：【【】：由于，可设，则：方法一方法二方法三2222222212.1(1)122arctan .(1)u x u udux dx u u u udu I u u C C u u =⋅===+++=⋅⋅=+=++⎰【】：由于，则，方法四【例题422223222222222222221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)12211ln(1)ln (1)2(1)4111ln(1)ln ln (1).2214x I x dx x d x d x x x x xdx x x x x x x x x C x x ⎛⎫⎛⎫=++=-++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=-+++++=-++++++⎰⎰⎰⎰。

不定积分的解法汇总不定积分是微积分中的一个重要概念，它是一种求导的逆运算。

求不定积分的过程称为积分。

本文将介绍一些常见的解不定积分的方法。

一、基本初等函数的积分法基本初等函数是指常见的函数，如多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

对于这些函数，我们可以通过查表或直接运用公式的方式求积分。

例如：1. 若f(x)=k，其中k为常数，则∫f(x)dx=kx+C，其中C为常数。

2. 若f(x)=ax^n，其中a和n均为常数，且n≠-1，则∫f(x)dx=(a/(n+1))x^(n+1)+C。

3. 若f(x)=e^x，则∫f(x)dx=e^x+C。

4. 若f(x)=lnx，则∫f(x)dx=xlnx-x+C。

5. 若f(x)=sinx，则∫f(x)dx= -cosx+C。

6. 若f(x)=cosx，则∫f(x)dx=sinx+C。

这些公式是积分的基本公式，掌握它们对于求解不定积分非常重要。

二、换元法换元法是一种通过变量代换的方法来简化积分的过程。

具体步骤如下：1. 选择合适的变量代换，使得积分被简化。

2. 计算原积分中的dx，将之换成新变量dt。

3. 将原积分中的x用新变量t表示，并将原积分的区间进行相应调整。

4. 计算新的积分，并将结果用原变量表示。

要求不定积分∫(x+1)^(1/2)dx。

我们可以选择变量代换u=x+1，那么∫(x+1)^(1/2)dx=∫u^(1/2)du=(2/3)u^(3/2)+C=(2/3)(x+1)^(3/2)+C，其中C为常数。

三、分部积分法分部积分法是一种将乘积的积分转换成多个简单的积分相加的方法。

具体步骤如下：1. 选取一个部分用来求导，另一个部分用来求积分。

2. 计算选中部分的导数和积分。

3. 将计算结果代入原积分，并计算出新的积分。

4. 反复应用该方法，直到能够求得结果或者积分简化为可以求解的形式。

要求不定积分∫xlnx dx。

我们可以选择分部积分的方法，将xlnx分成两个部分，一个部分x求导，一个部分lnx积分。

1专题---不定积分§1、不定积分的概念与性质1、 原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。

① 连续函数一定有原函数；② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()(''x f x F C x F ==+③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。

事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。

定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，⎰-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。

