八年级上册数学竞赛试题(几何证明)

初二几何竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是直角三角形的判定条件？A. 两边之和大于第三边B. 两边之差小于第三边C. 两边之和等于第三边D. 两边之和小于第三边答案：A2. 一个等腰三角形的底角是40°，那么顶角是多少度？A. 100°B. 80°C. 60°D. 120°答案：A3. 如果一个三角形的三个内角都是60°，那么这个三角形是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形答案：B4. 一个圆的半径是5cm，那么它的周长是多少厘米？A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π答案：C5. 一个矩形的长是宽的两倍，如果宽是3cm，那么矩形的面积是多少平方厘米？A. 9B. 12C. 18D. 24答案：C6. 下列哪个选项是平行四边形的性质？A. 对角线相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对边互相垂直答案：B7. 一个正方形的对角线长度是5cm，那么它的边长是多少厘米？A. 2.5B. 3.5C. 4D. 5答案：C8. 一个圆的直径是10cm，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：C9. 一个等腰梯形的上底是6cm，下底是10cm，高是4cm，那么它的面积是多少平方厘米？A. 12B. 24C. 36D. 48答案：B10. 如果一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，那么第三边的长度可能是：A. 1cmB. 2cmC. 5cmD. 7cm答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个直角三角形的两条直角边长分别是3cm和4cm，那么斜边的长度是_________cm。

答案：52. 一个等腰三角形的顶角是30°，那么它的底角是_________°。

答案：753. 一个圆的半径是7cm，那么它的面积是_________平方厘米。

初中数学竞赛：2分钟搞定这道几何证明题
如图，在凸五边形ABCDE中，AB=AC，AD=AE，
∠CAD=∠ABE+∠AEB，M为BE的中点，证明：CD=2AM；
题目如上，根据条件可知该图形相当于两个等腰三角形绕着一个共同的顶点旋转而成，那么∠CAD等于两个角的和，这个条件有什么用呢？而且M 这个中点又能做什么，这两个就是同学们需要解决的思路切入问题。

废话不多说，直接上过程：
如图，延长EA至F，使EA=AF，并连接BF，
那么点A就是EF的中点，而M为EB的中点，所以AM就是中位线，所以BF=2AM，现在有2倍关系了，不过是BF不是CD，
所以接下来就需要将BF转换为CD，
很明显，后面的就是全等了，
只需要证明△ADC≌△FAB即可，
那么BF=CD，
所以就得到CD=2AM了；
整道题的过程只能写得稍快一些，2分钟绝对够了。

有些同学可能会说思考这道题的方法估计就得20分钟，虽说看完这道题挺简单，但是实际解题过程中怎么能想到这么解呢？
这就需要大家平时自己去琢磨了，就好比大家在学校上课，
有些同学学的是老师的本领，有些同学学的是黑板上的知识，而有些同学学的仅仅是一份答案，所以个人的选择不同，得到的收获就会不同。

这一点往往体现在两个看似程度差不多的同学，其中一个的解题速度却超出另一个同学很多，虽说最后的结果或成绩差别不大，但是别人只需要一半的时间却能做到你整段时间的任务量，其实这个时候你已经失败了。

每当老师思考一道题超过几分钟的时候，就会深深觉得能力还是太低了，迫切需要提升，所以，只有不断进步，才能超越自我。

八年级上册数学奥数题几何一、题目。

在等腰直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，AC = BC = 4，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥ DF。

1. 求证：DE = DF；2. 当AE = 1时，求四边形CEDF的面积。

二、解析。

1. 证明DE = DF连接CD。

因为△ ABC是等腰直角三角形，∠ ACB = 90^∘，AC = BC = 4，点D是斜边AB的中点，根据等腰直角三角形三线合一的性质，可得CD = AD=BD，∠ A=∠ B = 45^∘，∠ ACD=∠ BCD = 45^∘，CD⊥ AB，即∠ ADC=∠ BDC = 90^∘。

因为∠ EDF = 90^∘，所以∠ EDC+∠ CDF=∠ FDB+∠ CDF = 90^∘，则∠EDC=∠ FDB。

在△ ADE和△ BDF中，<=ft{begin{array}{l}∠ A=∠ B AD = BD ∠ ADE=∠BDFend{array}right.，所以△ ADE≅△ BDF(ASA)，所以DE = DF。

2. 求四边形CEDF的面积。

因为△ ADE≅△ BDF，所以四边形CEDF的面积等于△ ACD的面积。

因为AC = BC = 4，根据等腰直角三角形的性质，AB=√(AC^2)+BC^{2}=√(4^2)+4^{2} = 4√(2)，则CD=(1)/(2)AB = 2√(2)。

S_△ ACD=(1)/(2)S_△ ABC，S_△ ABC=(1)/(2)× AC× BC=(1)/(2)×4×4 = 8，所以S_△ ACD=(1)/(2)×8 = 4，即四边形CEDF的面积为4。

