第十章 多元函数积分学（Ⅰ）一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。
第一节 二重积分教学目的：1、熟悉二重积分的概念；2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理；3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法；4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点：1、二重积分的性质和几何意义；2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点：1、二重积分的计算；2、二重积分计算中的定限问题 教学内容：一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个∆σ i 中任取一点(ξ i , ηi ),以f (ξ i , η i )为高而底为∆σ i 的平顶柱体的体积为f (ξ i , η i ) ∆σi (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).这个平顶柱体体积之和i i i ni f V σηξ∆≈=∑),(1.可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即i i i ni f V σηξλ∆==→∑),(lim 10.其中λ是个小区域的直径中的最大值.2. 平面薄片的质量.设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D , 它在点(x , y )处的面密度为ρ(x , y ), 这里ρ(x , y )>0且在D 上连续. 现在要计算该薄片的质量M .用一组曲线网把D 分成n 个小区域∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n . 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量:ρ(ξ i , η i )∆σ i . 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:i i i ni M σηξρ∆≈=∑),(1.将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量i i i ni M σηξρλ∆==→∑),(lim 10.其中λ是个小区域的直径中的最大值.定义 设f (x , y )是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n .其中∆σ i 表示第i 个小区域, 也表示它的面积. 在每个∆σ i 上任取一点(ξ i , ηi ), 作和i i i ni f σηξ∆=∑),(1.如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记作σd y x f D⎰⎰),(, 即i i i ni Df d y x f σηξσλ∆==→∑⎰⎰),(lim ),(10. f (x , y )被积函数, f (x , y )d σ被积表达式, d σ面积元素, x , y 积分变量, D 积分区域, 积分和. 直角坐标系中的面积元素:如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D , 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域∆σi 的边长为∆x i 和∆y i , 则∆σi =∆x i ∆y i , 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素d σ 记作dxdy , 而把二重积分记作dxdy y x f D⎰⎰),(其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素.二重积分的存在性: 当f (x , y )在闭区域D 上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f (x , y )在D 上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f (x , y )在闭区域D 上连续, 所以f (x , y )在D 上的二重积分都是存在的.二重积分的几何意义: 如果f (x , y )≥0, 被积函数f (x , y )可解释为曲顶柱体的在点(x , y )处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f (x , y )是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的.二、二重积分的性质性质1σσd y x f k d y x kf DD⎰⎰⎰⎰=),(),(.性质2 设c 1、c 2为常数, 则σσσd y x g c d y x f c d y x g c y x f c DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+),(),()],(),([2121.性质3 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和. 例如D 分为两个闭区域D 1与D 2, 则σσσd y x f d y x f d y x f D D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(.