七年级数学平行线经典证明题
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1.已知:如图,BE平分∠ABC,∠1=∠2.求证:BC∥DE.2.如图,已知∠A=∠F,∠C=∠D,试说明BD∥CE.3.如图所示,AB⊥BC,BC⊥CD,BF和CE是射线,并且∠1=∠2,试说明BF∥CE.4.如图,AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3,求证:BE∥DF.5.如图,OP平分∠MON,A、B分别在OP、OM上,∠BOA=∠BAO,那么AB平行于ON吗?若平行,请写出证明过程;若不平行,请说明理由.6.已知:如图,∠1=∠2,∠A=∠C.求证:AE∥BC.7.已知,如图B、D、A在一直线上,且∠D=∠E,∠ABE=∠D+∠E,BC是∠ABE的平分线,求证:DE∥BC.8.如图,已知∠AEC=∠A+∠C,试说明:AB∥CD.9.如图,已知AC∥ED,EB平分∠AED,∠1=∠2,求证:AE∥BD.10.如图,直线AB、CD与直线EF相交于E、F,已知:∠1=105°,∠2=75°,求证:AB∥CD.11.如图,∠D=∠A,∠B=∠FCB,求证:ED∥CF.12.如图,已知AB⊥BC,CD⊥BC,∠1=∠2,求证:EB∥FC.13.如图所示所示,已知BE是∠B的平分线,交AC 于E,其中∠1=∠2,那么DE∥BC吗?为什么?14.如图,已知∠C=∠D,DB∥EC.AC与DF平行吗?试说明你的理由.15.如图,AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=35°,∠2=35°,求证:AE∥BF.16.如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,求证:BE∥CF.17.已知∠BAD=∠DCB,∠1=∠3,求证:AD∥BC.18.如图,AD是三角形ABC的角平分线,DE∥CA,并且交AB与点E,∠1=∠2,DF与AB是否平行?为什么?19.如图,已知:∠C=∠DAE,∠B=∠D,那么AB平行于DF吗?请说明理由.20.如图,已知点B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,问射线CF与BD平行吗?说明理由.21.已知∠1的度数是它补角的3倍,∠2等于45°,那么AB∥CD吗?为什么?22.已知:如图,BDE是一条直线,∠ABD=∠CDE,BF平分∠ABD,DG平分∠CDE,求证:BF∥DG.23.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BF、DE 分别平分∠ABC、∠ADC.判断DE、BF是否平行,并说明理由.24.如图,若∠CAB=∠CED+∠CDE,求证:AB∥CD .25.如图,CD⊥AB,GF⊥AB,∠1=∠2.试说明DE∥BC.26.如图所示,∠CAD=∠ACB,∠D=90°,EF⊥CD.试说明:∠AEF=∠B.27.已知:如图所示,C,P,D三点在同一条直线上,∠BAP+∠APD=180°,∠E=∠F,求证:∠1=∠2.28.如图,∠D=∠1,∠E=∠2,DC⊥EC.求证:AD∥BE.29.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,试说明BE∥DF.30.已知:如图,∠1=∠2,∠A=∠F,则∠C与∠D相等吗?试说明理由.31.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE∥DF.32.如图,已知∠1=∠2求证:a∥b.33.如图,DE⊥AO于E,BO⊥AO于O,FC⊥AB于C,∠1=∠2,找出图中互相平行的线,并加以说明.34.如图,已知∠1=∠2,∠C=∠CDO,求证:CD∥OP.35.如图,已知DE平分∠BDF,AF平分∠BAC,且∠1=∠2.求证(1)DF∥AC;(2)DE∥AF.36.如图,AD平分∠BAC,EF平分∠DEC,且∠1=∠2,试说明DE与AB的位置关系.37.如图,在△ABC中,点D在AB上,∠ACD=∠A,∠BDC的平分线交BC于点E.求证:DE∥AC.38.如图,AB与CD相交于点O,并且∠A=∠1,试问∠2与∠B满足什么关系时,AC∥BD?说明理由.39.如图,已知∠1=∠A,∠2=∠B,那么MN与EF平行吗?如果平行,请说明理由.40.如图,直线AB、CD被直线EF所截,∠1+∠4=180°,求证:AB∥CD.41.如图所示,已知:∠1=∠2,∠E=∠F.试说明AB∥CD.42.如图,已知EF⊥CD于F,∠GEF=25°,∠1=65°,则AB与CD平行吗?请说明理由.43.如图,已知∠1=∠2=90°,∠3=30°,∠4=60°,图中有几对平行线?说说你的理由.44.直线AB,CD被直线EF所截,∠1=∠2,直线AB 和CD平行吗?为什么?45.已知:如图,AD⊥BC,EF⊥BC,∠1=∠2.求证:AB∥GF.46.如图,已知B、C、D三点在同一条直线上,∠B=∠1,∠2=∠E,试说明AD∥CE.47.直线AB、CD与GH交于E、F,EM平分∠BEF,FN平分∠DFH,∠BEF=∠DFH,求证:EM∥FN.48.如图所示,∠ABC=∠BCD,BE、CF分别平分∠ABC 和∠BCD,请你说出BE与CF的位置关系,并说出你的理由.49.如图,若∠1=∠2,请判断DB与EC的位置关系,并说明理由.50.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,点E在BC上,EF⊥AB,垂足为F.(1)CD与EF平行吗?为什么?(2)如果∠1=∠2,DG∥BC吗?为什么?51.如图,已知:HG平分∠AHM,MN平分∠DMH,且∠AHM=∠DMH.问:GH与MN有怎样的位置关系,请说明理由.(请注明每一步的理由)52.已知:如图,∠C=∠1,∠2和∠D互余,BE⊥FD 于点G.求证:AB∥CD.53.如图,直线AB,CD被EF所截,∠3=∠4,∠1=∠2,EG⊥FG.求证:AB∥CD.54.已知:如图,CD是直线,E在直线CD上,∠1=130°,∠A=50°,求证:AB∥CD.55.如图,已知∠1=∠2,∠DAB=∠DCA,且DE⊥AC,BF⊥AC,问:(1)AD∥BC吗?(2)AB∥CD吗?为什么?56.如图,四边形ABCD,∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC,则AD与BC一定平行吗?AB与CD呢?若平行请说明理由,反之则不用说明理由.57.已知:如图,∠A=∠F,∠C=∠D.求证:BD∥CE.58.如图,AD⊥BC于点D,∠1=2,∠CDG=∠B,请你判断EF与BC的位置关系,并加以证明,要求写出每步证明的理由.59.已知:如图,CE平分∠ACD,∠1=∠B,求证:AB∥CE.60.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,可以判定哪两条直线平行?。
平行线证明题第一篇:平行线证明题平行线证明题直线ab和直线cd平行因为,∠aef=∠efd.所以ab平行于cd内错角相等,两直线平行em与fn平行因为em是∠aef的平分线,fn是∠efd的平分线,所以角mef=1/2角aef,角efn=1/2角efd因为,∠aef=∠efd,所以角mef=角efn所以em与fn平行,内错角相等,两直线平行2第五章相交线与平行线试卷一、填空题:1、平面内两条直线的位置关系可能是或。
2、“两直线平行,同位角相等”的题设是,结论是。
3、∠a和∠b是邻补角,且∠a比∠b大200,则∠a=度,∠b=度。
4、如图1,o是直线ab上的点,od是∠cob的平分线,若∠aoc=400,则∠bod= 0。
5、如图2,如果ab‖cd,那么∠b+∠f+∠e+∠d=0。
6、如图3,图中abcd-是一个正方体,则图中与bc所在的直线平行的直线有条。
7、如图4,直线‖,且∠1=280,∠2=500,则∠acb=0。
8、如图5,若a是直线de上一点,且bc‖de,则∠2+∠4+∠5=0。
9、在同一平面内,如果直线‖,‖,则与的位置关系是。
10、如图6,∠abc=1200,∠bcd=850,ab‖ed,则∠cde0。
二、选择题:各小题只有唯一一个正确答案,请将正确答案的代号填在题后的括号内11、已知:如图7,∠1=600,∠2=1200,∠3=700,则∠4的度数是()a、700b、600c、500d、40012、已知:如图8,下列条件中,不能判断直线‖的是()a、∠1=∠3b、∠2=∠3c、∠4=∠5d、∠2+∠4=180013、如图9,已知ab‖cd,hi‖fg,ef⊥cd于f,∠1=400,那么∠ehi=()a、400b、450c、500d、55014、一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角()a、相等b、相等或互补c、互补d、不能确定15、下列语句中,是假命题的个数是()①过点p作直线bc的垂线;②延长线段mn;③直线没有延长线;④射线有延长线。
平行线的证明【1】1.已知:如图,DG⊥BC,AC⊥BC,EF⊥AB,∠1=∠2,求证:CD⊥AB.证明:∵DG⊥BC,AC⊥BC(已知)∴∠DGB=∠ACB=90°(垂直定义)∴DG∥AC()∴∠2=()∵∠1=∠2(已知)∴∠1=∠(等量代换)∴EF∥CD()∴∠AEF=∠()∵EF⊥AB(已知)∴∠AEF=90°()∴∠ADC=90°()∴CD⊥AB()2.完成下面推理过程:如图,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得AB∥CD.理由如下:∵∠1=∠2(已知),且∠1=∠CGD(),∴∠2=∠CGD(等量代换).∴CE∥BF().∴∠=∠C().又∵∠B=∠C(已知),∴∠=∠B(等量代换).∴AB∥CD().3.如图,∠1=60°,∠2=60°,∠3=100°.要使AB∥EF,∠4应为多少度?说明理由.4.如图,EF∥AD,∠1=∠2.求证:DG∥AB.5.如图,已知DE∥BC,EF平分∠AED,EF⊥AB,CD⊥AB,试说明CD平分∠ACB.6.如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,且∠EOC:∠EOD=2:3.(1)求∠BOD的度数;(2)如图2,点F在OC上,直线GH经过点F,FM平分∠OFG,且∠MFH﹣∠BOD=90°,求证:OE∥GH.平行线的证明【2】1.如图,已知CD∥AB,OE平分∠BOD,OE⊥OF,∠CDO=62°,求∠DOF的度数.2.如图,已知AB∥DE∥MN,AD平分∠CAB,CD⊥DE.(1)∠DAB=15°,求∠ACD的度数;(2)判断等式∠CDA=∠NCD+∠DAB是否成立,并说明理由.3.如图,已知AB∥CD∥EF,∠ABC=46°,∠CEF=154°,求:(1)∠ECD的度数;(2)∠BCE的度数.4.学着说点理,填空:如图,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠1,可得AD平分∠BAC.理由如下:∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,(已知)∴∠ADC=∠EGC=90°,()∴AD∥EG,()∴∠1=∠2,()∠E=∠3,(两直线平行,同位角相等)又∵∠E=∠1(已知)∴=(等量代换)∴AD平分∠BAC()5.如图,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°.(1)试判断BF与DE的位置关系,并说明理由;(2)若BF⊥AC,∠2=150°,求∠AFG的度数.6.如图,将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上,若∠1=27°.(1)求∠2的度数;(2)若∠3=18°,判断直线n和m的位置关系,并说明理由.7.如图,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,(1)问直线EF与AB有怎样的位置关系?加以证明;(2)若∠CEF=70°,求∠ACB的度数.平行线的证明【3】1.如图,已知∠1=142°,∠ACB=38°,∠2=∠3,FH⊥AB于H,问AB与CD是否垂直?并说明理由.2.如图,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠3,∠BAC与∠DCA相等吗?为什么?3.已知;如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD,∠ADC的平分线AE、DF分别与线段BC相交于点E、F,AE与DF相交于点G,求证:AE⊥DF.4.如图所示,∠B=25°,∠D=42°,∠BCD=67°,试判断AB和ED的位置关系,并说明理由.5.如图,已知点E、F在直线AB上,点G在线段CD上,ED与FG交于点H,∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD.(1)求证:CE∥GF;(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系,并说明理由;(3)若∠EHF=80°,∠D=30°,求∠AEM的度数.6.完成下列推理过程:已知:如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠B求证:∠EDG+∠DGC=180°证明:∵∠1+∠2=180°(已知)∠1+∠DFE=180°()∴∠2=()∴EF∥AB()∴∠3=()又∵∠3=∠B(已知)∴∠B=∠ADE()∴DE∥BC()∴∠EDG+∠DGC=180°()7.如图所示,折叠一个宽度相等的纸条,求∠1的度数.平行线的证明【4】1.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠ACB的大小关系,并说明理由.2.如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3.请问:AD平分∠BAC吗?若平分,请说明理由.3.MF⊥NF于F,MF交AB于点E,NF交CD于点G,∠1=140°,∠2=50°,试判断AB 和CD的位置关系,并说明理由.4.如图AB∥CD∥GH,EG平分∠BEF,FG平分∠EFD.求证:∠EGF=90°.5.(1)如图1,已知AB∥CD,那么图1中∠P AB、∠APC、∠PCD之间有什么数量关系?并说明理由.(2)如图2,已知∠BAC=80°,点D是线段AC上一点,CE∥BD,∠ABD和∠ACE的平分线交于点F,请利用(1)的结论求图2中∠F的度数.6.已知:如图,AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2(1)求证:AB∥CD(2)若∠D=∠3+50°,∠CBD=70°,求∠C的度数.7.如图,AB∥CD,∠CDE=122°,GF交∠DEB的平分线EF于点F,∠AGF=150°,求∠F.平行线的证明【5】1.如图,EF∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°.(1)问直线CD与AB有怎样的位置关系?并说明理由;(2)若∠CEF=70°,求∠ACB的度数.2.如图,AB∥DC,AC和BD相交于点O,E是CD上一点,F是OD上一点,且∠1=∠A.(1)求证:FE∥OC;(2)若∠BOC比∠DFE大20°,求∠OFE的度数.3.把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G,D、C分别在M、N的位置上,若∠EFG=55°,求:(1)∠FED的度数;(2)∠FEG的度数;(3)∠1和∠2的度数.4.已知△ABC各顶点的坐标为A(﹣4,﹣2),B(﹣1,﹣3),C(﹣2,﹣1),将△ABC 先向右平移4个单位长度,再向上平移3个单位长度得到△A′B′C′.(1)在直角坐标系中画出△A′B′C′;(2)求出△A′B′C′的面积.5.如图①,AB∥CD,点E在直线AB与CD之间,连结AE、BE,试说明∠BAE+∠DCE =∠AEC.【探究】当点E在如图②的位置时,其他条件不变,试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE =360°;【应用】点E、F、G在直线AB与CD之间,连结AE、EF、FG和CG,其他条件不变,如图③.若∠EFG=36°,则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=°.平行线的证明【6】1.已知:如图,CD分别交AD、AE、BE于点D、F、C,连接AB、AC,AD∥BE,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AB∥CD.证明:∵AD∥BE(已知)∴∠3=∠CAD()∵∠3=∠4(已知)∴∠4=(等量代换)∵∠1=∠2(已知)∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE(等式的基本性质)即∠BAE=∴∠4=(等量代换)∴AB∥CD.2.如图(1),AB∥CD,试求∠BPD与∠B、∠D的数量关系,说明理由.(2)依照上面的解题方法,观察图(2),已知AB∥CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D 的数量关系,并说明理由.(3)观察图(3)和(4),已知AB∥CD,直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系,不用说明理由.3.(1)如图①如果AB∥CD,求证:∠APC=∠A+∠C.(2)如图②,AB∥CD,根据上面的推理方法,直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C=.(3)如图③,AB∥CD,若∠ABP=x,∠BPQ=y,∠PQC=z,∠QCD=m,则m=(用x、y、z表示)4.已知,如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠1与∠2互补.(1)试判断直线AB与CD的位置关系,并说明理由;(2)如图2,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上的一点且GH⊥EG.求证:PF∥GH.5.如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠后,使点D与点B重合,点C落在点C′的位置上.(1)折叠后,DC的对应线段是;(2)若∠BFE=65°,求∠EBF的度数.。
