陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》6余弦函数的图像和性质导学案 北师大版必修4

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概念的推广导学案北师大版必修4【学习目标】1.了解周期现象在现实生活中的广泛存在，通过周期现象的实例感悟周期现象的特征.2.通过实例理解角的概念的推广的必要性，理解任意角的概念，能根据角的终边旋转方向判断正角、负角和零角.3.掌握终边相同角的表示方法，会判断象限角和坐标轴上的角.【重点难点】【自主学习】1.潮汐现象、地球公转与自转、单摆的摆动等都是_________________.2.角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所形成的_________. 射线在旋转时有两个相反的方向，_________________________________________________为正角；______________________________________为负角；_______________________________________为零度角，又称零角.3.在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与_____重合，角的始边与________重合. 角的终边在第几象限，就把这个角叫作________________________.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称这个角为坐标轴上的角.4.终边相同的角有________个，相等的角终边一定__________，但终边相同的角不一定__________.S5.一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合=____________________________________.6. 与ο490-终边相同的最小正角是_________，最大负角是________，绝对值最 小的角是________，它们是第______象限角.【合作探究】1.在οο360~0范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.（1）ο120-； （2）ο640； （3）'8950ο-.2. 在直角坐标系中，写出终边在y 轴上的角的集合（用οο360~0的角表示）.3.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式οο720360<≤-β 的元素β写出来.（1）ο60； （2）ο225-.【课堂检测】1. 下列说法中，正确的是（ ）A. 第一象限的角是锐角B. 锐角是第一象限的角C. 小于ο90的角是锐角D. ο0到ο90的角是第一象限的角2. 若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________.3. 若α是第三象限角，则2α是第几象限角？2α是第几象限角？【课堂小结】1. 角的推广；2. 象限角的定义；3. 终边相同角的表示；4. 终边落在坐标轴等；5. 区间角表示.第一象限角：｛α|k ⨯360o ＜α＜k ⨯360o +90o ,k∈Z }第二象限角：｛α|k ⨯360o +90o ＜α＜k ⨯360o +180o ,k∈Z }第三象限角:｛α|k ⨯360o +180o ＜α＜k ⨯360o +270o ,k∈Z }第四象限角：{α|k ⨯360o +270o ＜α＜k ⨯360o +360o ,k ∈Z }【课后训练】1. ο276-是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期_____，第50天是星期 _______.。

陕西省榆林市育才中学高中数学 常见函数的导数导学案 新人教A 版选修1-1学习目标：掌握定义法求函数导数的方法，求熟练运用基本初等函数的求导公式，求常见函数的导数重点、难点：用定义推导常见函数的导数公式自主学习①：陕西省榆林市育才中学高中数学 常见函数的导数导学案 新人教A 版选修1-1 ②：'C (C 为常数)③：=)'(a x ④：=)'(log x a⑤：=)'(x a ⑥：=)'(x e⑦：=)'(ln x ⑧：=)'(sin x⑨：=)'(cos x合作探究：1.下列各项中，正确的为 （ ）①：2)'12(=+x ；②：21)'2(ln =；③：)(')]'([00x f x f =④：0)]'([0=x f A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④2.一质点的运动方程是tS sin 2= ①：求3π=t 时的速度；②：求该质点运动的加速度.3.求抛物线2x y =和直线1-=x y 间最短距离.练习反馈1. 用定义法推导233)'(x x =；x x 21)'(=2. 求函数x y 1=的图像在点（2，21）处的切线的方程.3. 若直线b x y +-=是函数xy 1=图像的切线，求b 及切点坐标.4. 若对于任意x ，有34)('x x f =，1)1(-=f ，则此函数=)(x f5. 直线321+=x y 能作为函数)(x f y =图像的切线吗？若能，求出切点坐标，若不能，简述理由：①x x f 1)(= ②4)(x x f = ③x x f sin )(= ④x e x f =)(。

§5 余弦函数（2课时）教学目标：知识与技能（1）了解任意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）掌握余弦函数的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（5）熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

过程与方法类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。

情感态度与价值观使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。

二、教学重、难点重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。

难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。

三、学法与教学用具我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。

用五点作图的方法作出y＝cosx在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性质。

教学用具:投影机、三角板第一课时 余弦函数的概念和诱导公式 一、教学思路【创设情境，揭示课题】在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sinα＝斜边邻边。

同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。

下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31. 【探究新知】 1．余弦函数的定义在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P （a ，b ）, 那么点P 的横坐标a 叫做角α余弦函数，记作：a ＝cos α(α∈R).通常我们用x ，y为y ＝cosx(x∈R).如图，有向线段OM 称为角α的余弦线。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》三角函数小结导学案 北师大版必修4【学习目标】1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3.能画出函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像.会利用单位圆或三角函数图像 推导出诱导公式，并能借助图像理解正弦函数、余弦函数在]2,0[π，正切函数 在)2,2(ππ-上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴交点等）.4.了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义；会画)sin(ϕω+=x A y 的图像，体会参数ϕω,,A 对函数图像的影响.2.弧度制（1）1弧度的角： （2）弧度与角度的互化： （3）弧长公式和扇形面积公式： 3.任意角的三角函数 （1）定义：（2）三角函数值的符号：（3）诱导公式的口诀：4.正弦、余弦、正切函数的图像及性质 函数x y sin =x y cos =x y tan =图像定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称性【合作探究】 1. 已知角α的终边在函数x y 21-=的图像上，求ααcos ,sin 和.tan α2. )sin()cos()23sin()2cos()3sin()(απαππααππαα----+---=f .（1）化简)(αf ； （2）若331πα-=，求)(αf 的值. 3. 函数)||,0,0()sin(πϕωϕω≤>>++=A b x A y 在一个周期内，当6π=x 时，y 取最小值1；当65π=x 时，y 取最大值3.请求出此函数的解析式.4. 求下列函数的值域： （1）)34cos(32π--=x y ； （2）2sin 1sin 3-+=x x y .【课堂检测】 1. 求函数)343sin(51π-=x y 的最小正周期、单调递增区间、最大值及对应的x 值 的集合.2. 判断下列函数的奇偶性： （1）x x y cos 2+=；（2）x y sin 21=；（3）x x y sin 2=；（4）x x y tan cos -=.3. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数.4. 比较下列各组函数值的大小：（1）532sin π和427sin π； （2）)2037cos(-和 852cos ； （3）)718tan(π-和)843tan(π-.【课后训练】。

《余弦函数的性质与图像》导学案一、学习目标1、理解余弦函数的定义，掌握余弦函数的定义域、值域。

2、了解余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，并能熟练运用。

3、学会绘制余弦函数的图像，通过图像进一步理解其性质。

二、学习重点1、余弦函数的性质，包括周期性、奇偶性、单调性、有界性。

2、余弦函数的图像特征，以及图像与性质之间的关系。

三、学习难点1、余弦函数性质的综合运用。

2、由余弦函数的图像得出其性质，以及由性质绘制图像。

四、知识回顾1、任意角的三角函数定义在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x,y)，它到原点的距离为 r（r ＝√（x²＋ y²) 且 r ＞ 0），则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r ，cosα ＝ x/r ，tanα ＝ y/x （x ≠ 0）2、诱导公式cos( α ）＝cosα ，cos(π α ）＝cosα ，cos(π ＋α ）＝cosα ，cos(2π α ）＝cosα五、新课讲解（一）余弦函数的定义设角α的终边与单位圆交于点 P(x,y)，则 c osα ＝ x 。

