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●3）音位和音素的关系
●二者既有区别又有联系。
●这个问题留给大家考虑。
●首先，二者存在区别。
●A．划分的依据不同：音素是根据语音的物理、生理等自然属性划分出来的，音位主要
是根据语音的社会属性划分出来的。看两个语音形式是不是同一个音素，只须看发音部位、发音方法等是否相同，而看两个语音形式是否属于同一个音位，除了看它们的自然属性，更主要的是看它们的社会属性，看它们是否能区分不同的语言符号。
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●B．音素是属于所有语言的，音位是属于个别语言或方言的。音素是从自然属性出发划
分出来的最小单位，不同的语言中的同一个音素，其自然属性都是相同的。而音位是具体语言或方言中按社会习惯划分出来的能区别意义的最小的单位，因而是属于具体语言或方言的。
●C．数量上不同。一般来讲，一个语言的音素的数量要比音位的数量大得多。一个语言
的音位，经过归纳，一般都在几十个。而一个语言里实际所包含的音素是很多的，其数量远远超出人们的想象。
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●二者也存在着联系。一般来讲，音位和音素有着集体和个体的关系。一个音位往往包括
几个不同的音素。例如，汉语普通话的音位/a/就包括［a］［A］［］［］四个不同的音素。
●4）．归纳音位的意义
●前面讲过，即使具体到某一个语言，它实际上使用的音素也是比较繁多的。如果把出现
的每一个音素都做成字母，让人们学习，那么这门语言将是十分繁琐的。所以，无论是面对一个只有口语的语言，还是调查一个陌生的语言，都要尽量把该语言所出现的所有音素归纳成音位，这样，在为一个的语言创制字母的并对它进行描写和记录时候，就可以达到以简驭繁的目的。
音素、音位、音位变 体的区别
音素：（phone） 1、语音中最小的单位。是从音色的角度划分出来的最小的语音单位。 2、在语音学与音韵学中，音素一词所指的是说话时所发出的声音。音素是具体存在的物理现象。国际音标的音标符号与全人类语言的音素具有一一对应。 3、英语共有48个音素，其中元音20个，辅音28个。英语辅音和元音在语言中的作用，就相当于汉语中的声母和韵母。记录英语音素的符号叫做音标。 音位：（Phoneme） 1、一个语言系统中能够区分词义的最小的语言单位，也就是按语音的辨义作用归纳出来的音类，是从语言的社会属性划分出来的语言单位。 2、是语言中能表示语义的单位。 3、音位及其归纳方法 1）具有相同的表义作用一样的一组音素，可归纳成同一个音位。它有如下特点：第一，音位总是属于一定的语言，脱离具体的语言，音位无从谈起。第二，属于同一个音位的各个音，不能区别意义，不同音位的各个音，能够区别意义。第三，音位必须是最小的单位。例如，汉语的声母和单韵母可以看作音位，复韵母和鼻韵母就不能看作音位。 2）音位的种类：可大别为两类：一是音质音位，由音素构成；二是非音质音位，由声调等构成的叫非音质音位。音质音位有元音音位共十个（音元音韵母）；辅音音位有22个，其中21个作声母，1个专作韵尾。非音质音位有四个声调音位，简称调位。音位用平行斜线中加国际音标字母表示。 音位变体：（Allophones） 1、同属于一个音位的不同音素叫做“音位变体” 2、音位变体可分为“条件变体”和“自由变体”两种。1）条件变体，指需要一定的语言条件才会出现的音位变体，又叫“必然变体”。2）自由变体，指没有环境限制，可以自由替换而不影响意义的音位变体，又叫“习惯变体”。 3、音位变体就是同一个音位的不同的变异形式，是音位在特定语音环境中的具体体现或具体代表。如英语中的，leap /li:p/ 与feel /fi:l/ 中的两个不同的/l/，就是音位/l/的两个不同变体。 音位与音素的区别：1、划分角度不同。音素是从人类语音的音质上着眼划分出来的最小语音单位，两个音若音质不同，就是两个不同的音素。2、划分范围不同。音素是从人类的语言所能用到的全部语音里划分出来的最小语音单位，而音位则是在某种特定的语言或方言的语音系统里划分出来的最小语音单位。 音位与音位变体的区别：1、音位和音位变体的关系，是一般与个别的关系。2、音位是一个总的名称，而一个具体的音位，总是要通过不同的变体体现出来。比如一个音位有四个变体，这个音位在不同场合总是表现为其中某一个具体的音位。音位本身是抽象的。
《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