平行线证明题1.如图所示,已知下列条件不能判断l 1 ∥l 2的是( )A .∠1=∠2B .∠3=∠4C .∠1=∠4D .∠4+∠5=180°54321l 2l 1第1题图2.如图所示,已知DE ⊥AC 于点E ,BC ⊥AC 于点C ,FG ⊥AB 于点G ,∠BFG=∠EDC ,求证:CD ⊥AB 。
E3.如图所示,点B 在DC 上,BE 平分∠ABD ,∠DBE=∠A ,则BE 与AC 有何种位置关系?为什么?第3题图EDCB A4.如图所示,直线AB 、CD 被直线EF 所截,∠1=∠2,∠CNF=∠BME ,那么AB ∥CD ,MP ∥NQ ,请说明理由。
QPN M21F第4题图E D CB A5.如图所示,已知∠ 1 =85,∠ 2 =85,∠ 3 = 125,求∠4与∠5的度数.6如图所示,∠ABC=∠ACB,BD 平分∠ABC ,CE 平分∠ACB ,∠DBF=∠F ,问CE 与DF 平行吗?请给出理由。
FE D CBA7、如图, 填空:(1)∵ ∠2=∠B∴ AB ∥______( )(2)∵ ∠1=∠A∴ _____∥_____( )(3)∵_____∥_____∴ ∠1=∠D ( )(4)∵ AC ∥DF∴ _______+∠F=180°( )ACDFBE12 8、完成推理过程并填写推理理由:已知:如图BE//CF ,BE 、CF 分别平分∠ABC 和∠BCD 。
求证:AB//CD.证明:∵ BE 、CF 分别平分∠ABC 和∠BCD∴∠1=21∠ ∠2=21∠ ( ) ∵BE//CF (已知)∴∠1=∠2( ) ∴21∠ABC=21∠BCD ( ) 即∠ABC=∠BCD ∴AB//CD ( )9、如图,AB ∥CD,AD ∥BC,∠A=3∠B.求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数.10、如图,AB ∥DE ,试问∠B 、∠E 、∠BCE 有什么关系?并证明。
初中数学:平行线的证明测试题一、选择题(共14小题)1.如图,∠1=∠2,∠3=40°,则∠4等于()A.120°B.130°C.140°D.40°2.如图,直线a,b与直线c,d相交,若∠1=∠2,∠3=70°,则∠4的度数是()A.35°B.70°C.90°D.110°3.如图,直线a,b,c,d,已知c⊥a,c⊥b,直线b,c,d交于一点,若∠1=50°,则∠2=()A.60°B.50°C.40°D.30°4.如图所示,∠1+∠2=180°,∠3=100°,则∠4等于()A.70°B.80°C.90°D.100°5.已知在△ABC中,∠C=∠A+∠B,则△ABC的形状是()A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形6.下列图形中,由AB∥CD,能得到∠1=∠2的是()A.B.C.D.7.直线a、b、c、d的位置如图所示,如果∠1=58°,∠2=58°,∠3=70°,那么∠4等于()A.58°B.70°C.110°D.116°8.如图,直线a、b被直线c、d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4的度数为()A.55°B.60°C.70°D.75°9.如图,直线a,b与直线c,d相交,已知∠1=∠2,∠3=110°,则∠4=()A.70°B.80°C.110°D.100°10.如图,∠1=∠2,∠3=30°,则∠4等于()A.120°B.130°C.145°D.150°11.如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=()A.118°B.119°C.120°D.121°12.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=3:4:5,则∠C等于()A.45°B.60°C.75°D.90°13.如图,小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,并测得∠1=25°,则∠2的度数是()A.15°B.25°C.35°D.45°14.如图AB∥CD,AC⊥BC,图中与∠CAB互余的角有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共16小题)15.如图,∠1=∠2,∠A=60°,则∠ADC= 度.16.如图,∠1=∠2=40°,MN平分∠EMB,则∠3= °.17.如图,若∠1=40°,∠2=40°,∠3=116°30′,则∠4= .18.如图,AB∥CD,∠1=60°,FG平分∠EFD,则∠2= 度.19.如图,点B,C,E,F在一直线上,AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,则∠D= 度.20.如右图,已知:AB∥CD,∠C=25°,∠E=30°,则∠A= .21.如图,已知∠1=∠2,∠3=73°,则∠4的度数为度.22.如图△ABC中,∠A=90°,点D在AC边上,DE∥BC,若∠1=155°,则∠B的度数为.23.如图,一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上,若∠1=25°,则∠2= .24.如图,一束平行太阳光线照射到正五边形上,则∠1= .25.如图,a∥b,∠1=70°,∠2=50°,∠3= °.26.如图,AD平分△ABC的外角∠EAC,且AD∥BC,若∠BAC=80°,则∠B= °.27.如图,AB∥CD,∠BAF=115°,则∠ECF的度数为°.28.如图,∠B=30°,若AB∥CD,CB平分∠ACD,则∠ACD= 度.29.如图,四边形ABCD中,点M、N分别在AB、BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN ∥DC,则∠B= °.30.如图,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= .平行线的证明参考答案与试题解析一、选择题(共14小题)1.如图,∠1=∠2,∠3=40°,则∠4等于()A.120°B.130°C.140°D.40°【考点】平行线的判定与性质.【分析】首先根据同位角相等,两直线平行可得a∥b,再根据平行线的性质可得∠3=∠5,再根据邻补角互补可得∠4的度数.【解答】解:∵∠1=∠2,∴a∥b,∴∠3=∠5,∵∠3=40°,∴∠5=40°,∴∠4=180°﹣40°=140°,故选:C.【点评】此题主要考查了平行线的性质与判定,关键是掌握同位角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等.2.如图,直线a,b与直线c,d相交,若∠1=∠2,∠3=70°,则∠4的度数是()A.35°B.70°C.90°D.110°【考点】平行线的判定与性质.【分析】首先根据∠1=∠2,可根据同位角相等,两直线平行判断出a∥b,可得∠3=∠5,再根据邻补角互补可以计算出∠4的度数.【解答】解:∵∠1=∠2,∴a∥b,∴∠3=∠5,∵∠3=70°,∴∠5=70°,∴∠4=180°﹣70°=110°,故选:D.【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质,关键是掌握平行线的判定定理与性质定理,平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系3.如图,直线a,b,c,d,已知c⊥a,c⊥b,直线b,c,d交于一点,若∠1=50°,则∠2=()A.60°B.50°C.40°D.30°【考点】平行线的判定与性质.【分析】先根据对顶角相等得出∠3,然后判断a∥b,再由平行线的性质,可得出∠2的度数.【解答】解:∵∠1和∠3是对顶角,∴∠1=∠3=50°,∵c⊥a,c⊥b,∴a∥b,∵∠2=∠3=50°.故选:B.【点评】本题考查了平行线的判定与性质,解答本题的关键是掌握两直线平行内错角相等,对顶角相等.4.如图所示,∠1+∠2=180°,∠3=100°,则∠4等于()A.70°B.80°C.90°D.100°【考点】平行线的判定与性质.【分析】首先证明a∥b,再根据两直线平行同位角相等可得∠3=∠6,再根据对顶角相等可得∠4.【解答】解:∵∠1+∠5=180°,∠1+∠2=180°,∴∠2=∠5,∴a∥b,∴∠3=∠6=100°,∴∠4=100°.故选:D.【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质,关键是掌握两直线平行同位角相等.5.已知在△ABC中,∠C=∠A+∠B,则△ABC的形状是()A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形【考点】三角形内角和定理.【分析】根据在△ABC中,∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°可求出∠C的度数,进而得出结论.【解答】解:∵在△ABC中,∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠C=180°,解得∠C=90°,、∴△ABC是直角三角形.故选:C.【点评】本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键.6.(2013•扬州)下列图形中,由AB∥CD,能得到∠1=∠2的是()A.B.C.D.【考点】平行线的判定与性质.【分析】根据平行线的性质求解即可求得答案,注意掌握排除法在选择题中的应用.【解答】解:A、∵AB∥CD,∴∠1+∠2=180°,故A错误;B、∵AB∥CD,∴∠1=∠3,∵∠2=∠3,∴∠1=∠2,故B正确;C、∵AB∥CD,∴∠BAD=∠CDA,若AC∥BD,可得∠1=∠2;故C错误;D、若梯形ABCD是等腰梯形,可得∠1=∠2,故D错误.故选:B.【点评】此题主要考查了平行线的判定,关键是掌握平行线的判定定理.同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.7.直线a、b、c、d的位置如图所示,如果∠1=58°,∠2=58°,∠3=70°,那么∠4等于()A.58°B.70°C.110°D.116°【考点】平行线的判定与性质.【分析】根据同位角相等,两直线平行这一定理可知a∥b,再根据两直线平行,同旁内角互补即可解答.【解答】解:∵∠1=∠2=58°,∴a∥b,∴∠3+∠5=180°,即∠5=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°,∴∠4=∠5=110°,故选C.【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质,对顶角相等,熟记定理是解题的关键.8.如图,直线a、b被直线c、d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4的度数为()A.55°B.60°C.70°D.75°【考点】平行线的判定与性质.【分析】利用平行线的性质定理和判定定理,即可解答.【解答】解:如图,∵∠1=∠2,∴a∥b,∴∠3=∠5=125°,∴∠4=180°﹣∠5=180°﹣125°=55°,故选:A.【点评】此题考查了平行线的性质和判定定理.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.9.如图,直线a,b与直线c,d相交,已知∠1=∠2,∠3=110°,则∠4=()A.70°B.80°C.110°D.100°【考点】平行线的判定与性质.【分析】根据同位角相等,两直线平行这一定理可知a∥b,再根据两直线平行,同旁内角互补即可解答.【解答】解:∵∠3=∠5=110°,∵∠1=∠2=58°,∴a∥b,∴∠4+∠5=180°,∴∠4=70°,故选A.【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质,对顶角相等,熟记定理是解题的关键.10.如图,∠1=∠2,∠3=30°,则∠4等于()A.120°B.130°C.145°D.150°【考点】平行线的判定与性质.【专题】计算题.【分析】由∠1=∠2,利用同位角相等两直线平行得到a与b平行,再由两直线平行同位角相等得到∠3=∠5,求出∠5的度数,即可求出∠4的度数.【解答】解:∵∠1=∠2,∴a∥b,∴∠5=∠3=30°,∴∠4=180°﹣∠5,=150°,故选D【点评】此题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.11.如图,在△ABC中,∠B、∠C的平分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,∠A=60°,则∠BFC=()A.118°B.119°C.120°D.121°【考点】三角形内角和定理.【分析】由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°,由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°,再利用三角形的内角和定理得结果.【解答】解:∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∵BE,CD是∠B、∠C的平分线,∴∠CBE=∠ABC,∠BCD=,∴∠CBE+∠BCD=(∠ABC+∠BCA)=60°,∴∠BFC=180°﹣60°=120°,故选:C.【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的性质,综合运用三角形内角和定理和角平分线的性质是解答此题的关键.12.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=3:4:5,则∠C等于()A.45°B.60°C.75°D.90°【考点】三角形内角和定理.【分析】首先根据∠A:∠B:∠C=3:4:5,求出∠C的度数占三角形的内角和的几分之几;然后根据分数乘法的意义,用180°乘以∠C的度数占三角形的内角和的分率,求出∠C等于多少度即可.【解答】解:180°×==75°即∠C等于75°.故选:C.【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:三角形的内角和是180°.13.如图,小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,并测得∠1=25°,则∠2的度数是()A.15°B.25°C.35°D.45°【考点】平行线的性质.【专题】压轴题.【分析】先根据两直线平行,内错角相等求出∠3,再根据直角三角形的性质用∠2=60°﹣∠3代入数据进行计算即可得解.【解答】解:∵直尺的两边互相平行,∠1=25°,∴∠3=∠1=25°,∴∠2=60°﹣∠3=60°﹣25°=35°.故选C.【点评】本题考查了平行线的性质,三角板的知识,比较简单,熟记性质是解题的关键.14.如图AB∥CD,AC⊥BC,图中与∠CAB互余的角有()A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】平行线的性质;余角和补角;对顶角、邻补角.【分析】两角互余,则两角之和为90°,此题的目的在于找出与∠CAB的和为90°的角,根据平行线的性质及对顶角相等作答.【解答】解:∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD,设∠ABC的对顶角为∠1,则∠ABC=∠1,又∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠BCD=∠CAB+∠1=90°,因此与∠CAB互余的角为∠ABC,∠BCD,∠1.故选C.【点评】此题考查的知识点为:平行线的性质,两角互余和为90°,对顶角相等.二、填空题(共16小题)15.如图,∠1=∠2,∠A=60°,则∠ADC= 120 度.【考点】平行线的判定与性质.【分析】由已知一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行得到AB与DC平行,再利用两直线平行同旁内角互补,由∠A的度数即可求出∠ADC的度数.【解答】解:∵∠1=∠2,∴AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°,∵∠A=60°,∴∠ADC=120°.故答案为:120°【点评】本题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.16.如图,∠1=∠2=40°,MN平分∠EMB,则∠3= 110 °.【考点】平行线的判定与性质.【分析】根据对顶角相等得出∠2=∠MEN,利用同位角相等,两直线平行得出AB∥CD,再利用平行线的性质解答即可.【解答】解:∵∠2=∠MEN,∠1=∠2=40°,∴∠1=∠MEN,∴AB∥CD,∴∠3+∠BMN=180°,∵MN平分∠EMB,∴∠BMN=,∴∠3=180°﹣70°=110°.故答案为:110.【点评】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,是基础题,熟记性质并准确识图是解题的关键.17.如图,若∠1=40°,∠2=40°,∠3=116°30′,则∠4= 63°30′.【考点】平行线的判定与性质.【分析】根据∠1=∠2可以判定a∥b,再根据平行线的性质可得∠3=∠5,再根据邻补角互补可得答案.【解答】解:∵∠1=40°,∠2=40°,∴a∥b,∴∠3=∠5=116°30′,∴∠4=180°﹣116°30′=63°30′,故答案为:63°30′.【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质,关键是掌握同位角相等,两直线平行.18.如图,AB∥CD,∠1=60°,FG平分∠EFD,则∠2= 30 度.【考点】平行线的性质;角平分线的定义.【分析】根据平行线的性质得到∠EFD=∠1,再由FG平分∠EFD即可得到.【解答】解:∵AB∥CD∴∠EFD=∠1=60°又∵FG平分∠EFD.∴∠2=∠EFD=30°.【点评】本题主要考查了两直线平行,同位角相等.19.如图,点B,C,E,F在一直线上,AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,则∠D= 36 度.【考点】平行线的性质;三角形内角和定理.【分析】根据两直线平行,同位角相等可得∠DCE=∠B,∠DEC=∠F,再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.【解答】解:∵AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°,∴∠DCE=∠B=72°,∠DEC=∠F=72°,在△CDE中,∠D=180°﹣∠DCE﹣∠DEC=180°﹣72°﹣72°=36°.