利用matlab求解机械设计优化问题-螺栓【整理版】
3．机械优化设计应用实例
机械优化设计把数学规划理论与数值方法应用于设计中，用
计算机从大量可行方案中找出最优化设计方案，从而大大提高设
计质量和设计效率。MATLAB 具有解决线性规划和非线性规划、
约束优化和无约束优化问题的内部函数，因而可以完成这一功能。
现举一例：螺栓组联结的优化设计 如图4所示的压力容器螺栓组联接中，已知D 1= 400mm,D 2 =
250mm ，缸内工作压力为p=1.5 MPa ，螺栓材料为35号钢，σs =320Mpa,安全系数S=3,取残余预紧力Q ’p =1.6F,采用铜皮石棉密封垫片。现从安全、可靠、经济的角度来选择螺栓的个数n 和螺栓的直径d 。
3．1 设计问题分析
若从经济性考虑，螺栓数量尽量少些、尺寸小些，但这会使降低联结的强度和密封性，不能保证安全可靠的工作；若从安全、可靠度考虑，螺栓数量应多一些、尺寸大一些为好，显然经济性差，甚至造成安装扳手空间过小，操作困难。为此，该问题的设计思想是：在追求螺栓组联结经济成本最小化的同时，还要保证联结工作安全、可靠。
3 ．2 设计变量 目标函数 约束条件
3．2 .1 设计变量 选取螺栓的个数n 和直径d(mm)为设计变量:
T 21T ]x [x ]d [n X ==
3．2 .2 目标函数 追求螺栓组联结经济成本C n 最小为目标。而当螺栓的长度、材料和加工条件一定时，螺栓的总成本与nd 值成正比，所以本问题优化设计的目标函数为
min F(X) = C n = n d = x 1x 2
① 强度约束条件 为了保证安全可靠地工作，螺栓组联结必须满足强度条件
][32.521
σπσ≤=d Q
ca ； 其中Mpa S s 106.3320][===σσ； n n p n D F F F F Q Q p πππ6093742505.16.246.26.26.1222'
=⨯=⨯
==+=+=
N ； 对于粗牙普通螺纹：由文献[3]推荐，小径 d 1=0.85d 所以，强度约束条
件为：
0106146192106146192106105624)(22
12211≤-=-=-=x x nd nd X g ② 密封约束条件 为了保证密封安全
，螺栓间距应小于10d ，所以，密封约束条件为：01040010)(2112≤-=-=x x d n D X g ππ
③ 安装扳手空间约束条件 为了保证足够的扳手空间，螺栓间距应大于5d ，所以，安装约束条件为：040055)(1
21
3≤-=-=x x n D d X g ππ ④ 边界约束条件 0)(14≤-=x X g ；0)(25≤-=x X g
3．3 ．3 建立数学模型
综上所述，本问题的数学模型可表达为：
设计变量：T 21]x [x X =
目标函数：min F(X) = x 1x 2
约束条件： s.t. 0)(≤X g i ( i = 1, 2, 3, 4, 5,)
现运用MATLAB 的优化函数进行求解 :
先编写M 文件
function [c,ceq]=mynas(x)
c(1)=146192/(x(1)*x(2)^2)-106; % 非线性不等式约束
c(2)=400*pi/x(1)-10*x(2);
c(3)=-400*pi/x(1)+5*x(2);
ceq=[]; % 非线性等式约束
在MATLAB 命令窗口输入:
fun='x(1)*x(2)'; % 目标函数
x0=[4,6]; % 设计变量初始值
A=[-1,0;0,-1]; % 线性不等式约束矩阵
b=[0;0];
Aeq=[]; % 线性等式约束矩阵
beq=[];
lb=[]; % 边界约束矩阵
ub=[];
[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mynlsub) % 调用有约
束优化函数
运行结果如下:
x = 11.4499 10.9751
fval = 125.6637
所以，该问题优化结果为：n =11.4499 ,d = 10.9751，目标函数最小值：
F(X)= 125.6637。根据实际问题的意义取整、标准化：n =12 ,d = 12。
由此例可以看出，与其它编程语言相比，MATLAB语言可以简化编程。
图5是调用MATLAB绘图函数自动对上例绘制的数学模型要素图（标注数字的曲线为目标函数的等值线），为此
在MATLAB命令窗口输入:
x1=0.1:20;
y1=146192./(106.*x1.^2);
y2=400.*pi./(10.*x1);
y3=400.*pi./(5.*x1);
plot(y1,x1,y2,x1,y3,x1,x(1),x(2),'o')
y4=0.1:0.1:20;
[y4,x1]=meshgrid(y4,x1);
Q=y4.*x1;
hold on;
[c,h]=contour(y4,x1,Q);
hold on;
clabel(c,h) ;
4．结束语
从上述实例可以看出，利用求解最优化问题具有编程简单，精度很高，速度很快，各种工形式的最优化问题都适用等优点，巧妙各种利用MATLAB语言可以取得事半功倍的效果。MATLAB具有科学计算的强大能力,不管处理什么样的对象——算法、图形、图像、报告或者算法仿真——MATLAB 都能够帮助