数学初中竞赛大题训练：几何专题1．阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆．（1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°；（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长；（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，故答案为：55°；（2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示：∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB，∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°，∴∠AFD＝135°，∵BE⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°，∴∠AFD＝∠DBE，∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°，∴∠FAD＝∠BDE，在△ADF和△DEB中，，∴△ADF≌△DEB（ASA），∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD＝2；（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°，∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°，∴△ABK是等边三角形，∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点，∴KM＝AK•sin60°＝2，∵AE＝3，AM＝AB＝2，∴ME＝3﹣2＝1，∴EK＝＝＝，∴EF＝＝＝．2．问题再现：如图1：△ABC 中，AF 为BC 边上的中线，则S △ABF ＝S △ACP ＝S △ABC由这个结论解答下列问题：问题解决：问题1：如图2，△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，BE 为AC 边上的中线，则S △BOC ＝S 四边形ADOE ．分析：△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，则S △BCD ＝S △ABC ，BE 为AC 边上的中线，则S △ABE ＝S △ABC∴S △BCD ＝S △ABE∴S △BCD ﹣S △BOD ＝S △ABE ﹣S △BOD又∵S △BOC ＝S △BCD ﹣S △BOD ，S 四边形ADOE ＝S △ABE ﹣S △BOD即S △BOC ＝S 四边形ADOE问题2：如图3，△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，BE 为AC 边上的中线，AF 为BC 边上的中线．（1）S △BOD ＝S △COE 吗？请说明理由．（2）请直接写出△BOD 的面积与△ABC 的面积之间的数量关系：S △BOD ＝S △ABC ．问题拓广：（1）如图4，E 、F 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系：S 阴＝ S 四边形ABCD ． （2）如图5，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系：S 阴＝ S 四边形ABCD ．（3）如图6，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点，若S △AME ＝1、S △BNG ＝1.5、S △CQF ＝2、S △DPH ＝2.5，则S 阴＝ 7 ．解：问题2：S △BOD ＝S △COE 成立，理由：∵△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，∴S △BCD ＝S △ABC ，∵BE 为AC 边上的中线，∴S △CBE ＝S △ABC∴S △BCD ＝S △CBE∵S △BCD ＝S △BOD +S △BOC ，S △CBE ＝S △COE +S △BOC∴S △BOD ＝S △COE（2）由（1）有S △BOD ＝S △COE ，同（1）方法得，S △BOD ＝S △AOD ，S △COE ＝S △AOE ，S △BOF ＝S △COF ，∴S △BOD ＝S △COE ＝S △AOE ＝S △AOD ，∵点O 是三角形三条中线的交点，∴OA ＝2OF ，∴S △AOC ＝2S △COF ＝S △AOE +S △COE ＝2S △COE ，∴S △COF ＝S △COE ，∴S △BOD ＝S △COE ＝S △AOE ＝S △AOD ＝S △BOF ＝S △COF ，∴S △BOD ＝S △ABC ，故答案为问题拓广：（1）如图4：连接BD，由问题再现：S△BDE ＝S△ABD，S△BDF ＝S△BCD，∴S阴影＝S四边形ABCD，故答案为，（2）如图5：连接BD，由问题解决：S△BMD ＝S△ABD，S△BDN＝S△BCD，∴S阴影＝S四边形ABCD，故答案为；（3）如图6，设四边形的空白区域分别为a，b，c，d，∵S△AME ＝1、S△BNG＝1.5、S△CQF＝2、S△DPH＝2.5，由（1）得出：a+1+2.5＝a+3.5＝S△ACD①，c+1.5+2＝c+3.5＝S△ACB②，b +1+1.5＝b +2.5＝S △ABD ③，d +2+2.5＝d +4.5＝S △BCD ④，①+②+③+④得，a +3.5+c +3.5+b +2.5+d +4.5＝a +b +c +d +14＝S 四边形ABCD ⑤而S 四边形ABCD ＝a +b +c +d +7+S 阴影⑥∴S 阴影＝7，故答案为7．3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，内切圆⊙I 与边BC 切于点D ，AD 与⊙I 的另一个交点为E ，⊙I 的切线EP 与BC 的延长线交于点P ，CF ∥PE 且与AD 交于点F ，直线BF 与⊙I 交于点M 、N ，M 在线段BF 上，线段PM 与⊙I 交于另一点Q ．证明：∠ENP ＝∠ENQ ．证明：如图，设⊙I 与AC 、AB 分别切于点S 、T ，连接ST 、AI 、IT ，设ST 与AI 交于点G ．则IE ⊥PE ，ID ⊥PD ，故I 、E 、P 、D 四点共圆，∵AS 2＝AE •AD ＝AG •AI ，∵∠EAG ＝∠DAI ，∴△AEG ∽△AID ，∴∠AGE＝∠AID，∴E，G，D，I四点共圆，∴I、G、E、P、D五点共圆，∴∠IGP＝∠IEP＝90°，即IG⊥PG，∴P、S、T三点共线，对直线PST截△ABC，由梅涅劳斯定理知，∵AS＝AT，CS＝CD，BT＝BD，∴，设BN的延长线与PE交于点H，对直线BFH截△PDE，由梅涅劳斯定理知，∵CF∥BE，∴，∴，∴PH＝HE，∴PH2＝HE2＝HM•HN，∴，∴△PHN∽△MHP，∴∠HPN＝∠HMP＝∠NEQ，∵∠PEN＝∠EQN，∴∠ENP＝∠ENQ．4．如图，△ABC的垂心为H，AD⊥BC于D，点E在△ABC的外接圆上，且满足，直线ED交外接圆于点M．求证：∠AMH＝90°．证明：作高BP，CQ．连结MB、MC、MP、MQ、PQ．＝＝＝•①＝•＝•②由①②得：＝，又∵∠MBA＝∠MCA，∴△MBQ∽△MCP，∴点M、A、P、Q四点共圆，即点M、A、P、Q、H五点共圆，又AH为直径，∴∠AMH＝90°．5．如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD 和AC交于点N．求证：OH⊥MN．证明：∵A 、C 、D 、F 四点共圆，∴∠BDF ＝∠BAC又∵∠OBC ＝（180°﹣∠BOC ）＝90°﹣∠BAC ，∴OB ⊥DF ．∵CF ⊥MA ，∴MC 2﹣MH 2＝AC 2﹣AH 2（①）∵BE ⊥NA ，∴NB 2﹣NH 2＝AB 2﹣AH 2 （②）∵DA ⊥BC ，∴BD 2﹣CD 2＝BA 2﹣AC 2 （③）∵OB ⊥DF ，∴BN 2﹣BD 2＝ON 2﹣OD 2 （④）∵OC ⊥DE ，∴CM 2﹣CD 2＝OM 2﹣OD 2，①﹣②+③+④﹣⑤，得NH 2﹣MH 2＝ON 2﹣OM 2 MO 2﹣MH 2＝NO 2﹣NH 2∴OH ⊥MN ．6．在图1到图4中，已知△ABC 的面积为m ．（1）如图1，延长△ABC 的边BC 到点D 使CD ＝BC ，连接DA ，若△ACD 的面积为S 1，则S 1＝ m ．（用含m 的式子表示）（2）如图2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD ＝BC ，AE ＝CA ，连接DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2＝ 2m ．（用含a 的代数式表示）（3）如图3，在图2的基础上延长AB 到点F ，使BF ＝AB ，连接FD 于E ，得到△DEF ，若阴影部分的面积为S 3，则S 3＝ 6m ．（用含a 的代数式表示）（4）可以发现将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF ，如图3，此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 7 倍．（5）应用上面的结论解答下面问题：去年在面积为15平方面的△ABC 空地上栽种了各种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC 内外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH ，如图4，求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？解：（1）∵CD ＝BC ，∴△ABC 和△ACD 的面积相等（等底同高），故得出结论S 1＝m ．（2）连接AD ，，∵AE ＝CA ，∴△DEC 的面积S 2为△ACD 的面积S 1的2倍，故得出结论S 2＝2m ．（3）结合（1）（2）得出阴影部分的面积为△DEC 面积的3倍， 故得出结论则S 3＝6m ．（4）S △DEF ＝S 阴影+S △ABC＝S 3+S △ABC＝6m +m＝7m＝7S △ABC故得出结论扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的7倍．（5）根据（4）结论可得两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为（7×7﹣1）×15＝720（平方米），答：求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为720平方米． 7．（1）如图①，AD 是△ABC 的中线，△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）若三角形的面积记为S ，例如：△ABC 的面积记为S △ABC ，如图②，已知S △ABC ＝1，△ABC 的中线AD 、CE 相交于点O ，求四边形BDOE 的面积．小华利用（1）的结论，解决了上述问题，解法如下：连接BO ，设S △BEO ＝x ，S △BDO ＝y ，由（1）结论可得：S，S △BCO ＝2S △BDO ＝2y ，S △BAO ＝2S △BEO ＝2x ． 则有，即．所以．请仿照上面的方法，解决下列问题： ①如图③，已知S △ABC ＝1，D 、E 是BC 边上的三等分点，F 、G 是AB 边上的三等分点，AD 、CF 交于点O ，求四边形BDOF 的面积．②如图④，已知S △ABC ＝1，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，G 、H 、I 是AB 边上的四等分点，AD 、CG 交于点O ，则四边形BDOG 的面积为 ．解：（1）S △ABD ＝S △ACD ．∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，又∵△ABD 与△ACD 高相等，∴S △ABD ＝S △ACD ．（2）①如图3，连接BO ，设S △BFO ＝x ，S △BDO ＝y ，S △BCF ＝S △ABD ＝S △ABC ＝S △BCO ＝3S △BDO ＝3y ，S △BAO ＝3S △BFO ＝3x ．则有，即，所以x +y ＝，即四边形BDOF 的面积为；②如图，连接BO ，设S △BDO ＝x ，S △BGO ＝y ，S△BCG ＝S△ABD＝S△ABC＝，S△BCO ＝4S△BDO＝4x，S△BAO ＝4S△BGO＝4y．则有，即，所以x+y＝，即四边形BDOG的面积为，故答案为：．8．我们初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式．【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：13+23＝32？【解决问题】A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝32【递进探究】请仿用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33＝62．要求：自己构造图形并写出详细的解题过程．【推广探究】请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝．（参考公式：）注意：只需填空并画出图形即可，不必写出解题过程．【提炼运用】如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，如图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0个看不见；如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1个看不见；如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8个看不见；求：从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数．