性质4σσσ==⋅⎰⎰⎰⎰DDd d 1(σ为D 的面积).性质5 如果在D 上, f (x , y )≤g (x , y ), 则有不等式σσd y x g d y x f DD⎰⎰⎰⎰≤),(),(.性质6 σσd y x f d y x f DD⎰⎰⎰⎰≤|),(||),(|.性质7(二重积分的中值定理) 设函数f (x , y )在闭区域D 上连续, σ 为D 的面积, 则在D 上至少存在一点(ξ, η)使得σηξσ),(),(f d y x f D=⎰⎰.三、 二重积分的计算法X --型区域: D : ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ), a ≤x ≤b . Y --型区域: D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d . 混合型区域:设f (x , y )≥0, D ={(x , y )| ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ), a ≤x ≤b }. 此时二重积分σd y x f D⎰⎰),(在几何上表示以曲面z =f (x , y )为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积.对于x 0∈[a , b ], 曲顶柱体在x =x 0的截面面积为以区间[ϕ1(x 0), ϕ2(x 0)]为底、以曲线z =f (x 0, y )为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为⎰=)()(000201),()(x x dy y x f x A ϕϕ.根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为⎰=badx x A V )(dx dy y x f b a x x ⎰⎰=]),([)()(21ϕϕ.即 V =dx dy y x f d y x f b a x x D⎰⎰⎰⎰=]),([),()()(21ϕϕσ.可记为⎰⎰⎰⎰=bax x Ddy y x f dx d y x f )()(21),(),(ϕϕσ.类似地, 如果区域D 为Y --型区域:D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d ,则有⎰⎰⎰⎰=dc y y Ddx y x f dy d y x f )()(21),(),(ψψσ.例1：计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =1、x =2及y =x 所围成的闭区域.解：画出区域D .方法一 可把D 看成是X --型区域: 1≤x ≤2, 1≤y ≤x . 于是⎰⎰⎰⎰=211][xDdx xydy d xy σ⎰⎰-=⋅=2132112)(21]2[dx x x dx y x x 89]24[212124=-=x x .注: 积分还可以写成⎰⎰⎰⎰⎰⎰==211211xx Dydy xdx xydy dx d xy σ.方法二 也可把D 看成是Y --型区域: 1≤y ≤2, y ≤x ≤2 . 于是⎰⎰⎰⎰=212][y Ddy xydx d xy σ⎰⎰-=⋅=2132122)22(]2[dy y y dy x y y 89]8[2142=-=y y . 例2：计算σd y x yD⎰⎰-+221, 其中D 是由直线y =1、x =-1及y =x 所围成的闭区域.解：画出区域D , 可把D 看成是X --型区域: -1≤x ≤1, x ≤y ≤1. 于是⎰⎰⎰⎰-+=-+-122112211xDdy y x y dx d y x y σ⎰⎰----=-+-=1131112322)1|(|31])1[(31dx x dx y x x21)1(32103=--=⎰dx x .也可D 看成是Y --型区域：-1≤y ≤1, -1≤x <y . 于是⎰⎰⎰⎰---+=-+111222211yDdx y x ydy d y x y σ.例3：计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =x -2及抛物线y 2=x 所围成的闭区域. 解：积分区域可以表示为D =D 1+D 2, 其中x y x x D ≤≤-≤≤ ,10 :1; x y x D ≤≤≤≤2 ,41 :2. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=41210xx xxDxydy dx xydy dx d xy σ.积分区域也可以表示为D : -1≤y ≤2, y 2≤x ≤y +2. 于是⎰⎰⎰⎰-+=2122y yDxydx dy d xy σ⎰-+=21222]2[dy y x y y ⎰--+=2152])2([21dy y y y 855]62344[21216234=-++=-y y y y .讨论积分次序的选择.例4：求两个底圆半径都等于ρ的直交圆柱面所围成的立体的体积.解：设这两个圆柱面的方程分别为x 2+y 2=ρ 2及x 2+z 2=ρ 2. 利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V 1, 然后再乘以8就行了.第一卦限部分是以D ={(x , y )| 0≤y ≤22x R -, 0≤x ≤ρ}为底, 以22x R z -=顶的曲顶柱体. 