1.（2007清华）
对于集合2
M R ⊆（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ∀∈∃>，使得{}2
P R PP r M ∈<⊆⎰。判断集合{}(,)4250x y x y +->⎰与集合{}(,)0,0x y x y ≥>⎰是否为开集，并证明你的结论。
2，（2009北大）
已知,cos cos 21x R a x b x ∀∈+≥-恒成立，求max ()a b +
3，（2009清华）
已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。求证：
3a b c x y z ++≥。
4，（2006清华）
已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。
5，（2008北大）
实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。求证：12312m a x (,,
)m a x (,,)a a a b b b ≤。
6，（2009清华）
试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为
7，（2009清华）
x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n x
y -+≥
8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。
9，（2006清华）
设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内
切圆面积之和，求1lim n k n k A →∞=∑。
10，（2008北大）
数列{}1n n a ∞=定义如下：1234561,2,3,a a a a a a ======……
（1） 给定自然数n ，求使l a n =的L 的范围；
（2） 令221m m l l b a ==∑，求3
lim
m m b m →∞。
11，（2009清华）
的整数部分为A ，小数部分为B 。 （1） 求A 、B ；
（2） 求222AB A B ++
； （3） 求12lim()n n B B B →∞
+++…
12，（2010年清华特色考试）
在蒲丰投针试验中，平行线间距为a ，针长为b ，试求针与线相交的概率与a 、b 的关系，并求什么情况下概率是
1π。
【蒲丰投针： 1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d 的平行线。
2) 取一根长度为l （l 3）计算针与直线相交的概率．】 13，（2009清华） 随机挑选一个三位数I (1)求I 含有因子5的概率。 (2)求I 中恰有两个数码相等的概率。 14，（2007清华） 已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 中有一工作，C 工作，D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果. 求：（1）能听到立体声效果的概率； （2）听不到声音的概率. 15，（2010北大） 向量OA 与OB 已知夹角，2OA =，1OB =，OP tOA =，(1)OQ t OB =-，0PQ t 在 时取得最小值。问当0105t << 时，夹角的取值范围。 16，（2006清华） 求最小正整数n ，使得1()2n I =为纯虚数，并求出I 。 17，（2009清华） 已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1n f s s s s =++++…。 18，（2009北大） 圆内接四边形ABCD 中，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4，求ABCD 的外接圆的半径。 19，（2010北大） 是否存在02x π <<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 的某种排列为等差数列？ 20，（2010清华特色测试） 求4 04040sin 10sin 50sin 70++的值。 21，（2008清华） 已知sin cos θθ+=θ的取值范围。 22，（2006清华） 已知sin ,sin ,cos a θθ为等差数列，sin ,sin ,cos θβθ为等比数列，求1cos 2cos 22 a β- 的值。 23，（2007清华） 已知(1,1)A --，ABC ∆是正三角形，且B 、C 在双曲线1(0)xy x =>一支上。 （１） 求证：Ｂ、Ｃ关于直线y=x 对称； （２） 求ABC ∆的周长。 24，（2009清华） 已知PM PN -=(2,0),(2,0)M N - （１） 求点P 的轨迹W ； （２） 直线(2)y k x =-与W 交于点A 、B ，求AOB S ∆（O 为原点） 25，（2009清华） 已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，过椭圆左顶点(,0)A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴 交于R ，过原点与L 平行的直线与椭圆交于P 。求证：,AQ AR 成等比数列。 26，（2009清华） 四面体ABCD 中，AB=CD,AC=BD,AD=BC. （１） 求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形； （２） 设底面为BCD ，另外三个面与面BCD 所形成的二面角为,,αβγ，求证： cos cos cos 1αβγ++= 27，（2010北大） 已知A 、B 为2 1y x =-上在第一二象限内的两个点，求过A 、B 的切线与x 轴围成面积的最小值。 28，（2007清华） 求()x e f x x =的单调区间与极值。 29，（2006清华） 2y x =上有一点P （非原点） ，在P 处引切线交x 、y 轴于Q 、R ，求PQ PR . 30，(2008北大)
