《分数指数幂》教学设计

城东蜊市阳光实验学校分数指数幂 教学目的1.分数指数幂的概念2.有理指数幂的运算性质教学重点1．分数指数幂的概念2．有理指数幂的运算法那么教学难点对分数指数幂概念的理解教学方法发现法教具准备十张幻灯片教学过程教学过程一、复习二、分数指数幂1．导入)0()0()0(4824831243125102510>==>==>==a a a a a a a a a a a a⇒231254(0)(0)(0)a a b b c c =>=>=> 事实上，kn n k a a =)(假设设a>0,*),1(N n n nm k ∈>=，那么m n n m n k a a a ==)()( 由n 次根式定义,n a a m n m的是次方根，即：n m n ma a =2．正分数指数幂的意义 规定：)1*,,0(1>∈>=-n N n m a a a n mn m且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

3．整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂注：1．分数指数幂是根式的另一种表示形式2．根式与分数指数幂可以进展6互化3．根式之间的运算可借助分数指数幂运算性质进展三、例题讲解练习1x 取何值时以下各式有意义？解：(1)10,1x x -≥∴≤(2)10,1x x -≠∴≠例1．求值 解：323(2)(3)61(1)()(2)22644----⨯-==== 例2．化简0a >解：313224()a a ====例3．化简求值11223x x -+=，求3322123x x x x --++++的值。

解：111222()27x x x x --+=+-=练习2：1．化简答案：4(1)a 2233(2)2x y ---2．30,3,na a >=求33n nn n a a a a --++的值 答案：73四、小结1．)1n ,,0(>∈>=+，N n m a a a n m n m2．分数指数幂是根式的另一种表示形式根式与分数指数幂可以进展6互化根式之间的运算可借助分数指数幂运算性质进展3．化简：将根式化为分数指数幂；立方和、立方差、平方和、平方差公式的灵敏运用。

课题 4.1.1.（2）分数指数幂课型新授第几课时2教材分析本节内容是在前面n次根式的基础上讨论和研究。

分数上的指数幂的学习则在n次根式的学习的的基础上进行的拓展和延伸，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解根式这一基本概念，另一方面它又为接下来实数指数幂的运算法则的学习作必要的准备。

学情分析1、现阶段的学生的运算能力较差。

2、学生在新知识的探究问题的能力稍有欠缺，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。

课时教学目标1.理解分数指数幂的概念．2.会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力．3.培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题．教学重点与难点教学重点：分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质教学难点：根式、分数指数幂进行互化．教学方法与手段问题解决教学法板书设计4.1.1.（2）分数指数幂1．整数指数幂的概念．a n ＝a ×a ×a ×…×a (n 个a 连乘)；a 0＝1(a ≠0)；a －n ＝1a n (a ≠0，n ∈N +)．例1：一、根式的性质(1)(n a )n ＝a ．例2：(2)当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝{a （a ≥0）－a （a ＜0）.小结：二、分数指数幂a 1n ＝n a (a ＞0)；a mn ＝n a m ＝(n a )m (a ＞0，m ，n ∈N +，且mn 为既约分数)．a －m n ＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N +，且mn 为既约分数)．作业设计教材P74，练习4.1.1；1、2、3题教学反思本节课的是为让学生突破所学的根式，学会将一般的根式通过一定的方式方法转化为常用的分数指数幂的形式，从而能够达到用辩证的思维去看待不同的问题的目的，最终将有理指数幂推广到实数指数幂的形式。

课题：分数指数幂
授课时间：
教学目标
知识与技能
理解分数指数幂的概念。

过程与方法
让学生感受由特殊到一般的数学思想方法，通过一般化促进学生在原有的基础上的自足构建，从而增强学生对数学本质的认识。

情感，态度与价值观
让学生感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感。

重点难点
重点：利用正分数有理指数幂的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。

难点：正分数有理指数幂的运算性质。

教法学法：探讨研究
教学用具：多媒体。

分数、指数和幂是数学中非常重要的概念。

掌握这些概念对于学生在数学学习中是至关重要的。

本教案将介绍如何教授分数、指数和幂的概念以及相关的计算方法。

一、教学目标通过本节课的教学，学生应能够：1. 了解分数、指数和幂的概念；2. 掌握分数的四则运算规则；3. 掌握指数和幂的基本性质和计算方法；4. 能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学准备1. 教材：《数学学习》第六册；2. 教具：课件、黑板、粉笔。

