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形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a的不等式的求解
例4 解不等式|x－1|＋|x－2|>2. 【思路点拨】 可用零点分段讨论，可用图 象法，也可用绝对值几何意义求解．
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【解】 法一：令 x－1＝0，∴x＝1.
令 x－2＝0，∴x＝2.
∴当 x<1 时，原不等式可化为
1－x＋2－x>2，∴x<12，
学习目标 1.根据不等式的性质，利用绝对值不等式的 几何意义求解单向或双向的绝对质不等式； 2．在进行含有参数的不等式的求解问题时， 要学会分类讨论. 3.掌握常见不等式|x－c|＋|x－b|≥a的解 法．并会运用分段讨论法、图象法和几何法 来求解．
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1 ． 若 a>0 ， 且 |x|>a ， 则 _x_>_a_或__x_<_－__a__ ； 若 a>0，且|x|<a，则__－__a_<_x_<_a____. 2．|ax＋b|>c(c>0)型不等式的解法： (1)换元法：令t＝ax＋b，则|t|>c，故 __t>_c_或__t_<_－__c__ ，即_a_x_＋__b_>_c_或_a_x_＋__b_<__－__c， 然后再求x，得原不等式的解集．
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单向的绝对值不等式
例1 解下列不等式． (1)|2x＋5|<7. (2)|2x＋5|>7＋x. (3)|x2－3x＋1|<5.
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【思路点拨】 仿照|x|>a，|x|<a的解集形式． 【解】 (1)原不等式等价为 －7<2x＋5<7. ∴－12<2x<2， ∴－6<x<1， ∴原不等式解集为{x|－6<x<1}． (2)由不等式|2x＋5|>7＋x， 可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)， ∴x>2或x<－4. ∴原不等式解集为{x|x>2或x<－4}．
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(3)原不等式可化为－5<x2－3x＋1<5， x2－3x＋1>－5，
即x2－3x＋1<5. ∴x－∈1R<x，<4， 即－1<x<4. ∴原不等式的解集为{x|－1<x<4}．
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变式训练1 解不等式|2x－1|<2－3x. 解：原不等式等价为 3x－2<2x－1<2－3x， 即22xx－ －11<>23－x－3x2， ， 得5xx<<1， 3，
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当x<1时，原不等式变为－(x－1)－(x－2)>3 ＋x，即x<0，∴x<0. 综上可知，原不等式解集为{x|x<0或x>6}． 【名师点评】 以上例题用的解法叫零点分 段讨论法，含绝对值两个或两个以上的不等 式常用此法．首先找到使每个绝对值等于零 的点，然后分段讨论，再求各段结果的并 集．一般地，n个零点把数轴分成n＋1段．
即x≤9， x≥－5.
∴－5≤x<1 或 3<x≤9.
∴原不等式解集为{x|－5≤x<1 或 3<x≤9}．
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法二：原不等式可转化为 －7≤2－x<－1或1<2－x≤7， ∴3<x≤9或－5≤x<1， ∴原不等式解集为{x|－5≤x<1或3<x≤9}． 【名师点评】 本例题是不等式的一种常见 题，第二种解法要比第一种解法更为简 单．也可根据绝对值的意义解题．
原不等式解集为{x|x<35}．
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双向的绝对值不等式 例2 解不等式1<|2－x|≤7. 【思路点拨】 利用|x|>a与|x|<a的解法来转 化该不等式．
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【解】 法一：原不等式可转化为||22－ －xx||≤>17，，
2－x>1或2－x<－1，
∴2－x≥－7， 2－x≤7，
x<1或x>3，
①或 ②
或x－<－x＋2 2＋x－1<2x ③.
Байду номын сангаас
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解①得：x>32，解②得：x∈∅，解③得： x∈∅. ∴原不等式的解集是{x|x>32}．
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形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)x＋p的不等式的解法
例5 解不等式|x－1|＋|2－x|>3＋x. 【解】 原不等式变为|x－1|＋|x－2|>3＋x， 当x≥2时，原不等式变为x－1＋x－2>3＋x， 即x>6，∴x>6； 当1≤x<2时，原不等式变为x－1－(x－2)>3 ＋x， 即x<－2， ∴x∈∅；
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变式训练2 解不等式1<|x－2|≤3.
解：原不等式等价于不等式组
|x－2|>1， |x－2|≤3
，
即x－<11≤或xx≤>35，，
解得－1≤x<1 或 3<x≤5，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x<1 或
3<x≤5}．
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含参数的绝对值不等式 例3 已知集合A＝{x||2－x|<5}，B＝{x||x＋ a|≥3}，且A∪B＝R，求a的取值范围． 【思路点拨】 化简两个集合，求出解集形 式，通过两解集区间端点的关系求a.
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【解】 ∵A＝{x||2－x|<5}＝{x||x－2|<5}＝ {x|－5<x－2<5}＝{x|－3<x<7}； B＝{x||x＋a|≥3}＝{x|x＋a≥3，或x＋a≤－ 3}＝{x|x≥3－a，或x≤－a－3}， 又A∪B＝R，借助数轴如图所示．
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a 应满足－ 3－a－a≤3≥7. －3， ∴－4≤a≤0. ∴a 的取值范围是{a|－4≤a≤0}． 【名师点评】 解此类题，常借助数轴考虑， 把不变的集合固定好，让含参数的集合移动， 使它满足已知条件即可．
x<1 .
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其图象如图．
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∴原不等式的解集为{x|x<12或 x>52}． 【名师点评】 法一关键是找零点，法二关 键是正确作出图象．
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变式训练1 解不等式：|x＋2|－|x－1|<2x.
解：原不等式可化为：
x>1 x＋2－x－1<2x －2≤x≤1 x＋2＋x－1<2x
∴原不等式解集为
1 x<2.
当 1≤x<2 时，原不等式可化为
x－1＋2－x>2 不成立．
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当 x≥2 时，x－1＋x－2>2，∴x>52. 综上，原不等式解集为{x|x<12或 x>52}． 法二：设 y1＝|x－1|＋|x－2|，y2＝2.
－2x＋3
∴y1＝1 1≤x<2 2x－3 x≥2
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(2)分段讨论法： |ax＋b|≤c(c>0)⇔ _aa_xx_＋ ＋__bb_≥ ≤__c0___或__a－_x_＋__ba_x<_＋_0_b___≤__c___. _____
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3．解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型 不等式，除分段讨论法外，还可用 函__数__法__或__几__何__意__义__ (课本上叫做图象法、几 何法)．