对于任意实数 x，都有唯一确定的余弦值 cosx 与之对应，所以 y ＝cosx 称为余弦函数。

（二）余弦函数的定义域和值域1、定义域：余弦函数的定义域为实数集 R 。

2、值域：因为单位圆上点的横坐标的取值范围是-1,1，所以余弦函数的值域为-1,1。

（三）余弦函数的周期性1、周期函数的定义：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。

2、余弦函数的周期：y ＝ cosx 是周期函数，2kπ（k∈Z 且k ≠ 0）都是它的周期，最小正周期是2π 。

（四）余弦函数的奇偶性1、偶函数的定义：对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。

像是不是也是这样得到的呢有没有更好的方法呢 (二)、探究新知~一 余弦函数的图象（平移法）由诱导公式有：与正弦函数关系 ∵y ＝cosx=sin(x ＋2π) 结论：（1）y ＝cosx, x R 与函数y ＝sin(x ＋2π) x R 的图象相同将y ＝sinx 的图象向左平移2π即得y ＝cosx 的图象[二：余弦函数的性质观察上图可以得到余弦函数x y cos =有以下性质： （1）定义域：x y cos =的定义域为R：（2）值域：x y cos =的值域为[－1,1](3)最值：1对于x y cos = 当且仅当x ＝2k ,k Z 时 y max＝1y"o->1当且仅当时x ＝2k ＋π, k Z 时 y min ＝－1(4)周期性：x y cos =的最小正周期为2 (5)奇偶性x x cos cos =-）（ (x ∈R) x y cos = (x ∈R)是偶函数 (6)单调性{增区间为[（2k+1）π，(2k+2)π]（k ∈Z ），其值从－1增至1；减区间为[2k π，（2k ＋1）π]（k ∈Z ），其值从1减至－1。

三 五点法作图：找到一个周期内重要的五个点：两个最高点()()1,21,,0π，一个最低点()1-，π 与x 轴两个交点⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2302ππ，， 》列表，描点，连线，得出余弦函数在一个周期上的图象例 画出函数1cos -=x y ，[]π2,0∈x 的简图，并求单调区间，oxy'3π2π3π26π5π6π73π42π33π56π11π2。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》6余弦函数的图像和性质导学案 北师大版必修4【学习目标】1. 会通过平移正弦曲线得到余弦函数的图像，并会用五点法画出余弦函数的图像.2. 通过余弦函数的图像理解余弦函数的性质.3. 通过对余弦函数的图像和性质的研究过程，体会数形结合和类比的思想方法. 【重点难点】 重点：余弦函数的图像和性质. 难点：余弦函数性质的灵活应用.五点法：五点法作余弦函数图像的五个关键点是_________、__________、_________、 ___________、____________.2. 余弦函数的图像（余弦曲线）3. 余弦函数的性质 函数 x y cos定义域值域周期性 单调性 奇偶性对称性【合作探究】 1. 画出函数x y cos 1+=的简图，根据图像讨论函数的性质.2. 求下列函数的定义域：（1）1cos 1-=x y ； （2）21cos -=x y .3. 已知]43,4[ππ∈x ，求函数1cos cos 2++-=x x y 的值域.【课堂检测】1.函数x y cos 2=，当],[ππ-∈x 时，在区间_____________上是增加的，在区间 ___________上是减少的；当=x ________时，y 取最大值_____；当=x ______ 时，y 取最小值_______.2.求函数1cos 32+-=x y 的单调区间，并判断其奇偶性.3.在同一直角坐标系内画函数x y sin =和余弦函数x y cos =在区间]2,0[π上的图 像，并回答下列问题：（1）写出满足x x cos sin =的x 的值； （2）写出满足x x cos sin >的x 的取值范围；（3）写出满足x x cos sin <的x 的取值范围；（4）当R x ∈时，分别写出满足x x cos sin =，x x cos sin >，x x cos sin <的x 的集合.【课堂小结】【课后训练】。

余弦函数的图像与性质一、教学目标1．知识目标（1）理解用“五点法”画余弦函数的简图的方法；（2）了解余弦函数的图像和性质．2．能力目标（1）会用“五点法”作出余弦函数的简图；（2）会利用数轴等工具进行集合的补集运算，培养学生数形结合的思想。

3.情感目标（1）通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力（2）培养学生的应用意识，在课堂中贯穿数学与生活、专业的联系，让学生感受到数学就在身边，激发学生学习的兴趣，树立学生学习的信心。

二、教学重、难点教学重点：余弦函数的图像与性质；教学难点：余弦函数性质的应用。

三、教学方法1.启发引导式教学方法；2.情境式教学方法；四：思政元素1.画图环节，润物细无声的渗透精益求精的工匠精神；2.余弦曲线关于y轴对称，蕴含对称美，而上升和下降的趋势延伸到人生的起伏经历中，渗透挫折中要有奋起的勇气。

五、教具准备制作多媒体课件六、授课类型新授课七、课时安排一课时八、教学过程教学环节教学内容设计问题导入问题探究：看图回答下列问题：1、是什么？怎么画？2、怎么得到在R上图像？yx o1-12π32π2π-π2π探究活动（15分钟）探究新知：能否用“五点法”作出余弦函数y=cos x在（0,）上的图像？xy=cos x10-101yxo1-12π32π2π-π2π2ππ32π2π2π小结归纳（2分钟）问题：1、这节课你学到了什么知识？2、这节课你最大的体验是什么？3、这节课你学到了什么方法？学生活动：学生自由发表自己的见解。

