绝密★启用前2020-2021学年天津市部分区高二上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点()2,1,3A -，()4,1,1B --，则线段AB 的中点坐标是（） A ．()1,0,2- B ．()1,0,1-C ．()3,0,1D ．()1,1,1-答案：B分析：利用中点坐标公式直接求解.解：因为点()2,1,3A -，()4,1,1B --，所以线段AB 的中点坐标是421113,,222-+-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,0,1-.故选：B2．准线为2x =的抛物线的标准方程方程是（） A ．28x y = B ．28xy C ．28y x =D ．28y x =-答案：D分析：根据抛物线的准线方程可知抛物线的焦点位置和p 的值，由此可得抛物线的标准方程. 解：因为准线为2x =，所以抛物线的焦点在x 轴负半轴上，且22p=， 所以4p =，所以抛物线的方程为228y px x =-=-.故选：D3．经过()2,1A ，()0,3B -两点的直线方程为（） A ．230x y --= B ．230x y +-= C ．230x y --= D ．230x y +-=答案：A分析：根据斜率公式求出斜率，再根据点斜式可得结果. 解：经过()2,1A ，()0,3B -两点的直线的斜率为13220+=-， 由点斜式可得所求直线方程为12(2)y x -=-，即230x y --=.故选：A4．在等比数列{}n a 中，424a =，66a =，则5a =（） A ．12 B ．-12C ．±12D ．15答案：C分析：利用等比数列的通项公式性质直接求解.解：由等比数列{}n a ，可知6254246122a a a =⨯==⋅，解得：512a =± 故选：C.5．焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为4，离心率为12，则该椭圆的标准方程为（） A ．22143x y +=B ．221164x y +=C ．2214x y +=D ．2211612x y +=答案：A分析：由长轴长可得2a =，再由离心率求得c ，即可求出b ，得出椭圆方程.解：设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，长轴长为4，24a ∴=，即2a =， 离心率为12c e a ==，1c ∴=， 2223b a c ∴=-=，故椭圆方程为22143x y +=.故选：A.6．已知圆的方程为22220x y x y m +-++=，则实数m 的取值范围是（） A ．2m > B ．2m ≥ C ．2m < D ．2m ≤答案：C分析：根据2240D E F +->可求得结果. 解：因为22220x y x y m +-++=表示圆，所以22224(2)240D E F m +-=-+->，解得2m <. 故选：C点评：关键点点睛：掌握方程表示圆的条件是解题关键.7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（） A ．53B ．103C ．56D ．116答案：A分析：设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，可得345127()a a a a a ++=+，5100S =，求出3a ，根据等差数列的通项公式，得到关于d 关系式，即可求出结论.解：设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ， 依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.点评：本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.8．已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，A 为C 的左顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若直线AB 的倾斜角为π4，则C 的离心率为（）A B ．2C ．3D 答案：B分析：首先求点,A B 的坐标，再求直线AB 的斜率，利用关于,a c 的齐次方程求离心率. 解：由条件可知(),0A a -，BF x ⊥轴，当x c =时，22221c y a b-=，解得：422b y a =，又因为直线AB 的倾斜角为π4，所以点B 在第一象限，所以2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21ABb a kc a==+，即()2b ac a =+，化简为2220c ac a --=，两边同时除以2a 后 得220e e --=，解得：1e =-（舍）或2e =. 故选：B9．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（） ABCD ．67答案：D分析：以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出AC 和1BC 的公垂线的方向向量n ，求出AB ，再由AB n d n⋅=可求出.解：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ， 则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =，()0,1,0AB =， 67AB n d n⋅∴==. 故选：D.点评：本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解. 二、填空题10．已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：224420x y x y +---=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是_____________. 答案：相交分析：分别求出圆1C 与圆2C 的圆心与半径，再利用圆心距与半径之间的关系确定两圆的位置关系. 解：圆()()222211:2880:1425C x y x y C x y +++-=⇒+++=，圆心1(1,4)C --，15r = 圆()()22222:44202210C x y x y x y +---=⇒-+-=，圆心2(2,2)C ，210r =又圆心距2212(21)(24)35C C =+++=12510510C C <<的.