三、教学过程1. 导入（5分钟）老师简单介绍什么是分数、指数和幂的概念，以及它们在生活中的应用，激发学生对本节课的兴趣。

2. 分数（20分钟）（1）概念讲解：老师通过示例展示分数的定义和表示方法，并解释分子和分母的含义。

帮助学生理解分数的意义和基本性质。

（2）基本运算：接下来，老师介绍分数的加减乘除规则，并通过具体的例子进行讲解。

在讲解过程中，鼓励学生积极回答问题，加深对分数运算规则的理解。

3. 指数与幂（30分钟）（1）概念讲解：老师通过例子，引入指数和幂的定义和概念，帮助学生理解指数和幂的含义和基本性质。

（2）指数运算：老师重点讲解指数运算的基本规则和性质，包括指数相同、指数相加、指数相减的计算方法，并通过实例进行讲解和练习。

（3）幂运算：老师介绍幂运算的基本规则和性质，包括幂的乘方法则和幂的倒数法则，并通过例题和练习加深学生对幂运算的理解。

4. 实际应用（20分钟）老师提供一些与分数、指数和幂相关的实际问题，并指导学生如何应用所学知识解决这些问题。

通过解决实际问题，加深学生对所学知识的理解和掌握。

5. 总结（5分钟）老师对本节课的内容进行总结，并强调学生在日常学习中要多加练习，将所学知识应用到实际生活中。

四、作业布置布置相关的习题作为课后作业，巩固学生对分数、指数和幂的掌握程度。

以上是本节课的教案，通过有序的教学过程，学生应能够掌握分数、指数和幂的概念、运算规则以及应用方法。

希望本节课能够帮助学生在数学学习中取得更好的成绩。

分数指数幂课程设计二。

一、教学大纲1.分数指数的概念（1）分数指数的定义：正实数的分数指数幂是指一个正实数的幂次方的指数是一个分数。

（2）分数指数的含义：分数指数表示的是指数为分数时，底数的幂次方需要根号或分数幂次方来表示。

如2的1/2次方表示为根号下2，2的1/3次方表示为2的开3次方。

（3）分数指数与整数指数的联系：整数指数是分数指数的特殊情况。

当指数为自然数时，分数指数的定义就是整数指数的拓展。

2.分数指数的性质（1）分数指数的加减法：分数指数的加减法可以用指数乘法公式进行推导。

如：a^(b+c)=a^b * a^ca^(b-c)=a^b / a^c（2）分数指数的乘除法：分数指数的乘除法需要用到指数运算法则和根号的概念。

如：a^(b*c)=(a^b)^ca^(b/c)=c√a^b（3）分数指数的零次幂和负次幂：分数指数的零次幂等于1，分数指数的负次幂可以用整数指数的规律进行推导。

a^0=1a^(-n)=1/a^n, (a不等于0)（4）分数指数与根号的关系：分数指数可以使用根号来表示。

二、教学策略1.针对分数指数概念的教学策略（1）引导学生理解分数指数的概念：可以通过实际应用来引导学生去理解分数指数的概念，如温度的变化规律以及物体的增长规律。

（2）梳理分数指数概念的难点：针对学生理解分数指数概念的难点，可以利用多媒体课件、数据分析软件、教学视频等教学资源。

（3）给予学生分数指数各类例题的练习：通过让学生多做几个分数指数的例题，可以让学生更加清晰分数指数的概念与性质。

2.针对分数指数性质的教学策略（1）强调分数指数的运算法则：可以通过多个例子引导学生去理解分数指数的运算法则，让学生能够更加清晰分数指数的乘除和加减法。

（2）引导学生树立自主思考的意识：在教学过程中，需要引导学生养成自主思考的习惯，让学生能够根据已经学习到的基本知识，去发掘新的知识点。

（3）引导学生发现分数指数的特殊性质：通过引导学生去发现分数指数的特殊性质，可以让学生通过掌握少量分数指数的性质，就能够快速掌握分数指数的运算法则。

教学设计：《分数指数幂》教学目标〖知识与技能〗（1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。

（2） 会对根式、分数指数幂进行互化。

（3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。

〖情感、态度与价值观〗通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。

教学重难点根式、分数指数幂的概念及其性质。

教学情景设计1、复习讨论（1）根式的相关概念（2）整数指数幂：a a a a n⨯⨯⨯= 运算性质：n n n mn n m nm nmb a ab a a a a a ===⋅+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。

2、问题情境设疑问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP =，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。

例如：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为21，2)21(，3)21(，…… 21，2)21(，3)21(，……是正整数指数幂。

当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(。

设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322⨯？ 分析：66236263332222222=⨯=⨯=⨯，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？3、分数指数幂 实例引入：5102552510)(a a a a===，4123443412)(a a a a===问题：1、从以上两个例子你能发现什么结论？当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成根指数被开方数的指数a的形式2、4532,,c b a 如何表示？ 结论：规定)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm问题3、正数的负分数指数幂是：)1,,,0?(*>∈>=-n N n m a a nm分析：)1,,,0(1*00>∈>===--n N n m a a aa a anmnm nm nm如：3434515=-，)0(13232>=-a aa。