布置任务（1分钟）1、书面任务：P14页，习题1.3，A组（2、3、4题）；2、实践任务：下节课上台讲解上述任务中的第3题。

教材练习5.6.2用“五点作图法”作出函数xy cos1-=在[]0,2π上的图像。

高中数学第一章三角函数1.6 余弦函数的图像与性质导学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第一章三角函数 1.６余弦函数的图像与性质导学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.6 余弦函数的图像与性质问题导学1．余弦函数的图像及应用活动与探究１画出函数ｙ＝-ｃos x，ｘ∈［0，2π]的简图.活动与探究2利用余弦函数的图像解不等式cos ｘ≥＼ｆ(1,2）．迁移与应用函数y＝1＋cｏs x的图像( ).A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线x=错误!对称(1)作函数ｙ＝ａcoｓx＋b的图像的步骤．(2)利用函数的图像解不等式时,要准确作出函数的图像，找出一个周期内与ｘ轴交点的横坐标是关键．2.余弦函数的定义域活动与探究3求下列函数的定义域．（1)y＝错误!；（2）y＝ｌog3错误!．迁移与应用1．函数ｆ（x)的定义域为[0,1]，则f(cos x）的定义域为________＿_.２．求函数的定义域：y＝错误!.含余弦函数的复合函数的定义域的求法:(1)利用常见函数定义域的限制条件列出不等式(组)；(2）利用余弦函数的图像或单位圆解有关余弦不等式，写出解集；(3）注意正确写出余弦值对应的特殊角.3.余弦函数的值域(最值)活动与探究４已知x∈错误!，(1)求函数y＝cos x的值域;(2)求函数y＝-３（1-cos2ｘ)-４coｓｘ+4的最大值、最小值．迁移与应用1.函数ｙ=e coｓx的值域是_____＿．2.求函数y=－coｓ2x+cos x＋2的最大值及相应的x的值.(1)求形如y＝a cos x＋ｂ的三角函数的最值时,既要注意ｘ的限定范围,又要注意ａ的正、负对最值的影响．（2)形如ｙ=ａcos2x＋b coｓx+c(a≠0)的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m，n]上求二次函数最值的问题,解答时依然采用数形结合的思想加以分析,必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定",或“轴定区间变”问题.４.余弦函数单调性的应用活动与探究5(1)比较coｓ错误!与ｃos错误!的大小；(2)求y=2cos错误!的单调区间.迁移与应用求函数y＝cｏｓ错误!的单调递减区间.（1)比较余弦值大小的常用方法是首先利用诱导公式化简到同一单调区间上,再利用单调性比较大小;（２)求函数y＝A cｏs（ωx＋φ）(Ａ＞0,ω>0）的单调区间的关键是把ωx＋φ看成一个整体.然后利用余弦函数的单调区间建立不等式，解出ｘ．注意当ω＜0时,要先利用诱导公式化负为正．５．余弦函数的奇偶性与周期性活动与探究6判断函数ｆ（x)=cos(2π-x)－x3sin x的奇偶性.活动与探究７求函数ｙ=错误!cｏs 2x，ｘ∈Ｒ的周期．迁移与应用1．下列函数中，以π为周期的偶函数是（)．A．ｙ＝sin|ｘ| Ｂ.y=｜cｏｓx|C．y=cos错误! D.y＝sｉn错误!２.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞０时，f(x)＝sin ２x＋ｃos ｘ,求f(ｘ)的解析式．1．求函数的最小正周期的基本方法:(１)若能直接用某些结论，则用其结论即可；若不能直接用,可对其解析式进行等价变形后,再使用结论；(2）一般地，y=Aｃoｓ（ωx＋φ)的周期为Ｔ=＼f（2π,|ω|)．2．函数奇偶性的应用:(1）画关于原点对称的区间上的图像.(2)判断函数的单调性（或比较函数值的大小）．（3)求函数的解析式.当堂检测1．函数ｙ=cos x错误!的值域是( ）.A.[－1,1]B.错误!C．错误! D.[-1，0]2．函数y＝-＼f(2,３)coｓｘ,x∈[0，2π］，其单调性是( )．A.在[0,π]上是增函数，在[π,2π]上是减函数B．在错误!上是增函数,在错误!，错误!上是减函数C.在［π,2π］上是增函数,在［0,π]上是减函数D．在错误!,错误!上是增函数，在错误!上是减函数3．函数ｙ=－x cｏs x的部分图像是图中的（ )．４.(1)比较大小：ｃｏs错误!_＿＿＿__＿___cos错误!；（２)函数y=＼r（2ｃos x+１)的定义域是__＿＿___＿_＿.5．已知函数y＝a-ｂｃos x的最大值是＼ｆ（3,2)，最小值是－1２，求函数ｙ＝-4a sin ｂx的最大值．答案：课前预习导学【预习导引】1.（1)向左平移错误!个 (２）余弦曲线预习交流1 (0，1)、错误!、（π,-1)、错误!、(2π,1)预习交流2左2π2.R[－1,1］2kπ1（2k+1）π －1 2π［2kπ－π，２kπ］[2kπ,2kπ+π]偶yx=ｋπ（kπ＋π2，0）(k∈Z）预习交流3提示：（1）定义域都是R,值域都是［-1,１］,也称正弦、余弦函数的有界性．(2）最小正周期都是2π.（３)图像形状相同,只是在坐标系中位置不同.预习交流4 (1)B(2）错误!（k∈Ｚ)(3)> ＜课堂合作探究【问题导学】活动与探究1画法二:先用五点法画ｙ=cｏｓx,ｘ∈[0,２π]的图像，再作它关于x轴的对称图形，即得到y＝-coｓx,x∈［0,2π]的图像.活动与探究2错误!.迁移与应用Ｂ解析:y＝１+cos ｘ的图像由ｙ＝coｓx的图像向上平移1个单位得到,又因为y=coｓｘ的图像关于ｙ轴对称,故y=1+cos x的图像也关于ｙ轴对称.活动与探究3 解:（１)要使函数有意义,需满足1＋cｏs x≠0，∴cos ｘ≠-1.∴ｘ≠2ｋπ+π，ｋ∈Z.故所求函数的定义域为{x｜ｘ≠2kπ＋π，k∈Z}．(2）要使函数有意义,需满足错误!＞０，∴＼f（1，2)－ｃos x＞0，cｏs ｘ<１2。

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《三角函数》5正弦函数的性质导学案北师大版必修4【学习目标】1.会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质.2.能够灵活的应用正弦函数的性质解决相关问题.3.经历用正弦函数的图像研究正弦函数性质的过程，体会数形结合的思想.【重点难点】重点：正弦函数的性质及其应用.难点：应用正弦函数的性质解决相关问题.【使用说明】通过观察正弦函数的图像，总结正弦函数的性质，然后对照课本加以完善，最后通过小组讨论、合作探究进一步加深对正弦函数性质的理解.【自主学习】【合作探究】1. 利用五点法画出函数x y sin 1+=的简图，并根据图像讨论它的性质.2. 求下列函数的定义域：（1）1sin 1-=x y ； （2）1sin 2+=x y .3. 正弦函数的图像有对称轴吗？有对称中心吗？如果有，请写出对称轴方程 及对称中心的坐标；如果没有，请说明理由.【课堂检测】1. 函数x y sin 3=，当],[ππ-∈x 时，在区间_______________上是增加的，在区 间 ____________上是减少的；当=x ________时，y 取最大值______；当=x ______时，y 取最小值______.2. 与右图中曲线对应的函数是（ ）A. |sin |x y =B. ||sin x y =C. ||sin x y -=D. |sin |x y -=3. 求函数x y sin 21-=的单调增区间，并判断其奇偶性.【课堂小结】【课后训练】2. 函数x y sin 2-=的定义域为_______________.3. 讨论函数x y sin 211-=的性质.（定义域、值域、周期性、单调性和奇偶性）。