显然C x F dx x f +=⎰)()(例1、 求下列函数的不定积分①⎰+=C kx kdx②⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++=+1ln 1111μμμμμC x C x dx x2、 基本积分表（共24个基本积分公式）3、 不定积分的性质①[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②⎰⎰≠=)0()()(k dxx f k dx x kf例2、 求下列不定积分①⎰⎰+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11)2(22②⎰⎰+=++-==+--C x C x dx x xdx 21)21(11)21(21③⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522⑤()⎰⎰⎰++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2⑥⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 22222222⑦()⎰⎰+--=-=C x x dx x dx x cot1csc cot 22§2、不定积分的换元法一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d adx b ax d b ax f a dx b ax f +=++=+⎰⎰1,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin②()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+C x C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121 ③()())20(arctan 111222Ca x a a x a x d a x a dx +⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+⎰⎰④()())23(arcsin 1222Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=-=-⎰⎰2、()()nn n n n n dx dx x dx x f ndx x x f ==--⎰⎰11,1即 例2、求不定积分①()()()()C x C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰321121221221311112111211②()C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰333323131 ③⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 122 ④⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx 21sin 2cos 2cos3、,tan sec ,sin cos ,cos sin ,,ln 12x d xdx x d xdx x d xdx de dx e x d dx xx x ==-===,,arcsin 11,arctan 11,sec tan sec 222222x a d dx x a x x d dx xx d dx xx d xdx x ±±=±=-=+=例3、 求不定积分①⎰⎰⎰+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan C x C x x xd dx x x xdx ②⎰⎰⎰+-=+===)17(cos ln sin lnsin cos cot C x C x xd dx x xdx⑤()⎰⎰+==C x xdx x x ln ln ln ln ⑥()()()⎰⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2 ⑦()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e e x xxx x 1ln 111 ⑧()()⎰⎰++-=+-+=+C e x ee e e dx xx x x x 1ln 111 ⑨()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e x x xxx arctan 1122⑩()C e x d e dx e xx x x x +-=+--=++-+-+-⎰⎰2122121211例4、求不定积分①⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a a x dx )()(21112122 )22)(21(ln 1C ax +-=④()C x x x xd x dx xdx +-=⋅-==⎰⎰⎰2sin 412122cos 22221sin 2 ⑤()⎰⎰+--=+=C x x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin 213cos 5sin⑥⎰⎰⎰⎰+====C x x xd x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot ⑦C x x xx d xdx dx x x x dx +-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 1222 ⑧()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ二、 第二类换元法 1、三角代换例1、dx x a ⎰-22解：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C ax a a x a a x a C t a t a +-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin 22sin 42 C x a x a x a +-+=22221arcsin 21 例2、()()C axa x a x d x a dx +=-=-⎰⎰arcsin 1222解：令t a x sin =原式=⎰⎰+=+==C axC t dt t a tdt a arcsin cos cos 例3、⎰+22xa dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a 222sec ,sec ==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec())24(ln 22C a x x +++=例4、⎰+42x x dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt dx t x 22sec 2,sec 24==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec 例5、⎰-22ax dx解：令)csc (sec t a t a x 或=，则tdt t a dx t a a x tan sec ,tan 22==-原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=++==c aa x a x C t t tdt t a tdtt a 22ln tan sec ln sec tan tan sec ())25(ln 22C a x x +-+=例6、⎰-dx xx 92 解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==- 原式=()()⎰⎰⎰+-=-==⋅C t t t tdt tdt t tttan 31sec 3tan 3tan sec 3sec 3tan 322 C x x C x x +--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3arccos 393arccos 39322 小结：)(x f 中含有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-222222a x a x x a 可考虑用代换⎪⎩⎪⎨⎧===t a x t a x t a x sec tan sin2、无理代换例7、⎰++311x dx解：令dt t dx t x t x 2333,1,1=-==+则原式=()⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C t t t dt t t dt t t t dt t 1ln 231113111313222 ()()C x x x +++++-+=333211ln 313123 例8、()⎰+31xx dx解：令dt t dx t x t x 5666,,===则原式=()()⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+C t t dt t dt t t t t dt t arctan 611161616222235 ()C x x +-=66arctan 6例9、⎰+dx xxx 11解：令()22212,11,1--=-==+t tdtdx t x t x x 则原式=()()⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---C t t t dt t dt t t t tdt t t 11ln 212111212121222222C x x xx x x +++-+-+-=11ln 12 例10、⎰+xedx 1解：令()12,1ln ,122-=-==+t tdtdx t x t e x 则 原式⎰⎰+++-+=++-⋅=-=-⋅=C e e C t t t dt dt t t t x x 1111ln 11ln 21212121224、 倒代换例11、()⎰+46x x dx解：令()2676,4111,1tdtdx t t x x t x -=+=+=则 原式()()C x x C t t t d t dt t ++=++-=++-=+-=⎰⎰4ln 24114ln 2411414241416666666 ()C x x ++-=4ln 241ln 416§3、分部积分法分部积分公式：()()V U UV V U V U V U UV '-'=''+'=',()⎰⎰⎰'-'='Vdx U dx UV dx V U ，故⎰⎰-=VdU UV UdV（前后相乘）（前后交换）例1、⎰xdx x cos⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos sin sin sin sin例2、⎰dx xe x⎰⎰+-=-==C e xe dx e xe xde x x x x x例3、⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=C x x x dx xx x x x xd x x ln 1ln ln ln或解：令t e x t x ==,ln原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==⎰⎰ln 例4、⎰xdx arcsin()⎰⎰⎰+-+=--+=--=-=C x x x x xd x x dx xx x x x xd x x 22221arcsin 1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin或解：令t x t x sin ,arcsin ==原式C x x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==⎰⎰21arcsin cos sin sin sin sin 例5、⎰xdx e x sin()⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==xdxe x x e x d e x e x e xde x e xdx e x e xde xxxxxxx x x x sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin故()C x x e xdx e xx +-=⎰cos sin 21sin 例6、⎰dx xx2cos C x x x xdx x x x xd +-=-==⎰⎰sec ln tan tan tan tan例7、()⎰++dx x x 21ln()()()Cx x x x dxxx x x x dx x x x xx xx x ++-++=+-++=++++⋅-++=⎰⎰222222211ln 11ln 1111ln§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R m m m m n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。