故答案为:36.【点评】本题考查了两直线平行,同位角相等的性质,三角形的内角和定理,是基础题,熟记性质与定理是解题的关键.20.如右图,已知:AB∥CD,∠C=25°,∠E=30°,则∠A= 55°.【考点】平行线的性质.【专题】计算题.【分析】由AB与CD平行,利用两直线平行得到一对同位角相等,求出∠EFD的度数,而∠EFD为三角形ECF的外角,利用外角性质即可求出∠EFD的度数,即为∠A的度数.【解答】解:∵∠EFD为△ECF的外角,∴∠EFD=∠C+∠E=55°,∵CD∥AB,∴∠A=∠EFD=55°.故答案为:55°【点评】此题考查了平行线的性质,以及三角形的外角性质,熟练掌握平行线的性质是解本题的关键.21.如图,已知∠1=∠2,∠3=73°,则∠4的度数为107 度.【考点】平行线的判定与性质.【专题】计算题.【分析】根据已知一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行得到a与b平行,利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补,再利用对顶角相等即可确定出∠4的度数.【解答】解:∵∠1=∠2,∴a∥b,∴∠5+∠3=180°,∵∠4=∠5,∠3=73°,∴∠4+∠3=180°,则∠4=107°.故答案为:107【点评】此题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.22.(2013•南昌)如图△ABC中,∠A=90°,点D在AC边上,DE∥BC,若∠1=155°,则∠B的度数为65°.【考点】平行线的性质;直角三角形的性质.【专题】探究型.【分析】先根据平角的定义求出∠EDC的度数,再由平行线的性质得出∠C的度数,根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数.【解答】解:∵∠1=155°,∴∠EDC=180°﹣155°=25°,∵DE∥BC,∴∠C=∠EDC=25°,∵△ABC中,∠A=90°,∠C=25°,∴∠B=180°﹣90°﹣25°=65°.故答案为:65°.【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,内错角相等.23.如图,一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上,若∠1=25°,则∠2= 115°.【考点】平行线的性质.【分析】将各顶点标上字母,根据平行线的性质可得∠2=∠DEG=∠1+∠FEG,从而可得出答案.【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°.故答案为:115°.【点评】本题考查了平行线的性质,解答本题的关键是掌握平行线的性质:两直线平行内错角相等.24.如图,一束平行太阳光线照射到正五边形上,则∠1= 30°.【考点】平行线的性质;多边形内角与外角.【分析】作出平行线,根据两直线平行:内错角相等、同位角相等,结合三角形的内角和定理,即可得出答案.【解答】解:作出辅助线如图:则∠2=42°,∠1=∠3,∵五边形是正五边形,∴一个内角是108°,∴∠3=180°﹣∠2﹣∠3=30°,∴∠1=∠3=30°.故答案为:30°.【点评】本题考查了平行线的性质,注意掌握两直线平行:内错角相等、同位角相等.25.如图,a∥b,∠1=70°,∠2=50°,∠3= 60 °.【考点】平行线的性质.【专题】探究型.【分析】先根据平行线的性质求出∠4的度数,再由平角的性质求出∠3的度数即可.【解答】解:∵a∥b,∠1=70°,∴∠4=∠1=70°,∴∠3=180°﹣∠4﹣∠2=180°﹣70°﹣50°=60°.故答案为:60.【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,同位角相等.26.如图,AD平分△ABC的外角∠EAC,且AD∥BC,若∠BAC=80°,则∠B= 50 °.【考点】平行线的性质.【分析】由∠BAC=80°,可得出∠EAC的度数,由AD平分∠EAC,可得出∠EAD的度数,再由AD∥BC,可得出∠B的度数.【解答】解:∵∠BAC=80°,∴∠EAC=100°,∵AD平分△ABC的外角∠EAC,∴∠EAD=∠DAC=50°,∵AD∥BC,∴∠B=∠EAD=50°.故答案为:50.【点评】本题考查了平行线的性质,解答本题的关键是掌握角平分线的性质及平行线的性质:两直线平行内错角、同位角相等,同旁内角互补.27.如图,AB∥CD,∠BAF=115°,则∠ECF的度数为65 °.【考点】平行线的性质.【分析】先根据平角的定义求出∠BAC的度数,再根据平行线的性质即可得出结论.【解答】解:∵∠BAF=115°,∴∠BAC=180°﹣115°=65°,∵AB∥CD,∴∠ECF=∠BAC=65°.故答案为:65.【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,内错角相等.28.如图,∠B=30°,若AB∥CD,CB平分∠ACD,则∠ACD= 60 度.【考点】平行线的性质.【专题】压轴题.【分析】根据AB∥CD,可得∠BCD=∠B=30°,然后根据CB平分∠ACD,可得∠ACD=2∠BCD=60°.【解答】解:∵AB∥CD,∠B=30°,∴∠BCD=∠B=30°,∵CB平分∠ACD,∴∠ACD=2∠BCD=60°.故答案为:60.【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质,掌握平行线的性质:两直线平行,内错角相等是解题的关键.29.如图,四边形ABCD中,点M、N分别在AB、BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN ∥DC,则∠B= 95 °.【考点】平行线的性质;三角形内角和定理;翻折变换(折叠问题).【分析】根据两直线平行,同位角相等求出∠BMF、∠BNF,再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM,然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.【解答】解:∵MF∥AD,FN∥DC,∴∠BMF=∠A=100°,∠BNF=∠C=70°,∵△BMN沿MN翻折得△FMN,∴∠BMN=∠BMF=×100°=50°,∠BNM=∠BNF=×70°=35°,在△BMN中,∠B=180°﹣(∠BMN+∠BNM)=180°﹣(50°+35°)=180°﹣85°=95°.故答案为:95.【点评】本题考查了两直线平行,同位角相等的性质,翻折变换的性质,三角形的内角和定理,熟记性质并准确识图是解题的关键.30.如图,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= 70°.【考点】三角形内角和定理;三角形的外角性质.【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=(∠B+∠B+∠1+∠2);最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数.【解答】解:∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,∴∠EAC=∠DAC,∠ECA=∠ACF;又∵∠B=40°(已知),∠B+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理),∴∠DAC+∠ACF=(∠B+∠2)+(∠B+∠1)=(∠B+∠B+∠1+∠2)=110°(外角定理),∴∠AEC=180°﹣(∠DAC+∠ACF)=70°.故答案为:70°.【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质,熟练应用角平分线的性质是解题关键.。
专题5.2 平行线的性质【十大题型】【人教版】【题型1 平行线的判定与性质的运用(计算与证明)】 (1)【题型2 平行线的判定与性质(书写过程)】 (5)【题型3 平行线与三角尺(直角顶点在平行线上)】 (9)【题型4 平行线与三角尺(直角顶点不在平行线上)】 (11)【题型5 平行线的判定与性质综合(角度之间的数量关系)】 (16)【题型6 平行线的判定与性质综合(求定值)】 (21)【题型7 平行线的判定与性质综合(规律问题)】 (31)【题型8 平行线的性质(折叠问题)】 (36)【题型9 平行线的应用(转角问题)】 (41)【题型10 平行线的判定与性质综合(旋转)】 (46)【知识点平行线的性质】【例1】(2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中)如图,点D,E在AC上,点F,G分别在BC,AB上,且DG∥BC,∠1=∠2.(1)求证:DB∥EF;(2)若EF∠AC,∠1=50°,求∠ADG的度数.【答案】(1)见解析(2)∠ADG=40°【分析】(1)利用两直线平行,内错角相等,再根据同位角相等,两直线平行即可得证;(2)先求出∠C,再根据两直线平行,同位角相等,即可得解.(1)证明:∠DG∥BC,∠∠1=∠DBC.又∠∠1=∠2,∠∠2=∠DBC,∠DB∥EF.(2)∠EF∠AC,∠∠CEF=90°.∠∠2=∠1=50°,∠∠C=90°-50°=40°.∠DG∥BC,∠∠ADG=∠C=40°.【点睛】本题考查平行线的判定和性质.熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键.【变式1-1】(2022·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心七年级期末)已知:如图,AE⊥BC,FG⊥BC,∠CEA=∠FGB,∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°.(1)求证:AB∥CD;(2)求∠C的度数.【答案】(1)证明见解析(2)∠C=30°【分析】(1)先证明AE∥GF,可得∠EAB=∠FGB,再证明∠CEA=∠EAB,从而可得答案;(2)由AB∥CD,可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°,再把∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°代入进行计算即可.(1)证明:∵AE⊥BC,FG⊥BC,∠AE∥GF,∴∠EAB=∠FGB,∵∠CEA=∠FGB,∴∠CEA=∠EAB,∠AB∥CD;(2)解:由(1)得,AB∥CD,∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°,∵∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°,∠∠ABC+70°+∠ABC+50°=180°∴∠ABC=30°,∴∠C=∠ABC=30°.【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质,方程思想的应用,掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键.【变式1-2】(2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中)如图,∠ABC中,∠BAC的角平分线交BC于D,点F在BA的延长线上,点E在线段CD上,EF与AC相交于点G,且∠BDA+∠CEG=180°.(1)求证:AD∥EF;(2)若点H在FE的延长线上,且∠EDH=∠C,则∠F与∠H相等吗?请说明理由.【答案】(1)见详解(2)∠F=∠H,说明见详解【分析】(1)根据∠BDA+∠CEG=180°,∠DEF+∠CEG=180°,可得∠BDA=∠DEF,根据同位角相等,两直线平行可判定AD∥EF;(2)根据∠EDH=∠C,可得DH∥AC,继而得到∠H=∠EGC,由对顶角∠AGF=∠EGC,可得∠H=∠AGF,由(1)AD∥EF可得∠DAG=∠AGF,∠BAD=∠F,再因为AD是∠BAC的角平分线,有∠DAG=∠BAD,即可证明∠F=∠H.(1)证明:∠∠BDA+∠CEG=180°,∠DEF+∠CEG=180°,∠∠BDA=∠DEF,∠AD∥EF.(2)解:∠F=∠H,理由如下:∠∠EDH=∠C,∠DH∥AC,∠∠H=∠EGC,∠∠AGF=∠EGC,∠∠H=∠AGF,∠AD∥EF,∠∠DAG=∠AGF,∠BAD=∠F,又∠AD是∠BAC的角平分线,∠∠DAG=∠BAD,∠∠F=∠H.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义,熟练掌握并应用平行线的判定与性质是解答本题的关键.【变式1-3】(2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模)如图,已知AD⊥BC,EF⊥BC,∠1=∠2.(1)求证:EF∥AD;(2)求证:∠BAC+∠AGD=180°.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据垂直得出∠EFB=∠ADB=90°,根据平行线的判定得出EF∥AD;(2)根据平行线的性质得出∠1=∠BAD,由∠1=∠2得出∠2=∠BAD,根据平行线的判定得出DG∥BA,再根据平行线的性质即可得解.【详解】(1)证明:∠AD⊥BC,EF⊥BC,∠∠EFB=90°,∠ADB=90°(垂直的定义),∠∠EFB=∠ADB(等量代换),∠EF∥AD(同位角相等,两直线平行);(2)证明:∠EF∥AD,∠∠1=∠BAD(两直线平行,同位角相等),又∵∠1=∠2(已知),∠∠2=∠BAD(等量代换),∠DG∥BA(内错角相等,两直线平行),∠∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行,同旁内角互补).【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质,熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.【题型2 平行线的判定与性质(书写过程)】【例2】(2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中)如图,∠1=∠2,∠A=∠D.求证:∠B=∠C.(请把下面证明过程补充完整)证明:∵1=∠2(已知)又∵∠1=∠3(____________)∴∠2=∠3(____________)∴AE∥FD(_____________)∴∠A=∠_____(______________)∵∠A=∠D(已知)∴∠D=∠BFD(等量代换)∠_____∥CD(__________________)∴∠B=∠C(____________)【答案】对顶角相等;等量代换;内错角相等,两直线平行;BFD;两直线平行,内错角相等;AB;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.【分析】先利用对顶角的性质证明∠2=∠3,再证明AE∥FD,可证明∠A=∠BFD,可得∠D=∠BFD,再证明AB∥CD,从而可得答案.【详解】证明:∵1=∠2(已知)又∵∠1=∠3(对顶角相等)∴∠2=∠3(等量代换)∴AE∥FD(内错角相等,两直线平行)∴∠A=∠BFD(两直线平行,内错角相等)∵∠A=∠D(已知)∴∠D=∠BFD(等量代换)∠AB∥CD(内错角相等,两直线平行)∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)【点睛】本题考查的是对顶角的性质,平行线的判定与性质,熟练的利用平行线的判定与性质进行证明是解本题的关键.【变式2-1】(2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校七年级阶段练习)阅读并完成下面的证明过程:已知:如图,AB∥EF,∠1=∠2,BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD,求证:BE⊥CE.证明:∠BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD.∠ABC∠∠ABE=∠EBC=12∠2=________=1∠BCD(角平分线定义)2又∠∠1=∠2,∠∠1=∠ECD()∠EF∥CD()又∠AB∥EF(已知)∠________________()∠∠ABC+∠BCD=180°()(∠ABC+∠BCD)=90°,∠∠ABE+∠2=12又∠AB∥EF,∠∠ABE=∠BEF()∠∠BEF+∠1=90°,∠∠BEC=90°,∠BE⊥CE()【答案】∠ECD;等量代换;内错角相等,两直线平行;AB∥CD;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等;垂直定义.【分析】根据平行线的性质、平行线的判定以及垂直的定义进行分析即可解答.【详解】证明:∠BE、CE分别平分∠ABC和∠BCD.∠ABC∠∠ABE=∠EBC=12∠BCD(角平分线定义)∠2=∠ECD=12又∠∠1=∠2,∠∠1=∠ECD(等量代换)∠EF∥CD(内错角相等,两直线平行)又∠AB∥EF(已知)∠AB∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行)∠∠ABC+∠BCD=180°(两直线平行,同旁内角互补)(∠ABC+∠BCD)=90°,∠∠ABE+∠2=12又∠AB∥EF,∠∠ABE=∠BEF(两直线平行,内错角相等)∠∠BEF+∠1=90°,∠∠BEC=90°,∠BE⊥CE(垂直定义).故答案为:∠ECD;等量代换;内错角相等,两直线平行;AB∥CD;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等;垂直定义.【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识点,灵活运用平行线的判定与性质是解答本题的关键.【变式2-2】(2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中)完成下面证明过程并写出推理根据:已知:如图所示,∠BAP与∠APD互补,∠1=∠2.求证:∠E=∠F.证明:∠∠BAP与∠APD互补(已知),即∠BAP+∠APD=180°,∠____________∥_____________(_____________________),∠∠BAP=∠APC(_____________________).