正定矩阵的性质及其应用_____

正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
一、正定矩阵的定义
正定矩阵是一类特殊的线性代数对象，它是二维以上方阵中所有元素都有正值的一种矩阵。

二、正定矩阵的性质
1、正定矩阵的特性
由于所有元素都是正值，所以正定矩阵是一种对称矩阵，其特征值都是大于0，即特征值>0；特征向量都是有向量，即特征向量≠0；这种矩阵也称为正数矩阵或半正定矩阵。

2、正定矩阵的恒等式
如果一个矩阵M是一个正定矩阵，则它满足：mTm>0，其中mT表示M 的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量。

3、正定矩阵的特殊性质
正定矩阵是线性代数中最重要的矩阵之一，它的特殊性质：（1）正定矩阵是正交矩阵的一类；（2）正定矩阵的逆矩阵是它的转置；（3）正定矩阵的主对角线元素全为正；（4）正定矩阵的最小特征值是它的最大特征值的平方根；（5）正定矩阵的行列式是正值；（6）正定矩阵也是正秩矩阵。

三、正定矩阵的判定方法
1、特征值判定法
如果一个矩阵M的所有特征值都是正值，则它是一个正定矩阵。

2、恒等式判定法
如果矩阵M满足mTm>0，其中mT表示M的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量，则它是一个正定矩阵。

3、行列式判定法。

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵,其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质,尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics，but also a main research object，at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra。

At the same time，the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory。

The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly。

正定矩阵及其应用一、简介正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中都有广泛的应用。

本文将从定义、性质、判定方法以及应用等方面进行详细介绍。

二、定义正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有x^T Ax > 0，其中A为n阶实对称矩阵，x为n维列向量，x^T为x的转置。

三、性质1. 正定矩阵的特征值均大于0。

2. 正定矩阵的行列式大于0。

3. 正定矩阵是可逆矩阵，且其逆仍然是正定矩阵。

4. 正定矩阵可以进行Cholesky分解。

四、判定方法1. Sylvester判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的各个主子式均大于0时，A为正定矩阵。

2. 特征值判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的所有特征值均大于0时，A为正定矩阵。

3. 等价判据：对于n维向量b和n*n实对称矩阵A，当且仅当对于任意非零向量x，都有b^T x > 0和x^T Ax > 0时，A为正定矩阵。

五、应用1. 矩阵分解：正定矩阵可以进行Cholesky分解，即将正定矩阵表示为一个下三角矩阵和其转置的乘积。

这种分解可以用于求解线性方程组、矩阵求逆以及随机向量生成等问题。

2. 优化问题：正定矩阵可以用于求解最小二乘问题、线性规划问题以及二次规划问题等。

其中，最小二乘问题可以通过正定矩阵的Cholesky分解来求解。

3. 特征值计算：正定矩阵的特征值均大于0，因此可以用于计算特征值和特征向量。

在信号处理、图像处理以及物理学中都有广泛应用。

4. 概率论：正定矩阵在多元高斯分布中具有重要作用。

多元高斯分布的协方差矩阵是一个正定矩阵，它描述了不同变量之间的相关性和方差。

六、总结本文介绍了正定矩阵的定义、性质、判定方法以及应用等方面。

正定矩阵在数学和工程领域中都有广泛的应用，特别是在矩阵分解、优化问题、特征值计算以及概率论等方面具有重要作用。

正定矩阵地性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。

在本文中，我将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及一些应用。

一、正定矩阵的性质：1.定义：设A是n×n矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，则A是正定矩阵。

2.特征值：正定矩阵的特征值都大于0。

3.对称性：正定矩阵一定是对称矩阵。

4.非奇异性：正定矩阵一定是非奇异矩阵，即其行列式不为0。

5.可逆性：正定矩阵一定是可逆矩阵，即存在逆矩阵A^(-1)，使得AA^(-1)=I。

6.二次型：正定矩阵可以表示为二次型的矩阵形式。

二、正定矩阵的判定方法：1.主子式判定法：设A是n×n矩阵，如果A的所有n阶主子式都大于0，则A是正定矩阵。

2.特征值判定法：设A是对称矩阵，如果A的所有特征值都大于0，则A是正定矩阵。

3.正定矩阵的条件：设A是对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件是存在n阶非奇异矩阵B，使得A=B^TB。

