因动点产生的面积问题
例1：如图所示，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分呈一个菱形，求菱形面积的最大值。
例2：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为正三角形，A在第一象限上，点B的坐标为（2，0），点P是线段OB的三等分点．
（1）求经过A、O两点的直线AO的解析式；
（2）过点P作PC⊥AB，PD⊥AO，垂足分别为C、D，求PC+PD的值；（3）在（2）的条件下，点E在x轴的负半轴上，作直线CE交AO于点F，且△ACF和△EOF的面积相等，求直线CE的解析式．
一、面积比定值问题
已知：抛物线y=ax 2+bx+c 经过点O （0，0），A （7，4），且对称轴l 与x 轴交于点B （5，0）。
（1）求抛物线的表达式。
（2）如图，点E 、F 分别是y 轴、对称轴l 上的点，且四边形EOBF 是矩形，
点C （5，2
5）是BF 上一点，将△BOC 沿着直线OC 翻折，B 点与线段EF 上的D 点重合，求D 点的坐标。
（3）在（2）的条件下，点G 是对称轴l 上的点，直线DG 交CO 于点H ，S △DOH ：S △DHC =1：4，求G 点坐标。
例.如图，在平面直角坐标系XOY 中，已知点A 的坐标为（a ，3）（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数y=x 12的图象交于点P ，点B 、C 分别在函数y=x 12的图象上，且AB ∥x 轴，AC ∥y 轴；
（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；
（2）联结BO ，当AB=BO 时，求点A 坐标；
（3）联结BP 、CP ，试猜想：
ACP ABP △S △S 的值是否随a 的变化而变化？如果不变,求出ACP
ABP △S △S 的值；如果变化，请说明理由．
例：如图，在平面直角坐标系中，已知点A （m ，0），点B （4，0）、C （4，m ），其中m ＜0，点D 是y 轴正半轴上的一点，且OD=AB ，分别连接AD 、AC 、DB 和DC ．
（1）请直接写出D 点的坐标（用含m 的整式表示）；
（2）判断△DAC 的形状并说明理由；
（3）是否存在实数m 的值，使得
m S S ABC
DACB 36-=∆四边形？若存在，请求出m 的值不存在，请说明理由．
二、等面积求定点坐标问题
例2.如图，在平面直角坐标系XOY 中，直线1+=mx y 与反比例函数y ＝x
k （k ＞0）相交于点A 、B ，点C 在x 轴正半轴上，点D （2，-3），连结OA 、OD 、DC 、AC ，四边形AODC 为菱形．
（1）求k 和m 的值．
（2）当x 取何值时，反比例函数值不小于一次函数值．
（3）设点P 是y 轴上一动点，且△OAP 的面积等于菱形OACD 的面积，求点P 的坐标．
例：如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD 为菱形，且A （0，3）、 B （-4，0）．
（1）求经过点C 的反比例函数的解析式；
（2）设P 是（1）中所求函数图象上一点，以P 、O 、A 顶点的三角形的面积与△COD 的面积相等．求点P 的坐标．
例：如图，在平面直角坐标系中，点A 是反比例函数y 1=x
k （k ≠0）图象上一点，AB ⊥x 轴于B 点，一次函数y 2=ax+b （a ≠0）的图象交y 轴于D （0，-2），交x 轴于C 点，并与反比例函数的图象交于A ，E 两点，连接OA ，若△AOD 的面积为4，且C 为OB 的中点．若点Q 在反比例函数图象上，且QAB S ∆=BAC S ∆4，求点Q 的坐标．
三、面积极值问题
例3：如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图象经过矩形OABC
的顶点A ，B ，与x 轴交于点E ，F ，且B ，E 两点的坐标分别为B （2，2
3），E （-1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若直线BE 与抛物线的对称轴交点为P ，M 是线段CB 上的一个动点（点M 与点B ，C 不重合），过点M 作MN ∥BE 交x 轴于点N ，连接PM ，PN ，设CM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；
例：如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ，且A （4，0）．C （0，-3），对称轴是直线x=l ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若M 是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m ，设四边形OCMA 的面积为s ．请写出s 与m 之间的函数关系式，并求出当m 为何值时，四边形OCMA 的面积最大；
例:已知：在矩形AOBC 中，OB=4，OA=3．分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数y=x
k （k ＞0）的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：△AOE 与△BOF 的面积相等；
（2）记ECF OEF S S S ∆∆-=，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
例：如图1，已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过A （-3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ，
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图2，若E 是线段AD 上的一个动点（E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线与点F ，交x 轴与点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ，
①求S 与m 的函数表达式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
