中考数学几何证明压轴题大全

M(3)(2)(1)MMOOOBCA D C'D'D'C'D A CBD'C'D ACB图3图4F EDCBAFEDCBAABCDEF图2图1FE D CBA 1、在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，设锐角∠DOC=α，将△DOC 按逆时针方向旋转得到△D ′OC ′（0°＜旋转角＜90°）连接AC ′、BD ′，AC ′与BD ′相交于点M ．（1）当四边形ABCD 是矩形时，如图1，请猜想AC ′与BD ′的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；（2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图2，已知AC=kBD ，请猜想此时AC ′与BD ′的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；（3）当四边形ABCD 是等腰梯形时，如图3，AD ∥BC ，此时（1）AC ′与BD ′的数量关系是否成立？∠AMB 与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论． 2．如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且PE ＝PB ，连接PD ，O 为AC中点．（1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由； （2）如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．3.已知：正方形ABCD.（1）如图1，点E 、点F 分别在边A B 和AD 上，且AE=AF.此时，线段BE 、DF 的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论.（2）如图2，等腰直角三角形FAE 绕直角顶点A 顺时针旋转α∠，当090α<<oo时，连接BE 、DF ，此时（1）中结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.（3）如图3，等腰直角三角形FAE 绕直角顶点A 顺时针旋转α∠，当90α=o时，连接BE 、DF ，猜想当AE 与AD 满足什么数量关系时，直线DF 垂直平分BE.请直接写出结论.（4）如图4，等腰直角三角形FAE 绕直角顶点A 顺时针旋转α∠，当90180α<<oo时，连接BD 、DE 、EF 、FB 得到四边形BDEF ，则顺次连接四边形BDEF 各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论.4. 如图(1)～(3)，已知∠AOB 的平分线OM 上有一点P ，∠CPD 的两边与射线OA 、OB 交于点C 、D ，连接CD 交OP 于点G ，设∠AOB ＝α(0°＜α＜180°)，∠CPD ＝β.(1)如图(1)，当α＝β＝90°时，试猜想PC 与PD ，∠PDC 与∠AOB 的数量关系(不用说明理由)； (2)如图(2)，当α＝60°，β＝120°时，(1)中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图(3)，当α＋β＝180°时，①你认为(1)中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由．②若PD PG ＝2，求PDPO的值．5. 已知直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，∠C ＝90°，AB ＝BC ＝12CD ，E 为CD 的中点．(1)如图(1)当点M 在线段DE 上时，以AM 为腰作等腰直角三角形AMN ，判断NE 与MB 的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；(2)如图(2)当点M 在线段EC 上时，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？请说明理由．6.如图所示，（1）正方形ABCD 及等腰Rt △AEF 有公共顶点A,∠EAF=900, 连接BE 、DF.将Rt △AEF 绕点A 旋转,在旋转过程中，BE 、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明； (2)将（1）中的正方形ABCD 变为矩形ABCD ，等腰Rt △AEF 变为Rt △AEF ，且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；(3)将（2）中的矩形ABCD 变为平行四边形ABCD ，将Rt △AEF 变为△AEF ，且∠BAD=∠EAF=α，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k 表示出线段BE 、DF 的数量关系，用α表示出直线BE 、DF 形成的锐角β.A A AN B A图 3图1E ABC FD 图2EAB CF 图3BFAC7．在ABC △中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．作ADE △，使AD AE DAE BAC =∠=∠，，连接CE ． （1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=°，则BCE ∠= 度； （2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D 在直线BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．8.如图1，P 是线段AB 上的一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD ，使PC ＝PA ，PD ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，连接CD ，点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AB 、BD 、CD 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ． (1)猜想四边形EFGH 的形状，直接回答．．．．，不必说明理由； (2)当点P 在线段AB 的上方时，如图2，在△APB 的外部作△APC 和△BPD ，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)如果(2)中，∠APC ＝∠BPD ＝90º，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．9.如图，正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 为对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥DC 于点F 。

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.(1)求证：DC=BC;(2)E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值.2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。

（1）若，求CD 的长； （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留）。

5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G.（1）求证：点F 是BD 中点；（2）求证：CG 是⊙O 的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．6、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3），⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动．（１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标；（２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ，DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线，垂足为点C .求证：∠ACB=31∠OAC . 8、如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为 60． E B F C D A 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3A B DG E FOMNC 图13－1 A ( E ) C OD F C A BD O E⑴求AO 与BO 的长；⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.①如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；②如图３，当A 点下滑到A ’点，B 点向右滑行到B ’点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ’点．若∠POP ’＝ ο15，试求AA ’的长．[解析]⑴AOB Rt ∆中,∠O=90o ,∠α=ο60∴,∠OAB=ο30，又ＡＢ＝4米，9.（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？(3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位？10．（南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，对角线AC 上有一个动点P （不包括点A 和点C ）．设AP ＝x ，四边形PBCD 的面积为y ．（1）写出y 与x 的函数关系，并确定自变量x 的范围．（2）有人提出一个判断：“关于动点P ，⊿PBC 面积与⊿PAD 面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由．。

北京优学教育中考专题训练1、如图，在梯形A ＢＣD 中,A Ｂ∥C Ｄ,∠BCD=90°,且AB=1，BC=2,tan ∠A ＤＣ=2.(1) 求证：ＤC=B Ｃ；(2) Ｅ是梯形内一点，Ｆ是梯形外一点,且∠ＥD Ｃ=∠ＦBC ，DE=BF ，试判断△E ＣF 的形状,并证明你的结论；(3) 在（２）的条件下，当B Ｅ:CE=1:2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值。

2、已知:如图,在□ABCD 中,E 、F 分别为边A Ｂ、CD 的中点,ＢD 是对角线,AG ∥DB 交C Ｂ的延长线于Ｇ．（1)求证：△ＡDE ≌△C ＢF ；（2)若四边形 BEDF 是菱形,则四边形ＡＧB Ｄ是什么特殊四边形?并证明你的结论.3、如图1３-1，一等腰直角三角尺ＧEF 的两条直角边与正方形ABC Ｄ的两条边分别重合在一起．现正方形A ＢCD 保持不动,将三角尺G ＥF 绕斜边E Ｆ的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转.（１)如图1３－2，当ＥＦ与A Ｂ相交于点M ，GF 与B Ｄ相交于点N 时，通过观察或测量ＢM ,FN 的长度，猜想B Ｍ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想;(2）若三角尺GE Ｆ旋转到如图1３-3所示的位置时,线段F Ｅ的延长线与AB 的延长线相交于点M ,线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ,此时，（1）中的猜想还成立吗?若成立,请证明;若不成立，请说明理由．４、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦ＣD 于E,连结ＡＤ、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。

E BF CD A 图13－2E A B DF O M N 图13－3 A B D EF O M N C 图13－1 A (G ) B ( E ) O(1)若sin ∠BAD =35,求C Ｄ的长； ﻩ(2）若 ∠ＡDO ：∠ＥD Ｏ＝4:1，求扇形O ＡC （阴影部分）的面积(结果保留π）。

近6年全国各地中考数学真题压轴题训练——几何图形的证明（100题）（解析版) 1．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．【答案】解：．证法1：连结，四边形，都是正方形．．由题意知，又．，．证法2：连结．四边形，都是正方形，．由题意知．．．．【解析】试题分析：要证明HG与HB是否相等，可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等，或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角形，而图中没有这样的三角形，因此需要作辅助线，构造三角形．试题解析：HG=HB，证法1：连接AH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠B=∠G=90°，由题意知AG=AB，又AH=AH，∴Rt AGH≌Rt ABH（HL），∴HG=HB．证法2：连接GB，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠ABC=∠AGF=90°，由题意知AB=AG，∴∠AGB=∠ABG，∴∠HGB=∠HBG，∴HG=HB．考点;1.正方形的性质；2.全等三角形的判定.2．（13分）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．（1）求证：ADP≌△ECP；（2）若BP=n•PK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．【答案】（1）证明见试题解析；（2）3；（3）证明见试题解析，120°．【解析】试题分析：（1）由菱形的性质得到AD∥BC，根据由平行线的性质得到∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，根据全等三角形的判定定理证明结论；（2）作PI∥CE交DE于I，由点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质证明结论；（3）作OG⊥AE于G，由平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，可证明MON是等腰三角形，由直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠MON的度数．试题解析：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，在ADP和ECP中，∵∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，DP=CP，∴△ADP≌△ECP；（2）如图1，作PI∥CE交DE于I，则，又点P是CD的中点，∴，∵△ADP≌△ECP，∴AD=CE，∴，∴BP=3PK，∴n=3；（3）如图2，作OG⊥AE于G，∵BM丄AE于，KN丄AE，∴BM∥OG∥KN，∵点O是线段BK的中点，∴MG=NG，又OG⊥MN，∴OM=ON，即MON是等腰三角形，由题意得，BPC，AMB，ABP为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=，则AP=，根据三角形面积公式，BM=，由（2）得，PB=3PO，∴OG=BM=，MG=MP=，tan∠MOG=，∴∠MOG=60°，∴∠MON的度数为120°．考点：1．四边形综合题；2．压轴题．3．如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．【答案】见解析.【解析】【分析】欲证明∠F ＝∠C ，只要证明△ABC ≌△DEF(SSS)即可.【详解】证明：DA BE =，DE AB ∴=，在ABC ∆和DEF ∆中，AB DE AC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ∴∆≅∆，C F ∴∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质.4．如图，平行四边形ABCD 中，AB=3cm ，BC=5cm ，∠B=60°，G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）①当AE= cm 时，四边形CEDF 是矩形；②当AE= cm 时，四边形CEDF 是菱形；（直接写出答案，不需要说明理由）【答案】（1）证明见解析；（2）① 当AE ＝3．5cm 时，四边形CEDF 是矩形．② 当AE ＝2cm 时，四边形CEDF 是菱形．【解析】【详解】（1）∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ CF ∥ED ， ∴ ∠FCG ＝∠EDG ，∵ G 是CD 的中点，∴ CG ＝DG ，在 FCG和 EDG 中，{FCG EDGCG DG CGF DGE∠=∠=∠=∠，∴ FCG ≌△EDG （ASA ），∴ FG ＝EG ，∵ CG ＝DG ，∴ 四边形CEDF 是平行四边形；(2)①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形，理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，∵∠B=60°，AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM ，在 MBA 和 EDC 中，BM DE B CDA AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ MBA ≌ EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是矩形，故答案为：3.5；②当AE=2时，四边形CEDF 是菱形，理由是：∵AD=5,AE=2,∴DE=3，∵CD=3,∠CDE=60°，∴ CDE 是等边三角形，∴CE=DE ，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是菱形，故答案为： 2.考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的判定；4．菱形的判定．5．在ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ．（1）如图1，若30D ︒∠=，AB =，求ABE ∆的面积；（2）如图2，过点A 作AF DC ⊥，交DC 的延长线于点F ，分别交BE ，BC 于点G ，H ，且 AB AF =．求证：ED AG FC -=．【答案】（1）32；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）作BO AD ⊥于O ，由平行四边形的性质得出30BAO D ︒∠=∠=，由直角三角形的性质得出12BQ AB ==，证出ABE AEB ∠=∠，得出AE AB == （2）作AQ BE ⊥交DF 的延长线于P ，垂足为Q ，连接PB 、PE ，证明ABG AFP ∆≅∆得出AG FP =，再证明BPC PED ∆≅∆得出PC ED =，即可得出结论．【详解】（1）解：作BO AD ⊥于O ，如图1所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AB CD ∥，AB CD =，30ABC D ︒∠=∠=，∴AEB CBE ∠=∠，30BAO D ︒∠=∠=，∴12BQ AB ==， ∵BE 平分ABC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，∴ABE AEB ∠=∠，∴AE AB ==∴ABE ∆的面积1132222AE BO =⨯=⨯=；（2）证明：作AQ BE ⊥交DF 的延长线于P ，垂足为Q ，连接PB 、PE ，如图2所示：∵AB AE =，AQ BE ⊥，∴ABE AEB ∠=∠，BQ EQ =，∴PB PE =，∴PBE PEB ∠=∠，∴ABP AEP ∠=∠，∵AB CD ∥，AF CD ⊥，∴AF AB ⊥，∴90BAF ︒∠=，∵AQ BE ⊥，∴ABG FAP ∠=∠，在ABG ∆和FAP ∆中，90ABG FAP AB AF BAG AFP ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，∴(ASA)ABG AFP ∆≅∆，∴AG FP =，∵AB CD ∥，AD BC ∥，∴180ABP BPC ︒∠+∠=，BCP D ∠=∠，∵180AEP PED ︒∠+∠=，∴BPC PED ∠=∠，在BPC ∆和PED ∆中，BCP D BPC PED PB PE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(AAS)BPC PED ∆≅∆，∴PC ED =，∴---ED AG PC AG PC FP FC ===．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6．如图，点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AD=CF ，AB=DE ，BC=EF.(1)求证：ΔABC ≌ DEF ；(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F 的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）37°【解析】分析：（1）先证明AC=DF ，再运用SSS 证明 ABC ≌△DEF ；（2）根据三角形内角和定理可求∠ACB=37°，由（1）知∠F=∠ACB ，从而可得结论.解析：（1）∵AC=AD+DC ， DF=DC+CF ，且AD=CF∴AC=DF在 ABC 和 DEF 中，AB DE BC EF AC DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ ABC ≌△DEF （SSS ）（2）由（1）可知，∠F=∠ACB∵∠A=55°，∠B=88° ∴∠ACB=180°－（∠A+∠B ）=180°－（55°+88°）=37° ∴∠F=∠ACB=37°点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．如图，点D 在△ABC 的AB 边上，且∠ACD=∠A．（1）作△BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）.【答案】（1）作图见解析；（2）DE∥AC.【解析】【分析】(1)、根据角平分线的画法画出角平分线；(2)、根据角平分线的性质和三角形外角的性质得出DE和AC平行. 【详解】解：(1)、如图所示：（2）DE∥AC∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=12∠BDC，∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，∴∠A=12∠BDC，∴∠A=∠BDE，∴DE∥AC．(2)、DE∥AC.考点：(1)、角平分线的画法；(2)、角平分线的性质.8．如图，分别以Rt ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD，等边ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．【答案】证明见解析．【解析】【分析】（1）一方面Rt ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，另一方面ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，从而可证明AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF．（2）根据（1）知道EF=AC，而ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．【详解】证明：（1）∵Rt ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC．又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF．∴AF=BC．∵在Rt AFE和Rt BCA中，AF=BC，AE=BA，∴△AFE≌△BCA（HL）．∴AC=EF．（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD．∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．∴EF∥AD．∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD．∴四边形ADFE是平行四边形．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的判定．9．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：ABC与DEC 全等．【答案】证明过程见解析【解析】【分析】由∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，可求得∠DCE=∠ACB，且∠B+∠CEA=∠CEA+∠DEC=180°，可求得∠DEC=∠ABC，再结合条件可证明△ABC≌△DEC．【详解】∵∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，∴∠5+∠4=∠4+∠3，∴∠5=∠3，且∠B+∠CEA=180°，又∠7+∠CEA=180°，∴∠B=∠7，在△ABC 和△DEC 中537BC CE B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ABC≌△DEC（ASA ）．10．如图， ABC 中，AB=AC ，点E ，F 在边BC 上，BE=CF ，点D 在AF 的延长线上，AD=AC ，（1）求证： ABE ≌△ACF ；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．【答案】（1）证明见解析；（2）75．【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF ，然后利用SAS 证明 ABE ≌△ACF 即可；（2）根据 ABE ≌△ACF ，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC ，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC 的度数.【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠ACF ，在 ABE 和 ACF 中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACF （SAS ）；（2）∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°， ∵AD=AC ，∴∠ADC=∠ACD ，∴∠ADC=280013︒-︒=75°， 故答案为75．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.11．如图， ABC 中，∠ACB ＞∠ABC ．（1）用直尺和圆规在∠ACB 的内部作射线CM ，使∠ACM =∠ABC （不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）若（1）中的射线CM 交AB 于点D ，AB =9，AC =6，求AD 的长．【答案】（1）作图见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）根据尺规作图的方法，以AC 为一边，在∠ACB 的内部作∠ACM =∠ABC 即可；（2）根据 ACD 与 ABC 相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可．试题解析：解：（1）如图所示，射线CM 即为所求；（2）∵∠ACD =∠ABC ，∠CAD =∠BAC ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AD AC AC AB =，即669AD =，∴AD =4． 点睛：本题主要考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．12．已知：如图，点A 、D 、C 、B 在同一条直线上，AD=BC ，AE=BF ，CE=DF ，求证：AE ∥BF ．【答案】证明见解析.【解析】分析：可证明 ACE ≌△BDF ，得出∠A=∠B ，即可得出AE ∥BF ；详证明：∵AD=BC ，∴AC=BD ，在 ACE 和 BDF 中，AC BD AE BF CE DF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACE ≌△BDF （SSS ）∴∠A=∠B ，∴AE ∥BF ；点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是用SSS 证明 ACE ≌△BDF ． 13．如图，AD 平分∠BAC ，AD ⊥BD ，垂足为点D ，DE ∥AC ．求证：△BDE 是等腰三角形．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：直接利用平行线的性质得出∠1=∠3，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE ，即可得出答案．试题解析：∵DE ∥AC ，∴∠1=∠3，∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∵AD ⊥BD ，∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°，∴∠B=∠BDE ，∴△BDE 是等腰三角形．考点：等腰三角形的判定；平行线的性质．14．在Rt ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到AED，点B、C 的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.【答案】（1）15°；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝12AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝12AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从而得到DE＝BF，ACD和BAE为等边三角形，接着由AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到AED，点E恰好在AC上，∴CA＝CD，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，∵CA＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝12（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，∴∠CDE＝75°−60°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝12 AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝12 AC，∴BF＝BC，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，∴DE＝BF，ACD和BAE为等边三角形，∴BE＝AB，∵点F为ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得AFD≌△CBA，∴DF＝BA，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．15．综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．∵AD=2AB ，∴AD=AE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ． ∴EM EB DM AB=．（依据1） ∵BE=AB ，∴1EM DM =．∴EM=DM ． 即AM 是 ADE 的DE 边上的中线，又∵AD=AE ，∴AM ⊥DE ．（依据2）∴AM 垂直平分DE ．反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A 是否在线段GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE ，以CE 为一边在CE 的左下方作正方形CEFG ，发现点G 在线段BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：（3）如图3，连接CE ，以CE 为一边在CE 的右上方作正方形CEFG ，可以发现点C ，点B 都在线段AE 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD 和正方形CEFG 的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）①直接得出结论；②借助问题情景即可得出结论；（2）先判断出∠BCE+∠BEC=90°，进而判断出∠BEC=∠BCG ，得出 GHC ≌△CBE ，判断出AD=BC ，进而判断出HC=BH ，即可得出结论；（3）先判断出四边形BENM 为矩形，进而得出∠1+∠2=90°，再判断出∠1=∠3，得出 ENF ≌△EBC ，即可得出结论．【详解】（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）．依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）．②答：点A在线段GF的垂直平分线上．理由：由问题情景知，AM⊥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥FG，∴点A在线段GF的垂直平分线上．（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，∴∠BCE+∠BEC=90°．∵四边形CEFG为正方形，∴CG=CE，∠GCE=90°，∴∠BCE+∠BCG=90°．∴∠2BEC=∠BCG．∴△GHC≌△CBE．∴HC=BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC．∵AD=2AB，BE=AB，∴BC=2BE=2HC，∴HC=BH．∴GH垂直平分BC．∴点G在BC的垂直平分线上．（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）．过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N．∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE=∠ABC=90°，∴四边形BENM为矩形．∴BM=EN，∠BEN=90°．∴∠1+∠2=90°．∵四边形CEFG为正方形，∴EF=EC，∠CEF=90°．∴∠2+∠3=90°．∴∠1=∠3．∵∠CBE=∠ENF=90°，∴△ENF≌△EBC．∴NE=BE．∴BM=BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC．∵AD=2AB，AB=BE．∴BC=2BM．∴BM=MC．∴FM垂直平分BC．∴点F在BC边的垂直平分线上．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．16．如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．（1）求证：ABC≌△AED；（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．【答案】（1）详见解析；（2）80°．【分析】（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．【解析】【分析】（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．【详解】证明：（1）∵AC=AD ，∴∠ACD=∠ADC ，又∵∠BCD=∠EDC=90°，∴∠ACB=∠ADE ，在 ABC 和 AED 中，BC ED ACB ADE AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△AED （SAS ）；解：（2）当∠B=140°时，∠E=140°，又∵∠BCD=∠EDC=90°，∴五边形ABCDE 中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．【点睛】考点：全等三角形的判定与性质．17．如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且DE=BF ，AC⊥EF．求证：四边形AECF 是菱形．【答案】见解析.【解析】【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明【详解】 证明：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，//AD BC ，DE BF =，AE CF ∴=，//AE CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，AC EF ⊥，∴四边形AECF 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．【答案】证明见试题解析．【解析】试题分析：首先根据∠ACD=∠BCE得出∠ACB=∠DCE，结合已知条件利用SAS判定ABC和DEC全等，从而得出答案.试题解析：∵∠ACD=∠BCE ∴∠ACB=∠DCE 又∵AC=DC BC=EC ∴△ABC≌△DEC ∴∠A=∠D考点：三角形全等的证明19．如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD．【答案】见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD．试题解析：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD．20．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数.【答案】(1)证明见解析；(2)∠ADO==36°.【解析】【分析】(1)先判断四边形ABCD是平行四边形，继而根据已知条件推导出AC=BD，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可；(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠OCD=∠ODC=3x.，在ODC中，利用三角形内角和定理求出x的值，继而求得∠ODC的度数，由此即可求得答案.【详解】(1)∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是AOD的外角，∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.∴∠OAD＝∠ADO.∴AO＝OD.又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形.(2)设∠AOB=4x，∠ODC=3x，则∠ODC=∠OCD=3x，在ODC中，∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°∴4x+3x+3x=180°，解得x=18°，∴∠ODC=3×18°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠ADO=∠ADC－∠ODC=90°－54°=36°.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.21．如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证：≌. （2）若DEB=90，求证四边形DEBF 是矩形.【答案】（1）利用SAS 证明；（2）证明见解析.【解析】试题分析：此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意有一个角是直角的平行四边形是矩形，首先证得四边形ABCD 是平行四边形是关键．（1）由在□ABCD 中，AE=CF ，可利用SAS 判定 ADE ≌△CBF ．（2）由在▱ABCD 中，且AE=CF ，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF 是平行四边形，又由∠DEB=90°，可证得四边形DEBF 是矩形．试题解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，∠A=∠C ，在 ADE 和 CBF 中，，∴ ADE ≌△CBF （SAS ）．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∵AE=CF ，∴BE=DF ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵∠DEB=90°，∴四边形DEBF 是矩形．故答案为（1）利用SAS 证明；（2）证明见解析.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．22．如图，ABC ∆中，90C =∠，4AC =，8BC =．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC 于点D ，求BD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）5BD =．【解析】【分析】（1）分别以A ，B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 即可． （2）设AD BD x ==，在Rt ACD ∆中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】（1）如图直线MN 即为所求．（2）∵MN 垂直平分线段AB ，∴DA DB =，设DA DB x ==，在Rt ACD ∆中，∵222AD AC CD =+，∴()22248x x =+-，解得5x =，∴5BD =．【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （1，1），C （3，1）．（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；（3）在（2）的条件下，求线段BC 扫过的面积（结果保留π）．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）2π.【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形，由此计算即可；【详解】（1） ABC 关于x 轴对称的 A 1B 1C 1如图所示；（2） ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的 A 2B 2C 2如图所示；（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形=2290?90?360360ππ-=2π．【点睛】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．24．如图，AC 和BD 相交于点0，OA=OC, OB=OD ．求证：DC//AB【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据SAS 可知 AOB ≌△COD ，从而得出∠A=∠C ，根据内错角相等两直线增选2的判定可得结论.． 试题解析：∵OA=OC ，∠AOB=∠COD ，OB=OD ，∴△AOB ≌△COD （SAS ）.∴∠A=∠C.∴AB ∥CD.考点：1.全等三角形的的判定和性质；2.平行的判定．25．如图所示，AC=AE ，∠1=∠2，AB=AD ．求证：BC=DE ．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：由1=2∠∠，可得,CAB EAD ∠=∠,,AC AE AB AD ==则可证明ABC ADE ≅，因此可得.BC DE =试题解析：1=2∠∠，12,EAB EAB ∴∠+∠=∠+∠即CAB EAD ∠=∠,在ABC 和ADE 中，{AC AECAB EAD AB AD=∠=∠=(),ABC ADE SAS ∴≅.BC DE ∴=考点：三角形全等的判定．26．如图， ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E.在 ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC ．（1）求证：BE=CF ；（2）在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME.求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN.【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析.【解析】试题分析：（1）通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到∠BAE=∠CAF 和∠B=∠FCA ，从而ASA 证明 ABF ≌△ACF ，根据全等三角形对应边相等得到结论.（2）①过E 点作EG ⊥AB 于点G ，通过证明EG 是BM 的垂直平分线就易得出结论.②通过证明Rt AMC ≌Rt EMC 和 ADE ≌△CDN 来证明结论.试题解析：（1）如图，∵∠BAC=90°，FA ⊥AE ，∴∠1+∠EAC=90°，∠2+∠EAC=90°. ∴∠1=∠2.又∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB=45°.∵FC ⊥BC ，∴∠FCA=90°-∠ACB=45°.∴∠B=∠FCA.∴△ABF ≌△ACF （ASA ）.∴BE=CF.（2）①如图，过E 点作EG ⊥AB 于点G ，∵∠B=45°，∴△CBE 是等腰直角三角形.∴BG=EG ，∠3=45°. ∵BM=2DE ，∴BM=2BG ，即点G 是BM 的中点.∴EG 是BM 的垂直平分线.∴∠4=∠3=45°.∴∠MEB=∠4+∠3=90°.∴ME ⊥BC.②∵AD ⊥BC ，∴ME ∥AD.∴∠5=∠6.∵∠1=∠5，∴∠1=∠6.∴AM=EM.∵MC=MC ，∴Rt AMC ≌Rt EMC （HL ）.∴∠7=∠8.∵∠BAC=90°，，AB=AC ，∴∠ACB=45°，∠BAD=∠CAD=45°. ∴∠5=∠7=22.5°，AD=CD.∵∠ADE=∠CDN=90°，∴△ADE ≌△CDN （ASA ）.∴DE=DN.考点：1.等腰直角三角形的判定和性质；2.全等三角形的判定和性质；3.线段垂直平分线的判定和性质.27．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G(1)求证：EF BC =；(2)若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数.【答案】(1)证明见解析；(2)78°.【解析】【分析】（1）因为CAF BAE ∠=∠，所以有BAC EAF ∠=∠，又因为AE AB AC AF ==，，所以有()BAC EAF SAS △≌△，得到EF BC =；（2）利用等腰三角形ABE 内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到28F C ∠=∠=︒，从而算出∠FGC【详解】(1)CAF BAE ∠=∠BAC EAF∴∠=∠ AE AB AC AF==， ()B A C E A FS A S ∴△≌△ EF BC ∴=(2)65AB AE ABC =∠=︒，18065250BAE ∴∠=︒-︒⨯=︒ 50FAG ∴∠=︒BAC EAF△≌△ 28F C ∴∠=∠=︒502878FGC ∴∠=︒+︒=︒ 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键 28．已知：如图，AB∥CD，E 是AB 的中点，CE=DE ．求证：（1）∠AEC=∠BED；（2）AC=BD ．【答案】见解析【解析】（1）根据CE=DE 得出∠ECD=∠EDC，再利用平行线的性质进行证明即可；（2）根据SAS 证明△AEC 与△BED 全等，再利用全等三角形的性质证明即可．证明：（1）∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD，∠BED=∠EDC，∵CE=DE，∴∠ECD=∠EDC，∴∠AEC=∠BED；（2）∵E是AB的中点，∴AE=BE，在△AEC和△BED中，AE=BE，∠AEC=∠BED，EC=ED，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC=BD．29．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）4.9【解析】【详解】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴=13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=12AM=6.5， ∵△ABM ∽△EFA ， ∴BM AM AF AE =， 即5136.5AE=， ∴AE=16.9，∴DE=AE-AD=4.9．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．30．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）若42C ︒∠=，求BAD ∠的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE FE =．【答案】（1）48°；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BAD CAD ∠=∠，根据三角形的内角和即可得到904248BAD CAD ︒︒︒∠=∠=-=；（2）根据等腰三角形的性质得到BAD CAD ∠=∠根据平行线的性质得到F CAD ∠=∠，等量代换得到BAD F ∠=∠，于是得到结论．【详解】解：（1）∵AB AC =，AD BC ⊥于点D ，∴BAD CAD ∠=∠，90ADC ︒∠=，又42C ︒∠=，∴904248BAD CAD ︒︒︒∠=∠=-=；（2）∵AB AC =，AD BC ⊥于点D ，∴BAD CAD ∠=∠，∵EF AC，∴F CAD∠=∠，∴BAD F∠=∠，∴AE FE=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．31．已知，在ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）BE=AF，证明见解析.【解析】分析：（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF．详（1）证明：连接AD，如图①所示．∵∠A=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．∵点D为BC的中点，∴AD=12BC=BD，∠FAD=45°．∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF．在BDE和ADF中，EBD FAD BD ADBDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴BE=AF ；（2）BE=AF ，证明如下：连接AD ，如图②所示．∵∠ABD=∠BAD=45°， ∴∠EBD=∠FAD=135°． ∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°， ∴∠EDB=∠FDA ．在 EDB 和 FDA 中，EBD FAD BD ADEDB FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△EDB ≌△FDA （ASA ），∴BE=AF ．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：（1）根据全等三角形的判定定理ASA 证出 BDE ≌△ADF ；（2）根据全等三角形的判定定理ASA 证出 EDB ≌△FDA ．32．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB ，求证：ADE CFE ∆≅【答案】见解析.【解析】【分析】利用AAS 证明：△ADE ≌CFE ．【详解】证明：∵FC ∥AB∴∠A=∠FCE ，∠ADE=∠F所以在△ADE 与△CFE 中：A FCE ADE F DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADE ≌△CFE.【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握是解题的关键.33．如图，已知点A 、F 、E 、C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE=∠CDF ，AF=CE ．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．【答案】（1） ABE ≌△CDF ， AFD ≌△CEB(2)略【解析】试题分析：（1）根据题目所给条件可分析出 ABE ≌△CDF ， AFD ≌△CEB ；（2）根据已知条件易得∠ACD=∠CAB ，AE=FC ，再由∠ABE=∠CDF ，根据AAS 可判定 ABE ≌△CDF ．试题解析：解：（1） ABE ≌△CDF ， AFD ≌△CEB ；（2）∵AB ∥CD ，∴∠ACD=∠CAB ，∵AF=CE ，∴AF+EF=CE+EF ，即AE=FC ，在 ABE 和 CDF 中，，∴△ABE ≌△CDF （AAS ）．考点：全等三角形的判定．34．在 ABC 中，AB=AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．作 ADE ，使AD=AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【答案】90°【解析】【分析】（1）可以证明 BAD ≌△CAE ，得到∠B ＝∠ACE ，证明∠ACB ＝45°，即可解决问题；（2）①证明 BAD ≌△CAE ，得到∠B ＝∠ACE ，β＝∠B ＋∠ACB ，即可解决问题；②证明 BAD ≌△CAE ，得到∠ABD ＝∠ACE ，借助三角形外角性质即可解决问题．【详解】（1）90︒；（2）①αβ180+=︒．理由：∵BAC DAE ∠∠=，∴BAC DAC DAE DAC ∠∠∠∠-=-．即BAD CAE ∠∠=．又AB AC AD AE ==，，∴ABD ACE ≌．∴B ACE ∠∠=．∴B ACB ACE ACB ∠∠∠∠+=+．∴B ACB β∠∠+=．∵αB ACB 180∠∠++=︒，∴αβ180+=︒．②当点D 在射线BC 上时，αβ180+=︒．当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．35．已知：如图，ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．【答案】证明见解析【解析】分析：过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．详解：如图，过点A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．点睛：本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．36．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．【答案】答案见解析【解析】【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得ABF≌△DCE，问题得证.【详解】。