2. 1.1第二課時分數指數冪教案【教學目標】1.通過與初中所學知識進行類比，理解分數指數冪的概念進而學習指數冪的性質.2.掌握分數指數冪和根式的互化，掌握分數指數冪的運算性質培養學生觀察分析、抽象類別比的能力3.能熟練地運用有理數指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力.【教學重難點】教學重點：（1）分數指數冪概念的理解.（2）掌握並運用分數指數冪的運算性質.（3）運用有理數指數冪性質進行化簡求值.教學難點：（1）分數指數冪概念的理解（2）有理數指數冪性質的靈活應用.【教學過程】1、導入新課同學們，我們在初中學習了整數指數冪及其運算性質，那麼整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的.這就是本節的主講內容，教師板書本節課題—分數指數冪2、新知探究提出問題（1）整數指數冪的運算性質是什麼？a>（2）觀察以下式子，並總結出規律：01051025525===；a a a a()884242===；()a a a a③1212344434()a a a a ===； ④1010522252()aa a a ===.（3） 利用（2）的規律，你能表示下列式子嗎？435,57a ，n m x *(0,,,x m n N >∈且n>1)(4)你能用方根的意義來解釋（3）的式子嗎？（5）你能推廣到一般情形嗎？ 活動：學生回顧初中學習的整數指數冪及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最後兩步的指數之間的關係，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發學生類比（2）的規律表示，借鑒（2）（3），我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他同學鼓勵提示.討論結果：形式變了，本質沒變，方根的結果和分數指數冪是相通的.綜上我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書：規定：正數的正分數指數冪的意義是*(0,,,1)n nm ma a a m n N n =>∈>.提出問題（1） 負整數指數冪的意義是怎麼規定的？ （2） 你能得出負分數指數冪的意義嗎？（3） 你認為應該怎樣規定零的分數指數冪的意義？ （4） 綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？（5） 分數指數冪的意義中，為什麼規定0a >，去掉這個規定會產生什麼樣的後果？ （6） 既然指數的概念從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質是否也適用於有理數指數冪呢？活動：學生回顧初中學習的情形，結合自己的學習體會回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來類比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來，與整數指數冪的運算性質類比可得有理數指數冪的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明0a >的必要性，教師及時作出評價.討論結果：有了人為的規定後指數的概念就從整數推廣到了有理數.有理數指數冪的運算性質如下：對任意的有理數r,s,均有下面的運算性質：①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈3、應用示例例1 求值：21332416(1)8;(2)25;(3)()81--點評：本題主要考察冪值運算，要按規定來解.要轉化為指數運算而不是轉化為根式. 例2 用分數指數冪的形式表示下列各式.33223;;(0)a a a a a a a ••>點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算.對結果不強求統一用什麼形式但不能不倫不類.變式訓練求值：（1）363333••； （2）346627()125mn4、拓展提升已知11223,a a +=探究下列各式的值的求法.（1）33221221122;(2);(3)a a a a a a a a-----++-點評:：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯繫，然後採取“整體代換”或“求值後代換”兩種方法求值5、課堂小結 （1）分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是*(0,,,1)n n m ma a a m n N n =>∈>，正數的負分數指數冪的意義是*1(0,,,1),n mn nmmaa m n N n a a-==>∈>零的正分數次冪等於零，零的負分數指數冪沒有意義. （2） 規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數. （3）有理數指數冪的運算性質：①(0,,)r s r s a a a a r s Q +•=>∈②)(0,,)(r s rs a a r s Q a =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈ 【板書設計】 一、分數指數冪 二、例題 例1 變式1 例2 變式2【作業佈置】課本習題2.1A 組 2、4.2.1.1-2分數指數冪課前預習學案一． 預習目標 1. 通過自己預習進一步理解分數指數冪的概念 2.能簡單理解分數指數冪的性質及運算二． 預習內容１．正整數指數冪：一個非零實數的零次冪的意義是： ． 負整數指數冪的意義是： ．２．分數指數冪：正數的正分數指數冪的意義是： ．正數的負分數指數冪的意義是： ． ０的正分數指數冪的意義是： ．０的負分數指數冪的意義是： ．３．有理指數冪的運算性質：如果ａ＞０，ｂ＞０，ｒ，ｓ∈Ｑ，那麼rsaa ⋅＝ ；)(a rs＝ ；)(ab r＝ ．４．根式的運算，可以先把根式化成分數指數冪，然後利用 的運算性質進行運算．三． 提出疑惑通過自己的預習你還有哪些疑惑請寫在下面的橫線上課內探究學案一． 學習目標 1. 理解分數指數冪的概念2.掌握有理數指數冪的運算性質，並能初步運用性質進行化簡或求值學習重點：（1）分數指數冪概念的理解.（2）掌握並運用分數指數冪的運算性質. （3）運用有理數指數冪性質進行化簡求值.學習難點：（1）分數指數冪概念的理解 （2）有理數指數冪性質的靈活應用.二． 學習過程 探究一１．若0a >，且,m n 為整數，則下列各式中正確的是 （ ） A 、mmnna a a ÷= B 、mn m n aa a = C 、()nm m n a a += D 、01n n a a -÷=２．c ＜0，下列不等式中正確的是（ ）A c 2B cC 2D 2c cc cc c．≥．＞．＜．＞()()()121212３．若)2143(x --有意義，則ｘ的取值範圍是（ ）Ａ．ｘ∈Ｒ Ｂ．ｘ≠０．５ Ｃ．ｘ＞０．５ Ｄ．Ｘ＜０．５ 4．比較a=0.70.7、b=0.70.8、c=0.80.7三個數的大小關係是________． 探究二例１：化簡下列各式：（1）()()()2233111a a a -+-+-；（２）)3324()3(5621121231b a baba-÷---例２：求值：（１）已知a xx =+-22（常數）求88xx -+的值；（２） 已知ｘ＋ｙ＝１２，ｘｙ＝９ｘ，且ｘ＜ｙ，求yxy x 21212121++的值例３：已知ax212+=，求aa aaxxx x --++33的值．三． 當堂檢測１．下列各式中正確的是（ ）Ａ．1)1(0-=- Ｂ．1)1(1-=-- Ｃ．aa 22313=- Ｄ．x x x 235)()(=--2.44等於（ ） A 、16aB 、8a C 、4a D 、2a３．下列互化中正確的是（ ）Ａ．)0(()21≠=--x x x Ｂ．)0(3162<=y yyＣ．)0,((4343)()≠=-y x xy yx Ｄ．331x x-=４．若1,0a b ><,且22bba a -+=,則b b a a --的值等於（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、2５．使)23(243x x ---有意義的ｘ的取值範圍是（ ）Ａ．Ｒ Ｂ．1≠x 且3≠x Ｃ．－３＜Ｘ＜１ Ｄ．Ｘ＜－３或ｘ＞１課後練習與提高１．已知ａ＞０，ｂ＞０，且b aab=，ｂ＝９ａ，則ａ等於（ ）Ａ．43 Ｂ．９ Ｃ．91Ｄ．39 ２．2222=+-x x且ｘ＞１，則x x 22--的值（ ）Ａ．２或－２ Ｂ．－２ Ｃ．6 Ｄ．２３．=⨯⨯61125.1323 ． ４．已知N n +∈則)1](1[812)1(---n n ＝ ．５．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>-n n a a x a 1121,0,求()nx x 21++的值．。

