精品解析：北京市人大附中2019-2020学年高一(10月份)段考数学试题(一)(原卷版)

高一数学 期中&必修1试题 第1页 共4人大附中2019~2020学年度第一学期期中高一年级数学 必修1模块考核试卷说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为模块成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷 （共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 一、选择题（每题5分，共40分）1．设集合{}|32X x x =∈-<<Z ，{}|13Y y y =∈-≤≤Z ，则XY =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．下列各组函数是同一函数的是（ ）A ．||x y x=与1y =B ．y =1y x =-C ．2x y x=与y x =D ．321x xy x +=+与y x =3．下列函数中，在区间()0,2上是增函数的是（ ）A ．1y x =-+B ．245y x x =-+C ．y =D ．1y x=4．命题“对任意x ∈R ，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x ∈R ，都有20x < B ．不存在x ∈R ，使得20x < C ．存在0x ∈R ，使得200x ≥D ．存在0x ∈R ，使得200x <5．已知函数()f x 的图象是两条线段（如图，不含端点），则高一数学 期中&必修1试题 第2页 共4页1[()]3f f =（ ）A ．13-B ．13 C ．23- D ．236．已知,a b 是实数，则“0a b >>且0c d <<”是“a bd c<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．如下图，是吴老师散步时所走的离家距离（y ）与行走时间（x ）之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（ ）8．已知集合523M x x ⎧⎫=∈--⎨⎬⎩⎭R 为正整数，则M 的所有非空真子集的个数是（ ）A ．30B ．31C ．510D ．511二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9．方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为__________．10．已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则方程()2f x x =的解集为__________．11．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 12．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间()1,4上不是单调函数，那么实数a的取值范高一数学 期中&必修1试题 第3页 共4页围是__________．13．几位同学在研究函数()1xf x x=+()x ∈R 时给出了下面几个结论： ①函数 的值域为 ；②若 ，则一定有 ； ③ 在 是增函数；④若规定 ，且对任意正整数n 都有： ，则()1n xf x n x=+对任意 恒成立．上述结论中正确结论的序号为__________．14．函数()2241f x x x =-+，()2g x x a =+，若存在121,[,2]2x x ∈，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．设全集是实数集R ，{}2|2730A x x x =-+≤，{}2|0B x x a =+<. （1）当4a =-时，求AB 和A B ； （2）若()A B B =R ð，求实数a 的取值范围.16．已知二次函数()()22,f x x bx c b c =++∈R .（1）已知()0f x ≤的解集为{}|11x x -≤≤，求实数,b c 的值； （2）已知223c b b =++，设1x 、2x 是关于x 的方程()0f x =的两根，且()()12118x x ++=，求实数b 的值；（3）若()f x 满足()10f =，且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间()3,2--，()0,1内，求实数b 的取值范围.高一数学 期中&必修1试题 第4页 共4页17．已知函数4()f x x x=+. （1）判断函数()f x 的奇偶性； （2）指出该函数在区间(0,2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）已知函数()()(),05,0,0f x x g x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，当[]1,x t ∈-时()g x 的取值范围是[)5,+∞，求实数t 的取值范围.（只需写出答案）Ⅱ卷 （共7道题，满分50分）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 18．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3，其定义如下表：则方程[()]1g f x x =+的解集为（ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}1,2,319．已知()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，且在(4,0]-上是增函数，()(3)f a f <，则a的取值范围是（） A ．()3,3-B．()(),33,-∞-+∞ C ．()4,3-- D ．()()4,33,4--20．已知函数2()25f x x ax =-+在[1,3]x ∈上有零点，则正数．．a 的所有可取的值的集合为（ ）A ．7[,3]3B ．)+∞C ．D ．(五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）高一数学 期中&必修1试题 第5页 共4页21．已知函数()f x =则函数()f x 的最大值为__________，函数()f x 的最小值点为__________．22．关于x 的方程()()g x t t =∈R 的实根个数记为()f t ． （1）若()1g x x =+，则()f t =__________；（2）若2,0,()2,0,x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a ∈R ，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取值范围是__________．23．对于区间[]()a b a b <，，若函数()y f x =同时满足：① ()f x 在[]a b ，上是单调函数；② 函数()y f x =，[]x a b ∈，的值域是[]a b ，， 则称区间[]a b ，为函数()f x 的“保值”区间.（1）写出函数2y x =的一个“保值”区间为__________；（2）若函数()2(0)f x x m m =+≠存在“保值”区间，则实数m 的取值范围为__________．六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数. （1）若函数()[]f x x =，求()1.2f ，()1.2f -的值；（2）若函数()()122x x f x x +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦R ，求()f x 的值域； （3）若存在m ∈R 且,m ∉Z 使得()([])f m f m =，则称函数()f x 是Ω函数,若函数()af x x x=+是Ω函数，求a 的取值范围.高一数学 期中&必修1试题 第6页 共4页人大附中2019~2020学年度第一学期期中高一年级数学练习& 必修1模块考核试卷答案20191108一卷一、选择题（每题5分，共40分）1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．C 二、填空题（每题5分，共30分） 9．(){}3,7- 10．{}1,1- 11．30 12．()3,0- 13．①②③④ 14．[5,0]-三、解答题（每题10分，共30分）15． 解：（1）因为1|32A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，-------------------1‘ 当4a =-时，{}|22B x x =-<<--------------------2‘所以1|22AB x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭-------------------------3‘{}|23A B x x =-<≤----------------------------4‘（2）1|32A x x x ⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭或ð----------------------5‘ 因为()AB B =ð，所以B A ⊆ð------------------6‘当B =∅即0a ≥时，满足B A ⊆ð-----------------7‘ 当B ≠∅即0a <时，-----------------------------8‘12≤，解得104a -≤<-----------------------9‘高一数学 期中&必修1试题 第7页 共4页综上，实数a 的取值范围为1,+4⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭---------------10‘ 16． 解：（1）法1：由题可知：-1，1为方程220x bx c ++=的两个根，-------------------1’所以，120,120.b c b c -+=⎧⎨++=⎩- -----------------------2’解之得：0,1b c ==-. ------------------------3‘法2：由题可知：-1，1为方程220x bx c ++=的两个根，-------------------1’由韦达定理，得-112-11bc +=-⎧⎨⨯=⎩，--------------2‘解之得：0,1b c ==-. ------------------------3‘（2）因为223c b b =++，()220f x x bx c =++=，所以222230x bx b b ++++=因为1x 、2x 是关于x 的方程222230x bx b b ++++=的两根， 所以22448120b b b ∆=---≥即32b ≤--------------------4‘ 所以12212223x x b x x b b +=-⎧⎨=++⎩----------------------------------5‘因为()()12118x x ++=，所以12127x x x x ++=，所以22237b b b -+++=----------6‘ 所以24b =，所以2b =或2b =-，因为32b ≤-，所以2b =-----------------------7‘ （3）因为()10f =，所以12c b =----------------------8‘设()()()2211g x f x x b x b x b =++=++--，则有高一数学 期中&必修1试题 第8页 共4页()()()()30200010g g g g ->⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪>⎩-------------------------------------------9‘ 解得1557b <<，所以b 的取值范围为15,57⎛⎫⎪⎝⎭.---------------------------10‘ 17． 解：（1）因为函数4()f x x x=+的定义域为 所以()(),00,x ∈-∞+∞时，()(),00,x -∈-∞+∞，（或写“函数4()f x x x=+的定义域关于原点对称”） 因为4()()f x x f x x-=--=-， 所以()f x 是奇函数.----------------------------------------------3‘（2）函数()f x 在区间(0,2]上是减函数；----------------------------------------------4’证明：任取(]12,0,2x x ∈，且1202x x <<≤-------------------------------------------5’()()()()121212124x x x x f x f x x x ---=-----------------------------------------------------6’ 因为1202x x <<≤所以220x ≥>，120x >>，所以124x x >，所以1240x x -<--------------------7’ 又因120x x -<，120x x >所以()()()()1212121240x x x x f x f x x x ---=>，所以()()12f x f x >----------------------------------------------------------------------------8‘高一数学 期中&必修1试题 第9页 共4页所以函数()f x 在区间(0,2]上是减函数. （3）实数t 的取值范围为[]0,1--------------10‘二卷四、选择题（每题6分，共18分） 18．C 19．D 20．C五、填空题（每题6分，共18分）21．3,1- 22．1，（1，+∞） 23．[01]，，311044⎡⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，， 六、解答题（本题共14分）24． 解：（Ⅰ）()1.21f = --------------------------2分()1.22f -=- --------------------------4分 （Ⅱ）方法1：因为11222x x +-=， 所以，只可能有两种情况：（1）存在整数t ，使得1122x x t t +≤<<+，此时122x x t +⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()0f x =； （2）存在整数t ，使得122x x t +<≤，此时11,22x x t t +⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1f x =. 综上，()f x 的值域为{0,1}. --------------------------------------------------------------9分 方法2：高一数学 期中&必修1试题 第10页 共4页------------------9‘（Ⅲ） 当函数()af x x x=+是Ω函数时， 若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾.若0a <，由于都在(0,)+∞单调递增，故()f x 在(0,)+∞上单调递增， 同理可证：()f x 在(,0)-∞上单调递增， 此时不存在(,0)m ∈-∞，使得 ()([])f m f m =， 同理不存在(0,)m ∈∞，使得 ()([])f m f m =， 又注意到[]0m m ≥，即不会出现[]0m m <<的情形，所以此时()af x x x=+不是Ω函数. 当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]a a m m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠， 当0m >时，高一数学 期中&必修1试题 第11页 共4页因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m <<+，所以2[][]([]1)m a m m <<+.当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m >>+，所以2[][]([]1)m a m m >>+.记[]k m =, 综上，我们可以得到：a 的取值范围为0a >且*2,k a k ∀∈≠N 且(1)a k k ≠+}. -------14分。