不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。

Ch4、不定积分§1、不定积分的概念与性质1、 原函数与不定积分定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。

① 连续函数一定有原函数；② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()(''x f x F C x F ==+③ 的任意两个原函数仅相差一个常数。

事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。

定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，⎰-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。

显然C x F dx x f +=⎰)()(例1、 求下列函数的不定积分①⎰+=C kx kdx②⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++=+1ln 1111μμμμμC x C x dx x2、 基本积分表（共24个基本积分公式）3、 不定积分的性质①[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②⎰⎰≠=)0()()(k dxx f k dx x kf例2、 求下列不定积分①⎰⎰+-=++-==+--C x C x dx x x dx 11)2(11)2(22②⎰⎰+=++-==+--C x C x dx x xdx 21)21(11)21(21③⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522⑤()⎰⎰⎰++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2⑥⎰⎰⎰⎰++-=+=+=C x x xdx xdx dx xx x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 22222222⑦()⎰⎰+--=-=C x x dx x dx x cot1csc cot 22§2、不定积分的换元法一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d adx b ax d b ax f a dx b ax f +=++=+⎰⎰1,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +-===⎰⎰⎰)5cos(51sin 51555sin 515sin②()()()()⎰⎰+--=+-+⋅-=---=-+C x C x x d x dx x 81777211612117121)21(212121 ③()())20(arctan 111222Ca x a a x a x d a x a dx +⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+⎰⎰④()())23(arcsin 1222Ca x a x a x d xa dx +⎪⎭⎫⎝⎛=-=-⎰⎰2、()()nn n n n n dx dx x dx x f ndx x x f ==--⎰⎰11,1即 例2、求不定积分①()()()()C x C x x d x dx x x +--=+-+⋅-=---=-+⎰⎰232121221221221311112111211②()C e x d e dx e x x x x +-=--=---⎰⎰333323131 ③⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x d dx x C x x d x dx x x 111sin 11cos 1cos 122 ④⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==x d dx x Cx x d x dx xx 21sin 2cos 2cos3、,tan sec ,sin cos ,cos sin ,,ln 12x d xdx x d xdx x d xdx de dx e x d dx xx x ==-===,,arcsin 11,arctan 11,sec tan sec 222222x a d dx x a xx d dx x x d dx x x d xdx x ±±=±=-=+=例3、 求不定积分①⎰⎰⎰+=+-=-==)16(sec ln cos ln cos cos cos sin tan Cx C x x xd dx x x xdx ②⎰⎰⎰+-=+===)17(cos ln sin lnsin cos cot Cx C x xd dx x xdx⑤()⎰⎰+==C x xdx x x ln ln ln ln⑥()()()⎰⎰++=++=+C x x x d x x dx 1tan ln 1tan 1tan tan 1cos 2 ⑦()()⎰⎰++=++=+C e ee d dx e e x xxx x 1ln 111 ⑧()()⎰⎰++-=+-+=+C e x ee e e dx xx x x x 1ln 111 ⑨()⎰⎰+=+=+C e e de dx e e xx x x x arctan 1122 ⑩()C e x d e dx e xx x x x +-=+--=++-+-+-⎰⎰2122121211例4、求不定积分①⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-a x a x d a x a x d a dx a x a x a a x dx )()(21112122 )22)(21(ln 1C ax +-=④()C x x x xd x dx xdx +-=⋅-==⎰⎰⎰2sin 412122cos 22221sin 2⑤()⎰⎰+--=+=C x x dx x x xdx x 2cos 418cos 1612sin 8sin 213cos 5sin⑥⎰⎰⎰⎰+====C x x x d x x x d x xdx dx x x sin ln ln sin ln sin ln sin ln sin sin sin ln sin cos sin ln cot⑦C x x xx d xdx dx x x x dx +-=+=-=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos sec cos sin 1sin 1222 ⑧()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+44csc 214sin 2sin cos πππx d x x dx x x dx C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4cot 4csc ln 21ππ二、 第二类换元法 1、三角代换例1、dx x a ⎰-22解：令)cos (sin t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a cos ,cos 