于是σd x R V D⎰⎰-=228⎰⎰--=R x R dy x R dx 022228⎰--=Rx Rdx y x R 002222][83022316)(8R dx x R R=-=⎰.四、二重积分的换元法 1.利用极坐标计算二重积分有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量ρ 、θ 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分σd y x f D⎰⎰),(. 按二重积分的定义i ni i i Df d y x f σηξσλ∆=∑⎰⎰=→1),(lim ),(. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式.以从极点O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D 分为n 个小闭区域, 小闭区域的面积为:i i i i i i θρθρρσ∆⋅⋅-∆⋅∆+=∆2221)(21i i i i θρρρ∆⋅∆∆+=)2(21 i i i i i θρρρρ∆⋅∆⋅∆++=2)(i i i θρρ∆∆=,其中i ρ表示相邻两圆弧的半径的平均值.在∆σi 内取点) , (i i θρ, 设其直角坐标为(ξ i , η i ), 则有 i i i θρξcos =, i i i θρηsin =.于是 i i ni i i i i i i n i i i f f θρρθρθρσηξλλ∆∆=∆∑∑=→=→11)sin ,cos (lim ),(lim , 即θρρθρθρσd d f d y x f DD)s i n ,c o s (),(⎰⎰⎰⎰=. 若积分区域D 可表示为 ϕ 1(θ)≤ρ≤ϕ 2(θ), α≤θ≤β, 则ρρθρθρθθρρθρθρθϕθϕβαd f d d d f D⎰⎰⎰⎰=)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (.讨论:如何确定积分限?ρρθρθρθθρρθρθρθϕβαd f d d d f D⎰⎰⎰⎰=)(0)sin ,cos ()sin ,cos (.ρρθρθρθθρρθρθρθϕπd f d d d f D⎰⎰⎰⎰=)(020)sin ,cos ()sin ,cos (.例5：计算⎰⎰--Dy xdxdy e 22, 其中D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域.解：在极坐标系中, 闭区域D 可表示为0≤ρ≤a , 0≤θ ≤2π . 于是⎰⎰⎰⎰---=DDy x d d edxdy eθρρρ222θθρρπρπρd e d d eaa02020]21[ ][22⎰⎰⎰---==)1()1(212220a a e d e ---=-=⎰πθπ.注: 此处积分⎰⎰--Dy xdxdy e 22也常写成⎰⎰≤+--22222a y x y xdxdy e .利用)1(222222a a y x y xe dxdy e -≤+---=⎰⎰π计算广义积分dx e x 2-+∞⎰:设 D 1={(x , y )|x 2+y 2≤R 2, x ≥0, y ≥0}, D 2={(x , y )|x 2+y 2≤2R 2, x ≥0, y ≥0}, S ={(x , y )|0≤x ≤R , 0≤y ≤R }. 显然D 1⊂S ⊂D 2. 由于022>--y x e , 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式⎰⎰⎰⎰⎰⎰------<<22222122D y xSy xD y xdxdy e dxdy e dxdy e .因为20)(22222⎰⎰⎰⎰⎰-----=⋅=Rx Ry Rx Sy xdx e dy e dx e dxdy e ,又应用上面已得的结果有)1(42122R D y xe dxdy e ----=⎰⎰π,)1(422222R D y xe dxdy e ----=⎰⎰π,于是上面的不等式可写成)1(4)()1(4222220R R x R e dx e e ----<<-⎰ππ.令R →+∞, 上式两端趋于同一极限4π, 从而220 π=-∞+⎰dx e x .例6：求球体x 2+y 2+z 2≤4a 2被圆柱面x 2+y 2=2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积. 解：由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍.⎰⎰--=Ddxdy y x a V 22244,其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D 可表示为 0≤ρ≤2a cos θ , 20πθ≤≤.于是 ⎰⎰⎰⎰-=-=20cos 2022224444πθρρρθθρρρa Dd a d d d a V)322(332)sin 1(33222032-=-=⎰πθθπa d a .小结：1、二重积分的定义、几何意义；2、二重积分的计算（直角坐标，极坐标）3、二重积分的转化作业：习题10-12 (1) (3)、 6 (1)(5)、 8 (1) (4)、9(1)、 10(2)、 11(1)(3)第三节 三重积分教学目的：1、熟悉三重积分的概念；2、了解三重积分的性质；3、掌握三重积分在直角坐标系下的计算方法；4、掌握三重积分在柱面坐标系、球面坐标系下的计算方法 教学重点：1、三重积分的概念和计算；2、三重积分在柱面坐标系下的计算 教学难点：1、三重积分的计算；2、三重积分在球面坐标系下的计算 教学内容：一、三重积分的概念定义 设f (x , y , z )是空间有界闭区域Ω上的有界函数. 