分数指数幂3三维目标一、知识与技能1.理解无理数指数幂的含义.2.掌握无理数指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行实数指数幂的运算和化简.二、过程与方法1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂与无理数指数幂之间的内在联系，培养学生辩证地分析问题、认识问题的能力.三、情感态度与价值观1.通过无理数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类对事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解无理数指数幂的意义.3.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.教学重点1.无理数指数幂的含义的理解.2.无理数指数幂的运算性质的掌握.教学难点1.无理数指数幂概念的理解.2.实数指数幂的运算和化简.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、回顾旧知，探索规律，引入新课师：我们所学习的数的进化过程是怎样的?生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.师：从有理数到实数有什么补充?生：无理数.师：上节课学习了分数指数幂的概念及有理数指数幂的运算性质，指数的取值范围由整数推广到了有理数.那么，当指数是无理数时，我们又应当如何来处理呢?（众生思考，议论纷纷，但无结果）师：这就是我们本节课要学习的无理数指数幂.二、讲解新课（一）无理数指数幂的意义师：不妨看这样一个例子：52这个数的结果是一个什么数?为什么?生：无理数.因为指数是无理数，所以它也是无理数.师：我们从具体的数据来看一下是否成立呢?（多媒体操作显示如下图片）师：你发现上面的两表具有什么样的规律？生：第一张表是从大于2的方向逼近2，52就从51.5，51.42，51.415，51.4143，…，即大于52的方向逼近52；第二张表是从小于2的方向逼近2，52就从51.4，51.41，51.414，51.4142，…，即小于52的方向逼近52.师：因此，我们可以得出这样一个结论：52肯定是一个什么数?生：实数.一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α是无理数）是一个确定的实数.师：细心的同学可能已经发现了，我们这里讨论无理数指数幂的意义时，对底数a也有大于0这个规定的，为什么要作这个规定呢？如果去掉这个规定会产生怎样的局面？合作探究：在规定无理数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？（组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数a＞0的合理性）若无此条件会引起混乱，如若a=－1，那么aα是+1还是－1就不确定了.（二）指数幂的运算法则师：有理数的运算性质能否适用于无理数呢?生：因为无理数指数幂也是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.有理数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质.（生口答，师板书）对于任意的实数r 、s ，均有下面的运算性质： ①a r a s =a r +s（a ＞0，r 、s ∈R ）； ②（a r ）s =a r s（a ＞0，r 、s ∈R ）；③（ab ）r =a r b r（a ＞0，b ＞0，r 、s ∈R ）. （三）例题讲解【例1】 使用计算器计算下列各式的值：（保留到小数点后第四位）（1）0.21.52；（2）3.14－2；（3）3.132；（4）52. 解：（1）0.21.52≈0.0866；（2）3.14－2≈0.1014； （3）3.132≈2.1261； （4）52≈9.7385. 【例2】 化简下列各式： （1）113132++-x x x +1131++x x －13131--x x x ；（2）625-+347-－246-；（3）22222222-------+b a b a b a b a +1111))((----+--ba ab b b a a . （生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤）解：（1）113132++-x x x +1131++x x －13131--x x x =11)(3132331++-x x x +11)(31331++x x －1)1(313231--x x x =1)1)(1(3132313231++++-x x x x x +1)1)(1(31313231++-+x x x x －1)1)(1(31313131-+-x x x x =（x 31－1）+（x32－x 31+1）－x 31（x 31+1）=x 31－1+x 32－x 31+1－x 32－x 31=－x 31.（2）625-+347-－246-=2)23(-+3)32(-－2)22(-=（3－2）+（2－3）－（2－2）=3－2+2－3－2+2=0.（3）22222222-------+b a b a b a b a +1111))((----+--b a ab b b a a =1)(44222222---+b a b a b a b a +)())((1111----+--b a ab ab b b a a ab = )1)(1()1)((22222222+--+b a b a b a b a +1)(221111+--+----b a ab b a b a ab ab =12222++b a b a +11222222+--+b a a b b a =112222++b a b a =1. 方法引导：化简（1）这类式子，要考虑运算公式；化简（2）这类式子，要考虑根号里面可能是一个平方数；化简（3）这类式子，一般有两个方法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化为正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化为正指数.【例3】 写出使下列等式成立的x 的取值范围： （1）（331-x ）3=31-x ； （2）)25)(5(2--x x =（5－x ）5+x .解：（1）只需31-x 有意义，即x ≠3，∴x 的取值范围是（－∞，3）∪（3，+∞）. （2）∵)25)(5(2--x x =)5()5(2+-x x =|x －5|5+x ，∴|x －5|5+x =（5－x ）5+x 成立的充要条件是x +5=0或⎩⎨⎧-=->+,5|5|,05x x x 即x =－5或⎩⎨⎧≤-->.05,5x x∴x 的取值范围是［－5，5］. 三、巩固练习 课本P 63练习：4（生完成后，同桌之间互相交流解答过程）4.（1）1.3346；（2）0.0737；（3）0.9330；（4）0.0885. 四、课堂小结师：本节课你有哪些收获，能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗？请把你们的交流过程作简单记录.（生交流，师投影显示如下知识要点） 1.无理数指数幂的意义一般地，无理数指数幂a α（a ＞0，α是无理数）是一个确定的实数.2.指数幂的运算法则①a r a s=a r +s（a ＞0，r 、s ∈R ）； ②（a r）s=a rs（a ＞0，r 、s ∈R ）；③（ab ）r=a r b r（a ＞0，b ＞0，r 、s ∈R ）. 五、布置作业板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（3）1.无理数指数幂的意义2.指数幂的运算法则3.例题讲解与学生训练4.课堂小结5.布置作业。