2019年人大附中新高一分班考试数学试题真题一､选择题(本大题共17小题，共34分)1. 小雨利用几何画板探究函数()a y x b x c =--图象，在他输λ一组,,a b c 的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（ ）A. 0,0,0a b c >>= B. 0,0,0a b c <>=C. 0,0,0a b c >== D. 0,0,0a b c <=>【答案】B 2. 大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如33235,37911=+=++，3413151719,=+++⋯若3m 分裂后，其中有一个奇数是103，则m 的值是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B3. 如图，AB 是半圆O 直径，按以下步骤作图：（1）分别以,A B 为圆心，大于AO 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接OP 与半圆交于点C ；（2）分别以,A C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点Q ，连接OQ 与半圆交于点D ；（3）连接,,,AD BD BC BD 与OC 交于点E .根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD 平分ABC ∠；②//BC OD ；③CE OE =；④2AD OD CE =⋅；所有正确结论的序号是（ ）的A. ①②B. ①④C. ②③D. ①②④【答案】D 4. 图1的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟.若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，9号车厢才会运行到最高点？（ ）A. 10B. 20C. 152D. 452【答案】B 5. 某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用.已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘览车，回程有10人搭乘缆车.若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有多少人？（ ）参观方式缆车费用去程及回程均搭乘缆车300元单程搭乘缆车，单程步行200元A. 16B. 19C. 22D. 25【答案】A 6. 如图，坐标平面上有一顶点为A 的抛物线，此拋物线与方程式2y 的图形交于B C ､两点，ABC 为正三角形.若A 点坐标为()3,0-，则此拋物线与y 轴的交点坐标为何?（ ）A. 90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 270,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()0,9 D. ()0,19【答案】B7. 如图的七边形ABCDEFG 中，,AB ED 的延长线相交于O 点.若图中1,2,3,4∠∠∠∠的外角的角度和为220 ，则BOD ∠的度数为何？（ ）A. 40B. 45C. 50D. 60【答案】A 8. 如图，菱形ABCD 的边长为10，圆O 分别与AB AD ､相切于､E F 两点，且与BG 相切于G 点.若5AO =，且圆O 的半径为3，则BG 的长度为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C9. 桌面上有甲､乙､丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水.先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出，则原本甲､乙两杯内的水量相差多少毫升？（ ）A. 80B. 110C. 140D. 220【答案】B10. 如图，坐标平面上，二次函数24y x x k =-+-的图形与x 轴交于､A B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且0k >.若ABC 与ABD △的面积比为1:4，则k 值为何？（ ）A. 1B. 12C. 43D. 45【答案】D 11. 如图的ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，､E F 在AB 上，直线AG 分别交DE BC ､于M N ､两点.若90,4,3,1B AB BC EF ∠==== ，则BN 的长度为何?（ ）A. 43 B. 32 C. 85 D. 127【答案】D12. 图(一)､图(二)分别为甲､乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图.若甲､乙两班学生的投进球数的众数分别为a b ､；中位数分别为c d ､，则下列关于a b c d ､､､的大小关系，何者正确？（ ）A. ,a b c d>> B. ,a b c d ><C. ,a b c d<> D. ,a b c d<<【答案】A 13. 如图的六边形是由甲､乙两个长方形和丙､丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲､乙的面积和等于丙､丁的面积和.若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ）A. 12 B. 35 C. 2 D. 4-【答案】D14. 如图的矩形ABCD 中，E 点在CD 上，且AE AC <.若P Q ､两点分别在AD AE ､上，:4:1AP PD =，:4:1AQ QE =，直线PQ 交AC 于R 点，且Q R ､两点到CD 的距离分别为q r ､，则下列关系何者正确？（ ）A. ,q r QE RC <=B. ,q r QE RC<<C. ,q r QE RC== D. ,q r QE RC=<【答案】D 15. 下表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT 手机与搭配一个号码的两种方案.此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费，若小洁每个月的通话费均为x 元，x 为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x 至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？（ ）甲方案乙方案号码的月租费(元)400600MAT 手机价格(元)1500013000注意事项：以上方案两年内不可变更月租费A. 500B. 516C. 517D. 600【答案】C 16. 如图的矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，有一圆过,,C D E 三点，且此圆分别与,AD BC 相交于,P Q 两点.甲､乙两人想找到此圆的圆心O ，其作法如下：(甲)作DEC ∠的角平分线L ，作DE 的中垂线，交L 于O 点，则O 即为所求；(乙)连接,PC QD ，两线段交于一点O ，则O 即为所求.对于甲、乙两人的作法，下列判䉼何者正确？（ ）A. 两人皆正确B. 两人皆错误C 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【答案】A17. 如图，正六边形ABCDEF 中，P Q ､两点分别为,ACF CEF △△的内心.若2AF =，则PQ 的长度为何？（ ）.A. 1B. 2C. 2- D. 4-【答案】C 二､填空题(本大题共3小题，共9分)18. 如图，正方形ABCD 的边长是3,,P Q 分别在,AB BC 的延长线上，BP CQ =，连接,AQ DP 交于点O ，并分别与,CD BC 交于点,F E ，连接AE .下列结论：①AQ DP⊥②2OA OE OP=⋅③AOD OECFS S = 四边形④当1BP =时，1an 136t OAE ∠=其中正确结论的序号是__________.【答案】①③④19. 在等边ABC 中，M N P ､､分别是边AB BC CA ､､上的点(不与端点重合)，对于任意等边ABC ，下面四个结论中：①存在无数个MNP △是等腰三角形；②存在无数个MNP △是等边三角形；③存在无数个MNP △是等腰直角三角形；④存在一个MNP △在所有MNP △中面积最小.所有正确结论的序号是__________.【答案】①②③20. 如图，在Rt ABC 中，90C = ∠，记,x AC y BC AC ==-，在平面直角坐标系xOy 中，定义(),x y 为这个直角三角形的坐标，Rt ABC 为点(),x y 对应的直角三角形.有下列结论：①在x 轴正半轴上的任意点(),x y对应的直角三角形均满足AB =；②在函数2019(0)y x x=>的图象上存在两点边,P Q ，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函2(2020)1(0)y x x =-->图象上的任意一点P ，都存在该函数图象上的另一点Q ，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数22020(0)y x x =-+>的图象上存在无数对点,(P Q P 与Q 不重合)，使得它们对应的直角三角形全等.所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④三､解答题(本大题共9小题，第21-26题每题6分，第27-29题，每题7分，共57分)21. 如图，AM 是ABC 的中线，D 是线段AM 上一点(不与点A 重合)//DE AB 交AC 于点,//F CE AM ，连结AE.的（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（3）如图3，延长BD 交AC 于点H ，若BH AC ⊥，且BH AM =.①求CAM ∠的度数；②当4FH DM ==时，求DH 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）①30°；②22. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和M ，给出如下定义：若M 上存在两个点,A B ，使AB =2PM ，则称点P 为 的“美好点”.（1）当 M 半径为2，点M 和点O 重合时.①点()()()1232,0,1,1,2,2P P P -中， O 的“美好点"是__________.②若直线2y x b =+上存在点P 为 O 的“美好点”，求b 的取值范围；（2）点M 为直线y x =上一动点，以2为半径作M ，点P 为直线4y =上一动点，点P 为 M 的“美好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围.【答案】（1）①P 1和P 2；②b （2）2≤m ≤6.23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过T e 外一点P 引它的两条切线，切点分别为,M N ，若60≤ 180MPN ∠< ，则称P 为T e 的环绕点.（1）当 O 半径为1时，①在()()()1231,0,1,1,0,2P P P 中，O 的环绕点是__________.②直线2y x b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若线段AB 上存在 的环绕点，求b 的取值范围；（2）T e 的半径为1，圆心为()0,t ，以(0)m m ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在T e 的环绕点，直接写出t 的取值范围.【答案】（1）①P 1，P 3；②1b ≤＜或1b ≤-＜；（2）-2<t ≤4.24. 在平面直角坐标系xOy 中，我们称横从坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点(),A p q 、()(),B m n m n ≤满足关于x 的多项式2x px q ++能够因式分解为()()x m x n ++，则称点B 是A 的分解点.例如()3,2A 、()1,2B 满足()()23212x x x x ++=++，所以B 是A 的分解点.（1）在点()15,6A 、()20,3A 、()32,0A -中，请找出不存在分解点的点__________；（2）点P 、Q 在纵轴上（P 在Q 的上方），点R 在横轴上，且点P 、Q 、R 都存在分解点，若PQR 面积为6，请直接写出满足条件的PQR 的个数及每个三角形的顶点坐标；（3）已知点D 在第一象限内，D 是C 的分解点，请探究OCD 是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D 的坐标；若不可能，请说明理由.