22==-原式=()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=+=⋅t td dt a dt t a tdt a t a 22cos 21222cos 1cos cos 22C ax a a x a a x a C t a t a +-⋅⋅⋅+=++=22222224arcsin 22sin 42 C x a x a x a +-+=22221arcsin 21 例2、()()C axa x a x d x a dx +=-=-⎰⎰arcsin 1222解：令t a x sin =原式=⎰⎰+=+==C axC t dt t a tdt a arcsin cos cos例3、⎰+22xa dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt a dx t a x a 222sec ,sec ==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec ())24(ln 22C a x x +++=例4、⎰+42x x dx解：令)cot (tan t a t a x 或=，则tdt dx t x 22sec 2,sec 24==+原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==C a x a a x C t t tdt t a tdta 222ln tan sec ln sec sec sec 例5、⎰-22ax dx解：令)csc (sec t a t a x 或=，则tdt t a dx t a a x tan sec ,tan 22==-原式=()⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++==c aa x a x C t t tdt t a tdtt a 22ln tan sec ln sec tan tan sec ())25(ln 22C a x x +-+=例6、⎰-dx xx 92 解：令t a x sec =，则tdt t dx t x tan sec 3,tan 392==- 原式=()()⎰⎰⎰+-=-==⋅C t t t tdt tdt t tttan 31sec 3tan 3tan sec 3sec 3tan 322 C x x C x x +--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3arccos 393arccos 39322 小结：)(x f 中含有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-222222a x a x x a 可考虑用代换⎪⎩⎪⎨⎧===t a x t a x t a x sec tan sin2、无理代换例7、⎰++311x dx解：令dt t dx t x t x 2333,1,1=-==+则原式=()⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=+C t t t dt t t dt t t t dt t 1ln 231113111313222 ()()C x x x +++++-+=333211ln 313123 例8、()⎰+31xx dx解：令dt t dx t x t x 5666,,===则原式=()()⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+C t t dt t dt t t t t dt t arctan 611161616222235 ()C x x +-=66arctan 6例9、⎰+dx xxx 11解：令()22212,11,1--=-==+t tdtdx t x t x x 则原式=()()⎰⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---C t t t dt t dt t t t tdtt t 11ln 212111212121222222 C x x xx x x +++-+-+-=11ln 12例10、⎰+xedx 1解：令()12,1ln ,122-=-==+t tdtdx t x t e x 则 原式⎰⎰+++-+=++-⋅=-=-⋅=C e e C t t t dt dt t t t x x 1111ln 11ln 21212121224、 倒代换例11、()⎰+46x x dx解：令()2676,4111,1tdtdx t t x x t x -=+=+=则 原式()()C x x C t t t d t dt t ++=++-=++-=+-=⎰⎰4ln 24114ln 2411414241416666666 ()C x x ++-=4ln 241ln 416§3、分部积分法分部积分公式：()()V U UV V U V U V U UV '-'=''+'=',()⎰⎰⎰'-'='Vdx U dx UV dx V U ，故⎰⎰-=VdU UV UdV（前后相乘）（前后交换）例1、⎰xdx x cos⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos sin sin sin sin 例2、⎰dx xe x⎰⎰+-=-==C e xe dx e xe xde x x x x x例3、⎰xdx ln ⎰⎰+-=⋅-=-=C x x x dx xx x x x xd x x ln 1ln ln ln或解：令t e x t x ==,ln原式C x x x C e te dt e te tde t t t t t +-=+-=-==⎰⎰ln 例4、⎰xdx arcsin()⎰⎰⎰+-+=--+=--=-=C x x x xx d x x dxxx x x x xd x x 22221arcsin 1121arcsin 1arcsin arcsin arcsin或解：令t x t x sin ,arcsin ==原式C x x x C t t t tdt t t t td +-+=++=-==⎰⎰21arcsin cos sin sin sin sin 例5、⎰xdx e x sin()⎰⎰⎰⎰⎰--=+-=-=-==xdxe x x e x d e x e x e xde x e xdx e x e xde xxxxxxx x x x sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin故()C x x e xdx e xx +-=⎰cos sin 21sin 例6、⎰dx xx2cos C x x x xdx x x x xd +-=-==⎰⎰sec ln tan tan tan tan 例7、()⎰++dx x x 21ln()()()Cx x x x dxxx x x x dx xx x xx x x x ++-++=+-++=++++⋅-++=⎰⎰222222211ln 11ln 1111ln§4、两种典型积分一、有理函数的积分有理函数01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R m m m m n n n n ++++++++==---- 可用待定系数法化为部分分式，然后积分。