陕西省榆林育才中学高中数学第1章《立体几何初步》平行关系与垂直关系习题课导学案北师大版必修2【要点回顾】.1.平行关系的转化判定判定线线平行线面平行面面平行性质性质⑴直线与平面平行的判定定理：⑵平面与平面平行的判定定理：⑶直线与平面平行的性质定理：⑷平面与平面平行的性质定理：2.垂直关系的转化判定判定线线垂直线面垂直面面垂直性质性质⑴直线与平面垂直的判定定理：⑵平面与平面垂直的判定定理：⑶直线与平面垂直的性质定理：⑷平面与平面垂直的性质定理：【基础自测】1. 在空间给出下列四个命题：①如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则αβ⊥；②如果直线a与平面β内的一条直线平行，则α//β；③如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则aβ⊥；④如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α//β.其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D.42. 下列命题中，,m n表示两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列四个命题：①若,m nα⊥//α，则m n⊥；②若,αγβγ⊥⊥，则α//β；③若m//α,n//β，则m//n；④若α//β,β//γ,m⊥α，则mγ⊥；其中正确的命题的序号是_____________3. 已知α//β，A,C,α∈B,Dβ∈,直线AB,CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34.①当S在,αβ之间时，CS=_____；②当S不在,αβ之间时，CS=_____3.正方体1111ABCD A B C D-中，E,F,G,H分别为111111,,,AA CC C D D A的中点，试判断四边形EFGH的形状，并说明理由.【合作探究】1.已知直角梯形ABCD中，AB//CD,AB⊥BC,过A作AE⊥CD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点，现将∆ADE沿AE折叠，使DE⊥EC.①求证：BC⊥平面CDE; ②求证：FG//平面BCD你的疑惑策略与反思纠错与归纳课题：平行关系与垂直关系习题课高一数学 天才在于积累 聪明在于勤奋2、如图，B 为∆ACD 所在的平面外一点，M,N,G 分别为∆ABC ，∆ABD ，∆BCD 的重心. ① 求证：平面MNG//平面ACD; ② 求证：:MNG DC s s ∆∆A【课堂检测】1. 设ABCD 和ABEF 均为平行四边形，它们不在同一平面，M, N 分别为对角线AC, BF 上的点，且AM ：FN=AC ：BF. 求证：MN // 平面BEC2. 已知∆ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，且EC ，DB 在平面ABC 的同侧，M 为EA 的中点，CE=CA=2BD. 求证： ①DE=DA ；② 平面BDM ⊥平面ECA ； ③ 平面DEA ⊥平面ECA.（提示：取AC 中点N ，连接MN ，BN ）【课后训练】1. 已知正方体ABCD-1111D C B A ，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：① O C 1//平面11D AB ② ⊥C A 1 面 11D AB2四面体ABCD 中，BD=2a ，AB=AD=CB=CD=AC=a ， 求证：平面ABD ⊥平面BCD （提示：取BD 的中点E ）策略与反思 纠错与归纳策略与反思 纠错与归纳。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》8函数的图像（1）导学案 北师大版必修4【学习目标】1. 了解)sin(ϕω+=x A y 的实际意义.2. 通过作函数)sin(ϕω+=x A y 的图像，理解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响.3. 会用“五点法”画函数)sin(ϕω+=x A y 的图像.【重点难点】重点：ϕω,,A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图像的影响.难点：)sin(ϕω+=x A y 的图像与函数x y sin =的图像间的关系.【使用说明】通过数形结合和由特殊到一般的思想方法，理解参数ϕω,,A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图像的影响，然后总结)sin(ϕω+=x A y 的图像与x y sin =的图像间的关系.【自主学习】1. 作函数x y sin 2=和x y sin 21=的简图，并说明它们与函数x y sin =的关系.思考：将x y sin =的图像作怎样的变换就可以得到函数x A y sin =)0(>A 的图像？2. 画出函数)4sin(π+=x y 和)6sin(π-=x y 的简图，并说明它们与函数x y sin =的关系.思考：将x y sin =的图像作怎样的变换就可以得到函数x y ωsin =)0(>ω的图像？4. 函数)sin(ϕω+=x A y ，R x A ∈>>,0,0ω的振幅为_______，周期=T _______， 频率=f __________，初相为________.【合作探究】1.阅读课本第49—51页，说明如何由x y sin =的图像变换得到1)62sin(3++=πx y的图像.思考：如何由x y sin =的图像变换到b x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 的图像？ 方法一： x y sin = x y ωsin = )sin(ϕω+=x y)sin(ϕω+=x A y b x A y ++=)sin(ϕω 方法二： x y sin = )sin(ϕ+=x y )sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=x A y b x A y ++=)sin(ϕω2. 利用“五点法”作出函数1)62sin(3++=πx y 在一个周期内的简图.【课堂检测】1.为了得到函数)321sin(π-=x y 的图像，只需将x y 21sin =的图像上每一点（ ） A.横坐标向左平移3π个单位长度 B.横坐标向右平移3π个单位长度 C.横坐标向左平移32π个单位长度 D.横坐标向右平移32π个单位长度 2.将函数)542cos(π+=x y 的图像上各点向右平行移动2π个单位长度，再把横坐标缩 短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式为______________________.3. 已知函数)34sin(8)(π+=x x f ，求函数)(x f 的周期、振幅、相位与初相.【课堂小结】。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》8函数的图像（2）导学案 北师大版必修4【学习目标】1.理解函数)sin(ϕω+=x A y 的性质，并能灵活的用其解决相关问题.2.掌握如何根据函数)sin(ϕω+=x A y 的图像及性质求函数的解析式.【重点难点】 函数)sin(ϕω+=x A y 的性质及其应用.【使用说明】类比正、余弦函数的性质，试着总结函数)sin(ϕω+=x A y 的性质，然后利用性质解决相关问题.【自主学习】1. 对于函数)sin(ϕω+=x A y ),0,0(R x A ∈>>ω，有以下性质：①值域：___________； ②周期性：=T _______；③奇偶性：当Z k k ∈=,πϕ时，是奇函数，当Z k k ∈+=,2ππϕ时，是偶函数； ④单调性：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤+-ππϕωππ可求出单调增区间，由__________________________________________可求出单调减区间；⑤对称性：图像的对称轴方程可由)(2Z k k x ∈+=+ππϕω求出，图像的对称中心的横坐标可由__________________________求出.【合作探究】1. 求下列函数的最大值和最小值，以及达到最大值、最小值时x 值的集合.（1）12sin 21+=x y ； （2）1)12cos(6-+-=x y .2.（1）求函数)43cos(21π+=x y 的递增区间； （2）求函数)3sin(3x y -=π的递减区间.3.已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )2||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如下图. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）令)67()(π+=x f x g ，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.【课堂检测】1. 同时具有下列性质：“①对任意)()(,x f x f R x =+∈π恒成立；②图像关于直线 3π=x 对称；③]3,6[ππ-上是增函数”的函数可以是（ ） A. )62sin()(π+=x x f B. )62sin()(π-=x x f C. )32cos()(π+=x x f D. )62cos()(π-=x x f 2.（1）函数))(63sin(53R x x y ∈-=π的递增区间是_____________________； （2）函数])2,0[)(3221cos(3ππ∈+=x x y 的递减区间是___________________. 3. 函数)sin(ϕω+=x A y )20,0,0(πϕω<<>>A 一个周期的图像如图所示，试确定 ϕω,,A 的值.【课堂小结】【课后训练】1.函数)435sin(2π-=x y 的周期是________，最小值为_____，取最小值时的x 的取值集合为______________________.2. 判断下列函数的奇偶性.（1）))(23cos(R x x y ∈+=π； （2）))(22sin(3R x x y ∈-=π.。