发音特征及其英汉音位系统的对比 来源：英语专业论文 https://www.doczj.com/doc/2b2738784.html,/ 一、英语爆破音的发音特征英语的爆破音共有三对,发音方法是:使气流在口腔某处成阻,再让气流冲决阻碍,爆破生音,因此叫爆破音。 英语的6个爆破音中:/p/和/b/的发音部位是双唇;/t/和/d/的发音部位是舌尖和齿龈;/k/和/g/发音时,则是用舌后部触软腭形成阻塞而爆破成音。其中,/p/、/t/和/k/是清辅音,因为发这3个音时声带无需振动;而/b/、/d/和/g/在发音时,声带振动,是浊辅音。 二、英汉爆破音音位系统对比分析为了行文的方便,我们将汉语的声母加上双圆括号,以区别于英语辅音音素。爆破音的学习在发音部位方面并不难掌握:英语的爆破音与汉语的声母(b、p、d、t、k、g)极为相似。所不同之处主要体现在发音方法上。总的来说,英语的3对爆破音的区别特征是清辅音和浊辅音;而区别汉语3对声母的特征则是送气音与非送气音。 换句话说,汉语辅音音位系统的特点之一是有系统的送气与不送气的对立,因而汉语中有[p]与[p],[t]与[t],[k]与[k]等成对对立的音位;而英语辅音音位系统中,没有送气与不送气的对立,其特点是有系统的清浊对立,因而英语中有/p/与 /b/,/t/与/d/,/k/与/g/等成对对立的音位。 我们再来对比一下两个音位系统中相对应音位的主要音位变体构成情况,及对比这些音位变体的分布环境。英语音位/p/的两个主要音位变体[p]和[p]的分布是互补的,不送气的[p]只出现在/s/音后面。而汉语中不送气的[p]本身构成一个音位,与送气的[p]对立,因而两者具有几乎完全相同的分布环境。我
第三章语音和音系 一、名词解释 语音四要素——音高、音重（强）、音长、音质。 音素——是从音质的角度划分出来的最小的线性的语音单位 音位——具体语言中有区别词的语音形式的作用的最小的语音单位。也是按语音的辨义作用归纳出来的音类，从语言的社会属性划分出来的语言单位 音位变体——处在互补关系中的相似的音素彼此不对立，即不起区别词的语音形式的作用，我们可以把它们归并为一个音位。如果它们被归并为一个音位，则处于互补关系中的各个音素就被看成为同一音位在不同位置上的代表，是同一个音位的不同的变异形式，所以我们把它们叫做音位变体。 非音质音位——非音质音位指具有区别词的语音形式的作用的音高、音重、音长等。例如汉语普通话声调中的阴平、阳平、上声、去声，是由音高的变化形成的而不是音质变化形成的，就是非音质音位。 区别特征——具体语言中有区别音位的作用的发音特征，叫做该语言的区别特征。每一个音位都可以分解为几个不同的区别特征。运用区别特征比较容易说清楚音位在具体语言中的特点和具体语言语音系统的组织方式。 音节——由音位组成的语音中最小的结构单位，也是从听觉上感受到的最自然的单位。 语流音变——音位和音位组合的时候，由于受说话时快慢，高低、强弱的不同和邻音的影响，可能发生不同的临时性的变化。这种变化，我们叫做语流音变。 音步——语言的一种节奏中，语流是大致每隔两个音节就有一次小的轻重、高低、长短或松紧的交替，形成语流中大致等距离出现的两音节的节奏单元。这种节奏单元叫做音步。 二、填空或简答 1、画一张元音舌位图，用国际音标标出八个基本元音。 八个基本元音[i][e][ ][a][u][o][?][ɑ] 2、按音位特征用国际音标注出相应的音素。 （1）双唇浊鼻音m （2）舌尖前浊擦音z
《语言学纲要》第三章语音和音系 一、名词解释 语音四要素——音高、音重（强）、音长、音质。 音素——是从音质的角度划分出来的最小的线性的语音单位 音位——具体语言中有区别词的语音形式的作用的最小的语音单位。也是按语音的辨义作用归纳出来的音类，从语言的社会属性划分出来的语言单位 音位变体——处在互补关系中的相似的音素彼此不对立，即不起区别词的语音形式的作用，我们可以把它们归并为一个音位。如果它们被归并为一个音位，则处于互补关系中的各个音素就被看成为同一音位在不同位置上的代表，是同一个音位的不同的变异形式，所以我们把它们叫做音位变体。 非音质音位——非音质音位指具有区别词的语音形式的作用的音高、音重、音长等。例如汉语普通话声调中的阴平、阳平、上声、去声，是由音高的变化形成的而不是音质变化形成的，就是非音质音位。 区别特征——具体语言中有区别音位的作用的发音特征，叫做该语言的区别特征。每一个音位都可以分解为几个不同的区别特征。运用区别特征比较容易说清楚音位在具体语言中的特点和具体语言语音系统的组织方式。 音节——由音位组成的语音中最小的结构单位，也是从听觉上感受到的最自然的单位。 语流音变——音位和音位组合的时候，由于受说话时快慢，高低、强弱的不同和邻音的影响，可能发生不同的临时性的变化。这种变化，我们叫做语流音变。 音步——语言的一种节奏中，语流是大致每隔两个音节就有一次小的轻重、高低、长短或松紧的交替，形成语流中大致等距离出现的两音节的节奏单元。这种节奏单元叫做音步。 二、填空或简答 1、画一张元音舌位图，用国际音标标出八个基本元音。 八个基本元音[i][e][ ][a][u][o][?][ɑ]
数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法
前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。
