题型总结之数列求和

解：（1）当 为偶数时，
（2）当 为奇数时， 为偶数
综上所述，
当数列 的通项公式可以写成 时，其中 为等差数列， 为等比数列，可仿照等比数列求和公式的由来，利用错位相减法求数列 的前 项和（通常我们此时的数列 成为差比数列）。
例4、已知 ， ，求数列 的前 项和 .
分析：易知数列 表示以2为首项，3为公差的等差数列，数列 表示以 为首项， 为公比的等比数列，所以数列 为差比数列，前 项和 可用错位相减法进行求解。
5、数列 的通项公式可以写成 时，其中 为等差数列， 为等比数列，也可以利用错位相减法求和。因为 ，数列 也是等比数列。
6、此种题型最考验学生的基本功，属于平时考试和高考中的热门题型。做题时不可急躁，应当循序渐进，切不可急功近利，否则容易走火入魔，切记！切记！切记！
5、裂项相消法
一般情况下，若 ，其中数列 为等差数列，则可以将 改写为：
= =
=
同理，当 时， 。
注明：
1、当数列 、 均是等差数列时，数列 也是等差数列，此时直接用公式法即可；
2、当数列 、 均是等比数列时，数列 不一定是等比数列，此时采用分组求和法；
3、当数列 、 一个是等差数列，另一个等比数列时，也可分组求和；
4、当数列 、 是其它数列，但是可以用其它方法求和时，也可分组求和。
， 其中 为等差数列的公差。
例5、已知 ， ，求数列 的前 项和
解：由题意可知
其前 项和
注明：
1、裂项相消法是把数列的各项分别裂开后，前后抵消，从而达到求和的目的；
2、裂项时要保证裂开前后是等价的，有时需要调整前面的系数；
3、裂项时，一般是前面裂几项，后面裂几项，直到发现被消去项的规律为止；
4、消项时，前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项，即剩余的项前后具有对称性；
（ⅱ） ，倒序写之： ，两式相加得：
易知，数列 是以2为首项，1为公差的等差数列。
强化练习：已知数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，求
提示：利用
解：由题意可知 ，根据组合数性质 ， ，倒序写之 ，两式相加
7、并项求和法
例7：已知 ，数列 的前 项和 。
分析： 中，数列 是等比数列， 为等差数列，属于前面的差比数列，其前 项和 可用错位相减法或者裂项相消法进行求解，但是这两种方法均显繁琐。考虑到 同时也是周期数列，我们也可以对 进行分类讨论，并项求和。
例2、已知 ， ， ，求数列 的前 项和。
解析：由题意可知， = ，
设
注明：
1、题中未给出符号时，解题过程中要提前设出；
2、刚开始时，如果计算不够熟练，可以分部分计算，分步得分。
3、等差数列的绝对值求和法
当数列 是等差数列时，求数列 的前 项和。
例3、已知数列 的通项公式为 ， ，求数列 的前 项和 .
解析：由题意可知
两式相减得：
注明：
1、错位相减法的基本原理来源于等比数列的前 项和公式的推导，其一般解题模板为：
①
① 得： ②
①-②得：
然后化简即可。
2、基本步骤可概括为：乘公比、错位、相减、化简；
3、错位相减计算量较大，化简不易，务必细心；
4、最后的化简中，最好把底数相同的指数式进行合并，并通过首项检验结果的正确性。这种首项检验的方法也可运用到其它数列求和结果的检验，但不是充分条件。
题型总结之数列求和
数列求和历年来是高考中的必考内容。此类题型模式特点容易总结，解题模板也容易复制，属于中档难度。需要学生在做题时快速找到相应的突破口，要求学生有扎实的基本功，而且经过训练后很容易形成考试分数。下面我们详细讲解：
1、公式法
1、等差数列的前 项和公式：
，
其中
2、等差数列的前 项和公式：
，其中
当 时，都有 ，即数列的通项公式 是关于点 的对称函数。利用函数的对称性就可以采用倒序相加的方法进行求和。
例6、对任意 函数 都有 。
（1）求 的值；
（2）若数列 满足 ，
（ⅰ）求 ；（ⅱ）判断数列 是否为等差数列，并说明理由。
解：（1）有题意可知，当 时， ，所以 。
（3）(ⅰ) ,倒序写之： ,两式相加得：
其结果与错位相减法相同。
注明：
差比数列的通项公式最终都可以化成 的形式，其前 项和的求解既可以用错位相减法，也可以用裂项相消法。用裂项相消法的基本解法是待定系数法，解题思路如下：
设：Fra Baidu bibliotek
整理得：
比较系数得：
解得：
于是利用裂项相消可得差比数列 的前 项和公式为：
6、倒序相加法
倒序相加法是从等差数列求和的方法中抽象概括出来的。这类题有一个明显的特征：首项与末项相加为定值、第2项与倒数第2项相加为同一定值…。一般以如下方式出现：
5、常见的几种裂项题型：
①
②
③ 为等差数列
④
⑤
6、用裂项相消法求差比数列的和
例4：已知 ， ，求数列 的前 项和 。
分析：易知数列 表示以2为首项，3为公差的等差数列，数列 表示以 为首项， 为公比的等比数列，所以数列 为差比数列，前 项和 可用错位相减法进行求解。
解法二：令
整理得：
比较系数得： 解得：
例1、求
分析：首先数列 ，不一定是等比数列，如果是等比数列，也需要对公比 其进行讨论，其次这个数列的项数为 项，而不是 项。
解：（1）当 时， ；
（2）当 时， ；
（3）当 时， 。
2、分组求和法
当数列 的通项公式可以写成 时，其中数列 、 是等差数列或等比数列时，可用分组求和法，即：设数列 的前 项和 ，数列 的前 项和 ，则数列 的前 项和 =
注明：
1、等差数列、等比数列的通项公式容易判断，而相应的前 项和求解时利用公式直接求和即可。但是在运用公式时特别要注意公式的应用条件，尤其是等比数列的公比 是否为1？当公比以公比以字母或参数形式出现时，别忘记要对字母或参数进行分类讨论，以确保正确选用公式。
2、等差数列和等比数列的前 项和公式都有相应的函数解析式，其性质和函数息息相关，注意函数性质的应用。
3、当等差数列 的首项 ，公差 时，各项加绝对值后，在第 项大于0，而从第 项小于或等于0，于是有： ；
4、当等差数列 的首项 ，公差 时，各项加绝对值后，在第 项小于0，而从第 项大于或等于0，于是有： ；
5、当数列 不是等差数列时，若对各项加绝对值在求和，可参照上面的方式进行讨论。
4、错位相减法
解析：由题意可知数列 的首项 ，公差 的等差数列，其前 项和 ，而
所以，当 时，
当 时，
综上所述：
注明：
当求数列各项绝对值之和时，需要弄清各项的正负后去掉绝对值，因此需要对 和 进行讨论：
1、当等差数列 的首项 ，公差 时，各项加绝对值后各项仍然还是非负数，此时 ；
2、当等差数列 的首项 ，公差 时，各项加绝对值后各项变为非正数，此时 ；