【答案】（1）2A ；（2）答案见解析；（3）OCD 不可能为等腰三角形，理由见解析.25. 已知关于x 的一元二次方程2104x bx c ++=（1）21c b =-时，求证：方程一定有两个实数根.（2）有甲､乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b ，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c ，利用列表法或者树状图，求b c ､的值使方程2104x bx c ++=两个相等的实数根的概率.【答案】（1）证明见解析；（2）16.26. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线():10l y kx k =-≠与函数(0)m y x x=>的图象交于点()3,2A .（1）求,k m 的值；（2）将直线l 沿y 轴向上平移(0)t t >个单位后，所得直线与x 轴，y 轴分别交于点,P Q ，与函数y =(0)m x x>的图象交于点C .①当2t =时，求线段QC 的长.②若23QC PQ<<，结合函数图象，直接写出t 的取值范围.【答案】（1）1,6k m ==；（2）①；②12t <<.27. 在平面直角坐标系xOy 中，拋物线2224y x ax a a =-+-+顶点为A ，点,B C 为直线3y =上的两个动点(点B 在点C 的左侧)，且3BC =.（1）求点A 的坐标(用含a 的代数式表示)；（2）若ABC 是以BC 为直角边的等腰直角三角形，求拋物线的解析式；（3）过点A 作x 轴的垂线，交直线3y =于点D ，点D 恰好是线段BC 三等分点且满足3BC BD =，若抛物线与线段BC 只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围.【答案】（1）(),4A a a -；（2）2(2)6y x =++或2(4)y x =-；（3）1a =或25a <≤.28. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，点C 关于直线AB 的对称点为D ，连接,BD CD ，过点B 作//BE AC 交直线AD 于点E .（1）依题意补全图形；（2）找出一个图中与CDB △相似的三角形，并证明；（3）延长BD 交直线AC 于点F ，过点F 作FH //AE 交直线BE 于点H ，请补全图形，猜想,,BC CF BH 之间的数量关系并证明.【答案】（1）答案见解析；（2）与CDB △相似的三角形是ABE △，证明见解析；（3）作图见解析；22BH FC BC CF ⋅=+，证明见解析.29. 新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与A 有公共点，则称几何图形G 的叫A 的关联图形，特别地，若A 的关联图形G 为直线，则称该直线为A 的关联直线.如图，M ∠为A 的关联图形，的直线l 为A 的关联直线.（1）已知 O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线22y x =+；②直线3y x =-+；③双曲线2y x=，是O 关联图形的是__________（请直接写出正确的序号）；（2）如图1，T e 的圆心为()1,0T ，半径为1，直线:l y x b =-+与x 轴交于点N ，若直线l 是T e 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围；（3）如图2，已知点()0,2B 、()2,0C 、()0,2D -，I 经过点C ，I 的关联直线HB 经过点B ，与I 的一个交点为P ；I 的关联直线HD 经过点D ，与I 的一个交点为Q ；直线HB 、HD 交于点H ，若线段PQ 在直线6x =上且恰为I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围.【答案】（1）①③；（2）11b +≤≤；（3）60h -≤<或02h <≤.的。

2024北京人大附中高三10月月考数 学命题人：薛坤 陈佳杰 审题人：杨良庆 吴文庆说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合{}{}2280,A x x x B x y y =−−<==∈Z 则AB =（ ）A ．()2,4−B ．[)0,4C ．[]0,1D ．{}0,12．下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[)0,+∞上递减的是（ ）A ．()1f x x=B ．()cos f x x =C ．()13f x x =− D ．()xxf x e e −=−3．已知0a b >>，以下四个数中最大的是（ ）A ．bB C ．2a b +D 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点ππsin,cos 33P ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角α的一个可能值为（ ） A ．π6−B ．π6C ．π3− D ．π35．已知函数()9lg 1f x x x =−+，则()0f x >的解集为（ ） A ．()0,10 B ．()1,10C ．()()0,110,+∞ D ．()(),110,−∞+∞6．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2f x −是奇函数，()f x 是偶函数，则下列各数一定是()f x 零点的是（ ）A ．2019B ．2022C ．2025D ．20287．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G OL L D=，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：lg 20.3010=） A ．71B ．72C ．73D ．748．已知,a b 均为正实数．则“11a b>”是“2256a b ab +>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为122sin ,02πx y x x ω⎛⎫⎡⎤=−≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．若该条曲线还满足()1,3ω∈，经过点33π,42M ⎛⎫⎪⎝⎭．则该条葫芦曲线与直线7π6x =交点的纵坐标为（ ）A ．12±B．2± C．2±D ．1±10．如图所示，直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于()()()()1122,,,x f x x f x 两点，其中12x x <．若当()10,x x ∈时，()f x k '>，则函数()f x kx −的在()00,x 上的极大值点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11．函数()f x =的定义域为______12．函数()121,102,01xx f x x x ⎧⎛⎫−≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≤≤⎪⎩的值域为______． 13．已知对任意实数x ，均有()πcos sin ,6x x ωω⎛⎫−=+∈ ⎪⎝⎭R ，写出一组满足条件的(),ωϕ=______． 14．已知函数()()ln 1f x x k =+−有两个零点,()a b a b <，则()21ab ++的取值范围为______．15．已知函数()12(0)f x x ax a =++−>定义域为R ，最小值记为()M a ，给出以下四个结论： ①()M a 的最小值为1； ②()M a 的最大值为3；③()f x 在(),1−∞−上单调递减；④a 只有唯一值使得()y f x =的图象有一条垂直于x 轴的对称轴． 其中所有正确结论的是：______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2*3,n S n n n =+∈N ．（1）求{}n a 的通项公式：（2）若等比数列{}n b 满足1223,b a b a ==，求{}n b 的前n 项和n T ． 17．（本小题13分）已知函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωωωϕ⎛⎫=−>< ⎪⎝⎭．（1）若()02f =−，求ϕ的值； （2）已知()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，2π13f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数()f x 唯一确定，求,ωϕ的值．①5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心； ②π132f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭； ③()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 18．（本小题14分） 已知函数()32243f x x x x a =+−+ （1）若0a =，求曲线()y f x =的斜率为4−的切线方程； （2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在[]1,2−上恰有1个零点，直接写出a 的取值集合．19．（本小题15分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）（1）根据以上数据，可以用函数()sin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 20．（本小题15分） 已知函数()()2xf x exx =+，记其在点()(),a f a 处的切线方程为：()a y g x =．定义关于x 的函数()()()a a F x f x g x =−． （1）求()1g x 的解析式；（2）当0a >时，判断函数()a F x 的单调性并说明理由； （3）若a 满足当x a ≠时，总有()()0a f x g x x a−>−成立，则称实数a 为函数()f x 的一个“Q 点”，求()f x 的所有Q 点．21．（本小题15分）已知集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n n i X X x x x x i n Ω==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于任意n X ∈Ω，操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1连续k 个0，得到()1n k Y k +∈Ω≥；操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0，得到()411n Y k n →∈Ω≤≤−； 进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第n 次()*n ∈N “10月变换”的结果上再进1次“10月变换”称为第1n +次“10月变换”．（1）若对()0,1,0X =进行两次“10月变换”，依次得到42,Y Z ∈Ω∈Ω．直接写出Y 和Z 的所有可能情况．（2）对于()1000,0,,0X =∈Ω和()1000,1,0,1,,0,1Y =⋅⋅⋅∈Ω至少要对X 进行多少次“10月变换”才能得到Y ？说明理由．（3）证明：对任意2,n X Y ∈Ω，总能对X 进行不超过1n +次“10月变换”得到Y ．。

北京市人大附中2019-2020学年高一（10月份）段考数学试题（一）学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 设集合，，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．2. 设命题，则为（）A．B．C．D．3. 全集，集合，，则等于（）A．B．C．D．4. 下列表示图形中的阴影部分的是（）A．B．C．D．5. 若a，，则下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6. ，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是（）A．B．C．或D．或7. 定义符号函数sgn x＝则当x∈R时，不等式x＋2＞(2x －1)sgn x的解集是( )A．B．C．D．8. （2017北京西城二模理8）有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题9. 已知全集，集合，，若，则实数的取值范围是______.10. 设集合，集合，那么“”是“”的__条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．11. 方程的解集为______________.12. 一元二次不等式的解集是，则的值是________13. 关于x的方程的解集中只含有一个元素,______.14. 设集合，，，，，，在上定义运算“”为：，其中为被4除的余数，，，1，2，3，4，5．则满足关系式的的个数为__．三、解答题15. 已知全集，集合，.（1）用列举法表示集合与；（2）求及.16. 已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有实数根.（1）若两根的平方和比两根之积大21，求实数m的值；（2）若两根均大于1，求实数m的取值范围.17. 已知关于x的方程的两根为，，试问：是否存在实数m，使得，不等式都成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，说明理由.18. 已知集合.求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有个元素，且每个子集中任意两个元素的差的绝对值大于1.。