中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1.观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长3．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）解决问题是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．11．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．12．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，（1）问题发现的值为；（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．14．如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG（1）如图1，判断线段DM和GM的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC＝10，CE＝2，正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出△DMG的面积．15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．16.如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN 的周长的最大值．17.已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°.（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.18.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.19.已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．（1）【观察猜想】如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是；②∠BDE的度数是；（2）【探究证明】如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC 边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．20.如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．21.如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．22.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．23．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE ⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．27．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．28.【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．29．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．30．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）如图①中，∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为：BF⊥BE，BC．（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝2，∴BF+BE＝BH＝2；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF＝DE，DB＝DH，∴△BDF≌△HDE，∴BF＝EH，∴BF+BE＝EH+BE＝BH，∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，∴BM＝MH＝BD•sin．∴BF+BE＝BH＝2n•sin．2．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，∴52+62＝92﹣9B′C′，∴B′C′＝．3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣4．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，∵四边形DFGE是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF故答案为：BE＝AF；（2）成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；综上所述，（1）中的结论BE＝AF成立；（3）在△ADE中，∵AE＜AD+DE，∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，∴AE＝AD+DE＝3，即AE的最大值为3．5．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（2）（1）的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（3）如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE＝∠OHF＝90°，∴∠BAD+∠GOH＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠GOH＝∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB＝S△AOD，∵S△AOB＝AB•OG，S△AOD＝AD•OH，∴AB•OG＝AD•OH，∴＝，∴．6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．7．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．8．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．9．【解答】解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．故答案为：45°（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．10．【解答】（1）解：AC⊥BD，理由如下：连接AC、BD，如图2所示：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2；理由如下：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，设BD、AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：如图3，连接CG、BE，∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．11．【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．12．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，∴＝cos30°＝，∴＝2•＝，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴＝＝．故答案为．（2）结论：AG＝BE．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∴＝，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴＝＝，∴AG＝BE．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG＝CF，∴GC＝2，∵HG＝，∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．13．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝1，∴＝1（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝，∴＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．14．【解答】解：（1）如图1，延长GM交AD于H，∵AD∥GF，∴∠GFM＝∠HAM，在△FMG和△AMH中，，∴△FMG≌△AMH（ASA），∴HM＝GM，AH＝FG，∵AD＝CD，AH＝FG＝CG，∴DH＝DG，∵∠HDG＝90°，HM＝GM，∴DM＝MG，DM⊥MG，故答案为DM＝MG，DM⊥MG．（2）结论成立：DM＝MG，DM⊥MG，理由：如图2中，延长GM使得MH＝GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．∵AM＝MF，∠AMH＝∠FMG，MH＝MG，∴△AMH≌△FMG（SAS），∴AH＝GF＝CG，∠AHM＝∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD＝∠N，∵∠ODN＝∠OGC＝90°，∠DON＝∠GOC，∴∠N＝∠OCG，∴∠HAD＝∠DCG，∵AH＝CG，AD＝CD，∴△HAD≌△GCD（SAS），∴DH＝DG，∠HDA＝∠CDG，∴∠HDG＝∠ADC＝90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH＝MG，∴DM⊥GH，DM＝MH＝MG，（3）①如图3﹣1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC＝＝10，在Rt△ACE中，AE＝＝14，∴AF＝AE＝EF＝14﹣2＝12，∴FM＝AM＝AF＝6，在Rt△MGF中，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝20，②如图3﹣2中，连接AC．同法可得AE＝14，AF＝16，FM＝8，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．15．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形P A'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形P A'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CG min＝，PQ min＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣．16．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．（3）∵PM＝EC，∴当EC最大时，等边△PMN的周长最大，∵EC≤AE+AC，∴EC≤8，∴PM≤4，∴PM的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．18．【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，。

60道初中数学几何压轴题，吃透这些题上重点不是问题！收藏
好
通常情况下，趣学君会将几何、函数、方程，却也是中考数学的重要考点。

而且这三类题型在数学试卷中的占分比例也特别大。

特别是几何，很多同学在考试的时候都是束手无策，所以导致每次数学考试也拿不到高分。

作为初中数学学习的重点和难点，几何一直是初中生们最感到头疼的知识点之一，难归难，几何却是中考数学的必考知识点，所以哪怕几何知识再难，咱们也得硬着头皮去解决。

要想学好几何，除了要有一定的空间想象力，还要有非常扎实的基础知识，而趣学君发现很多同学在学习几何知识的时候，对于定理法则这些基础的几何知识不怎么重视，这就导致同学们在作答几何问题的时候，总是找不准方向，也没有解题思路。