三、正定矩阵的应用：1.优化问题：正定矩阵在优化问题中应用广泛。

例如，在最小二乘问题中，正定矩阵可用于求解线性方程组的最优解。

正定矩阵还可以用于确定函数的极小值点。

2.信号处理：正定矩阵在信号处理中有重要应用。

例如，在信号滤波中，通过构造正定矩阵，可以设计出有效的滤波器，对信号进行去噪或增强。

3.机器学习：正定矩阵在机器学习中也起到关键作用。

例如，在支持向量机中，可以使用正定矩阵的核函数来进行非线性分类。

正定矩阵还可以用于降维算法中的线性判别分析，提高分类的准确性。

4.最小二乘问题：正定矩阵可以用于解决最小二乘问题，即寻找一组关系最紧密的数据的最优拟合线。

通过构造正定矩阵，可以求得最小二乘问题的闭合解，提高计算效率。

综上所述，正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，具有许多重要的性质和判定方法。

正定矩阵在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。

二次型函数正定矩阵二次型函数是数学中的一个重要概念，它在很多领域都有广泛的应用，特别是在线性代数和数学分析中。

而正定矩阵则是与二次型函数密切相关的矩阵特性之一。

本文将介绍二次型函数正定矩阵的定义、性质及其在实际问题中的应用。

一、定义在了解二次型函数正定矩阵之前，我们需要先了解二次型函数和矩阵的概念。

二次型函数是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以用矩阵的形式表示。

设x为n维列向量，A为n阶实对称矩阵，那么二次型函数可以表示为Q(x)=x^T * A * x，其中x^T表示x的转置。

而正定矩阵，简而言之，就是一个特殊的n阶实对称矩阵，它与二次型函数的性质紧密相关。

对于任意一个非零向量x，如果其对应的二次型函数Q(x)都大于0，那么我们称矩阵A为正定矩阵。

二、性质正定矩阵具有以下几个重要的性质：1. 正定矩阵的所有特征值都大于0。

2. 正定矩阵的对角元素都大于0。

3. 正定矩阵的所有主子式都大于0。

这些性质使得正定矩阵在实际问题中具有重要的应用价值。

例如，在优化问题中，正定矩阵可以用来判断一个极值点是极小值还是极大值。

在机器学习中，正定矩阵可以用来定义核函数，从而实现非线性的分类和回归任务。

三、应用正定矩阵在各个领域都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 优化问题：正定矩阵可以用来判断一个极值点是极小值还是极大值。

2. 机器学习：正定矩阵可以用来定义核函数，从而实现非线性的分类和回归任务。

3. 数值计算：正定矩阵在数值计算中有广泛的应用，例如求解线性方程组、最小二乘问题等。

4. 物理学：正定矩阵在物理学中有重要的应用，例如描述能量、势能等。

5. 金融领域：正定矩阵在金融领域中常被用于风险管理和投资组合优化等问题。

总结本文介绍了二次型函数正定矩阵的定义、性质及其在实际问题中的应用。

正定矩阵在数学和应用领域中具有重要的地位，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

希望通过本文的介绍，读者对二次型函数正定矩阵有进一步的了解和认识，为深入学习和应用相关知识奠定基础。

正定矩阵的性质和判定方法及应用正定矩阵在数学和应用中有着重要的地位和作用。

本文将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及它们在实际应用中的应用。

一、正定矩阵的性质：1.所有的特征值都大于0：对于一个n阶矩阵A，如果其特征值全部大于0，则A是正定矩阵。

2.所有的主子式大于0：对于一个n阶矩阵A，如果它的所有k阶主子式都大于0，则A是正定矩阵。

其中，k为1到n的整数。

3.正定矩阵是满秩矩阵：正定矩阵的秩等于其阶数。

4.正定矩阵的转置也是正定矩阵：如果矩阵A是正定的，则其转置矩阵A^T也是正定的。

5.正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵：如果矩阵A是正定的，则其逆矩阵A^(-1)也是正定的。