2019-2020学年北京市人大附中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.命题“∃x0∈R，x02+x0+4>0”的否定是()A. ∀x∈R，x2+x+4≥0B. ∃x0∈R，x02+x0+4>0C. ∃x0∈R，x02+x0+4<0．D. ∀x∈R，x2+x+4≤02.已知直线和平面，则能推出的是()A.B.C.D.3.已知中，内角所对边长分别为，若，则的面积等于()A. B. C. D.4.如图，B，C，D是地平面内一条直线上的三点，从塔顶A测得地面C，D两点的俯角分别为60°和30°.若CD=100m，则塔高等于()A. 50mB. 100mC. 50√2mD. 50√3m5.三棱锥D−ABC中，CD⊥底面ABC，△ABC为正三角形，若AE//CD，AB=CD=AE=2，则三棱锥D−ABC与三棱锥E−ABC的公共部分构成的几何体的体积为()A. √39B. √33C. 13D. √36.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出的是()A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，7.△ABC的三个内角A，B，C所对的分别为a，b，c，若cosAcosB =ba=√2，则角C的大小为()A. 60°B. 75°C. 90°D. 120°8.三棱锥P−ABC的底面是等腰三角形，∠C=120°，侧面是等边三角形且与底面ABC垂直，AC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A. 12πB. 20πC. 32πD. 100π9.下列四种说法中，错误的个数是()①A={0,1}的子集有3个；②命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是：“不存在x0∈R，2x0>0；③函数f(x)=e−x−e x的切线斜率的最大值是2；④函数y=sin(−2x+π3)的单调增区间是[−kπ−π12,−kπ+5π12](k∈Z)．A. 1B. 2C. 3D. 410.设是一条直线，，，是不同的平面，则下列说法不正确的是()A. 如果，那么内一定存在直线平行于B. 如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于C. 如果，，，那么D. 如果，与，都相交，那么与，所成的角互余二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）11.在△ABC中，a=2，b=√3，c=1，则最小角为______ 度．12.在△ABC中，a2+b2+ab=c2，则∠C=______．13.如图，AC是⊙O的直径，B是圆上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于D，已知BC=1，AB=√3，则AD=______14.在三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为．15.在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）16.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB．(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求异面直线BC与PD所成的角．17. 如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段ABC，该曲线段为函<φ<π)，x∈[−3,0]的图象，且图象的最高点为数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,π2B(−1,3√2)；赛道的中间部分为√3千米的水平跑到CD；赛道的后一部分为以O圆心的一段圆弧DE⏜．(1)求ω，φ的值和∠DOE的值；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图所示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积最大时θ的值．18. 设函数y=f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，y=f′(x)是y=f(x)的导函数，若g(x)=f(x)+√3f′(x)为奇函数，且对任意的x∈R有g(x)≤2．(1)求g(x)的表达式．(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=tanBtanA =g(−π2)，求△ABC的面积最大值．19. 如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点，E为BC的中点．(1)求证：BG//平面PDE；(2)求证：AD⊥PB；(3)在棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．【答案与解析】1.答案：D解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x02+x0+4>0”的否定是：“∀x∈R，x2+x+4≤0”．故选：D．利用特称命题的否定是全称命题写出经过即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2.答案：C解析：本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．解：存在一条直线b，a//b，且b//α，则a//α或a⊂α，故A错误；存在一条直线b，a⊥b，且b⊥α，则a//α或a⊂α，故B错误；存在一个平面β，a⊂β，且α//β，则由平面与平面平行的性质知a//α，故C正确；存在一个平面β，a//β，且α//β，则a//α或a⊂α，故D错误．故选：C．3.答案：B解析：试题分析：由正弦定理知，将带入得，解得，所以，故是等边三角形，从而，故选B．考点：1.正弦定理；2.三角形的面积公式．4.答案：D解析：根据等腰三角形和直角三角形的知识即可求出．本题考查了解三角形的问题，属于基础题．解：从塔顶A测得地面C，D两点的俯角分别为60°和30°，CD=100m，∴∠D=30°，∠DAC=30°，∠ACB=60°∴AC=CD=100，∴AB=ACsin60°=100×√32=50√3，故选：D．5.答案：B解析：本题考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．设AD∩CE=F，三棱锥D−ABC与三棱锥E−ABC的公共部分为三棱锥F−ABC，由此能求出三棱锥D−ABC与三棱锥E−ABC的公共部分构成的几何体的体积．解：∵三棱锥D−ABC中，CD⊥底面ABC，△ABC为正三角形，AE//CD，AB=CD=AE=2，∴如下图所示三棱锥D−ABC与三棱锥E−ABC的公共部分为三棱锥F−ABC，∵底面ABC是边长为2的等边三角形，∴S△ABC=12×2×2×sin60°=√3，∵AD∩CE=F，∴F到平面ABC的距离d=12AE=1，∴三棱锥D−ABC与三棱锥E−ABC的公共部分构成的几何体的体积：V F−ABC=13×S△ABC×d=13×√3×1=√33．故选：B．6.答案：C解析：在A选项中还有的可能；在B选项中还有的可能；在C选项中必有；在D 选项中还有的可能.故正确答案为C．考点：空间直线、平面的位置关系．7.答案：C解析：解：由正弦定理得，cosAcosB =ba=sinBsinA，则sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=180°，得A=B或A+B=90°，因为ba=√2，所以A+B=90°，则C=180°−(A+B)=90°，故选：C．根据正弦定理化简cosAcosB =ba，由二倍角的正弦公式得到A、B的关系，再结合条件和内角和定理求出角C．本题考查正弦定理，内角和定理，以及二倍角的正弦公式，注意三角形的边角关系的应用．8.答案：B解析：本题考查三棱锥的外接球表面积的求法，考查三棱锥及其外接球的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．由题意画出图形，设出三角形ABC外接圆的圆心G，由已知结合正弦定理求得CG，再设出三角形PAB的外接圆的圆心，作相交线得到三棱锥的外接球的球心，解三角形求得三棱锥的外接球的半径，则答案可求．解：如图，在等腰三角形ABC中，由∠C=120°，得∠ABC=30°，又AC=2，设G为三角形ABC外接圆的圆心，则ACsin∠ABC =2sin30∘=2CG，∴CG=2，再设CG交AB于D，可得CD=1，AB=2√3，则DG=1，在等边三角形PAB中，设其外心为H，则BH=PH=23PD=2，过G作平面ABC的垂线，过H作平面PAB的垂线，两垂线相交于O，则O为该三棱锥的外接球的球心，则半径R=OB=√4+1=√5，∴该三棱锥的外接球的表面积为4π×(√5)2=20π．故选：B．9.答案：D解析：解：对于①，A={0,1}的子集个数为：22=4，故①错误；对于②，命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是：“对任意的x0∈R，2x0>0，故②错误；对于③，∵f′(x)=−e−x−e x=−(1e x+e x)≤−2(当e x=e−x时，即x=0时，等号成立)，∴函数f(x)=e−x−e x的切线斜率的最大值是−2，故③错；对于④，函数y=sin(−2x+π3)=−sin(2x−π3)，令2kπ+π2≤2x−π3≤3π2，可解得函数的单调增区间为[kπ+5π12,kπ+11π12]，k∈Z，故④错；故选：D．①根据一个非空集合子集的个数公式进行求解；②根据命题否定的定义，进行求解；③利用导数研究直线的斜率，再利用均值不等式进行求解；④运用−α的诱导公式，再令2kπ+π2≤2x−π3≤3π2，可求解．此题主要考查命题的真假判断与应用，是一道基础题，考查的知识点比较全面；10.答案：D解析：试题分析：对于A，，说明这两个平面必相交，设其交线为，任意直线且，由平面的基本性质可知，所以由线面平行的判定定理可判定，正确；对于B，假设且，则由面面垂直的判定定理可得，这与条件不垂直于相矛盾，假设不正确，故B 也正确；对于C，如下图(1)，设，在平面内取一点，作于点，于点，则由面面垂直：的性质可得，而，所以，由线面垂直的判定定理可得，故C选项正确；对于D，这是不成立的，如下图(2)的长方体，设，分别记平面、平面为，记直线为，则与平面所成的角分别为，而，故，，故D选项不正确，选D．考点：1.空间中的平行、垂直问题；2.线面角．11.答案：30解析：本题考查余弦定理求三角形的内角，属基础题．由题意可得C为最小角，由余弦定理可得cos C，由三角形内角的范围可得．解：∵在△ABC中a=2，b=√3，c=1，∴c为最小边，C为最小角，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab =√32，由三角形内角范围可得最小角C=30°故答案为：3012.答案：23π解析：解：在△ABC中，a2+b2+ab=c2，由余弦定理可知，cosC=−12，C是三角形内角，所以C=23π．故答案为：23π．直接利用余弦定理，求出C的余弦值，然后求出C的大小．本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．13.答案：√2解析：解：∵AC是⊙O的直径，B是圆上一点，∴∠ABC=90°，又∵BC=1，AB=√3，∴AC=2R=2，故⊙O的半径为1又∵，∠ABC的平分线与⊙O相交于D，∴∠ABD=45°=12∠AOD∴∠AOD=90°∴AD=√2故答案为：√2由已知中AC是⊙O的直径，B是圆上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于D，已知BC=1，AB=√3，根据圆周角定理及其推论，我们易求出圆的半径及∠AOD的度数，解△AOD即可得到答案．本题考查的知识点是圆周角定理及其推论，勾股定理，其中根据圆周角定理及其推论，求出圆的半径及∠AOD的度数，是解答本题的关键．14.答案：3π解析：本题考查球与多面体的组合体及球的表面积，由已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则它的外接球与以这三条侧棱分别为长宽高的正方体的外接球相同，求出半径，然后代入公式计算即可．解：三棱锥P−ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，而正方体的对角线的长√12+12+12=√3，∴球的直径是√3，球的半径为√32，∴球的表面积：4π×(√32)2=3π．故答案为3π．15.答案：平面ABC、平面ABD解析：解：连接AM并延长，交CD于E，连接BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由EMMA =ENNB=12得MN//AB，。

2019-2020学年北京市人大附中高三（上）10月质检数学试卷试题数：20.满分：1501.（单选题.5分）已知全集U=R.集合A= {x|x+2x≤0} .则集合∁U A 等于（ ）A.{x|x ＜-2或x ＞0}B.{x|x≤-2或x ＞0}C.{x|x ＜-2或x≥0}D.{x|x≤-2或x≥0}2.（单选题.5分）已知角α的终边与单位圆交于点（- √32.- 12）.则sinα的值为（ ） A.- √32 B.- 12 C. √32 D. 123.（单选题.5分）下列函数中是奇函数.且在区间（0.+∞）上是增函数的是（ ） A.y= 1x B.y=2x C.y=x+ 1x D.y=x −1x4.（单选题.5分）为了得到函数y=cos （ 12 x+ π3 ）的图象.只要把y=cos 12x 的图象上所有的点（ ）A.向左平移 π3个单位长度 B.向右平移 π3 个单位长度 C.向左平移 2π3 个单位长度 D.向右平移 2π3 个单位长度5.（单选题.5分）lgx ＞lgy”是“ √x ＞ √y ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.（单选题.5分）如果实数集R的子集X满足任意开区间（a.b）（其中a＜b）中都含有X中的元素.则称X在R中稠密.若“R的子集X在R中不稠密”则（）A.任意开区间都不含有X中的点B.存在开区间不含有X中的点C.任意开区间都含有X的补集中的点D.存在开区闻含有X的补集中的点7.（单选题.5分）函数f（x）=xsin2x+cosx的大致图象有可能是（）A.B.C.D.8.（单选题.5分）已知f（x）=|log2x|.关于x的方程f（x）=m（m＞0）的根为x1.x2（x1＜x2）.关于x的方程f（x）= 4m+1（m ≠4m+1）的为x3.x4（x3＜x4）.当m变化时. |x4−x2x3−x1|的最小值为（）A.16 √2B.8C.8 √2D.169.（填空题.5分）已知向量a⃗ =（2.3）. b⃗⃗ =（t.2）.若a⃗与b⃗⃗共线.则实数t=___ ．10.（填空题.5分）函数f（x）= √4−x2lnx的定义域为___ ．11.（填空题.5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示.则f（x）=___ ．12.（填空题.5分）如图所示.某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50m.摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起.经过tmin后.点P的高度ℎ=40sin(π6t−π2)+50（单位：m）.