解：【递进探究】如图，A表示一个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B、C、D表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，E、F、G表示3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形，边长为：1+2+3＝6，，∵S A+S B+S C+S D+S E+S F+S G＝S大正方形∴13+23+33＝62；【推广探究】由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，又∵1+2+3+…+n＝，∴13+23+33+…+n3＝（）2＝．【提炼运用】图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0＝（1﹣1）3个看不见；如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1＝（2﹣1）3个看不见；如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8＝（3﹣1）3个看不见；…，从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为：（1﹣1）3+（2﹣1）3+（3﹣1）3+…+（101﹣1）3＝03+13+23+…+1003＝50502＝25502500．故一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为25502500．故答案为：62；．9．问题引入：如图，在△ABC中，D是BC上一点，AE＝AD，求：尝试探究：过点A作BC的垂线，垂足为F，过点E作BC的垂线，垂足为G，如图所示，有＝，＝，．类比延伸：若E为AD上的任一点，如图所示，试猜S四边形ABEC 与S△ABC的比是图中哪条线段的比，并加以证明．拓展应用：如图，E为△ABC内一点，射线AE于BC于点D，射线BE交AC于点F，射线CE交AB于点G，求的值．解：问题引入：∵在△ABC中，D是BC上一点，AE＝AD，∴，，∴＝＝；尝试探究：∵AE＝AD，∴＝，∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AF∥EG，∴△EDG∽△ADB，∴＝；∵＝＝＝，∴＝1﹣＝；故答案为：，，；类比延伸：＝，∵E为AD上的一点，∴＝，＝，∴＝＝；拓展应用：∵＝＝，同理：＝，＝，∴＝＝2．10．如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC＝MD，分别过点C、D作边BC、AD 的垂线，设两条垂线的交点为P，过点P作PQ⊥AB于Q，求证：∠PQC＝∠PQD．证明：连接AP、BP，取AP的中点E，取BP的中点F，连接DE、ME、QE、CF、QF、MF，如图．∵E为AP的中点，F为BP的中点，M为AB的中点，∴EM∥BP，EM＝BP，MF∥AP，MF＝AP．∵E为AP的中点，F为BP的中点，∠ADP＝∠BCP＝90°，∴DE＝AE＝EP＝AP，FC＝PF＝BF＝BP，∴DE＝MF，EM＝FC．在△DEM和△MFC中，，∴△DEM≌△MFC（SSS），∴∠DEM＝∠MFC．∵EM∥BP，MF∥AP，∴四边形PEMF是平行四边形，∴∠PEM＝∠PFM．又∵∠DEM＝∠MFC，∴∠DEP＝∠CFP．∵DE＝AE，FC＝BF，∴∠DAE＝∠ADE＝∠DEP，∠FBC＝∠FCB＝∠CFP，∴∠DAE＝∠FBC，即∠DAP＝∠PBC．∵∠ADP＝∠AQP＝90°，E为AP中点，∴ED＝EA＝EQ＝EP＝AP，∴D、A、Q、P四点共圆，∴∠PQD＝∠DAP．同理可得：∠PQC＝∠PBC，∴∠PQD＝∠PQC．11．如图：D是以AB为直径的圆O上任意一点，且不与点A、B重合，点C是弧BD的中点，作CE∥AB，交AD或其延长线于E，连接BE交AC与G，AE＝CE，过C作CM⊥AD交AD延长线于点M，MC与⊙O相切，CE＝7，CD＝6，求EG的长．解：连接OC，如图．∵MC与⊙O相切，∴OC⊥MC．∵CM⊥AD，∴OC∥AM．∵CE∥AB，∴四边形AOCE是平行四边形，∴OA＝CE＝7，∴AB＝14．∵点C是弧BD的中点，∴BC＝CD＝6．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝4．∵CE∥AB，∴△CGE∽△AGB，∴＝＝＝，∴AG＝AC＝．在Rt△ACB中，cos∠BAC＝＝＝．∵点C是弧BD的中点，∴∠BAC＝∠CAD，即∠BAC＝∠EAG，∴cos∠EAG＝．在△EAG中，cos∠EAG＝．∴＝．∵AG＝，AE＝CE＝7，∴＝．整理得：GE2＝．∵GE＞0，∴GE＝．∴EG的长为．12．如图，圆内接四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于E，AD、BC延长线交于F，EF中点为G，AG与圆交于K．求证：C、E、F、K四点共圆．证明：延长AG到H，使得GH＝AG，连接EH、FH、CK，如图所示．∵GH＝AG，EG＝FG，∴四边形AEHF是平行四边形，∴∠EAG＝∠GHF，∠GAF＝∠GHE．∵A、B、C、K四点共圆，∴∠KCF＝∠EAG，∴∠KCF＝∠GHF，∴K、C、H、F四点共圆．∵K、C、A、D四点共圆，∴∠KCD＝∠KAF，∴∠KCD＝∠GHE，∴K、C、E、H四点共圆，∴K、C、E、H、F五点共圆，∴C、E、F、K四点共圆．13．在半圆O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线于M（MB＜MA，AC＜MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO＝90°．证明：连接CK，BK，BC，如图所示．∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠ABC＝90°．∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BDC＝∠BAC．∵A、O、C、K四点共圆，∴∠CKO＝∠OAC．∵D、O、B、K四点共圆，∴∠BKO＝∠BDO．∴∠BKC＝∠BKO﹣∠CKO＝∠BDO﹣∠OAC．∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠BDO．∴∠BMC＝∠ABD﹣∠BDC＝∠BDO﹣∠BAC＝∠BKC．∴B、C、K、M四点共圆．∴∠ABC＝∠MKC．∴∠MKO＝∠MKC+∠CKO＝∠ABC+∠OAC＝90°．14．已知，在△ABC中，AC＞AB，BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于E，与BC相交点D，DE与AC相交于点F．（1）如图1，当∠ABC＝3∠ACB时，求证：AB＝AE；（2）如图2，当∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACB，过点D作AC的垂线，垂足为点H，并延是点D关于直线AC的对长DH交射线AE于点M，过点E作BP的垂线，垂足为点G，点D1称点，试探究AG和MD之间的数量关系，并证明你的结论．1解：（1）证明：连接BF，如图1．设∠A CB＝x，则∠ABC＝3x，∵FD垂直平分BC，∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB＝x，∴∠ABF＝∠AFB＝2x，∴AB＝AF，∠PAC＝4x．∵AE平分∠PAC，∴∠EAC＝2x．∵∠AFE＝∠DFC＝90°﹣x，∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝180°﹣2x﹣（90°﹣x）＝90°﹣x，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴AB＝AE．．（2）AG＝MD1证明：作EN⊥AC于N，取EC中点O，、NM、MC、MO、NO、EB、EC，如图2．连接AD1∵AE平分∠PAC，EN⊥AC，EG⊥AP，∴EG＝EN，∠EGA＝∠ENA＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠EGA＝∠ENA＝∠BAC＝90°，∴四边形EGAN是矩形．∵EG＝EN，∴矩形EGAN是正方形，∴AG＝AN，∠EAN＝45°，∠GEN＝90°．∵ED垂直平分BC，∴EB＝EC．在Rt△BEG和Rt△CEN中，，∴Rt△BEG≌Rt△CEN（HL），∴∠GBE＝∠NCE，∠GEB＝∠NEC，∴∠GEN＝∠BEC＝90°∵EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝45°．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACB，∴∠ABC＝60°，∠ACB＝30°，∴∠ABE＝∠ACE＝15°．∵∠BAC＝90°，点D为BC中点，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝30°．∵点D与点D关于AC对称，1AC＝∠DAC＝30°，∴∠D1＝45°﹣30°＝15°．∴∠MAD1∵DA＝DC，DM⊥AC，∴DM垂直平分AC，∴MA＝MC，∴∠CMH＝∠AMH＝90°﹣45°＝45°，∴∠AMC＝90°，∴∠ENC＝∠AMC＝90°．∵点O为EC中点，∴ON＝OM＝OE＝OC＝EC，∴E、N、C、M四点共圆，∴∠EMN＝∠ECN＝15°，∴∠MAD＝∠EMN＝15°，1中，在△AMN和△MAD1，，∴△AMN≌△MAD1，∴AN＝MD1．∴AG＝MD115．在平面直角坐标系中，已知A（2，2），AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C．（1）如图1，E为线段OB上一点，连接AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，求DG+EF的值；（2）如图2，D为x轴上一点，AC＝CD，E为线段OB上一动点，连接DA、CE、F是线段CE的中点，若BF⊥FK交AD于K，请问∠KBF的大小是否变化？若不变，求其值；若改变，求其变化范围．解：（1）∵AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，∴∠ABO＝∠ACO＝90°．∵∠BOC＝90°，∴四边形ABOC是正方形，∴AB＝AC＝BO＝CO＝2，OA平分∠BOC，∠BAC＝90°．∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF．在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，BE＝CF．设BE＝CF＝t，OE＝2﹣t，OF＝2+t．∵ED平分∠OEF，∴点D是△OEF的内心．如图1，作DM⊥OB于M，作DH⊥OF于H，且DG⊥EF于G，∴DG＝DM＝DH，∴四边形MOHD是正方形，∴MO＝HO＝DM＝DG．设DG＝MO＝x，∴x＝，∴x＝，∴EF＝4﹣2x，∴WF＝2﹣x．∴DG+EF＝x+2﹣x＝2．即DG+EF的值为2；（2）∠KBF的大小不变，∠KBF＝45°如图2，延长BF交AC于G，连接KG，作KM⊥AB于M，KN⊥AC于N，∵四边形ABOC是正方形，∴O B∥AC．∴∠EBF＝∠CGF，∠BEF＝∠GCF．∵F是CE的中点，∴EF＝CF．在△BEF和△GCF中，，∴△BEF≌△GCF（AAS），∴BF＝GF．∵BF⊥FK，∴∠BFK＝∠GFK＝90°．在△BFK和△GFK中，，∴△BFK≌△GFK（SAS）∴BK＝GK．∵AC＝CD，∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．∵KN⊥AC，∴∠ANK＝90°，∴∠AKN＝45°，∴AN＝KN．∵KM⊥AB，∴四边形AMKN是正方形，∴KM＝KN．∠M＝∠GNK＝90°AM∥KN．在Rt△BKM和Rt△GKN中，，∴Rt△BKM≌Rt△GKN（HL），∴∠MBK＝∠NGK．∠GKN＝∠BKM．∵AM∥KN，∴∠BKN＝∠MBK．∵∠BKM+∠BKN＝90°，∴∠GKN+∠BKN＝90°，即∠BKG＝90°．∵BK＝GK，∴△BKG是等腰直角三角形．∴∠KBF＝45°，∴∠KBF的大小不变，∠KBF＝45°．16．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，直线MN⊥AB于A，且分别与⊙O1，⊙O2交于M、N，P为线段MN的中点，又∠AO1Q1＝∠AO2Q2，求证：PQ1＝PQ2．解：连接MQ1、BQ1、BQ2、NQ2，过点P作PH⊥Q1B于H，如图所示．则由圆内接四边形的性质可得：∠Q1MA+∠ABQ1＝180°，∠ABQ2+∠ANQ2＝180°，∠MAB＝∠BQ2N．由圆周角定理可得：∠ABQ 1＝∠AO 1Q 1，∠ANQ 2＝∠AO 2Q 2． ∵∠AO 1Q 1＝∠AO 2Q 2，∴∠ABQ 1＝∠ANQ 2，∴∠ABQ 2+∠ABQ 1＝∠ABQ 2+∠ANQ 2＝180°， ∴Q 1、B 、Q 2三点共线．由圆内接四边形的性质可得：∠ABQ 1＝∠ANQ 2， ∴∠Q 1MA +∠ANQ 2＝∠Q 1MA +∠ABQ 1＝180°， ∴MQ 1∥NQ 2．∵AB ⊥MN ，∴∠MAB ＝90°，∴∠Q 1Q 2N ＝∠MAB ＝90°．∵PH ⊥Q 1B ，即∠Q 1HP ＝90°，∴∠Q 1HP ＝∠Q 1Q 2N ，∴PH ∥NQ 2，∴MQ 1∥PH ∥NQ 2．∵P 为线段MN 的中点，∴H 为线段Q 1Q 2的中点，∴PH 垂直平分Q 1Q 2，∴PQ 1＝PQ 2．。