将Ω任意分成n 个小闭区域∆v 1, ∆v 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆v n其中∆v i 表示第i 个小闭区域, 也表示它的体积. 在每个∆v i 上任取一点(ξi , ηi , ζi ), 作乘积f (ξ i , η i , ζ i )∆v i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )并作和i i i i ni v f ∆=∑),,(1ζηξ. 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在,则称此极限为函数f (x , y , z )在闭区域Ω上的三重积分, 记作dv z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(. 即i i i i ni v f dv z y x f ∆==→Ω∑⎰⎰⎰),,(lim ),,(10ζηξλ. 三重积分中的有关术语:⎰⎰⎰Ω——积分号, f (x , y , z )——被积函数, f (x , y , z )dv ——被积表达式, dv体积元素, x , y , z ——积分变量, Ω——积分区域.在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的平面来划分Ω, 则∆v i =∆x i ∆y i ∆z i , 因此也把体积元素记为dv =dxdydz , 三重积分记作⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z y x f dv z y x f ),,(),,(.当函数f (x , y , z )在闭区域Ω上连续时, 极限i i i i ni v f ∆=→∑),,(lim 10ζηξλ是存在的, 因此f (x , y , z )在Ω上的三重积分是存在的, 以后也总假定f (x , y , z )在闭区域Ω上是连续的.三重积分的性质: 与二重积分类似.比如dv z y x g c dv z y x f c dv z y x g c z y x f c ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ±=±),,(),,()],,(),,([2121;dv z y x f dv z y x f dv z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+Ω+=2121),,(),,(),,(;V dv =⎰⎰⎰Ω, 其中V 为区域Ω的体积.二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算: 三重积分也可化为三次积分来计算. 设空间闭区域Ω可表为z 1(x , y )≤z ≤z 2(x , y ), y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b ,则σd dz z y x f dv z y x f Dy x z y x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω]),,([),,(),(),(21⎰⎰⎰=ba x y x y y x z y x z dy dz z y x f dx)()(),(),(2121]),,([ ⎰⎰⎰=ba y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx ),(),()()(2121),,(,即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωbay x z y x z x y x y dz z y x f dy dx dv z y x f ),(),()()(2121),,(),,(.其中D : y 1(x )≤ y ≤ y 2(x ), a ≤x ≤b . 它是闭区域Ω在xOy 面上的投影区域. 提示:设空间闭区域Ω可表为z 1(x , y )≤z ≤z 2(x , y ), y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b ,计算⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(.基本思想:对于平面区域D : y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b 内任意一点(x , y ), 将f (x , y , z )只看作z 的函数, 在区间[z 1(x , y ), z 2(x , y )]上对z 积分, 得到一个二元函数F (x , y ),⎰=),(),(21),,(),(y x z y x z dz z y x f y x F ,然后计算F (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 这就完成了f (x , y , z )在空间闭区域Ω上的三重积分.⎰⎰⎰⎰⎰=Dy x z y x z Dd dz z y x f d y x F σσ]),,([),(),(),(21⎰⎰⎰=bax y x y y x z y x z dy dz z y x f dx )()(),(),(2121]),,([,则σd dz z y x f dv z y x f Dy x z y x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω]),,([),,(),(),(21⎰⎰⎰=ba x y x y y x z y x z dy dz z y x f dx)()(),(),(2121]),,([⎰⎰⎰=ba y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx ),(),()()(2121),,(.即⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωba y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx dv z y x f ),(),()()(2121),,(),,(.其中D : y 1(x )≤ y ≤ y 2(x ), a ≤x ≤b . 它是闭区域Ω在xOy 面上的投影区域. 例1：计算三重积分dxdydz x ⎰⎰⎰Ω, 其中Ω为三个坐标面及平面x +2y +z =1所围成的闭区域.解：作图, 区域Ω可表示为: 0≤z ≤1-x -2y , )1(210x y -≤≤, 0≤x ≤1. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ω=10210210x y x xdz dy dx dxdydz x ⎰⎰---=1210)21(xdy y x xdx ⎰=+-=1032481)2(41dx x x x . 讨论: 其它类型区域呢?有时, 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分. 设空间闭区域Ω={(x , y , z )|(x , y )∈D z , c 1≤ z ≤c 2}, 其中D z 是竖坐标为z 的平面截空间闭区域Ω所得到的一个平面闭区域, 则有⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩzD c c dxdy z y x f dz dv z y x f ),,(),,(21.例2：计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2, 其中Ω是由椭球面1222222=++c z b y a x 所围成的空间闭区域.解：空间区域Ω可表为:2222221c z b y a x -≤+, -c ≤ z ≤c .于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω=c c D zdxdy dz z dxdydz z 22 3222154)1(abc dz z c z ab c cππ=-=⎰-. 练习：1. 将三重积分dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω=),,(化为三次积分, 其中(1)Ω是由曲面z =1-x 2-y 2, z =0所围成的闭区域.(2)Ω是双曲抛物面xy =z 及平面x +y -1=0, z =0所围成的闭区域. (3)其中Ω是由曲面z =x 2+2y 2及z =2-x 2所围成的闭区域. 2. 将三重积分dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω=),,(化为先进行二重积分再进行定积分的形式, 其中Ω由曲面z =1-x 2-y 2,z =0所围成的闭区域.三、三重积分的换元法 1. 柱面坐标变换设M (x , y , z )为空间内一点, 并设点M 在xOy 面上的投影P 的极坐标为P (ρ, θ ), 则这样的三个数ρ、θ 、z 就叫做点M 的柱面坐标, 这里规定ρ、θ 、z 的变化范围为: 0≤ρ<+∞, 0≤θ ≤2π , -∞<z <+∞. 坐标面ρ=ρ0, θ =θ 0, z =z 0的意义: 点M 的直角坐标与柱面坐标的关系:x =ρcos θ, y =ρsin θ, z =z . ⎪⎩⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos柱面坐标系中的体积元素: dv =ρd ρd θdz . 简单来说, dxdy =ρd ρd θ , dxdydz =dxdy ⋅dz =ρd ρd θ dz . 柱面坐标系中的三重积分:⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f θρρθρθρ),sin ,cos (),,(.例3：利用柱面坐标计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz , 其中Ω是由曲面z =x 2+y 2与平面z =4所围成的闭区域.解：闭区域Ω可表示为: ρ2≤z ≤4, 0≤ρ≤2, 0≤θ≤2π. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z zdxdydz θρρ⎰⎰⎰=πρρρθ202042zdz d d ⎰⎰-=πρρρθ20204)16(21d dπρρπ364]618[2212062=-⋅=.2. 球面坐标变换设M (x , y , z )为空间内一点, 则点M 也可用这样三个有次序的数r 、ϕ、θ 来确定, 其中r 为原点O 与点M 间的距离, ϕ为→OM 与z 轴正向所夹的角, θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有向线段→OP 的角, 这里P 为点M 在xOy 面上的投影, 这样的三个数r 、ϕ 、θ 叫做点M 的球面坐标, 这里r 、ϕ、θ 的变化范围为0≤r <+∞, 0≤ϕ<π, 0≤θ ≤2π.点M 的直角坐标与球面坐标的关系:x =r sin ϕcos θ, y =r sin ϕsin θ, z =r cos ϕ . ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x球面坐标系中的体积元素: dv =r 2sin ϕdrd ϕd θ . 球面坐标系中的三重积分:θϕϕϕθϕθϕd d r dr r r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=. 例4：求半径为a 的球面与半顶角α为的内接锥面所围成的立体的体积. 解：该立体所占区域Ω可表示为: 0≤r ≤2a cos ϕ, 0≤ϕ≤α, 0≤θ≤2π. 于是所求立体的体积为 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕϕd drd rdxdydz V sin 2⎰⎰⎰=παϕϕϕθ20cos 202sin a dr r d d⎰⎰=αϕϕϕπ0cos 202sin 2a dr r d⎰=αϕϕϕπ033s i n c o s 316d a )c o s 1(3443a a -=π. 提示: 球面的方程为x 2+y 2+(z -a )2=a 2, 即x 2+y 2+z 2=2az . 在球面坐标下此球面的方程为r 2=2ar cos ϕ, 即r =2a cos ϕ. 小结：1、三重积分的定义；2、三重积分的计算（化三重积分为三次积分）；3、三重积分换元法（柱面坐标，球面坐标）作业：习题10-32 (1)(3)(5)、 4(1)(2)、5(1)(2)、 6(2)(4)第四节 重积分的应用教学目的：1、理解空间曲面的面积；2、掌握空间曲面面积的计算 教学重点：空间曲面面积的计算 教学难点：空间曲面面积的计算 教学内容：有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理. 这种元素法也可推广到二重积分的应用中. 如果所要计算的某个量U 对于闭区域D 具有可加性(就是说, 当闭区域D 分成许多小闭区域时, 所求量U 相应地分成许多部分量, 且U 等于部分量之和), 并且在闭区域D 内任取一个直径很小的闭区域d σ时, 相应的部分量可近似地表示为f (x , y )d σ 的形式, 其中(x , y )在d σ内, 则称f (x , y )d σ 为所求量U 的元素, 记为dU , 以它为被积表达式, 在闭区域D 上积分: ⎰⎰=Dd y x f U σ),(,这就是所求量的积分表达式. 一、空间曲面的面积设曲面S 由方程 z =f (x , y )给出, D 为曲面S 在xOy 面上的投影区域, 函数f (x , y )在D 上具有连续偏导数f x (x , y )和f y (x , y ). 现求曲面的面积A .在区域D 内任取一点P (x , y ), 并在区域D 内取一包含点P (x , y )的小闭区域d σ, 其面积也记为d σ. 在曲面S 上点M (x , y , f (x , y ))处做曲面S 的切平面T , 再做以小区域d σ的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面. 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值, 记为dA . 又设切平面T 的法向量与z 轴所成的角为γ , 则σγσd y x f y x f d dA y x ),(),(1cos 22++==,这就是曲面S 的面积元素. 于是曲面S 的面积为σd y x f y x f A y x D),(),(122++=⎰⎰,或 d x d yyz x z A D22)()(1∂∂+∂∂+=⎰⎰. 讨论: 若曲面方程为x =g (y , z )或y =h (z , x ), 则曲面的面积如何求？dydz zx y x A yzD ⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1,或 dzdx xy z y A zxD ⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1. 其中D yz 是曲面在yOz 面上的投影区域，D zx 是曲面在zOx 面上的投影区域. 例1 求半径为a 的球的表面积.解：取上半球面方程为222z x y a =+?，由zx?=¶zy ?=¶ 所以2222222022,224x y a x y a a A a d a pqp +?+?====蝌蝌蝌二、平面薄片的重心设有一平面薄片, 占有xOy 面上的闭区域D , 在点P (x , y )处的面密度为ρ(x , y ), 假定μ(x , y )在D 上连续. 现在要求该薄片的质心坐标.在闭区域D 上任取一点P (x , y ), 及包含点P (x , y )的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为dM x =y μ(x , y )d σ, dM y =x μ(x , y )d σ.平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩分别为⎰⎰=Dx d y x y M σμ),(, ⎰⎰=Dy d y x x M σμ),(.设平面薄片的质心坐标为) ,(y x , 平面薄片的质量为M , 则有y M M x =⋅, x M M y =⋅.于是⎰⎰⎰⎰==DDy d y x d y x x M M x σμσμ),(),(, ⎰⎰⎰⎰==DD x d y x d y x y M My σμσμ),(),(. 在闭区域D 上任取包含点P (x , y )小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩元素分别为dM x =y μ(x , y )d σ, dM y =x μ(x , y )d σ.