二、正定矩阵的判定方法：1.使用特征值判定法：对于一个n阶矩阵A，计算其特征值λ1,λ2,...,λn，如果所有的特征值都大于0，则A是正定矩阵。

2.使用主子式判定法：对于一个n阶矩阵A，计算它的所有k阶主子式，如果所有的主子式都大于0，则A是正定矩阵。

3.使用矩阵的正定性矩阵判定法：一个n阶矩阵A是正定矩阵，当且仅当存在一个n阶可逆矩阵B，使得B^T*A*B是一个对角矩阵，且对角元素都大于0。

三、正定矩阵在应用中的应用：1.优化问题：正定矩阵在最优化问题中起着重要的作用。

例如，梯度下降法求解最小二乘问题中，需要对函数的海森矩阵进行判断是否为正定矩阵。

2.协方差矩阵：在统计学中，协方差矩阵是刻画多维随机变量之间关系的重要工具。

协方差矩阵是对称、半正定的。

3.特征向量的选择：在图像处理和模式识别等领域中，需要对数据进行降维处理，正定矩阵可以用于选择特征向量，帮助提取出最具有代表性的特征。

4.线性代数中的理论证明：正定矩阵在线性代数中有广泛的应用，用于证明各种定理，如线性变换的范数、二次表单的分类等。

总结起来，正定矩阵是一类非常重要的矩阵，在数学和应用中有着广泛的应用。

它具有许多有用的性质和判定方法，可以应用于优化问题、协方差矩阵、特征选择和线性代数等领域。

正定矩阵的性质及应用论文正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。

在本篇论文中，将详细介绍正定矩阵的性质以及其在实际应用中的一些重要应用。

首先，我们来了解一下正定矩阵的定义。

对于一个n阶矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有x^T*A*x > 0，那么这个矩阵就是正定矩阵。