八年级上册几何证明题专项练习1．如图，△ ABC、△ CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ DCE=90°，点 E 在 AB 上．求证：△CDA≌△ CEB．2．如图， BD⊥ AC于点 D， CE⊥ AB于点 E， AD=AE．求证： BE=CD．3．如图，点B， E， C， F 在一条直线上，A B=DF， AC=DE，∠ A=∠ D．（1〕求证： AC∥ DE；（2〕假设 BF=13， EC=5，求 BC的长．4．如图：点 C 是 AE的中点，∠ A=∠ ECD， AB=CD，求证：∠ B=∠ D．5．如图，点 D 是 AB上一点， DF交 AC于点 E， DE=FE， FC∥AB 求证： AE=CE．6．如图， BE⊥ AC， CD⊥ AB，垂足分别为E， D，BE=CD．求证： AB=AC．7．如图，点A， B，C， D 在同一条直线上，CE∥ DF， EC=BD，AC=FD．求证： AE=FB．8．如图，在△ ABC中， AC=BC，∠ C=90°， D 是 AB的中点， DE⊥ DF，点 E， F 分别在 AC，BC 上，求证： DE=DF．9．如图，点A、 C、D、 B 四点共线，且AC=BD，∠ A=∠ B，∠ ADE=∠BCF，求证： DE=CF．10．如图，∠CAB=∠ DBA，∠ CBD=∠ DAC．求证： BC=AD．11．如图，点B、 E、 C、 F 在同一条直线上，AB=DE， AC=DF， BE=CF，求证： AB∥ DE．12．如图， AB∥ CD，E 是 CD上一点， BE交 AD于点 F， EF=BF．求证： AF=DF．13．△ ABN和△ ACM地址以以下图，AB=AC，AD=AE，∠ 1=∠ 2．（1〕求证： BD=CE；（2〕求证：∠ M=∠ N．14．如图，∠ ACB=90°， AC=BC， AD⊥CE， BE⊥CE，垂足分别为D，E．求证：△ ACD≌△ CBE．15．如图，四边形ABCD中， E 点在 AD上，∠ BAE=∠ BCE=90°，且 BC=CE， AB=DE．求证：△ ABC≌△ DEC．16．如图，在△ABC中， AB=CB，∠ ABC=90°， D为 AB延长线上一点，点E 在 BC边上，且BE=BD，连接 AE、 DE、 DC．①求证：△ ABE≌△ CBD；②假设∠ CAE=30°，求∠ BDC的度数．17．如图，在四边形ABCD中， AD∥ BC， E 为 CD的中点，连接AE、 BE， BE⊥AE，延长 AE交BC的延长线于点F．求证：（1〕 FC=AD；（2〕 AB=BC+AD．18．如图，在△ ABC中， DM、EN分别垂直均分 AC和 BC，交 AB 于 M、 N 两点， DM与 EN订交于点 F．（1〕假设△ CMN的周长为 15cm，求 AB 的长；（2〕假设∠ MFN=70°，求∠ MCN的度数．19．△ ABC中， AD是∠ BAC的均分线， AD的垂直均分线交BC的延长线于F．求证：∠ BAF=∠ ACF．20．以以下图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC， D 为 BC边上的中点， CE⊥ AD于点 E，BF∥ AC交 CE的延长线于点 F，求证： AB垂直均分 DF．21．如图：在△ ABC中，∠ C=90°， AD是∠ BAC的均分线， DE⊥ AB于 E，F 在 AC上，BD=DF；说明：（1〕 CF=EB．（2〕 AB=AF+2EB．22．如图，点 E 是∠ AOB的均分线上一点，EC⊥ OA， ED⊥ OB，垂足分别为C、 D．求证：〔 1〕∠ ECD=∠EDC；（2〕 OC=OD；（3〕 OE是线段 CD的垂直均分线．23．如图，四边形ABCD中，∠ B=90°， AB∥ CD，M为 BC边上的一点，且AM均分∠ BAD， DM 均分∠ ADC．求证：〔1〕 AM⊥ DM；〔2〕 M为 BC的中点．24．如图，在△ ABC中， AB=AC，AD是 BC边上的中线， BE⊥ AC于点 E．求证：∠ CBE=∠ BAD．25．如图，AB=AC=AD，且 AD∥ BC，求证：∠ C=2∠ D．26．如图，△ABC中， AB=AC， BD、 CE是高， BD与 CE订交于点O（1〕求证： OB=OC；（2〕假设∠ ABC=50°，求∠ BOC的度数．27．如图，在△ABC中， AB=AC，点 D、E、 F 分别在 AB、 BC、 AC边上，且BE=CF， BD=CE．（1〕求证：△ DEF是等腰三角形；（2〕当∠ A=40°时，求∠ DEF的度数．28．如图，在等边三角形 ABC中，点 D， E 分别在边 BC，AC上，且 DE∥ AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC的延长线于点 F．（1〕求∠ F 的度数；（2〕假设 CD=2，求 DF的长．29．图 1、图 2 中，点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM与△ CBN都是等边三角形．（1〕如图 1，线段 AN与线段 BM可否相等？证明你的结论；（2〕如图 2， AN与 MC交于点 E， BM与 CN交于点 F，研究△ CEF的形状，并证明你的结论．30．如图①，△A BC中， AB=AC，∠ B、∠ C 的均分线交于O点，过 O点作 EF∥ BC交 AB、 AC于 E、F．〔1〕图中有几个等腰三角形？猜想：EF 与 BE、CF 之间有怎样的关系，并说明原由．〔2〕如图②，假设 AB≠ AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？若是有，分别指出它们．在第〔 1〕问中 EF 与 BE、 CF 间的关系还存在吗？〔3〕如图③，假设△ ABC中∠ B 的均分线BO与三角形外角均分线CO交于 O，过 O点作 OE∥ BC交 AB于 E，交 AC于 F．这时图中还有等腰三角形吗？EF 与 BE、 CF关系又怎样？说明你的原由．。