沪教版数学七年级下册12.4《分数指数幂》教学设计一. 教材分析《分数指数幂》是沪教版数学七年级下册第12.4节的内容，主要介绍了分数指数幂的定义、性质和运算方法。

这一节内容是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上进行学习的，是指数幂知识的重要组成部分，也是进一步学习对数等知识的基础。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，但对于分数指数幂这一概念可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

同时，学生可能对于指数幂的运算规则还不够熟悉，需要通过大量的练习来巩固。

三. 教学目标1.理解分数指数幂的概念和性质。

2.掌握分数指数幂的运算方法。

3.能够运用分数指数幂解决实际问题。

四. 教学重难点1.分数指数幂的概念和性质。

2.分数指数幂的运算方法。

3.运用分数指数幂解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过案例分析和练习，使学生理解和掌握分数指数幂的定义和运算方法；通过小组合作学习，培养学生的团队合作能力和交流沟通能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.相关案例和练习题。

3.小组合作学习的任务单。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾实数、有理数、无理数等相关知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）利用PPT呈现分数指数幂的定义、性质和运算方法，通过实例和动画演示，使学生直观地理解和掌握。

3.操练（10分钟）学生独立完成相关的练习题，教师巡回指导，及时发现和纠正学生的错误。

4.巩固（10分钟）学生分组讨论，总结分数指数幂的运算规律，教师点评并总结。

5.拓展（10分钟）学生运用分数指数幂解决实际问题，如计算化学反应的速率常数等，教师引导学生思考和探索。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，巩固所学知识。

7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，要求学生独立完成，巩固所学知识。

5.1.1分数指数幂教案
一、教学目标知识与技能目标
1、（1）掌握分数指数幂的含义；
（2）掌握分数指数幂与根式之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算性质.过程与方法目标
2、通过引导学生观察、比较、归纳得到分数指数幂的含义，并提高学生观察问题、解决问题的能力.
3、情感态度与价值观培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透“转化”的数学思想；以及对“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂”这一知识体系的不断扩充和完善的过程的学习，增强学生对数学本质的认识.
二、教学重难点
1、重点：分数指数幂的含义理解及其运算性质；
2、难点：分数指数幂与根式之间的互化三、教学方法：启发式教学法
四、教学过程1、复习引入（1)n次方根一般地，如果x“=a(nEN，n>1)，那么x叫做a的n次方根.
练习：①9的平方根为；
②16的四次方根为；
③-32的五次方根为
④8的立方根为（2)n次根式形如Va(nEN，n>1)的式子叫做a的n次根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.其中（Va）”=a；当n为奇数时，a”=a；当n为偶数时，Va”=a|.。

高一数学分数指数幂数学教案一、教学目标1.理解分数指数幂的定义。

2.学会运用分数指数幂的性质进行计算。

3.能够运用分数指数幂的知识解决实际问题。

二、教学重难点重点：分数指数幂的定义及性质。

难点：分数指数幂的计算及实际应用。

三、教学过程1.导入新课（1）复习整数指数幂的概念和性质。

（2）引导学生思考：当指数为分数时，幂的运算规律会发生怎样的变化？2.新课讲解（1）分数指数幂的定义引导学生回顾整数指数幂的定义，然后类比得出分数指数幂的定义。

板书：a^(m/n)=(a^m)^(1/n)=(a^(1/n))^m（2）分数指数幂的性质引导学生通过举例验证分数指数幂的性质。

板书：a^(m/n)a^(p/q)=a^((m/n)+(p/q))(a^m)^n=a^(mn)(a^m)^(1/n)=a^(m/n)(a^m)^(p/q)=a^((mp)/(nq))（3）分数指数幂的运算讲解分数指数幂的运算方法，引导学生运用分数指数幂的性质进行计算。

例题：计算(2^3)^(1/2)(2^2)^(3/4)解析：根据分数指数幂的性质，我们可以将原式化简为2^(3/2)2^(3/2)=2^(3+3/2)=2^(9/2)3.练习与巩固（1）课堂练习1.计算(3^4)^(1/2)(3^2)^(3/4)2.计算(5^3)^(2/3)/(5^2)^(1/3)（2）课后作业1.计算(2^5)^(1/2)(2^3)^(1/4)2.计算(7^2)^(3/2)/(7^3)^(1/2)3.已知a>0，求证：(a^(m/n))^(p/q)=a^((mp)/(nq))4.课堂小结5.课后反思教师根据课堂教学情况，反思教学效果，为下节课的教学做好准备。