那么在摩天轮转动一圈的过程中.点P的高度在距地面70m以上的时间将持续 ___ min．13.（填空题.5分）如图.在△ABC 中.BO 为边AC 上的中线. BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 GO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .设 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 15 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ）.则λ的值为___ ．14.（填空题.5分）已知集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体：存在非零常数T.对任掌x∈R ．有f （x+T ）=Tf （x ）成立． （1）给出下列两个函数：f 1（x ）=x.f 2（x ）=a x （0＜a ＜1）其中属于集合M 的函数是___ ． （2）若函数f （x ）=sinkx∈M .则实数k 的取值集合为___ ．15.（问答题.13分）已知函数f （x ）=2 √3 sinxcosx+cos 2x-sin 2x+a （x∈R ）的最大值为5． （Ⅰ）求a 的值和f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）求f （x ）的单调增区间．16.（问答题.13分）如图.在平面四边形ABCD 中.DA⊥AB .DE=1.EC= √7 .EA=2.∠ADC=2π3 .∠BEC= π3． （Ⅰ）求sin∠CED 的值； （Ⅱ）求BE 的长．17.（问答题.13分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD.然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形.再把它的边沿虚线折起.做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米.矩形纸板的两边AB.BC 的长分别为a 厘米和b 厘米.其中a≥b ．（1）当a=90时.求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a.b.x的值.使得纸盒的体积最大.并求出最大值．x3-a2x-1（a∈R）．18.（问答题.13分）已知函数f（x）= 43（Ⅰ）曲线f（x）在点（1.f（1））处的切线l与直线2x-y+1=0平行.求l的方程；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=2只有一个公共点.求实数a的取值范围．19.（问答题.14分）设函数f（x）=x•lnx+ax.a∈R．（Ⅰ）当a=1时.求曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程；，e]上的最小值；（Ⅱ）求函数y=f（x）在[1eax2−(2a+1)x .求证：a≥0是函数y=g（x）在x∈（1.2）时单调（Ⅲ）若g(x)=f(x)+12递增的充分不必要条件．20.（问答题.14分）如图.设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表.其中a ij （i.j=1.2.….n）表示位于第i行第j列的实数.且a ij∈{1.-1}．a11a12 (1)a21a22 (2)⋮⋮…⋮a n1a n2…a nnst s1t1s2t2sn tn都有p st=0.则称数表A为完美数表．（Ⅰ）当n=2时.试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A为n行n列的完美数表.且对于任意的i=1.2.….l和j=1.2.….k.都有a ij=1.证明：kl≤n．2019-2020学年北京市人大附中高三（上）10月质检数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1501.（单选题.5分）已知全集U=R.集合A= {x|x+2x ≤0} .则集合∁U A 等于（ ） A.{x|x ＜-2或x ＞0} B.{x|x≤-2或x ＞0} C.{x|x ＜-2或x≥0} D.{x|x≤-2或x≥0} 【正确答案】：C【解析】：求出A 中不等式的解集确定出A.根据全集U=R 求出A 的补集即可．【解答】：解：由A 中的不等式变形得： {x +2≥0x ＜0 或 {x +2≤0x ＞0 .解得：-2≤x ＜0. 即A={x|-2≤x ＜0}. ∵全集U=R.∴∁U A={x|x ＜-2或x≥0}． 故选：C ．【点评】：此题考查了补集及其运算.熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.（单选题.5分）已知角α的终边与单位圆交于点（- √32 .- 12 ）.则sinα的值为（ ） A.- √32 B.- 12 C. √32 D. 12【正确答案】：B【解析】：由任意角的三角函数定义.可得结论．【解答】：解：∵角α的终边与单位圆交于点（- √32 .- 12）. ∴由任意角的三角函数定义易知：sinα=y=- 12 . 故选：B ．【点评】：本题考查任意角的三角函数定义.考查学生的计算能力.属于基础题． 3.（单选题.5分）下列函数中是奇函数.且在区间（0.+∞）上是增函数的是（ ） A.y= 1x B.y=2x C.y=x+ 1x D.y=x −1x 【正确答案】：D【解析】：根据题意.依次分析选项中函数的奇偶性与单调性.综合即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A.y= 1x .为反比例函数.是奇函数.但在区间（0.+∞）上是减函数.不符合题意； 对于B.y=2x .是指数函数.不是奇函数.不符合题意；对于C.y=x+ 1x .是奇函数.但在区间（0.1）上是减函数.不符合题意； 对于D.y=x- 1x .是奇函数.且在区间（0.+∞）上是增函数.符合题意； 故选：D ．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性的判断.关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性.属于基础题．4.（单选题.5分）为了得到函数y=cos （ 12 x+ π3 ）的图象.只要把y=cos 12x 的图象上所有的点（ ）A.向左平移 π3 个单位长度 B.向右平移 π3 个单位长度 C.向左平移 2π3 个单位长度 D.向右平移 2π3 个单位长度 【正确答案】：C【解析】：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：由于cos（12 x+ π3）=cos 12（x+ 2π3）.故把y=cos 12x的图象上所有的点向左平移2π3个单位长度.可得函数y=cos 12（x+ 2π3）=cos（12 x+ π3）的图象.故选：C．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．5.（单选题.5分）lgx＞lgy”是“ √x＞√y”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：通过解lgx＞lg y不等式化简命题；通过解二次根式不等式化简命题；先判断出谁是谁成立的什么条件．【解答】：解：∵lgx＞lg y.∴x＞y．∴ √x＞√y∴lgx＞lg y”是“ √x＞√y”的充分条件．反之不成立．故选：A．【点评】：判断一个命题是另一个命题的条件问题.应先化简各个命题、当两个命题都是数集时.可将问题转化为集合的包含关系问题．6.（单选题.5分）如果实数集R的子集X满足任意开区间（a.b）（其中a＜b）中都含有X中的元素.则称X在R中稠密.若“R的子集X在R中不稠密”则（）A.任意开区间都不含有X中的点B.存在开区间不含有X中的点C.任意开区间都含有X的补集中的点D.存在开区闻含有X的补集中的点【正确答案】：B【解析】：根据集合X在R中稠密的定义即可得出R的子集X在R中不稠密的定义．【解答】：解：∵实数集R的子集X满足任意开区间（a.b）（其中a＜b）中都含有X中的元素.则称X在R中稠密.∴R的子集X在R中不稠密.则存在开区间不含有X中的点．故选：B．【点评】：本题考查了集合X在R中稠密的定义和不稠密的定义.考查了推理能力.属于基础题．7.（单选题.5分）函数f（x）=xsin2x+cosx的大致图象有可能是（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：判断函数的奇偶性.判断函数零点个数进行判断即可．【解答】：解：f（-x）=-xsin（-2x）+cos（-x）=xsin2x+cosx=f（x）.则函数f（x）是偶函数.排除D.由f（x）=x2sinxcosx+cosx=0.得cosx（2xsinx+1）=0.得cosx=0.此时x= π2或3π2.由2xsinx+1=0得sinx=- 12x.作出函数y=sinx和y=- 12x.在（0.2π）内的图象.由图象知两个函数此时有两个不同的交点. 综上f（x）在（0.2π）有四个零点.排除B.C.故选：A．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断.利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．8.（单选题.5分）已知f（x）=|log2x|.关于x的方程f（x）=m（m＞0）的根为x1.x2（x1＜x2）.关于x的方程f（x）= 4m+1（m ≠4m+1）的为x3.x4（x3＜x4）.当m变化时. |x4−x2x3−x1|的最小值为（）A.16 √2B.8C.8 √2D.16【正确答案】：B【解析】：由题意画出函数f（x）的图象.分别求出为x1.x2.x3.x4.进而求出比值.由均值不等式求出最小值．【解答】：解：画出函数f（x）的图象.如图所示关于x的方程f（x）=m（m＞0）的根为x1.x2可得.x1=2-m.x2=2m.同理x的方程f（x）= 4m+1（m ≠4m+1）的为x3.x4.可得x3=2 −4m+1 .x4=2 4m+1 .所以|x4−x2x3−x1| =|24m+1−2m||2−4m+1−2−m|=2m•2 4m+1•|24m+1−2m||2m−24m+1|=2 m+4m+1 =2 m+1+4m+1−1．因为m＞0.m+1＞1.所以m+1+ 4m+1 -1≥2 √(m+1)•4m+1-1=3.所以2 m+1+4m+1−1≥23=8.所以所以|x4−x2x3−x1|的最小值为8.故选：B．【点评】：考查函数与方程的关系及均值不等式的应用.属于中档题．9.（填空题.5分）已知向量a⃗ =（2.3）. b⃗⃗ =（t.2）.若a⃗与b⃗⃗共线.则实数t=___ ．【正确答案】：[1] 43【解析】：根据平面向量共线定理列方程求出t的值．【解答】：解：向量a⃗ =（2.3）. b⃗⃗ =（t.2）.若a⃗与b⃗⃗共线.则3t-2×2=0.解得t= 43．故答案为： 43 ．【点评】：本题考查了平面向量的共线定理应用问题.是基础题． 10.（填空题.5分）函数f （x ）=√4−x 2lnx的定义域为___ ． 【正确答案】：[1]{x|0＜x≤2且x≠1}【解析】：由根式内部的代数式大于等于0.对数式的真数大于0.且分式的分母不等于0联立不等式组得答案．【解答】：解：由 {4−x 2≥0x ＞0x ≠1 .得0＜x≤2且x≠1．∴函数f （x ）=√4−x 2lnx的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．【点评】：本题考查了函数的定义域及其求法.考查了不等式组的解法.是基础题．11.（填空题.5分）函数y=Asin （ωx+φ）（ ω＞0，|φ|＜π2 ）的部分图象如图所示.则f （x ）=___ ．【正确答案】：[1]2sin （2x- π6 ）【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得函数的解析式．【解答】：解：根据函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象.可得A=2. 可得： T 2= 12• 2πω= π3+ π6. ∴ω=2．再根据五点法作图可得2× π3 +φ= π2 .∴φ=- π6 .∴f （x ）=2sin （2x- π6）. 故答案为：2sin （2x- π6 ）．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式.由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.属于基础题．12.（填空题.5分）如图所示.某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50m.摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P 自最低点A 点起.经过tmin 后.点P 的高度 ℎ=40sin (π6t −π2)+50 （单位：m ）.那么在摩天轮转动一圈的过程中.点P 的高度在距地面70m 以上的时间将持续 ___ min ．【正确答案】：[1]4【解析】：令函数值大于70解不等式即可得出P 点距离地面超过70m 的时间．【解答】：解：令 40sin (π6t −π2)+50 ＞70.得 sin (π6t −π2)＞12 . 即有 π6＜π6t −π2＜5π6.解得4＜t ＜8.在转动一圈的过程中.从四分钟开始高度大于70.八分钟开始高度小于70.故高度大于70的时间一周中有4分钟．答：一周中有4分钟的时间高度超过70m ． 故答案为：4．【点评】：本题考查已知三角函数模型的应用问题.解答本题的关键是利用函数的模型.由三角形中的相关知识进行运算.考查计算能力．13.（填空题.5分）如图.在△ABC 中.BO 为边AC 上的中线. BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 GO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .设 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 15AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ）.则λ的值为___ ．【正确答案】：[1] 65【解析】：先求出 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）.利用 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此设 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k3 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）.