故答案为：相交点评：方法点睛：本题考查两圆的位置关系，利用几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系判断：方法位置关系 几何法：圆心距d 与12,r r 的关系外离12d r r >+ 外切12d r r =+相交1212||r r d r r <+<- 内切1212||()d r r r r =≠-11．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2n S n =（*n ∈N ），则9a =_____________.答案：17分析：利用n S 求出n a ，则可得9a .解：因为2n S n =，当2n ≥时，21(1)n S n -=-，所以221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，又1n =时，111a S ==也适合上式， 所以21n a n =-， 所以929117a =⨯-=. 故答案为：17点评：关键点点睛：利用n S 求出n a 是解题关键.12．经过点()3,1A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为_____________.答案：22188x y -=分析：设出方程()220x y λλ-=≠，代入点A 即可求出.解：双曲线为等轴双曲线，则可设方程为()220x y λλ-=≠，将()3,1A -代入可得91λ-=，即8λ=，故方程为228x y -=，化为标准方程为22188x y -=.故答案为：22188x y -=.13．已知空间向量a ()1,0,1=，()2,1,2b =-，则向量b 在向量a 上的投影向量是_____________. 答案：()2,0,2分析：利用向量b 在向量a 上的投影乘以与a 同向的单位向量即可得解.解：向量b 在向量a 上的投影是a ba ⋅==， 所以向量b 在向量a2a a =⨯2a ==(2,0,2)， 故答案为：()2,0,2点评：关键点点睛：理解向量b 在向量a 上的投影向量的概念是解题关键.14．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和n S =___________.答案：()11332n n +-- 分析：根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 解：由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n n n a -+=⨯=，所以31nn a =-，所以1233333n n S n =++++-3(13)13n n -=--()11332n n +=--. 故答案为：()11332n n +-- 点评：关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.15．已知A ，B 两点的坐标分别是()2,0-，()2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是4，则点M 的轨迹方程为_____________. 答案：24y x =-（2x ≠±）分析：设(),M x y ，表示出直线AM 与BM 的斜率，由斜率之差为4建立关系可求. 解：设点(),M x y ，其中2x ≠±，则2AM y k x =+，2BM y k x =-， 由题可得422AM BM y y k k x x -=-=+-，整理可得24(2)y x x =-≠±. 即点M 的轨迹方程为24(2)y x x =-≠±. 故答案为：24(2)y x x =-≠±. 三、解答题16．已知等比数列{}n a 满足26a =，13630a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12a >，设23n n b n a =⋅（*N n ∈），记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S . 答案：（Ⅰ）123n n a -=⨯或132n n a -=⨯；（Ⅱ）1(1)22n n S n +=-⨯+.分析：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得132n n a -=⨯和223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ），运用错位相减法可求得数列的和．解：解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由26a =，可得16a q =，记为①． 又因为13630a a +=，可得12630a a q +=，即15a q +=记为②，由①②可得123a q =⎧⎨=⎩或132a q =⎧⎨=⎩，故{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯或132n n a -=⨯．（Ⅱ）由（Ⅰ）及12a >可知132n n a -=⨯，所以223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ）， 所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯③ 231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯④③－④得1212222n n n S n +-=+++-⨯111222(1)22n n n n n +++=--⨯=-⨯-，所以1(1)22n n S n +=-⨯+．点评：方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等. （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.17．已知圆C 与直线24x y +=相切于点()1,2A ，并且圆心在直线y x =-上，求圆C 的方程. 答案：22(1)(1)5x y ++-=.分析：根据过圆心和点()1,2A 的直线与直线24x y +=垂直，得到过圆心和点()1,2A 的直线的斜率，进而得到过圆心和点()1,2A 的直线方程，将此直线与直线24x y +=方程联立解得圆心坐标，再求出圆的半径，然后可得圆C 的标准方程.解：依题意，过圆心和点()1,2A 的直线与直线24x y +=垂直， 故这条直线的斜率为12所以这条直线的方程230x y -+=． 由已知，所求圆的圆心C 在直线y x =-上．解方程组230x y y x -+=⎧⎨=-⎩，可得1x =-，1y =．