§6余弦函数的图像与性质内容要求 1.了解余弦函数与正弦函数之间的关系.2.理解“五点法”作出余弦函数的图像(重点).3.掌握余弦函数的图像性质及其运用(难点)．知识点1 余弦函数的图像yxx∈R)cos 的图像叫余弦曲线．(余弦函数＝π??x??xxyxx＋∈R＝sin cos ，的图像向左平移∈根据诱导公式sin R.只需把正弦函数，＝??2π个单位长度即可得到余弦函数图像(如图)．2π3????????xyx0π，，0，－1)，，的图像，可以通过描出(0,1)，(π要画出＝cos ，，]∈[0,2π????22y＝，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数(2πxx∈[0,2π]cos 的图像．，【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)yx的图像可以向左、向右无限伸展．(√) ＝(1)余弦函数cosyxyx的形状完全一样，只是位置不同(√) cos ＝的图像与(2)sin ＝yxx轴有无数个交点(√) (3)的图像与＝cosyxy轴对称(√)的图像关于＝cos (4)知识点2 余弦函数的性质函cos定义值1,1]偶函数奇偶性2π为最小正周期周期性xkkk∈Z)2时，递增；π](当∈[2π－π，单调性xkkk∈Z)](时，递减[2 π，2π＋π当∈xkk ∈Z)时，最大值为(π1；当＝2最大值与最小值kkx1)时，最小值为－2＝ππ＋(Z∈当【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)yx .(√)π2的最小正周期为cos ＝－(1)．πxy＝－cos 上是增函数．(√)在区间[0，(2)函数]2πxxy－)的图像关于对称．(√)＝(3)函数0＝sin(2πxy＝sin(－是奇函数．(×))(4)函数2余弦函数的图像及应用题型一xxy∈R()【例1】画出＝cos 的简图，并根据图像写出：1xy时(1)的集合；≥231xy≤≤时的集合．(2)－22xy＝用“五点法”作出cos 的简图．解1π ，，－0，区间与余弦曲线交于点作轴的平行线，从图像中看出：在[－(1)过π，π]????2321πππ1????xx??xy≤≤，|－. 时，[点，在－π，π]区间内，的集合为≥????32332??1yx，当≥∈R时，若2??ππ???kxkk?xx Z2∈2－＋ππ≤，≤＋. 则的集合为???33????1??3??????x，－0轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于，(2)过点分别作，0??2??21π12π2??π3????kk??????kkk，－π2＋＋π－，－2，点和，Z∈，∈Z，，∈Z k，π2－＋????3322??62??π3??k∈Z点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，，k，2π＋??6213yx的集合为：≤即当－≤时22?ππ2??kkx?xπ22π≤＋≤－－＋或??63??π2π?kxkk Z，∈2≤＋2π≤＋π.?36?规律方法“五点法”画函数图像的三个步骤yxx∈[0,2π]的简图是，( )【训练1】 (1)函数＝cos 2π3πxxx为D]上的简图；∈[0，2，π，π可得五点，描图知，A为π解析由2＝0，22∈[0,2π]上的简图．答案 D1yx在[－2π，－cos 2π]上的图像． (2)作出函数1＝3解①列表：π3π x 2ππ0 22 x y 1 00cos ＝11－2124 xy 11 1＝－cos 33331yxxy轴对称的图]上的图像．由于该函数为偶函数，作关于∈[0,2π②作出＝1－cos 在31yxx∈[－2π，－像．从而得出＝1cos 在2π]上的图像．3．题型二余弦函数的性质fxx. cos ＝已知2(＋)【例2】(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最小正周期．fxxfxfx)，((－ )＝2＋cos )的定义域为R且＝解 (1)∵(fxx为偶函数． 2＋(cos )＝∴函数yxkkkkkk∈Z)上是减π＋π∈Z)上是增加的，在[2(2)∵](＝cos π在[2，π－π2，π](2少的，yxkkk k kπ2π，π]()∈Z∴cos ＝2＋，单调递减区间为的单调递增区间为[2[2π－π，2 k ∈Z)π](．＋xyx的最小正周期为2π2＋(3)由cos cos 的周期性知.＝规律方法对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．1yx的单调区间cos ＝1【训练2】 (1)求函－2ππ18????－与cos的大小．(2)比较cos ??771解 (1)∵－＜0，21yxyx的单调性相反．－1cos ＝的单调性与∴cos ＝2yxkkkkkk∈Z)π]([2，减区间是．π，2∵＝cos 的单调增区间是[2ππ－π，2π](＋∈Z)1yxkkkkkk](ππ[2＋π，[22π－π，2π](，增区间是∈Z)∴＝1－cos 的单调减区间是2∈Z)．4π18π4π????＋2π＝cos. (2)cos＝cos??777ππ????－＝coscos.??77π4π又0＜＜＜π，77yx上是减少的，]π，[0在cos ＝且函数．ππ18π4π????－. ＜coscos＞cos，即cos∴??77772xxy．的值域为＝－cos________＋【例3】函数cos11??2x??y－cos .＝－＋解析??24x因为－1≤cos ≤1，11yx.时，所以当cos ＝＝max42yx2.时，cos ＝－＝－1当min1??2??xxy，2－.＝－cos＋所以函数cos 的值域是??41????，2－答案??4π????x，0时函数的值域．∈【迁移1】求本例中??311??2x??y－cos ＋解∵，＝－??24π1????xx，0≤1.∈，所以≤cos 因为??3211xy＝，时所以当cos ＝max24xy＝0，＝1时cos min1∴原函数的值域为[0，]．4ππ????x，－时函数的值域．∈【迁移2】求本例中??32ππ????xx，－≤1，∈由，所以0≤cos 解??321??2??xyx，0.的值域也为此时函数＋＝－coscos ??413????ababxy，－的值．，求的值域为3【迁移】若将本例改为已知函数＝－cos ??2231yabx的最大值是，最小值是－－cos .∵函数解＝22b时，由题意得：0＞当．3?ba?1，＋＝??2a，＝?2?∴1???bba?，1＝，＝－－21ab.＝2b＜0当时，由题意得：3?ba?1，－＝??2a，＝?2?∴1???bba?，＝－1，＋＝－21ab.＝－21ab＝±.综上所述，2规律方法与正弦函数、余弦函数有关的函数值域求法xx的有界性．，(1)利用sin cosxx的单调性．，(2)利用sin cosxfxxfxfy)|≤1来确定．，利用|)或cos ＝ ((3)化为sin ＝(()(4)通过换元转化为二次函数.课堂达标1．下列函数中，不是周期函数的是( )yxyx| ．cos|．＝＝|cos B| A yxyx|C．．＝|sin sin||＝D yx|的图像(图略)，易知D选项不是周期函数．解析画出＝sin|答案 Dπ??x??xfxxf－2)是( 2．设函数，则()＝sin () ，R∈??2A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数πC．最小正周期为的奇函数2πD．最小正周期为的偶函数2．ππ????xx????x2－2－， sin＝－cos 2解析∵sin＝－????22fxx.cos 2)∴(＝－fxxxfx)，＝－cos 2((－＝)＝－cos(－2 又)fx)是最小正周期为π∴的偶函数．( 答案 Byxxy＝1的图像和直线围成一个封闭的平面图形，这个封闭图∈3．函数[0,2＝cos π，]形的面积是________．xx轴上方阴影部分，此时所围面积可变成一个矩形．轴下方图形补到如图，可把解析答案 2πm＋1xm的取值范围是________．＝有意义的实数 4．使cos m－1mm＋1＋1????mmmm≤0.≠1，得|≤1；|1＋且|≤|1－解析－1≤≤1；即m??m－1－1mm≤{0}|答案yx＋1)lg(2cos ，求它的定义域和值域；5．(1)已知函数＝1??2x??y－cos －3＝的值域． (2)求函数??21xx＞－.，即cos ＋1＞解(1)2cos 02??π22π???kkxk?x Z，－＜＜2∈π2＋π. ∴定义域为???33????yttxt≤3. 0＜＝2cos 1令lg ＝＋，，则y≤lg 3，即值域为(－∞，lg 3]∴．txt≤1.，则－1≤＝cos 设(2)1??2t??y－－3.原函数可转化为：＝??21ty＝－3；∴当＝时，min23ty＝－.＝－1当时，max43????，－－3. ∴值域为??4．课堂小结1．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．2．求三角函数值域或最值的常用求法yxx)cos sin 为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方，或利用((1)将或表示成以y的范围．函数的单调性等来确定xxyxfyxy|≤1，构建关于|sin 来表示，如sin )＝(2)将sin ，再由或cos 用所求变量(fyy的取值范围(.|的不等式)|≤1，从而求得基础过关yxxx∈[0,2π]的大致图像为|，( 1．函数cos ＝＋|cos )解析由题意得3π?xxx?π≤2cos π，0≤≤2≤22?y＝3π?x?.π<0，<22 合适．显然只有DD答案bfxaafxxb) 上是[( cos ，在[－，－ ]上是增函数，则](在．若2)()＝ B．偶函数A．奇函数D．减函数．增函数C yxbayxab][上递]上是增函数，所以＝cos ，解析因为＝cos [为偶函数并且在－在，－减，故选C.答案 Cππ????x????xy，＋0的值域是( ．函数3＝cos ，∈)????26．????1133????A. B.，，－－????22221??3??????1， C.D. 1，??2??22πππxx. π＋∵0≤≤≤，∴≤解析3626ππ2??x??＋ cos π≤cos，≤cos ∴??66313y≤.≤故选B.∴－22答案 Byx－1的单调递减区间是________＝－3cos ． 4．函数yxkkk∈Z)2．π](的单调递增区间是[－π＋2 ∵函数解析π＝cos ，yxkkk∈Z)．π](－π＋2 π，∴函数2＝－3cos [－1的单调递减区间是kkk∈Z2) π[－π＋2](π，答案15145．比较大小：cosπ________cosπ.89π15π????－2π＝cos∵cosπ＝cos，解析??8884π14π4π????－π2＝cos ＝coscos，??999π4πππ4π而0＜＜＜，∴cos＞cos，8928915π14π即cos＞cos.89答案＞6．比较下列各组数的大小．2317????????π－π－.与－sin 46°与cos 221°；(2)coscos(1)????45解 (1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°，cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°.∵180°>139°>136°>0°，∴cos 139°<cos 136°，即－sin 46°>cos 221°.323323????????ππ－π＋4＝cos＝cosπ＝cos(2)cosπ，????5555π17π17????????＋4ππ－＝cos＝cos. cosπ＝cos????4444．π3yx在[0，π]＝cos 上递减，∵0<<π<π，且452317π3????????π－－π. <cos∴cosπ<cos，即cos????4545x cos －2y＝的值域．．求函数 7x cos 2＋x4＋cos 4－y＝－＝解 1.xx cos ＋cos ＋22xx≤3，cos ∵－1≤cos ≤1，∴1≤2＋11∴≤≤1，x cos ＋3244141y≤3.≤≤4，∴≤－1≤3，即∴≤xx3cos 332＋cos 2＋x1cos －2????y3，.∴函数的值域为＝??x3cos 2＋能力提升ππ????，)上为减函数的是( 8．下列函数中，周期为π，且在??24ππ????xx????yy＋22＋＝＝cosBA． sin．????22ππ????xx????yy＋＋ C．D＝sin．cos＝????22πππ????x????xy，2＋上2cos＝在＝－D.，解析因为函数周期为π所以排除C、又因为sin ????242为增函数，故B不符合．故选A.答案 A9．下列关系式中正确的是( )A．sin 11°<cos 10°<sin 168°B．sin 168°<sin 11°<cos 10°C．sin 11°<sin 168°<cos 10°D．sin 168°<cos 10°<sin 11°解析∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.由正弦函数的单调性得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.C答案．1xyx－的定义域为__________________________)＋． 10．函数＝lg(sin cos 2x，sin 0＞???解析要使函数有意义必须有1x≥0，cos －??2kkxkx，，＋2Z2π＜∈π＜sin π＞0??????即解得ππ1kxkxk，∈π－＋2Z cos ，≥π≤≤＋2????332πkxkk∈Z)，π2(π＜≤＋2∴3π??xkxkk ∈，＋2|2Zπ＜π≤.∴函数的定义域为??3??π??xkxkk∈，2|2Zπ＜π≤＋答案??3??2xyx．2的最小值为＝cos－3cos ________11．函数＋31??2x??y－cos ，＝－解析??24yx0. 时，∴当cos 最小值为＝10答案11xxy|.＋＝cos |cos 12．已知函数22 画出函数的简图；(1) 这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；(2) (3)指出这个函数的单调增区间．11xyx|?kk???kxx＋2－，2ππ＝cos |cos 解 (1)＋22ππ???＝，，∈cos Z∈??22?kk???xk＋π2π＋2，∈Z0，∈??22 函数图ππ3??像如图所示．(2)由图像知函数的周期是2π.π??kk??kππ－，22∈Z)．由图像知函数的单调增区间为(3)( ??2．π1????2????xxxfx，0 )＝－cos∈3cos ＋选做题13．()求函数(的最大值．＋????24π1????2????xxxfx，0 ∈cos，＋3cos 解＋()＝－????24txt令cos 1]＝，且∈[0，12tyt＝－＋＋3则4??23??，＋＝－1t－??23fxt)取最大值则当＝时，(1. 2．。