可得 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k 3 • AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（ k 3 +1）• AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .结合 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 15AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ）.即可得出结论．【解答】：解：由已知得G 是三角形的重心.因此 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）. 由于 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此设 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k3 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）. 那么可得 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k3 • AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（ k 3+1）• AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 15 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ）. ∴k= 35 .∴λ=1+ 15 = 65 ． 故答案为： 65 ．【点评】：本题考查向量在几何中的应用.考查平面向量基本定理.属于中档题．14.（填空题.5分）已知集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体：存在非零常数T.对任掌x∈R ．有f （x+T ）=Tf （x ）成立． （1）给出下列两个函数：f 1（x ）=x.f 2（x ）=a x （0＜a ＜1）其中属于集合M 的函数是___ ． （2）若函数f （x ）=sinkx∈M .则实数k 的取值集合为___ ． 【正确答案】：[1]f 2（x ）=a x （0＜a ＜1）; [2]{k|k=nπ.n∈Z}【解析】：（1）若函数f 1（x ）=x 属于集合M.则x+T=Tx 成立．令x=0.则T=0.与题矛盾．故f 1（x ）=x∉M ．若f 2（x ）=a x （0＜a ＜1）属于集合M.则存在非零常数T.对任意x∈R .有a x+t =ta x 成立.当t=log a t 时.对任意x∈R .有a x+t =ta x 成立.从而f 2（x ）=a x （0＜a ＜1）属于集合M ．（2）当k=0时.f （x ）=0.f （x ）=0∈M ．当k≠0时.由f （x ）=sinkx∈M .得sin （kx+kT ）=Tsinkx ．从而要使sin （kx+kT ）=Tsinkx ．成立.只有T=±1.由此能求出实数k 的取值范围．【解答】：解：（1）若函数f 1（x ）=x 属于集合M. 则存在非零常数T.对任意x∈R .有f （x+T ）=Tf （x ） 成立. 即：x+T=Tx 成立． 令x=0.则T=0.与题矛盾． 故f 1（x ）=x∉M ．若f 2（x ）=a x （0＜a ＜1）属于集合M.则存在非零常数T.对任意x∈R.有f（x+T）=Tf（x）成立.即存在非零常数T.对任意x∈R.有a x+t=ta x成立.当t=log a t时.对任意x∈R.有a x+t=ta x成立.∴f2（x）=a x（0＜a＜1）属于集合M．故答案为：f2（x）=a x（0＜a＜1）．（2）当k=0时.f（x）=0.f（x）=0∈M．当k≠0时.因为f（x）=sinkx∈M.∴存在非零常数T.对任意x∈R.有f（x+T）=T f（x）成立.即sin（kx+kT）=Tsinkx．∵k≠0.且x∈R.∴kx∈R.kx+kT∈R.于是sinkx∈[-1.1].sin（kx+kT）∈[-1.1].故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立.只有T=±1.① 当T=1时.sin（kx+k）=sinkx 成立.则k=2mπ.m∈Z．② 当T=-1时.sin（kx-k）=-sinkx 成立.即sin（kx-k+π）=sinkx 成立.则-k+π=2mπ.m∈Z.即k=-（2m-1）π.m∈Z.综合得.实数k的取值范围是{k|k=nπ.n∈Z}．故答案为：{k|k=nπ.n∈Z}．【点评】：本题考查属于集合M的函数的判断.考查实数的取值范围的求法.考查元素与集合的关系、三角函数的性质等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．15.（问答题.13分）已知函数f（x）=2 √3 sinxcosx+cos2x-sin2x+a（x∈R）的最大值为5．（Ⅰ）求a的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用倍角公式以及辅助角公式进行化简求解即可．（Ⅱ）结合函数的单调性进行求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）=2 √3 sinxcosx+cos2x-sin2x+a= √3 sin2x+cos2x+a=2sin（2x+ π6）+a.∵f（x）的最大值为5.∴2+a=5.得a=3．f（x）的最小正确为T= 2π2=π．（Ⅱ）由2kπ- π2≤2x+ π6≤2kπ+ π2.k∈Z得kπ- π3≤x≤kπ+ π6.k∈Z即函数f（x）的单调递增区间为[kπ- π3 .kπ+ π6].k∈Z【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.利用倍角公式和辅助角公式进行化简是解决本题的关键．难度不大．16.（问答题.13分）如图.在平面四边形ABCD中.DA⊥AB.DE=1.EC= √7 .EA=2.∠ADC=2π3 .∠BEC= π3．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系.结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式.结合正弦定理即可得到结论．【解答】：解：（Ⅰ）设α=∠CED.在△CDE中.由余弦定理得EC2=CD2+ED2-2CD•DEcos∠CDE.即7=CD2+1+CD.则CD2+CD-6=0.解得CD=2或CD=-3.（舍去）.在△CDE中.由正弦定理得ECsin∠EDC =CDsinα.则sinα=CD•sin2π3EC=2×√32√7=√217. 即sin∠CED=√217． （Ⅱ）由题设知0＜α＜ π3 .由（Ⅰ）知cosα= √1−sin 2α=√1−2149=2√77. 而∠AEB=2π3−α .∴cos∠AEB=cos （ 2π3−α ）=cos 2π3 cosα+sin 2π3 sinα= −12×2√77+√32×√217=√714. 在Rt△EAB 中.cos∠AEB= EABE =2BE . 故BE= 2cos∠AEB =2√714=4√7 ．【点评】：本题主要考查解三角形的应用.根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键.难度不大．17.（问答题.13分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD.然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形.再把它的边沿虚线折起.做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米.矩形纸板的两边AB.BC 的长分别为a 厘米和b 厘米.其中a≥b ．（1）当a=90时.求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a.b.x 的值.使得纸盒的体积最大.并求出最大值．【正确答案】：【解析】：（1）当a=90时.b=40.求出侧面积.利用配方法求纸盒侧面积的最大值； （2）表示出体积.利用基本不等式.导数知识.即可确定a.b.x 的值.使得纸盒的体积最大.并求出最大值．【解答】：解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600.故当a=90时.b=40.从而包装盒子的侧面积S=2×x（90-2x）+2×x（40-2x）=-8x2+260x.x∈（0.20）．…（3分）因为S=-8x2+260x=-8（x-16.25）2+2112.5.故当x=16.25时.侧面积最大.最大值为2112.5平方厘米．）.b≤60．…（8（2）包装盒子的体积V=（a-2x）（b-2x）x=x[ab-2（a+b）x+4x2].x∈（0. b2分）V=x[ab-2（a+b）x+4x2]≤x（ab-4 √ab x+4x2）=x（3600-240x+4x2）=4x3-240x2+3600x．…（10分）当且仅当a=b=60时等号成立．设f（x）=4x3-240x2+3600x.x∈（0.30）．则f′（x）=12（x-10）（x-30）．于是当0＜x＜10时.f′（x）＞0.所以f（x）在（0.10）上单调递增；当10＜x＜30时.f′（x）＜0.所以f（x）在（10.30）上单调递减．因此当x=10时.f（x）有最大值f（10）=16000.…（12分）此时a=b=60.x=10．答：当a=b=60.x=10时纸盒的体积最大.最大值为16000立方厘米．…（14分）【点评】：本题考查导数知识的综合运用.考查基本不等式.考查利用数学知识解决实际问题的能力.属于中档题．x3-a2x-1（a∈R）．18.（问答题.13分）已知函数f（x）= 43（Ⅰ）曲线f（x）在点（1.f（1））处的切线l与直线2x-y+1=0平行.求l的方程；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=2只有一个公共点.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求导.由导数的几何意义及平行直线的关系可求得a.进而求得切点.利用点斜式求得切线方程；（Ⅱ）求导.分类讨论.只需函数f（x）的极大值大于2即可．【解答】：解：（Ⅰ）f′（x）=4x2-a2.则f′（1）=4-a2. 依题意.4-a2=2.解得a=√2或a=−√2 .∴ f(x)=43x3−2x−1 .则f(1)=−53.∴切线l的方程为y+53=2(x−1) .即6x-3y-11=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=4x2-a2.令f′（x）=0.解得x=±a2.当a=0时.f′（x）≥0恒成立.函数f(x)=43x3−1在R上递增.显然与直线y=2只有一个公共点.满足题意；当a＞0时.令f′（x）＞0.解得x＜−a2或x＞a2；令f′（x）＜0.解得−a2＜x＜a2；故此时函数f（x）在(−∞，−a2)，(a2，+∞)上递增.在(−a2，a2)上递减.要使函数f（x）的图象与直线y=2只有一个公共点.则只需f(−a2)＜2 .即43×(−a38)−a2×(−a2)−1＜2 .解得a＜323 .故此时0＜a＜323；当a＜0时.令f′（x）＞0.解得x＜a2或x＞−a2；令f′（x）＜0.解得a2＜x＜−a2.故此时函数f（x）在(−∞，a2)，(−a2，+∞)上递增.在(a2，−a2)上递减.要使函数f（x）的图象与直线y=2只有一个公共点.则只需g(a2)＜2 .即43×a38−a2×a2−1＜2 .解得a＞−323 .故此时−323＜a＜0 .综上.实数a的取值范围为(−323，323)．【点评】：本题考查导数的几何意义.及利用导数研究函数的单调性.极值.考查数形结合思想及分类讨论思想.属于中档题．19.（问答题.14分）设函数f（x）=x•lnx+ax.a∈R．（Ⅰ）当a=1时.求曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）在[1e，e]上的最小值；（Ⅲ）若g(x)=f(x)+12ax2−(2a+1)x .求证：a≥0是函数y=g（x）在x∈（1.2）时单调递增的充分不必要条件．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出函数的导数.计算f（1）.f′（1）.求出切线方程即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值.通过讨论a的范围.得到函数f（x）的单调性.从而确定f（x）在闭区间的最小值即可；（Ⅲ）求出g（x）的导数.通过讨论a的范围分别证明充分性和必要性即可．【解答】：解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax得：f′（x）=lnx+a+1．当a=1时.f′（x）=lnx+2.f（1）=1.f′（1）=2.求得切线方程为y=2x-1…（4分）（Ⅱ）令f′（x）=0.得x=e-（a+1）.∴当e-（a+1）≤ 1e .即a≥0时.x∈[ 1e.e]时f′（x）≥0恒成立.f（x）单调递增.此时f（x）min=f（1e ）= a−1e．当e-（a+1）≥e.即a≤-2时.x∈[ 1e.e]时.f′（x）≤0恒成立.f（x）单调递减. 此时f（x）min=f（e）=ae+e.当1e ＜e-（a+1）＜e.即-2＜a＜0时.x∈[ 1e.e-（a+1））时.f′（x）＜0.f（x）单减；x∈（e-（a+1）.e）时.f′（x）＞0.f（x）单增.此时f（x）min=f（e-（a+1））=-e-（a+1）. …（9分）（Ⅲ）g′（x）=f′（x）+ax-（2a+1）=lnx+a（x-1）.∴当a≥0时.x∈（1.2）时lnx＞0.a（x-1）≥0.g′（x）＞0恒成立.函数y=g（x）在x∈（1.2）时单调递增.充分条件成立；又当a=- 12时.代入g′（x）=lnx- 12x+ 12.设h（x）=g′（x）=lnx- 12 x+ 12.x∈（1.2）.则h′（x）= 2−x2x＞0恒成立∴当x∈（1.2）时.h（x）单调递增．又h（1）=0.∴当x∈（1.2）时.h（x）＞0恒成立．而h（x）=g′（x）.∴当x∈（1.2）时.g′（x）＞0恒成立.函数y=g（x）单调递增．∴必要条件不成立综上.a≥0是函数y=g（x）在x∈（1.2）时单调递增的充分不必要条件．…（14分）【点评】：本题考查了充分必要条件.考查函数的单调性、最值问题.考查导数的应用以及分类讨论思想.是一道中档题．20.（问答题.14分）如图.