24．1 圆
第一课时
教学内容
1．圆的有关概念．
2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．
教学目标
了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．
重难点、关键
1．重点：垂径定理及其运用．
2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）
1．举出生活中的圆三、四个．
2．你能讲出形成圆的方法有多少种？
老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．
二、探索新知
从以上圆的形成过程，我们可以得出：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
学生四人一组讨论下面的两个问题：
问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
老师提问几名学生并点评总结．
（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r的点组成的图形．
同时，我们又把
①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；
②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；
AC
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆
弧”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）
或叫做劣弧．
④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （学生活动）请同学们回答下面两个问题．
1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，•我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的． 因此，我们可以得到：
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．
（2）AM=BM ，，，即直径CD 平分弦AB ，并且平分及．
已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，，.
分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．
证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中
∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ∴AM=BM
∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径
CD 对称
AC ABC AC BC AC BC =AD BD =AB ADB AC BC =AD BD =OA OB
OM OM =
⎧⎨
=⎩
B
∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，与重合，与重合． ∴，
例1． 如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点 例2． O 是的圆心，•其中CD=600m ，E 为上一点， 例3． 且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．分析：例1 解：如图，连接OC
设弯路的半径为R ，则OF=（R-90）m ∵OE ⊥CD ∴CF=
CD=×600=300（m ） 根据勾股定理，得：OC 2=CF 2+OF 2 即R 2=3002+（R-90）2 解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m ． 三、巩固练习
教材 练习 四、应用拓展
例2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m•是否需要采取紧急措施，•只要求出DE 的长，因此只要求半径R ，然后运用几何代数解求R ． 解：不需要采取紧急措施
设OA=R ，在Rt △AOC 中，AC=30，CD=18 R 2=302+（R-18）2 R 2=900+R 2-36R+324 解得R=34（m ）
连接OM ，设DE=x ，在Rt △MOE 中，ME=16 342=162+（34-x ）2
162+342-68x+x 2=342 x 2-68x+256=0 解得x 1=4，x 2=64（不合设） ∴DE=4
∴不需采取紧急措施．
五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握：
AC BC AD BD AC BC =AD BD =CD CD CD 121
2
1．圆的有关概念；
2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．3．垂径定理及其推论以及它们的应用．
六、布置作业
1．教材复习巩固1、2、3．