也就是说，正定矩阵对于任意非零向量x，都将其映射到一个大于零的数。

因此，正定矩阵是一个非常重要的概念。

下面，我们来介绍一下正定矩阵的性质。

1. 正定矩阵的特征值都是正数。

这是正定矩阵的一个重要性质，它决定了正定矩阵的行列式大于0。

2. 正定矩阵的行列式大于0。

这是由于根据性质1，正定矩阵的特征值都是正数，因此其行列式大于0。

3. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。

这是因为对于任意非零向量x，有x^T*A*x > 0，那么x^T*A^(-1)*x = (A^(-1)*x)^T*A*(A^(-1)*x) > 0。

4. 正定矩阵可以通过Cholesky分解进行分解。

Cholesky分解是将正定矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置的乘积。

5. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。

这是因为对于任意非零向量x，有x^T*A*x > 0，那么x^T*A^(-1)*x = (A^(-1)*x)^T*A*(A^(-1)*x) > 0。

现在，让我们来了解一些正定矩阵在实际应用中的一些重要应用。

1. 在数学和物理建模中，正定矩阵常常被用来描述能量、势能、距离等非负量。

例如，在分子动力学模拟中，正定矩阵可以用来描述原子之间的势能，从而模拟分子在空间中的运动。

2. 在机器学习中，正定矩阵也有重要的应用。

在支持向量机（SVM）中，正定矩阵被用来构建二次规划问题的对偶问题，从而实现机器学习模型的训练。

3. 在优化问题中，正定矩阵也经常被用来描述目标函数的二次项。

例如在最小二乘法中，正定矩阵被用来描述模型的误差项，从而求出最优的模型参数。

正定矩阵的性质研究正定矩阵是矩阵理论中一种重要的特殊矩阵，具有许多独特的性质和应用。

本文将介绍正定矩阵的定义、性质、判断方法以及相关应用，并对其进行研究和讨论。

1.正定矩阵的定义正定矩阵是指所有特征值均为正实数的矩阵。

对于n阶实方阵A，若对于任意非零n维实向量x，都有x^T*A*x>0成立，则称A为正定矩阵。

2.正定矩阵的性质(1)正定矩阵是对称矩阵，即A=A^T。

(2)正定矩阵的特征值都大于0。

(3)正定矩阵的主子矩阵也是正定的。

(4)正定矩阵的行列式大于0。

(5)正定矩阵是非奇异的，其逆矩阵也是正定的。

(6)正定矩阵与正交矩阵的乘积仍为正定矩阵。

3.正定矩阵的判断方法(1)对称矩阵的主子式全为正。

(2)所有特征值均大于0。

(3)利用矩阵的行列式、特征值等性质进行判断。

4.正定矩阵的应用(1)优化问题：正定矩阵在最优化问题中有广泛应用，如线性规划、二次规划等。

正定矩阵可以保证目标函数存在唯一的最小值。

(2)特征值问题：正定矩阵对应的特征值都大于0，可用于求解特征值和特征向量的问题。

(3)插值问题：在插值问题中，正定矩阵可用于构造插值函数，使得插值结果具有平滑性和稳定性。

(4) 矩阵分解：正定矩阵可进行Cholesky分解，用于求解线性方程组、正态分布等问题。

5.正定矩阵的研究和讨论(1)构造和求解算法：研究正定矩阵构造和求解算法，在数值计算、优化问题等领域具有广泛应用。

(2)正定矩阵的判定：对于大规模矩阵，判定其是否为正定矩阵是一个重要课题，需要设计高效的算法和方法。

(3)正定矩阵的扩展：研究正定矩阵概念的扩展，如半正定矩阵、严格正定矩阵等，进一步拓宽正定矩阵的应用范围和理论研究。

总之，正定矩阵在数学和工程中具有重要的地位和应用价值。

对正定矩阵的性质研究和应用展开讨论，可以促进矩阵理论的发展和应用的深入研究，并为解决相关问题提供有力的数学工具。

正定矩阵的判定和应用太原师范学院张彤【内容摘要】正定矩阵是线性代数中的一种重要理论,自有其独特的地位,同时,正定矩阵在高等数学等领域乃至实际生活中都具有十分重要的应用,因此,针对正定矩阵的研究也是许多学者共同关注的问题。

其中,针对正定矩阵的性质、特征,以及其判定方法,历来收到了诸多讨论,本文在前人的基础上,对正定矩阵的性质等进行了一定的总结和讨论,同时,从不同角度介绍正定矩阵的一些初步应用。

正定矩阵,也可简称为正定阵,其在线性代数中占据十分重要的地位,同时,无论是在矩阵理论的讨论方面,还是在数学的其它分支方面,甚至在实际的应用层面,正定矩阵都具有特殊的作用以及独特的重要性。

【关键词】正定矩阵判定特征值正定二次型引言二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题,正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位,在计算数学,数学物理以及优化控制理论中都得到了广泛的应用。

本文分别在第二部分总结了正定矩阵的判定方法,第三部分从不同角度介绍了正定矩阵一些应用。

一、定义n阶实对称矩阵称A为正定矩阵,如果对于任意n的维实非零列向量X,都有X T AX>0。

正定的实对称矩阵A简称为正定矩阵,记作A>0。

二、判定1.定义判定定义1对于实对称矩阵A=(a y),(其中a y∈R,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有X T AX>0,则称A是正定矩阵.定义2对于复对称矩阵A=(a y),(其中a y∈C,i,j=1,2,…,n)若对于任意非零列向量X,都有X*AX>0,则称A是正定矩阵.2.定理判定定理1n阶实对称矩阵A正定,当且仅当实二次f(x1,x2,…x n)=X T AX的正惯性指数为n.定理2实对角d1d2d n⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐⎫⎭⏐⏐⏐⏐⏐⎬⏐⏐⏐⏐⏐···矩阵正定的充分必要条件是d1>0,(i=1,2,…,n).定理3实对称矩阵A是正定的充要条件矩阵A的秩与符号差n.定理4实对称矩阵A是正定的充要条件是二次型f(x1,x2,…x n,)=X T AX的系数矩阵A的所有特征值都是正数,即大于零.定理5实对称矩阵A是正定的充要条件是存在可逆矩阵C 使得A=C T C.定理6实对称矩阵A正定的充分必要条件是矩阵A的顺序主子式全大于零.定理7A是正定矩阵的充要条件是:存在非退化的上(下)三角矩阵Q,使A=Q T Q.定理8A是正定矩阵的充要条件是存在正交向量组a1,a2,……a n使A=a1a1T+a2a2T+…a n a n T.推论1正定矩阵的和仍是正定矩阵.推论2实正定矩阵的行列式大于零.推论3与正定矩阵合同的对称矩阵一定是正定矩阵.(事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论成立)推论4正定矩阵A的逆矩阵A-1一定是正定矩阵.推论5正定矩阵的任何顺序主子式阵必为正定矩阵.推论6设A,B均为n阶正定矩阵,且AB=BA,则AB正定.推论7若A是正定矩阵,则A*也是正定的(其中A*表示A 的伴随矩阵).推论8若A,B都是n阶实对称矩阵,且B是正定矩阵,则存在-n阶实可逆矩阵P使P T AP与P T BP同时为对角形.推论9若A是实对称的正定矩阵,则存在a>0,b>0,c>0,使aE+A,E+bA.cE-A均是正定矩阵.推论10已知A是n阶正定矩阵,则A k(k是正整数)也是正定矩阵.推论11若A是n阶实对称正定矩阵,则必有a11>0,a22>0,…,a nn>0.小结:正定矩阵的判定在矩阵理论中占有重要的地位,因此,对正定矩阵的讨论无论在矩阵理论方面,或是实际应用方面都有重要的意义。