设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表.其中a ij（i.j=1.2.….n）表示位于第i行第j列的实数.且a ij∈{1.-1}．st s1t1s2t2sn tn都有p st=0.则称数表A为完美数表．（Ⅰ）当n=2时.试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A为n行n列的完美数表.且对于任意的i=1.2.….l和j=1.2.….k.都有a ij=1.证明：kl≤n．【正确答案】：【解析】：本题第（Ⅰ）题可根据题目的意思先写出一个完美数表.然后用P12是否等于0来验证；第（Ⅱ）题可先假设这样的10行10列的完美数表是存在的.然后根据完美数表的特点进行适当变换.观察完美数表中1与-1的个数再与题干中的验证公式去验证.最终得到矛盾的结论.命题得证；第（Ⅲ）题先设出每行中1的个数.然后根据题干中结论的任意性来证明结论成立．【解答】：（Ⅰ）解：由题意.可写出如下的完美数表：1211211222∴此完美数表符合条件．（Ⅱ）证明：假设存在10行10列的完美数表A．根据完美数表的定义.可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即+1均变为-1.而-1均变为+1）.得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列.得到的新数表也是完美数表．完美数表A反复经过上述两个结论的变换.前三行可以为如下形式：数为-1”的有y列.前三行中“第1.3行中的数为1.且第2行中的数为-1”的有z列.前三行中“第1行中的数为1.且第2.3行中的数为-1”的有w列（如上表所示）.则x+y+z+w=10 ①由p12=0.得x+y=z+w；②由p13=0.得x+z=y+w；③由p23=0.得x+w=y+z．④．解方程组① . ② . ③ . ④ .得x=y=z=w=52这与x.y.z.w∈N矛盾.所以不存在10行10列的完美数表．（Ⅲ）证明：记第1列前l行中的数的和a11+a21+…+a l1=X1.第2列前l行中的数的和a12+a22+…+a l2=X2.…….第n列前l行中的数的和a1n+a2n+…+a ln=X n.∵对于任意的i=1.2.….l和j=1.2.….k.都有a ij=1.∴ X1=X2=⋯=X k=l．又∵对于任意s.t（s≠t）.都有p st=0.∴ X12+X22+⋯+X n2=ln．又∵ X12+X22+⋯+X n2≥X12+X22+⋯+X k2=l2k .∴ln≥l2k.即kl≤n．【点评】：本题第（Ⅰ）题主要考查对题意的阅读理解能力；第（Ⅱ）题主要考查联系矩阵的特点对完美数表的规律的认识；第（Ⅲ）题主要考查对完美数表元素1的个数特点证明．本题是一道较难的偏难题．。

中国人民大学附属中学2019届高三10月统一练习数学(理)试题说明:本试卷共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟;考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上.）1.若集合A ＝{x ∈Z ||x |＜3}，B ＝{x ∈Z |x 2﹣3x ﹣4＜0}，则A ∩B ＝（ ） A. {0，1，2} B. {﹣2，﹣1，0，1，2，3}C. {﹣1，0，1，2，3}D. {﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}【答案】A 【解析】 【分析】化简集合,A B 后利用集合的交集运算进行运算可得. 【详解】因为集合{2,1,0,1,2}A =--,{0,1,2,3}B =, 所以{0,1,2}A B ⋂=, 故选：A【点睛】本题考查了集合的交集运算,含绝对值不等式的解法,一元二次不等式的解法,属于基础题.2.设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2n n N n ∀∈> B. 2,2n n N n ∃∈≤ C. 2,2n n N n ∀∈≤ D. 2,2n n N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.【此处有视频，请去附件查看】3.已如函数f （x ）sinxx=，则f ′（π）+f ′（﹣π）＝（ ） A. ﹣2 B. 2 C. 2π-D. 0【答案】D 【解析】 【分析】利用导数公式以及导数的除法法则求导后,代入π和π-计算可得.【详解】因为f （x ）sinx x =,所以cos sin ()2x x x f x x-'=, 所以22cos sin cos()sin()()()()f f ππππππππππ-----''+-=+=-220ππππ-+=.故选:D【点睛】本题考查了导数公式以及导数的除法法则,属于基础题. 4.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件；故选A ． 考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件判定． 【此处有视频，请去附件查看】5.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数 A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A 【解析】【详解】若223a b e a b +=+，必有22a b e a e b +>+． 构造函数：()2xf x e x =+，则()()f a f b >，则()20xf x e ='+>恒成立，故有函数()2xf x e x =+在x ＞0上单调递增，所以a ＞b 成立．故选A ． 6.已知曲线y ＝2sin （x 4π+）cos （4x π-）与直线y 12=相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5|等于（ ） A. π B. 2πC. 3πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】 将2sin()cos()44y x x ππ=+-化为1sin 2y x =+,根据已知条件得到关于x 的方程,求出方程的解,进而得到12345,,,,P P P P P 的横坐标,从而可得15||PP 的值. 【详解】因为2sin()cos()2sin[()]cos()44244y x x x x πππππ=+-=---22cos ()1cos(2)1sin 242x x x ππ=-=+-=+,所以由11sin 22x +=,得1sin 22x =-,所以7226x k ππ=+或11226x k ππ=+,k Z ∈, 所以712x k ππ=+或1112x k ππ=+,k Z ∈, 所以12345,,,,P P P P P 的横坐标依次是7117117,,,,21212121212ππππππππ+++, 所以1577||221212PP ππππ=+-=. 故选:B【点睛】本题考查了诱导公式,降幂公式,简单的三角方程,本题是一道关于关于三角函数的问题,掌握三角函数的转换公式是答题的关键,属于中档题. 7.函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证． 8.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈都有()()()63f x f x f +=+，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，给出如下命题：①()30f =；②直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴； ③函数()y f x =在[]9,6--上为增函数； ④函数()y f x =在[]9,9-上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为（ ） A. ①② B. ②④C. ①②③D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定【详解】①令3x =，则由()()()63f x f x f +=+，函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，可得：()()()()33323f f f f =-+=，故()30f =，故①正确②由()30f =可得：()()6f x f x +=，故函数()f x 是周期等于6的周期函数()f x Q 是偶函数，y 轴是对称轴，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，故②正确③Q 当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，故()f x 在[]03，上为增函数 ()f x Q 是偶函数，故()f x 在[]30-，上为减函数Q 函数()f x 是周期等于6的周期函数故()f x 在[]96--，上为减函数，故③错误 ④Q 函数()f x 是周期等于6的周期函数()()()()93390f f f f ，∴-=-===故函数()y f x =在[]9,9-上有四个零点，故④正确 综上所述，则正确命题的序号为①②④故选D【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解．二、填空题（本大题共6道小题，每小题5分，共30分.请将每道题的最简答案填写在“答题纸”第9-14题的相应位置上.)9.函数2()log 1f x x =-________． 【答案】[2，+∞） 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 10.计算112ex dx x ⎛⎫⎰+ ⎪⎝⎭【答案】2e 【解析】 【分析】先求出被积函数2x 1x +的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可． 【详解】解：1e⎰（2x 1x+）dx ＝（x 2+lnx ） 1|e＝e 2+lne ﹣1﹣ln 1 ＝e 2故答案为e 2【点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题．11.如图，点P 是函数y ＝2sin （ωx +φ）（x ∈R ，ω＞0）图象的一个最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若△MPN 为直角三角形，则ω＝_____．【答案】4π 【解析】 【分析】结合题意得到||4MN =,所以周期8T =,再根据周期公式可得答案. 【详解】三角函数的最大值为2，即三角形MPN 的高为2， ∵△MPN直角三角形，∴根据对称性知△MPN 为等腰直角三角形，即MN ＝4，即三角函数的周期T ＝8，由T 2πω==8，得ω284ππ==， 故答案为:4π. 【点睛】本题考查了正弦型函数的周期性,根据题意得到||4MN =,是答题的关键,属于基础题.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinC ＝2sinA ，b 2﹣a 212=ac ，则sinB 等于_____． 7【解析】 【分析】由sinC ＝2si n A 以及正弦定理得c ＝2a ，再由b 2﹣a 212=ac 得b 2=,然后由余弦定理可求得cos B ,根据同角公式可得sin B .【详解】由sinC ＝2si n A 以及正弦定理得c ＝2a ， 又b 2﹣a 212=ac ，得b 2﹣a 212=a ×2a ＝a 2， 即b 2＝2a 2，则b 2=，由余弦定理得cosB 22222222423322244a cb a a a a ac a a a +-+-====⋅，因为0B π<<,所以sinB 239771()1416164=-=-==， 故答案为:74. 【点睛】本题考查了正弦定理角化边,余弦定理,同角公式,属于基础题.13.已知函数()122,0,20x x c f x x x x ⎧⎪≤≤=⎨⎪+-≤<⎩，其中c >0.那么f (x )的零点是________；若f (x )的值域是，则c 的取值范围是________．【答案】 (1). －1和0 (2). (0,4] 【解析】 【分析】根据分段函数的概念，分x 为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f （x ）的零点．根据二次函数的图象与性质，求出当x∈[-2，0）时，函数f （x ）的值域恰好是[−14，2]，所以当0≤x≤c 时，f （x ）=12x 的最大值小于等于2，即可解出实数c 的取值范围. 【详解】当x≥0时，令12x =0，得x=0；当x ＜0时，令x 2+x=0，得x=-1或x=0（舍去） ∴f（x ）的零点是-1和0∵函数y=x 2+x=21124x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，在区间[-2，-12）上是减函数，在区间（-12，0）上是增函数∴当x∈[-2，0）时，函数f （x ）最小值为f （-12）=-14，最大值是f （-2）=2 ∵当0≤x≤c 时，f （x ）=12x 是增函数且值域为[0c ∵f （x ）的值域是[−14，2]，∴ c 0＜c≤4 【点睛】函数的零点是实数，是方程f （x ）=0的根，若能直接解方程求解，解方程即可；若不方便解方程，可通过图象法，函数的零点也是函数y=f （x ）与x 轴的交点的横坐标.分段函数的值域，是每个分段区间内对应的函数的值域的并集.14.设集合 {}n P 1,2,,n =L ，*n N ∈．记 ()f n 为同时满足下列条件的集合 A 的个数：① n A P ⊆； ②若 x A ∈，则 2x A ∉；③若 n P x A ∈ð，则 n P 2x A ∉ð． 则（1） ()f 4=_____________；（2） ()f n 的解析式（用 n 表示）()f n =_____________．【答案】 (1). 4 (2). ()n2n 122,n ,f n 2,n .+⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数【解析】（1）当4n =时，{}41,2,3,4P =，符合条件的集合A 为{}{}{}{}2,1,4,2,3,1,3,4， 所以()44f =．（2）任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2L ，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是2k x m =⋅，其中m 为奇数，k N +∈．由条件知，若m A ∈，则m A k ∈⇔为偶数；若m A Ï，则m A k ∈⇔为奇数． 于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．