四、教学反思本节课通过复习整数指数幂的概念和性质，引导学生类比得出分数指数幂的定义和性质。

在教学过程中，注重让学生通过举例验证分数指数幂的性质，培养学生的动手操作能力和思维能力。

在练习环节，让学生独立完成课堂练习和课后作业，巩固所学知识。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《3.1.1分数指数幂》教案教学目标:(一)知识与技能目标:理解分数指数幂的概念(二)过程与方法目标:掌握有理指数幂的运算性质(三)情感与态度目标:让学生感受从特殊到一般的数学思想方法(正整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂),增强学生对数学本质的认识｡ 教学重点:利用正分数有理指数幂的运算性质,计算､化简有理数的指指数幂的算式｡教学难点:正分数有理指数幂的运算性质的理解教具:多媒体课件､板书教学过程:一.复习前面一节课学习的重要知识点1.n 次方根的定义 记法 n 是奇数n 是偶数2.根式3.运算性质 n 为奇数n 为偶数巩固强化知识点,为本节课的教学奠定知识基础二.回顾正整数指数幂导出探究的问题思考1. 能否这样表示? nan a±==n n nn a a a )(a ==412510)2()1(a a 34432552)()(aa a a ==412510a a ==)0()0(>>a a =32a 132a )0()0(>>b a指出当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式,能否将这个结论推广到正数的正分数指数幂的形式上去?定义 正数的正分数指数幂的意义 正数的负分数指数幂的意义 注意:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义规定了正数的分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到了分数｡例1.有理数指数幂的运算性质利用类比的思想方法,将整数指数幂的运算性质类比为有理数指数幂的运算性质,体现了合情推理,便于学生对知识的整体建构｡三､例题讲解,巩固重点 利用有理数指数幂的运算性质要求这些式子的值,既熟悉了运算性质,又体现了这些运算性质的计算优势｡利用适当的板书讲解这些例题,巩固利用有理指数幂的性质求值的一般步骤｡ )1,,,0(>∈>=*n N n m a a a n m n m 且)1,,,0(1>∈>=*-n N n m a a a n mn m 且=⨯==⨯223243)21(2)3()2)(2(22)1(232)43()212(22⨯⨯+),0,0())(3(),,0())(2(),,0()1()(Q r b a b a ab Q s r a a a Q s r a a a a r r r rs s r s r s r ∈>>⋅=∈>=∈>=⋅+43521-32811621258.2--），（），（，求值例33223)3()2()1()03a a a a a a a ⋅⋅⋅>示下列各式（其中用分数指数幂的形式表例27213213a a a a ==⋅=+38322322a a a a ==⋅=+32342131)()(a a a a ==⋅=四.有理数指数幂推广到无理数指数幂,进而推广到整个实数范围五.课堂小结1.正数的正分数指数幂的意义2.正数的负分数指数幂的意义3.运算性质4.作业布置。

分数指数幂一、 教学目标1、 知识与技能目标（1） 掌握分数指数幂的含义；（2） 掌握分数指数幂与根式之间的互化； （3） 掌握分数指数幂的运算性质. 2、 过程与方法目标通过引导学生观察、比较、归纳得到分数指数幂的含义，并提高学生观察问题、解决问题的能力.3、 情感态度与价值观培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透“转化”的数学思想；以及对“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂”这一知识体系的不断扩充和完善的过程的学习，增强学生对数学本质的认识.二、 教学重难点1、 重点：分数指数幂的含义理解及其运算性质；2、 难点：分数指数幂与根式之间的互化.三、 教学方法：启发式教学法 四、 教学过程1、 复习引入(1) n 次方根一般地，如果*(,1)n x a n N n =∈>，那么x 叫做a 的n 次方根.练习：①9的平方根为 ； ②16的四次方根为 ；③8的立方根为 ； ④—32的五次方根为 .(2)n 次根式*,1)n N n ∈>的式子叫做a 的n 次根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.其中na =；当n a =；当n ||a =.练习：①4= ；3= ；5= ；= = = .2、 新课内容22==，102522=1052=；53==，155333=1533=；3a ==，1234a a =124a =.（0a >）通过计算并观察能得到什么结论？m na =其中0a >且*,1n N n ∈>.(1) 引出正分数指数幂的含义：规定：m na=*,,1n m N n ∈>，①当n 为奇数时，a R ∈，② 当n 为偶数时，a ≥0.练习：47a = ；35(3)-= ；832= ；344= ；问：正数a 的负分数指数幂该怎么处理呢？即m na -=？.回忆：初中学过的负整数指数幂1(0)mm aa a-=≠. 类似的，正数a 的的负分数指数幂的含义就可以得到解释了. （2）引出负分数指数幂的含义 规定：0m naa -=≠）. 练习：32a-= ；122-= ；23(3)--= ； 23(3)--= ；（3）知识巩固例1：将下列各根式写成分数指数幂的形式分析：要把握好形式互化过程中字母的位置关系，按照公式，先正确找出公式的m 和n ,再逆向进行形式的转化.解：①3,2n m ==23x =；②3,4n m ==43a =； ③5,3n m ==35a -=；④5,7n m ==753-=.练习1：66P 1题，2题3、小结（1）理解分数指数幂的含义（2）熟练掌握分数指数幂与根式之间的互化五、 作业布置：71P 1题，2题六、 教学反思我认为本节课直接将知识呈现于学生，他们可能会更易接受，但失去了探索知识的过程，且不能启发学生对问题的思考，而由特殊到一般要分几种情况，同学们易混乱。