1. 举例说明应怎样归纳音位 音位是从具体语言或方言中归纳出来的。归纳的时候首先要考虑具体语言或方言中不同音素之间的相互关系。与音位归纳有关的关系主要有两种，一是"对立关系"，一是"互补关系"。在弄清这些关系后，就可以依据下列原则进行音位归纳： 1、对立原则：音素间的对立关系是指不同的音素可以出现在相同的语音环境里，它们的差别能够区别语素或词的意义。判定对立关系的方法是找到一个语音环境，然后用替换的方法进行测试。例如英语存在"[__in]"这样一个语音环境，如果分别用[p]、[b]、[t]、[d]等音素填充替换，可以得到pin（别针）、bin（仓）、tin（罐头）din （喧闹声）等不同词的不同语音形式，这说明[p]、[b]、[t]、[d]等音素能够区别意义，处于对立关系中。汉语普通话的[p][p'][t][t'][k][k']等同理也有对立关系。处在对立关系之中的若干音素都具有辨义功能，因而一定分属于不同的音位。需要注意的是，在进行替换测试时，若干音素的互相替换应该在音节的同一层次的同一位置上进行，例如在汉语普通话[__i]环境下，[t]、[n]和[l]互相替换是成立的，因为它们都处于同一层次的声母位置上。而虽然有[ai]和[li]两个形式，但是[a]和[i]不处于同一层次上，[a]处于韵腹位置，[i]处于声母位置,因此，我们不能认为[a]和[i]有替换关系。 2、互补原则：互补关系是指几个不同的音素各有自己的出现环境，它们从不在相同的语音环境中出现和互相替换。处在互补关系之中的几个音素不可能出现在相同的语音环境里，因而不能起区别意义的作用，我们就有可能把它们归并为一个音位，使它们成为这个音位的几个条件变体。例如汉语普通话[P][a][A][§]四个音素出现的语音环境是各不相同的： 在正常情况下，出现[P]的地方不会出现其他三个元音，[a]、[A]和[§]的情况也是如此。这四个元音音素的出现环境互相补充，不会有对立现象。因此我们有可能把它们归入同一个/a/，让它们成为/a/的四个条件变体。 3、语音相似原则：处于互补关系之中的若干音素，只有在语音相似的条件下才可以归并为一个音位。如果语音上相差太远，听起来完全是不同的音，那么几个音素即使是互补的，也不能归并为一个音位。例如汉语普通话的[k]和[D]也是互补的，[k]只出现在音节的开头，[D]只出现在音节的末尾，但这两个辅音的音质差别太大，所以它们分属于不同的音位。所谓"语音相似"是指说某种语言的那个语言社团的人们感觉若干个音素相似，例如英语里的[p]和[p']，虽然在汉族人听来这两个音差别很大，但英美人听起来却觉得相似。而汉语普通话[P][a][A][§]四个音素在说普通话的人看来，语音很相似，可以依据互补原则和语音相似原则可以归并为一个音位/a/。 补充：这个比较详细了，你可以再自己归纳一下，或参考《语言学纲要》
课题：数学归纳法及其应用举例 【教学目标】 知识与技能： 1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质; 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)． 3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神； 2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神； 3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神； 4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】 数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学过程】 一、创设情境，启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等； 教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常
幻灯片125 ●3）音位和音素的关系 ●二者既有区别又有联系。 ●这个问题留给大家考虑。 ●首先，二者存在区别。 ●A．划分的依据不同：音素是根据语音的物理、生理等自然属性划分出来的，音位主要 是根据语音的社会属性划分出来的。看两个语音形式是不是同一个音素，只须看发音部位、发音方法等是否相同，而看两个语音形式是否属于同一个音位，除了看它们的自然属性，更主要的是看它们的社会属性，看它们是否能区分不同的语言符号。 幻灯片126 ●B．音素是属于所有语言的，音位是属于个别语言或方言的。音素是从自然属性出发划 分出来的最小单位，不同的语言中的同一个音素，其自然属性都是相同的。而音位是具体语言或方言中按社会习惯划分出来的能区别意义的最小的单位，因而是属于具体语言或方言的。 ●C．数量上不同。一般来讲，一个语言的音素的数量要比音位的数量大得多。一个语言 的音位，经过归纳，一般都在几十个。而一个语言里实际所包含的音素是很多的，其数量远远超出人们的想象。 幻灯片127 ●二者也存在着联系。一般来讲，音位和音素有着集体和个体的关系。一个音位往往包括 几个不同的音素。例如，汉语普通话的音位/a/就包括［a］［A］［］［］四个不同的音素。 ●4）．归纳音位的意义 ●前面讲过，即使具体到某一个语言，它实际上使用的音素也是比较繁多的。如果把出现 的每一个音素都做成字母，让人们学习，那么这门语言将是十分繁琐的。所以，无论是面对一个只有口语的语言，还是调查一个陌生的语言，都要尽量把该语言所出现的所有音素归纳成音位，这样，在为一个的语言创制字母的并对它进行描写和记录时候，就可以达到以简驭繁的目的。