又∠∠1=∠2,∠∠BAP-∠1=∠APC-∠2(等式的性质),即∠3=∠4,∠____________∥_____________(_____________________),∠∠E=∠F(_____________________).【答案】AB;CD;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,内错角相等;AE;FP;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等【分析】根据平行线的判定与性质,结合图形完成填空即可求解.【详解】∠∠BAP与∠APD互补(已知),即∠BAP+∠APD=180°,∠AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),∠∠BAP=∠APC(两直线平行,内错角相等).又∠∠1=∠2,∠∠BAP-∠1=∠APC-∠2(等式的性质),即∠3=∠4,∠AE∥FP(内错角相等,两直线平行),∠∠E=∠F(两直线平行,内错角相等)故答案为:AB;CD;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,内错角相等;AE;FP;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.【点睛】本题考查了平行线的性质与判定进行证明,掌握平行线的性质与判定是解题的关键.【变式2-3】(2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中)推理填空:完成下面的证明过程.如图,已知∠1+∠2=180°,∠B=∠DEF,求证:.DE∠BC证明:∠∠1+∠2=180°()∠2=∠3(_______________________________)∠∠1+∠3=180°∠______∥______(_____________________________)∠∠B=______(________________________________)∠∠B=∠DEF(已知)∠∠DEF=_______ (_______________________)∠DE∠BC()【答案】已知;对顶角相等;AB;EF;同旁内角互补,两直线平行;∠EFC;两直线平行,同位角相等;∠EFC;等量代换;内错角相等,两直线平行【分析】由于∠1+∠2=180°,∠2=∠3,则∠1+∠3=180°,根据同旁内角互补,两直线平行得到AB∥EF,则利用平行线的性质得∠B=∠CFE,由于∠B=∠DEF,所以∠DEF=∠CFE,于是根据平行线的判定得到DE∥BC.【详解】证明:∠∠1+∠2=180°(已知)∠2=∠3(对顶角相等)∠∠1+∠3=180°∠AB∥EF(同旁内角互补,两直线平行)∠∠B=∠EFC(两直线平行,同位角相等)∠∠B=∠DEF(已知)∠∠DEF=∠EFC(等量代换)∠DE∥BC(内错角相等,两直线平行)【点睛】本题考查了平行线的判定与性质:内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,同位角相等.掌握平行线的判定与性质是解题的关键.【题型3 平行线与三角尺(直角顶点在平行线上)】【例3】(2022·辽宁·阜新实验中学七年级期末)如图,含有30°角的直角三角板的两个顶点E、F放在一个长方形的对边上,点E为直角顶点,∠EFG=30°,延长EG交CD于点P,如果∠3=65°,那么∠2的度数是()A.100°B.105°C.115°D.120°【答案】C【分析】根据直角三角形两锐角互余得到∠1=25°,根据平角的定义得到∠AEF=90°-∠1=65°,根据平行线的性质即可得到结论.【详解】解:∠∠D=90°,∠3=65°,∠∠1=25°,∠∠FEG=90°,∠∠AEF=90°-∠1=65°,∠AD∥BC,∠∠2=180°-∠AEF=115°,故选:C.【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余和平行线的性质,关键是得出∠AEF与∠2互补.【变式3-1】(2022·浙江·金华市第四中学九年级阶段练习)将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:(1)∠1=∠2;(2)∠3=∠2;(3)∠2+∠4=90°;(4)∠4+∠5=180°,其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】根据两直线平行同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,及直角三角板的特殊性解答.【详解】解:∠纸条的两边平行,∠(1)∠1=∠2(两直线平行,同位角相等);(2)∠3=∠4(两直线平行,内错角相等);(4)∠4+∠5=180°(两直线平行,同旁内角互补)均正确;又∠直角三角板与纸条下线相交的角为90°,∠(3)∠2+∠4=90°,正确.故选:D.【点睛】本题考查平行线的性质,正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.【变式3-2】(2022·山东青岛·七年级期中)将一块直角三角板ABC按如图方式放置,其中∠ABC=30°,A,B两点分别落在直线m、n上,∠1=20°,添加下列哪一个条件可使直线m∥n ()A.∠2=20°B.∠2=30°C.∠2=45°D.∠2=50°【答案】D【分析】根据平行线的判定定理求解即可.【详解】解:由平行线的判定可知,当∠2=∠ABC+∠1时,m∥n,即∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°,故选:D.【点睛】本题考查了平行线的判定,熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.【变式3-3】(2022·河南南阳·二模)小明把一副三角板按如图所示方式摆放,直角边CD与直角边AB相交于点F,斜边DE∥BC,∠B=30°,∠E=45°,则∠CFB的度数是()A.95°B.115°C.105°D.125°【例4】(2022·全国·八年级专题练习)如图,a∥b,一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上,若∠1=58°54′,则∠2的度数为()A.103°6′B.104°6′C.103°54′D.104°54′【答案】C【分析】设∠2的同位角为∠3,∠3的邻补角为∠5,三角板的一个锐角为∠4,根据等腰三角板的特点可求出∠4,根据三角形内角和即可求出∠5,再根据平角的性质即可求出∠3,进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2.【详解】设∠2的同位角为∠3,∠3的邻补角为∠5,三角板的一个锐角为∠4,如图,∠直角三角板含一个45°的锐角,∠该三角板为等腰三角形,∠∠4=45°,∠∠1=58°54′,又∠在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°,∠∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′,∠∠3+∠5=180°,∠∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′,∠a∥b,∠∠2=∠3,∠∠2=103°54′,故选:C.【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识,掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键.【变式4-1】(2022·山西晋中·七年级期末)用一块含60°角的直角三角板和一把直尺按图中所示的方式放置,其中直尺的直角顶点与三角板的60°角顶点重合,直尺两边分别与三角板的两条直角边相交,若∠1=50°,则∠2的度数为()A.25°B.22.5°C.20°D.15°【答案】C【分析】如图,根据题意得到∠C=90°,AB∠DE,∠CDF=60°.先根据三角形内角和求出∠ABC=40°,再根据平行的性质求出∠CDE=40°,即可求出∠2=20°.【详解】解:如图,由题意得∠C=90°,AB∠DE,∠CDF=60°.∠∠C=90°,∠1=50°,∠∠ABC=180°-∠C-∠1=40°,∠AB∠DE,∠∠CDE=∠CBA=40°,∠∠CDF=60°∠∠2=∠CDF-∠CDE=20°.故选:C【点睛】本题考查了三角形的内角和定理,平行线的性质,熟知两个定理并理解题意得到已知条件是解题的关键.【变式4-2】(2022·福建·莆田市城厢区南门学校七年级阶段练习)如图,AB∥CD,将一副直角三角板作如下摆放,∠GEF=60°,∠MNP=45°.下列结论:①GE∥MP;②∠EFN=150°;③∠BEF=75°;④∠AEG=∠PMN.其中正确的是_______.【答案】①②③④【分析】①由题意得∠G=∠MPN=∠MPG=90°,利用内错角相等,两直线平行即可判定GE∥MP;②由题意得∠EFG=30°,利用邻补角即可求出∠EFN的度数;③过点F作FH⊥AB,可得FH∥CD,从而得到∠HFN=∠MNP=45°,可求得∠EFN=105°,再利用平行线的性质即可求出∠BEF;④利用角的计算可求出∠AEG=45°,从而可判断.【详解】解:①∵∠G=∠MPN=∠MPG=90°,∴GE∥MP,故①正确;②∵∠EFG=30°,∴∠EFN=180°−30°=150°,故②正确;③过点F作EH∥AB,如图,∵AB∥CD,∴FH∥CD,∴∠HFN=∠MNP=45°,∴∠EFN=150°−45°=105°,∵FH∥AB,∴∠BEF=180°−105°=75°;故③正确;④∵∠GEF=60°,∠BEF=75°,∴∠AEG=180°−60°−75°=45°,∴∠AEG=∠PMN=45°,故④正确.故答案为:①②③④.【点睛】本题考查平行线的性质与判定,解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用.【变式4-3】(2022·山东淄博·期末)如图所示,将一直角三角板放在AB,CD两条平行线之间:(1)图甲中,容易求得∠1+∠2=90°,请直接写出图乙中∠1,∠2的数量关系;(2)请问图丙中∠1,∠2的数量关系是什么?并加以说明;(3)请直接写出图丁中∠1,∠2的数量关系.【答案】(1)∠1+∠2=270°(2)∠2-∠1=90°;见解析(3)∠1=∠2+90°【分析】(1)过三角板的直角顶点作AB的平行线MN,得AB∥MN∥CD.根据两直线平行,同旁内角互补,即可得∠1,∠2的关系.(2)过三角板的直角顶点作AB的平行线MN,得AB∥MN∥CD.根据两直线平行,内错角相等,平角互补,即可得∠1,∠2的关系.(3)过点O作AB的平行线MN,得AB∥MN∥CD,据两直线平行,内错角相等,即可得∠1,∠2的关系.(1)如图,过三角板的直角顶点作AB的平行线MN,得AB∥MN∥CD∠∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°又∠∠3+∠4=90°∠∠1+∠3+∠2+∠4=180°+180°∠∠1+∠2=360°−90°=270°∠∠1+∠2=270°.(2)如图,过三角板的直角顶点作AB的平行线MN,得AB∥MN∥CD∠∠1=∠3,∠2+∠4=180°又∠∠3+∠4=90°∠∠1+180°−∠2=90°∠∠2−∠1=90°.(3)如图,过点O作AB的平行线MN,得AB∥MN∥CD∠∠MOC=∠2∠∠1=90°+∠MOC∠∠1=90°+∠2.【点睛】本题考查平行线的性质,解题的关键是掌握两直线平行,内错角相等,同旁内角互补;平角互补.【题型5 平行线的判定与性质综合(角度之间的数量关系)】【例5】(2022·黑龙江鹤岗·七年级期末)如图①,AB∥CD,M为平面内一点,若BM∠MC,则易证∠ABM与∠DCM互余.(1)如图②,AB∥CD.点M在射线EA上运动,猜想点M在点A和D之间时,∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系,并证明.(2)在(1)的条件下,当点M在射线EA的其它位置上时(不与点E,A,D重合)请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系.又∠AB∥CD,∠MF∥CD,∠∠DCM=∠FMC,∠∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC;(2)解:当点M在E、A两点之间时,如图3,∠BMC=∠DCM-∠ABM;过M作MF∥AB,交EC于F,则∠ABM=∠BMF,又∠AB∥CD,∠MF∥CD,∠∠DCM=∠FMC,∠∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM;当点M在AD的延长线上时,如图4,∠BMC=∠ABM-∠DCM.过M作MF∥AB,交EC于F,则∠ABM=∠BMF,又∠AB∥CD,∠MF∥CD,∠∠DCM=∠FMC,∠∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,关键是构建平行线,利用平行线的性质进行解答.解题时注意分类思想的运用.【变式5-1】(2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习)已知,点A,点B分别在线段MN,PQ上,且∠ACB-∠MAC=∠CBP.(1)如图1,求证:MN∥PQ;(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AG∥CH,以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH,AG交于点F和点E,如图2,试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系,并证明;(3)在(2)的条件下,若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN,并且∠ACB=80°,求∠CFB 的度数.(直接写出答案)【答案】(1)见解析(2)∠CFB−∠BEG=90°,证明见解析(3)∠CFB=130°【分析】(1)过C作CE∥MN,根据平行线的判定和性质即可得到结论;(2)过B作BR∥AG,根据平行线的性质得到∠BEG=∠EBR,∠RBF+∠CFB=180°,等量代换即可得到结论;(3)过E作ES∥MN,根据平行线的性质得到∠NAE=∠AES,∠QBE=∠BES,根据角平分线的定义得到∠NAE=∠EAC,∠CBD=∠DBP,根据四边形的内角和即可得到结论.(1)解:如图,过C作CE∥MN,∠∠1=∠MAC,∠∠2=∠ACB-∠1,∠∠2=∠ACB-∠MAC,∠∠ACB-∠MAC=∠CBP,∠∠2=∠CBP,∠CE∥PQ,∠MN∥PQ;(2)如图,过B作BR∥AG,∠AG∥CH,∠BR∥HF,∠∠BEG=∠EBR,∠RBF+∠CFB=180°,∠∠EBF=90°,∠∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF,∠∠BEG=90°-∠RBF=90°-(180°-∠CFB),∠∠CFB-∠BEG=90°;(3)如图,过E作ES∥MN,∠MN∥PQ,∠ES∥PQ,∠∠NAE=∠AES,∠QBE=∠BES,∠BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN,∠∠NAE=∠EAC,∠CBD=∠DBP,∠∠CAE=∠AES,∠∠EBD=90°,∠∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°,∠∠QBE=∠EBC,∠∠EBC=∠BES,(360°−∠ACB),∠∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=12∠∠ACB=80°,∠∠AEB=140°,∠∠BEG=40°,∠∠CFB-∠BEG=90°,∠∠CFB=130°.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,余角的性质,四边形的内角和,正确的作出辅助线是解题的关键.【变式5-2】(2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中)如图,∠1=∠2,∠D=∠CMG.(1)求证:AD∥NG;(2)若∠A+∠DHG=180°,试探索:∠ANB,∠NBG,∠1的数量关系;(3)在(2)的条件下,若∠ANB:∠BNG=2:1,∠1=100°,∠NBG=130°,求∠A的度数.【答案】(1)见解析(2)∠NBG+∠1−∠ANB=180°(3)∠A=105°【分析】(1)由∠1=∠2,∠1=∠GFC,得到∠2=∠CFG,于是得到CM∥DE,根据平行线的性质得到∠D=∠ACM,等量代换得到∠CMG=∠ACM,于是得到结论.(2)过B作BP∥AN交NG于P,由于AD∥NG,于是得到∠D=∠DHG,等量代换得到∠A+∠D=180°,得到AN∥DH,根据平行线的判定得到BP∥CM,由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°,等量代换即可得到结论;(3)由∠1+∠PBG=180°,∠1=100°,得到∠PBG=80°,由于∠NBG=130°,于是得到∠ANB=∠NBP=50°,根据已知条件得到∠ANB:∠BNG=2:1,即可得到结论.(1)证明:∠∠1=∠2,∠1=∠GFC,∠∠2=∠CFG,∠CM∥DE,∠∠D=∠ACM,∠∠D=∠CMG,∠∠CMG=∠ACM,∠AD∥NG;(2)解:∠NBG−∠ANB+∠1=180°;理由如下:过B作BP∥AN交NG于P,∠∠ANB=∠NBP,∠AD∥NG,∠∠D=∠DHG,∠∠A+∠DHG=180°,∠∠A+∠D=180°,∠AN∥DH,又∠CM∠DH,∠BP∥CM,∠∠PBG+∠1=180°,∠∠PBG=∠NBG−∠NBP=∠NBG−∠ANB,∠∠NBG−∠ANB+∠1=180°;(3)解:∠∠1+∠PBG=180°,∠1=100°,∠∠PBG=80°,∠∠NBG=130°,∠∠ANB=∠NBP=50°,∠∠ANB:∠BNG=2:1,∠∠BNP=25°,∠∠ANG=75°,∠∠A=105°.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,对顶角的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.【变式5-3】(2022·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学七年级期中)如图1,AB∥CD,直线AE分别交AB、CD于点A、E.