实验十 系统能控性与能观性分析
一、实验目的
1. 通过本实验加深对系统状态的能控性和能观性的理解；
2. 验证实验结果所得系统能控能观的条件与由它们的判据求得的结果完全一致。 二、实验设备
同实验一。 三、实验内容
1. 线性系统能控性实验;
2. 线性系统能观性实验。 四、实验原理
系统的能控性是指输入信号u 对各状态变量x 的控制能力。如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态变量转移到状态空间的坐标原点。则称系统是能控的。
系统的能观性是指由系统的输出量确定系统所有初始状态的能力。如果在有限的时间内，根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。
对于图10-1所示的电路系统，设i L 和u c 分别为系统的两个状态变量，如果电桥中
4
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1R R R R ≠，则输入电压u 能控制i L 和u c 状态变量的变化，此时，状态是能控的；状态变量
i L 与u c 有耦合关系，输出u c 中含有i L 的信息，因此对u c 的检测能确定i L 。即系统能观的。
反之，当
4
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1R R ＝
R R 时，电桥中的c 点和d 点的电位始终相等， u c 不受输入u 的控制，
u 只能改变i L 的大小，故系统不能控；由于输出u c 和状态变量i L 没有耦合关系，故u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。
1.1 当
4
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1R R R R ≠时 u L u i R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C
R R R R R R R R L u i C
L
C L ⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫+++-+-
+-
⎝
⎛+-
+-
+++-
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01)11(1)(
1
)
(
1)(
14321434
3212
14
342
124
3432
121
(10-1)
y=u c =[0
1]
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛c L
u i (10-2)
由上式可简写为
bu Ax x
+= cx y = 式中⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=C L u i x ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
+++-
+-+-
⎝
⎛+-+-++
+-=)11(
1)(
1
)(
1)(
1
432
1434
3212
14
342
124
343212
1R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L A
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=01L b 1] [0=c
由系统能控能观性判据得 ][Ab b
rank =2 2=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡cA c rank 故系统既能控又能观。 1.2 当4
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1R R ＝R R 时，式(10-1)变为
u L u i R R R R C R R R R R R R R L u i C
L
C
L ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎭
⎫
+++-
⎝⎛+++-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛01
)11(10
)(1
432143432121
(10-3)
y=u c =[0
1]
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛c
L u i (10-4)
由系统能控能观性判据得
][Ab b
rank =1<2 1=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡cA c rank <2
故系统既不能控又不能观，若把式(10-3)展开则有
u L
i R R R R R R R
R L i L L 1)(14
343212
1+
++
+-=
(10-5)
c c u R R R R C u
)11(
14
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1++
+-=
(10-6)
这是两个独立的方程。第二个方程中的c u 既不受输入u 的控制，也与状态变量L i 没有任何耦合关系，故电路的状态为不能控。同时输出u c 中不含有i L 的信息，因此对u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。
图10-1系统能控性与能观性实验电路图
五、实验步骤
1. 按图10-1连接实验电路（参考实验台的“系统的能控性和能观性”单元），其中R 1=1K ，R 2=1K ，R 3=1K ，R 4=2K ；
2. 在图10-1的u 输入端输入一个阶跃信号，当阶跃信号的值分别为1V 、2V 时，用上位机软件观测并记录电路中电感和电容器两端电压Uab 、Ucd (u c )的大小；