八年级数学竞赛几何综合练习题一、典型例题例1（2005重庆）如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD,∠BDE ＝∠CDE ．求证：BD＝CD 。

例2（2005南充）如图2-4-1，⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点．（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长．例3.用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE 外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 的方程01)1(2=++--m x m x 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.A B C D EEB AC B A M CD M 图3 图4 图1 图2二、强化训练 练习一：填空题1.一个三角形的两条边长分别为9和2，第三边长为奇数，则第三边长为 .2.已知∠a=60°,∠AOB=3∠a,OC 是∠AOB 的平分线,则∠AOC = ___ ．3.直角三角形两直角边的长分别为5cm 和12cm ，则斜边上的中线长为4.等腰Rt △ABC, 斜边AB 与斜边上的高的和是12厘米, 则斜边AB= 厘米．5.已知：如图△ABC 中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 则∠EDF 的度数为________．6.点O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，若平行四边行ABCD 的面积为8cm ，则△AOB 的面积为 .7.如果圆的半径R 增加10% , 则圆的面积增加_________ . 8.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为 .9. △ABC 三边长分别为3、4、5，与其相似的△A′B′C′的最大边长是10，则△A′B′C′的面积是 . 10.在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC=a ，∠B=30°，那么AD 等于 . 练习二：选择题1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角等于 [ ] A.30° B.45° C.60° D.75°2.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是 [ ]A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形3.下列图形中，不是中心对称图形的是[ ]A. B. C. D.4.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ] A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.平行四边形 D.线段5.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ] A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形6.如果两个圆的半径分别为4cm 和5cm,圆心距为1cm ，那么这两个圆的位置关系是 [ ]A.相交B.内切C.外切D.外离7.已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm,那么扇形的面积为 [ ]8.A.B.C三点在⊙O上的位置如图所示，若∠AOB＝80°，则∠ACB等于 [ ]A．160° B．80°C．40° D．20°9.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°,则∠BCF 的度数是[ ]A.160°B.150°C.70°D.50°（第9题图）（第10题图）10.如图OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD和BC相交于E，图中全等三角形共有 [ ]A.2对B.3对C.4对D.5对练习三：几何作图1．下图左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同。