中学数学余弦函数的性质和图象教案一、引言余弦函数是数学中重要的三角函数之一，它在解决实际问题、描述周期性变化以及在数学分析中起着重要的作用。

本教案将系统介绍余弦函数的性质和图象，帮助学生全面理解并掌握该函数的特点和应用。

二、余弦函数的定义余弦函数可以从单位圆上的点的横坐标值得到。

定义如下：在单位圆上，以圆心为坐标原点，正方向与x轴重合，将半径长度为1的圆协调地分成360个相等的弧度。

对于任意一个角度θ∈[0, 2π)，该角的余弦函数值定义为点P(x,y)的横坐标x。

三、余弦函数的性质1. 定义域和值域余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

2. 周期性余弦函数的周期为2π。

即对于任意实数x，有cos(x + 2π) = cos(x)，cos(x - 2π) = cos(x)。

3. 奇偶性余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。

4. 对称性余弦函数具有关于y轴的对称性，即cos(π - x) = -cos(x)。

5. 单调性当角度θ在区间[0, π]上单调递减，余弦函数在该区间上也单调递减；当角度θ在区间[π, 2π]上单调递增，余弦函数在该区间上也单调递增。

四、余弦函数的图象余弦函数的图象为连续的周期性波形，具有如下特点：1. 零点余弦函数的零点位于π的整数倍，即cos(0) = cos(π) = cos(2π) = ... = 1，cos(π/2) = cos(3π/2) = ... = -1。