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
语音学与音位学的区别 在语音学(phonetics)里，偏重于发音部位，发音方式，语音特征的研究。在音位学(phonemics)里，偏重于各个独立的基本音在语音系统的重要性，语音结构及语音组合规律等。换言之，语音学里的工作较近于语言的具体面，音位学的工作较近于语音的抽象面。在音位学里，我们会去注意各种语音发音差异，在整个语音系统里是否有意义，在语音学里，说话者 ( 我们 ) 只注意它 ( 语音 ) 的实质不同，不去管它 ( 语音 ) 在整个语音系统里有无意义，我们听到别人怎么说，我们就跟着说。 ( 参考余光雄《英语语言学概论》) ?Phones :the sounds made by humans. [人类发出的语音] ?Phonetics:the study of phones; the study of human speech sounds; phonemics is the study of phones as they act in a particular language. [研究语音的学问；研究人类语音的学问；phonemics 是研究某一特定 语言的语音的学问] ?Phonemes :the smallest sound that contrasts meaning (they carry no meaning themselves); the smallest unit of sound in speech; the basic unit of spoken language; a member of the set of the smallest units of speech that serve to distinguish one utterance from another in a language or dialect. [区别意义的最小语音单位(本身不具意 义) ；语言中最小的语音单位;口语中的最基本单位;一个语言或方 言中用来区别语词的最小语音单位] ?Phonemics :the study of phonemes; studies only the significant sound contrasts of a given language. [研究音位的学问；专门研究 某一语言中语音对比的学问] 语音学主要处理语音的物理性质描述，而音位学主要处理一个语言系统中语音的功能。当然在音位学的分析中也会利用语音学的基本知识。举例来说，在语音学方面，可以看出有许多不同的't'的语音，例如在音节首、两个母音之间以及音节尾。换句话说，在这些情形下的't'的发音都不一样。以此例来说，音位学检验这三个音在功能方面上的角色，例如它指出了它们三个发音不同时个
2. 英语音位及音位变体的归纳 一音位概说 音位是一个语音系统中能够区别意义的最小语音单位。音位是按照语音的社会属性划分出来的。在一种语音里，音素往往要远远地多于音位。例如，在普通话里，音位/a/代表着四个不同的音素[a]、[ε]、[α]、[A]。音位是在实际语境中通过对比和替换而归纳出来的。 音位的分类：元音音位、辅音音位和调位。其中调位为非音质音位。 二音位变体 一个音位往往包含一些不同的音，这些音即称为音位变体。音位变体是音位的具体表现形式，音位是从中概括归纳出来的，因而音位具有一定的抽象性。音位与音位变体的关系是类别与成员的关系。例如，普通话的/ a /音位在语境中表现为以下形式[ a ]（安、爱）、[ε]（严、远）、[ A ]（啊、牙）和[α]（昂、王）。 音位变体可分成条件变体和自由变体。在一定条件下出现的变体即为条件变体，如前面/ /的各种变体即是。没有条件限制，可以自由替换而不影响意义的音位变体则为自由变体，如南京话中的[ n ]和[ l ]。 归纳音位应在同一语音系统中进行。归纳音位的标准主要是语音的辨义功能、互补分布和音感差异。在一个语音系统中，如果某种语音差异能够导致意义的不同，那么这种差异就是根本性的，并最终成为不同音位之间的界限。构成上述差异的语音特征被称作“区别性特征”，如送气与不送气、四声即是。对音位的条件变体而言，不同的变体各有特定的分布位置，这种状况就是所谓的“互补分布”。处于互补状态的语音差异一般不造成音位的对立。因此，互补分布也是归纳音位的一种重要标准。但必须注意，当处于互补位置的几个音在音感上差别过大时，则不宜归纳为一个同一音位，如[ m ]、[ η]即是。所以，音感是划分音位的一个参照标准。