正定矩阵的性质及应用摘要：正定矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的意义。

基于此，本文首先对正定矩阵的定义进行了描述，其次研究了正定矩阵的性质与判定方法，最后简单介绍了其具体应用。

关键词：正定矩阵；基本性质；推论；判定；应用前言：矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。

这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。

作为矩阵的一种特殊类型，正定矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具。

本文就此浅谈一下正定矩阵的各种性质和应用。

1.正定矩阵的基本性质1.1 正定矩阵的定义设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x1，……，xn) 都有X′MX＞0，就称M正定(Positive Definite)。

正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。

所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。

另一种定义：一种实对称矩阵，正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵。

1.2 正定矩阵的性质当矩阵A为正定矩阵的时候，则必有以下几个性质，即：（1）aii＞0，i=1，2，……，n；（2）A的元素的绝对值最大者，必定为主对角元；（3）≤annAn-1 ，其中，An-1是A的n-1阶主子式；（4）≤a11a22……ann，当且仅当A为对角阵的时候成立；而除了以上这几个性质外，还有若干个推论也是比较重要的，在很多应用中都会有一定的涉及，值得我们给予重视。

推论1：与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵；推论2：与正定二次型等价的实二次型也是正定的，从而满秩的实线形替换不改变实二次型的正定性；推论3：若A，B∈Mn（K）都是正定矩阵，则A+B，kA也是正定的（k>0）；推论4：A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的正惯性指数等于A的维数n；推论5：A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A相合于单位矩阵E；推论6：A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵C，使A=CTC。