笔者总结了一份60道初中数学几何压轴题资料！希望能对大家的小学数学学习，有所帮助。

本文只展示了部分内容，大家可以领取PDF完整打印版，只需点击标题下方的头像进入小编主页，通过最上方“私信”按钮，发送“211”即可。

几何综合压轴问题一、解答题1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒．点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB AGC ≌；（2）如图2，连接GF ，HC ，AF 交AF 于点Q ．①证明：在点H 的运动过程中，总有90HFG ∠=︒；①若4AB AC ==，当EH 的长度为多少时，AQG 为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）①见详解；①当EH 的长度为2AQG 为等腰三角形【分析】（1）由旋转的性质得AH =AG ，①HAG =90°，从而得①BAH =①CAG ，进而即可得到结论；（2）①由AHB AGC ≌，得AH =AG ，再证明AEH AFG ≌，进而即可得到结论；①AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当①QAG =①QGA =45°时，（b ）当①GAQ =①GQA =67.5°时，（c ）当①AQG =①AGQ =45°时，分别画出图形求解，即可．【详解】解：（1）①线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，①AH =AG ，①HAG =90°，①在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =AC ，①①BAH =90°-①CAH =①CAG ，①AHB AGC ≌；（2）①①在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，①AE =AF ，AEF 是等腰直角三角形，①AH =AG ，①BAH =①CAG ，①AEH AFG ≌，①①AEH =①AFG =45°，①①HFG =①AFG +①AFE =45°+45°=90°，即：90HFG ∠=︒；①①4AB AC ==，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，①AE =AF =2，①①AGH =45°，AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当①QAG =①QGA =45°时，如图，则①HAF =90°-45°=45°，①AH 平分①EAF ，①点H 是EF 的中点，①EH 12==（b ）当①GAQ =①GQA =（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则①EAH =①GAQ =67.5°，①①EHA =180°-45°-67.5°=67.5°，①①EHA =①EAH ，①EH =EA =2；（c ）当①AQG =①AGQ =45°时，点H 与点F 重合，不符合题意，舍去，综上所述：当EH 的长度为2AQG 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．2．（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在ABC 和DEC 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，BC AC =，EC DC =，点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ，线段AF ，BF ，CF 之间存在怎样的数量关系？问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点D ，F 重合时，直接写出一个等式，表示AF ，BF ，CF 之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点D ，F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展 如图（3），在ABC 和DEC 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，BC kAC =，EC kDC =（k 是常数），点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ，直接写出一个等式，表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系．【答案】（1）BF AF -=．（2）见解析；问题拓展：BF k AF -⋅=． 【分析】（1）先证明①BCE ①①ACD ,得到AF =BE ，BF -BE =BF -AF =EF ；（2）过点C 作CG CF ⊥交BE 于点G ，证明ACD BCE ≅△△，ACF BCG ≅△△，CGF △是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可．【详解】问题探究 （1）BF AF -=．理由如下：如图（2），①①BCA =①ECF =90°，①①BCE =①ACF ，①BC =AC ，EC =CF ，①BCE ①①ACF ，①BE =AF ，①BF -BE =BF -AF =EF ；（2）证明：过点C 作CG CF ⊥交BE 于点G ，则90FCG ACB ∠=∠=︒，①90ACB DCE ∠=∠=︒，①BCE ACD ∠=∠．又①AC BC =，DC EC =，①ACD BCE ≅△△，①CAF CBG ∠=∠．①ACF BCG ≅△△．①AF BG =，CF CG =，①CGF △是等腰直角三角形．①GF =．①BF AF BF BG GF -=-==．问题拓展 BF k AF -⋅．理由如下：①①BCA =①ECD =90°，①①BCE =①ACD ，①BC =kAC ，EC =kCD ，①①BCE ①①ACD ，①①EBC =①F AC ，过点C 作CM CF ⊥交BE 于点M ，则90FCM ACB ∠=∠=︒，①①BCM ①①ACF ，①BM :AF =BC :AC =MC :CF =k ，①BM =kAF ,MC =kCF ，①BF -BM =MF ，MF①BF - kAF ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键．3．（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，AD 为ABC 的角平分线，60ADC ∠=︒，点E 在AB 上，AE AC =．求证：DE 平分ADB ∠．（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G ．若FB FC =，2DG =，3CD =，求BD 的长．（拓展延伸）（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,2BAD BCA DCA ∠∠=∠，点E 在AC 上，EDC ABC ∠=∠．若5,2BC CD AD AE ===，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）92；（3）163 【分析】（1）根据SAS 证明EAD CAD ≌△△，进而即可得到结论；（2）先证明EBD GCD ∽，得BD DE CD DG=，进而即可求解；（3）在AB 上取一点F ，使得AF AD =，连结CF ，可得AFC ADC ≌，从而得DCE BCF ∽，可得,CD CE CED BFC BC CF=∠=∠，4CE =，最后证明EAD DAC ∽，即可求解． 【详解】解：（1）①AD 平分BAC ∠，①EAD CAD ∠=∠，①,==AE AC AD AD ，①()EAD CAD SAS ≌，①60ADE ADC ∠=∠=︒，①18060EDB ADE ADC ∠=︒-∠-∠=︒，①BDE ADE =∠∠，即DE 平分ADB ∠；（2）①FB FC =，①EBD GCD ∠=∠，①60BDE GDC ∠=∠=︒，①EBD GCD ∽， ①BD DE CD DG=． ①EAD CAD ≌△△，①3DE DC ==．①2DG =， ①92BD =； （3）如图，在AB 上取一点F ，使得AF AD =，连结CF ．①AC 平分BAD ∠，①FAC DAC ∠=∠①AC AC =，①()AFC ADC SAS ≌，①,,CF CD ACF ACD AFC ADC =∠=∠∠=∠．①2ACF BCF ACB ACD ∠+∠=∠=∠，①DCE BCF ∠=∠．①EDC FBC ∠=∠，①DCE BCF ∽， ①,CD CE CED BFC BC CF=∠=∠．①5,BC CF CD ===，①4CE =．①180180AED CED BFC AFC ADC ∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠，又①EAD DAC ∠=∠，①EAD DAC ∽ ①12EA AD AD AC ==， ①4AC AE =， ①41633AC CE ==． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形ABCD 内接于O ，BD 为直径，AD 上存在点E ，满足AE CD =，连结BE 并延长交CD 的延长线于点F ，BE 与AD 交于点G ．（1）若DBC α∠=，请用含α的代数式表列AGB ∠．（2）如图2，连结,CE CE BG =．求证；EF DG =．（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG ，2AD =．①若tan ADB ∠=FGD 的周长． ①求CG 的最小值．【答案】（1）90AGB α∠=︒-；（2）见解析；（3）【分析】（1）利用圆周角定理求得90BAD ∠=︒，再根据AE CD =，求得ABG DBC α∠=∠=，即可得到答案； （2）由90BEC BDC α∠=∠=︒-，得到BEC AGB ∠=∠，从而推出CEF BGD ∠=∠，证得()CFE BDG ASA ≌，由此得到结论；（3）①连结DE ．利用已知求出2AB AD ==，证得DA CE =，得到2BG AD ==，利用Rt ABG 中，根据正弦求出160,12AGB AG BG ∠=︒==，求出EF 的长，再利用Rt DEG △中，60EGD ∠=︒，求出EG 及DE ，再利用勾股定理求出DF 即可得到答案；①过点C 作CH BF ⊥于H ，证明()BAD CHF AAS ≌，得到FH AD =，证明BHC CHF ∽，得到BH CH CH FH=，设GH x =，得到()222CH x =-，利用勾股定理得到222CG GH CH =+ ，求得2222(2)(1)3CG x x x =+-=-+，利用函数的最值解答即可．【详解】解：（1）①BD 为O 的直径，①90BAD ∠=︒，①AE CD =， ①ABG DBC α∠=∠=，①90AGB α∠=︒-．（2）①BD 为O 的直径，①90BCD ∠=︒，①90BEC BDC α∠=∠=︒-，①BEC AGB ∠=∠，①180,180CEF BEC BGD AGB ∠=︒-∠∠=︒-∠， ①CEF BGD ∠=∠．又①,CE BG ECF GBD =∠=∠，①()CFE BDG ASA ≌，①EF DG =．（3）①如图，连结DE ．①BD 为O 的直径，①90A BED ∠=∠=︒．在Rt ABD △中，tan ADB ∠=，2AD =，①AB AD ==．①AE CD =，①AE DE CD DE +=+，即DA CE =，①AD CE =．①CE BG =，①2BG AD ==．①在Rt ABG 中，sin 2AB AGB BG ∠==， ①160,12AGB AG BG ∠=︒==， ①1EF DG AD AG ==-=．①在Rt DEG △中，60EGD ∠=︒，①11,2222EG DG DE DG ====．在Rt FED 中，DF ==，①52FG DG DF +++=，①FGD ． ①如图，过点C 作CH BF ⊥于H ．①BDG CFE ≌，①,BD CF CFH BDA =∠=∠．①90BAD CHF ∠=∠=︒，①()BAD CHF AAS ≌．①FH AD =，①AD BG =，①FH BG =．①90BCF ∠=︒，①90BCH HCF ∠+∠=︒．①90BCH HBC ∠+∠=︒，①HCF HBC ∠=∠，①90BHC CHF ∠=∠=︒，①BHC CHF ∽， ①BH CH CH FH=． 设GH x =，①2BH x =-，①()222CH x =-． 在Rt GHC 中，222CG GH CH =+ ，①2222(2)(1)3CG x x x =+-=-+，当1x =时，2CG 的最小值为3，①CG【点睛】此题考查圆周角的定理，弧、弦和圆心角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定，函数的最值问题，是一道综合的几何题型，综合掌握各知识点是解题的关键．5．（2021·浙江中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．①求APO ∠'的度数．①求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．【答案】（1）①60°；①6-（2）125π 【分析】(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求AP 的长，先连接'OO ，先在Rt OBQ △中，求出OQ ；再在Rt OPQ 中，求出OP 即可得到答案；（2）要求AB 的长，扇形的半径已知，就转化成求AOB ∠的度数，连接'OO ，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为180︒，建立等式求出AOB ∠，最后利用弧长的计算公式进行计算．【详解】解：（1）①如图1，'BO 为圆的切线'90OBO ∴∠=︒．由题意可得，'45O BP OBP ∠=∠=︒，'O PB OPB ∠=∠．180180754560OPB BOP OBP ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒'60O PB OPB ∴∠=∠=︒'60APO ∴∠=︒，①如图1，连结'OO ，交BP 于点Q ．则有'BP OO ⊥．在Rt OBQ △中，sin 45OQ OB =⨯︒=在Rt OPQ △中，sin 60OQ OP ==︒6AP OA OP ∴=-=-（2）如图2．连结OD ．设1a ∠=．①点D 为AB 的中点．BD AD ∴=21a ∴∠=∠=//PD OB321a ∴∠=∠=∠=．PD PO ∴=由题意可得，','PO PO O BOP =∠=∠．'PD PO ∴=''2PDO O BOP a ∴∠=∠=∠=又//,''2PD OB OBO PDO a ∴∠=∠=,4'2OB OD OBO a =∴∠=∠=43'180PDO ∠+∠+∠=︒，22180a a a ∴++=︒，解得36a =︒．72AOB ∴∠=︒726121801805n R AB πππ⨯∴===． 【点睛】本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量．6．（2021·浙江中考真题）已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =． （3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析；（3）存在，m 【分析】（1）先解直角三角形ABC 得出2AB AC =，从而得出ADC 是等边三角形，再解直角三角形ACP 即可求出AC 的长，进而得出BC 的长；（2）连结BE ，先利用AAS 证出≌CPA DPE ，得出AE =2PE ，AC =DE ，再得出ADC 是等边三角形，然后由SAS 得出≌CAB EBA ，得出AE =BC 即可得出结论；（3）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，连接BE ，过C 作CG ①AB 于G ，过E 作EN ①AB 于N ，由（2）得AE =2AP ，DE =AC ，再证明≌AEN BCG ，从而得出≌CAB EBA 得出DE =BE ，然后利用勾股定理即可得出m 的值．【详解】（1）解 90,60ACB CAD ∠=∠=︒︒，2cos60AC AB AC ︒==， BD AC =，AD AC =∴，ADC ∴是等边三角形，60ACD ∴∠=︒ Р是CD 的中点，AP CD ∴⊥，在Rt APC 中，AP =2sin 60AP AC ∴==︒，tan 60BC AC =︒=∴（2）证明：连结BE ，//DE AC ，CAP DEP ∴∠=∠，,CP DP CPA DPE =∠=∠，()CPA DPE AAS ∴≌，1,2AP EP AE DE AC ∴===， BD AC =，BD DE ∴=，又//DE AC ，60BDE CAD ∴∠=∠=︒，BDE ∴是等边三角形，,60BD BE EBD ∴=∠=︒BD AC =，AC BE ∴=，又60,CAB EBA AB BA ∠=∠=︒=，()CAB EBA SAS ∴≌，AE BC ∴=，2BC AP ∴=．（3）存在这样的,m m =．过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，连接BE ，过C 作CG ①AB 于G ，过E 作EN ①AB 于N ，则45∠=∠=︒BDE CAD ，sin 45∴=⨯CG AC ，sin 45=⨯EN DE由（2）得AE =2AP ，DE =AC ，①CG =EN ，①2BC AP =，①AE =BC ，①①ANE =①BGC =90°，≌∴AEN BCG ，①①EAN =①CBG①AE =BC ，AB =BA ，①≌CAB EBA①AC =BE ，①DE =BE ，①①EDB =①EBD =45°，①①DEB =90°，①=BD ，①BD mAC = ①m【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，有一定的难度．7．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作CF //AD 交线段AE 于点F ，连接BF ．（1）求证：ABF EAD △≌△；（2）如图2，若9AB =，5CD =，ECF AED ∠=∠，求BE 的长；（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求BE EC的值．【答案】（1）见解析；（2）6；（3）1【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证ABE AEB ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，即可得AB AE =，DE DC =；再证四边形AFCD 是平行四边形即可得AF CD =，所以AF DE =，根据SAS 即可证得ABF EAD △≌△；（2）证明EBF EAB ∽△△，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长BM 、ED 交于点G ．易证ABE DCE ∽，可得AB AE BE DC DE CE==；设1CE =，BE x =，DC DE a ==，由此可得AB AE ax ==，AF CD a ==；再证明MAB MDG △≌△，根据全等三角形的性质可得DG AB ax ==．证明FAB FEG △∽△，根据相似三角形的性质可得FA AB FE EG =，即(1)(1)a ax a x a x =-+，解方程求得x 的值，继而求得BE EC的值． 【详解】（1）证明：//AE CD ，AEB DCE ∴∠=∠；//DE AB ，ABE DEC ∴∠=∠，12∠=∠，ABC BCD ∠=∠，ABE AEB ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠，AB AE =∴，DE DC =，//AF CD ，//AD CF ，∴四边形AFCD 是平行四边形AF CD ∴=AF DE ∴=在ABF 与EAD 中．12AB EAAF ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF EAD SAS ∴△≌△（2）ABF EAD △≌△，BF AD ∴=，在AFCD □中，AD CF =，BF CF ∴=，FBC FCB ∴∠=∠，又2FCB ∠=∠，21∠=∠，1FBC ∴∠=∠，在EBF △与EAB 中．1EBF BEF AEB∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，EBF EAB ∴△∽△；EBEFEA EB ∴=；9AB =，9AE ∴=；5CD =，5AF ∴=；4EF ∴=，49EB EB∴=， 6BE ∴=或6-（舍）； （3）延长BM 、ED 交于点G ．ABE 与DCE 均为等腰三角形，ABC DCE ∠=∠， ABE DCE ∴△∽△，AB AE BE DC DE CE∴==， 设1CE =，BE x =，DC DE a ==， 则AB AE ax ==，AF CD a ==， (1)EF a x ∴=-，//AB DG ，3G ∴∠=∠；在MAB △与MDG 中，345G MA MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MAB MDG AAS ∴△≌△；DG AB ax ∴==．(1)EG a x ∴=+；//AB EG ，FAB FEG ∴△∽△，FA AB FE EG ∴=， (1)(1)a ax a x a x ∴=-+， (1)1x x x -∴=+，2210x x ∴--=，2(1)2x ∴-=，1x ∴=11x ∴=，21x =1BE EC∴= 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键．8．（2021·四川中考真题）在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），连结AD ．（1）如图1，若60C ∠=°，点D 关于直线AB 的对称点为点E ，结AE ，DE ，则BDE ∠=________；（2）若60C ∠=°，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，连结BE ．①在图2中补全图形；①探究CD 与BE 的数量关系，并证明；（3）如图3，若AB AD k BC DE ==，且ADE C ∠=∠，试探究BE 、BD 、AC 之间满足的数量关系，并证明．【答案】（1）30°；（2）①见解析；①CD BE =；见解析；（3）()AC k BD BE =+，见解析【分析】（1）先根据题意得出①ABC 是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可（2）①按要求补全图即可①先根据已知条件证明①ABC 是等边三角形，再证明AEB ADC △≌△，即可得出CD BE =（3）先证明AC BC AD DE=，再证明ACB ADE △∽△，得出BAC EAD ∠=∠，从而证明AEB ADC △≌△，得出BD BE BC +=，从而证明()AC k BD BE =+【详解】解：（1）①AB AC =，60C ∠=°①①ABC 是等边三角形①①B =60°①点D 关于直线AB 的对称点为点E①AB ①DE ，①BDE ∠=30故答案为：30；（2）①补全图如图2所示；①CD 与BE 的数量关系为：CD BE =；证明：①AB AC =，60BAC ∠=︒．①ABC 为正三角形，又①AD 绕点A 顺时针旋转60︒，①AD AE =，60EAD ∠=︒，①60BAD DAC ∠+∠=︒，60BAD BAE ∠+∠=︒，①BAE DAC ∠=∠，①AEB ADC △≌△，①CD BE =．（3）连接AE ．①AB AD k BC DE ==，AB AC =，①AC AD BC DE=． ①AC BC AD DE =． 又①ADE C ∠=∠，①ACB ADE △∽△，①BAC EAD ∠=∠．①AB AC =，①AE AD =，①BAD DAC BAD BAE ∠+∠=∠+∠，①DAC BAE ∠=∠，①AEB ADC △≌△，CD BE =．①BD DC BC +=，①BD BE BC +=．又①AC k BC=， ①()AC k BD BE =+．【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点9．（2021·山东中考真题）如图1，O 为半圆的圆心，C 、D 为半圆上的两点，且BD CD =．连接AC 并延长，与BD 的延长线相交于点E ．（1）求证：CD ED =；（2）AD 与OC ，BC 分别交于点F ，H ．①若CF CH =，如图2，求证：CF AF FO AH ⋅=⋅；①若圆的半径为2，1BD =，如图3，求AC 的值．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；①72AC =【分析】（1）连接BC ，根据90ACB BCE ∠=∠=︒，90ECD BCD ∠+∠=︒且BD CD =，则E ECD ∠=∠，即可推导出CD ED =；（2）①CF CH =，则AFO CHF ∠=∠，又BD CD =，CAD BAD ∠=∠，则AFO AHC △∽△，进而推导出CF AF FO AH ⋅=⋅；①连接OD 交BC 于G ，设OG x =，则2DG x =-，根据在Rt OGB △和Rt BGD △中列式222221(2)x x -=--，进而求得x 的值，再根据中位线定理求出AC 的长．【详解】证明：（1）连接BC ，①AB 为直径①90ACB BCE ∠=∠=︒ 90ECD BCD ∠+∠=︒①BD CD =①EBC BCD ∠=∠①E ECD ∠=∠①CD ED =．（2）①①CF CH =①CFH CHF ∠=∠又①AFO CFH ∠=∠①AFO CHF ∠=∠又①BD CD =①CAD BAD ∠=∠①AFO AHC △∽△ ①AF OF AH CH= ①AF OF AH CF = ①CF AF OF AH ⋅=⋅①连接OD 交BC 于G ．设OG x =，则2DG x =-①CD BD =①COD BOD ∠=∠又①OC OB =①OD BC ，CG BG =在Rt OGB △和Rt BGD △中222221(2)x x -=-- ①74x =即74OG = ①OA OB =①OG 是ABC 的中位线 ①12OG AC =①72AC =．【点睛】本题考查了等弧对等角、相似三角形、等腰三角形、中位线等有关知识点，属于综合题型，借助辅助线是解决这类问题的关键．10．（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且1AE =，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图1，求CF 的长；（2）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；（3）ABC 是边长为3的等边三角形，M 是高CD 上的一个动点，小亮以BM 为边作等边三角形BMN ，如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；（4）正方形ABCD 的边长为3，E 是边CB 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶点作正方形BFGH ，其中点F 、G 都在直线AE 上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与点B 重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．【答案】（1）1；（2）3；（3（4）34π；4 【分析】（1）由ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，BA BC =，BE BF =， ABE CBF ∠=∠，可证ABE CBF ∆∆≌即可；（2）连接CF ，ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，可证ABE CBF ∆∆≌，可得BCF ABC ∠=∠，又点E 在C 处时，CF AC =，点E 在A 处时，点F 与C 重合．可得点F 运动的路径的长3==AC ； （3）取BC 中点H ，连接HN ，由ABC ∆、BMN ∆是等边三角形，可证≌∆∆DBM HBN ，可得NH BC ⊥．又点M 在C 处时，==HN CD M 在D 处时，点N 与H 重合．可求点N 所经过的路径的长==CD （4）连接CG ,AC ，OB ，由①CGA =90°，点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的BC 上运动，由四边形ABCD 为正方形，BC 为边长，设OC =x ，由勾股定理222CO BO BC +=即，可求x =G 所经过的路径长为BC 长=4，点H 所经过的路径长为BN 的长34π=． 【详解】 解:（1）①ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，①BA BC =，BE BF =，60∠=∠=︒ABC EBF ．①∠+∠=∠+∠ABE CBE CBF CBE ，①ABE CBF ∠=∠，①ABE CBF ∆∆≌，①1CF AE ==；（2）连接CF ，①ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，①BA BC =，BE BF =，60∠=∠=︒ABC EBF ．①∠+∠=∠+∠ABE CBE CBF CBE ，①ABE CBF ∠=∠，①ABE CBF ∆∆≌，①CF AE =，60∠=∠=︒BCF BAE ，①60ABC ∠=︒，①BCF ABC ∠=∠，①//CF AB ，又点E 在C 处时，CF AC =，点E 在A 处时，点F 与C 重合．①点F 运动的路径的长3==AC ；（3）取BC 中点H ，连接HN ， ①12BH BC =， ①12=BH AB ， ①CD AB ⊥， ①12BD AB =，①BH BD =，①ABC ∆、BMN ∆是等边三角形，①BM BN =，60∠=∠=︒ABC MBN ，①∠+∠=∠+∠DBM MBH HBN MBH ，①∠=∠DBM HBN ，①≌∆∆DBM HBN ，①=HN DM ，90∠=∠=︒BHN BDM ，①NH BC ⊥，又点M 在C 处时，2==HN CD ，点M 在D 处时，点N 与H 重合，①点N 所经过的路径的长==CD （4）连接CG ,AC ，OB ，①①CGA =90°， ①点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的BC 上运动，①四边形ABCD 为正方形，BC 为边长，①①COB =90°，设OC =x ，由勾股定理222CO BO BC +=即2223x x +=，①x =点G 所经过的路径长为BC 长=124π⨯=⎝⎭， 点H 在以BC 中点为圆心，BC 长为直径的弧BN 上运动，点H 所经过的路径长为BN 的长度，①点G 运动圆周的四分之一，①点H 也运动圆周的四分一，点H 所经过的路径长为BN 的长=1332424ππ⨯⨯=，故答案为34π．【点睛本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．11．（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF ，则EAF ∠= 度．操作二：如图①，将正方形纸片沿EF 继续折叠，点C 的对应点为点N ．我们发现，当点E 的位置不同时，点N 的位置也不同．当点E 在BC 边的某一位置时，点N 恰好落在折痕AE 上，则∠=AEF 度． 在图①中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM 与NF 的交点为点P ．求证ANP FNE △≌△：．（2）若AB =AP 的长为 ．【答案】操作一：45°，操作二：60°；（1）证明见解析；（2）2【分析】操作一：直接利用折叠的性质，得出两组全等三角形，从而得出BAE EAM ∠=∠,,MAF FAD ,从而得出①EAF 的值；操作二：根据折叠的性质得出,ABEAME CEF NEF ,从而得出BEA AEF FEC ，即可求得AEF ∠的度数；（1）首先利用60AEF ∠=︒ ,得出30,15NAP PAF ,则45NAF ∠=︒,从而得出①ANF 为等腰直角三角形，即可证得ANP FNE △≌△；（2）利用三角函数或者勾股定理求出BE 的长，则BE EM =,设DF =x ，那么FC x ，在Rt ①EFC 中，利用勾股定理得出DF 的长，也就是MF 的长，即可求得EF 的长，进而可得结果．【详解】操作一：45°，证明如下：①ABE △折叠得到AME △ ,ADF 折叠得到AMF ,①,ABEAME ADF AMF , ①11,22BAEMAE BAM MAF DAF MAD , ①111()222EAF EAM MAF BAM MAD BAM MAD190452=⨯︒=︒, 故填：45°；操作二：60°，证明如下：①ABE AME ， ①BEA AEM ,又①CEF △沿着EF 折叠得到ENF △ ,①CEF NEF ， ①NEF FEC , ①1603BEAAEF FEC BEC , 故填：60°；（1）证明：由上述证明得CEF NEF ,60NEC CEF , ①NFE CFE ,CENF ①四边形ABCD 为正方形，①①C =①D =90°，①30CFE NFE ,90ENF ANF , 又①ADFAMF , ①90D AMF ,在ANP 和PMF △中，①90,ANPPMF NPA MPF , ①30NAPMFP , ①30BAENAP , ①15MAFFAD ， ①301545NAF NAP PAF ,①ANF 为等腰直角三角形，即AN =NF ,在ANP 和FNE 中：①NAP NFE AN NF ANP ENF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ANP FNE ASA △≌△（2）由题可知ABE △是直角三角形，30BAE ∠=︒, ①3tan 33BE BE BAEAB , 解得BE =1,①BE =EM =1,31EC ,设DF =x，则MF =x ，CF x ，在Rt ①CEF 中，222CECF EF +=2221)(3)(1)x x，解得x =3， 则1232x EF ，①()ANP FNE ASA △≌△①AP =EF =2．【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练运用折叠的性质，找出全等三角形．12．（2021·湖南中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，N 是BC 边上的一点，D 为AN 的中点，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于T ，且AT BN =，连接BT ．（1）求证：BN CN =；（2）在如图中AN 上取一点O ，使AO OC =，作N 关于边AC 的对称点M ，连接MT 、MO 、OC 、OT 、CM 得如图．①求证：TOM AOC ∽；①设TM 与AC 相交于点P ，求证：1//,2PD CM PD CM =． 【答案】(1)见解析；(2)①见解析，①见解析．【分析】（1）先用//AT BN ，且AT BN =证明出四边形ATBN 是平行四边形，得到①TAD ①①CND ，用对应边相等与等量代换，从而得出结论．（2）①连接AM 、MN ，利用矩形的性质与等腰三角形的性质，证明出①OCM 是直角三角形，证明出Rt ①OAT ①Rt ①OCM ，得到对应角相等，则得到答案；①连接OP ，由①中TOM AOC ∽，得到①OTM =①OAP ，点O 、T 、A 、P 共圆，由直径所对的圆周角为直角，证明出①OPT =90①，再根据等腰三角形的三线合一性得出结论．【详解】证明：（1）①//AT BC ，且AT BN =①//AT BN ，且AT BN =，①四边形ATBN 是平行四边形，①//AN TB ，①①DTA =①DCN ，①①ADT =①NDC ，①点D 为AN 的中点，①AD =ND ，①①TAD ①①CND （AAS ）①TA=CN，①AT BN，①BN=CN，（2）①如图所示，连接AM、MN，①点N关于边AC的对称点为M，①①ANC①①AMC，①①ACN=①ACM，①AB=AC，点N为AC的中点，①平行四边形ATBN是矩形，①①TAB=①ABN=①ACN=①ACM，①BAN=①MAC=①CAN，AT=BN=NC=MC，①OA=OC，①①CAN=①ACO，①①TAB+①BAN=①ACM+①ACO=90①，①①OAT=①OCM=90①，在Rt①OAT和Rt①OCM中，①AT=CM，①OAT=①OCM ，OA=OC，①Rt①OAT①Rt①OCM（SAS），①①AOT=①COM，OT=OM，①①AOT+①AOM=①COM+①AOM，①①TOM=①AOC①OA=OC，OT=OM，①OT OM OA OC=，①TOM AOC∽；①如图所示，连接OP，①TOM AOC∽，①①OTM=①OAP，①点O、T、A、P共圆，①①OAT=90①，①OT为圆的直径，①①OPT=90①，①OT=OM，①点P为TM的中点，①由（1）得①TAD①①CND，①TD=CD，①点D为TC的中点，①DP为①TCM的中位线，①1//,2PD CM PD CM．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、以及相似三角形的判定与性质、圆中直径的性质，关键在于通过等量代换，换出角相等，证明出直角三角形全等，再证明三角形相似．13．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD是半径为3的①O的一条弦，BD＝，点A是①O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．①求证：平行四边形ABCD是菱形；①求平行四边形ABCD的面积．（2）若点A运动到优弧BD上，且平行四边形ABCD有一边与①O相切．①求AB的长；①直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．【答案】①证明见解析；①（2）①AB【分析】=，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；①连接AO，（1）①利用等弧所对的弦相等可得AD AB交BD于点E，连接OD，根据垂径定理可得DE BE==OE的长，即可求解；（2）①分情况讨论当CD与O相切时、当BC与O相切时，利用垂径定理即可求解；①根据等面积法求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解．【详解】解：（1）①①点A是劣弧BD的中点，①AD AB=，=，①AD AB①四边形ABCD是平行四边形，①平行四边形ABCD是菱形；①连接AO，交BD于点E，连接OD，，①点A 是劣弧BD 的中点，OA 为半径，①OA BD ⊥，OA 平分BD ，①DE BE ==①平行四边形ABCD 是菱形，①E 为两对角线的交点，在Rt ODE △中，1OE ==,①2AE =，①122ABCD S BD AE =⋅⨯=； （2）①如图，当CD 与O 相切时，连接DO 并延长，交AB 于点F ，①CD 与O 相切，①DF CD ⊥，①2AB BF =，①四边形ABCD 是平行四边形，①//AB CD ，①DF AB ⊥，在Rt BDF △中，()2222323BF BD DF OF =-=-+，在Rt BOF △中，22229BF BO OF OF =-=-，①()223239OF OF -+=-，解得73OF =，①BF =①2AB BF == 如图，当BC 与O 相切时，连接BO 并延长，交AD 于点G ，同理可得AG DG ==73OG =，所以AB ==综上所述，AB ①过点A 作AH BD ⊥，，由（2）得：7163,33BD AD BG ===+= 根据等面积法可得1122BD AH AD BG ⋅=⋅， 解得329AH =，在在Rt ADH 中，DH ==，①HI ==①tan AH AIH HI ∠== 【点睛】本题考查垂径定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等内容，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 14．（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作60,30,15︒︒︒等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图13-1）． 第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图13-2）．猜想论证：（1）若延长MN 交BC 于点P ，如图13-3所示，试判定BMP 的形状，并证明你的结论．拓展探究：（2）在图13-3中，若AB a BC b ==，，当a b ，满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD 中剪出符（1）中的等边三角形BMP ？【答案】(1)BMP 是等边三角形，理由见解析；（2）a ≤，理由见解析 【分析】（1）连接AN ，由折叠性质可得ABN 是等边三角形， 30PBN ∠=︒，30ABM NBM ∠=∠=︒，然后可得到 60MBP BMP ∠=∠=︒，即可判定 BMP 是等边三角形．（2）由折叠可知BC BP ≥，由（1）可知BP BM =，利用 30︒的三角函数即可求得．【详解】（1）解：BMP 是等边三角形，证明如下：连接AN ．由折叠可知：AB BN =，EF 垂直平分AB ．①AN BN =，①AN AB BN ==，①ABN 为等边三角形，①60ABN ∠=︒，①30PBN ∠=︒，①30ABM NBM ∠=∠=︒，90BNM BAM ∠=∠=︒，①60BMP ∠=︒，①60MBP BMP BPM ∠=∠=∠=︒，①BMP 是等边三角形．（2）解：方法一：要在矩形纸片ABCD 上剪出等边BMP ，则BC BP ≥，在Rt BNP △中，BN BA a ==，30PBN ∠=︒，①cos30a BP ==︒， ①BC BP ≥，①b ≥，即a ≤，当a ≤或（b ≥）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边BMP ． 方法二：要在矩形纸片ABCD 上剪出等边BMP ，则BC BP ≥，在Rt BNP △中，30NBP ∠=︒，BN AB a ==，设NP x =，则2BP x =，①222BP NP BN -=，即()2222x x a -=，得3x a =，①BP =， ①BC BP ≥，①3b a ≥，即2a b ≤，当a ≤（或b ≥）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边BMP ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，及锐角三角函数的应用，正确理解折叠性质灵活运用三角函数解直角三角形是解本题的关键．15．（2021·海南中考真题）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，且点E 不与点B C 、重合，点F 是BA 的延长线上一点，且AF CE =．（1）求证：DCE DAF ≌；（2）如图2，连接EF ，交AD 于点K ，过点D 作DH EF ⊥，垂足为H ，延长DH 交BF 于点G ，连接,HB HC ．①求证：HD HB =；①若DK HC ⋅=HE 的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；①1HE =．【分析】（1）直接根据SAS 证明即可；（2）①根据（1）中结果及题意，证明DFE △为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线即可证明HD HB =；①根据已知条件，先证明DCH BCH ≌，再证明DKF HEC ∽，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出HE 的长．【详解】（1）证明：①四边形ABCD 是正方形，,90CD AD DCE DAF ∴=∠=∠=︒．又CE AF =，DCE DAF ∴≌．（2）①证明；由（1）得DCE DAF ≌，,DE DF CDE ADF ∴=∠=∠．90FDE ADF ADE CDE ADE ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．DFE ∴为等腰直角三角形．又DH EF ⊥，∴点H 为EF 的中点．12HD EF ∴=． 同理，由HB 是Rt EBF △斜边上的中线得，12HB EF =． HD HB ∴=．①①四边形ABCD 是正方形，CD CB ∴=．又,HD HB CH CH ==，DCH BCH ∴≌．45DCH BCH ∴∠=∠=︒．又DEF 为等腰直角三角形，45DFE ∴∠=︒．HCE DFK ∴∠=∠．四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴．DKF HEC ∴∠=∠．DKF HEC ∴∽．DK DF HE HC∴=． DK HC DF HE ∴⋅=⋅．又①在等腰直角三角形DFH 中，DF ==2DK HC DF HE ∴⋅=⋅==1HE ∴=．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形的性质，熟知图形的性质与判定是解决本题的关键．16．（2021·甘肃中考真题）问题解决：如图1，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，,DE AF DE AF =⊥于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长CB 到点H ，使得BH AE =，判断AHF △的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，DE 与AF 相交于点G ，,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==，求DE 的长．【答案】问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD 是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合DE AF ⊥和90DAE ∠=︒可知BAF ADG ∠=∠，再利用矩形的边角性质即可证明ABF DAE ≌，即AB AD =，即可求解； （2）由（1）中结论可知AE BF =，再结合已知BH AE =，即可证明ABH DAE △≌△，从而求得AHF △是等腰三角形；类比迁移：由前面问题的结论想到延长CB 到点H ，使得6BH AE ==，结合菱形的性质，可以得到ABH DAE ∆∆≌，再结合已知60AED ∠=︒可得等边AHF ∆，最后利用线段BF 长度即可求解．【详解】解：问题解决：（1）证明：如图1，①四边形ABCD 是矩形，90ABC DAB ∴∠=∠=︒．90BAF GAD ∴∠+∠=︒．,90DE AF ADG GAD ⊥∴∠+∠=．BAF ADG ∴∠=∠．又,,AF DE ABF DAE AB AD =∴∴=≌．①矩形ABCD 是正方形．（2）AHF △是等腰三角形．理由如下：,90,AB AD ABH DAE BH AE =∠=∠=︒=，,ABH DAE AH DE ∴∴=≌．又,DE AF AH AF =∴=，即AHF △是等腰三角形．类比迁移：如图2，延长CB 到点H ，使得6BH AE ==，连接AH ．①四边形ABCD 是菱形，,,AD BC AB AD ABH BAD ∴=∴∠=∠∥．,BH AE ABH DAE =∴∆≌．,60AH DE AHB DEA ∴=∠=∠=︒．又,DE AF AH AF =∴=．60,AHB AHF ∠=︒∴是等边三角形，AH HF ∴=，628DE AH HF HB BF ∴===+=+=．【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．17．（2021·四川中考真题）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN∠的度数及MN PM的值；（3）在（2）的条件下，若BC =PMN 面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；MN PM （3）14 【分析】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MN PM 的比值转换为AF CE的比值即可求得. （3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当CE BC == 【详解】（1）证明：①90ACB ∠=︒，AC BC =。