设n Q 是n P 中所有奇数的集合，因此()f n 等于n Q 的子集个数． 当n 为偶数（或奇数）时，n P 中奇数的个数是2n（或12n +），所以()2122,2,nn n f x n 为偶数为奇数+⎧⎪=⎨⎪⎩. 点睛：本题主要考查了有关集合的创新性试题和函数的解析式的求解问题，其中解答中涉及到元素与集合的关系，求解函数的解析式，以及集合之间的包含关系等知识点的综合考查，试题比较新颖，具有一定的创新性，解答是需要认真审题，仔细作答，有一定的难度，属于难题.三、解答题（本大题共6道小题，共80分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程，请将解答题的答案填写在“答题纸”第15-20题的相应位置上.)15.在ABC V 中，AC=6，4cos .54B C π==， （1）求AB 的长； （2）求()6cos A π-的值.【答案】（1）52（2）726- 【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ，再利用正弦定理求AB 的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-试题解析：解（1）因为4cos B=5，0B π<<，所以2243sin 1cos 1(),55B B =-=-= 由正弦定理知sin sin AC AB B C =，所以26sin 25 2.3sin 5AC CAB B⨯⋅===（2）在ABC V 中，A B C π++=，所以，于是cos cos()cos()cos cossin sin,444A B C B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==故42322cos 55A =-+= 因为0A π<<，所以272sin 1cos A A =-=因此23721726cos()cos cossin sin6662A A A πππ--=+=+= 【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等. 【此处有视频，请去附件查看】 16.有时可用函数0.115ln ,(6)(){ 4.4,(6)4ax a xf x x x x +≤-=->-描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x ∈N ），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.（1） 证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(121,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.【答案】（1）见解析（2）乙科 【解析】【详解】⑴中，要证明掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降，只需利用函数的单调性证明(1)()f x f x +-单调递减即可；⑵中，根据题意，()60.85f =建立方程求a 的估计值，结合给出的范围，进行判断. ⑴证明：当7x ≥时，()()0.41(3)(4)f x f x x x +-=--，(3)(4)0x x -->，函数(3)(4)y x x =--单调递增，故()()1f x f x +-单调递减，所以当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降. ⑵解：由题意知0.115ln0.85,6a a +=-整理可得0.05,6ae a =- 所以(]0.050.05620.506123.0,123.0121,127.1e a e =⋅≈⨯=∈-由此可知，该学科为乙科.【此处有视频，请去附件查看】17.已知函数f （x ）＝cos （2x 23π+）+2sin （4x π-）sin （4π+x ）． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的对称轴方程，并求函数f （x ）在区间[12π-，2π]上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）[kπ23π-，kπ6π-]，k ∈Z ； （Ⅱ）最小值为﹣13 【解析】【详解】（Ⅰ）f （x ）＝cos （2x 23π+）+2sin （4x π-）sin （4π+x ） ＝cos 2xcos23π-sin 2xsin 23π+2cos （4π+x ）sin （4π+x ） 12=-cos 2x 3sin 2x +sin （2π+2x ）12=-cos 2x 3sin 2x +cos 2x12=cos 2x 3sin 2x ＝cos （2x 3π+）， 由2kπ﹣π≤2x 3π+≤2kπ，k ∈Z 得kπ23π-≤x ≤kπ6π-，k ∈Z ， 即函数的单调递增区间为[kπ23π-，kπ6π-]，k ∈Z ． （Ⅱ）由2x 3π+=kπ得x 26k ππ=-，即函数的对称轴方程为x 26k ππ=-，k ∈Z ， 当122x ππ-≤≤时，6π-≤2x ≤π，6π≤2x 433ππ+≤， 所以当2x 3π+=π,即3x π=时，函数f （x ）取得最小值，最小值为f （x ）＝cosπ＝﹣1，当2x 36ππ+=,即12x π=-时，函数f （x ）取得最大值，最大值为f （x ）＝cos362π=．【点睛】本题考查了两角和的余弦公式,诱导公式,函数的单调区间,对称轴,最大最小值,属于中档题.18.设函数f （x ）＝x ﹣x 2+3lnx ． （Ⅰ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）证明：曲线y ＝f （x ）在直线y ＝2x ﹣2的下方(除点(1,0)外)． 【答案】（Ⅰ）极大值3ln 3324-；无极小值； （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导后,得到函数的单调性,根据单调性可求得极值;（Ⅱ）令g （x ）＝f （x ）﹣2x +2＝﹣x 2﹣x +2+3lnx ，（x ＞0），转化为证明()0g x ≤,利用导数求得最大值即可证明结论.【详解】（Ⅰ）f （x ）的定义域是（0，+∞），f ′（x ）＝1﹣2x ()()2231323x x x x x x x--+-+++==， 令f ′（x ）＞0，解得：0＜x 32＜，令f ′（x ）＜0，解得：x 32＞， 故f （x ）在（0，32）递增，在（32，+∞）递减， 故f （x ）极大值＝f （32）3924=-+3ln 32=3ln 3324-；无极小值；（Ⅱ）令g （x ）＝f （x ）﹣2x +2＝﹣x 2﹣x +2+3lnx ，（x ＞0），g ′（x ）＝﹣2x ﹣1()()2223132323x x x x x x x x x x+---++-+==-=-， 令g ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜1，令g ′（x ）＜0，解得：x ＞1， 故g （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， 故g （x ）max ＝g （1）＝﹣1﹣1+2+3ln 1＝0，故曲线y ＝f （x ）在直线y ＝2x ﹣2的下方(除点(1,0)外)．【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值和最值,等价转化思想,易错警示:忽视函数的定义域,本题属于中档题.19.已知函数2(),()()x f x x ax b g x e cx d =++=+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.（Ⅰ）求a b c d ,,,的值; （Ⅱ）若2x ≥-时,()()f x kg x ≤,求k的取值范围.【答案】（I ）4,2,2,2a b c d ====；（II ）2[1,e ].【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意()()02,02f g ==,由导数的几何意义可知()()'04,'04f g ==,从而可求得a b c d ,,,的值．（2） 由（1）知，()()()242,21x f x x x g x e x =++=+,令()()()F x kg x f x =-,即证2x ≥-时()0F x ≥．先将函数()()()F x kg x f x =-求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．试题解析：（1）由已知得()()02,02f g ==，()()'04,'04f g == 而()()()'2,'xf x x ag x ecx d c =+=++，4,2,2,2a b c d ∴====（4分）（2）由（1）知，()()()242,21xf x x xg x ex =++=+，设函数()()()()()22142,2xF x kg x f x kex x x x =-=+---≥-，()()()()'2224221x x F x ke x x x ke =+--=+-．由题设可得()00F ≥，即1k ≥，令()'0F x =得12ln ,2x k x =-=-, ．．（6分） ①若21k e ≤<，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()'0F x <，当()1,x x ∈+∞时，()'0F x >，即F （x ）在()12,x x ∈-单调递减，在()1,x +∞单调递增，故()F x 在1x x =取最小值()1F x ， 而()()2111111224220F x x x x x x =+---=-+≥．∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ．（8分）②若2k e =，则()()()22'22x F x ex e e =+-，∴当2x ≥-时，()'0F x ≥，∴()F x 在()2,-+∞单调递增，而()20F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立， ③若2k e >，则()()22222220F kee k e ---=-+=--<，∴当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立． ．（10分）综上所述，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．（12分） 考点：用导数研究函数的性质． 【此处有视频，请去附件查看】20.对于集合M ，定义函数()1,1,.x MM f x x M -∈⎧=∉⎨⎩对于两个集合M ，N ，定义集合()(){|1}.M N M N x f x f x =⋅=-V 已知{2,A =4，6，8，10}，{1,B =2，4，8，16}．(Ⅰ)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B V ；(Ⅱ)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B +V V 的最小值；(Ⅲ)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B ⊆⋃，且()()P A Q B A B =V V V V ？【答案】(1)()11A f =,()11B f =-,{}Δ1,6,10,16A B =，(2)4，（3）128 【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义直接得到答案；（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X , ①a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-;②若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出()()ΔΔCard X A Card X B +的最小值．（Ⅲ）由P ，Q ⊆A ∪B ，且（P △A ）△（Q △B ）=A △B 求出集合P ，Q 所满足的条件，进而确定集合对（P ，Q ）的个数． 试题解析：(Ⅰ)()11A f =,()11B f =-,{}Δ1,6,10,16A B =. (Ⅱ)根据题意可知：对于集合,C X ,①a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-; ②若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+.所以要使()()ΔΔCard X A Card X B +的值最小,2,4,8一定属于集合X ;1,6,10,16是否属于X 不影响()()ΔΔCard X A Card X B +的值;集合X 不能含有A B ⋃之外的元素.所以当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,()()ΔΔCard X A Card X B +取到最小值4.(Ⅲ)因为()(){|1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-, 所以ΔΔA B B A =.由定义可知：()()()ΔA B A B f x f x f x =⋅.所以对任意元素x ,()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅,()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅.所以()()()()ΔΔΔΔA B C A B C f x f x =. 所以()()ΔΔΔΔA B C A B C =.由()()ΔΔΔΔP A Q B A B =知：()()ΔΔΔΔP Q A B A B =. 所以()()()()()ΔΔΔΔΔΔΔΔP Q A B A B A B A B =. 所以ΔΔP Q ∅=∅. 所以ΔP Q =∅,即P Q =. 因为,P Q A B ⊆⋃,所以满足题意的集合对(),P Q 的个数为72128=.点睛：本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合,C X ,若a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-;若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+，由此可得结论；(3)由题意易得ΔΔA B B A =，由定义可知：()()()ΔA B A B f x f x f x =⋅，易知()()()()ΔΔΔΔA B C A B C f x f x =，由()()ΔΔΔΔP A Q B A B =可得()()ΔΔΔΔP Q A B A B =，则结论易得.。