正定矩阵的性质及应用摘要： 正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。

矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。

把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了.关键字： 正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值.研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用．一、正定矩阵的定义定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵.定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量),,,(21n x x x f X =都有0>'A X X ，正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵.注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定.二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别.二．正定矩阵的一些性质1.正定矩阵的充分必要条（1）n 元实二次型),,,(21n x x x f 正定⇔它的惯性指数为n . 证：设二次型),,,(21n x x x f 经过非退化矩阵实线性替换成标准=),,,(21n x x x f 2222211n n y d y d y d +++ （1）由“非退化线性替换保持正定性不变”可知),,,(21n x x x f 正定当且仅当2222211n n y d y d y d +++ 是正定的？？由二次型2222211n n y d y d y d +++ 正定当且仅当i d 0>.n i ，， 2,1=.因此二次型正惯性指数为n .（2）一个是对称矩阵A 正定⇔A 与E 合同.既∃可逆矩阵C ，使得C C A '=. 在证明此条件之前先给出一个定义及两个定理：定义：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成221221r p p z z z z ---+++称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.定理：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成规范形，且规范形是唯一的.以下就是上述从要条件的证明：证:正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为22221n y y y +++ （2）因此（2）式的矩阵为单位矩阵E .所以一个是对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (3) 实二次型AX X x x ax x x f T j i n i nj ijn ==∑∑==1121),,,( 正定⇔A 的顺序主子式全大于零.证：必要性：设二次型j i n i nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,(是正定的.对于每个k ，n k ≤≤1，令j i k i kj ij k k x x a x x f ∑∑===111),,(我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数k c c ,,1 ，有0)0,0,,,(),,(1111>==∑∑== k j i k i kj ij k k c c f c c a c c f因此),,(1k k x x f 是正定的.由上面的推论，k f 的矩阵的行列式n k a a a a kkk k ,,101111=>，这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零. 充分性：对n 作数学归纳法当1=n 时,21111)(x a x f =由条件011>a ,显然有)(1x f 是正定的.假设充分性的论断对于1-n 元二次型已经成立，现在来证n 元的情形.令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n a a ,1,1 α于是矩阵A 可以分块写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=nn a A A αα1既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 级矩阵G 使11-='n E G A G这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵，令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001G C ，于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'='-nn n nn a G G E G a A G AC C αααα1111100100再令⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=-10-12αG EC n 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-=''--1010111-n 2112ααααG E a G G E G E C AC C C n nn n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-=-ααG G a E nn n 001 令21C C C = , 则a G G a nn =''-αα，于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡='a AC C 11 再取行列式 ， a A C =2，由条件，0>A .因此0>a .显然有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a a a 111111111 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型 ),,,(21n x x x f 是正定的.(4) 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的主子式全大于零. 证：必要性:对A 的任一k 阶主子式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 2122212k 12111存在某个排列矩阵P ，使AP P '的k 阶顺序主子式为k A ,因为0>A ，所以02>='='P A P A P AP P由矩阵充要条件(3)知0>k A .充分性：由A 的主子式全大于零知： A 的顺序主子式全大于零.再由充要条件（3）知“充分性”成立.（5） 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的特征值全大于零.证:必要性：由于对称矩阵A 是正定矩阵.因为∃一个正交矩阵T ,使AT T '成对角型的对角线上的元素均为正值.又由对角线的元素又为A 的所有特征值. 因此A 的特征值均为正数.充分性：当对称矩阵A 的特征根都为正数时，对角型矩阵AT T '对角线上的元素均为正数.因为AT T '为正定矩阵，又由于T 为正交阵.所以A 是正定阵.（6）A 、B 是是对称矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A C 00正定⇔A 、B 均正定.证：必要性：A 、B 因为是对称矩阵.所以C 是实对称矩阵.又因为C 是正定的由充分必要条件（4）知：A 、B 均为正定的充分性：因为A 、B 是正定. 所以∃正交矩阵P 、Q 使得AP P '、BQ Q '为对角阵.所以C 可经合同变换化为对角型，且对角线上的元素为A 、B 的特征值且都大于零.所以C 正定. 2.性质：设矩阵A 为n 阶实方阵，则下列命题等价. <1>A 是正定矩阵. <2>1-A 是正定矩阵.<3>A '是正定矩阵. <4>A A '+是正定矩阵.<5>对任意n 阶可逆矩阵P ,AP P '是正定矩阵.<6>A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.证：<1>⇒<2> 若A 是正定的，则存在实可逆矩阵C ，使C C A '=，因为)()(1111'='=----C C C C A又因为C 可逆，于是1-C也是是可逆矩阵所以1-A 也是正定矩阵.⇒<3> 因为A 是正定矩阵，于是存在可逆C 使C C A '=，则C C C C C C A '='''=''='))(()(所以A '是正定矩阵.⇒<4> 因为A 是正定矩阵，于是A A '=，则A A A 2='+.