几何难题精选解答题〔共 30 小题〕1 ．〔2021 ?河南〕如图 1，在 Rt △ABC 中，∠B=90 °，BC=2AB=8 ，点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，连接DE，将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．〔1〕问题发现①当α=0 °时， = ；②当α=180 °时， = ．〔2〕拓展研究试判断：当 0°≤α＜360 °时，的大小有无变化？请仅就图 2 的状况给出证明．〔3〕问题解决当△EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长．2．〔2021 ?济南〕如图 1 ，在△ABC 中，∠ACB=90 °，AC=BC ，∠EAC=90 °，点M 为射线 AE 上任意一点〔不与 A 重合〕，连接 CM ，将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 °获取线段CN ，直线 NB 分别交直线 CM 、射线 AE 于点 F、D．〔1〕直接写出∠ NDE 的度数；〔2〕如图 2、图 3，当∠EAC 为锐角或钝角时，其他条件不变，〔 1〕中的结论可否发生变化？若是不变，采用其中一种状况加以证明；若是变化，请说明原由；〔3〕如图 4，假设∠EAC=15 °，∠ACM=60 °，直线CM 与 AB 交于 G，BD= ，其他条件不变，求线段 AM的长．3 ．〔2021 ?岳阳〕直线 m ∥n ，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点， CD 与直线 m 、n 不垂直，点 P 为线段 CD 的中点．〔1〕操作发现：直线 l ⊥m ，l⊥n，垂足分别为 A、B，当点 A 与点 C 重合时〔如图①所示〕，连接 PB，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系：．〔2〕猜想证明：在图①的状况下，把直线 l 向上平移到如图②的地址，试问〔 1〕中的 PA 与 PB 的关系式可否依旧成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明原由．〔3〕延伸研究：在图②的状况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得∠ APB=90 °〔如图③所示〕，假设两平行线 m 、n 之间的距离为 2k ．求证： PA ?PB=k ?AB．4 ．〔2021 ?重庆〕在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60 °，点D 是线段 BC 的中点，∠EDF=120 °，DE 与线段 AB 相交于点 E．DF 与线段 AC 〔或 AC 的延伸线〕订交于点 F．〔1〕如图 1，假设 DF⊥AC，垂足为 F，AB=4 ，求 BE 的长；〔2〕如图 2，将〔1 〕中的∠EDF 绕点 D 顺时针旋转必然的角度， DF 仍与线段 AC 订交于点 F．求证：BE+CF= AB；〔3〕如图 3，将〔 2〕中的∠EDF 连续绕点 D 顺时针旋转必然的角度，使 DF 与线段 AC 的延伸线订交于点 F，作 DN ⊥AC 于点 N ，假设 DN ⊥AC 于点 N ，假设 DN=FN ，求证： BE+CF= 〔BE﹣CF〕．5 ．〔2021 ?烟台〕【问题提出】如图①，△ ABC 是等腰三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC ，将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF 连接 EF试证明： AB=DB+AF【类比研究】〔1〕如图②，若是点 E 在线段 AB 的延伸线上，其他条件不变，线段 AB ，DB，AF 之间又有怎样的数量关系？请说明原由〔2〕若是点 E 在线段 BA 的延伸线上，其他条件不变，请在图③的基础大将图形补充完满，并写出 AB ，DB ，AF 之间的数量关系，不用说明原由．6 ．〔2021 ?莆田〕在 Rt△ACB 和 Rt △AEF 中，∠ACB= ∠AEF=90 °，假设点P 是 BF 的中点，连接 PC，PE．特别发现：如图 1，假设点 E，F 分别落在边 AB，AC 上，那么结论： PC=PE 成立〔不要求证明〕．问题研究：把图 1 中的△AEF 绕着点 A 顺时针旋转．〔1〕如图 2，假设点 E 落在边 CA 的延伸线上，那么上述结论可否成立？假设成立，请恩赐证明；假设不成立，请说明原由；〔2〕如图 3，假设点 F 落在边 AB 上，那么上述结论可否依旧成立？假设成立，请恩赐证明；假设不成立，请说明原由；〔3〕记 =k ，当 k 为何值时，△ CPE 总是等边三角形？〔请直接写出 k 的值，不用说明原由〕7 ．〔2021 ?襄城区模拟〕如图，正方形 ABCO 的边 OA 、OC 在坐标轴上，点 B 坐标为〔3，3〕．将正方形 ABCO绕点 A 顺时针旋转角度α〔 0°＜α＜90 °〕，获取正方形 ADEF ，ED 交线段 OC 于点 G，ED 的延伸线交线段 BC于点 P，连 AP 、AG ．〔1〕求证：△AOG ≌△ADG ；〔2〕求∠PAG 的度数；并判断线段 OG 、PG、BP 之间的数量关系，说明原由；〔3〕当∠1= ∠2 时，求直线 PE 的解析式；〔4〕在〔3〕的条件下，直线 PE 上可否存在点 M ，使以 M 、A、G 为极点的三角形是等腰三角形？假设存在，请直接写出 M 点坐标；假设不存在，请说明原由．8 ．〔2021 ?重庆校级一模〕，四边形 ABCD 是正方形，点 P 在直线 BC 上，点 G 在直线 AD 上〔P、G 不与正方形极点重合，且在 CD 的同侧〕， PD=PG ，DF⊥PG 于点 H，DF 交直线 AB 于点 F，将线段 PG 绕点 P逆时针旋转 90 °获取线段P E，连接 EF．〔1〕如图 1，当点 P 与点 G 分别在线段 BC 与线段 AD 上时，假设 PC=1 ，计算出 DG 的长；〔2〕如图 1，当点 P 与点 G 分别在线段 BC 与线段 AD 上时，证明：四边形 DFEP 为菱形；〔3〕如图 2，当点 P 与点 G 分别在线段 BC 与线段 AD 的延伸线上时，〔2〕的结论：四边形 DFEP 为菱形可否依旧成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明原由．9 ．〔2021 ?房山区二模〕在△ ABC 中，AB=BC=2 ，∠ABC=90 °，BD 为斜边 AC 上的中线，将△ ABD 绕点 D 顺时针旋转α〔0°＜α＜180 °〕获取△EFD，其中点 A 的对应点为点 E，点 B 的对应点为点 F．BE 与 FC 订交于点 H．〔1〕如图 1，直接写出 BE 与 FC 的数量关系：；〔2〕如图 2，M 、N 分别为 EF、BC 的中点．求证： MN= ；〔3〕连接 BF，CE，如图 3，直接写出在此旋转过程中，线段 BF、CE 与 AC 之间的数量关系：．10 ．〔2021 ?衢州校级模拟〕图 1 是边长分别为 4 和 2 的两个等边三角形纸片 ABC 和 ODE 叠放在一起〔 C与 O 重合〕．〔1〕操作：固定△ ABC ，将△0DE 绕点 C 顺时针旋转 30 °后获取△ODE ，连接 AD 、B E，CE 的延伸线交 AB 于 F 〔图 2〕；研究：在图 2 中，线段 BE 与 AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．〔2〕在〔 1〕的条件下将的△ ODE ，在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒 1 个单位的速度平移，平移后的△ CDE 设为△PQR，当点 P 与点 F 重合时停止运动〔图 3〕研究：设△PQR 搬动的时间为 x 秒，△PQR 与△ABC 重叠局部的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出函数自变量 x 的取值范围．〔3〕将图 1 中△0DE 固定，把△ABC 沿着 OE 方向平移，使极点 C 落在 OE 的中点 G 处，设为△ABG ，尔后将△ABG 绕点 G 顺时针旋转，边 BG 交边 DE 于点 M ，边 AG 交边 DO 于点 N ，设∠BGE= α〔30 °＜α＜90 °〕；〔图4 〕研究：在图 4 中，线段 ON ?EM 的值可否随α的变化而变化？若是没有变化，请你求出 ON ?EM 的值，若是有变化，请你说明原由．11 ．〔2021 ?武义县模拟〕〔 1 〕将矩形 OABC 放在平面直角坐标系中，极点 O 为原点，极点 C、A 分别在 x轴和 y 轴上， OA=8 ，OC=10 ，点 E 为 OA 边上一点，连接 CE，将△EOC 沿 CE 折叠．①如图 1，当点 O 落在 AB 边上的点 D 处时，求点 E 的坐标；②如图 2，当点 O 落在矩形 OABC 内部的点 D 处时，过点 E 作 EG∥x 轴交 CD 于点 H，交 BC 于点 G，设 H〔m ，n 〕，求 m 与 n 之间的关系式；〔2〕如图 3，将矩形 OABC 变为边长为 10 的正方形，点 E 为 y 轴上一动点，将△ EOC 沿 CE 折叠．点 O 落在点 D 处，延伸 CD 交直线 AB 于点 T，假设 = ，求 AT 的长．12 ．〔2021 ?石家庄校级模拟〕如图 1，在菱形 ABCD 中，AC=6 ，BD=6 ，AC，BD 订交于点 O ．〔1〕求边 AB 的长；〔2〕如图 2，将一个足够大的直角三角板 60 °角的极点放在菱形 ABCD 的极点 A 处，绕点 A 左右旋转，其中三角板 60 °角的两边分别于边 BC，CD 订交于 E，F，连接 EF 与 AC 订交于点 G．①判断△AEF 是哪一种特别三角形，并说明原由；②旋转过程中可否存在线段 EF 最短，假设存在，求出最小值，假设不存在，请说明原由．13 ．〔2021 春 ?泰安校级期中〕如图，正方形 OEFG 绕着边长为 30 的正方形 ABCD 的对角线的交点 O 旋转，边 OE、OG 分别交边 AD 、AB 于点 M 、N ．〔1〕求证： OM=ON ；〔2〕设正方形 OEFG 的对角线 OF 与边 AB 订交于点 P，连接 PM ．假设 PM=13 ，试求 AM 的长；〔3〕连接 MN ，求△AMN 周长的最小值，并指出此时线段 MN 与线段 BD 的关系．14 ．〔2021 ?天津〕在平面直角坐标系中， O 为原点，点 A〔﹣2 ，0〕，点 B〔0，2〕，点 E，点 F 分别为 OA ，OB 的中点．假设正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转，得正方形 OE ′D′F′，记旋转角为α．〔Ⅰ〕如图①，当α =90 °时，求AE′，BF′的长；〔Ⅱ〕如图②，当α =135 °时，求证AE′=BF ′，且AE′⊥BF′；〔Ⅲ〕假设直线 AE′与直线BF′订交于点P，求点 P 的纵坐标的最大值〔直接写出结果即可〕．15 ．〔2021 春 ?青山区期末〕正方形 ABCD 和正方形 EBGF 共极点 B，连 AF，H 为 AF 的中点，连 EH，正方形 EBGF 绕点 B 旋转．〔1〕如图 1，当 F 点落在 BC 上时，求证： EH= FC；〔2〕如图 2，当点 E 落在 BC 上时，连 BH ，假设 AB=5 ，BG=2 ，求 BH 的长；〔3〕当正方形 EBGF 绕点 B 旋转到如图 3 的地址时，求的值．16 ．〔2021 ?盐城〕阅读资料如图①，△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形，∠ACB= ∠EDF=90 °，且点 D 在 AB 边上，AB、EF的中点均为 O ，连接 BF、CD 、CO ，显然点 C、F、O 在同一条直线上，可以证明△ BOF≌△COD ，那么 BF=CD ．解决问题〔1〕将图①中的 Rt△DEF 绕点 O 旋转获取图②，猜想此时线段 BF 与 CD 的数量关系，并证明你的结论；〔2〕如图③，假设△ ABC 与△DEF 都是等边三角形， AB 、EF 的中点均为 O ，上述〔 1 〕中的结论依旧成立吗？如果成立，请说明原由；如不成立，央求出 BF 与 CD 之间的数量关系；〔3〕如图④，假设△ABC 与△DEF 都是等腰三角形， AB 、EF 的中点均为 0，且顶角∠ACB= ∠EDF= α，请直接写出的值〔用含α的式子表示出来〕17 ．〔2021 ?梅州〕用如图①，②所示的两个直角三角形〔局部边长及角的度数在图中已标出〕，完成以下两个研究问题：研究一：将以上两个三角形如图③拼接〔 BC 和 ED 重合〕，在 BC 边上有一动点 P．〔1〕当点 P 运动到∠CFB 的角均分线上时，连接 AP，求线段 AP 的长；〔2〕当点 P 在运动的过程中出现 PA=FC 时，求∠PAB 的度数．研究二：如图④，将△ DEF 的极点 D 放在△ABC 的 BC 边上的中点处，并以点 D 为旋转中心旋转△ DEF，使△DEF 的两直角边与△ ABC 的两直角边分别交于 M 、N 两点，连接 MN ．在旋转△DEF 的过程中，△ AMN 的周长可否存在有最小值？假设存在，求出它的最小值；假设不存在，请说明原由．18 ．〔2021 ?营口〕如图，点 P 是⊙O 外一点， PA 切⊙O 于点 A，AB 是⊙O 的直径，连接 OP ，过点 B 作 BC∥OP 交⊙O 于点 C，连接 AC 交 OP 于点 D ．〔1〕求证： PC 是⊙ O 的切线；〔2〕假设 PD= ，AC=8 ，求图中阴影局部的面积；〔3〕在〔 2〕的条件下，假设点 E是的中点，连接 CE，求 CE 的长．19 ．〔2021 ?永州〕问题研究：〔一〕新知学习：圆内接四边形的判判断理：若是四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆〔即若是四边形 EFGH 的对角互补，那么四边形 EFGH 的四个极点 E、F、G、H 都在同个圆上〕．〔二〕问题解决：⊙ O 的半径为 2，AB ，CD 是⊙O 的直径． P 是上任意一点，过点 P 分别作 AB，CD 的垂线，垂足分别为 N，M ．〔1〕假设直径 AB⊥CD，关于上任意一点 P〔不与 B、C 重合〕〔如图一〕，证明四边形 PMON 内接于圆，并求此圆直径的长；〔2〕假设直径 AB⊥CD ，在点 P〔不与 B、C 重合〕从 B 运动到 C 的过程中，证明 MN 的长为定值，并求其定值；〔3〕假设直径 AB 与 CD 订交成 120 °角．①当点 P 运动到的中点 P1 时〔如图二〕，求 MN 的长；②当点 P〔不与 B、C 重合〕从 B 运动到 C 的过程中〔如图三〕，证明 MN 的长为定值．〔4〕试问当直径 AB 与 CD 订交成多少度角时， MN 的长取最大值，并写出其最大值．20 ．〔2021 ?盘锦〕如图 1，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠ BAC= ∠EAD=90 °，点B 在线段 AE 上，点C 在线段 AD 上．〔1〕请直接写出线段 BE 与线段 CD 的关系：；〔2〕如图 2，将图 1 中的△ABC 绕点 A 顺时针旋转角α〔 0＜α＜360 °〕，①〔1〕中的结论可否成立？假设成立，请利用图 2 证明；假设不成立，请说明原由；②当 AC= ED 时，研究在△ABC 旋转的过程中，可否存在这样的角α，使以 A、B、C、D 四点为极点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出角α的度数；假设不存在，请说明原由．21 ．〔2021 ?旭日〕问题：如图〔 1〕，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90 °，AC=CB ，∠DCE=45 °，试试究AD 、DE、EB 满足的等量关系．[研究发现 ]小聪同学利用图形变换，将△ CAD 绕点 C 逆时针旋转 90°获取△CBH，连接 EH，由条件易得∠ EBH=90 °，∠ECH= ∠ECB+ ∠BCH= ∠ECB+ ∠ACD=45 °．依照“边角边〞，可证△ CEH ≌，得 EH=ED ．在 Rt△HBE 中，由定理，可得 BH 2+EB 2=EH 2，由 BH=AD ，可得 AD 、DE、EB 之间的等量关系是．[实践运用 ]〔1〕如图〔 2 〕，在正方形 ABCD 中，△AEF 的极点 E、F 分别在 BC、CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数；〔2〕在〔 1〕条件下，连接 BD ，分别交 AE、AF 于点 M 、N ，假设 BE=2 ，DF=3 ，BM=2 ，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及 MN 的长．22 ．〔2021 ?自贡〕在△ABC 中，AB=AC=5 ，cos ∠ABC= ，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转，获取△ A1B1C．〔1〕如图①，当点 B1 在线段 BA 延伸线上时．①求证： BB1∥CA 1；②求△AB1C 的面积；〔2〕如图②，点 E 是 BC 边的中点，点 F 为线段 AB 上的动点，在△ ABC 绕点 C 顺时针旋转过程中，点 F 的对应点是 F1，求线段 EF1 长度的最大值与最小值的差．23 ．〔2021 ?吉林〕两个三角板 ABC，DEF，按以以下图的地址摆放，点 B 与点 D 重合，边 AB 与边 DE 在同一条直线上〔假设图形中所有的点，线都在同一平面内〕．其中，∠C= ∠DEF=90 °，∠ABC= ∠F=30 °，AC=DE=6cm ．现固定三角板 DEF，将三角板 ABC 沿射线 DE 方向平移，当点 C 落在边 EF 上时停止运动．设三角板平移的距离为 x〔cm 〕，两个三角板重叠局部的面积为 y〔cm 2〕．〔1〕当点 C 落在边 EF 上时， x= cm ；〔2〕求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；〔3〕设边 BC 的中点为点 M ，边 DF 的中点为点 N ．直接写出在三角板平移过程中，点 M 与点 N 之间距离的最小值．24 ．〔2021 ?汕尾〕在 Rt△ABC 中，∠A=90 °，AC=AB=4 ，D，E 分别是边 AB ，AC 的中点，假设等腰 Rt△ADE绕点 A 逆时针旋转，获取等腰 Rt△AD 1E1，设旋转角为α〔 0＜α≤180 °〕，记直线 BD1 与 CE1 的交点为 P．〔1〕如图 1，当α=90 °时，线段BD 1 的长等于，线段 CE1 的长等于；〔直接填写结果〕〔2〕如图 2，当α=135 °时，求证：BD 1=CE 1，且 BD1⊥CE1；〔3〕求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值．〔直接写出结果〕25 ．〔2021 ?赤峰〕如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个极点与该菱形极点 D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB、BA〔或它们的延长线〕于点 E、F，∠EDF=60 °，当CE=AF 时，如图 1 小芳同学得出的结论是 DE=DF ．〔1〕连续旋转三角形纸片，当 CE≠AF 时，如图 2 小芳的结论可否成立？假设成立，加以证明；假设不成立，请说明原由；〔2〕再次旋转三角形纸片，当点 E、F 分别在 CB、BA 的延伸线上时，如图 3 请直接写出 DE 与 DF 的数量关系；〔3〕连 EF，假设△DEF 的面积为 y ，CE=x ，求 y 与 x 的关系式，并指出当 x 为何值时， y 有最小值，最小值是多少？26 ．〔2021 ?海南〕如图，菱形 ABCD 中，点 P 是 CD 的中点，∠BCD=60 °，射线AP 交 BC 的延伸线于点 E，射线 BP 交 DE 于点 K，点 O 是线段 BK 的中点．〔1〕求证：△ADP ≌△ECP；〔2〕假设 BP=n ?PK，试求出 n 的值；〔3〕作 BM 丄 AE 于点 M ，作 KN 丄 AE 于点 N，连接 MO 、NO ，如图 2 所示，请证明△MON 是等腰三角形，并直接写出∠ MON 的度数．27 ．〔2021 ?丹东〕在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O；在 Rt△PMN 中，∠MPN=90 °．〔1〕如图 1，假设点 P 与点 O 重合且 PM ⊥AD 、PN ⊥AB ，分别交 AD 、AB 于点 E、F，请直接写出 PE 与 PF 的数量关系；〔2〕将图 1 中的 Rt△PMN 绕点 O 顺时针旋转角度α〔 0 °＜α＜45 °〕．①如图 2，在旋转过程中〔 1〕中的结论依旧成立吗？假设成立，请证明；假设不成立，请说明原由；②如图 2，在旋转过程中，当∠ DOM=15 °时，连接EF，假设正方形的边长为 2，请直接写出线段 EF 的长；③如图 3，旋转后，假设 Rt△PMN 的极点 P 在线段 OB 上搬动〔不与点 O 、B 重合〕，当 BD=3BP 时，猜想此时PE 与 PF 的数量关系，并给出证明；当 BD=m ?BP 时，请直接写出 PE 与 PF 的数量关系．28 ．〔2021 ?成都〕 AC ，EC 分别是四边形 ABCD 和 EFDC 的对角线，点 E 在△ABC 内，∠CAE+ ∠CBE=90 °．〔1〕如图①，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时，连接 BF．〔i〕求证：△CAE∽△CBF；〔ii 〕假设 BE=1 ，AE=2 ，求 CE 的长；〔2〕如图②，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为矩形，且 = =k 时，假设 BE=1 ，AE=2 ，CE=3 ，求 k 的值；〔3〕如图③，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形，且∠ DAB= ∠GEF=45 °时，设BE=m ，AE=n ，CE=p ，试试究 m ，n，p 三者之间满足的等量关系．〔直接写出结果，不用写出解答过程〕29 ．〔2021 ?锦州〕如图①，∠ QPN 的极点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处，∠ QPN= α，将∠QPN 绕点P 旋转，旋转过程中∠ QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F〔点 F 与点 C，D 不重合〕．〔1〕如图①，当α =90 °时，DE，DF，AD 之间满足的数量关系是；〔2〕如图②，将图①中的正方形 ABCD 改为∠ADC=120 °的菱形，其他条件不变，当α =60 °时，〔1〕中的结论变为 DE+DF= AD ，请给出证明；〔3〕在〔2〕的条件下，假设旋转过程中∠ QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件不变，研究在整个运动变化过程中， DE，DF ，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．30 ．〔2021 ?绵阳〕如图 1，矩形 ABCD 中，AB=4 ，AD=3 ，把矩形沿直线 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，AE交 CD 于点 F，连接 DE．〔1〕求证：△DEC≌△EDA；〔2〕求 DF 的值；〔3〕如图 2，假设 P 为线段 EC 上一动点，过点 P 作△AEC 的内接矩形，使其极点 Q 落在线段 AE 上，定点 M 、N 落在线段 AC 上，当线段 PE 的长为何值时，矩形 PQMN 的面积最大？并求出其最大值．几何难题精选 (1) 旋转圆四边形参照答案与试题解析一．解答题〔共 30 小题〕1 ．〔2021 ?河南〕如图 1，在 Rt △ABC 中，∠B=90 °，BC=2AB=8 ，点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，连接DE，将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．〔1〕问题发现①当α=0 °时， = ；②当α=180 °时， = ．〔2〕拓展研究试判断：当 0°≤α＜360 °时，的大小有无变化？请仅就图 2 的状况给出证明．〔3〕问题解决当△EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【解析】〔1〕①当α=0 °时，在Rt △ABC 中，由勾股定理，求出 AC 的值是多少；尔后依照点 D、E 分别是边BC、AC 的中点，分别求出 AE、BD 的大小，即可求出的值是多少．②α=180 °时，可得AB ∥DE，尔后依照，求出的值是多少即可．〔2〕第一判断出∠ ECA= ∠DCB ，再依照，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．〔3〕依照题意，分两种状况：①点 A，D，E 所在的直线和 BC 平行时；②点 A ，D，E 所在的直线和 BC 订交时；尔后分类谈论，求出线段 BD 的长各是多少即可．【解答】解：〔 1〕①当α=0 °时，∵Rt △ABC 中，∠B=90 °，∴AC= ，∵点D、E 分别是边 BC、AC 的中点，∴，∴．②如图 1，，当α=180 °时，可得 AB∥DE，∵，∴ = ．故答案为：．〔2〕如图 2，，当 0°≤α＜360 °时，的大小没有变化，∵∠ECD= ∠ACB ，∴∠ECA= ∠DCB ，又∵，∴△ECA∽△DCB ，∴．〔3〕①如图 3 ，，∵AC=4 ，CD=4 ，CD ⊥AD ，∴AD= = ，∵AD=BC ，AB=DC ，∠B=90 °，∴四边形 ABCD 是矩形，∴．②如图 4，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q ，过点 B作 AC 的垂线交 AC 于点 P，，∵AC=4 ，CD=4 ，CD ⊥AD ，∴AD= = ，∵点D、E 分别是边 BC、AC 的中点，∴DE= =2 ，∴AE=AD ﹣DE=8 ﹣2=6 ，由〔2〕，可得，∴BD= = ．综上所述， BD 的长为 4 或．【谈论】〔1〕此题主要观察了几何变换综合题，观察了解析推理能力，观察了分类谈论思想的应用，观察了数形结合思想的应用，要熟练掌握．〔2〕此题还观察了相似三角形、全等三角形的判断和性质的应用，要熟练掌握．〔3〕此题还观察了线段长度的求法，以及矩形的判断和性质的应用，要熟练掌握．2．〔2021 ?济南〕如图 1 ，在△ABC 中，∠ACB=90 °，AC=BC ，∠EAC=90 °，点M 为射线 AE 上任意一点〔不与 A 重合〕，连接 CM ，将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 °获取线段CN ，直线 NB 分别交直线 CM 、射线 AE 于点 F、D．〔1〕直接写出∠ NDE 的度数；〔2〕如图 2、图 3，当∠EAC 为锐角或钝角时，其他条件不变，〔 1〕中的结论可否发生变化？若是不变，采用其中一种状况加以证明；若是变化，请说明原由；〔3〕如图 4，假设∠EAC=15 °，∠ACM=60 °，直线CM 与 AB 交于 G，BD= ，其他条件不变，求线段 AM的长．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【解析】〔1〕依照题意证明△ MAC ≌△NBC 即可；〔2〕与〔 1〕的证明方法相似，证明△ MAC ≌△NBC 即可；〔3〕作 GK ⊥BC 于 K，证明 AM=AG ，依照△MAC ≌△NBC ，获取∠BDA=90 °，依照直角三角形的性质和条件求出 AG 的长，获取答案．【解答】解：〔 1〕∵∠ACB=90 °，∠MCN=90 °，∴∠ACM= ∠BCN ，在△MAC 和△NBC 中，，∴△MAC ≌△NBC ，∴∠NBC= ∠MAC=90 °，又∵∠ACB=90 °，∠EAC=90 °，∴∠NDE=90 °；〔2〕不变，在△MAC ≌△NBC 中，，∴△MAC ≌△NBC ，∴∠N= ∠AMC ，又∵∠MFD= ∠NFC，∠MDF= ∠FCN=90 °，即∠NDE=90 °；〔3〕作 GK⊥BC 于 K，∵∠EAC=15 °，∴∠BAD=30 °，∵∠ACM=60 °，∴∠GCB=30 °，∴∠AGC= ∠ABC+ ∠GCB=75 °，∠AMG=75 °，∴AM=AG ，∵△MAC ≌△NBC ，∴∠MAC= ∠NBC ，∴∠BDA= ∠BCA=90 °，∵BD= ，∴AB= + ，AC=BC= +1 ，设 BK=a ，那么 GK=a ，CK= a，∴a+ a= +1 ，∴a=1 ，∴KB=KG=1 ，BG= ，AG= ，∴AM= ．【谈论】此题观察的是矩形的判断和性质以及三角形全等的判断和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的重点，注意旋转的性质的灵便运用．3 ．〔2021 ?岳阳〕直线 m ∥n ，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点， CD 与直线 m 、n 不垂直，点 P 为线段 CD 的中点．〔1〕操作发现：直线 l ⊥m ，l⊥n，垂足分别为 A、B，当点 A 与点 C 重合时〔如图①所示〕，连接 PB，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系： PA=PB ．〔2〕猜想证明：在图①的状况下，把直线 l 向上平移到如图②的地址，试问〔 1〕中的 PA 与 PB 的关系式可否依旧成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明原由．〔3〕延伸研究：在图②的状况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得∠ APB=90 °〔如图③所示〕，假设两平行线 m 、n 之间的距离为 2k ．求证： PA ?PB=k ?AB．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【解析】〔1〕依照三角形 CBD 是直角三角形，而且点 P 为线段 CD 的中点，应用直角三角形的性质，可得 PA=PB ，据此解答即可．〔2〕第一过 C 作 CE⊥n 于点 E，连接 P E，尔后分别判断出 PC=PE 、∠PCA= ∠PEB、AC=BE ；尔后依照全等三角形判断的方法，判断出△ PAC∽△PBE，即可判断出 PA=PB 依旧成立．〔3〕第一延伸 AP 交直线 n 于点 F，作 AE⊥BD 于点 E，尔后依照相似三角形判断的方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出 AF ?BP=AE ?BF，再个 AF=2PA ，AE=2k ，BF=AB ，可得 2PA ?PB=2k ．AB，因此 PA?PB=k ?AB，据此解答即可．【解答】解：〔 1〕∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形 CBD 是直角三角形，又∵点 P 为线段 CD 的中点，∴PA=PB ．〔2〕把直线 l 向上平移到如图②的地址， PA=PB 依旧成立，原由以下：如图②，过 C 作 CE⊥n 于点 E，连接 P E，，∵三角形 CED 是直角三角形，点 P 为线段 CD 的中点，∴PD=PE ，又∵点 P 为线段 CD 的中点，∴PC=PD ，∴PC=PE ；∵PD=PE ，∴∠CDE= ∠PEB，∵直线 m ∥n ，∴∠CDE= ∠PCA ，∴∠PCA= ∠PEB，又∵直线 l⊥m ，l⊥n，CE⊥m ，CE⊥n ，∴l∥CE，∴AC=BE ，在△PAC 和△PBE 中，∴△PAC≌△PBE，∴PA=PB ．〔3〕如图③，延伸 AP 交直线 n 于点 F，作 AE⊥BD 于点 E，，∵直线 m ∥n ，∴，∴AP=PF ，∵∠APB=90 °，∴BP⊥AF，又∵AP=PF ，∴BF=AB ；在△AEF 和△BPF 中，∴△AEF∽△BPF，∴，∴AF ?BP=AE ?BF，∵AF=2PA ，AE=2k ，BF=AB ，∴2PA ?PB=2k ．AB ，∴PA?PB=k ?AB ．【谈论】〔1〕此题主要观察了几何变换综合题，观察了解析推理能力，观察了分类谈论思想的应用，观察了数形结合思想的应用，观察了从图象中获守信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．〔2〕此题还观察了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．〔3〕此题还观察了全等三角形的判断和性质的应用，以及相似三角形的判断和性质的应用，要熟练掌握．4 ．〔2021 ?重庆〕在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60 °，点D 是线段 BC 的中点，∠EDF=120 °，DE 与线段 AB 相交于点 E．DF 与线段 AC 〔或 AC 的延伸线〕订交于点 F．〔1〕如图 1，假设 DF⊥AC，垂足为 F，AB=4 ，求 BE 的长；〔2〕如图 2，将〔1 〕中的∠EDF 绕点 D 顺时针旋转必然的角度， DF 仍与线段 AC 订交于点 F．求证：BE+CF= AB；〔3〕如图 3，将〔 2〕中的∠EDF 连续绕点 D 顺时针旋转必然的角度，使 DF 与线段 AC 的延伸线订交于点 F，作 DN ⊥AC 于点 N ，假设 DN ⊥AC 于点 N ，假设 DN=FN ，求证： BE+CF= 〔BE﹣CF〕．【考点】几何变换综合题；全等三角形的判断与性质；等边三角形的判断与性质；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【解析】〔1〕如图 1，易求得∠B=60 °，∠BED=90 °，BD=2 ，尔后运用三角函数的定义即可求出 BE 的值；〔2〕过点 D 作 DM ⊥AB 于 M ，作 DN ⊥AC 于 N，如图 2，易证△MBD ≌△NCD ，那么有 BM=CN ，DM=DN ，进而可证到△ EMD ≌△FND ，那么有 EM=FN ，即可获取 BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60 °=BD= BC= AB；〔3〕过点 D 作 DM ⊥AB 于 M ，如图 3．同〔1〕可得：∠B= ∠ACD=60 °，同〔2〕可得： BM=CN ，DM=DN ，EM=FN ．由 DN=FN 可得 DM=DN=FN=EM ，进而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM ，B E﹣CF=BM+EM ﹣CF=BM+NF ﹣CF=BM+NC=2BM ．尔后在 Rt△BMD 中，运用三角函数即可获取 DM= BM ，即 BE+CF= 〔B E﹣CF〕．【解答】解：〔 1〕如图 1，∵AB=AC ，∠A=60 °，∴△ABC 是等边三角形，∴∠B= ∠C=60 °，BC=AC=AB=4 ．∵点D 是线段 BC 的中点，∴BD=DC= BC=2 ．∵DF⊥AC，即∠AFD=90 °，∴∠AED=360 °﹣60 °﹣90 °﹣120 °=90 °，∴∠BED=90 °，∴BE=BD ×cos ∠B=2 ×cos60 °=2 × =1 ；〔2〕过点 D 作 DM ⊥AB 于 M ，作 DN ⊥AC 于 N，如图 2，那么有∠AMD= ∠BMD= ∠AND= ∠CND=90 °．∵∠A=60 °，∴∠MDN=360 °﹣60 °﹣90 °﹣90 °=120 °．∵∠EDF=120 °，∴∠MDE= ∠NDF ．在△MBD 和△NCD 中，，∴△MBD ≌△NCD ，∴BM=CN ，DM=DN ．在△EMD 和△FND 中，，∴△EMD ≌△FND ，∴EM=FN ，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD ×cos60 °=BD= BC= AB ；〔3〕过点 D 作 DM ⊥AB 于 M ，如图 3．同〔1〕可得：∠B= ∠ACD=60 °．同〔2〕可得： BM=CN ，DM=DN ，EM=FN ．∵DN=FN ，∴DM=DN=FN=EM ，∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM ，BE﹣CF=BM+EM ﹣CF=BM+NF ﹣CF=BM+NC=2BM ．在 Rt△BMD 中，DM=BM ?tanB= BM ，∴BE+CF= 〔BE﹣CF〕．【谈论】此题主要观察了等边三角形的判断与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判断与性质、三角函数的定义、特别角的三角函数值等知识，经过证明三角形全等获取 BM=CN ，DM=DN ，EM=FN 是解决此题的关键．5 ．〔2021 ?烟台〕【问题提出】如图①，△ ABC 是等腰三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC ，将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF 连接 EF试证明： AB=DB+AF【类比研究】〔1〕如图②，若是点 E 在线段 AB 的延伸线上，其他条件不变，线段 AB ，DB，AF 之间又有怎样的数量关系？请说明原由〔2〕若是点 E 在线段 BA 的延伸线上，其他条件不变，请在图③的基础大将图形补充完满，并写出 AB ，DB ，AF 之间的数量关系，不用说明原由．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【解析】第一判断出△ CEF 是等边三角形，即可判断出 EF=EC，再依照 ED=EC ，可得 ED=EF ，∠CAF= ∠BAC=60 °，因此∠EAF= ∠BAC+ ∠CAF=120 °，∠DBE=120 °，∠EAF= ∠DBE；尔后依照全等三角形判断的方法，判断出△EDB ≌△FEA ，即可判断出 BD=AE ，AB=AE+BF ，因此 AB=DB+AF ．〔1〕第一判断出△CEF 是等边三角形，即可判断出 EF=EC，再依照 ED=EC ，可得 ED=EF ，∠CAF= ∠BAC=60 °，因此∠EFC= ∠FGC+ ∠FCG，∠BAC= ∠FGC+ ∠FEA，∠FCG= ∠FEA，再依照∠FCG= ∠EAD ，∠D= ∠EAD，可得∠D= ∠FEA；尔后依照全等三角形判断的方法，判断出△ EDB≌△FEA，即可判断出 BD=AE ，EB=AF ，进而判断出AB=BD ﹣AF 即可．〔2〕第一依照点 E 在线段 BA 的延伸线上，在图③的基础大将图形补充完满，尔后判断出△ CEF 是等边三角形，即可判断出 EF=EC ，再依照 ED=EC ，可得 ED=EF ，∠CAF= ∠BAC=60 °，再判断出∠ DBE= ∠EAF，∠BDE= ∠AEF；。