点F是直线AE上一点,连结BF,BP平分∠ABF,EP平分∠AEC,BP与EP交于点P.(1)若点F是线段AE上一点,且BF∠AE,求∠P的度数;(2)若点F 是直线AE 上一动点(点F 与点A 不重合),请写出∠P 与∠AFB 之间的数量关系并证明. 【答案】(1)45°(2)当F 点在A 点上方时,∠BPE =12∠AFB ,当F 点在A 点下方时,∠BPE =90°﹣12∠AFB【分析】(1)过点P 作PQ ∥AB ,过点F 作FH ∥AB ,由平行线的性质得∠ABP +∠CEP =∠BPE ,∠ABF +∠CEF =∠BFE ,再由垂直定义和角平分线定义求得结果;(2)分三种情况:点F 在EA 的延长线上时,点F 在线段AE 上时,点F 在AE 的延长线上时,分别进行探究便可.(1)解:过点P 作PQ ∥AB ,过点F 作FH ∥AB ,∠AB ∥CD ,∠AB ∥CD ∥PQ ∥FH ,∠∠ABP =∠BPQ ,∠CEP =∠EPQ ,∠ABF =∠BFH ,∠CEF =∠EFH ,∠∠ABP +∠CEP =∠BPQ +∠EPQ =∠BPE ,∠ABF +∠CEF =∠BFH +∠EFH =∠BFE ,∠BF ∠AE ,∠∠ABF +∠CEF =∠BFE =90°,∠BP 平分∠ABF ,EP 平分∠AEC ,∠∠ABP +∠CEP =12(∠ABF +∠CEF )=45°, ∠∠BPE =45°;(2)①当点F 在EA 的延长线上时,∠BPE =12∠AFB ,理由如下:如备用图1,过点P作PQ∥AB,过点F作FH∥AB,过点P作PQ∥AB,过点F作FH∥AB,过点P 作PQ ∥AB ,过点F 作FH ∥AB ,∠AB ∥CD ,∠AB ∥CD ∥PQ ∥FH ,∠∠ABP =∠BPQ ,∠CEP =∠EPQ ,180°﹣∠ABF =∠BFH ,∠AEC =∠EFH ,∠∠CEP +∠ABP =∠EPQ +∠BPQ =∠BPE ,∠BFH ﹣∠EFH =180°﹣∠ABF ﹣∠AEC =∠AFB , ∠BP 平分∠ABF ,EP 平分∠AEC ,∠∠CEP +∠ABP =12(∠AEC +∠ABF )=12(180°﹣∠AFB ), ∠∠BPE =90°﹣12∠AFB ;综上,当E 点在A 点上方时,∠BPE =12∠AFB ,当E 点在A 点下方时,∠BPE =90°﹣12∠AFB . 【点睛】此题考查平行线的性质:两直线平行内错角相等,两直线平行同位角相等,两直线平行同旁内角互补,以及角平分线的性质,在相交线问题中通常作平行线利用平行线的性质解答,将角度转化由此求出答案.解题中运用分类思想解答问题.【题型6 平行线的判定与性质综合(求定值)】【例6】(2022·湖南·株洲二中七年级期末)实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.如图1,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射后的光线为n ,则入射光线m 、反射光线n 与平面镜a 所夹的锐角∠1=∠2.(1)如图2,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射到平面镜b 上,又被b 反射.若被b 反射出的光线n 与光线m 平行,且∠1=50°,则∠2= °,∠3= °.(2)请你猜想:当射到平面镜a 上的光线m ,经过平面镜a 、b 的两次反射后,入射光线m 与反射光线n 平行时,两平面镜a 、b 间的夹角∠3的大小是否为定值?若是定值,请求出∠3,若不是定值,请说明理由.(3)如图3,两面镜子的夹角为α°(0<α<90),进入光线与离开光线的夹角为β°(0<β<90).试探索α与β的数量关系,并说明理由.【答案】(1)100;90;(2)90°(3)2α+β=180°【分析】(1)根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠4=50°,再利用平角的定义得∠5=80°,然后利用平行线的性质计算出∠2=100°,则∠6=40°,再利用三角形内角和定理计算∠3;(2)当∠3=90°时,根据三角形内角和定理得∠4+∠6=90°,则2∠4+2∠6=180°,利用平角的定义得到∠2+∠5=180°,然后根据平行线的判定得到m∥n;(3)由(1)可得,∠5=180°-2∠2,∠6=180°-2∠3,再根据∠2+∠3=180°-∠α,即可得出∠β=180°-∠5-∠6=2(∠2+∠3)-180°=2(180°-∠α)-180°=180°-2∠α.(1)解:如图:∠∠1=∠4=50°,∠∠5=180°-2×50°=80°,∠m∥n∠∠2+∠5=180°,∠∠2=100°,(180°-∠2)=40°,∠∠6=12∠∠3=180°-∠4-∠6=90°;故答案为:100,90;(2)当∠3=90°时,m∥n理由如下:∠∠3=90°,∠∠4+∠6=90°,∠2∠4+2∠6=180°,∠∠2+∠5=180°,∠m∥n;(3)解:如图3,由(1)可得,∠5=180°-2∠2,∠6=180°-2∠3,∠∠2+∠3=180°-∠α,∠∠β=180°-∠5-∠6=2(∠2+∠3)-180°=2(180°-∠α)-180°=180°-2∠α,∠α与β的数量关系为:2α+β=180°,故答案为:2α+β=180°.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理,解题时注意:同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补.【变式6-1】(2022·河北保定·七年级阶段练习)如图,直线AB∠CD,点M,N分别在直线AB,CD 上,H为直线CD下方一点.(1)如图1,MH和NH相交于点H,求证:∠MHN=∠AMH−∠CNH.(温馨提示:可过点H 作AB的平行线)(2)延长HN至点G,∠BMH的平分线ME和∠GND的平分线NE相交于点E,HM与CD相交于点F.①如图2,若∠BME=50°,∠END=30°,求∠MHN的度数;②如图2,当点F在点N左侧时,若∠BME的度数为x°,∠END的度数为y°,且x+y的值是一个定值,请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变?若不变,求出∠MHN的度数;若变化,请说明理由.③如图3,当点N在点F左侧时,②中其他条件不变,请问∠MHN的度数是否会随x的变化而发生改变?若不变,直接写出....∠MHN的度数;若变化,请说明理由.【答案】(1)见解析(2)①20°;②不变,180°−2(x°+y°);③不变,2(x°+y°)−180°【分析】(1)过点H作HQ∥AB.可得HQ∥CD,从而得到∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ,即可求证;(2)①根据∠BME=50°,∠END=30°,可得∠BMH=100°,∠GND=60°,从而得到∠AMH=180°−∠BMH=80°,∠CNH=60°.再由∠MHN=∠AMH−∠CNH,即可求解;②根据题意可得∠AMH=180°−2x°,∠CNH=2y°,再由∠MHN=∠AMH−∠CNH,即可求解;③过点H作OH∠AB,根据平行线的性质,可证得∠MHN=∠OHM−∠OHN=∠BMH−∠DNH.从而得到∠MHN=2x°+2y°−180°=2(x°+y°)−180°,即可求解.(1)证明:如图,过点H作HQ∥AB.∠HQ∥AB且AB∥CD,∠HQ∥CD,∠∠AMH=∠MHQ,∠CNH=∠NHQ,∠∠MHN=∠MHQ−∠NHQ=∠AMH−∠CNH;(2)解:①ME平分∠BMH,∠BME=50°,∠∠BMH=100°,∠NE平分∠DNG,∠DNE=30°,∠∠GND=60°,∠∠AMH=180°−∠BMH=80°,∠CNH=60°.由(1)可知:∠MHN=∠AMH−∠CNH=80°−60°=20°.∠∠MHN=20°;②∠ME平分∠BMH,∠BME=x°,∠∠BMH=2x°,∠NE平分∠DNG,∠DNE=y°,∠∠GND=2y°,∠∠AMH=180°−2x°,∠CNH=2y°,∠∠MHN=180°−2x°−2y°=180°−2(x°+y°).∠x+y为一个定值,∠∠MHN不会随x的变化而发生改变,度数为180°−2(x°+y°);③不变,∠MHN的度数为2(x°+y°)−180°.理由如下:如图,过点H作OH∥AB,∠∠BMH=∠OHM,∠AB∥CD,∠OH∥CD,∠∠DNH=∠OHN,∠∠MHN=∠OHM−∠OHN=∠BMH−∠DNH.∠ME平分∠BMH,∠BME=x°,∠∠BMH=2x°∠NE平分∠DNG,∠DNE=y°,∠∠GND=2y°,∠∠DNH=180°−2y°,∠∠MHN=2x°−(180°−2y°),∠∠MHN=2x°+2y°−180°=2(x°+y°)−180°.∠x+y为一个定值,∠∠MHN不会随x的变化而改变.【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定,有关角平分线的计算,熟练掌握平行线的性质和判定,利用类比思想解答是解题的关键.【变式6-2】(2022·福建龙岩·七年级期末)如图1,点A、D分别在射线BM、CN线上,BM∥CN,BM∠BC于点B,AE平分∠BAD交BC于点E,连接DE,∠1+∠2=90°.(1)求证:AE∠ED;(2)求证:DE平分∠ADC;(3)如图2,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F,试猜想∠F的值是否为定值,若是,请予以证明;若不是,请说明理由.【答案】(1)见解析(1)证明:如图1,过点E作EG∥BM,则∠1=∠3,∠BM∥CN,∠EG∥CN,∠∠4=∠2,∠∠3+∠4=∠1+∠2=90°,∠∠AED=90°,∠AE∠ED.(2)证明:∠ AE平分∠BAD,∠∠BAD=2∠1,∠BM∥CN,∠∠BAD+∠CDA=180°,∠2∠1+∠CDA,(3)∠F为定值.证明:如图2,过点F作FH∥BM,设∠AFH=α,∠DFH=β,∠BM∥CN,∠FH∥CN,∠∠α+∠β=∠6+∠7,∠∠EAM和∠EDN的平分线交于点F,∠∠α+∠β=12(180°−∠1)+12(180°−∠2)=180°−12(∠1+∠2)=180°−45°=135°,∠∠F=∠α+∠β=135°,∠∠F为定值,∠F=135°,故答案为:∠F=135°.【点睛】本题主要考查垂线、角平分线的性质,解题的关键是掌握垂垂线的概念和角平分线与∠CFM互补(1)如图1,试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由.(2)如图2,∠BEF与∠EFD的平分线交于点P,EP的延长线与CD交于点G,H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:PF∥GH.(3)如图3,在(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点,使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,求证:∠HPQ的大小是定值.【答案】(1)平行;理由见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据同旁内角互补,两条直线平行,即可判断直线AB与直线CD平行;(2)先根据两条直线平行,同旁内角互补,再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,可得∠EPF=90°,进而证明PF∥GH;(3)根据角平分线定义,及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数.(1)解:结论:AB∥CD;理由如下:∠∠MEB与∠CFM互补,∠MEB=∠AEF,∠∠AEF与∠CFM互补,∠AB∥CD.(2)∠EG平分∠BEF,∠∠PEF=1∠BEF,2又∠FP平分∠EFD,∠∠EFP=1∠EFD,2由(1)知AB∥CD,∠∠BEF+∠EFD=180°,∠∠PEF+∠EFP=90°,∠∠EPF=90°,【例7】(2022·辽宁·鞍山市第十四中学七年级阶段练习)如图,已知AB//CD,若按图中规律继续划分下去,则∠1+∠2+⋯+∠n等于()A.n•1800B.2n•1800C.(n−1)•1800D.(n−1)2•1800【答案】C【分析】根据第1个图形∠1+∠2=180°,第2个图形∠1+∠2+∠3=2×180°,第,3个图形∠1+∠2+∠3+∠4=3×180°…,进而得出答案.【详解】(1)∠AB∠CD,∠∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补);(2)过点E作一条直线EF平行于AB,∠AB∠CD,∠AB∠EF,CD∠EF,∠∠1+∠AEF=180°,∠FEC+∠3=180°,∠∠1+∠2+∠3=360°;(3)过点E、F作EM、FN平行于AB,∠AB∠CD,∠AB∠EM∠FN∠CD,∠∠1+∠AEM=180°,∠MEF+∠EFN=180°,∠NFC+∠4=180°;∠∠1+∠2+3+∠4=540°;(4)中,根据上述规律,显然作(n-1)条辅助线,运用(n-1)次两条直线平行,同旁内角互补.即可得到n个角的和是180°(n-1).故选:C.【点睛】此题主要考查了平行线的性质,正确得出图中变化规律是解题关键.【变式7-1】(2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习)如图,已知直线AE,BF被直线AB所截,且AE//BF,AC1,BC1分别平分∠EAB,∠FBA;AC2,BC2分别平分∠BAC1和∠ABC1;AC3,BC3分别平分∠BAC2,∠ABC2…依次规律,得点C n,则∠C n的度数为()A.90−902n B.180−902n−1C.902n−1D.1802nAB∠CD.试求:(1)图(1)中∠A+∠C的度数,并说明理由.(2)图(2)中∠A+∠APC+∠C的度数,并说明理由.(3)图(3)中∠A+∠AEF+∠EFC+∠C的度数,并简要说明理由.(4)按上述规律,∠A+……+∠C(共有n个角相加)的和为【答案】(1)180°,理由见解析;(2)360°,理由见解析;(3)540°,理由见解析;(4)180°(n-1)【分析】(1)据两直线平行,同旁内角互补可得∠A+∠C=180°;(2)沿P作一条平行A B、CD的平行线PM,由两直线平行,同旁内角互补可得∠A+∠APM=180°,∠MPC+∠C=180°,故∠A+∠APC+∠C=360°;(3)根据第二题,同理可得∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°;(4)由以上规律,有两个角时,和为180°;有三个角时和为360°;有四个角时和为540°…故可得有n个角时,和为180°(n-1).【详解】解:(1)∠AB∠CD,∠∠A+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补);(2)过点P作一条直线PM平行于AB,∠AB∠CD,∠AB∠PM,∠CD∠PM∠AB,∠∠A+∠APM=180°,∠MPC+∠C=180°,∠∠A+∠APC+∠C=360°;(3)分别过点E、F作EM、FN平行于AB,∠AB∠CD,∠AB∠EM∠FN∠CD,∠∠A+∠AEM=180°,∠MEF+∠EFN=180°,∠NFC+∠C=180°;∠∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°;(4)由以上规律,有两个角时,和为180°;有三个角时和为360°;有四个角时和为540°…故可得有n个角时,和为180°(n-1).【点睛】本题主要考查两直线平行,同旁内角互补的性质,并考查学生通过计算总结规律的能力,是一道好题.【变式7-3】(2022·浙江·七年级阶段练习)阅读并探究下列问题.(1)如图①,将长方形纸片剪两刀,其中AB∥CD,则∠2与∠1、∠3有何关系?请进行证明.(2)如图②,将长方形纸片剪四刀,其中AB∥CD,则∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的关系为.(3)如图③,将长方形纸片剪2016刀,其中AB∥CD,则共剪出个角.若将剪出的角(∠A、∠C除外)分别用∠E1、∠E2、∠E3…表示,则被剪出的这些角的关系为.(4)如图④,直线AB∥CD,∠EF A=∠HMN=x°,∠FGH=3x°,∠CNP=y°|2x+y−102|+√x+y−72=0由上述结论求∠GHM的度数.【答案】(1)∠1+∠3=∠2,证明见解析;(2)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4;(3)2017,∠A+∠C+∠E2+∠E4+…+∠E2014=∠E1+∠E3+…+∠E2015.(4)48°.【分析】(1)过E点作EF∠AB,则EF∠CD,根据两直线平行,内错角相等得到∠AEF=∠1,∠CEF=∠3,即有∠2=∠1+∠3;(2)分别过E、G、F分别作EM∠AB,GN∠AB,FP∠AB,根据两直线平行,内错角相等,同(1)一样易得到∠2+∠4=∠1+∠3+∠5;(3)综合(1)(2)易得开口向左的角的度数的和等于开口向右的角的度数的和.(4)利用(3)的结论得到∠BFG+∠GHM+∠MND=∠FGH+∠HMN,易计算出∠GHM.。