数学归纳法的七种变式及其应用
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4是证明一个命题对于所有的自然数都是成立的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为：
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4 是证明一个命题对于所有的自然数都是成立 的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为： 设()p n 是一个含有正整数n 的命题(n a ≥，*a N ∈), 如果 1）当n =a 时,()p a 成立；
说课题目：数学归纳法及其应用举例（第一课时） （选自人教版高中数学选修2-2第二章第3节） 一、教材分析 1．内容的前后联系、地位和作用 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的 学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不 完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特 殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全 归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安 排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。也是历年高考中比较常考的证明方法. 它可以证明某些与正整数有关且具有递推性的数学 命题，也可以通过?有限?来解决某些?无限?问题. 2. 教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对 已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于 置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订 以下教学目标。 【知识目标】 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 【能力目标】 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密 的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新 能力。 【情感目标】 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困 难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜 欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 3．教学重点、难点 【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。 二、教法、学法分析 【教法的选择】
For personal use only in study and research; not for commercial use For personal use only in study and research; not for commercial use 音素：（phone） 1、语音中最小的单位。是从音色的角度划分出来的最小的语音单位。 2、在语音学与音韵学中，音素一词所指的是说话时所发出的声音。音素是具体存在的物理现象。国际音标的音标符号与全人类语言的音素具有一一对应。 3、英语共有48个音素，其中元音20个，辅音28个。英语辅音和元音在语言中的作用，就相当于汉语中的声母和韵母。记录英语音素的符号叫做音标。 音位：（Phoneme） 1、一个语言系统中能够区分词义的最小的语言单位，也就是按语音的辨义作用归纳出来的音类，是从语言的社会属性划分出来的语言单位。 2、是语言中能表示语义的单位。 3、音位及其归纳方法 1）具有相同的表义作用一样的一组音素，可归纳成同一个音位。它有如下特点：第一，音位总是属于一定的语言，脱离具体的语言，音位无从谈起。第二，属于同一个音位的各个音，不能区别意义，不同音位的各个音，能够区别意义。第三，音位必须是最小的单位。例如，汉语的声母和单韵母可以看作音位，复韵母和鼻韵母就不能看作音位。 2）音位的种类：可大别为两类：一是音质音位，由音素构成；二是非音质音位，由声调等构成的叫非音质音位。