几何综合压轴问题(40题)1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长．2(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF,DE．(1)如图1，求证：DE=BF；(2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．3(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)，AB= 12,AD=10,∠B为锐角，且sin B=45．(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C ,D ．①如图2，当点C 落在射线CA上时，求BP的长．②当△AC D 是直角三角形时，求BP的长．4(2023·甘肃武威·统考中考真题)【模型建立】(1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE=CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型应用】(2)如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】(3)在(2)的条件下，若AD=42，BD=3CD，求cos∠AFB的值．5(2023·江西·统考中考真题)课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．己知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD=5，AC=8，BD=6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E=12∠ACD，求OFEF的值．6(2023·湖北随州·统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A P C，连接PP ，由PC=P C，∠PCP =60°，可知△PCP 为三角形，故PP =PC，又P A =PA，故PA+PB+PC =PA +PB+PP ≥A B，由可知，当B，P，P ，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=；已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a 元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．(结果用含a的式子表示)7(2023·山东枣庄·统考中考真题)问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，H．猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB, BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．8(2023·湖南·统考中考真题)(1)[问题探究]如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB．①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．(2)[迁移探究]如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．9(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．初步尝试：(1)MN与AC的数量关系是，MN与AC的位置关系是．特例研讨：(2)如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角)，得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．(1)求∠BCF的度数；(2)求CD的长．深入探究：(3)若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．10(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．11(2023·河北·统考中考真题)如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB=8,BC=211,CD=12, DA=6,∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA ,∠A MA的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0)，连接A P．(1)若点P在AB上，求证：A P=AP；(2)如图2．连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n=180时，x的值；②若点P到BD的距离为2，求tan∠A MP的值；(3)当0<x≤8时，请直接写出点A 到直线AB的距离．(用含x的式子表示)．12(2023·四川达州·统考中考真题)(1)如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A 处，若AB=6,BC=10，求AEEB的值；(2)如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B 落在DC 的延长线上B 处，若BC ⋅CE =24,AB =6，求BE 的值；(3)如图③，在△ABC 中，∠BAC =45°,AD ⊥BC ，垂足为点D ,AD =10,AE =6，过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ，连接DF ，且满足∠DFE =2∠DAC ，直接写出BD +53EF 的值．13(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知△ABC 是等边三角形，点D 是射线AB 上的一个动点，延长BC 至点E ，使CE =AD ，连接DE 交射线AC 于点F ．(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE ．设AB =4，若∠AEB =∠DEB ，求四边形BDFC 的面积．14(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，AB 上的点，连接CE ，EF ，CF ．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当∠FEC =90°时，求证：△AEF ∽△DCE ；②如图2，当tan ∠FCE =23时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当GE =DE ,sin ∠FCE =13时，求证：AE =AF ．15(2023·湖北武汉·统考中考真题)问题提出：如图(1)，E 是菱形ABCD 边BC 上一点，△AEF 是等腰三角形，AE =EF ，∠AEF =∠ABC =αa ≥90° ,AF 交CD 于点G ，探究∠GCF 与α的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图(2)，当α=90°时，直接写出∠GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图(1)，求∠GCF 与α的数量关系．问题拓展：(3)将图(1)特殊化，如图(3)，当α=120°时，若DG CG =12，求BECE的值．16(2023·山西·统考中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC 和△DFE ，其中∠ACB =∠DEF =90°,∠A =∠D ．将△ABC 和△DFE 按图2所示方式摆放，其中点B 与点F 重合(标记为点B )．当∠ABE =∠A 时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在△ABC 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE =∠BAC 时，过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ,BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．17(2023·湖北十堰·统考中考真题)过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．(1)如图1，若∠CDP=25°，则∠DAF=°；(2)如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP绕点D转动的过程中，设AF=a，EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长．18(2023·辽宁大连·统考中考真题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．(1)如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；(2)如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．19(2023·山东·统考中考真题)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF 的长．20(2023·福建·统考中考真题)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD,CA的延长线相交于点M．(1)求证：△ADE∽△FMC；(2)求∠ABF的度数；(3)若N是AF的中点，如图2．求证：ND=NO．21(2023·四川·统考中考真题)如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°．(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．22(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B 落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B ，P 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B ，P 分别落在EF ，BN 上，得到折痕l ，点B ，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：(3)证明BB 是∠NBC 的一条三等分线．23(2023·重庆·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．(1)如图1，若AC =9，BD =3，求线段AD 的长．(2)如图2，以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若∠G =∠BCE ，求证：GF =BF +BE ．(3)在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将△BEM 沿BM 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将△BCP 沿BC 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BCQ ，请直接写出此时NQ CP的值．24(2023·湖南·统考中考真题)如图，在等边三角形ABC 中，D 为AB 上的一点，过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E ，点P 是线段DE 上的动点(点P 不与D 、E 重合)．将△ABP 绕点A 逆时针方向旋转60°，得到△ACQ ，连接EQ 、PQ ,PQ 交AC 于F ．(1)证明：在点P 的运动过程中，总有∠PEQ =120°．(2)当AP DP为何值时，△AQF 是直角三角形？25(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH=3FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．26(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．27(2023·广东深圳·统考中考真题)(1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；=20时，则BE⋅CF=．②若S矩形ABCD(2)如图，在菱形ABCD中，cos A=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD =24时，求EF⋅BC的值．于点F，若S菱形ABCD(3)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG的长．28(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点P,Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP,QP,AP与OB相交于点E．(1)如图1，连接QA．当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB，①求证：AE=2EP；②当OQ=OE时，设EP=a，求PQ的长(用含a的代数式表示)．29(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM ，CN 始终与正方形的边AD ，AB 所在直线分别相交于点M ，N ，连接MN ，可得△CMN ．【探究一】如图②，把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：∠CNM =∠CNH ；【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：△CEF ∽△CNM ；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45°角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EFNM的值．30(2023·山东东营·统考中考真题)(1)用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，求证：∠PMN =∠PNM ．(2)用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ，延长线段BC 交MN 的延长线于点F ，求证：∠AEM =∠F ．(3)用数学的语言表达．如图，在△ABC 中，AC <AB ，点D 在AC 上，AD =BC ，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，连接MN 并延长，与BC 的延长线交于点G ，连接GD ，若∠ANM =60°，试判断△CGD 的形状，并进行证明．31(2023·甘肃兰州·统考中考真题)综合与实践【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．32(2023·贵州·统考中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP, BE之间的数量关系，并说明理由．33(2023·辽宁·统考中考真题)在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上(不与点A,B重合)，连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC；(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值．34(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22AB，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)【拓展运用】(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示)．35(2023·江苏徐州·统考中考真题)【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2a2+b2．【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO2=a2+b22-c24．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为．36(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．(1)求证：ED=EC；(2)将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B 落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时(点M 不与B，C重合)，判断△CMB′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB=1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．37(2023·安徽·统考中考真题)在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD 位置，点D在直线AB外，连接AD,BD．(1)如图1，求∠ADB的大小；(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．(ⅰ)如图2，连接CD，求证：BD=CD；(ⅱ)如图3，连接BE，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE的值．38(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．39(2023·江苏扬州·统考中考真题)【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A D C,∠ADB=∠A D C=90°,∠B=∠C=30°，设AB=2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A D C的边AD、A D 重合，再将△A D C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α0°≤α≤360°，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．(1)当α=60°时，BC=；当BC=22时，α=°；(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取BC的中点F，将△A D C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．40(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置，那么可以得到：AB=AB ，AC =AC ，BC=B C ；∠BAC=∠B AC ，∠ABC=∠AB C ，∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置．①请在图中作出点O；②如果BB =6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．。

中考平面几何压轴（三角形与四边形）训练15题（精选）1.如图，四边形ABCD 是平行四边形，且对角线AC , BD 交于点O ，点M , N 分别在AD , BC 上，且AM = CN ,点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点.(1)求证:OE = OF ;(2)连接BM 交AC 于点H ,连接HE ，HF ;(i)如图2，若HE ∥AB ,求证: FH ∥AD ;(ii)如图3,若四边形ABCD 为菱形且DM = 2AM ,∠EHF=60°，求AC BD 的值.2.(1)如图①，在矩形ABCD 的AB 边上取一点E ，将ΔADE 沿DE 翻折，使点A 落在BC 上的A′处，若AB =6，BC =10，求AEEB 的值；(2)如图②，在矩形ABCD 的BC 上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B 落在DC 的延长线上B′处，若BC ·CE =24，AB =6，求BE 的值；(3)如图③，在ΔABC 中，∠BAC =45°，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AD =10，AE =6，过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ，连接DF ，且满足∠DFE =2∠DAC ，直接写出BD+53EF 的值.3. 在正方形ABCD 中，AB =10, AC 是对角线，点O 是AC 的中点，点E 在AC 上，连接DE ，点C 关于DE 的对称点是C',连接DC' ,EC'.(1) 如图1，若DC'经过点O ,求证:OC ′CE = √22. (2) 如图2，连接CC'，BC',若∠ADC' = 2∠CBC',求CC'的长;(3) 当点B , C', E 三点共线时，直接写出CE 的长.4.如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．（1）求证：ED= EC；（2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B′落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时（点M不与B，C 重合），判断△CMB′的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，已知AB= 1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．5.如图，在正方形ABCD中，点M、N在直线BD上，连接AM，AN并延长交BC、CD于点E、F，连接EN.(1)如图1，若M，N都在线段BD上，且AN = NE，求∠MAN;(2)如图2.当点M在线段DB 延长线上时,AN = NE,(1)中∠MAN的度数不变，判断BM，DN，MN之间的数量关系并证明;(3)如图3,若点M在DB的延长线上,N在BD的延长线上,且∠MAN=135°(i)AB=√6,MB=√3,求DN.(ii)求证:2AM2 - MB 2= MN2 - BN2.6.如图，在RtΔABC与RtΔBDE中,∠BAC=∠BDE=90°,∠ABC=∠DBE=α.（1)如图1,当α= 60°,且点E为BC的中点时,若AB=2,连接AD.求AD的长度；（2)如图2,若α≠ 60°,且点E为BC中点时,取CE中点F,连接AF、DF。

中考28汇编1．如图，在四边ABCD 中，BC=DC ，∠BAD+∠BCD=180°，AC ⊥BC ，O 是AB 的中点 （1） 如图1，求证：∠OCD=∠OBC（2） 如图2，E 是AC 上一点，连接OE 并延长交AD 于点F ，连接BD ，分别交AC 、OC 于点M 、N ，若∠FOC=3∠CBD ，BN DM 76，试探究线段OE 和EF 之间的数量关系，并证明你的结论。

DCAO NMFEDCBA（图1）（图2）2．△ABC ，∠ACB=90°，点D 在BC 上，点E 在AD 上，∠CEB=90°，∠CED=∠CBA ，CE 的延长线交AB 于点F ，连接DF 。

（1） 如图1，求证：∠EFD=∠DBE ； （2） 如图2，若32cos =∠CAB ，DF 与BE 交于点G ，猜想GF 与DB 之间的数量关系并证明。

FEDCBAGFEDCBA（图1）（图2）3．已知，如图1，等腰直角△ABC中，AC=BC，等腰直角△CDE中，CD=DE，AD∥BC，CE与AB 相交于点F，AB与CD相交于点O，连接BE（1）求证：F为CE中点；（2）如图2，过点D作DG⊥BE于G，连接AE交DG于点H，连接HF，请探究线段HF与BC 之间的数量及位置关系，并证明你的结论。

OF EDC B A（图1）OGHFEDC BA（图2）4如图在四边形ABCD 中，连结BD 、AC 相交于F ，AB=BC ，AD=DE=DC ，∠ABC+∠EDC=180°，且AB AE AD ⋅=2。

（1） 如图1，求证：∠ADE=2∠DCA ；（2） 如图2，过点B 作BH ⊥CD 于点H ，交AC 于点G ，连结EC 交BD 于点P ，交BH 于点Q ，若31tan =∠ACD ，试探究线段PE 与PQ 之间的数量关系，并证明你的结论。

PG H QFEDCBAFEDCBA（图1）（图2）5．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，54sin =B ，作CH ⊥AB 于点H ，D 、K 分别为边AB 、AC 上的点，连接CD 、DK ，在射线DK 上取一点E ，使∠DCE=∠B ，且CE CD CK BC ⋅=⋅54。

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

中考几何压轴题11.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tan A=34,AC=5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D．（1）如图9，当MC=AC时，求CD的长；（2）当点D在线段AC的延长线上时，设BM=x，四边形CBMD的面积为y，求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果直线MD与射线BC相交于点E，且△ECD与△EMC相似，求线段BM的长．解：（1）过点M作MH⊥CD，垂足为点H．在Rt△ABC中，易得cos4AB AC A=⋅=．………………………（1分）∵MC=AC ，∠ABC=90°∴AM=2AB=8∴在Rt△AMH中，432cos855AH AM A=⋅=⨯=．………………………（1分）∴75CH AH AC=-=……………………………………………（1分）∴由垂径定理，得1425CD CH==．………………………………………（1分）（2）过点M作MH⊥CD，垂足为点H．在Rt△AMH中，3312sin(4)55xMH AM A x+=⋅=+⋅=……………（1分）4416cos(4)55xAH AM A x+=⋅=+⋅=．∴495xCH AH AC-=-=,8185xCD-=．…………………………（1分）∴2118183*********=225525CDMx x x xS CD MH-++-⋅⋅=⋅⋅=△．…（1分）又13=22CBMxS BM CB⋅⋅=△．CBA∴231221108=225x x x y +-+，即224117216=50x x y +-．…………（1分） 定义域为94x >． ………………………………………………（1分）（3）①当点M 在AB 的延长线上时（如图9），∵△ECD 与△EMC 相似，∠EDC>∠EMC ，∴∠EDC =∠ECM ．………………………………………………………（1分） ∴∠CDM =∠BCM ．而由MC =MD 可得，∠MCD =∠CDM ，∴∠BCM =∠MCD ．可证得△CBM ≌△CHM ，∴CB =CH ．…………………………………（1分）∴4935x -=． 解得6x =，即6BM =．…………………………………………………（1分） ②当点M 在线段AB 上时（如下图），同①可得∠BCM =∠MCD ，CB =CH ，MB =MH∴532AH =-=,4AM x =-．在Rt △AMH 中，4cos 5AH MAH AM ∠==，即2445x =-．解得32x =．…………………………………（1分） 综上所述，线段BM 的长为6或32．2.如图，已知半圆O 的直径AB=4，点P 在线段OA 上，半圆P 与半圆O 相切于点A ，点C 在半圆P 上，CO ⊥AB ，AC 的延长线与半圆O 相交于点D ，OD 与BC 相交于点E ．（1） 求证：AD ∙AP =OD ∙AC ；（2） 设半圆P 的半径为x ，线段CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3） 当点E 在半圆P 上时，求半圆P 的半径．解：（1）联结PC ，在半圆P 与半圆O 中，∵ PC=PA ，OD=OA ，∴ ∠PCA=∠A=∠D ． ················································· （2分）B∴PC//OD ． ······································································································· （1分） ∴AC AD ADAP AO OD=＝． ······················································································ （1分） ∴AD ∙AP =OD ∙AC ． ····························································································· （1分）（2）在Rt △OPC 中，OP =122OA AP AB AP x -=-=-， 22222(2)44OC =CP OP x x x -=--=-. ····················································· （1分）在Rt △OAC 中，AC =2222442AO +OC =+x x -=. ······························ （1分）∵PC//OD ，∴CD POAC AO＝， ············································································ （1分） ∴22y x x =-，∴(42)x x y -=. ····························································· （1分） 定义域为1< x < 2. ··························································································· （1分）（3）∵CO ⊥AB ，AO =BO =2，∴BC = AC =2x ,∵PC//OD ，∴CE BCOP BP＝，∴224CE x x x --＝，∴22)4x x CE x --（＝． ········ （1分） 过点P 作PH ⊥CE ，垂足为H ．∴22CE x xCH -=（)＝， ∴2(6)2x x x xBH BC CH x --=--=（)＝． ··································· （1分） ∵cos BH OBB BP CB==．∴BH ·CB =OB ·BP , ∴622(4)4x xx x x-=--（）， ······································································· （1分）226168x x x x -=-+，2780x x -+=，717x=±． 其中717+x=不符合题意，所以半圆P 的半径为717x=-． ········· （1分）3.如图，已知BC AB ⊥，BC CD ⊥，垂足分别为点B 、点C ，AC 与BD 交于点P .（1）如果3=AB ，5=CD ，以点P 为圆心作圆，圆P 与直线BC 相切.① 求圆P 的半径长；② 又8=BC ，以BC 为直径作圆O ，试判断圆O 与圆P 的位置关系，并说明理由； （2）如果分别以AB 、CD 为直径的两圆外切，求证：△ABC 与△BCD 相似. 解：（1）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为点H ，∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴ AB ∥PH ∥DC . ∴CBCHAB PH =, BC BH DC PH =,…………………………………………………1分 ∵ AB =3，DC =5 , ∴153=+PHPH . …………………………………………………………… 1分 ∴815=PH . …………………………………………………………………1分 ∵ 圆P 与直线BC 相切, ∴圆P 的半径长为815. ………………………………………………………… 1分 （2）将BC 中点记为点O ，∵BC =8，∴OB = OC = 4. …………………………………………………………………… 1分 由BCCHAB PH =, ∴CH = 5，1=OH .……………………………………………………………… 1分 ∴817=OP . …………………………………………………………………… 2分 即p o R R OP -=.∴圆O 与圆P 内切. ……………………………………………………………… 1分 （3）将A B 、DC 的中点分别记为点1O 、2O ,联结21O O ，过点1O 作DC E O ⊥1,垂足为点E .设a AB =，b DC =. …………………………………………………1分 根据题意，得221ba O O +=. …………………………………………………1分 在Rt △E O O 21中，ab E O =1.…………………………………………………1分∵BC E O =1，∴2BC DC AB =⋅.…………………………………………………………………1分 ∵∠ABC =∠DCB = 90°，∴△ABC ∽△BCD .…………………………………………………………………1分C4.已知在ABC ∆中，32==AC AB ，120=∠BAC ，ADE ∆的顶点D 在边BC 上，AE交BC 于点F （点F 在点D 的右侧），30=∠DAE . （1）求证：ABF ∆∽DCA ∆. （2）若ED AD =.①联结EC ，当点F 是BC 的黄金分割点（BF FC >）时，求FECABFS S ∆∆. ②联结BE ，当1=DF 时，求BE 的长.（1）证明：∵AC AB =，∴C B ∠=∠；…………………………………（1分） ∵180=∠+∠+∠C B BAC ，120=∠BAC ，∴30=∠=∠C B ； ∵30=∠DAE ，∴DAE C B ∠=∠=∠；…………………（1分） ∵BAD B ADC ∠+∠=∠，BAD DAE BAF ∠+∠=∠； ∴ADC BAF ∠=∠；…………………（1分） ∵C B ∠=∠；∴ABF ∆∽DCA ∆.…………………（1分）（2）①解：∵ABF ∆∽DCA ∆，∴ACBFAD AF =，即BF AFAC AD =；………………（1分） ∵ED AD =，∴DEA DAE ∠=∠，∴C DEA ∠=∠；又∵B DAE ∠=∠，∴ABC ∆∽DAE ∆;………………（1分） ∴BC AE AB AD =，即BC AE AC AD =；∴BC AE BF AF =，即BF BC AF AE =； ∴BFCFAF EF =，又∵AFB EFC ∠=∠； ∴ECF ∆∽ABF ∆；………………（1分）∴2⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆CF BF S S FEC ABF ； ∵点F 是BC 的黄金分割点，且BF FC >； ∴215-=CF BF ，∴25321522-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆CF BF S SFECABF .………………（1分） ACAF EDC BACAB CDFEBA CD F E②解：作BC AH⊥垂足为H ，∵32==AC AB ， 30=∠ABC ；∴BH BC 2=，321==AB AH ，322=-=AH AB BH 得6=BC ；………（1分）∵ABF ∆∽DCA ∆，∴ACBFCD AB =，即AC AB BF CD ⋅=⋅； 设x BD =，那么x CD -=6；∵1=DF ，∴1+=x BF ；可得()()323216⨯=+-x x ，解得3,221==x x 即2=BD 或3；………………（1分）当2=BD 时3=BF 即F 为BC 中点，∵AC AB =； ∴BC AF ⊥，又∵DE AD =，∴FE AF =即BC 垂直平分AE ；∴32==BA BE ；………………（2分）当3=BD 时，D 为BC 中点，∵AC AB =，120=∠BAC ，30=∠DAE ；∴BC AD ⊥， 6021=∠=∠BAC BAD ， 90=∠+∠=∠DAE BAD BAE ； 作AE DG ⊥垂足为G ，∴2330cos =⋅= AD AG ， ∵DE AD =，∴32==AG AE ；∴在ABE Rt ∆中2122=+=AE AB BE .………………（2分）综上所述，当1=DF 时，32=BE 或21.5.在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB BC ⊥， 3AD =，5CD =，3cos 5C =(如图9)．M 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），以点M 为圆心，CM 为半径作圆，M 与射线CD 、射线MA 分别相交于点E 、F ．（1）设185CE =，求证：四边形AMCD 是平行四边形；（2）联结EM ，设FMB EMC ∠=∠，求CE 的长； （3）以点D 为圆心，DA 为半径作圆，D 与M 的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时M的半径长．解：（1）过点M 作MH ⊥································ （1分）CCDAB由垂径定理可得1925CH CE ==． ························································ （1分）在Rt △CMH 中，由cosC 3CM =． ··············· （1分）∵3AD =，∴AD CM =．∵ AD ∥BC ，∴四边形AMCD 是平行四边形． ····································· （1分） （2）设M 的半径长为r ．在Rt △CMH 中，35CH r =． 可得65CE r =． ········································ （1分） 过点E 作EG MC ⊥，垂足为点G ． 在Rt △CEG 中，1825CG r =，2425EG r =． ············································· （1分） 可得725MG r =． ··············································································· （1分） 在梯形ABCD 中，可得4AB =，6BC =． ·············································· （1分） ∵FMB EMC ∠=∠，∴cot cot FMB EMC ∠=∠．得 762524425rr r -=，解得 296r =． ··························································· （1分） 即62955CE r ==． ·············································································· （1分） （3）由于点B 、C 在D 外，所以公共弦不会经过这两个点．①当公共弦经过点A 时，由于点A 在D 上，因此点A 必为公共弦的一个端点，即点A 也在M 上．可得MA MC r ==．在Rt △ABM 中，由222AM AB BM =+，得()22166r r =+-， 解得 133r =．（2分） ②当公共弦经过点D 时，由于点D 是D 的圆心，因此公共弦就是D 的的直径．可得3DP DA ==， MD DP ⊥．过点D 作DQ MC ⊥，垂足为点Q ．由2222MP DP MQ DQ -=+，得()229163r r -=+-，解得 17r =． ·················································································· （2分）所以M 的半径长为．M C DAB QP6.已知：在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝m °（0＜m ≤180），点C 是AB 上的一个动点，直线AC 与直线OB 相交于点D ．（1）如图7，当0＜m ＜90，△BCD 是等腰三角形时，求∠D 的大小（用含m 的代数式表示）；（2）如图8，当m ＝90，点C 是AB 的中点时，联结AB 、BC ，求ABCABDS S △△的值；（3）将AC 沿AC 所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB 所在的直线相切于点E ，且OE ＝1时，求线段AD 的长．解：（1）联结OC ．∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ＜90°．∴∠CBD 为钝角．∵△BCD 为等腰三角形，∴∠D ＝∠BCD ． ····································· （1分） ∴∠OCB ＝∠OBC ＝∠D +∠BCD ＝2∠D ． ······································ （1分） ∴∠OCA ＝180°－∠OCD ＝180°－3∠D ．∵OC ＝OA ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝180°－3∠D ． ······························· （1分）在△OAD 中，∵∠OAC ＋∠D ＋∠AOB ＝180°，∴∠D ＝（21m ）°． ··· （1分）（2）联结OC ，过点C 作CF ⊥OD ，垂足为点F ．∵点C 是AB 的中点，∴AC ＝BC ，∴∠BOC ＝∠AOC ． ····················· （1分） ∵∠AOB ＝90°，∴∠BOC ＝45°． ··················································· （1分） 在Rt △COF 中，OC ＝2，∴CF ··········································· （1分） ∵CF ⊥OD ，AO ⊥OD ，∴AO ∥CF ．∴22==AO CF AD CD ． ················ （1分） ∴222=-AD AC ．…（1分）∴2+2==ACAD S S ABC ABD △△． ················· （1分） （3）设折叠后的圆弧所在圆的圆心为O'，联结O'E ，O'O ，O'O 交直线AD 于点H ． ∵新圆弧由AC 折叠而得，且与直线OB 相切于点E ，∴O'E ＝2，O'E ⊥OD ．当点E 在线段OB 上时，在Rt △O'OE 中，OE ＝1，O'E ＝2，则O'O ＝5． ∵点O'与点O 关于直线AC 对称，∴直线AC 垂直平分线段O'O ．CADO CADB O∴OH ＝25．∴在Rt △AOH 中，AH ＝211． ································· （1分） 在Rt △DOH 中，tan ∠O'OE ＝2＝OHDH，∴ DH ＝5．∴AD ＝DH ＋AH．························································ （1分）当点E 在线段BO 的延长线上时，同理可得，AH ＝211，DH ＝5．∴AD ＝DH －AH ．························································ （2分）7.如图，已知BAC ∠，且53cos =∠BAC ，10=AB ，点P 是线段AB 上的动点，点Q 是射线AC 上的动点，且x BP AQ ==，以线段PQ 为边在AB 的上方作正方形PQED ，以线段BP 为边在AB 上方作正三角形PBM ．（1）如图1，当点E 在射线AC 上时，求x 的值；（2）如果⊙P 经过D 、M 两点，求正三角形PBM 的边长；（3）如果点E 在MPB ∠的边上，求AQ 的长．解：（1）∵四边形PQED 是正方形．∴︒=∠=∠90PQE DEQ ；又点E 在射线AC 上，∴︒=∠90AQP ； 在AQP Rt ∆中，5310cos =-==x x AP AQ A ；解得415=x ． （2）∵⊙P 经过D 、M 两点，∴PM PD =；又四边形PQED 是正方形，PBM ∆是正三角形， ∴PD PQ =，PM PB =；又x BP AQ ==，∴ x AQ PQ ==；过点Q 作AP QH ⊥，垂足为点H ，∴x AH PH 53==，即x AP 56=； 又x PB AB AP -=-=10；（图1）DBA CQPEM ABC PQ E D M 图2）BAC（备用图）∴x x -=1056；解得1150=x ；即1150=PB ． ∴正三角形PBM 的边长是1150．（3）∵点E 在MPB ∠的边上，∴分两种情况：︒1当点E 在边PM 上时，可得︒=∠75APQ ；过点Q 作AB QH ⊥，垂足为H ，作PQ 的垂直平分线交QH 于点G ，联结PG ．可得x PG QG 51620-==，3)5810(x GH -=； 又x QH 54=，∴3)5810(5162054x x x -+-=；解得26325100+=x ；即26325100+=AQ ；︒2当点E 在边PB 上时，过点Q 作AB QH ⊥，垂足为H ．可得︒=∠45QPH ；∴x QH PH 54==；而x AH 53=， ∴AH PH >；即点P 在BA 的延长线上，不合题意； ∴这样的AQ 不存在；综合︒1、︒2，点E 在MPB ∠的边上，AQ 的长是26325100+．8.如图，已知在△ABC 中，BC >AB ，BD 平分∠ABC ，交边AC 于点D ，E 是BC 边上一点，且BE=BA ，过点A 作AG ∥DE ，分别交BD 、BC 于点F 、G ，联结FE ． （1）求证：四边形AFED 是菱形； （2）求证：2AB BG BC =⋅； （3）若AB=AC ，BG=CE ，联结AE ，求ADEABCS S ∆∆的值．（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠EBF ∵BA=BE ，BF=BF ，∴△ABF ≌△EBF …………（1分） ∴AF=EF ……………………………………………（1分） 同理AD=ED 且∠ADB=∠EDB ，∵AG ∥DE ， ∴∠AFD=∠EDF ，∴∠AFD=∠ADFFBG DCA∴AF=AD ……………………………………………（1分）∴AF=FE=ED=DA …………………………………（1分）∴四边形AFED 是菱形（2）证明：∵△ABF ≌△EBF ，∴∠BAG=∠BEF ……………………………（1分） ∵四边形AFED 是菱形，∴AD ∥FE ……………………………………………（1分） ∴∠BEF=∠C ，∴∠BAG=∠C ，∵∠ABG=∠CBA∴△ABG ∽△CBA …………………………………………………………………（1分） ∴AB BG BC AB=……………………………………………………………………（1分） ∴2AB BG BC =⋅……………………………………………………………（1分）（3）∵△ABG ∽△CBA ，AB=AC ，∴AG=BG ，∴∠GAB=∠GBA∴∠AGC=2∠GAB ，∵BG=CE ，∴BE=CG ，∴CG=CA ，∴∠CAG=∠CGA∵∠CAG =2∠DAE ，∴∠DAE=∠ABC ，∴∠DEA=∠ACB∴△DAE ∽△ABC ………………………………………………………………（1分） ∴2=ADE ABC S AE S BC ∆∆⎛⎫ ⎪⎝⎭………………………………………………………………（1分） ∵2AB BG BC =⋅，AB=BE ，BG=EC ，∴2BE EC BC =⋅………………（1分） ∴E 线段BC的黄金分割点，∴BE BC =………………………………（1分）∴32CE BC -=，∵∠EAC=∠C ，∴CE=AE ，∴32AE BC -=∴7=2ADE ABC S S ∆∆-……………………………………………………………（1分） 9.四边形ABCD 内接于半径为2的⊙O ，BC=BO 与对角线AC 交于点E ．（1）如果AB 、CD 是⊙O 的内接正n 边形的边，AD 是⊙O 的内接正（n +2）边形的边，① 求AB 的长；② 试证明△ABE ∽△ACB ，并求AEAC 的值；（2）当△AEO 为等腰三角形且点E 在BO 的延长线上时，求∠ABC 的大小．解：（1）①过点O 作OH ⊥BC ，垂足为点H ．∵OB =OC ，OH ⊥BC ，∴BH=12BOC =2∠BOH ．在Rt △BOH 中，BO=2，sin BH BOH BO ∠=． ∴∠BOH =60°，∠OBH =30°．∴∠BOC =120°，∠OCB =30°． … （1分） ∵AB 、CD 是⊙O 内接正n 边形的边，AD 是⊙O 内接正（n+2）边形的边， ∴∠AOB =∠DOC=360n ，∠AOD=3602n +．……………………………… （1分） ∴3603603601203602n n n +++=+．…………………………………………（1分） 解得n =4,n =32-(不符合题意，舍去）． 经检验n =4是原方程的解且符合题意．∴∠AOB =360n=90°．………………………………………………………（1分）在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，AO =BO =2，∴AB =1分）②∵△AOB 是等腰直角三角形，∴∠ABE =45°．∵OA =OC ，∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=360°-90°-120°=150°，∴∠ACO =15°． ∴∠ACB =∠ACO+∠OCB=15°+30°=45°．∴∠ABE =∠ACB ． …………………………………………………………（1分） ∵∠BAE =∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ． ………………………………………………………（1分） 过点B 作BG ⊥AC ，垂足为点G ．在Rt △BGC 中，∠BGC =90°，∠ACB =45°，BC =BG =CG在Rt △ABG 中，∠BGA =90°，BG AB =AG∴AC=AG +CG 1分）∵△ABE ∽△ACB ，∴2AB AE AC =．即2(26)AE =+．解得AE =1分）∴4AE AC=-1分）（2）设∠AEB =x °，则∠ECB =（x -30）°，∠ECO =∠EAO =（x -60）°．（1分） ①如果AO =AE ，那么∠AOE =∠AEB =x °．根据题意可得 60180x x x ++-=．解得 x =80．∴∠ABC =40°+30°=70°．………………………………………………（1分） ②如果AO =EO ，那么∠OAE =∠OEA ．根据题意可得 60x x =-．此方程无解．∴此种情况不存在．………（1分） ③如果AE =OE ，那么∠EAO =∠EOA =（x-60）°．根据题意可得 6060180x x x +-+-=．解得x =100．∴∠ABC =20°+30°=50°．………………………………………………（1分） 综上所述，∠ABC 的度数为70°或50°．。