不定积分的解法汇总
不定积分，也叫原函数，是求函数的积分过程的逆过程。

在求解不定积分时，我们需要找到一个函数，它的导数等于给定的函数。

本篇文章将对不定积分的常用解法进行汇总。

1. 幂函数的不定积分
对于幂函数f(x)=ax^n，其中a是常数，n是实数，我们有如下的不定积分公式：
若n≠-1，则∫f(x)dx = (ax^(n+1)) / (n+1) + C，其中C是常数。

若n=-1，则∫f(x)dx = alnx + C，其中C是常数。

4. 一些特殊函数的不定积分
除了幂函数、三角函数、指数函数和对数函数外，还有一些特殊函数的不定积分也是常见的。

以下是其中的几个例子：
若∫cotxdx，则结果为ln|sinx| + C，其中C是常数。

若∫csc^2xdx，则结果为-cotx + C，其中C是常数。

5. 分部积分法
对于一些复杂的函数积分，可以使用分部积分法来化简问题。

分部积分法的公式为：
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx，其中u(x)和v(x)是函数。

6. 替换法
在一些复杂的函数积分中，可以通过适当的变量替换来简化问题。

对于
∫f(g(x))g'(x)dx这样的不定积分，我们可以令u=g(x)，从而将问题转化为∫f(u)du的形式。

8. 分式分解法
对于一些有理函数的不定积分，可以通过分式分解来化简问题。

对于
∫(x^2+x+1)/(x+1)(x-1)dx这样的不定积分，我们可以将它分解为∫(A/(x+1) +
B/(x-1))dx的形式，然后再进行求解。