又因为∀nC X ∈都有0>'A X X ，所以02>'A X X ，即0)2(>'X A X所以A 2正定矩阵，因此A A '+就是正定矩阵.⇒<5> 因为A 是正定矩阵，所以∀nC X ∈使得 0>'A X X .令PY X =, 则有nC X ∈为任意的，则Y 为任意的.因此0>''APY P Y因此AP P '为正定矩阵.⇒<6> 设n n ij a A ⨯=)(是正定的，A 的任意k 级主子式对应的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 212221212111设A 与k A 的二次型分别为AY Y '和AX X '，对任意=0X 0),,(21≠'n i i i b b b 取),,,(210n c c c Y =≠0,其中=k c 12,(,,0k n b k i i i =⎧⎨⎩)，其它 n k ，，21= 由A 正定知0>'A Y Y ，故0>'A X X 既AX X '是正定的.因此k A 正定，所以A 的各阶主子矩阵是正定矩阵. 还可以由上面的充分必要条件（4）知A 的各阶主子式都大于零可以推得A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.以上给出了正定矩阵的一些充分必要条件及性质，以下我们就来探讨一以下正定矩阵在一些方面的应用.三．正定矩阵的应用（1）从二次型理论的起源，既从化二次型曲线和二次型曲面为标准形的问题入手, 我们发现二次型理论对二次型理论对二次型曲线和二次型曲线的方程的化简有着重要的意义. 例1.利用直角坐标变换化简如下二次曲面的方程,032682223222=++--+++z y x xy z y x 其中)1,3,4(),,,(--='='B z y x X⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200021013A 解：作平移变换：),,(,321ααααα='-=Y X 则有03)(2)()(=+-'+-'-αααY B Y A Y即0322=+'-'+'+'-'-'αααααB Y B A AY A Y AY Y 令32+'-'=αααβB A又因为A A AY A Y =''=',αα，所以0)(2=+'--'βαY B A AY Y适当的选取，α使B A =α,由秩=A 秩A 3=,知：B A =α(线性方程组）有唯一解：211321===ααα，由B A ',,α可得29-=β，又由于A 是实可逆矩阵，所以存在正交矩阵T ,使得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='321λλλAT T 使得25-525523,21=+==λλλ，， 为A 的特征根作正交线性替换)(,321Z Z Z Z TZ Y '''='=，，，则 23222123322221125-52552Z Z Z Z Z Z AY Y '+'++'='+'+'='λλλ 即原方程可化简为02552552232221='-+'++'Z Z Z （2）用正定二次型的理论来判定多元函数极值存在的充分必要条件是很方便的.定义1.设n 元函数),,,()(21n x x x X f =在n n R x x x X ∈'=),,(,21 的某个领域内有一阶，二阶连续函数偏导数，记)(),()(21X f x fx f x f X f n∇∂∂∂∂∂∂=∇，，， 称为函数)(X f 在点)(21'=n x x x X ，，， 处的梯度，或记为)(x gradf .定义2. 设n 元函数)(x f 对各自变量具有二阶连续偏导数，则矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212111)( 称作是)(x f 在n P 点的黑塞矩阵.)(X H 是由)(x f 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶方阵是对称矩阵.定理1.（极值的必要条件） 设n 元函数)(x f 其中)(21n x x x X ，，， =的对各自变量具有一阶连续偏导数，n n R x x x X ∈=),,,(002010 是)(x f 的一个驻点，则)(x f 在)002010n x x x x ，，，（ =取得极值的必要条件是0)()(r n210x x x fx f x f x adf g ='∂∂∂∂∂∂=，，， 定理 2.（极值的充分条件） 设函数)(x f 在点的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数，且0))()()(()(n02010=∂∂∂∂∂∂=∇x x f x x f x x f x f ，，， 则： （1）当)(0x H 为正定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极小值. (2) 当)(0x H 为负定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极大值. (3) 当)(0x H 为不定矩阵时，)(0x f 不是)(x f 的极值.例2.求函数321212221321212),,(x x x x x x x x x f ++++=的极值. 解：因为22,122,123331221211+=∂∂+=∂∂+=∂∂x x f x x x f x x x f又因为0,0,0321=∂∂=∂∂=∂∂x f x f x f 得驻点)1,144,24(,)1,0,0(10'--='=X X .)(x f 得各二阶偏导数为：2,0,2,2,12,623231222*********12=∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂x fx x f x f x x f x x f x x f 得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122126)(1x X H在0X 点处，又得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122120)(0X H , 而)(0X H 的顺序主子式 0152det ,0144212120det ,0det 321<-=<-===H H H故)(0X H 不定，0X 不是极值点，在点1X 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2020212212144)(1X H而)(1X H 的顺序主子式02802020212212144det 014421212144det ,0144det 321>==>==>=H H H ，故)(1X H 为正定矩阵. )1,144,24(1'--=X 为极小值点.极小值6913)1,144,24()(1-=--=f x f例3.正定矩阵与柯西不等式 我们学过柯西不等式的表达式为∑∑∑===≤ni i ni ini i i y x y x 022.同时，也可将其用内积的形式来表示为βαβα≤⋅.设矩阵()ij a A =是一个n 阶正定矩阵，对任意向量()321,,,x x x =α，()321,,,y y y =β，我们定义∑∑===⋅n i nj jiij yx a 00βα,从中我们可以看出这是n 维向量的内积.相反，我们可以得出，对于n维向量的任意一种内积，一定存在一个n 阶正定矩阵()ij a A =使得对任意向量α和β可以∑∑===⋅n i nj j i ij y x a 00βα来定义.因此，给定了一个n 阶正定矩阵，在n 维向量间就可以由这个矩阵定义一个内积，从而可以得到如下相应柯西不等式：∑∑∑∑====≤ni j i ijn i n j jiij ni ji ij y y ax x a yx a 000证明：不等式32212322213221232221132332213322112)(2y y y y y y y x x x x x x x y x y x y x y x y x y x y x --++--++≤----++对所有的321,,x x x 和321,,y y y 均成立.证：有题意可得βα⋅是由矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=210121012A 所定义的，则可以得到矩阵A 的顺序主子式 04210121012,032112,02>=---->=--> 因此矩阵A 是正定矩阵，所以该不等式是由正定矩阵A 所确定的内积产生的柯西不等式，既不等式成立.从该例题中也可将不等式推广为：∑∑∑∑∑∑=-=+=-=+=-=++--≤+-ni n i i i in i n i i i i n i n i i i i iii y y yxx x y x yx y x 1111211112111112)(2其中*N n ∈,),,2,1(,n i y x i i =是任意实数.四．结束语本文针对正定矩阵有了深刻的理解.本文探讨了矩阵的各类性质及在不等式、多元函数极值问题中的应用.作为在矩阵中占有特殊地位的正定矩阵，其应用的范围也更加广泛，但由于本人目前能力有限，待做深入研究.参考文献：1.王萼芳、石生明，高等代数[M].北京：高等代数出版社.2003.205-236.2.董可荣、包芳勋，矩阵思想的形成与发展[J].自然辩证法通讯。