人教版七年级下册数学平行线证明题专题训练 1.如图,已知∠1+∠2=180°,且∠3=∠B .(1)求证:∠AFE =∠ACB ;(2)若CE 平分∠ACB ,且∠2=110°,∠3=50°,求∠ACB 的度数.2.如图,点D 、F 在线段AB 上,点E 、G 分别在线段BC 和AC 上,CD EF ∥,12∠=∠.(1)求证: DG BC ∥;(2)若DG 是角ADC ∠的平分线,385∠=︒,且:9:10DCE DCG ∠∠=,请说明AB 和CD 怎样的位置关系?3.如图,已知BE AO ∥,12∠=∠,OE OA ⊥于点O ,那么4∠与5∠有什么数量关系?为什么?4.如图所示,已知CD 平分ACB ∠,12∠=∠,那么B 与4∠相等吗?完成下面的填空.CD 平分ACB ∠(已知)2∴∠=∠______(______), 12∠=∠(已知), ∴∠______1=∠(______),∴______∥______(______),4B ∴∠=∠(______). 5.如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,连接BD ,点E 在BC 边上,点F 在DC 边上,且12∠=∠.(1)求证:EF BD ∥.(2)若DB 平分ABC ∠,130A ∠=︒,70C ∠=︒,求CFE ∠的度数.6.如图,D ,E ,G 分别是AB ,AC ,BC 边上的点,12180∠+∠=︒,3B ∠=∠.(1)请说明∥DE BC 的理由;7.已知如图,已知∠1=∠2,∠C =∠D .(1)判断BD 与CE 是否平行,并说明理由;(2)当∠A =30°时,求∠F 的大小.8.如图所示,已知BE FG ∥,12∠=∠.求证∥DE BC .9.推理填空:如图,CF 交BE 于点H ,AE 交CF 于点D ,∠1=∠2,∠3=∠C ,∠ABH =∠DHE ,求证:BE ∠AF .证明:∠∠ABH =∠DHE (已知),∠_______(_____________),∠∠3+______=180°(_______).∠∠3=∠C (已知),∠∠C +________=180°(_________),∠AD ∠BC (___________),∠∠2=∠E (___________).∠∠1=∠2(已知),∠∠1=∠E (等量代换).∠BE ∠AF (内错角相等,两直线平行).10.如图,AB 、CD 是两条直线,BMN CNM ∠=∠,12∠=∠.请说明E F ∠=∠的理由.11.如图,MN BC ∥,BD DC ⊥,1260∠=∠=︒,DC 是NDE ∠的平分线(1)AB 与DE 平行吗?请说明理由;(2)试说明ABC C ∠=∠;(3)求ABD ∠的度数.12.如图,AD 与BE 相交于F ,∠A =∠C ,∠1与∠2互补.(1)试说明:AB CE ∥;(2)若∠1=85°,∠E =26°,求∠A 的度数.13.已知,点A ,B 在直线EF 上,∠1+∠2=180°,DB 平分∠CDA ,CD ∠AB .(1)求证:AD ∠BC ;(2)若∠DAB =52°,求∠BDC 的度数.14.如图,已知180BAD ADC ∠+∠=︒,AE 平分BAD ∠,交CD 于点F ,交BC 的延长线于点E ,DG 交BC 的延长线于点G ,CFE AEB ∠=∠.(1)若87B ∠=︒,求DCG ∠的度数;(2)AD 与BC 是什么位置关系?请说明理由;(3)若DAB α∠=,DGC β∠=,直接写出α,β满足什么数量关系时AE DG ∥.15.已知:如图,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,BC 上的点,DE ∠BC ,∠ADE =∠EFC ,求证:∠1=∠2.16.如图,直线EF分别与直线AB,CD相交于点A,C,AD平分∠BAC,交CD于点D,若∠1=∠2,且∠ADC=54°.(1)直线AB、CD平行吗?为什么?(2)求∠1的度数.17.如图,AE∠BC,FG∠BC,∠1=∠2,求证:AB∠CD.18.如图,已知DG∠BC,AC∠BC,EF∠AB,∠1=∠2,求证:CD∠AB19.如图,已知AD∠BC,FG∠BC,垂足分别为D,G.且∠1=∠2,猜想:DE与AC 有怎样的关系?说明理由.20.(1)如图1,AB∠CD,∠A=38°,∠C=50°,求∠APC的度数.(提示:作PE∠AB).(2)如图2,AB∠DC,当点P在线段BD上运动时,∠BAP=∠α,∠DCP=∠β,求∠CPA与∠α,∠β之间的数量关系,并说明理由.(3)在(2)的条件下,如果点P在段线OB上运动,请你直接写出∠CPA与∠α,∠β之间的数量关系______.参考答案:1.证明:∠∠1+∠2=180°,∠1+∠FDE =180°,∠∠FDE =∠2,∠∠3+∠FEC +∠FDE =180°,∠2+∠B +∠ECB =180°,∠B =∠3, ∠∠FEC =∠ECB ,∠EF ∥ BC ,∠∠AFE =∠ACB ;(2)解:∠∠3=∠B ,∠3=50°,∠∠B =50°,∠∠2+∠B +∠ECB =180°,∠2=110°,∠∠ECB =20°,∠CE 平分∠ACB ,∠∠ACB =2∠ECB =40°.2.(1)证明∠CD EF ∥,∠2DCB =∠∠,又∠12∠=∠,∠1DCB ∠=∠,∠DG BC ∥;(2)CD AB ⊥,理由如下:由(1 )知DG BC ∥,∠385∠=︒,∠180395BCG ∠=︒-∠=︒,∠:9:10DCE DCG ∠∠=, ∠9954519DCE ∠=︒⨯=︒, ∠DG BC ∥,∠45CDG ∠=︒,∠DG 是ADC ∠的平分线, ∠290ADC CDG ∠=∠=︒, ∠CD AB ⊥.3.解:∠4与∠5互余,理由:∠OE ∠OA ,∠∠AOE =90°,即∠2+∠3=90°, ∠∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ∠∠1+∠4=90°∠∠1=∠2,∠∠2+∠4=90°,∠BE AO ∥,∠∠2=∠5, ∠∠5+∠4=90°,即∠4与∠5互余. 4.【详解】 CD 平分ACB ∠(已知)23∴∠=∠(角平分线的定义),12∠=∠(已知), 31∴∠=∠(等量代换),DE BC ∴∥(内错角相等,两直线平行),4B ∴∠=∠(两直线平行,同位角相等). 5.(1)证明:AD BC (已知), 1∴∠=∠DBC (两直线平行,内错角相等), 12∠=∠,2DBC ∴∠=∠(等量代换),EF BD ∴∥(同位角相等,两直线平行). (2)AD BC (已知),180ABC A ∴∠+∠=(两直线平行,同旁内角互补), 130A ∠=(已知), 50ABC ∴∠=, DB 平分 ABC ∠(已知), 1252DBC ABC ∴∠=∠=, 225DBC ∴∠=∠=,在 CFE 中,2180CFE C ∠+∠+∠=(三角形内角和定理),70C ∠=,85CFE ∴∠=.6.(1)解:∠12180∠+∠=︒,1DFG ∠=∠, ∠2180DFG ∠+∠=︒,∠AB EG ∥,∠B EGC ∠=∠.又∠3B ∠=∠,∠3EGC ∠=∠,∠∥DE BC ;(2)∠DE 平分ADC ∠,∠ADE EDC ∠=∠.∠∥DE BC ,∠B ADE EDC ∠=∠=∠,∠22B ∠=∠,2180ADE EDC ∠+∠+∠=︒, ∠2180B B B ∠+∠+∠=︒, ∠45B ∠=︒,∠2290B ∠=∠=︒,∠CD AB ⊥,∠AB EG∥,⊥.∠CD EG7.(1)BD∠CE,理由如下:∠∠1=∠2,∠2=∠3,∠∠1=∠3,∠BD∠CE;(2)∠BD∠CE,∠∠C=∠4,∠∠C=∠D,∠∠D=∠4,∠AC∠DF,∠∠A=∠F=30°.8.∥证明:∠BE FG∠2CBE∠=∠(两直线平行,同位角相等)又∠12∠=∠∠1CBE∠=∠DE BC(内错角相等,两直线平行)-∠∥9.证明:∠∠ABH=∠DHE(已知),∠AB∠CF(同位角相等,两直线平行),∠∠3+∠ADC=180°(两直线平行,同旁内角互补),∠∠3=∠C(已知),∠∠C+∠ADC=180°(等量代换),∠AD∠BC(同旁内角互补,两直线平行),∠∠2=∠E(两直线平行,内错角相等).∠∠1=∠2(已知),∠∠1=∠E(等量代换),∠BE∠AF(内错角相等,两直线平行).故答案为:AB∠CF,同位角相等,两直线平行;∠ADC,两直线平行,同旁内角互补;∠ADC,等量代换;同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,内错角相等.10.∵∠BMN=∠CNM(已知),∠AB CD(内错角相等,两直线平行).∠∠AMN=∠MND(两直线平行,内错角相等).∠∠1=∠2(已知),∠∠EMN=∠MNF(等式性质).∥(内错角相等,两直线平行).∠ME NF∠∠E=∠F(两直线平行,内错角相等),11.(1)解:AB DE∥,理由如下:∥,∠MN BC∠∠ABC=∠1=60°.又∠∠1=∠2,∠∠ABC=∠2,∠AB∠DE.(2)解:∠MN∠BC,∠∠NDE+∠2=180°,∠∠NDE=180°-∠2=180°-60°=120°.∠DC是∠NDE的平分线,∠1602∠=∠=∠=︒EDC NDC NDE.∠MN∠BC,∠∠C=∠NDC=60°,∠∠ABC=∠C.(3)解:∠ADC=180°-∠NDC=180°-60°=120°,∠BD∠DC,∠∠BDC=90°,∠∠ADB=∠ADC-∠BDC=120°-90°=30°.∠MN∠BC,∠∠DBC=∠ADB=30°,∠∠ABC=∠C=60°,∠∠ABD=30°12.(1)证明:∠∠1与∠2互补,∠AD BC∥,∠∠ADE=∠C,∠∠A=∠C,∠∠A=∠ADE,∠AB CE∥;(2)解:∠∠1与∠2互补,∠1=85°,∠∠2=180º-85º=95º,∠AB CE∥,∠E=26º,∠∠ABE=∠E=26º,∠∠ABC=∠ABE+∠2=26º+95º=121º,∠AD BC ∥,∠∠A =180º-∠ABC =180º-121º=59º.13.(1)∠∠1+∠2=180°,点A ,B 在直线EF 上, ∠∠1+∠DAB =180°,∠∠2=∠DAB ,∠AD ∠BC ;(2)∠CD ∠AB ,∠DAB =52°,∠∠CDA =180°﹣∠DAB =180°﹣52°=128°, ∠DB 平分∠CDA ,∠∠BDC 12=∠CDA =64°. 14.(1)解:∠180BAD ADC ∠+∠=︒,∠AB CD ∥,∠87B DCG ∠=∠=︒.(2)解:AD 与BC 是的位置关系为:AD BC ∥,理由如下: ∠AE 平分BAD ∠,∠BAE DAE ∠=∠,∠180BAD ADC ∠+∠=︒,∠AB CD ∥,∠BAE CFE ∠=∠,∠AEB CFE ∠=∠,∠∠AEB =∠BAE =∠DAE ,∠AD BC ∥.(3)解:α与β的数量关系为:12αβ=,理由如下:当AE DG∥时,AEB DGCβ∠=∠=,由(2)中推导可知,1122 AEB EAD BADα∠=∠=∠=,∠12αβ=.15.证明:∠DE∠BC,∠∠ADE=∠ABC.∠∠ADE=∠EFC,∠∠ABC=∠EFC.∠AB∠EF.∠∠1=∠2.16.(1)解:AB CD∥,理由:∠∠1=∠2,∠1=∠DCA,∠∠2=∠DCA,∠AB CD∥(2)解:∠∠ADC=54°,AB CD∥,∠∠DAB=∠ADC=54°,∠AD平分∠BAC,∠∠BAC=2∠DAB=108°,∠∠2=180°-∠BAC=72°,∠∠1=72°.17.直线平行可得AB∠CD.【详解】证明:如图,设BC与AE、GF分别交于点M、N.∠AE∠BC,FG∠BC,∠∠AMB=∠GNB=90°,∠AE∠FG,∠∠A=∠1;又∠∠2=∠1,∠∠A=∠2,∠AB∠CD.18.证明:∠ DG∠BC,AC∠BC(已知),∠ ∠DGB=∠ACB=90°(垂直的定义),∠ DG∠AC(同位角相等,两直线平行).∠ ∠2=∠ACD(两直线平行,内错角相等).∠ ∠1=∠2(已知),∠ ∠1=∠ACD(等量代换),∠ EF∠CD(同位角相等,两直线平行).∠ ∠AEF=∠ADC(两直线平行,同位角相等).∠ EF∠AB(已知),∠ ∠AEF=90°(垂直的定义),∠ ∠ADC=90°(等量代换).∠ CD∠AB(垂直的定义).19.DE∠AC.理由如下:∠AD∠BC,FG∠BC,∠∠ADG=∠FGC=90°,∠AD∠FG,∠∠1=∠CAD,∠∠1=∠2,∠∠CAD=∠2,∠DE∠AC.20.(1)如图1,过P作PE∠AB,∠AB∠CD,∠PE∠AB∠CD,∠∠A=∠APE,∠C=∠CPE,∠∠A=38°,∠C=50°,∠∠APE=38°,∠CPE=50°,∠∠APC=∠APE+∠CPE=38°+50°=88°;(2)∠APC=∠α+∠β,理由是:如图2,过P作PE∠AB,交AC于E,∠AB∠CD,∠AB∠PE∠CD,∠∠APE=∠PAB=∠α,∠CPE=∠PCD=∠β,∠∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β;(3)如图3,过P作PE∠AB,交AC于E,∠AB∠CD,∠AB∠PE∠CD,∠∠PAB=∠APE=∠α,∠PCD=∠CPE=∠β,∠∠APC=∠CPE-∠APE,∠∠APC=∠β-∠α.故答案为:∠APC=∠β-∠α.。
人教版七年级下册数学平行线的判定及性质证明题训练(含答案)1.如图,三角形ABC 中,点D 在AB 上,点E 在BC 上,点F ,G 在AG 上,连接,,DG BG EF .己知12∠=∠,3180ABC ∠+∠=︒,求证:∥BG EF .将证明过程补充完整,并在括号内填写推理依据.证明:∵_____________(已知)∴∥DG BC (_______________________)∴.CBG ∠=________(____________________)∵12∠=∠(已知)∴2∠=________(等量代换)∴∥BG EF (___________________)2.如图,已知12∠=∠,A F ∠=∠,试说明C D ∠=∠的理由.解:把1∠的对顶角记作3∠,所以13∠=∠(对顶角相等).因为12∠=∠(已知),所以23∠∠=( ),所以 ∥ ( ).(请继续完成接下去的说理过程)3.如图,CD ∥AB ,点O 在直线AB 上,OE 平分∠BOD ,OF ⊥OE ,∠D =110°,求∠DOF 的度数.4.如图,DH 交BF 于点E ,CH 交BF 于点G ,12∠=∠,34∠=∠,5B ∠=∠.试判断CH 和DF 的位置关系并说明理由.5.已知:如图,直线DE//AB.求证:∠B+∠D=∠BCD.6.如图,已知AB CD∥,BE平分ABC∠,CE平分BCD∠,求证1290∠+∠=︒.证明:∵BE平分ABC∠(已知),∴2∠=(),同理1∠=,∴1122∠+∠=,又∵AB CD∥(已知)∴ABC BCD∠+∠=(),∴1290∠+∠=︒.7.请把下列证明过程及理由补充完整(填在横线上):已知:如图,BC,AF是直线,AD∥BC,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AB∥CD.证明:∵AD∥BC(已知),∴∠3=().∵∠3=∠4(已知),∴∠4=().∵∠1=∠2(已知),∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF().即∠BAF=.∴∠4=∠BAF.().∴AB∥CD().8.如图,已知∠A=120°,∠FEC=120°,∠1=∠2,试说明∠FDG=∠EFD.请补全证明过程,即在下列括号内填上结论或理由.解:∵∠A=120°,∠FEC=120°(已知),∴∠A=().∴AB∥().又∵∠1=∠2(已知),∴EF ∥ ( ).∴∠FDG =∠EFD ( ).9.在三角形ABC 中,CD AB ⊥于D ,F 是BC 上一点,FH AB ⊥于H ,E 在AC 上,EDC BFH ∠=∠.(1)如图1,求证:∥DE BC ;(2)如图2,若90ACB ∠=︒,请直接写出图中与ECD ∠互余的角,不需要证明.10.已知:如图,直线MN HQ ∥,直线MN 交EF ,PO 于点A ,B ,直线HQ 交EF ,PO 于点D ,C ,DG 与OP 交于点G ,若1103∠=︒,277∠=︒,396∠=︒.(1)求证:EF OP ∥;(2)请直接写出CDG ∠的度数.11.如图直线a b ∥,直线EF 与,a b 分别和交于点,,A B AC AB AC ⊥、交直线b 于点C .(1)若160∠=︒,直接写出2∠= ;(2)若3,4,5AC AB BC ===,则点B 到直线AC 的距离是 ;(3)在图中直接画出并求出点A 到直线BC 的距离.12.如图,已知AB CD ,BE 平分∠ABC ,∠CDE = 150°,求∠C 的度数.13.如图,在ABC 中,CD 平分ACB ∠交AB 于D ,EF 平分AED ∠交AB 于F ,已知ADE B ∠=∠,求证:EF CD ∥.14.已知:如图,AB ∥CD ∥EF ,点G 、H 、M 分别在AB 、CD 、EF 上.求证:GHM AGH EMH ∠∠∠=+.15.如图所示,点B 、E 分别在AC 、DF 上,BD 、CE 均与AF 相交,A F ∠=∠,C D ∠=∠,求证:12∠=∠.16.如图,在ABC 中,DE ∥AC ,DF ∥AB .(1)判断∠A 与∠EDF 之间的大小关系,并说明理由.(2)求∠A +∠B +∠C 的度数.17.已知:如图,ABC 中,点D 、E 分别在AB 、AC 上,EF 交DC 于点F ,32180∠+∠=︒ ,1B ∠=∠.(1)求证:∥DE BC ;(2)若DE 平分ADC ∠,33B ∠=∠,求2∠的度数.18.如图,AB ∥DG ,∠1+∠2=180°.(1)试说明:AD ∥EF ;(2)若DG 是∠ADC 的平分线,∠2=142°,求∠B 的度数.19.问题情境:如图1,AB CD ∥,130PAB ∠=︒,120PCD ∠=︒,求APC ∠的度数.小明的思路是:如图2,过P 作PE AB ∥,通过平行线性质,可得APC ∠=______.问题迁移:如图3,AD BC ∥,点P 在射线OM 上运动,ADP α∠=∠,BCP β∠=∠.(1)当点P 在A 、B 两点之间运动时,CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系?请说明理由.(2)如果点P 在A 、B 两点外侧运动时(点P 与点A 、B 、O 三点不重合),请你直接写出CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系.20.直线AB CD∠.∥,直线EF分别交AB、CD于点M、N,NP平分MND(1)如图1,若MR平分EMB∠,则MR与NP的位置关系是.∠,则MR与NP有怎样的位置关系?请说明理由.(2)如图2,若MR平分AMN(3)如图3,若MR平分BMN∠,则MR与NP有怎样的位置关系?请说明理由.参考答案:1.解:证明:∵3180ABC ∠+∠=︒(已知)∴∥DG BC (同旁内角互补,两直线平行)∴.1CBG ∠=∠(两直线平行,内错角相等)∵12∠=∠(已知)∴2CBG ∠=∠(等量代换)∴∥BG EF (同位角相等,两直线平行)2.解:把1∠的对顶角记作3∠,所以13∠=∠(对顶角相等).因为12∠=∠(已知),所以23∠∠=(等量代换),所以//BD CE (同位角相等,两直线平行),所以4C ∠=∠(两直线平行,同位角相等),又因为A F ∠=∠,所以//DF AC (同位角相等,两直线平行),所以4D ∠=∠(两直线平行,内错角相等),所以C D ∠=∠(等量代换).故答案为:等量代换;BD ;CE ;同位角相等,两直线平行.3.解:∵CD AB ∥∴110DOB D ∠=∠=︒∵OE 平分∠BOD ∴1552DOE DOB ∠=∠=︒ 又∵OF ⊥OE∴90EOF ∠=︒∴905535DOF EOF DOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为:35︒4.解:CH DF,理由如下:∵34∠=∠,∴CD BF,∴5180BED∠+∠=︒,∵5B∠=∠,∴180B BED∠+∠=︒,∴BC DH,∴2H∠=∠,∵12∠=∠,∴1H∠=∠,∴CH DF.5.证明:过点C作CF∥AB,∴∠B=∠BCF,∵DE//AB.CF∥AB,∴CF∥DE,∴∠D=∠DCF,∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=∠B+∠D.6.