初二数学几何证明题（5篇可选）第一篇：初二数学几何证明题1.在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，线段DE交BC于点F，说明：DF=EF。

2.已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM于点M，且交∠CBE的平分线于点N.（1）求证：MD＝MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M 是AB上任意一点”其余条件不变，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。

3.。

如图，点E,F分别是菱形ABCD的边CD和CB延长线上的点，且DE=BF，求证∠E=∠F。

4，如图，在△ABC中，D,E,F,分别为边AB,BC,CA,的中点，求证四边形DECF为平行四边形。

5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60度，过点C作CE垂直AC 且与AB的延长线交与点E，求证四边形AECD是等腰梯形？6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD，相交与点0，E是BD延长线上的点，且三角形ACE是等边三角形。

1.求证四边形ABCD是菱形。

2.若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形。

7.已知正方形ABCD中，角EAF=45度，F点在CD边上，E点在BC边上。

求证：EF=BE+DF第二篇：初二几何证明题1如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DCCF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=ACADCF的形状，并证明你的结论AEB第三篇：初二几何证明题初二几何证明题1.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E。

M为AB中点，联结ME,MD、ED求证：角EMD=2角DAC证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴MD=ME=MA=MB(斜边上的中线=斜边的一半)∴△MED为等腰三角形∵ME=MA∴∠MAE=∠MEA∴∠BME=2∠MAE∵MD=MA∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC2.如图，已知四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是AB、CD中点，AD、BC的延长线与EF的延长线交于点H、D求证：∠AHE=∠BGE证明：连接AC，作EM‖AD交AC于M，连接MF.如下图：∵E是CD的中点，且EM‖AD，∴EM=1/2AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点∴MF‖BC，且MF=1/2BC.∵AD=BC，∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE.∵EM‖AH，∴∠MEF=∠AHF ∵FM‖BG，∴∠MFE=∠BGF∴∠AHF=∠BGF.3.写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题，并证明它是一个真命题这是经典问题,证明方法有很多种,对于初二而言,下面的反证法应该可以接受如图,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求证:AB=AC证明:BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC)==>BE=AB*BC/(BC+AC)同理:CD=AC*BC/(BC+AB)假设AB≠AC,不妨设AB>AC.....(*)AB>AC==>BC+ACAC*BC==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB)==>BE>CDAB>AC==>∠ACB>∠ABC∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/2==>∠BEC>∠BDC过B作CE平行线,过C作AB平行线,交于F,连DF则BECF为平行四边形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC (1)BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFDCF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC (2)(1)(2)矛盾,从而假设(*)不成立所以AB=AC。

C A B C DE P 图 ⑴八年级数学（上）几何证明练习题1、 已知：在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR∥CA 交BA 于R ，D 是BC 的中点，求证：⊿RDQ 是等腰直角三角形。

B2、 已知：在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC 。

3、 已知：在⊿ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA 。

4、已知：如图(1)，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过点P 交AB 于D ，交AC 于E ，且DE ∥BC ．求证：DE －DB=EC ．5、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC =90°，O 为BC 的中点。

(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系(不要求证明)；(2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保持AN ＝BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。

6、如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，AE=BD ， 连结EC 、ED ，求证：CE=DE7、如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 且BC ＝10，求△DCE 的周长。

8．如图所示，已知AD 是∠BAC 的平分线，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于点F ，交AD 于点E ，连接AF ，求证：∠B=∠CAF 。