近6年全国各地中考数学真题压轴题训练——几何图形的证明（原卷版)1．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG 与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．2．（13分）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．（1）求证：△ADP≌△ECP；（2）若BP=n•PK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．3．如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．4．如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形；（直接写出答案，不需要说明理由）5．在ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ．（1）如图1，若30D ︒∠=，AB =，求ABE ∆的面积；（2）如图2，过点A 作AF DC ⊥，交DC 的延长线于点F ，分别交BE ，BC 于点G ，H ，且 AB AF =．求证：ED AG FC -=．6．如图，点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AD=CF ，AB=DE ，BC=EF.(1)求证：ΔABC ≌△DEF ；(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F 的度数.7．如图，点D 在△ABC 的AB 边上，且∠ACD=∠A．（1）作△BDC 的平分线DE ，交BC 于点E （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE 与直线AC 的位置关系（不要求证明）.8．如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD ，等边△ABE ．已知∠BAC=30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ．（1）试说明AC=EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．9．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC 全等．10．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．11．如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长．12．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．13．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．求证：△BDE是等腰三角形．14．在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到△AED ，点B 、C 的对应点分别是E 、D .(1)如图1，当点E 恰好在AC 上时，求∠CDE 的度数；(2)如图2，若α=60°时，点F 是边AC 中点，求证：四边形BFDE 是平行四边形.15．综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AB 延长线上一点，且BE=AB ，连接DE ，交BC 于点M ，以DE 为一边在DE 的左下方作正方形DEFG ，连接AM ．试判断线段AM 与DE 的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM 垂直平分DE ，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE=AB ，∴AE=2AB ．∵AD=2AB ，∴AD=AE ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ． ∴EM EB DM AB=．（依据1） ∵BE=AB ，∴1EM DM =．∴EM=DM ． 即AM 是△ADE 的DE 边上的中线，又∵AD=AE ，∴AM ⊥DE ．（依据2）∴AM 垂直平分DE ．反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A 是否在线段GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE ，以CE 为一边在CE 的左下方作正方形CEFG ，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．16．如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．（1）求证：△ABC≌△AED；（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．17．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．18．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．19．如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD．20．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO ＝OC ，BO ＝OD ，且∠AOB ＝2∠OAD ．(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若∠AOB ∶∠ODC ＝4∶3，求∠ADO 的度数.21．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，且AE=CF ，（1）求证：≌. （2）若DEB=90，求证四边形DEBF 是矩形.22．如图，ABC ∆中，90C =∠，4AC =，8BC =．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC 于点D ，求BD 的长．23．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （1，1），C （3，1）．（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2；（3）在（2）的条件下，求线段BC 扫过的面积（结果保留π）．24．如图，AC 和BD 相交于点0，OA=OC, OB=OD ．求证：DC//AB25．如图所示，AC=AE ，∠1=∠2，AB=AD ．求证：BC=DE ．26．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E.在△ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC ．（1）求证：BE=CF ；（2）在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME.求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN.27．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G(1)求证：EF BC =；(2)若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数.28．已知：如图，AB∥CD，E 是AB 的中点，CE=DE ．求证：（1）∠AEC=∠BED；（2）AC=BD ．29．如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N ．（1）求证：△ABM ∽△EFA ；（2）若AB=12，BM=5，求DE 的长．30．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）若42C ︒∠=，求BAD ∠的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE FE =．31．已知，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 为BC 的中点．（1）如图①，若点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且DE ⊥DF ，求证：BE=AF ；（2）若点E 、F 分别为AB 、CA 延长线上的点，且DE ⊥DF ，那么BE=AF 吗？请利用图②说明理由．32．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB ，求证：ADE CFE ∆≅33．如图，已知点A 、F 、E 、C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE=∠CDF ，AF=CE ．（1）从图中任找两组全等三角形；（2）从（1）中任选一组进行证明．34．在△ABC 中，AB=AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．作△ADE ，使AD=AE ，∠DAE =∠BAC ，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图2，当点在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．35．已知：如图，△ABC 是任意一个三角形，求证：∠A +∠B +∠C =180°．36．如图，点E 、F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，∠B ＝∠C ．求证：∠A ＝∠D ．37．在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒,点P 是射线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边APE ，点E 的位置随点P 的位置变化而变化.（1）如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，BP 与CE 的数量关系是 ，CE 与AD 的位置关系是 ；（2）当点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).(3) 如图4，当点P 在线段BD 的延长线上时，连接BE ，若AB =,BE =,求四边形ADPE 的面积.38．（问题提出）如图①，已知△ABC 是等边三角形，点E 在线段AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转60°至△ACF 连接EF试证明：AB=DB+AF（类比探究）（1）如图②，如果点E 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，线段AB ，DB ，AF 之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E 在线段BA 的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB ，DB ，AF 之间的数量关系，不必说明理由．39．已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA=EC ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果BE=BC ，且∠CBE ：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD 是正方形．40．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D 。