证明:∵BE平分∠ABC(已知),∴∠2=12∠ABC(角平分线的定义),同理∠1=12∠BCD,∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠BCD),又∵AB∥CD(已知)∴∠ABC +∠BCD =180°(两直线平行,同旁内角互补 ),∴∠1+∠2=90°. 故答案为:12∠ABC ;角平分线的定义;12∠BCD ;(∠ABC +∠BCD );180°;两直线平行,同旁内角互补.7.证明:∵AD ∥BC (已知),∴∠3=∠CAD (两直线平行,内错角相等).∵∠3=∠4(已知),∴∠4=∠CAD (等量代换).∵∠1=∠2(已知),∴∠1+∠CAF =∠2+∠CAF (等式的性质).即∠BAF =∠CAD .∴∠4=∠BAF .(等量代换).∴AB ∥CD (同位角相等,两直线平行).8.解:∵∠A =120°,∠FEC =120°(已知),∴∠A =∠FEC (等量代换),∴AB ∥EF (同位角相等,两直线平行),又∵∠1=∠2(已知),∴AB ∥CD (内错角相等,两直线平行),∴EF ∥CD (平行于同一条直线的两直线互相平行),∴∠FDG =∠EFD (两直线平行,内错角相等),故答案为:∠FEC ;等量代换;EF ;同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;CD ;平行于同一条直线的两直线互相平行;两直线平行,内错角相等.9.证明:∵CD AB ⊥,FH AB ⊥,∴//CD FH ,∴BCD BFH ∠=∠.∵EDC BFH ∠=∠,∴BCD EDC ∠=∠,∴//ED BC .(2)与ECD ∠互余的角有:EDC BCD BFH A ∠∠∠∠,,,.证明:∵//ED BC ,∴90DEC ACB ∠=∠=︒,EDC BCD ∠=∠,∴90ECD EDC ∠+∠=︒,90ECD BCD ∠+∠=︒.∵//CD FH ,∴BCD BFH ∠=∠,∴90ECD BFH ∠+∠=︒.∵CD AB ⊥,∴90ACD A ∠+∠=︒,即90ECD A ∠+∠=︒.综上,可知与ECD ∠互余的角有:EDC BCD BFH A ∠∠∠∠,,,.10.解:(1)∵1103∠=︒,∴77∠=︒ABC ,∵277∠=︒,∴2ABC ∠=∠,∴EF OP ∥;(2)∵MN HQ ∥,EF OP ∥,∴1103∠=∠=∠=︒FDC FAB ,3180∠+∠=︒FDG ,∵396∠=︒,∴180********∠=︒-∠=︒-︒=︒FDG ,∴1038419∠=∠-∠=︒-︒=︒CDG FDC FDG .11.解:(1)∵a b ∥,∴12180BAC ∠+∠+∠=︒,∵AC AB ⊥,160∠=︒,∴230∠=︒,故答案为:30︒;(2)∵AC AB⊥,∴点B到直线AC的距离为线段4AB=,故答案为:4;(3)如图所示:过点A作AD BC⊥,点A到直线BC的距离为线段AD的长度,∵AC AB⊥,∴ABC∆为直角三角形,∴1122ABCS AC AB BC AD∆=⨯⨯=⨯⨯,即1134522AD ⨯⨯=⨯⨯,解得:125 AD=,∴点A到直线BC的距离为125.12.解:∵∠CDE=150°,∴∠CDB=180°-∠CDE=30°,又∵AB CD,∴∠ABD=∠CDB=30°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABD=60°,∵AB CD,∴∠C=180°-∠ABC=120°.13.证明:ADE B∠=∠(已知),DE//BC∴(同位角相等,两直线平行),ACB AED∴∠=∠(两直线平行,同位角相等),CD 平分ACB ∠,EF 平分AED ∠(已知),12ACD ACB ∴∠=∠,12AEF AED ∠=∠(角平分线的定义), ACD AEF ∴∠=∠(等量代换).EF //CD ∴(同位角相等,两直线平行).14.证明:∵AB ∥CD (已知)∴1AGH ∠=∠(两直线平行,内错角相等) 又 ∵CD ∥EF (已知)∴2EMH ∠=∠,(两直线平行,内错角相等) ∵12GHM ∠∠∠=+(已知)∴GHM AGH EMH ∠∠∠=+(等式性质)15.证明:∵A F ∠=∠,∴AC DF ∥,∴ABD D ∠=∠,又∵C D ∠=∠,∴ABD C ∠=∠,∴DB CE ∥,∴13∠=∠,∵23∠∠=,∴12∠=∠.16.(1)两角相等,理由如下:∵DE ∥AC ,∴∠A =∠BED (两直线平行,同位角相等).∵DF ∥AB ,∴∠EDF =∠BED (两直线平行,内错角相等), ∴∠A =∠EDF (等量代换).(2)∵DE ∥AC ,∴∠C =∠EDB (两直线平行,同位角相等).∵DF ∥AB ,∴∠B =∠FDC (两直线平行,同位角相等).∵∠EDB +∠EDF +∠FDC =180°,∴∠A +∠B +∠C =180°(等量代换).17.解:(1)∵32180∠+∠=︒,∠2+∠DFE =180°, ∴∠3=∠DFE ,∴EF //AB ,∴∠ADE =∠1,又∵1B ∠=∠,∴∠ADE =∠B ,∴DE //BC ,(2)∵DE 平分ADC ∠,∴∠ADE =∠EDC ,∵DE //BC ,∴∠ADE =∠B ,∵33B ∠=∠∴∠5+∠ADE +∠EDC =3B B B ∠+∠+∠=180°, 解得:36B ∠=︒,∴∠ADC =2∠B =72°,∵EF //AB ,∴∠2=∠ADC =180°-108°=72°,18.(1)∵AB ∥DG ,∴∠BAD =∠1,∵∠1+∠2=180°,∴∠BAD +∠2=180°.∵AD ∥EF .(2)∵∠1+∠2=180°且∠2=142°,∴∠1=38°,∵DG 是∠ADC 的平分线,∴∠CDG =∠1=38°,∵AB ∥DG ,∴∠B =∠CDG =38°.19.解:问题情境:∵AB ∥CD ,PE ∥AB ,∴PE ∥AB ∥CD ,∴∠A +∠APE =180°,∠C +∠CPE =180°,∵∠P AB =130°,∠PCD =120°,∴∠APE =50°,∠CPE =60°,∴∠APC =∠APE +∠CPE =50°+60°=110°;(1)CPD αβ∠=∠+∠;过点P 作PQ AD ∥,又因为AD BC ∥,所以PQ AD BC ∥∥,则ADP DPE ∠=∠,BCP CPE ∠=∠,所以CPD DPE CPE ADP BCP ∠=∠+∠=∠+∠;(2)情况1:如图所示,当点P 在B 、O 两点之间时,过P 作PE ∥AD ,交ON 于E ,∵AD ∥BC ,∴AD ∥BC ∥PE ,∴∠DPE =∠ADP =∠α,∠CPE =∠BCP =∠β, ∴∠CPD =∠DPE -∠CPE =∠α-∠β,情况2:如图所示,点P 在射线AM 上时,过P 作PE ∥AD ,交ON 于E ,∵AD ∥BC ,∴AD ∥BC ∥PE ,∴∠DPE =∠ADP =∠α,∠CPE =∠BCP =∠β, ∴∠CPD =∠CPE -∠DPE =∠β-∠α20.(1)如题图1,AB CD ∥EMB END ∴∠=∠MR 平分EMB ∠,NP 平分MND ∠.11,22EMR EMB ENP END ∴∠=∠∠=∠ EMR ENP ∴∠=∠∴MR ∥NP ;(2)如题图2,AB CD ∥AMN END ∴∠=∠MR 平分AMN ∠,NP 平分MND ∠.11,22RMN AMN ENP END ∴∠=∠∠=∠ RMN ENP ∴∠=∠∴MR ∥NP ;(3)如图,设,MR PN 交于点Q ,过点Q 作QG AB ∥AB CD ∥180BMN END ∴∠+∠=︒,QG CD ∥ ,MQG BMR GQN PND ∴∠=∠∠=∠ MR 平分BMN ∠,NP 平分MND ∠.11,22BMR BMN PND END ∴∠=∠∠=∠ 90BMR PND ∴∠+∠=︒90MQN MQG NQG ∴∠=∠+∠=︒ ∴MR ⊥NP ;。
1.:如图,BE平分∠ABC,∠1=∠2.求证:BC∥DE.2.如图,∠A=∠F,∠C=∠D,试说明BD∥CE.3.如下图,AB⊥BC,BC⊥CD,BF和CE是射线,并且∠1=∠2,试说明BF∥CE.4.如图,AB⊥BC,∠1+∠2=90°,∠2=∠3,求证:BE∥DF.5.如图,OP平分∠MON,A、B分别在OP、OM上,∠BOA=∠BAO,则AB平行于ON吗?假设平行,请写出证明过程;假设不平行,请说明理由.6.:如图,∠1=∠2,∠A=∠C.求证:AE∥BC.7.,如图B、D、A在一直线上,且∠D=∠E,∠ABE=∠D+∠E,BC是∠ABE的平分线,求证:DE∥BC.8.如图,∠AEC=∠A+∠C,试说明:AB∥CD.9.如图,AC∥ED,EB平分∠AED,∠1=∠2,求证:AE∥BD.10.如图,直线AB、CD与直线EF相交于E、F,:∠1=105°,∠2=75°,求证:AB∥CD.11.如图,∠D=∠A,∠B=∠FCB,求证:ED∥CF.12.如图,AB⊥BC,CD⊥BC,∠1=∠2,求证:EB∥FC.13.如下图所示,BE是∠B的平分线,交AC于E,其中∠1=∠2,则DE∥BC吗?为什么?14.如图,∠C=∠D,DB∥EC.AC与DF平行吗?试说明你的理由.15.如图,AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=35°,∠2=35°,求证:AE∥BF.16.如图,AB∥CD,∠1=∠2,求证:BE∥CF.17.∠BAD=∠DCB,∠1=∠3,求证:AD∥BC.18.如图,AD是三角形ABC的角平分线,DE∥CA,并且交AB与点E,∠1=∠2,DF与AB是否平行?为什么?19.如图,:∠C=∠DAE,∠B=∠D,则AB平行于DF 吗?请说明理由.20.如图,点B在AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,问射线CF与BD平行吗?说明理由.21.∠1的度数是它补角的3倍,∠2等于45°,则AB∥CD 吗?为什么?22.:如图,BDE是一条直线,∠ABD=∠CDE,BF平分∠ABD,DG平分∠CDE,求证:BF∥DG.23.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,BF、DE 分别平分∠ABC、∠ADC.判断DE、BF是否平行,并说明理由.24.如图,假设∠CAB=∠CED+∠CDE,求证:AB∥CD .25.如图,CD⊥AB,GF⊥AB,∠1=∠2.试说明DE∥BC.26.如下图,∠CAD=∠ACB,∠D=90°,EF⊥CD.试说明:∠AEF=∠B.27.:如下图,C,P,D三点在同一条直线上,∠BAP+∠APD=180°,∠E=∠F,求证:∠1=∠2.28.如图,∠D=∠1,∠E=∠2,DC⊥EC.求证:AD∥BE.29.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,试说明BE∥DF.30.:如图,∠1=∠2,∠A=∠F,则∠C与∠D相等吗?试说明理由.31.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE∥DF.32.如图,∠1=∠2求证:a∥b.33.如图,DE⊥AO于E,BO⊥AO于O,FC⊥AB于C,∠1=∠2,找出图中互相平行的线,并加以说明.34.如图,∠1=∠2,∠C=∠CDO,求证:CD∥OP.35.如图,DE平分∠BDF,AF平分∠BAC,且∠1=∠2.求证〔1〕DF∥AC;〔2〕DE∥AF.36.如图,AD平分∠BAC,EF平分∠DEC,且∠1=∠2,试说明DE与AB的位置关系.37.如图,在△ABC中,点D在AB上,∠ACD=∠A,∠BDC的平分线交BC于点E.求证:DE∥AC.38.如图,AB与CD相交于点O,并且∠A=∠1,试问∠2与∠B满足什么关系时,AC∥BD?说明理由.39.如图,∠1=∠A,∠2=∠B,则MN与EF平行吗?如果平行,请说明理由.40.如图,直线AB、CD被直线EF所截,∠1+∠4=180°,求证:AB∥CD.41.如下图,:∠1=∠2,∠E=∠F.试说明AB∥CD.42.如图,EF⊥CD于F,∠GEF=25°,∠1=65°,则AB 与CD平行吗?请说明理由.44.直线AB,CD被直线EF所截,∠1=∠2,直线AB 和CD平行吗?为什么?45.:如图,AD⊥BC,EF⊥BC,∠1=∠2.求证:AB∥GF.46.如图,B、C、D三点在同一条直线上,∠B=∠1,∠2=∠E,试说明AD∥CE.47.直线AB、CD与GH交于E、F,EM平分∠BEF,FN平分∠DFH,∠BEF=∠DFH,求证:EM∥FN.48.如下图,∠ABC=∠BCD,BE、CF分别平分∠ABC 和∠BCD,请你说出BE与CF的位置关系,并说出你的理由.50.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,点E在BC上,EF⊥AB,垂足为F.〔1〕CD与EF平行吗?为什么?〔2〕如果∠1=∠2,DG∥BC吗?为什么?51.如图,:HG平分∠AHM,MN平分∠DMH,且∠AHM=∠DMH.问:GH与MN有怎样的位置关系,请说明理由.〔请注明每一步的理由〕52.:如图,∠C=∠1,∠2和∠D互余,BE⊥FD于点53.如图,直线AB,CD被EF所截,∠3=∠4,∠1=∠2,EG⊥FG.求证:AB∥CD.54.:如图,CD是直线,E在直线CD上,∠1=130°,∠A=50°,求证:AB∥CD.〔1〕AD∥BC吗?〔2〕AB∥CD吗?为什么?56.如图,四边形ABCD,∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC,则AD与BC一定平行吗?AB与CD呢?假设平行请说明理由,反之则不用说明理由.57.:如图,∠A=∠F,∠C=∠D.求证:BD∥CE.58.如图,AD⊥BC于点D,∠1=2,∠CDG=∠B,请你判断EF与BC的位置关系,并加以证明,要求写出59.:如图,CE平分∠ACD,∠1=∠B,求证:AB∥CE.60.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,可以判定哪两条直线平行?。
小专题(一)平行线的性质与判定1.填写推理理由:如图,CD∥EF,∠1=∠2.求证:∠3=∠ACB.证明:∵CD∥EF,∴∠DCB=∠2( ).∵∠1=∠2,∴∠DCB=∠1( ).∴GD∥CB( ).∴∠3=∠ACB( ).2.如图,已知EAB是直线,AD∥BC,AD平分∠EAC,试判定∠B与∠C的大小关系,并说明理由.3.如图,已知AD∥BE,∠A=∠E,求证:∠1=∠2.4.已知:如图,AD∥EF,∠1=∠2.求证:AB∥DG.5.(蓟县期中)已知:如图,∠1+∠2=180°,∠3=100°,OK平分∠DOH,求∠KOH的度数.6.如图,已知AB∥CD,∠B=40°,CN是∠BCE的平分线,CM⊥CN,求∠BCM的度数.7.如图,把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后,ED与BC的交点为G,点D,C分别落在D′,C′的位置上,若∠EFG=55°,求∠1,∠2的度数.8.如图,EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,∠DAC=130°,∠FEC=15°,求∠ACF的度数.9.如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3.请问:AD平分∠BAC吗?若平分,请说明理由.10.已知:如图,直线EF分别交AB,CD于点E,F,且∠AEF=66°,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.(1)求∠PEF的度数;(2)若已知直线AB∥CD,求∠P的度数.12.(萧山区月考)如图,已知直线l1∥l2,直线l3和直线l1,l2交于点C和D,直线l3上有一点P.(1)如图1,若P点在C,D之间运动时,问∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系是否发生变化,并说明理由;(2)若点P在C,D两点的外侧运动时(P点与点C,D不重合,如图2和3),试直接写出∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的关系,不必写理由.小专题(一)平行线的性质与判定1.填写推理理由:如图,CD∥EF,∠1=∠2.求证:∠3=∠ACB.证明:∵CD∥EF,∴∠DCB=∠2(两直线平行,同位角相等).∵∠1=∠2,∴∠DCB=∠1(等量代换).∴GD∥CB(内错角相等,两直线平行).∴∠3=∠ACB(两直线平行,同位角相等).2.如图,已知EAB是直线,AD∥BC,AD平分∠EAC,试判定∠B与∠C的大小关系,并说明理由.解:∠B=∠C.理由:∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC.∵AD∥BC,∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C.∴∠B=∠C.3.如图,已知AD∥BE,∠A=∠E,求证:∠1=∠2.证明:∵AD∥BE,∴∠A=∠EBC.∵∠A=∠E,∴∠EBC=∠E.∴DE∥AB.∴∠1=∠2.4.已知:如图,AD∥EF,∠1=∠2.求证:AB∥DG.证明:∵AD ∥EF , ∴∠1=∠BAD. ∵∠1=∠2, ∴∠BAD =∠2. ∴AB ∥DG .5.(蓟县期中)已知:如图,∠1+∠2=180°,∠3=100°,OK 平分∠DOH ,求∠KOH 的度数.解:∵∠1+∠2=180°,∴AB ∥CD.∴∠GOD =∠3=100°.∴∠DOH =180°-∠GOD =180°-100°=80°. 又∵OK 平分∠DOH ,∴∠KOH =12∠DOH =12×80°=40°.6.如图,已知AB ∥CD ,∠B =40°,CN 是∠BCE 的平分线,CM ⊥CN ,求∠BCM 的度数.解:∵AB ∥CD , ∴∠BCE +∠B =180°. ∵∠B =40°,∴∠BCE =180°-40°=140°. ∵CN 是∠BCE 的平分线,∴∠BCN =12∠BCE =12×140°=70°.∵CM ⊥CN ,∴∠BCM =90°-70°=20°.7.如图,把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后,ED与BC的交点为G,点D,C分别落在D′,C′的位置上,若∠EFG=55°,求∠1,∠2的度数.解:∵AD∥BC,∠EFG=55°,∴∠2=∠GED,∠1+∠GED=180°,∠DEF=∠EFG=55°.由折叠知∠GEF=∠DEF=55°.∴∠GED=110°.∴∠1=180°-∠GED=70°,∠2=110°.8.如图,EF∥AD,AD∥BC,CE平分∠BCF,∠DAC=130°,∠FEC=15°,求∠ACF的度数.