所以圆心C 的坐标为()1,1-．半径为AC =所求圆C 的方程为22(1)(1)5x y ++-=．点评：关键点点睛：利用两直线方程联立求出圆心坐标是解题关键.18．如图，在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，AD ⊥平面ABC ，点M 为棱AB 的中点，2AB AC ==，AD =（Ⅰ）求直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.答案：（Ⅰ）2 4；（Ⅱ）30.分析：（Ⅰ）以A为原点，分别以AB，AC，AD的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系,利用空间向量的夹角公式可求得结果；（Ⅱ）利用两个平面的法向量可求得结果.解：依题意，可以建立以A为原点，分别以AB，AC，AD的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0A，()1,0,0M，()2,0,0B，()0,2,0C，()0,0,3D（Ⅰ）依题意()2,2,0BC=-，(3MD=-．2(1)20032cos,440103BC MDBC MDBC MD-⨯-+⨯+⨯⋅<>===++⨯++所以直线BC与MD2（Ⅱ）易知，()0,2,0AC=为平面ABD的一个法向量，依题意，可得()2,2,0BC =-，(BD =-． 设(),,m x y z =为平面BCD 的法向量，则0,0,m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即22020x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 不妨令2z =，可得()3,3,2m =．因此有3cos ,3m ACm AC m AC ⋅<>===由图可知平面ABD 和平面BDC 的夹角为锐角，所以平面ABD 和平面BDC．点评：关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解是解题关键.19．已知椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为2. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）若直线1y kx =+（12k >）与E 相交于A ，B 两点，M 为E 的左顶点，且满足MA MB ⊥，求k.答案：（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）56k =. 分析：（Ⅰ）由题可得2c =c a=,a b 即得椭圆方程； （Ⅱ）联立直线与椭圆方程，得出,A B 坐标关系，由0MA MB ⋅=建立方程即可求出.解：（Ⅰ）解：由题意知2c=c a = 又因为222a b c =+解得2a =，1b =，c =故E 的标准方程为2214x y += （Ⅱ）由22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221480k x kx ++=，得0x =或2814k x k=-+不妨设()0,1A ，(),B B B x y ，则2814B k x k =-+，221414B k y k-=+ 由（Ⅰ）知()2,0M -，故()2,1MA =，222288214,1414k k k MB k k ⎛⎫-+-= ⎪++⎝⎭， 由MA MB ⊥，知0MA MB ⋅=()22222882141414k k k MA MB k k⨯-+-⋅=+++ ()()2222165128501414k k k k k k---+===++ 又因为12k >，故56k =． 点评：方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，221n n a a =+（*N n ∈）.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足123(21)n b b n b n +++-=（*n ∈N ），记数列14(1)n n n n b a +⎧⎫⋅-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 答案：（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数. 分析：（Ⅰ）根据条件求出等差数列的首项和公差，即可求出通项公式；（Ⅱ）先由已知可求出121n b n =-，进而可得1411(1)(1)2121n n n n n b a n n +⋅⎛⎫-=-+ ⎪-+⎝⎭，分n 为奇数和n 为偶数时可求n T .解：解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由424S S =，可得()114642a d a d +=+，即12a d =记为①．又因为221n n a a =+（*n ∈N ），取1n =，所以2121a a =+，即11a d +=记为②，由①②可得11a =，2d =，故{}n a 的通项公式为21n a n =-．（Ⅱ）由123(21)n b b n b n +++-=可得11b =且1213(23)1n b b n b n -+++-=-（2n ≥）， 上述两式作差可得121n b n =-（2n ≥），满足11b =， ∴121n b n =-（*n ∈N ） 所以14411(1)(1)(1)(21)(21)2121n n n n n n b n a n n n n +⋅⎛⎫-=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭当n 为偶数时11111111113355723212121n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴1212121n n T n n =-+=-++ 当n 为奇数时，11111111335572121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴12212121n n T n n +=--=-++ 所以2,2122,21n n n n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数． 点评：本题考查数列的求和方法，解题的关键是将所求数列裂项得出1411(1)(1)2121n n n n n b a n n +⋅⎛⎫-=-+ ⎪-+⎝⎭，进而对n 分奇偶进行求和.。