中考考点必杀500题专练14（几何压轴大题）（30道）1．（2022·浙江杭州·一模）如图，已知扇形AOB 的半径8OA =，90AOB ∠=︒，点C ，D 分别在半径OA ，OB 上（点C 不与点A 重合），连结CD ．(1)当4sin 5ODC ∠=，BD CD =时，求OC 的长． (2)点P 是弧AB 上一点，PC PD =．①当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求证：PC PD ⊥．②当4OC =，90PDO ∠=︒时，求PCD OCD S S △△的值． 【答案】(1)3；(2)①证明见解析；②2；【解析】(1)解： Rt △ODC中，4sin 5ODC ∠=OC =4a ，CD =5a ，则OD3a =，sin ∠OCD =OD CD =35， 设OD =x ，则BD =CD =（8-x ），则385x x =-，解得：x =3， ∴OC 的长为3；(2)解：①如图，连接OP ，AP ，∵P 是弧AB 的中点，∴∠POB =12∠AOB =45°，PB =PA ，△OPB 中，OP =OB ，则∠OPB =∠OBP =12（180°-∠POB ）=67.5°，△OPA 中，OP =OA ，则∠OAP =∠OPA =12（180°-∠POA ）=67.5°，∴∠APB =∠OPA +∠OPB =135°，∵PB =PB =BA ，∴∠PAC =∠PCA =67.5°，△PAC 中，∠APC =180°-∠PAC -∠PCA =45°，∴∠CPB =∠APB -∠APC =90°，∴PC ⊥PD ；②如图，连接OP ，过C 作CE ⊥PD 于E ，∵∠COD =∠ODP =∠DEC =90°，∴四边形CODE 是矩形，∴DE =OC =4，CE =OD ，设PC =PD =x ，则PE =（x -4），Rt △PEC 中，222CE CP PE =-，Rt △POD 中，222OD OP PD =-，∴22CP PE -=22OP PD -，()222464x x x --=-，解得：4x =±，∵x ＞0，∴4x =-， ∵△PCD 面积=12PD CE ⋅，△OCD 面积=12OD OC ⋅，CE =OD ， ∴PCD OCD S S △△=PD OC=2； 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识；此题综合性强，正确作出辅助线是解题关键． 2．（2022·河北保定外国语学校一模）如图，点P 在射线AB 的上方，060PAM ︒<∠<︒、4PA =，点M 是射线AB 上的动点（点M 不与点A 重合），现将点P 绕点A 按顺时针方向旋转60︒到点Q ，将点M 绕点P 按逆时针方向旋转60︒到点N ，连接,,AQ PM PN ，作直线QN ．(1)求证：AM QN =；(2)直线QN 与以点P 为圆心，PN 的长为半径的圆是否存在相切的情况？若存在，请求出此时APN ∠和PAM ∠的关系，若不存在，请说明理由；(3)若50PAB ∠=︒，当以点P 为圆心，PN 长为半径的圆经过点Q 时，直接写出劣弧NQ 与两条半径所围成的扇形的面积．【答案】(1)见解析(2)存在，150APN PAM ∠+∠=︒ (3)329π (1)证明：如图1，连接PQ ，由点P 绕点A 按顺时针方向旋转60︒到点Q ，可得，,60AP AQ PAQ =∠=︒，∴APQ 为等边三角形，∴,60PA PQ APQ =∠=︒，由点M 绕点P 按逆时针方向旋转60︒到点N ，可得，,60PM PN MPN =∠=︒，∴APM QPN ∠=∠，则()APM QPN SAS ≌，∴AM QN =．(2)存在，如图2，由（1）中的证明可知，APM QPN ≌，∴AMP QNP ∠=∠，∵直线QN 与以点P 为圆心，PN 的长为半径的圆相切，∴90AMP QNP ∠=∠=︒，∵90,60APM PAM MPN ∠=︒-∠∠=︒，∴60APN APM MPN APM ∠=∠+∠=∠+︒．∴()6090150APN PAM APM APM ∠+∠=∠+︒+︒-∠=︒ (3)329π， 如图3，由（1）知，APQ 是等边三角形，∴,60PA PQ APQ =∠=︒，∵以点P 为圆心，PN 的长为半径的圆经过点Q ，∴PN PQ PA ==，∵PM PN =，∴PA PM =，∵50PAB ∠=︒，∴80APM ∠=︒，∴20MPQ APM APQ ∠=∠-∠=︒，∵60MPN ∠=︒，∴80QPN ∠=︒，∴劣弧NQ 与两条半径所围成的扇形的面积是扇形QPN 的面积，而此扇形的圆心角80QPN ∠=︒，半径为4PN PM PQ ===，∴劣弧NQ 与两条半径所围成的扇形的面积2804323609ππ⨯==．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切线的性质，扇形的面积公式，解(1) 的关键是得出PA = PQ ，解(2)的关键是得出PN ⊥QN ，解(3)的关键是得出PN = PQ = PA ，解本题的难点是画出符合题意的图形． 3．（2022·河北保定外国语学校一模）在ABC 中，10AC BC ==，4sin 5A =，点D 是线段AB 上一点，且不与点A 、点B 重合．(1)当点D 为AB 中点时，AD 的长为__________；(2)如图1，过点D 作DM AC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ．DM DN +的值是否为定值．如果是请求出定值；如果不是，请说明理由；(3)将B Ð沿着过点D 的直线折叠，使点B 落作AC 边的点P 处（不与点A 、C 重合），折痕交BC 边于点E ；①如图2，当点D 是AB 的中点时，求AP 的长度；②如图3，设AD a =，若存在两次不同的折痕，使点B 落在AC 边上两个不同的位置，直接写出a 的取值范围．【答案】(1)6(2)是定值，485 (3)①365；②2063a << 【解析】(1)解：∵点D 为AB 中点又10AC BC ==∴CD ⊥AB ∵4sin 5A = ∴CD =41085⨯=∴6AD ===故答案为：6；(2)解：DM DN +的值是定值，连接CD ，过点C 作CH AB ⊥于H ．∵CA CB CH AB =⊥，，∴6AH HB ==，∵ABC ACD BCD S S S =+△△△，DM AC DN BC ⊥⊥，，由（1）得62128AB CH =⨯====，， ∴111222AB CH AC DM BC DN ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∴1111281010222DM DN ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯， ∴485DM DN +=， 即DM DN +的值是定值，定值为485． (3)解：①如图2中，连接PB CD ，，∵CA CB AD DB ==，，∴CD AB ⊥，由（2）可知，8CD =，∵DP DA DB ==，∴90APB ∠=︒，即BP AC ⊥，∵1122AB CD AC BP ⋅⋅=⋅⋅， ∴485BP =，∴365AP ===．②2063a <<， 如图3中，过点C 作CH AB ⊥于H ，过点D 作DP AC ⊥于P ．∵CA CB CH AB =⊥，，∴6AH HB ==，∴8CH ===，当BD PD =时，设BD PD x ==，则12AD x =-， ∵sin CH PD A AC AD ==， ∴81012x x=-， ∴163x =， ∴203AD AB BD =-=， 观察图形可知当2063a <<时，存在两次不同的折叠，使点B 落在AC 边上两个不同的位置．【点睛】本题考查翻折问题，涉及的知识点有等腰三角形的性质，翻折的性质，勾股定理求直角三角形以及等面积法．4．（2022·四川成都·二模）已知在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一动点，作点B 关于AE 的对称点F ，BF 交AE 于点G ，连结DF ．(1)如图1，求DFB ∠的度数；(2)如图2，过点D 作DM BF ⊥交BF 的延长线于点M ，连结,CM CF ．若DF CM =，试探究四边形DFCM 的形状，并说明理由；(3)如图3，连结BD ，在AG 上截取=GT GB ，点P ，Q 分别是,AD BD 上的动点．若正方形ABCD 的面积为32，直接写出PTQ 周长的最小值．【答案】(1)135∠=︒DFB(2)四边形DFCM 是平行四边形，理由见解析(3)【解析】(1)如图1，连结AF ，∵点B ，F 关于AE 对称，∴AF AB =．∵正方形ABCD ，∴,90AD AB DAB =∠=︒．∴AD AF AB ==．∴12,34∠=∠∠=∠．∵在四边形ABFD 中，有1234360∠+∠+∠+∠+∠=︒DAB ， ∴()1233601352︒∠︒+∠=-∠=DAB ．即135∠=︒DFB ．(2)四边形DFCM 是平行四边形，理由如下：如图2，连接DB ，∵135∠=︒DFB ，∴45∠=︒DFM ．∵DM BF ⊥，∴90DMF ∠=︒．在Rt DMF △中，45∠=∠=︒MDF DFM ，∴=DM DF ．又∵正方形,=DC ABCD BD ， ∴=DM DC DF BD． 又∵45∠=∠=︒-∠MDC FDB CDF ，∴ ∽DMC DFB ．∴135∠=∠︒=DMC DFB ．∵90DMF ∠=︒，∴45∠=︒=∠CMF DFM ，∴∥DF MC ．又∵DF MC =，∴四边形DFCM 是平行四边形．(3)PTQ周长的最小值为解：如图3，作点T 关于AD 的对称点T ''，作点T 关于BD 的对称点''T ，连结,,'''DT DT DT ，连结'''T T 交AD 于点P ，交BD 于点Q ，连结TP 、TQ ，则PQT △周长的最小值为'''T T 的长，由对称知,,,'''==∠=∠∠=∠'''DT DT DT DT ADT ADT TDB T DB ，∴,290''''''=∠=∠=︒DT DT T DT ADB ．∴''==''T T ．由⊥BG GA 且=GT GB ，有==∠=∠BT BD CBG DBT GB BC， ∴ ∽DTB CGB ．∴==DT TB CG GB ．∴DT ．∵BF AE ⊥于点G ，∴点G 在以AB 为直径的圆弧上运动．取AB 中点N ，则==NG 当C 、N 、G 三点共线时CG 最小()≥-CG CN GN ．CG 最小值为∴DT ．∴PQF △周长的最小值为．【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定、轴对称的性质和相似三角形的判定和性质，利用轴对称的性质得到相等的边和角，找出相似三角形是解题的关键． 5．（2022·安徽芜湖·二模）在△ABC 中．∠C =90°，点D ，E 分别在BC 边和AC 边上，AD ，BE 相交于点F ．(1)图1，若∠AEF=∠BDF，求证：CD AC CE BC=；(2)如图2．若D为BC的中点，AE=EF．求证：AC=BF；(3)如图3．若AE=CD，BD=AC．求∠AFE的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)∠AFE的度数为45°．【解析】(1)证明：连接DE，∵∠AEF=∠BDF，即∠AEB=∠BDA，∴A、E、D、B四点共圆，∴∠ABD+∠AED=180°，∵∠CED+∠AED=180°，∴∠CED=∠ABD，又∠C公共，∴△CED∽△CBA，∴CD AC CE BC=；(2)证明：延长AD到G，使DG=AD，∵D为BC的中点，∴BD=CD，又∠BDG=∠CDA，∴△BDG≌△CDA，∴∠G=∠CAD，BG= CA，∵AE=EF，∴∠AFE=∠CAD，∵∠AFE=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BF=BG=AC，即AC=BF；(3)解：过点A作AM∥BC，在AM上截取点M，使AM=AC，再过点M作MN⊥BC于点N，连接出BM，ME，如图：∵AM∥BC，∠C=90°，MN⊥BC，∴四边形AMNC是矩形，又AM=AC，∴四边形AMNC是正方形，∴AM=MN=AC=CN，∵BD=AC，则BD= CN，∴BN= CD，∵AE=CD，∴AE= BN=CD，∵AM=MN=AC，∠MAE=∠MNB=∠ACD=90°，∴△MAE≌△MNB≌△ACD，∴EM=MB=AD，∠AME=∠BMN，∵∠NME+∠AME =90°，∴∠NME+∠BMN=90°，即∠BME=90°，∴△MEB是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∵AM∥BD，AM=CN=BD，∴四边形AMBD是平行四边形，∴∠AFE=∠MBE=45°，∴∠AFE的度数为45°．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．（2022·安徽合肥·二模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是AB边上的中线，点E为CD上一点，连接BE，作FB⊥BE，且FB=EB，连接FE和FC，FE交BC于点G．(1)如图1，若点E与点D重合，求证：点G是BC的中点；(2)如图2，求证：CF//AB；(3)如图3，若BE平分∠DBC，AB=2，求CG：BC的值．【答案】(1)见解析(2)见解析1-【解析】(1)证明： 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴ACB△是等腰直角三角形CD是AB边上的中线，∴=⊥，,CD BD CD BDFB⊥BE，FBD∴∠=︒，90∴CD FB∥，FB=EB，∴ 是等腰直角三角形，DBFDB BF∴=,∴=，BF CD∴四边形CDBF是平行四边形，90∠=︒，FBD∴四边形CDBF是矩形，CD BD=，∴四边形CDBF是正方形，FE交BC于点G．∴G是正方形对角线交点，∴点G是BC的中点；(2)证明：如图，过点F 作FH BD ⊥，交DB 延长线于点H ，,CD BD FH DB ⊥⊥，90EDB BHF ∴∠=∠=︒，CD EH ∥，90DEB DBE ∴∠+∠=，EB BF ⊥，90,90EBF EBD FBH ∴∠=︒∠+∠=︒，DEB HBF ∴∠=∠，EB EF = ，EDB BHF ∴ ≌，DB HF ∴=，DC DB =Q ，DC FH ∴=，又CD EH ∥，∴四边形CDHF 是平行四边形，FH DB ⊥，∴四边形CDHF 是矩形，FC DH ∴∥；(3)解：如图，CBD 是等腰直角三角形，45CBD ∴∠=︒，CB =，BE 平分∠DBC ，11222.52DBC ∴∠=∠=∠=︒， CF DB ∥ ，45FCG CBD ∴∠=∠=︒，BEF 是等腰直角三角形，45,BEF EF ∴∠=︒=，FEB FCG ∴∠=∠，又CGF EGB ∠=∠，23∴∠=∠，1322.5∴∠=∠=︒，534522.567.5BCF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，4180367.5ECF ∴∠=︒-∠-∠=︒，45∴∠=∠，CE CG ∴=，13,90EDB ECF ∠=∠∠=∠=︒ ，ECF EDB ∽，EC EF ED EB ∴==EC ED∴=设,EC =则ED a =，(1DC a ∴=，(2CB a ∴==+，1CG BC ∴==. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．7．（2022·江苏南通·一模）如图，矩形ABCD 中，12,9AB BC ==．P 是边BC 上一动点（不与点B 重合），延长CB 到Q ，使1,,2=BQ BP AP DQ 交于点E ，连接BE 并延长交AD 于点F ．(1)若6BP =，求证：ADE PQE ∆∆≌；(2)探究：当点P 运动时，点F 的位置是否发生变化？请说明理由；(3)求C ，E 两点距离的最小值．【答案】(1)见解析(2)点F 的位置不发生变化，理由见解析(3)185(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，12,9AB BC ==，∴9AD BC ==，AD BC ∥，∴DAE QPE ∠=∠，ADE PQE ∠=∠，∵6BP =，∴132BQ BP ==， ∴369PQ BQ BP =+=+=，∴AD PQ =，∴()ADE PQE ASA ∆∆≌．(2)解；点F 的位置不发生变化．理由为：∵12BQ BP =， ∴13BQ PQ =， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴DAE QPE ∠=∠，ADE PQE ∠=∠，又∵AED PEQ ∠=∠，DEF QEB ∠=∠，∴ADE PQE ∆∆∽，DEF QEB ∆∆∽， ∴DE AD EQ PQ =，DE DF EQ BQ =， ∴DF AD BQ PQ =，即13BQ DF PQ AD ==， ∵9AD BC ==， ∴133DF AD ==， ∴当点P 运动时，点F 的位置是不发生变化．(3)由（2）得，当点P 运动时，点F 的位置是不发生变化，即3DF =，∴点E 在线段BF 上随着点P 的运动，而位置发生改变，连接CE ，当CE BF ⊥时，可知C ，E 两点之间的距离最小，如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴90DAB ∠=︒，∵9AD =，3DF =，12AB =，∴Rt ABF ∆中，BF === ∵AD BC ∥，∴CBE BFA ∠=∠，∵90DAB ∠=︒，CE BF ⊥，∴90DAB CEB ∠=∠=︒，∴BCE FBA ∆∆∽，∴BC CE BF AB =12CE =，解得CE =∴C ，E 两点距离的最小值是185 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用等，第（3）中能分析出点E 在什么位置时，C ，E 两点距离最小是解题的关键． 8．（2022·四川眉山·二模）如图ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒．(1)如图1连结BE 、CD ，BE 的延长线交AC 于点F ，交CD 于点P ，求证：①ABE ACD △≌△；②BP CD ⊥(2)如图2把ADE 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在AB 上时，连结BE 、CD ，CD 的延长线交BE 于点P ，若3BC AD ==，①求证：BDP CDA △∽△；②求PDE △的面积．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①见解析；②2710【解析】(1)①证明∵ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形．∴90,,BAC DAE AD AE AB AC =∠=︒==BAC EAF EAD EAF ∠-∠=∠-∠即BAE CAD ∠=∠在ABE △和ACD △中AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ACD SAS ∴V V ≌②∵()ABE ACD SAS △≌△∴ABE ACD ∠=∠∵90ABE AFB ACD CFP ∠+∠=∠+∠=︒∴90CPF ∠=︒∴BP CD ⊥(2)①证明：在ABE △和ACD △中，AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABE ACD SAS △≌△∵,ABE ACD BE CD ∠=∠=∵PDB ADC ∠=∠，∴90BPD CAB ∠==︒∴BDP CDA △∽△②∵90,3EPD BC AD ∠=︒==∴6DE AB ==∴633BD =-=，CD ==∵BDP CDA △∽△，∴BD PD PB CD AD AC ==36PD PB ==，∴PD =PB∴PE BE BP =-==∴127210PDE S == 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．9．（2022·吉林长春·一模）阅读理解：辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁，在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．例如：在图(1)中，AB AC AD ==，求证：2BAC BDC ∠=∠．(请写出证明过程)证明：方法运用：如图(1)已知AB AC AD ==，2BAC BDC ∠=∠，44BAC ∠=︒，则∠CAD 的度数为______．方法拓展：如图(2)在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将EBF △沿EF 所在直线折叠得到EB F '△，连结B D '，则B D '的最小值是______．【答案】88°；2．【解析】(1) 证明：以A 点为圆心，AB 为半径画圆，∴AB =AC =AD ，∴B 、C 、D 点都在圆A 上，∴∠DBC =12∠DAC ，∠BDC =12∠BAC ．(2)解：∵AB AC AD ==，∴B ，C ，D 三点在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，∴∠CAD =2∠CBD ，2BAC BDC ∠=∠，∵∠CBD =2∠BDC ，∠BAC =44°，∴∠CAD =2∠BAC =88°∠CAD 的度数为88°．(3)如图，当∠BFE =∠B FE '，点B '在DE 上时，此时B D '的值最小，根据折叠的性质△EBF ≌△FB F ',∴EB '⊥B F '，∴EB '=EB ，∵E 是AB 边的中点，AB =4，∴AE =EB '=2，∵AD =6，∴DE = ∴2DB '=-．B D '的最小值是2．【点睛】本题主要考查圆周角定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B '在何位置时，B D '的值最小，注意得到B ,C ,D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上是解决问题的关键．10．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校一模）阅读材料：如图①，ABC 与DEF 都是等腰直角三角形，90ACB EDF ∠=∠=︒，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O ，连接BF 、CD 、CO ，显然，点C 、F 、O 在同一条直线上，可以证明BOF COD V V ≌，所以BF CD =．解决问题：（1）将图①中的Rt DEF △绕点O 旋转到图②的位置，猜想此时线段BF 与CD 的数量关系，并证明你的结论．（2）如图③，若ABC 与DEF 都是等边三角形，AB 、EF 的中点均为O ，上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF 与CD 之间的数量关系．（3）如图④，若ABC 与DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为O ，且顶角ACB EDF α∠=∠=，请直接写出BF 与CD 之间的数量关系（用含有α的式子表示出来）．【答案】（1）BF CD =；（2）不成立，BF CD =（3）tan 2BF CD α= 【解析】解：（1）猜想：BF CD =．理由如下：如答图②所示，连接OC 、OD ，∵ABC 为等腰直角三角形，点O 为斜边AB 的中点，∴OB OC =，90BOC ∠=°，∵DEF 为等腰直角三角形，点O 为斜边EF 的中点，∴OF OD =，90DOF ∠=︒，∵90BOF BOC COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，90COD DOF COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，∴BOF COD ∠=∠，在BOF 与COD △中，OB OC BOF COD OF OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BOF COD V V ≌（SAS ）∴BF CD =；（2）不成立．如答图③所示，连接OC 、OD ，∵ABC 为等边三角形，点O 为边AB 的中点，∴tan 30OB OC =︒=90BOC ∠=°， ∵DEF 为等边三角形，点O 为边EF 的中点，∴tan 30OF OD =︒=90DOF ∠=︒，∴OB OF OC OD =， ∵90BOF BOC COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，90COD DOF COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，∴BOF COD ∠=∠，在BOF 与COD △中，∵OB OF OC OD =，BOF COD ∠=∠， ∴BOF COD V V ∽∴BF CD =；∴BF CD =；（3）tan 2BF CD α=．理由如下： 如答图④所示，连接OC 、OD ，∵ABC 为等腰三角形，点O 为底边AB 的中点， ∴tan 2OB OC α=，90BOC ∠=°， ∵DEF 为等腰三角形，点O 为底边EF 的中点， ∴tan 2OF OD α=，90DOF ∠=︒， ∴tan 2OB OF OC OD α==， ∵90BOF BOC COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，90COD DOF COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，∴BOF COD ∠=∠，在BOF 与COD △中， ∵tan 2OB OF OC OD α==，BOF COD ∠=∠， ∴BOF COD V V ∽ ∴tan 2BF CD α=．【点睛】本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一的性质、锐角三角函数．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即BOF COD V V ≌或BOF COD V V ∽；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，体现了由特殊到一般的解题思想方法．11．（2022·浙江嘉兴·一模）转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．请解答下面的问题：如图1，在AOB 中，OA OB =，90AOB ∠=︒．【基础巩固】（1）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转60°得到DCB （如图2），连结OC ．求证：OC OB =．【思考探究】（2）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转60°并缩小得到DCB （如图3），使12BC BO =，连结OC ，AD ． ①求证：OBC ABD △△②用等式表示AD 与AB 之间的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转某个角度（小于180°）并缩小得到DCB（如图4），使12BC BO =，连结OC ，AC ，AD ．当OC OB =时，求AC AD 的值．【答案】（1）证明见解析 ；（2）① 证明见解析；②AD AB =，理由见解析；（3）． 【解析】（1）证明：由旋转的性质得60OBC ∠=︒，OB CB =，∴OBC 为等边三角形，∴OC OB =．（2）①∵AOB 和DCB 都为等腰直角三角形∴OB BC AB BD ==60OBC ABD ∠=∠=︒ ∴OBC ABD △△∽．②AD AB =，理由如下：作CF OB ⊥于点F ，∵60OBC ABD ∠=∠=︒，∴12BF BC =，CF =， ∵12BC OB =，∴CF OF =， ∴30COF ∠=︒，∴90OCB ∠=︒∵OBC ABD △△∽，∴90OCB ADB ∠==︒， ∴sin 60AD AB ︒=，∴AD AB =．（3）解：延长AC 交BD 于点E ．∵OBC ABD ∠=∠，∴OB BC AB BD == ∴OBC ABD △△∽，∵OB OC =，∴AB AD =．∵BC DC =，AC AC =，∴ABC ADC △△≌，∴135ACD ACB ∠=∠=︒∴45BCE DCE ∠=∠=︒，∴90CEB ∠=︒设2BC a =，4OB a =，则AB =，CE BE ==，AE ==∴AC AD = 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用以及勾股定理的知识，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．12．（2022·山东济南·一模）图1是边长分别为a 和()b a b >的两个等边三角形纸片ABC 和CDE △叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)操作：固定ABC ，将CDE △绕点C 按顺时针方向旋转20°，连结AD ，BE ，如图2，则ECA ∠=______度，并直接写出线段BE 与AD 的数量关系____．(2)操作：若将图1中的CDE △，绕点C 按顺时针方向旋转120°，使点B 、C 、D 在同一条直线上，连结AD 、BE ，如图3．①线段BE 与AD 之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE 与AD 之间的数量关系；②求APB ∠的度数．(3)若将图1中的CDE △，绕点C 按逆时针方向旋转一个角()0360αα<<︒，当α等于多少度时，BCD △的面积最大？请直接写出答案．【答案】(1)40，BE ＝AD(2)①存在，理由见详解；②60°(3)当α＝150°或330°时，BCD △的面积最大【解析】(1)∵△ABC 和△CDE 是等边三角形，∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠BCA =60°，∵旋转20°∴∠BCE ＝∠ACD ＝20°，∴△CBE ≌△CAD （SAS ），∴BE ＝AD （全等三角形的对应边相等），∵ECA ∠=∠BCA －∠BCE∴ECA ∠=60°-20°=40°故答案为：40，BE ＝AD(2)如图1，①（1）中结论仍然成立，理由如下：∵△ABC 和△CDE 是等边三角形，BC ＝AC ，CE ＝CD ，∵∠BCE ＝∠ACD ＝120°，∴△CBE ≌△CAD （SAS ），∴BE ＝AD ；②∵△CBE≌△CAD，∴∠CBE＝∠CAD，又∠AOP＝∠BOC，∴∠APB＝∠ACB＝60°；(3)如图2，当D运动到D1或D2，即BC⊥D1D2S△BCD最大12BC CD =⋅12=ab，此时旋转角是60°+90°＝150°，或360°﹣30°＝330°，∴当α＝150°或330°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及旋转等知识，解决问题的关键是找全等的对应边和对应角，题目属于中考常考题型．13．（2022·重庆·一模）在 ABC中，点D在边AB上，AE CD⊥于F交BC于E，AE CD=，2ACD BAE∠=∠．(1)如图1，若 ACE为等边三角形，2CD=，求AB的长；(2)如图2，作EG AB ⊥，求证：AD =；(3)如图3，作EG AB ⊥，当点D 与点G 重合时，连接BF ，请直接写出BF CE 的值．【答案】(2)见解析【解析】(1)∵△ACE 为等边三角形，∴∠CAE ＝∠ACB ＝∠CEA ＝60°，∵AE CD ⊥∴∠CAE +ACD ∠＝90°，∵2ACD BAE ∠=∠，∴∠CAE +2∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝15°，∴∠CBA ＝∠CEA ﹣∠BAE ＝60°﹣15°＝45°，如图，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，∴△ABN 为等腰直角三角形，在等边△ACE 中，AN ＝sin 60°•AE 2∴AB ．(2)证明：如图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，设∠EAB ＝α，∵∠CAE +2∠BAE ＝90°，∴∠CAE ＝90°﹣2α，∵AE ⊥CD ，∴∠ACD ＝2α，∴∠CAB ＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，∴∠ACM ＝α，∴CM 平分∠ACD ，∴AM ＝DM ＝12AD ，AC ＝CD ＝AE ，在△ACM 和△EAG 中， EGA AMC EAG ACM AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACM ≌△EAG （AAS ），∴EG ＝AM ，∴AD ＝2AM ＝2EG ，∵AC ＝AE ，∠CAE ＝90°﹣2α，∴∠CEA ＝45°+α，又∵∠CEA ＝∠B +∠EAG ，∴∠B ＝45°，∵EG ⊥AB ，∴△EBG 为等腰直角三角形，∴BEAMAD ． ∴AD．(3)如图，BF 与EC之间的数量关系为CE BF =过点F作FH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，设BD＝a，由（2）可知DE＝a，AD＝2a，AM＝DM＝a，∵DE∥CM，BD＝DM，∴BE＝CE，∵DE＝a，AD＝2a，∠ADE＝90°，∴AE，∵CD⊥AE，DE⊥AB，∴∠EFD＝∠ADE＝90°∴∠EDF＝∠DAE，∴△DEF∽△AED，∴DE AE EF DE=，∴a EF=∴EF a，∴AF，∴14 EFAF=，∴45 AFAE=．∵FH∥DE，∴△AFH∽△AED，∴45 FH AH AFDE AD AE===，∴FH＝48,55a AH=a，∴DH ＝2a ﹣85a ＝25a ， ∴BH ＝a +2755a =a ， ∴BF．∴BF CE == 【点睛】本题是三角形综合题，涉及特殊三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的运用，解题的关键是针对每一小问的条件构造合适的辅助线利用图形的性质和判定去证明．14．（2022·江苏·连云港市新海初级中学一模）将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋α 到正方形AEFG ．(1)如图1，当0°＜α＜90°时，EF 与CD 相交与点H ．求证：DH ＝EH ；(2)如图2，当0°＜α＜90°，点F 、D 、B 正好共线时，①求∠AFB 度数；②若正方形ABCD 的边长为1，求CH 的长：(3)连接DE ， EC ，FC ．如图3，正方形AEFG 在旋转过程中，是否存在实数m 使AE 2＝DE 2＋mFC 2－EC 2总成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)②30°；1(3)存在，m =12【解析】(1)如图，连接AH ，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋α 得到正方形AEFG ，,,AE AD D E AH AH ∴=∠=∠=，()Rt Rt HL AHE AHD ∴ ≌，HD HE ∴=，(2)①如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接BE ，EC ，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋α 到正方形AEFG ，AF AC ∴=，12AO AC =，AO OD ⊥， 12AF AF ∴=， 点F 、D 、B 共线，AO OF ∴⊥，1sin sin 2AO AFB AFO AF ∴∠=∠==，30AFB ∴∠=︒，②如图，过点E 作EK CD ⊥，交DC 于点K ，交AB 于点L ，则四边形ALKD 是矩形，45ADB AFD FAD ∠=︒=∠+∠ ，30AFB ∠=︒，15FAD ∴∠=︒，45FAE ∠=︒ ，30DAE ∴∠=︒，60EAB ∴∠=︒，AE AB =Q ，AEB ∴ 是等边三角形，LE AE ∴==12AL LB DK KC ====，1EK LK LE ∴=-= 由（1）可得EH HD =，设DH a =，则1,2EH a HK a ==-， Rt EKH 中，222EH HK EK =+，即222112a a ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎝⎭⎝，解得2a =， ∴2DH =，(121CH DC DH =-=-=∴，(3) 存在，12m =，理由如下，如图，连接,,,,AC AF BE FC DE ，过点E 作MN BC ∥，交AB 于点N ，交CD 于M ， 正方形AEFG 是由正方形ABCD 旋转而成，,AF AC AB AE ∴==，BAE CAF ∠=∠BAE CAF ∴ ∽BE AB CF AC ∴==2212BE CF ∴= 90ENB EMC ∴∠=∠=︒∴四边形BCMN 是矩形，四边形ANMD 是矩形BN MC ∴=，AN DM =∴,NBE EMC 是直角三角形∴222BE NE NB =+222BE NE MC ∴=+222222222,,AE AN NE DE EM DM EC EM MC =+=+=+ ，DM AN =222AE EC DE ∴+-()222222AN NE EM MC EM DM =+++-+222222AN NE EM MC EM DM =+++--22NE MC =+22NE NB =+=2BE2212BE FC = 222AE EC DE ∴+-212FC =即222212AE DE FC EC =+- AE 2＝DE 2＋mFC 2－EC 2∴12m = 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，根据特殊角的三角函数值求角度，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．15．（2022·安徽六安·一模）如图1，在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，CO ⊥BE 交AB 于F ．EF 交CB 延长线于G ．(1)当E 为AD 中点时，求证：BC ＝2BG ；(2)如图2，当BG ＝BC 时，求证：2AE AF AB =⋅；(3)在（2）的条件下，连接OD ，求tan ∠EOD 的值．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠ABC =90°，AB =BC ，∵CF ⊥BE ，∴∠FCB +∠EBC ＝∠EBC +∠ABE =90°，∴∠FCB ＝∠ABE ，又AB ＝BC ，∠A ＝∠FBC ，∴AEB BFC △△≌（ASA ），∴BF ＝AE ，∵E 为AD 中点， ∴12AE AD =， ∴F 为AB 中点，∴AE ＝AF ，∴∠AFE ＝45°，∴∠GFB =∠AFE ＝45°，∴∠G ＝90°-45°＝45°， ∴12BF BG BC ==， 即BC ＝2BG ；(2)证明：∵BG ＝BC ，BF ⊥CG ，∴FG ＝FC ，∴∠G ＝∠FCG ，∵AE CG ∥，∴∠AEF ＝∠G ，∴∠AEF ＝∠FCG ，又∠A ＝∠ABC =90°，∴AEF BCF △△∽， ∴AF AE BF BC=， ∴AE •BF ＝AF •BC ，由（1）可知，AEB BFC △△≌，∴AE ＝BF ，AB ＝BC ，∴2AE AF AB =⋅；(3)解：如图，延长OE 、CD 交于P 点，连接CE ，∵∠PDE ＝∠POC =90°，又∠P ＝∠P ，∴PDE POC △△∽， ∴PD PE PO PC=， 又∠P ＝∠P ，∴POD PCE △△∽，∴∠EOD ＝∠ECD ，设AE ＝x ，AB ＝1，则AF ＝1-x ，由（2）可得2AE AF AB =⋅，∴()211x x =-⨯，解得1x =2x =，∴1DE AF ===，∴tan DE ECD DC ∠==即tan EOD ∠=． 【点睛】本题考查正方形的几何综合，涉及的知识点有全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正切值的求解等知识点，综合性较强，属于压轴类题目． 16．（2022·辽宁沈阳·一模）如图1，在ABC 中，AB AC =，AO BC ⊥于点O ，5AB =，6BC =，在ABC 的外部以AB 为边作等边ABD △，点E 是线段AO 所在直线上一动点（点E 不与点A 重合），将线段BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到线段BF ，连接EF ．(1)求AO 的长；(2)如图2，当点E 在线段AO 上，且点F ，E ，C 三点在同一条直线上时，求BF 的长；(3)连接DF ，若BDF 的面积为3，请直接写出BF 的长．【答案】(1)4(2)或(1)AB AC = ，AO BC ⊥，6BC =13,902OB BC AOB ∴==∠=︒ 5AB =4OA ∴==(2)将线段BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到线段BF ,60BE BF EF EBF ∴==∠=︒BEF ∴∆是等边三角形BE EF ∴=，60F BEF ∠=∠=︒,OA BC OB OC ⊥=OA ∴是线段BC 的垂直平分线BE CE ∴=BE CE EF ∴==30ECB EBC ∴∠=∠=︒90CBF ∴∠=︒6BC =tan 6tan 306BF BC BCF ∴=⋅∠=⨯︒==(3)①当点E 在线段AO 上时，将线段BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到线段BF ,60BE BF EF EBF ∴==∠=︒BEF ∴∆是等边三角形,60BE BF EBF ∴=∠=︒ABD △为等边三角形,60BA BD ABD ∴=∠=︒ABE DBF ∴∠=∠()ABE DBF SAS ∴∆≅∆ABE BDF S S ∆∆∴=BDF 的面积为3132ABE S OB AE ∆∴==⋅⋅ 3OB =2AE ∴=422OE OA AE ∴=-=-=在Rt OBE ∆中，由勾股定理得BE ==BF ∴=②当点E 在线段OA 延长线上时，同①可得2AE =426OE OA AE ∴=+=+=在Rt OBE ∆中，由勾股定理得BE ===BF ∴=③当点E 在线段AO 延长线上时，同①可得2AE =，不合题意，舍去综上，BF ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、解直角三角形等，熟练掌握并能够灵活运用知识点是解题的关键．17．（2022·安徽芜湖·二模）如图．P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，E 是BC 边上一点，EAP ABD AE ∠=∠，交BD 于点F ．(1)求证： ∽ABP FBE ；(2)过点P 作PH AE ⊥于点H ，若34=AP AD ，求AH BD的值．【答案】(1)证明见解析(2)38(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形∴ABD CBD ∠=∠∵EAP ABD ∠=∠∴EAP CBD ∠=∠∵AFP BFE ∠=∠，180EBF BFE BEF ∠+∠+∠=︒，180FAP AFP APF ∠+∠+∠=︒ ∴BEF APF ∠=∠∵PBA EBF ∠=∠，BPA BEF ∠=∠∴ ∽ABP FBE ．(2)解：如图，作AM BD ⊥∵四边形ABCD 是菱形∴AB AD =，12BM DM BD ==，90BMA ∠=︒ ∵PH AE ⊥∴90AHP BMA ∠=︒=∠∵HAP MBA ∠=∠∴APH BAM ∽ ∴AP AH AB BM = ∴34AP AH AP AB BM AD === ∴1332248AH AH BD BM ==⨯= ∴AH BD 的值为38． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，对顶角相等，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于熟练掌握菱形的性质，相似三角形的判定与性质．18．（2022·广东广州·一模）如图，矩形ABCD中AB=10，AD=6，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为G，延长EG交直线DC于点F，再把△BEH沿EH翻折，使点B的对应点T落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．(1)求证：△GDE∽△TEH；(2)若点G落在矩形ABCD的对称轴上，求AE的长；(3)是否存在点T落在DC边上？若存在，求出此时AE的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)AE的长为；(3)不存在这样的点T落在DC边上．理由见解析【解析】(1)证明：由折叠的性质可知：∠DAE=∠DGE=90°，∠EBH=∠ETH=90°，∠AED=∠GED，∠BEH=∠TEH，∴∠DEG+∠HET=90°．又∵∠HET+∠EHT=90°，∴∠DEG=∠EHT，∴△GDE∽△TEH；(2)解：当点G落在如图的矩形ABCD的对称轴MN上时，∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴点G是EF的中点，即GE=GF，在△GDE和△GDF中90DG DG DGE DGF GE GF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△GDE ≌△GDF （SAS ），∴DE =DF ，∠FDG =∠EDG ，又∵△ADE ≌△GDE ，∠ADF =90°．∴∠ADE =∠EDG =∠FDG =30°，∴AE =AD当点G 落在如图的矩形ABCD 的对称轴PQ 上时，P 、Q 分别是AB 、CD 的中点，∴DQ =AP =5，DG =AD =PQ =6，∴QG=，∴PG，设AE =a ，则GE =a ，PE =5-a ，∴GE 2=PE 2+PG 2，即a 2=(5-a )2)2，解得：aAE； 综上，AE 的长为(3)解：假设存在点T 落在DC 边上，此时点T 与点F 重合，过点T 作TI ⊥AB 于点I ，如图：设AE =x ，则GE =x ，BE =TE =10-x ，TI =AD =DG =6，∴GT =10-2x ，∴DT 2= DG 2+TG 2，即DT∵∠IET =∠GTD ，∴sin ∠IET =TI DG ET DT=，即610x =-，10x =-，整理得3x 2-20x +36=0，∵()224204336b ac =-=--⨯⨯= -32<0，∴不存在这样的点T 落在DC 边上．【点睛】本题考查翻折变换、相似三角形证明、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形，矩形的性质等知识，解（2）题的关键是要注意分类讨论．19．（2022·上海市进才中学一模）已知：AB =5，tan ∠ABM =34，点 C 、D 、E 为动点，其中点 C 、D 在射线 BM 上（点 C 在点 D 的左侧），点 E 和点 D 分别在射线 BA 的两侧，且 AC =AD ，AB =AE ，∠CAD =∠BAE ．(1)当点 C 与点 B 重合时（如图 1），联结 ED ，求 ED 的长；(2)当 EA BM 时（如图 2），求四边形 AEBD 的面积；(3)联结 CE ，当△ACE 是等腰三角形时，求点 B 、C 间的距离．【答案】(1)485(2)15(3)3 【解析】 (1) （1)如图1中，图一延长BA 交DE 于F ，作AH ⊥BD 于H ．在Rt ΔABH 中，∵∠AHB =90°，∴sin ∠ABH =35AHAB =∴AH =3， BH=4，∵AB = AD ， AH ⊥BD ，在ΔABE 和ΔABD 中，AE ADBAE BADAB AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ΔABD ≌ΔABE ，∴BE =BD ，∵∠ABE =∠ABD ，∴BF ⊥DE ， EF =DF ，∵∠ABH = ∠DBF ，∠AHB =<BFD ，∴ΔABH ≌ΔDBF ， ∴AH ABDF BD =,∴DF =245，∴DE =2DF =485．(2)如图2中，图二作AH ⊥BD 于H ，∵AC =AD ， AB =AE ，∠CAD = ∠BAE ，∴∠AEB =∠ABE =∠ACD =∠ADC ，∵AE //BD ，∴∠AEB +∠EBD =180°，∴∠EBD +∠ADC =180°，∴EB ∥AD ，∵AE ∥BD ，∴四边形ADBE 是平行四边形，∴BD =AE =AB =5，AH =3，∴ADBE S 平行四边形=BD ·AH =15．(3)由题意AC ≠AE ，EC ≠AC ，只有EA =EC ，图三∵∠ACD =∠AEB (已证），∴A 、C 、B 、E 四点共圆，∵AE =EC =AB ，∴ EC AB =，∴ EB AC =，∴∠AEC =∠ABC ，。

中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1.观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长3．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）解决问题是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．11．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．12．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，（1）问题发现的值为；（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．14．如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG（1）如图1，判断线段DM和GM的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC＝10，CE＝2，正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出△DMG的面积．15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．16.如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN 的周长的最大值．17.已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°.（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.18.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.19.已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．（1）【观察猜想】如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是；②∠BDE的度数是；（2）【探究证明】如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC 边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．20.如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．21.如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．22.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．23．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE ⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．27．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．28.【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．29．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．30．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）如图①中，∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为：BF⊥BE，BC．（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝2，∴BF+BE＝BH＝2；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF＝DE，DB＝DH，∴△BDF≌△HDE，∴BF＝EH，∴BF+BE＝EH+BE＝BH，∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，∴BM＝MH＝BD•sin．∴BF+BE＝BH＝2n•sin．2．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，∴52+62＝92﹣9B′C′，∴B′C′＝．3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣4．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，∵四边形DFGE是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF故答案为：BE＝AF；（2）成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；综上所述，（1）中的结论BE＝AF成立；（3）在△ADE中，∵AE＜AD+DE，∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，∴AE＝AD+DE＝3，即AE的最大值为3．5．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（2）（1）的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（3）如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE＝∠OHF＝90°，∴∠BAD+∠GOH＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠GOH＝∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB＝S△AOD，∵S△AOB＝AB•OG，S△AOD＝AD•OH，∴AB•OG＝AD•OH，∴＝，∴．6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．7．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．8．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．9．【解答】解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．故答案为：45°（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．10．【解答】（1）解：AC⊥BD，理由如下：连接AC、BD，如图2所示：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2；理由如下：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，设BD、AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：如图3，连接CG、BE，∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．11．【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．12．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，∴＝cos30°＝，∴＝2•＝，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴＝＝．故答案为．（2）结论：AG＝BE．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∴＝，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴＝＝，∴AG＝BE．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG＝CF，∴GC＝2，∵HG＝，∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．13．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝1，∴＝1（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝，∴＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．14．【解答】解：（1）如图1，延长GM交AD于H，∵AD∥GF，∴∠GFM＝∠HAM，在△FMG和△AMH中，，∴△FMG≌△AMH（ASA），∴HM＝GM，AH＝FG，∵AD＝CD，AH＝FG＝CG，∴DH＝DG，∵∠HDG＝90°，HM＝GM，∴DM＝MG，DM⊥MG，故答案为DM＝MG，DM⊥MG．（2）结论成立：DM＝MG，DM⊥MG，理由：如图2中，延长GM使得MH＝GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．∵AM＝MF，∠AMH＝∠FMG，MH＝MG，∴△AMH≌△FMG（SAS），∴AH＝GF＝CG，∠AHM＝∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD＝∠N，∵∠ODN＝∠OGC＝90°，∠DON＝∠GOC，∴∠N＝∠OCG，∴∠HAD＝∠DCG，∵AH＝CG，AD＝CD，∴△HAD≌△GCD（SAS），∴DH＝DG，∠HDA＝∠CDG，∴∠HDG＝∠ADC＝90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH＝MG，∴DM⊥GH，DM＝MH＝MG，（3）①如图3﹣1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC＝＝10，在Rt△ACE中，AE＝＝14，∴AF＝AE＝EF＝14﹣2＝12，∴FM＝AM＝AF＝6，在Rt△MGF中，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝20，②如图3﹣2中，连接AC．同法可得AE＝14，AF＝16，FM＝8，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．15．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形P A'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形P A'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CG min＝，PQ min＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣．16．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．（3）∵PM＝EC，∴当EC最大时，等边△PMN的周长最大，∵EC≤AE+AC，∴EC≤8，∴PM≤4，∴PM的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．18．【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，。

中考数学几何证明压轴题(i (2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论.3、如图13- 1, 一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 勺两条边分别重合在一起?现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边EF 的中点0(点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转.(1) 如图13- 2,当EF 与AB 相交于点M GF 与 BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM FN 的长度，猜想BM FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；(2) 若三角尺GEF 旋转到如图13-3所示的位置时x 线段.FE 的延长线与AB 的延长线相交于点 M 线段BD 的延长线与F 时，(1)中的猜想还成立吗？若成立，F O(1)若 s i n /A G ) B( E ) 5 勺延长线相交于点N,此弭■若不成辺CD 于E ，连结ADg BD 3 OC OD 且0吐5 E(2)若图/3ADO / EDO= 4： 1,求13形OAC(阴影部分)的面积(结果保留5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆 O 上一点，CHLAB 于点H,直线AC 与过B 点的切线相交于点 D, E 为CH 中点，连接 A ￥延长交BD 于点F ,直线FCF中考专题训练1、如图，在梯形ABCD 中，AB// CD , / BCD=90 ,且AB=1,BC=2 tan / ADC=2.(1) 求证：DC=BC;⑵E 是梯形内一点, F 是梯形外一点，且/ EDC 2 FBC DE=BF 试判断△ ECF的形状，并证明你的结论;(3)在(2)的条件下，当BE: CE=1: 2，ZBEC=135 时，求 sin / BFE 的值.2、已知：如图，在□ ABCD 中，E 、F 分别为边AB CD 的中点，BD 是对角线，AG// DB 交CB 的(1) 求证：△ ADE^A CBF ； D ( F ) 4、如图, =rD -，求CD 的长 C D M B勺直径AB 垂请证立，请说明理由. AG交直线AB于点G.(1)求证：点F是BD中点；(2)求证：CG是O 0的切线；(3)若FB=FE=2求。