12.7分数指数幂教学目标：1、理解分数指数幂的意义，能将方根与分数指数幂互化。

2、了解幂指数从正整数到整数到有理数的发展过程，并能用分数指数幂解决简单的计算问题。

3、亲历分数指数幂意义的推导过程，体验数域拓展的一般规律和数学知识的内在逻辑。

教学重点及难点理解分数指数幂的意义，能将方根与指数幂互化. 教学过程设计一、 复习练习（口答）（1）101522=⨯ （2）532=（） （3）1π-= （4）2=（ （5）6= （6）6= 复习整数指数幂的运算性质： （1）同底数幂的乘除 m n m n a a a += （2）幂的乘方 ()m n mn a a = （3）积的乘方 ()m m m ab a b =二、新课探索思考：?=通过分析引出分数指数幂的意义：（其中m 、n 为整数，1>n ）.(0)(0)m nmna a a a -=≥=>上面规定中的nm a 和nm a -叫做分数指数幂，a 是底数.指导学生浏览教材上的概念并做圈划。

2．例题例1 把下列方根化为幂的形式: （1）35； （2）435； （3）3251； （4（5；例2 把下列幂化为方根的形式：（1）137； （2）137-； （3）437； （4）437-；三、巩固练习1、课本P32练习12.7 1、22、计算：（1）)()412343810.027---① ② ③（2）()1122112124-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭1123①427 ②（3）1113228116⎛⎫- ⎪⎝⎭回顾思考引例. 四、拓展练习利用分数指数幂计算（结果用方根形式表示）（1÷（2五、课堂小结1、在理解分数指数幂意义的基础上能熟练将方根与指数幂互化；2、体会数学的内在逻辑.五、作业布置教学反思：分数指数幂这节课是在学生在已经学过了整数指数幂和n次方根的基础上，从具体的实例出发，和学生共同亲历分数指数幂的指数从正整数到整数再到有理数的发展过程和推导过程，让学生能体验数域拓展的一般规律和内在逻辑联系，在教学过程中由于从问题出发，采取了分数指数幂和整数指数幂的类比，学生在原有认知的基础上进行了探究，其学习是主动的、积极的，知识的形成也是自然的，同时在学习和探究的过程中，从解决问题到方法使用，让学生体会到从特殊到一般的数学思想，同时也培养了学生缜密的数学逻辑思维能力，引导和帮助学生在这样的数学学习过程中高效、有序地学习数学，让学生真正体会到在问题解决中学习，在交流中学习，使之成为一种学习习惯。

2.2.1分数指数幂（1）宿迁市马陵中学范金泉教学目标：理解根式的概念及n次方根的性质．教学重点：根式的运算．教学难点：根式性质的理解．教学过程：一、情景设置二、学生活动1．复习平方根、立方根的定义：（1）如果x2＝a，那么x＝（2）如果x3＝a，那么x＝2．类比得出n次实数方根的概念如果x n＝a，那么x＝（n为正整数，且n≥2）三、数学建构1．n次实数方根的概念注：（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，零的奇次方根是零，即任一个实数都有且只有一个奇次方根．设x n＝a （a∈R，n是奇数，且n＞1），则x（2）在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的偶次方根是零，负数的偶次方根没有意义．设x n＝a（a＞0，n是正偶数），则x．（3）当a≥0时，对于任意不小于2的整数na的n次算术根；当a＜0时，当且仅当n为奇数（n＞1才有意义．2．根式的性质．（1）n＝a．（2）||a na n⎧⎨⎩，为奇数，，为偶数．四、数学运用（一）例题讲解．例1 求值．（1）25 （2()25- （3）332- （4()332- （5()442- （6()23π- （7）)031 总结：根式的性质．例2 计算下列各式的值． （1）)()()()()043212421211684232--+-•--••••-（2()()34343221212---（32235412942025()22x x x x x ++-+-≤≤ （二）练习：1．（1）25的平方根是 ；（2）27的立方根是 ；（3）16的四次方根是 ；（4）－32的五次方根是 ；（5）a 6的六次方根是 ；（6）0的n 次方根是 ．5．已知12x =，13y =x y x y x y x y+--+的值． 五、小结：1．根式的概念；2．根式的性质．。