A B COM N9．如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，EF 与AD 交于点G ，求证：AD 垂直平分EF 。

C10．如图所示，已知点D 是等边三角形ABC 的边BC 延长线上的一点，∠EBC=∠DAC ，CE ∥AB 。

初二数学竞赛基本几何证明及计算∆中，AD⊥BC 于D，AB+BD=CD。

证明∠B=2∠C。

1：如图1，在ABCC图1∆中，AB=AC。

D，E分别是BC，AC上的点。

问∠BAD与2. 如图2，在ABC∠CDE满足什么条件时，AD=AE。

B C图23. 如图3，六边形ABCDEF 中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA-CD=3。

求BC+DE 的值。

D图34. 如图4，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=300，∠ADC=600，AD=DC 。

证明BD 2=AB 2+BC 2D图45. 如图5，P 是ABC ∆边BC 上一点，PC=2PB 。

已知∠ABC=450，∠APC=600。

求∠ACB 的度数。

图56. 如图6，中，在ABC ∆BC=a, AC=b, 以AB 为边向外作等边三角形△ABD 。

问∠ACB 为多少度时，点C 与点D 的距离最大？A图67. 如图7，在等腰中，ABC ∆AB=AC ，延长AB 到D ，延长CA 到E ，连DE ，恰好有AD=BC=CE=DE 。

证明∠BAC=1000。

C D图78. 如图8，在中，ABC ∆AD 是边BC 上的中线，AB=2，AD=6，AC=26。

求∠ABC 的度数。

B图89. 如图9，在ABC ∆的外面作正方形ABEF 和ACGH ，AD ⊥BC 于D 。

延长DA交FH 于M 。

证明：FM=HM 。

G图910. 如图10，P ，Q ，R 分别是等边ABC ∆三条边的中点。

M 是BC 上一点。

以MP 为一边在BC 同侧作等边PMS ∆。

连SQ 。

证明 RM=SQ.B C 如图1011. 如图11，在四边形ABCD 中，AB=a, AD=b, BC=CD. 对角线AC 平分∠BAD 。

问a 与b 符合什么条件时，有∠D+∠B=1800。

A如图1112. 如图12，在等腰中，ABC ∆AD 是边BC 上的中线，E 是△ADB 任一点，连AE ，BE ，CE 。

FO ED C BAMN DEB CAAB C DE P 图 ⑴八年级上册几何题专题训练100题1、 已知：在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR ∥CA 交BA 于R ，D是BC 的中点，求证：⊿RDQ 是等腰直角三角形。

RQDCABP2、 已知：在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC 。

EFDCAB3、 已知：在⊿ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA 。

4、已知：如图(1)，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过点P 交AB 于D ，交AC 于E ，且DE ∥BC ．求证：DE －DB=EC ． 5、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=90°，O 为BC 的中点。

(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系(不要求证明)； (2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中坚持AN ＝BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。

6、如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，AE=BD ， 连结EC 、ED ，求证：CE=DE7、如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 且BC ＝10，求△DCE 的周长。

8. 如图，已知△EAB ≌△DCE ，AB ，EC 分别是两个三角形的最长边，∠A ＝∠C ＝35°，∠CDE ＝100°，∠DEB ＝10°，求∠AEC 的度数．9. 如图,点E 、A 、B 、F 在同一条直线上,AD 与BC 交于点O, 已知∠CAE=∠DBF,AC=BD.求证：∠C=∠D10.如图，OP 平分∠AOB ，且OA=OB ．（1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）；（2）从（1）中任选一个结论进行证明．11. 已知：如图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD 的延长线交BC 于点E ，求证：BE ＝EC 。

初二上几何试题及答案详解试题一：证明题题目：已知三角形ABC中，点D、E、F分别是边BC、CA、AB上的点，且DE平行于AC，DF平行于AB。

求证：三角形DEF与三角形ABC相似。

答案详解：1. 根据题意，我们知道DE平行于AC，DF平行于AB。

2. 根据平行线的性质，我们可以得出∠DEF = ∠BAC（对应角相等）。

3. 同理，我们可以得出∠DFE = ∠ABC。

4. 因为∠DEF + ∠DFE + ∠FDE = 180°（三角形内角和为180°），所以∠FDE = ∠BCA。

5. 根据相似三角形的判定定理，如果两个三角形的两组对应角相等，那么这两个三角形是相似的。

6. 由于∠DEF = ∠BAC，∠DFE = ∠ABC，∠FDE = ∠BCA，我们可以得出三角形DEF与三角形ABC相似。

试题二：计算题题目：在直角三角形ABC中，∠C是直角，已知AB = 10cm，AC = 6cm，求BC的长度。

答案详解：1. 根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

2. 设BC的长度为x，则有AB² = AC² + BC²。

3. 代入已知数值，我们得到10² = 6² + x²。

4. 计算得100 = 36 + x²。

5. 解方程，得到x² = 100 - 36 = 64。

6. 求解x，得到x = √64 = 8cm。

7. 因此，BC的长度为8cm。

试题三：作图题题目：在平面直角坐标系中，给定点A(2,3)和点B(5,1)，请画出线段AB，并求出线段AB的长度。

答案详解：1. 首先，在平面直角坐标系中标出点A(2,3)和点B(5,1)。

2. 连接点A和点B，画出线段AB。

3. 为了求出线段AB的长度，我们可以使用两点间距离公式：d =√[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]。

几何复习题1、如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，E 为BD 上一点，GE ⊥BC ，且交AB 于F ，交CA 延长线于G ，求证:GE+EF=2AD.2、如图，已知P 为矩形ABCD 内任意一点，求证：PA 2+PC 2=PB 2+PD 23、如图，已知：E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、BC 上的点，AF 平分∠BAE ，求证：DE+BF=AE 。

4、已知：平行四边形ABCD 的边BC 、CD 上各有一点E 、F ，线段BF 和DE 交于一点P ，且BF=DE ，求证：AP 平分∠BPD 。

5、如图，四边形ABCD 的对角线AC=BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：AC 、BD 、EF 围成的△PQR 是等腰三角形。

6、如图，正方形ABCD 的边长为2厘米，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，BF 与DE 交于G ，求四边形ABGD 的面积。

7、如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB=1，∠A=90º，点E 为腰AC 的中点，点F在底边BC 上，且EF ⊥BE ，求△CEF 的面积。

8、如图，已知AB 为⊙O 的直径，AD 、BC 、CD 均为⊙O 的切线，E 为切点，AC 、BD 交于点F ，求证：EF ⊥AB9、已知，如图，△ABC 中，∠BAC=90º，∠ACB=20º，AC=1，又E 是BC 的中点，D 在AC 上，且∠DEC=80º，求证：S △ABC +2S △CDE =83 10、设正三角形ABC 的边长为2，M 是AB 的中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别为S 和T ，求S 2—T 2的值。