2. 最值点余弦函数的最大值为1，最小值为-1，分别在x = 0和x = π的整数倍处达到。

3. 对称性余弦函数的图象以y轴为对称轴，左右对称。

4. 变化趋势在[0, π]区间内，余弦函数先上升后下降；在[π, 2π]区间内，余弦函数先下降后上升。

五、教学活动1. 概念讲解向学生简要介绍余弦函数的定义和基本性质，重点解释定义域、值域、周期性以及奇偶性。

引导学生思考余弦函数的图象特点。

陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》7正切函数的定义、图像与性质导学案 北师大版必修4【学习目标】1. 能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义.2. 能借助单位圆中的正切线画出x y tan =的图像.3. 理解正切函数的性质.【重点难点】重点：正切函数的定义、图像与性质.难点：正切函数性质的应用.【使用说明】 类比正、余弦函数的学习方法，借助单位圆理解正切函数的定义，并能利用正切线画出x y tan =的图像，通过观察正切曲线总结正切函数的性质.【自主学习】1. 正切函数的定义（1）在直角坐标系中，如果角α满足：)(2Z k k ∈+≠ππα，那么角α的终边与单位圆交于点),(b a P ，唯一确定比值a b，根据函数的定义，比值a b是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作_____________，其中Z k k R ∈+≠∈,2,ππαα.（比值b a叫作角α的余切函数，记作αcot =y ，其中.,,Z k k R ∈≠∈παα）（2）当角在第_________象限时，其正切函数值为正；当角在第_________象限时， 其正切函数值为负.（3）由x x xk x k x x tan cos sin )cos()sin()tan(==++=+πππ（.,2,Z k k x R x ∈+≠∈ππ）可知，正切函数是周期函数，_______是它的最小正周期.2. 正切函数图像的画法（1）正切线：设单位圆与x 轴正半轴交于A 点，过点A 作圆的切线与角的终边或终边的延长线相交于T点，线段AT成为角α的正切线.（2）类比画正弦函数图像的方式，先利用正切线画出函数xy tan=，)2,2(ππ-∈x的图像，再利用正切函数的周期性画出正切曲线.3.正切函数的性质函数xy tan=（ZkkxRx∈+≠∈,2,ππ）定义域值域周期性奇偶性单调性对称性【合作探究】1.若角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在直线xy4-=上，求αααtan,cos,sin的值.靖边三中2015届数学必修4导学案2. 解下列不等式：（1）0tan <x ； （2）1tan -≥x .3. 设α是锐角，利用单位圆证明：（1）1cos sin >+αα； （2）αααtan sin <<.【课堂检测】1. 函数x y 2tan =的定义域为________________________________.2.（1）正切函数在整个定义域内是增加的吗？为什么？（2）正切函数会不会在某个区间是减少的？为什么？3. 已知)3,(x P 是角θ终边上一点，且53tan -=θ，求x 的值.【课堂小结】。

陕西省榆林市育才中学高中数学 导数概念及其几何意义与计算导数导学案 新人教A 版选修1-1学习目标：1、理解导数的定义，并能求出一般函数的导数，理解某点处导数的几何意义；2、理解导数与瞬时速度、瞬时加速度的关系.重点、难点：理解导数的定义，并能求出一般函数的导数.自主学习1、函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，),(0b a x ∈，当x ∆无限趋近于0时，比值x y ∆∆无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在点0x x =处 ，并称该常数A 为函数)(x f 点0x x =处的 ，记作 .2、把上式中的0x 看成变量x 时，)('x f 即为)(x f 的 ，简称3、函数)(x f y =在点0x x =处导数的几何意义就是4、瞬时速度是运动物体位移)(t S 对时间t 的导数，即为=)(t v . 合作探究1、已知2)(2+=x x f 高（1）求)(x f 在1=x 处的导数；（2）求)(x f 在a x =处的导数.高考2、曲线123+++=t t t y 的一条切线与已知直线01=++y x 垂直，求切点坐标.3、求过点)0,2(且与曲线x y 1=相切的直线方程.高考资源练习反馈1、一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为__________.2、质点运动方程为13+=t S （位移单位：米，时间单位：秒），分别求s t s t 2,1==时的速度.3、求下列函数在已知点处的导数：（1）13+=x y 在3=x 处的导数；（2）2x y =在a x =处的导数； （3）x y 1=在2=x 处的导数.4、)1('f 与)1(f 的含义有什么不同？)1('f 与)('x f 的含义有什么不同？。

正、余弦函数的图像和性质的应用
班级姓名组号
【学习目标】
1、学习利用正、余弦函数的图像和性质解决一些简单应用；
2、比较单位圆和图像法研究三角函数的性质时各自的特点；
3、进一步熟悉正、余弦函数的最值、单调性、奇偶性、图像的对称性的应用；
【学习重点】正、余弦函数的图像和性质的简单应用
【学习难点】运用函数观点和数形结合思想研究函数性质
【学习过程】一、预习自学（把握基础）
（温习课本第18页、28页、31页、32页关于正、余弦函数的图像和性质的内容，解决下列内容）
1、角α终边和单位圆交于点P（u,v）时，sinα= ;cosα= ；
若P(x,y)是角α终边上一点，则sinα= ; cosα= ；
2、描点法画余弦曲线时的五个关键点是：
；
描点法画余弦曲线时的五个关键点是：
；
3、说说正、余弦函数的性质有哪些相同点和不同点？（画出表格比较）
二、合作探究（巩固深化，发展思维）例1．书第24页A组第6题
例2.书第24页B组第4题
例3、书第35页B组第1题
三、达标检测（相信自我，收获成功）
1、函数y=2cosx,
3
,
22
x
ππ
⎡⎤
∈-⎢⎥
⎣⎦
的增区间为；减区间
为。

2、书第35页B组第2题（分cosx＜0和cosx≥0两种情况化简解析式后画出图像）（1）该函数图像为：
（2）定义域为；值域为；x= 时，函数最大值为；最小正周期为；奇偶性为；
(3)该函数图像的对称性是；增区间为；
减区间为。