平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩分别为⎰⎰=Dx d y x y M σμ),(, ⎰⎰=Dy d y x x M σμ),(.设平面薄片的质心坐标为) ,(y x , 平面薄片的质量为M , 则有y M M x =⋅, x M M y =⋅.于是⎰⎰⎰⎰==DDyd y x d y x x MM x σμσμ),(),(, ⎰⎰⎰⎰==DDxd y x d y x y MM y σμσμ),(),(.讨论: 如果平面薄片是均匀的, 即面密度是常数, 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？ 求平面图形的形心公式为⎰⎰⎰⎰=DDd xd x σσ, ⎰⎰⎰⎰=DDd yd y σσ.例2 求位于两圆ρ=2sin θ 和ρ=4sin θ 之间的均匀薄片的质心.解 因为闭区域D 对称于y 轴, 所以质心) ,(y x C 必位于y 轴上, 于是0=x . 因为⎰⎰⎰⎰=DDd d yd θρθρσsin 2πρρθθθθπ7sin sin 4sin 220==⎰⎰d d ,πππσ31222=⋅-⋅=⎰⎰d D,所以3737===⎰⎰⎰⎰ππσσDD d yd y . 所求形心是)37 ,0(C .三、转动惯量设有一平面薄片, 占有xOy 面上的闭区域D , 在点P (x , y )处的面密度为μ(x , y ), 假定ρ(x , y )在D 上连续. 现在要求该薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量.在闭区域D 上任取一点P (x , y ), 及包含点P (x , y )的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量的元素分别为dI x =y 2μ(x , y )d σ , dI y =x 2μ(x , y )d σ .整片平面薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量分别为σμd y x y I Dx ),(2⎰⎰=, σμd y x x I Dy ),(2⎰⎰=.例3 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量μ)对于其直径边的转动惯量. 解 取坐标系如图, 则薄片所占闭区域D 可表示为D ={(x , y )| x 2+y 2≤a 2, y ≥0}而所求转动惯量即半圆薄片对于x 轴的转动惯量I x ,⎰⎰⎰⎰⋅==DDx d d d y I θρρθρμσμ222sin⎰⎰⎰⋅==ππθθμρρθθμ0240032s i n 4 s i n d a d d a2441241Ma a =⋅=πμ, 其中μπ221a M =为半圆薄片的质量. 类似地, 占有空间有界闭区域Ω、在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )的物体对于x 、y 、z 轴的转动惯量为⎰⎰⎰Ω+=dv z y x z y I x ),,()(22ρ,⎰⎰⎰Ω+=dv z y x x z I y ),,()(22ρ,⎰⎰⎰Ω+=dv z y x y x I z ),,()(22ρ.四、引力我们讨论空间一物体对于物体外一点P 0(x 0, y 0, z 0)处的单位质量的质点的引力问题.设物体占有空间有界闭区域Ω, 它在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z ), 并假定ρ(x , y , z )在Ω上连续. 在物体内任取一点(x , y , z )及包含该点的一直径很小的闭区域dv (其体积也记为dv ). 把这一小块物体的质量ρdv 近似地看作集中在点(x , y , z )处. 这一小块物体对位于P 0(x 0, y 0, z 0)处的单位质量的质点的引力近似地为),,(z y x dF dF dF d =F )))(,,(,))(,,(,))(,,((303030dv r z z z y x Gdv r y y z y x Gdv r x x z y x G---=ρρρ,其中dF x 、dF y 、dF z 为引力元素d F 在三个坐标轴上的分量, 202020)()()(z z y y x x r -+-+-=, G 为引力常数. 将dF x 、dF y 、dF z 在Ω上分别积分, 即可得F x 、F y 、F z , 从而得F =(F x 、F y 、F z ). 小结：1、曲面面积；2、平面薄片重心、转动惯量、引力作业：习题10-4 2、3、4第五节 对弧长的曲线积分教学目的：1、掌握对弧长的曲线积分的概念及性质；2、掌握对弧长的曲线积分的计算方法；3、会求曲线积分所对应的弧长 教学重点：概念和计算方法 教学难点：曲线积分弧长的计算 教学内容：一、对弧长的曲线积分的概念 曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上, 已知曲线形构件在点(x , y )处的线密度为μ(x , y ). 求曲线形构件的质量. 把曲线分成n 小段, ∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n (∆s i 也表示弧长);任取(ξi , ηi )∈∆s i , 得第i小段质量的近似值μ(ξi , ηi )∆s i ;整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ∆≈=∑),(1ηξμ; 令λ=max{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅,∆s n }→0, 则整个物质曲线的质量为i i i ni s M ∆==→∑),(lim 10ηξμλ.