几何压轴题类型一线段数量关系探究命题角度❶利用“倍长中线”添加辅助线(2020·原创)如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE ＝90°.连接BE，DC，点P是CD的中点，连接AP.(1)求证：BE＝2AP；(2)如图2，若∠CAE＝30°，AB＝6，AD＝4，求AP的长．图1 图2【分析】(1)要证BE＝2AP，由点P是CD的中点，可知，延长AP到G，使得AP ＝PG，则△APD≌△GPC，从而只需证明AG＝BE即可；(2)由(1)可知，只需过点E作AC，AB的垂线，构造直角三角形求出BE的长即可．【自主解答】1．(2019·安顺)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC 得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系为 ________．(2)问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．图1 图2命题角度❷利用“截长补短”添加辅助线(2019·大渡口区三诊)如图，平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是边AD上一点，且BE＝BC，BE交AC于点F，过点C作BE的垂线，垂足为O，与AD交于点G.(1)若AB＝2，求AE的长；(2)求证：BF＝CO＋3EO.【分析】(1)要求AE的长，由AB＝AC，∠BAC＝90°可求BC的长，从而得到BE的长，进而过点B作DA的垂线，构造等腰直角三角形，利用勾股定理列方程可解；(2)要证BF＝CO＋3OE，可考虑在CO的延长线上取点P，使得OP＝3OE，再证明BF＝CP，由OE⊥OG，故连接PF，PE，则需证△PFE是等边三角形即可．【自主解答】1．(2019·贵港改编)如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转105°得到△A′B′C，过点A′作A′D⊥AC的延长线于D，A′D交CB′于E，EF平分∠A′EC交BC于F.(1)求证：A′E＋CE＝EF；(2)若AB＝2，求EF的长．命题角度❸“构造等腰直角三角形”(2019·重庆A卷)如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP.(1)若DP＝2AP＝4，CP＝17，CD＝5，求△ACD的面积；(2)若AE＝BN，AN＝CE.求证：AD＝2CM＋2CE.【分析】(1)要求△ACD的面积，由已知得到AD的长，故只需过点C作CG⊥AD，求出CG的长即可；(2)要证AD＝2CM＋2CE，可先证AD＝2AF，从而只需证明AF＝22CM＋CE，由AF＝CF可知只需证明EF＝22CM，进而连接NE，构造“等腰Rt△EFN”，只需证明EN＝CM即可．【自主解答】1．(2019·大渡口区二诊)如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D 是BC上一点，连接AD.过点D作DE⊥AB，垂足为E.点F是AD的中点，连接EF.(1)如图1，若∠DAC＝α，请用含α的式子表示∠EFD的大小；(2)如图2，过点B作BG⊥AB，BG＝BE，连接CG.求证：AD＝2CG.图1 图22．(2019·枣庄)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；(2)如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；(3)如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB ＋AN＝2AM.命题角度❹构造“K”字模型(2019·泰州)如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP 为边作正方形APCD，且点C，D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F.(1)求证：△AEP≌△CEP；(2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由；(3)求△AEF的周长．【分析】(1)要证△AEP≌△CEP，可由正方形的对称性得到PC＝PA，∠CPE＝∠APE，即可得证；(2)判断CF与AB的位置关系，从图中可观察CF⊥AB，故只需证明∠AFC＝90°，从而设AP交CF于M，证明∠FAM＝∠PCM即可；(3)要求△AEF的周长，可先过点C作CN⊥BP，构造“K字”模型得到△APB≌△PCN，利用全等特性，将AE＋AF＋EF转化为CE＋EF＋AF即可得解．【自主解答】1．(2019·南岸区二模)如图，在△ABC中，AB＝BC，两条高AD，BE相交于P，过点E作EG⊥AB，垂足为G，交AD于点F，过点F作FH∥AB交BC于点H，交BE于点Q，连接DE.(1)若AD＝12，CD＝5，求DE的长；(2)若∠ABC＝45°，求证：BE＝(1＋2)BQ.命题角度❺构造“平行四边形”模型(2019·南开中学模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，CE，满足BC＝BE＝CE.(1)如图1，若∠ABC＝90°，BC＝4，求AC的长；(2)如图2，过点A作AF⊥BE于点F，交CE于点G，连接BG，在BG上取点M，使得∠AMG＝60°，延长AM交BC于点N，求证：CN＝2AE.图1 图2【分析】(1)由∠ABC＝90°得到四边形ABCD是矩形，再由BC＝BE＝CE得到△BCE是等边三角形，利用锐角三角函数即可得解；(2)要证CN＝2AE，可先过点E 作AN的平行线交CN于H，从而只需证明CH＝NH即可．【自主解答】1．(2018·重庆B卷)如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G，点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH.(1)若BC＝122，AB＝13，求AF的长；(2)求证：EB＝EH.2．(2017·重庆B卷)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE.(1)如图1，若AB＝42，BE＝5，求AE的长；(2)如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD，CF，当AF＝DF时，求证：DC＝BC.图1 图23．(2019·西南师大附中适应性考试)如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，过点D作DE⊥AD交直线AC于点E，点O是对角线AC的中点，点F是线段AD上一点，连接FO并延长交BC于点G.(1)如图1，若AC ＝4，cos ∠CAD ＝45，求△ADE 的面积；(2)如图2，点H 为DC 延长线上一点，连接HF ，若∠H ＝30°，DE ＝BG ，求证：DH ＝CE ＋32FH.图1 图2类型二角度数量关系探究(2017·重庆A卷)在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图1，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.图1 图2【分析】(1)由AM⊥BM，∠ABM＝45°，可得△ABM是等腰直角三角形，△AMC是直角三角形，再由AB＝32根据勾股定理求得AM与BM的长为3，因为BC＝5，可得MC＝5－3＝2，在Rt△AMC中，利用勾股定理即可求得AC的长；(2)延长EF至点H，使FH＝EF，连接BH，可得△BFH≌△CFE，从而得到BH＝CE，∠H＝∠CEF，故要证∠CEF＝∠BDF，只需证明∠H＝∠BDF即可．【自主解答】1．(2019·淮安改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是边BC 上的中线，点P在射线AD上，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转80°，得到线段PE.(1)当点E落在AD的延长线上时，连接BE，求∠BEP的度数；(2)当点E在射线AD的右侧，连接CE并延长交射线AD于F，求证：∠CFD＝∠BAD.2．(2019·重庆八中开学考试)如图，平行四边形ABCD中，BF⊥DC于点F，且BF＝AB，点E是BC边上一点，连接AE交BF于G.(1)若AE平分∠DAB，∠C＝60°，BE＝3，求BG的长；(2)若AD＝BG＋FC，求证：AE平分∠DAB.类型三 线段比值关系探究(2016·重庆A 卷)在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，点D 是BC 上一点，连接AD ，过点A 作AG ⊥AD ，在AG 上取点F ，连接DF ，延长DA 至E ，使得AE ＝AF ，连接EG ，DG ，且GE ＝DF. (1)若AB ＝22，求BC 的长；(2)如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD ＝12CG ；(3)如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出ABCG的值．图1 图2【分析】(1)要求BC 的长，由已知∠B ＝45°，∠C ＝30°，从而过点A 作AH ⊥BC ，分别在Rt △ABH 和Rt △ACH 中求出BH 和CH 即可；(2)要证BD ＝12CG ，过点A 作AM ⊥AB 交BC 于M ，连接GM ，从而只需证明GM ＝BD ，且GM ⊥BC 即可；(3)要求ABCG ，可用相同的未知数分别表示AB ，CG ，再作比即可．【自主解答】1．(2016·重庆B 卷)已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，CD ＝12BC ，DE ⊥CE ，DE ＝CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点．(1)如图1，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB ＝4时，求CM 的长；(2)如图2，若点D 在△ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证：MN ⊥AE ；(3)如图3，将图2中的△CDE 绕点C 逆时针旋转，使得∠BCD ＝30°，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，探索MNAC的值，并直接写出结果．参考答案【例1】(1)证明：延长AP到G，使得PG＝AP，连接CG，并延长交AE于H.解图1∵点P是CD的中点，∴PC＝PD，∵PG＝PA，∠CPG＝∠DPA，∴△PCG≌△PDA，∴CG＝AD＝AE，∠PGC＝∠PAD，∴CG∥AD.∵DA⊥AE，∴CH⊥AH，∴∠HAC＋∠HCA＝90°，∵∠HAC＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ACG，解图2∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAG，∴BE＝AG，∵AG＝2AP，∴BE＝2AP.(2)解：过点E分别作AC，AB的垂线，垂足记为G，H，∵∠CAE＝30°，∴∠AEG＝60°，∴EG＝2，AG＝23，∵∠BAC＝90°，∴四边形EGAH是矩形，∴AH＝EG＝2，EH＝AG＝23，∴BH＝AB－AH＝4，∴在Rt△BHE中，BE＝BH2＋EH2＝27，∴AP＝7. 跟踪训练1．解：(1)AD＝AB＋DC.理由：∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE.∵AB∥CD，∴∠F＝∠BAE.∴∠DAF＝∠F.∴AD＝DF.∵点E是BC的中点，∴CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF，∴△CEF≌△BEA(AAS)，∴AB＝CF.∴AD＝CD＋CF＝CD＋AB.(2)AB＝AF＋CF.理由：如解图，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G.∵∠AEB＝∠GEC，∴△AEB≌△GEC(AAS)，∴AB＝GC.∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG.∵∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG.∵CG＝CF＋FG，∴AB＝AF＋CF.【例2】解：(1)如解图1，过点B作BH⊥DA交DA延长线于H.解图1∵在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴BC＝2AB＝2，∠ABC＝∠ACB＝45°，∴BE＝BC＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠HAB＝∠ABC＝45°，∴AH＝BH＝22AB＝1，在Rt△BEH中，由勾股定理得BH2＋HE2＝BE2，即1＋(AE＋1)2＝22，解得AE＝3－1(负值舍去)．(2)证明：如解图2，分别延长BA ，CO 交于点P ，连接PE ，PF.例2题解图2∵CO⊥BE，BA⊥CA，∴∠BAF＝∠COF＝∠CAP＝90°， ∵∠AFB＝∠OFC， ∴∠ABF＝∠PCA， 在△ABF 和△ACP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FAB＝∠PAC AB ＝AC∠ABF＝∠ACP ，∴△ABF≌△ACP， ∴CP＝BF ，AF ＝AP ， ∴∠AFP＝∠APF＝45°.过点E 作EQ⊥BC 于Q ，过点A 作AM⊥BC 于M ，易得四边形AMQE 是矩形，AM ＝12BC ，则EQ ＝AM ＝12BC ＝12BE ，∴∠EBQ＝30°，∴∠PBF＝15°， ∴∠PFE＝∠PBF＋∠BPF＝60°，在△PAE 和△FAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AF ∠PAE＝∠FAE＝45°AE ＝AE ，∴△PAE≌△FAE，∴PE＝EF ，∴△PEF 是等边三角形，∴PO＝3OE ，∴BF＝CO＋PO＝CO＋3OE.跟踪训练1．(1)证明：如解图，在EF上截取EG＝EC，连接CG.∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∵△A′B′C是由△ABC绕点C顺时针旋转105°得到的，∴∠A′CE＝∠BCA＝45°，∠ACA′＝105°，∴∠A′CD＝180°－∠A′CA＝75°，∵A′D⊥AD，∴∠CA′E＝90°－∠A′CD＝15°，∴∠A′EC＝180°－∠CA′E－∠A′CE＝120°，∵EF平分∠A′EC，∴∠A′EF＝∠CEF＝60°，∵EG＝EC，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，CG＝CE，∴∠FGC＝120°＝∠A′EC，∵∠BCB′＝105°，∠GCE＝60°，∴∠FCG＝45°＝∠A′CE，∴△FCG≌△A′CE，∴FG＝A′E，∵FE＝FG＋GE，∴FE＝A′E＋CE.(2)解：根据题意可知AC＝AB＝A′C＝ 2.如解图，过点A′作A′N⊥CB′于N，则A′N＝CN＝1，∵∠A′EC＝120°，∴∠CED＝∠A′EN＝60°， ∴EN＝A′N tan∠A′EN ＝33，∴A′E＝2EN ＝233，CE ＝CN －EN ＝1－33，∴E F ＝A′E＋CE ＝233＋1－33＝1＋33.【例3】(1)解：如解图，作CG⊥AD 于G.设PG ＝x ，则DG ＝4－x ， 在Rt△PCG 中，由勾股定理得CG 2＝CP 2－PG 2＝17－x 2， 在Rt△DGC 中，由勾股定理得CG 2＝CD 2－GD 2＝9＋8x －x 2， ∴17－x 2＝9＋8x －x 2，解得x ＝1，即PG ＝1，∴CG＝4， ∵AD＝DP ＋AP ＝6，∴S △ACD ＝12AD·CG＝12.(2)证明：连接NE ，如解图所示，∵BH⊥AE，AF⊥BC，AE⊥EM，∴∠AEB＋∠NBF＝∠AEB＋∠EAF＝∠AEB＋∠MEC＝90°， ∴∠NBF＝∠EAF＝∠MEC， ∵∠BFN＝∠AFE，BN ＝AE ，∴△NBF≌△EAF，∴BF＝AF ，NF ＝EF ， ∴∠ABC＝45°，∠ENF＝45°，FC ＝AF ＝BF ， ∴∠ANE＝∠BCD＝135°，AD ＝BC ＝2AF ， ∵∠MEC＝∠EAF，AN ＝CE ， ∴△ANE≌△ECM，∴CM＝NE.∴NF＝22NE＝22MC，∴AF＝22MC＋CE，∴AD＝2MC＋2CE.跟踪训练1．(1)解：∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EAF＝45°－α，∵DE⊥AB，点F是AD的中点，∴EF＝AF，∴∠EFD＝2∠EAF＝90°－2α.(2)证明：连接CE，CF，如解图，∵BG⊥AB，∴∠EBG＝90°，∵∠EBC＝45°，∴∠CBG＝45°，∴∠EBC＝∠GBC，∵BE＝BG，BC＝BC，∴△CEB≌△CGB(SAS)，∴CE＝CG，∵DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴△AED和△ACD是直角三角形，∵点F 是AD 的中点，∴EF＝CF ＝12AD ，∴∠EFD＝2∠EAD，∠CFD＝2∠CAF， ∴∠EFC＝2∠EAC＝90°， ∴△EFC 是等腰直角三角形， ∴C E ＝2EF ＝2(12AD)，∴AD＝2CE ，∴AD＝2CG.2．(1)解：∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，AD⊥BC， ∴AD＝BD ＝DC ，∠ABC＝∠ACB＝45°， ∠BAD＝∠CAD＝45°， ∵AB＝2，∴AD＝BD ＝CD ＝2，∵∠AMN＝30°，∴∠BMD＝180°－90°－30°＝60°， ∴∠MBD＝30°，∴MB＝2DM.由勾股定理得BM 2－DM 2＝BD 2，∴(2DM)2－DM 2＝(2)2， 解得DM ＝63，∴AM＝AD －DM ＝2－63.(2)证明：∵AD⊥BC，∠EDF＝90°， ∴∠BDE＝∠ADF， ∵∠B＝∠DAF，BD ＝DA ， ∴△BDE≌△ADF，∴BE＝AF.(3)证明：过点M 作ME∥BC 交AB 的延长线于E ，∴∠AME＝∠ADB＝90°，∵∠BAM＝45°，∴∠E＝45°＝∠MAN，AM＝ME，∵∠BMN＝90°，∴∠EMB＋∠BMA＝∠BMA＋∠AMN，即∠BME＝∠AMN，∴△BME≌△NMA，∴BE＝AN，∴AB＋AN＝AE＝2AM. 【例4】(1)证明：∵四边形APCD是正方形，∴PD平分∠APC，PC＝PA，∵PE＝PE，∴△PCE≌△PAE.(2)解：CF⊥AB.理由如下：设AP交CF于M，如解图，∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP＝∠ECP，∵∠EAP＝∠BAP，∠PCM＋∠CMP＝90°，∠CMP＝∠AMF，∴∠MAF＋∠AMF＝90°，∴∠AFM＝90°，即CF⊥AB.(3)解：如解图，过点C作CN⊥PB于N，∵CF⊥AB，BG⊥AB，∴四边形CNBF是矩形，∴BF＝CN，CF＝BN.∵∠PCN＋∠CPN＝∠CPN＋∠APB＝90°，∴∠PCN＝∠APB， ∵∠CNP＝∠PBA，CP ＝AP ， ∴△ABP≌△PNC， ∴BP＝CN ＝BF ，AB ＝PN ， ∵△AEP≌△CEP，∴AE＝CE ，∴AE＋EF ＋AF ＝CE ＋EF ＋AF ＝BN ＋AF ＝PN ＋PB ＋AF ＝AB ＋AF ＋BF ＝2AB ＝16. 跟踪训练1．(1)解：在Rt△ADC 中，AD ＝12，CD ＝5，由勾股定理得AC ＝13，∵AB＝BC ，BE⊥AC，∴AE＝CE ， ∴DE＝AE ＝CE ＝132.(2)证明：∵∠ABC＝45°，AB ＝BC ， ∴∠BAC＝∠BCA＝67.5°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝∠C BE ＝22.5°， ∵EG⊥AG，∴∠AEG＝22.5°＝∠ABQ， ∵AD⊥BC，∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∴∠EAD＝∠DBE＝22.5°，DA ＝DB. 如解图，过点Q 作QM⊥AB 于M ，连接QD.∵FG⊥AB，FQ∥MG，∴四边形MGFQ 是矩形，∴GF＝MQ. ∵∠GAF＝45°，FG⊥AG，∴AG＝FG ＝MQ ， 在△AGE 和△QMB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEG＝∠QBM ∠AGE＝∠QMB AG ＝QM，∴△AGE≌△QMB，∴AE＝BQ ＝DE. 在△AED 和△BQD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BQ ∠EAD ＝∠QBD AD ＝BD ，∴△AED≌△BQD，∴DQ＝DE ，∠QDB＝∠EDA， ∴∠QDA＋∠ADE＝∠BDQ＋∠QDA＝90°， ∴QE＝2DE. ∵BQ＝AE ＝DE ，∴BE＝BQ ＋QE ＝2BQ ＋BQ ， ∴BE＝(1＋2)BQ.【例5】(1)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形，∵在△BCE 中，BC ＝BE ＝CE ，∴△BCE 是等边三角形， ∴BE＝4，∠EBC＝60°，∴∠ABE＝30°，∵∠BAE＝90°，∴AB＝BEcos∠ABE＝4cos30°＝23，在Rt△ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝（23）2＋42＝27. (2)证明：如解图，过点E 作EH∥AN 交BC 于H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC， ∴四边形ANHE 是平行四边形，∴AE＝NH ，∠NHE＝∠NAE. ∵△BEC 是等边三角形， ∴∠EBC＝∠BEC＝∠ECB＝60°， ∴∠DEC＝∠ECB＝60°＝∠AMG， ∴∠AEG＋∠DEC＝∠AEG＋∠AMG＝180°， ∴∠EGM＋∠BGC＝∠EGM＋∠EAM＝180°， ∴∠BGC＝∠EAN＝∠EHN，∵∠EBG＋∠BEG＝∠BGC，∠HEC＋∠HCE＝∠BHE， ∴∠EBG ＝∠CEH， 在△EBG 和△CEH 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BEG＝∠EC H BE ＝EC∠EBG＝∠CEH， ∴△EBG≌△CEH，∴EG＝CH.∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝60°＝∠BEC， ∵AF⊥EF，∴∠AFE＝∠GFE，∵EF＝EF ， ∴△AEF≌△GEF，∴AE＝EG ＝HC ， ∵NC＝CH ＋NH ，∴NC＝2AE. 跟踪训练1．(1)解：∵BF⊥AC，∠ACB ＝45°，BC ＝122， ∴BF＝12，∵AB＝13，∴在Rt△AFB 中，AF ＝AB 2－BF 2＝5.(2)证明：如解图，连接GE，过点A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE.∵BE＝BA，BF⊥AC，∴AF＝FE，∴BG是AE的垂直平分线，∴AG＝EG，AP＝EP，∵∠GAE＝∠ACB＝45°，∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE＝90°，△APE 是等腰直角三角形，∠APE＝90°，∴∠APE＝∠PAG＝∠AGE＝90°，又AG＝EG，∴四边形APEG是正方形，∴PF＝EF，AP＝AG＝CH.又∵BF＝CF，∴BP＝CE，∵∠APG＝45°＝∠BCF，∴∠APB＝∠HCE＝135°，∴△APB≌△HCE，∴AB＝EH，又∵AB＝BE，∴BE＝EH.2．(1)解：∵AC＝BC，∠C＝90°，AB＝42，∴AC＝BC＝22·AB＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得CE＝BE2－BC2＝3，∴AE＝AC－CE＝4－3＝1.(2)证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AF⊥BF，∴点A，F，C，B共圆，∴∠CFB＝∠CAB＝45°，∴∠D FC＝180°－∠CFB＝135°，∠AFC＝∠AFB＋∠CFB＝135°，∴∠DFC＝∠AFC，∵DF＝AF ，CF ＝CF ， ∴△AFC≌△DFC，∴AC＝DC ， ∵AC＝BC ，∴CD＝CB.3．(1)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD∥AB，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD. 在Rt△ACD 中，AC ＝4，cos∠CAD＝45，∴AD＝ACcos∠CAD ＝5，由勾股定理得CD ＝3，∵DE⊥AD，∴tan∠DAC＝DC AC ＝DEAD ，即34＝DE 5，则DE ＝154， ∴S △ADE ＝12AD·DE＝12·5·154＝758.(2)证明：如解图，连接BD ，过点F 作FM⊥DH 于M.∵四边形ABCD 是平行四边形，点O 是AC 的中点， ∴点O 是BD 的中点，即点B ，O ，D 在一条直线上， ∵AD∥BC，∴∠FDO＝∠GBO，∠OFD＝∠OGB， ∴△OFD≌△OGB，∴DF＝BG ＝DE. ∵∠FDE＝90°，∴∠FDM＋∠EDC＝90°， ∵FM⊥DC，∴∠FDM＋∠DFM＝90°， ∴∠EDC＝∠DFM.∵AC⊥DC，∴∠DCE＝∠ACD＝90°，∴∠ECD＝∠DMF，∴△FDM≌△DEC，∴DM＝CE.在Rt△HFM中，∵∠H＝30°，FM⊥HM，∴HM＝32 FH，∵DH＝DM＋MH，∴DH＝CE＋32 FH.【例6】(1)解：∵AM⊥BM，点C是BM延长线上一点，∴∠AMB＝∠AMC＝90°，∴△AMB和△AMC是直角三角形，∵∠ABM＝45°，AB＝32，∴AM＝BM＝3，∵BC＝5，∴MC＝5－3＝2，在Rt△AMC中，AM＝3，CM＝2，∴AC＝AM2＋MC2＝32＋22＝13 .(2)证明：延长EF至点H，使FH＝FE，连接BH，如解图，∵点F是BC的中点，∴BF＝CF，在△BFH和△CFE中，⎩⎪⎨⎪⎧BF＝CF∠BFH＝∠CFEFH＝FE，∴△BFH≌△CFE，∴BH＝CE，∠H＝∠CEF，又∵∠BMD＝∠AMC＝90°，AM＝BM，MD＝MC，∴△BMD≌△AMC，∴BD＝AC，又∵AC＝EC，∴BD＝EC＝BH，∴∠H＝∠BDF，∴∠BDF＝∠CEF.跟踪训练1．(1)解：∵PE是由BP绕点P逆时针旋转80°得到的，∴B P＝PE，∠BPE＝80°，∴∠BEP＝∠EBP＝50°.(2)证明：如解图，连接PC.∵AD是边BC上的中线，AB＝AC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP＝50°，∵AP＝AP，∴△ABP≌△ACP，∴BP＝CP，∵BP＝PE，∴BP＝PE＝PC，∴点E，B，C在以P为圆心PB为半径的圆上，∴∠BCE＝12∠BPE＝40°，∵AB＝AC，AD平分∠B AC，∴AD⊥BC，∴∠CFD＝90°－∠DCF＝50°，∴∠BAD＝∠CFD.2．(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠C＝∠BAD＝60°，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE＝30°，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE＝3，∵BF⊥DC，∴∠DFB＝90°，∵CD∥AB，∴∠ABF＝90°，∴BG＝AB·tan∠BAE＝3×33＝3；(2)证明：如解图，作CH⊥AB于点H，延长AH到I，使HI＝BG，则四边形BFCH 是矩形，CF＝BH，CH＝BF＝AB.在△ABG和△CHI中，⎩⎪⎨⎪⎧AB＝CH∠ABG＝∠CHIBG＝HI，∴△ABG≌△CHI(SAS)．∴∠I＝∠AGB，∠4＝∠2，∵AD＝BG＋FC＝HI＋BH＝BI，AD＝BC，∴BC＝BI，∴∠BCI＝∠I，∵BF∥CH，∴∠FBC＝∠BCH，∵∠I＝∠AGB＝∠3＋∠FBC，∠BCI＝∠BCH＋∠4，∴∠3＝∠4.∵AD∥BC，∴∠1＝∠3，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴AE平分∠DAB.【例7】(1)解：过点A作AH⊥BC于点H，如解图，在Rt△ABH中，∠ABH＝45°，AB＝22，∴BH＝AH＝2，在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∴CH＝23，∴BC＝BH＋CH＝2＋2 3.(2)证明：过点A作AM⊥AB交BC于点M，连接GM，如解图，∵∠BAM＝90°，∠ABM＝45°，∴AB＝AM，∠AMB＝45°，∵AG⊥AD，∴∠DAG＝∠EAG＝90°，∵AE＝AF，GE＝DF，∴Rt△ADF≌Rt△AGE，∴AD＝AG，∵∠BAM＝∠DAG＝90°，∴∠BAD＝∠MAG，∴△ABD≌△AMG，∴BD＝GM，∠B＝∠AMG＝45°，∵∠AMB＝45°，∴∠GMC＝90°，在Rt△CGM中，∠C＝30°，∴GM＝12CG，∴BD＝12CG.(3)1＋32.跟踪训练1．(1)解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝4 2.∵CD＝12BC.∴CD＝2 2.∵DE⊥CE，DE＝CE，∴DE＝CE＝2，∠ECD＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝AC2＋CE2＝25，∵M是AE的中点，∴CM＝12AE＝ 5.(2)证明：延长EN至F，使得NF＝EN，连接AF，BF，如解图，在△NDE和△NBF中，⎩⎪⎨⎪⎧ND＝NB∠DNE＝∠BNFNE＝NF，∴△NDE≌△NBF，∴BF＝DE＝CE，∠FBN＝∠EDN.设∠DCB＝x°，∠DBC＝y°，则∠ACE＝∠ACB＋(∠DCE－x°)＝90°－x°，∴∠BDC＝180°－x°－y°，∴∠BDE＝135°－x°－y°，∵∠ABD＝45°－y°，∠ABF＝∠FBD－∠ABD＝135°－x°－y°－(45°－y°)＝90°－x°，即∠ABF＝∠ACE，∴△ABF≌△ACE，∴∠BAF＝∠EAC，∴∠EAF＝∠BAF＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE＝90°，∵M是AE的中点，∴MN∥AF，∴MN⊥AE.(3)7 4.。