平方根:
概括1：一般地，如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)。就是
说，如果x 2
＝a,那么x 就叫做a 的平方根。 如：23与－23都是529的平方根。
因为(±23)2
＝529，所以±23是529的平方根。 问：（1）16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? （2）0的平方根是什么?
概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没
有平方根。
知识点二：
概括3：求一个数a(a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方。
开平方运算是已知指数和幂求底数。平方与开平方互为逆运算。一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0。但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0。负数没有平方根。 因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 知识点三：
（1）625的平方根是多少？这两个平方根的和是多少？
－7和7是哪个数的平方根？ 正数m 的平方根怎样表示？
（2）下列各数的平方根各是什么？
64； 0； (－0.4)2
； )3
21(-（3）已知正方形的面积等于a,
3、例题讲解：
例1、求下列各数的平方根：
(1)81； (2)1916； (3)0.09
例2、下列各数有平方根吗? 如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由。 (1)－64； (2)0； (3)(
-
例3、求下列各式的值：
(1)10000； (2)144-；(4)0001.0-； (5)81
49±
一、算术平方根的概念
正数a 有两个平方根(表示为a ±
)，我们把其中正的平方根，叫做a 的算术平方
根，表示为a 。
0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0，即00=。 “
”是算术平方根的符号，a 就表示a 的算术平方根。 a 的意义有两点：
（1）被开方数a 表示非负数，即a ≥0；
（2）a 也表示非负数，即a ≥0。也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数。负数不存在算术平方根，即a ＜0时，a 无意义。
如：9 ＝3，8是64的算术平方根，6-无意义。
9既表示对9进行开平方运算，也表示9的正的平方根。
二、平方根与算术平方根的区别在于： ①定义不同；
②个数不同：一个正数有两个平方根, 而一个正数的算术平方根只有一个； ③表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±
, 正数a 的算术平方根表示为a ；
④取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, 正数的平方根是一正一负． ⑤0的平方根与算术平方根都是0． 三、例题讲解：
例1、求下列各数的算术平方根：
(1)100； (2)
64
49
； (3)0.81 例2
144 324
1
16 0.0144 16
121
400 6.25
注意：由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算
术平方根是非负数，即当a ≥0时，a ≥0(当a ＜0时，a 无意义)
用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义如有一个面积为a (a 应是非负数)、边长为
a 的正方形就表示a 的算术平方根。
这里需要说明的是，算术平方根的符号“
”不仅是一个运算符号，如a ≥0时，a 表
示对非负数a 进行开平方运算，另一方面也是一个性质符号，即表示非负数a 的正的平方根。
3、立方根
（1）立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做
三次方根），即如果3
x a =，那么x 叫做a 的立方根
（2）一个数a 的立方根，读作：“三次根号a ”，
其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
（3） 一个正数有一个正的立方根；
0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根。
（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，
求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即
)
0a =>。
（5）a x =3
<—> 3a x =
a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x
（6）33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
【典型例题分析】
知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是（ ） A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、
=±1 D 、
是5的平方根的
相反数
2、下列语句中，正确的是（ ）
A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B ．负数没有立方根
C ．一个实数的立方根不是正数就是负数
D ．立方根是这个数本身的数共有三个
3、下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832
±=±。
其中正确的有 （ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 4、()2
0.7-的平方根是（ ）
A ．0.7-
B ．0.7±
C ．0.7
D ．0.49 5、下列各组数中，互为相反数的组是（ ） A 、－2与2)2(- B 、－2和38- C 、－2
1
与2 D 、︱－2︱和2
知识点二：计算类题型
1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.
___________， ___________，___________.
2、=-2)4( ； =-33)6( ； 2
)196(= . 3
8-= .
3、① 2+32—52 ② 7(7
1-7)
③ |23-
| + |23-|- |12- | ④ 4
1)2(823-
-+
正有理数{ }
负有理数{ }
正无理数{ } 负无理数{ }
22
7
3.141,
,
,,,1.414,0.020202,378
π---L L