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义 设L 为xOy 面内的一条光滑曲线弧, 函数f (x , y )在L 上有界. 在L 上任意插入一点列M 1, M 2, ⋅ ⋅ ⋅, M n -1把L 分在n 个小段. 设第i 个小段的长度为∆s i , 又(ξi , ηi )为第i 个小段上任意取定的一点, 作乘积f (ξi ,ηi )∆s i , (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 并作和i i i ni s f ∆=∑),(1ηξ, 如果当各小弧段的长度的最大值λ→0, 这和的极限总存在,则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作ds y x f L ),(⎰, 即i i i ni L s f ds y x f ∆==→∑⎰),(lim ),(10ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.设函数f (x , y )定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界. 将L 任意分成n 个弧段: ∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n , 并用∆s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段∆s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和i i i ni s f ∆=∑),(1ηξ；令λ=max{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n },如果当λ→0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作ds y x f L ),(⎰, 即i i i ni L s f ds y x f ∆==→∑⎰),(lim ),(10ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.定义 设函数f (x,y )在分段光滑曲线L 上有定义，A ，B 是的端点，依次用分点A=M 0，M 1，....，M n-1，M n =B 把L 分成n 个小弧段01121,,,n n M M M M M M -每小段的弧长记为，在上任取一点，若时，和式的极限存在，则称函数在曲线L 上积分，且称该极限值为函数沿曲线L 对弧长的曲线积分，记作(,)Lf x y ds ò，即1(,)lim (,).ni i i Li f x y ds f s l x h ®==D åò由定义可知，曲线弧的质量M 等于线密度(,)x y r 沿曲线L 对弧长的曲线积分，即(,).LM x y ds r =ò特别地，当(,)1x y r º时，.LM ds s ==ò二、对弧长的曲线积分的性质设(,)f x y ，(,)g x y 在L 上可积，则有以下性质： （1）(,)(,);LLkf x y ds kf x y ds =蝌（2）[(,)(,)](,)(,);LLLf x yg x y dsf x y dsg x y ds ??蝌?（3）如果曲线L 由12,,,n L L L L 几部分组成，则在弧L 上的积分等于在各部分上积分之和，即12(,)(,)(,)(,).nLL L L f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds =+++蝌蝌L三、对弧长的曲线积分的计算法定理 设曲线L 由参数方程(),()()x x t y y t ta b ==＃表示，(),()x t y t 在[,]a b 上有一阶连续导数，且22'()'()0x t y t +?（即曲线L 是光滑的简单曲线），函数(,)f x y 在曲线上连续，则(,)((),(.Lf x y ds f x t y t b a=蝌若曲线L 由方程()()y y x a x b =＃给出，()y x 在[,]a b 上有一阶连续导数，且(,)f x y 在曲线L上连续，则(,)(,(.b Laf x y ds f x y x =蝌类似的，若曲线L 由方程()()x x y c y d =＃给出，()x y 在[,]c d 上有一阶连续导数，且(,)f x y 在曲线L 上连续，则(,)((),.d Lcf x y ds f x y y =蝌例1、计算曲线积分L I xyds =⎰，L 是圆()2220x y a a +=>在第一象限中的部分.解：由圆的参数方程cos ,sin ,02x a t y a t t π==≤≤可得 'sin 'cos t t x a t y a t ==-，ds adt ===按公式，得20cos sin LI xyds a t a t adt π==⋅⋅⎰⎰32sin 22a tdt π=⎰32a =例2、计算曲线积分⎰曲线L 是抛物线214y x =自点(0,0)到点(2,1)的一段弧.解：因为ds ==而x 的变化区间是[0,2],由公式得2322200122(1)|1).2343Lx ==+=- 例3、求LI yds =⎰其中L:y 2=4x 从(1,2)到(1,-2)一段。