（4）函数在上的图像与直线y=-1的交点个数是。

四、学习体会
我的疑惑：。

6 余弦函数的图像与性质[核心必知]余弦函数的图像与性质函数y ＝cos x图像定义域 R 值域[－1,1]最值当x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性 周期函数，T ＝2π 奇偶性偶函数，图像关于y 轴对称 单调性在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上是增加的；在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上是减少的1．如何由y ＝cos x ，x ∈R 的图像得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像？提示：只需将y ＝cos x ，x ∈R 的图像向右平移π2个单位即可得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像，并且方法不唯一．2．余弦函数在第一象限内是减函数吗？提示：不是．余弦函数y ＝cos x 在[0，π2]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如390°和60°都是第一象限的角，虽然390°>60°，但cos 60°＝12，cos 390°＝32.却有cos 60°<cos 390°.所以函数y ＝cos x 在第一象限内不是减函数．3．余弦函数是轴对称图形，不是中心对称图形，这句话对吗？提示：不对．余弦函数与正弦函数一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是x ＝k π(k ∈Z )；它的对称中心有无数个，其坐标为(k π＋π2，0)(k ∈Z )．讲一讲1．画出函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图像． [尝试解答] 按五个关键点列表：x 0 π2 π 3π2 2π y121描点并将它们用光滑的曲线连接起来 如图所示：1．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐标是(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．形如y ＝a cos x ＋b ，x ∈[0，2π]的函数，也可由五点法画图像． 练一练1．用“五点法”画出y ＝3＋2cos x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表x 0 π2 π 3π2 2π y ＝cos x 1 0 －1 0 1 y ＝3＋2cos x53135(2)描点，连线，如图所示：讲一讲2．(1)求下列函数的定义域． ①y ＝32－cos x ； ②y ＝log 12(2cos x －2)．(2)求函数y ＝3－2cos(2x －π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2的值域． [尝试解答] (1)①要使函数有意义，则有32－cos x ≥0，∴cos x ≤32.可得2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z . 故所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z .②要使函数有意义，则有2cos x －2>0， ∴cos x >22，故所求定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－π4<x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)∵π6≤x ≤π2，∴0≤2x －π3≤2π3.∵y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， ∴－12≤cos(2x －π3)≤1，∴1≤3－2cos(2x －π3)≤4，故函数的值域为[1，4]．1．求三角函数的定义域，应归结为解三角不等式，其关键就是建立使函数有意义的不等式(组)，利用三角函数的图像直观地求得解集．2．求三角函数的值域，要充分利用sin x 和cos x 的有界性，对于x 有限制范围的，可结合图像求值域．练一练2. 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的最值．解：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3(cos x －23)2－13.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14.讲一讲3．(1)判断函数f (x )＝cos(π－x )－x cos(π2－x )的奇偶性．(2)求函数y ＝cos(π6－x )的单调减区间．[尝试解答] (1)∵f (x )＝cos(π－x )－x cos(π2－x )＝－cos x －x sin x ，∴f (－x )＝－cos(－x )－(－x )sin(－x ) ＝－cos x －x sin x ＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数．(2)y ＝cos(π6－x )＝cos(x －π6)，令2k π≤x －π6≤π＋2k π(k ∈Z )，得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π(k ∈Z )． ∴函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋2k π，7π6＋2k πk ∈Z .1．判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据f (－x )与f (x )的关系确定奇偶性．2．确定三角函数的单调区间，在理解基本三角函数的单调性的前提下，运用整体代换的思想求解．练一练3．比较下列各组值的大小． (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8与cos 7π6；(2)sin 194°与cos 160°.解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π8 ＝－cos π8.而cos 7π6＝－cos π6∵0<π8<π6<π2.∴cos π8>cos π6.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8<cos 7π6.(2)∵sin 194°＝sin(180°＋14°) ＝－sin 14°＝－cos 76°， cos 160°＝cos(180°－20°) ＝－cos 20°.∵0°<20°<76°<90°， ∴cos 20°>cos 76°， ∴－cos 20°<－cos 76°， ∴sin 194°>cos 160°.函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π [解析] 法一：作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图像，函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝2围成的平面图形，如图(1)所示的阴影部分．利用图像的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积， 又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 法二：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于三角形ABC 的面积(如图(2))． ∵|AC |＝2π，B 到AC 距离等于4. ∴S 平面图形＝S △ABC ＝ 12×2π×4＝4π. 法三：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于矩形ABCD 的面积(如图(3)) ∵|AB |＝π，|AD |＝4. ∴S 平面图形＝S 矩形ABCD ＝4π. [答案] D1．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．1，－3 C ．1，－1 D ．2，－1解析：选B ∵－1≤cos x ≤1∴－2≤2cos x ≤2， ∴－3≤2cos x －1≤1， ∴最大值为1，最小值为－3.2．函数y ＝－cos x 在区间[－π，π]上是( ) A ．增加的 B ．减少的C ．先增加后减少D ．先减少后增加解析：选D 作出y ＝－cos x 的图像可得选项D 正确． 3．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π，2k π－π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )解析：选 C 在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像，由图像可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π上，y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的．4．函数y ＝cos x1＋cos x的定义域是________．解析：由1＋cos x ≠0得cos x ≠－1 ∴x ≠π＋2k π，k ∈Z∴ 定义域是{}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z . 答案： {}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z5．当x ∈[0，2π]时，方程sin x ＝cos x 的解集是________． 解析：在同一坐标系内画出y ＝sin x 和y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像，如图，可得x ＝π4或x ＝5π4. 答案： {π4，5π4}6．比较cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的大小．解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos 3π5. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减少的． 所以cos π4>cos 3π5即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4. 一、选择题1．下列对y ＝cos x 的图像描述错误的是( )A ．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点 答案：C2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像 可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间． 3．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A ．(－32，12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选B ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数． ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32.4．设方程cos 2x ＝1的解集为M ，方程sin 4x ＝0的解集为P ，则M 与P 的关系为( ) A ．MP B ．M PC ．M ＝PD ．M ∩P ＝∅解析：选A 由cos 2x ＝1得2x ＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π(k ∈Z )；由sin 4x ＝0得4x ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π4(k ∈Z )．∴MP .二、填空题5．函数y ＝x cos x 的奇偶性是________．解析：∵f (－x )＝－x ×cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )， ∴此函数是奇函数． 答案：奇函数6．比较大小：sin 3π5________cos π5.解析：∵sin 3π5＝sin(π－2π5)＝sin 2π5＝sin(π2－π10)＝cos π10，0<π10<π5<π2. ∴cos π10>cos π5，即sin 3π5>cos π5.答案：>7．方程x 2＝cos x 的解的个数是________．解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像(如图)，可知有两个交点． 答案：28．函数y ＝11－cos x 的值域是________．解析：∵0<1－cos x ≤2. ∴11－cos x ≥12.∴ 函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞三、解答题9．求函数y ＝cos(3x －π4)的单调减区间．解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，得2k π＋π4≤3x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ，∴2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12，k ∈Z .∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )．10．求函数y ＝cos 2x ＋cos x ＋1的最大、最小值及使y 取最值的x 的集合． 解：令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]． ∴y ＝t 2＋t ＋1，对称轴t ＝－12.①当t ＝－12，即x ∈{x |x ＝±23π＋2k π，k ∈Z }时，y min ＝34.②当t ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3.。