1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.
(1) 求证：DC=BC;
(2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形
状，并证明你的结论；
(3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值.
[解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M,
则AM=BC=2.
又tan ∠ADC=2,所以2
12
DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形.
证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC
所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠.
所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒
即△ECF 是等腰直角三角形.
（3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=︒，又45CEF ∠=︒，所以90BEF ∠=︒.
E
B
F
C
D
A
所以22(22)3BF k k k =
+=
所以1sin 33
k BFE k ∠=
=.
2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．
（1）求证：△ADE ≌△CBF ；
（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．
[解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝
21AB ，CF ＝2
1
CD ． ∴AE ＝CF
∴△ADE ≌△CBF ．
（2）当四边形BEDF 是菱形时， 四边形 AGBD 是矩形．
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ，
∴四边形 AGBD 是平行四边形．
∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE ＝BE ． ∵AE ＝BE ，
∴AE ＝BE ＝DE ．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB ＝90°． ∴四边形AGBD 是矩形
3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测
量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长
线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
[解析]（1）BM =FN ．
证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，
∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF ． 又∵∠BOM =∠FON ， ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM =FN ．
图13－2
E A B D
F O M N 图13－3 A B D E
F
O M N
C
图13－1 A ( B ( E ) O
（2） BM =FN 仍然成立．
（3） 证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，
∴∠DBA =∠GFE =45°，OB =OF ． ∴∠MBO =∠NFO =135°．
又∵∠MOB =∠NOF ， ∴ △OBM ≌△OFN ． ∴ BM =FN ．
4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。 （1）若sin ∠BAD =
3
5
，求CD 的长； （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）。
[解析] （1）因为AB 是⊙O 的直径，OD ＝5
所以∠ADB ＝90°，AB ＝10
在Rt △ABD 中，sin ∠BAD BD
AB
=
又sin ∠BAD =35，所以BD 103
5
=，所以BD =6
AD AB BD =
-=-=22221068
因为∠ADB ＝90°，AB ⊥CD
所以DE AB AD BD CE DE ··，== 所以DE ⨯=⨯1086 所以DE =
245
所以CD DE ==
2485
（2）因为AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD
所以CB BD AC AD ⌒⌒⌒⌒
，==
所以∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD 因为AO ＝DO ，所以∠BAD ＝∠ADO 所以∠CDB ＝∠ADO
设∠ADO ＝4x ，则∠CDB ＝4x
由∠ADO ：∠EDO ＝4：1，则∠EDO ＝x 因为∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90° 所以4490x x x ++=︒ 所以x ＝10°
所以∠AOD ＝180°－（∠OAD ＋∠ADO ）＝100°