分数指数幂教案教案标题：分数指数幂教案教学目标：1. 理解分数指数幂的概念和性质。

2. 掌握计算分数指数幂的方法。

3. 能够应用分数指数幂解决实际问题。

教学重点：1. 理解分数指数幂的定义和运算规则。

2. 掌握分数指数幂的计算方法。

3. 能够运用分数指数幂解决实际问题。

教学难点：1. 理解分数指数幂的概念和性质。

2. 掌握计算分数指数幂的方法。

教学准备：1. 教材：包含有关分数指数幂的知识点和例题的教材。

2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教案、练习题、实例题。

3. 学具：计算器。

教学过程：Step 1：导入新知1. 引入分数指数幂的概念，通过实例引发学生对分数指数幂的思考。

2. 提问学生：你们对分数指数幂有什么了解？它们与整数指数幂有何异同？Step 2：概念解释与讲解1. 通过示意图和实例，解释分数指数幂的定义和性质。

2. 引导学生理解分数指数幂的运算规则，并进行实例演示。

Step 3：练习与巩固1. 分发练习题，让学生进行个人或小组练习。

2. 指导学生解答练习题，解答过程中注重引导学生运用分数指数幂的计算方法。

Step 4：拓展与应用1. 提供一些实际问题，引导学生运用分数指数幂解决实际问题。

2. 鼓励学生思考并讨论其他应用场景，并进行分享和讨论。

Step 5：归纳总结1. 综合学生的学习情况，对分数指数幂的概念、性质和运算规则进行归纳总结。

2. 强调分数指数幂的重要性和应用价值。

Step 6：作业布置1. 布置相关的作业题目，巩固学生对分数指数幂的掌握程度。

2. 鼓励学生自主学习，通过课外阅读或网络资源进一步了解分数指数幂的应用。

教学延伸：1. 针对学生的学习情况，可以提供更多的练习题和拓展问题，以加深对分数指数幂的理解和应用。

2. 可以组织学生进行小组讨论或展示，分享他们在实际生活中发现的分数指数幂的应用案例。

教学评价：1. 课堂练习：通过学生在课堂上的练习情况，评估他们对分数指数幂的掌握程度。

高一数学分数指数幂数学教案高一数学分数指数幂数学教案作为一位无私奉献的人民教师，通常需要准备好一份教案，借助教案可以更好地组织教学活动。

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教学目标1．理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义。

2．掌握有理数指数幂的运算性质，灵活的运用乘法公式进行有理数指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的.相互转化。

教学重点1．分数指数幂含义的理解。

2．有理数指数幂的运算性质的理解。

3．有理数指数幂的运算和化简。

教学难点1．分数指数幂含义的理解。

2．有理数指数幂的运算和化简。

教学过程一．问题情景上节课研究了根式的意义及根式的性质，那么根式与指数幂有什么关系？整数指数幂有那些运算性质？二．学生活动1．说出下列各式的意义，并指出其结果的指数，被开方数的指数及根指数三者之间的关系（1）=（2）=2．从上述问题中，你能得到的结论为3．（a0）及（a0）能否化成指数幂的形式？三．数学理论正分数指数幂的意义：=(a0,m,n均为正整数)负分数指数幂的意义：=(a0,m,n均为正整数)1．规定：0的正分数指数幂仍是0，即=00的负分数指数幂无意义。

3．规定了分数指数幂的意义后，指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，因而整数指数幂的运算性质同样适用于有理数指数幂。

即=（1）=（2）其中s,tQ,a0,b0=（3）四．数学运用例1求值：（1）（2）（3）（4）例2用分数指数幂的形式表示下列各式（a0）（1）（2）例3化简（1）（2）（3）例4化简例5已知求（1）（2）五．回顾小结1．分数指数幂的意义。

=（0,m,n）无意义2．有理数指数幂的运算性质3．整式运算律及乘法公式在分数指数幂运算中仍适用4．指数概念从整数指数幂推广到有理数指数幂，同样可以推广到实数指数幂，请同学们阅读P47的阅读部分练习P47-48练习1，2，3，4六．课外作业P48习题2.2(1)2,4。

分数指数幂田 华教学目标：（一）知识与技能目标：理解分数指数幂的概念（二）过程与方法目标：1、掌握分数指数幂与根式的互化2、掌握分数指数幂的计算求值（三）情感与态度目标：让学生感受从特殊到一般的数学思想方法，增强学生对数学本质的认识。

教学重点：对分数指数幂定义的理解教学难点：分数指数幂与根式的互化；教具：多媒体课件、板书教学进程一、复习引入：())0(1>=a a n an 、 ?..2=n n a(1)、当 n 是奇数时，a n n a =(2)、当n是偶数时， 二、回顾正整数指数幂导出探究的问题思考1.能否这样表示？指出当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式，能否将这个结论推广到正数的正分数指数幂的形式上去？定义 正数的正分数指数幂的意义 正数的负分数指数幂的意义注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义三、例题学习：例1：将下列各分数指数幂写成根式的形式 （1）a 74（2）a 32（3）a 23-==412510)2()1(a a 34432552)()(a a a a ==412510a a ==)0()0(>>a a )1,,,0(>∈>=*n N n m a a a n m n m 且)1,,,0(11>∈>==*-n N n m a a a n m nm n m a且*0,,,1)x m n N n >∈>且⎩⎨⎧<-≥==0,0,a a a a a a n n例2：将下列各根式写成分数指数幂的形式（1）32x （2）a 43 （3）531a 练习：1、将下列各分数指数幂写成根式的形式（1）453- （2）323（3）()852-- （4）241 2、将下列各根式写成分数指数幂的形式 （1）39 （2）23 （3）741a （4）453.4 例3：用分数指数幂的形式表示下列各式练习3：用分数指数幂的形式表示下列各式 (1)m m 3a a •2)2( 323)3(a a •四、课堂小结：1. 正数的正分数指数幂的意义2. 正数的负分数指数幂的意义3. 运算性质五、作业布置 1.用分数指数幂表示下列各式： (1)32x ； （２）43)(b a +（ａ＋ｂ＞０） ；（３）32)(n m -；（４）4)(n m -（ｍ＞ｎ）；2、求值： （1）⎪⎭⎫ ⎝⎛813_ 43)161)(2(- 27213213a a a a ==⋅=+38322322a a a a ==⋅=+27831323223)3()2()1(⨯⋅⋅a a a a ()()1233323223132=⨯=⨯=。