正定矩阵的性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，具有许多重要的性质和应用。

本文将介绍正定矩阵的定义、性质和判定方法，并且讨论一些应用领域。

1.正定矩阵的定义在矩阵理论中，一个n×n实对称矩阵A被称为正定矩阵，如果对于任何非零向量x∈R^n，都有x^TAx>0，即x的转置乘以A再乘以x的结果大于零。

2.正定矩阵的性质（1）正定矩阵的所有特征值都大于零。

这是因为对于任意非零向量x，都有x^TAx>0。

设v是A的特征向量，对应的特征值是λ，则有Av=λv，可以计算x^TAx=x^T(λv)=λx^Tv。

由于x和v都是非零向量，所以λ必须大于零。

（2）正定矩阵的特征值分解不存在负值。

根据性质（1），正定矩阵的特征值都大于零，因此没有负值。

（3）正定矩阵的行列式大于零。

由特征值的性质可以得到，一个正定矩阵的行列式是它的特征值的乘积，因此行列式大于零。

（4）正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。

设A是正定矩阵，对于任意非零向量x，都有x^TAx>0。

我们可以将这个不等式两边同时乘以x^TA^-1，得到x^Tx=x^TAA^-1x，即A^-1是正定矩阵。

3.正定矩阵的判定方法（1）主元顺序准则：一个n×n矩阵A是正定矩阵，当且仅当A的所有n阶主子式均大于零。

主子式是从A的每一行和每一列中选择相同编号的元素，并且这些元素所构成的矩阵的行列式。

（2）Sylvester准则：一个n×n 实对称矩阵 A 是正定矩阵，当且仅当 A 的所有顺序主子式大于零。

顺序主子式是从 A 的前 k 行和前 k列中选择相同编号的元素，并且这些元素所构成的矩阵的行列式。

（3）特征值判定法：一个n×n实对称矩阵A是正定矩阵，当且仅当A的所有特征值都大于零。

4.正定矩阵的应用正定矩阵在数学和工程领域都有广泛的应用，如下所示：（1）最优化问题：正定矩阵是最有用的约束条件，用于定义凸优化问题的约束集合。

正定矩阵条件正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有许多重要的性质和应用。

在本文中，我们将探讨正定矩阵的定义、性质以及其在优化问题和统计学中的应用。

一、正定矩阵的定义和性质正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有x^T Ax > 0成立的矩阵A。

其中，x^T表示x的转置，A表示矩阵。

1.1 正定矩阵的定义设A是一个n阶矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^T Ax > 0成立，则称A是正定矩阵。

1.2 正定矩阵的性质（1）正定矩阵的特征值都大于0。

（2）正定矩阵的行列式大于0。

（3）正定矩阵的所有主子矩阵都是正定矩阵。

（4）正定矩阵可逆，且其逆矩阵也是正定矩阵。

（5）正定矩阵的转置仍然是正定矩阵。

二、正定矩阵的应用正定矩阵在优化问题和统计学中有着广泛的应用，下面我们将分别介绍其应用领域。

2.1 优化问题中的应用在优化问题中，正定矩阵常常用于描述二次型函数。

二次型函数在优化问题中有着重要的地位，其最优化问题可以通过正定矩阵的特征值分解来求解。

具体来说，如果一个二次型函数f(x) = x^T Ax，其中A是正定矩阵，我们希望找到使f(x)取得最小值的向量x。

根据正定矩阵的性质，我们可以通过求解方程Ax = 0来找到极小值点。

2.2 统计学中的应用在统计学中，正定矩阵常常用于描述多元正态分布的协方差矩阵。

多元正态分布是一种重要的概率分布，其协方差矩阵描述了各个随机变量之间的关联程度。

具体来说，设X是一个n维随机向量，其协方差矩阵为Σ。

如果Σ是正定矩阵，则X服从多元正态分布。

正定矩阵的正定性保证了多元正态分布的非负性和方差的存在性。

三、总结正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有许多重要的性质和应用。

本文从正定矩阵的定义和性质入手，介绍了其在优化问题和统计学中的应用。

正定矩阵的研究和应用是线性代数和数学优化领域的重要课题，对于理解和解决实际问题具有重要的指导意义。