11、如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90º，M 、N 为斜边AB 上的两点，如果∠MCN=45º，求证：AM 2+BN 2=MN 212、如图，∠BAC=90º，D 在AB 上，CD=DB ，P 在BC 上，PE ⊥AB ，PF ⊥CD ，E 、F 为垂足，且AD ：BD=1：3，BC=64，求PE+PF 的值。

初二数学几何证明与推理练习题及答案20题1. 题目：已知ABCD是一个平行四边形，证明AC=BD。

证明：由平行四边形的定义，可知AB∥CD和AD∥BC。

在ABCD中，我们连接AC和BD，假设它们的交点为E。

因为AB∥CD，所以∠ABC+∠BCD=180°（内错角性质）。

又由于AD∥BC，所以∠BCD+∠CDE=180°（内错角性质）。

综上，∠ABC+∠CDE=180°，即△ABC与△CDE互补。

根据互补角的性质，△ABC与△CDE全等，因此AC=BD得证。

2. 题目：已知ABCD是一个矩形，证明BD是直径。

证明：由矩形的定义，可知AB∥CD和AD∥BC。

在矩形ABCD中，我们连接角BAD的角平分线BE和角BCD的角平分线CF，它们相交于点O。

因为角BAD和角BCD都是直角（矩形的性质），所以∠BAE=∠CFO=90°。

由于角平分线的性质，∠BAE=∠CAE，∠CFO=∠CDO。

因此，在△BAE和△CFO中，∠CAE=∠CDO，且∠BAE=∠CFO。

根据AA相似三角形的性质，△BAE与△CFO相似。

因此，AE/CF=BA/CO=1/2（相似三角形的对应边比例相等）。

由此可得，CO=2AE，即CO=2BO。

由于OC=OC（公共边），所以△BOC为等腰三角形，即BO=BC。

综上所述，BD=2BO=2BC，即BD是直径。

3. 题目：已知△ABC中，AB=AC，垂直平分线BM过点B交AC于点M，证明∠ABM=∠ACM。

证明：由题意可得AB=AC，BM⊥AC，且BM平分∠ABC。

连接AM和CM。

在△ABC中，由于AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。

由垂直平分线的性质，BM平分了∠ABC，所以∠ABM=∠CBM。

同理，在△ACB中，由于AB=AC，所以∠ACB=∠ABC。

由垂直平分线的性质，BM平分了∠ACB，所以∠CBM=∠ACM。

综上所述，∠ABM=∠CBM=∠ACM得证。

八年级上册几何证明题专项练习1．如图，△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB．2．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．3．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．4．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．5．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．6．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．7．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE=DF．9．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．10．如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．求证：BC=AD．11．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．12．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．13．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．14．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE．15．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，∠BAE=∠BCE=90°，且BC=CE，AB=DE．求证：△ABC≌△DEC．16．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．①求证：△ABE≌△CBD；②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．18．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．19．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．20．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．21．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．22．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD；（3）OE是线段CD的垂直平分线．23．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．24．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．25．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．26．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．27．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．28．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．29．图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．30．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）图中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．。

A D P E 八年级上册几何题专题训练 100 题1、 已知：在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，在 BC 上任取一点 P ，作 PQ∥AB 交 AC 于 Q ，作 PR∥CA 交 BA 于 R ，D 是 BC的中点，求证：⊿RDQ 是等腰直角三角形。

C2、 已知：在⊿ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是 AC 的中点，AE⊥BD，AE 延长线交 BC 于 F ，求证：∠ADB=∠FDC。

3、 已知：在⊿ABC 中 BD 、CE 是高，在 BD 、CE 或其延长线上分别截取 BM=AC 、CN=AB ，求证：MA⊥NA。

4、已知：如图(1)，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过点 P 交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，且 DE ∥ BC ．求证：DE －DB=EC ．BC5、在Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC=90°，O 为BC 的中点。

(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A、B、C 的距离的大小关系(不要求证明)；(2)如果点M、N 分别在线段AB、AC 上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。

CNOA M B6、如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D，延长BA 到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE7、如图，等腰三角形ABC 中，AB＝AC，∠A＝90°，BD 平分∠ABC，DE⊥BC 且BC＝10，求△DCE 的周长。

8.如图，已知△EAB≌△DCE，AB，EC 分别是两个三角形的最长边，∠A＝∠C＝35°，∠CDE＝100°，∠DEB＝10°，求∠AEC的度数．9.如图,点 E、A、B、F 在同一条直线上,AD 与BC 交于点 O, 已知∠CAE=∠DBF,AC=BD.求证：∠C=∠DC DOE B10.如图，OP 平分∠AOB，且OA=OB．（1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）；（2）从（1）中任选一个结论进行证明．11.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，AD 的延长线交 BC 于点E，求证：BE＝EC。

八年级上册数学竞赛试题(几何证明)班级 ： 姓名：1、如图；已知AE AD ⊥；AB AF ⊥；AF AB =；AE AD =；AD ∥BC ；AD BC =；求证：AC EF =BE 2、已知：如图△ABC 中；AM 是BC 边上的中线。

求证：)(21ACAB AM +<3、如图；在△ABC 中；A=108°；AB=AC ；BD 是角平分线.求证：BC=AB+CD.4、小明是这样完成“作∠MON 的平分线”这项作业的：“如图；①以O 为圆心；任意长为半径画弧；分别交OM ；ON 于点A ；B ；②分别作线段OA ；OB 的垂直平分线l 1；l 2（垂足分别记为C ；D ）；记l 1与l 2的交点为P ；③作射线OP ；则射线OP 为∠MON 的平分线．”你认为小明的作法正确吗？如果正确；请你给证明；如果不正确；请指出错在哪里．5、如图①；E、F分别为线段AC上的两个动点；且DE⊥AC于E；BF⊥AC于F；若AB=CD；AF=CE；BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD；ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时；其余条件不变；上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．6、在△ABC中；AB=AC；点D是直线BC上一点（不与B、C重合）；以AD为一边在AD的右侧作△ADE；使AD=AE；∠DAE=∠BAC；连接CE．（1）如图1；当点D在线段BC上；如果∠BAC=90°；则∠BCE= _________ 度；（2）设∠BAC=α；∠BCE=β．①如图2；当点D在线段BC上移动；则α；β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动；则α；β之间有怎样的数量关系？并选择其中一种证明你的结论．。