音质音位有元音音位共十个（音元音韵母）；辅音音位有22个，其中21个作声母，1个专作韵尾。非音质音位有四个声调音位，简称调位。音位用平行斜线中加国际音标字母表示。 音位变体：（Allophones） 1、同属于一个音位的不同音素叫做“音位变体” 2、音位变体可分为“条件变体”和“自由变体”两种。1）条件变体，指需要一定的语言条件才会出现的音位变体，又叫“必然变体”。2）自由变体，指没有环境限制，可以自由替换而不影响意义的音位变体，又叫“习惯变体”。 3、音位变体就是同一个音位的不同的变异形式，是音位在特定语音环境中的具体体现或具体代表。如英语中的，leap /li:p/ 与feel /fi:l/ 中的两个不同的/l/，就是音位/l/的两个不同变体。 音位与音素的区别：1、划分角度不同。音素是从人类语音的音质上着眼划分出来的最小语音单位，两个音若音质不同，就是两个不同的音素。2、划分范围不同。音素是从人类的语言所能用到的全部语音里划分出来的最小语音单位，而音位则是在某种特定的语言或方言的语音系统里划分出来的最小语音单位。 音位与音位变体的区别：1、音位和音位变体的关系，是一般与个别的关系。2、音位是一个总的名称，而一个具体的音位，总是要通过不同的变体体现出来。比如一个音位有四个变体，这个音位在不同场合总是表现为其中某一个具体的音位。音位本身是抽象的。
《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案 一、说教材 （一）教材分析 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。 （二）教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。 1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 2.能力目标 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。 3.情感目标 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 （三）教学重难点 根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点： 1.重点 （1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 2.难点
音素：（phone） 1、语音中最小的单位。是从音色的角度划分出来的最小的语音单位。 2、在语音学与音韵学中，音素一词所指的是说话时所发出的声音。音素是具体存在的物理现象。国际音标的音标符号与全人类语言的音素具有一一对应。 3、英语共有48个音素，其中元音20个，辅音28个。英语辅音和元音在语言中的作用，就相当于汉语中的声母和韵母。记录英语音素的符号叫做音标。 音位：（Phoneme） 1、一个语言系统中能够区分词义的最小的语言单位，也就是按语音的辨义作用归纳出来的音类，是从语言的社会属性划分出来的语言单位。 2、是语言中能表示语义的单位。 3、音位及其归纳方法 1）具有相同的表义作用一样的一组音素，可归纳成同一个音位。它有如下特点：第一，音位总是属于一定的语言，脱离具体的语言，音位无从谈起。第二，属于同一个音位的各个音，不能区别意义，不同音位的各个音，能够区别意义。第三，音位必须是最小的单位。例如，汉语的声母和单韵母可以看作音位，复韵母和鼻韵母就不能看作音位。 2）音位的种类：可大别为两类：一是音质音位，由音素构成；二是非音质音位，由声调等构成的叫非音质音位。音质音位有元音音位共十个（音元音韵母）；辅音音位有22个，其中21个作声母，1个专作韵尾。非音质音位有四个声调音位，简称调位。音位用平行斜线中加国际音标字母表示。 音位变体：（Allophones） 1、同属于一个音位的不同音素叫做“音位变体” 2、音位变体可分为“条件变体”和“自由变体”两种。1）条件变体，指需要一定的语言条件才会出现的音位变体，又叫“必然变体”。2）自由变体，指没有环境限制，可以自由替换而不影响意义的音位变体，又叫“习惯变体”。 3、音位变体就是同一个音位的不同的变异形式，是音位在特定语音环境中的具体体现或具体代表。如英语中的，leap /li:p/ 与feel /fi:l/ 中的两个不同的/l/，就是音位/l/的两个不同变体。 音位与音素的区别：1、划分角度不同。音素是从人类语音的音质上着眼划分出来的最小语音单位，两个音若音质不同，就是两个不同的音素。2、划分范围不同。音素是从人类的语言所能用到的全部语音里划分出来的最小语音单位，而音位则是在某种特定的语言或方言的语音系统里划分出来的最小语音单位。 音位与音位变体的区别：1、音位和音位变体的关系，是一般与个别的关系。2、音位是一个总的名称，而一个具体的音位，总是要通过不同的变体体现出来。比如一个音位有四个变体，这个音位在不同场合总是表现为其中某一个具体的音位。音位本身是抽象的。