方法专题:中点的妙用
联想是一种非常重要的数学品质。
善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。
同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么？
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；
3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；
4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；
5、有中点时常构造垂直平分线；
6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；
7、倍长中线
8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（ ）
A ．65
B ．95
C ．125
D ．165
二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
2、如图，在Ｒｔ⊿ABC 中，∠A=90°,AC=AB,M 、N 分别在AC 、AB 上。
且AN=BM.O 为斜边BC 的中点.试判断△OMN 的形状，并说明理由.
3、如图，正方形ABCD 的边长为2, 将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到点B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（ ） A. 2 B. 4－π C.π D.1π-
N
M
B
O C
A
B
C Q
M
三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理” 4、（直接找线段的中点，应用中位线定理） 如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F.你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？ 5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）
如图所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，求DE 的长
6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）
如图所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F 点？
7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）
如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 相交于点O ，
60ACD ∠=︒，点S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点.
求证：△SPQ 是等边三角形。
四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，
常联想“八字型”全等三角形）
8、如图：梯形ABCD 中，∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,
E 为AB 中点，求证：DE ⊥EC
E D C
B A 图2-1
F
E
D
M
N
C
B
A P O A
B
C
D 图6-1S
Q
9、如图甲，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B 、C 、G 在同一直线上，M 是AE 的中点，（1）探究线段MD 、MF 的位置及数量关系，并证明；
（2）将图甲中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。
（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明
五、有中点时常构造垂直平分线
10、如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上中线，∠C=2∠B.AC=21
BC 。
求证：△ADC 为等边三角形。
六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积） 11、（1）探索：已知ABC ∆的面积为a ，
①如图1，延长ABC ∆的边BC 到点D ，使CD=BC ，连接DA ，若
ACD ∆的面积为1S ，则1S = （用含a 的代数式表示）
②如图2，延长ABC ∆的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD=BC ，AE=CA ，连接DE ，若DEC ∆的面积为2S ，则2S = （用含a 的代数式表示）
③在图2的基础上延长AB 到点F,使BF=AB,连接FD ，FE,得到DEF
∆（如图3），若阴影部分的面积为3S ，3S = （用含a 的代数式表示）
⑵发现：像上面那样，将ABC ∆各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF ∆（如图4），此时，我们称ABC ∆向外扩展了一次。
可以发现，扩展一次后得到的DEF ∆的面积是原来ABC ∆面积的 倍 ⑶应用：如图5，若△ABC 面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点A 1，B 1，C 1，使得A 1B =AB ，B 1C = BC ，C 1A =CA ，顺次连结A 1，B 1，C 1，得到△A 1B 1C 1. 第二次操作：分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2，使A 2B 1= A 1B 1，B 2C 1= B 1C 1，C 2A 1= C 1A 1，顺次连结A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，第三次操作… ，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少要．．．经过 次操作.
A B C
D F G E
M 图乙
图甲 B A C E D F G M
B
D
C
A
12、如图所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，点E 是CD 的中点，连接AE 、 BE ， 求证：S △ABE =2
1
S 四边形ABCD 。
13、如图，M 是ABCD 中AB 边的中点。
CM 交BD 于点E,则图中阴影部分面积与ABCD 面积之比为
14、如图所示，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则
ABCD
AGCD S S 矩形四边形等于：A 、65
B 、54
C 、4
3 D 、
3
2
七、倍长中线
15、如图，△ABC 中，D 为BC 中点，AB=5，AD=6，AC=13。
求证：AB ⊥AD
16、如图，点D 、E 三等分△ABC 的BC 边，求证：AB+AC>AD+AE
17、如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C ，分别以AC 、BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三角形ACE 与BCF ，连结DE 、DF 、EF ，
求证：△DEF 为等腰直角三角形。
八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”
18、半径是 5 cm 的圆中，圆心到 8 cm 长的弦的距离是________
D
C
B
M A E
B A
O
D
C
19、半径为cm 5的圆O 中有一点P ，OP=4，则过P 的最短弦长_________， 最长弦是__________，
20、如图，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。
21、如图，在⊙O 中，直径AB 和弦CD 的长分别为10 cm 和8 cm ，则A 、B 两点到直线CD 的距离之和是_____.
22、如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300
， 求：CD 的长；
23、某市新建的滴水湖是圆形人工湖。
为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A 、B 、C 三根木柱，使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图5所示。
请你帮他们求出滴水湖的半径。
A B
C
倍长中线：
1．）24. 已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，
过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
2．（）25．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.
（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为；
（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.
N
M
D
E
C
A
B
M
E
C
B
A
D
图①图②。