解:∵AD∥BC,∴∠ACB+∠DAC=180°.又∵∠DAC=130°,∴∠ACB=50°.∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥BC.∴∠BCE=∠FEC=15°.又∵CE平分∠BCF,∴∠BCF=2∠BCE=30°.∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=20°.9.如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3.请问:AD平分∠BAC吗?若平分,请说明理由.解:AD平分∠BAC.理由:∵AD⊥BC,EG⊥BC,∴∠ADC=∠EGC=90°.∴∠3=∠2,∠E=∠1.∵∠3=∠E,∴∠1=∠2,即AD平分∠BAC.10.如图所示,已知∠ABC=80°,∠BCD=40°,∠CDE=140°,试确定AB与DE的位置关系,并说明理由.解:AB∥DE.理由:过点C作FG∥AB,∴∠BCG=∠ABC=80°.又∠BCD=40°,∴∠DCG=∠BCG-∠BCD=40°.∵∠CDE=140°,∴∠CDE+∠DCG=180°.∴DE∥FG.∴AB∥DE.11.如图,直线l1,l2均被直线l3,l4所截,且l3与l4相交,给定以下三个条件:①l1⊥l3;②∠1=∠2;③∠2+∠3=90°.请从这三个条件中选择两个作为条件,另一个作为结论组成一个真命题,并进行证明.解:已知:l1⊥l3,∠1=∠2.求证:∠2+∠3=90°.证明:∵∠1=∠2,∴l1∥l2.∵l1⊥l3,∴l2⊥l3.∴∠3+∠4=90°.∵∠4=∠2,∴∠2+∠3=90°.12.已知:如图,直线EF分别交AB,CD于点E,F,且∠AEF=66°,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.(1)求∠PEF 的度数;(2)若已知直线AB ∥CD ,求∠P 的度数. 解:(1)∵∠AEF =66°,∴∠BEF =180°-∠AEF =180°-66°=114°. 又∵EP 平分∠BEF ,∴∠PEF =∠PEB =12∠BEF =57°.(2)过点P 作PQ ∥AB. ∴∠EPQ =∠PEB =57°. ∵AB ∥CD ,∴PQ ∥CD ,∠DFE =∠AEF =66°. ∴∠FPQ =∠PFO. ∵FP 平分∠DFE , ∴∠PFD =12∠DFE =33°.∴∠FPQ =33°.∴∠EPF =∠EPQ +∠FPQ =57°+33°=90°.13.(萧山区月考)如图,已知直线l 1∥l 2,直线l 3和直线l 1,l 2交于点C 和D ,直线l 3上有一点P.(1)如图1,若P 点在C ,D 之间运动时,问∠PAC ,∠APB ,∠PBD 之间的关系是否发生变化,并说明理由; (2)若点P 在C ,D 两点的外侧运动时(P 点与点C ,D 不重合,如图2和3),试直接写出∠PAC ,∠APB ,∠PBD 之间的关系,不必写理由.解:(1)当P 点在C ,D 之间运动时, ∠APB =∠PAC +∠PBD. 理由:过点P 作PE ∥l 1, ∵l 1∥l 2,∴PE ∥l 2∥l 1.∴∠PAC =∠APE ,∠PBD =∠BPE.∴∠APB =∠APE +∠BPE =∠PAC +∠PBD.(2)当点P 在C ,D 两点的外侧运动时,在l 2下方时,则∠PAC =∠PBD +∠APB ; 在l 1上方时,则∠PBD =∠PAC +∠APB.。
初一平行线证明题(精选多篇)第一篇:初一平行线证明题初一平行线证明题用反证法a平面垂直与一条直线,设平面和直线的交点为pb平面垂直与一条直线,设平面和直线的交点为q假设a和b不平行,那么一定有交点。
设有交点r,那么做三角形pqrpr垂直pqqr垂直pq没有这样的三角形。
因为三角形的内角和为180所以a一定平行于b证明:如果a‖b,a‖c,那么b‖c证明:假使b、c不平行则b、c 交于一点o又因为a‖b,a‖c所以过o有b、c两条直线平行于a这就与平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c由同位角相等,两直线平行,可推出:内错角相等,两直线平行。
同旁内角互补,两直线平行。
因为a‖b,a‖c,所以b‖c(平行公理的推论)2“两直线平行,同位角相等.”是公理,是无法证明的,书上给的也只是说明而已,并没有给出严格证明,而“两直线平行,内错角相等“则是由上面的公理推导出来的,利用了对等角相等做了一个替换,上面两位给出的都不是严格的证明。
一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有:1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行.2、三角形或梯形的中位线定理.3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.4、平行四边形的性质定理.5、若一直线上有两点在另一直线的同旁).(a)艺l=匕3(b)/2=艺3(c)匕4二艺5(d)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选c认六一值!小人﹃夕叱的一试勺洲洲川jlze一b/(一、图月一飞/匕一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行.例1(2014年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(b).例2(2014年泉州市)如图2,△注bc中,匕bac的平分线ad交bc于d,④o过点a,且和bc切于d,和ab、ac分别交b于e、f,设ef交ad于c,连结df.(l)求证:ef//bc(1)根据定义。
七年级10道平行线证明题
以下是七年级的10道平行线证明题:
题目:已知直线AB与CD相交于点O,且∠AOC = ∠BOD。
求证:AB ∥ CD。
题目:在直线AB上取一点O,作射线OC,使∠AOC = ∠BOC。
求证:OA ∥ OC。
题目:已知∠1 = ∠2,∠2 = ∠3,且∠1和∠3是内错角。
求证:AB ∥ CD。
题目:在△ABC中,若∠A = ∠B,则BC边上的中线AD等于BC的一半。
求证:AD ∥ BC。
题目:已知∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,且∠1和∠3是同位角。
求证:EF ∥ GH。
题目:在梯形ABCD中,若AD ∥ BC,且∠A = ∠B,求证:梯形ABCD是等腰梯形。
题目:在△ABC中,若∠C = 90°,且AC = BC,D为AB的中点。
求证:CD ⊥ AB。
题目:已知∠1 + ∠2 = 180°,∠2 + ∠3 = 180°,求证:AB ∥ CD。
题目:在△ABC中,若∠A = ∠B = ∠C,则△ABC是等边三角形。
求证:AB ∥ BC ∥ CA。
题目:已知∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,且∠1和∠3是同旁内角。
求证:EF ∥ GH。
这些题目涵盖了平行线的多种性质和判定方法,通过练习这些题目,学生可以加深对平行线概念的理解,提高解题能力。
平行线证明专题训练一.选择题(共16小题)1.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.若∠BOC=130°,则∠A的度数为()A.100°B.90°C.80°D.70°2.下列命题为假命题的是()A.直角都相等B.对顶角相等C.同位角相等D.同角的余角相等3.下列命题中:正确的说法有()①成轴对称的两个图形一定全等;②直线l经过线段AB的中点,则l是线段AB的垂直平分线;③一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形;④等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角的角平分线.A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列命题是真命题的是()A.如果a>b,a>c,那么b=cB.相等的角是对顶角C.一个角的补角大于这个角D.一个三角形中至少有两个锐角5.如图,在△ABC中,D、E、F分别在AB、BC、AC上,且EF∥AB,要使DF∥BC,只需再有下列条件中的()即可.A.∠1=∠2B.∠1=∠DFE C.∠1=∠AFD D.∠2=∠AFD 6.如图,已知∠1=∠2,则有()A.AD∥BC B.AB∥CD C.∠ABC=∠ADC D.AB⊥CD7.如图,在△ABC中,∠C=36°,将△ABC沿着直线l折叠,点C落在点D的位置,则∠1﹣∠2的度数是()A.36°B.72°C.50°D.46°8.在△ABC中,∠A=35°,∠B=80°,则∠C=()A.85°B.75°C.65°D.55°9.如图,将木条a,b与c钉在一起,∠1=85°,∠2=50°,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是()A.15°B.25°C.35°D.50°10.图中,∠2的度数是()A.110°B.70°C.60°D.40°11.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AE是高,若∠B=40°,∠C=60°,则∠EAD 的度数为()A.30°B.10°C.40°D.20°12.如图,BD是∠ABC的角平分线,CD是∠ACB的角平分线,∠BDC=120°,则∠A的度数为()A.40°B.50°C.60°D.75°13.如图,△ABC中,∠A=75°,∠B=65°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内,若∠1=20°,则∠2的度数为()A.40°B.45°C.50°D.60°14.对于命题“若a>b,则a2>b2”,能说明它属于假命题的反例是()A.a=2,b=1B.a=﹣1,b=﹣2C.a=﹣2,b=﹣1D.a=﹣1,b=1 15.能说明命题“若a2=b2,则a=b”是假命题的一个反例可以是()A.a=2,b=﹣2B.a=2,b=3C.a=﹣2,b=﹣2D.a=﹣2,b=﹣3 16.如图,下列条件中能得到AB∥CD的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.∠1=∠4D.∠2=∠3二.填空题(共3小题)17.如图,△ABC中,∠A=80°,△ABC的两条角平分线交于点P,∠BPD的度数是_____.18.如图,AD,CE为△ABC的角平分线且交于O点,∠DAC=30°,∠ECA=35°,则∠AOB=_____.19.如图,把一张三角形纸片(△ABC)进行折叠,使点A落在BC上的点F处,折痕为DE,点D,点E分别在AB和AC上,DE∥BC,若∠B=75°,则∠BDF的度数为_____.三.解答题(共8小题)20.已知:如图∠B=40°,∠B=∠BAD,∠C=∠ADC,求∠DAC的度数.21.如图,在下列解答中,填写适当的理由或数学式:(1)∵AD∥BE,(已知)∴∠B=∠_____.(_____)(2)∵∠E+∠_____=180°,(已知)∴AC∥DE.(_____)(3)∵_____∥_____,(已知)∴∠ACB=∠DAC.(_____)22.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD是∠BAC的角平分线,AE是高,求∠EAD的度数.23.如图,∠1=∠2,∠A=∠F,求证:∠C=∠D.请阅读下面的解答过程,并填空(理由或数学式)证明:∵∠1=∠2(已知)∠1=∠3(_____)∴∠2=∠3(等量代换)∴BD∥_____(_____)∴∠4=_____(_____)又∵∠A=∠F(已知)∴AC∥_____(_____)∴∠4=_____(_____)∴∠C=∠D(等量代换)24.如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB.(Ⅰ)若∠A=60°,则∠BOC的度数为_____;(Ⅱ)若∠A=100°,则∠BOC的度数_____;(Ⅲ)若∠A=α,求∠BOC的度数,并说明理由.25.已知:如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠D.求证:AB∥CD.(在每步证明过程后面注明理由)26.(1)如图,在三角形纸片ABC中.∠A=64°,∠B=76°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内部,折痕为MN.如果∠1=17°,求∠2的度数;(2)小明在(1)的解题过程中发现∠1+∠2=2∠C,小明的这个发现对任意的三角形都成立吗?请说明理由.27.如图,点E在直线DF上,点B在直线AC上,若∠AGB=∠EHF,∠C=∠D.试说明:∠A=∠F.请同学们补充下面的解答过程,并填空(理由或数学式).解:∵∠AGB=∠DGF(_____)∠AGB=∠EHF(已知)∴∠DGF=∠EHF(_____)∴_____∥_____(_____)∴∠D=_____(_____)∵∠D=∠C(已知)∴_____=∠C(_____)∴_____∥_____(_____)∴∠A=∠F(_____)平行线证明专题训练参考答案与试题解析一.选择题(共16小题)1.解:在△OBC中,∠OBC+∠OCB=180﹣∠BOC=180﹣130=50°,又∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O.∴∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=2(∠OBC+∠OCB)=100°∴∠A=180﹣(∠ABC+∠ACB)=180﹣100=80°故选:C.2.解:A、直角都相等,是真命题;B、对顶角相等,是真命题;C、两直线平行,同位角相等,则同位角相等是假命题;D、同角的余角相等,是真命题;故选:C.3.解:①成轴对称的两个图形一定全等,故符合题意;②直线l经过线段AB的中点且垂直线段,则l是线段AB的垂直平分线,故不符合题意;③一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形,故符合题意;④等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角的角平分线所在的直线.故不符合题意故选:B.4.解:A、如果a>b,a>c,不能判断b,c的大小,原命题是假命题;B、相等的角不一定是对顶角,原命题是假命题;C、一个角的补角不一定大于这个角,原命题是假命题;D、个三角形中至少有两个锐角,原命题是真命题;故选:D.5.解:∵EF∥AB,∴∠1=∠2,∵∠1=∠DFE,∴∠2=∠DFE,∴DF∥BC,故选:B.6.解:∵∠1=∠2,∴AB∥CD,故选:B.7.解:由折叠的性质得:∠D=∠C=36°,根据外角性质得:∠1=∠3+∠C,∠3=∠2+∠D,则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+72°,则∠1﹣∠2=72°.故选:B.8.解:∵∠A=35°,∠B=80°,∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣35°﹣80°=65°,故选:C.9.解:∵∠AOC=∠2=50°时,OA∥b,∴要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是85°﹣50°=35°.故选:C.10.解:∵∠1=60°+20°=80°,∴∠2=180°﹣60°﹣80°=40°,故选:D.11.解:∵∠B=40°,∠C=60°,∠B+∠C+∠BAC=180°∴∠BAC=80°又∵AD平分∠BAC∴∠CAD=40°∵AE⊥BC,∠C=60°∴∠AEC=90°,∠CAE=30°∴∠EAD=10°,故选:B.12.解:∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线,∴∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,∴∠D=180°﹣(∠DBC+∠DCB)=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣(180°﹣∠A)=90°+∠A=120°,∴∠A=60°;故选:C.13.解:∵∠A=75°,∠B=65°,∴∠C=180°﹣(65°+75°)=40°,∴∠CDE+∠CED=180°﹣∠C=140°,∴∠2=360°﹣(∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE)=360°﹣300°=60°.故选:D.14.解:对于命题“若a>b,则a2>b2”,能说明它属于假命题的反例是a=﹣1,b=﹣2,a>b,但(﹣1)2<(﹣2)2,故选:B.15.解:能说明命题“若a2=b2,则a=b”是假命题的一个反例是a=2,b=﹣2,a2=b2,但a=﹣b,故选:A.16.解:A,∠1=∠2不能判定两条直线平行;不符合题意;B,∠3=∠4不能判定两条直线平行,不符合题意;C,∠1=∠4可以判定AD∥BC,不符合题意;D,∠2=∠3可以判定AB∥CD,根据内错角相等,两条直线平行,符合题意.故选:D.二.填空题(共3小题)17.解:∵△ABC中,∠A=80°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=100°,∵△ABC的两条角平分线交于点P,∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+ACB)=×100°=50°,∴∠BPD=∠PBC+∠PCB=50°;故答案为:50°.18.解:∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,∠DAC=30°,∠ECA=35°,∴∠BAC=2∠DAC=60°,∠ACB=2∠ECA=70°,∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=50°.∵△ABC的三条角平分线交于一点,∴BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠ABC=25°,∴∠AOB=180°﹣25°﹣30°=125°故答案为125°19.解:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=75°,又∵∠ADE=∠EDF=75°,∴∠BDF=180°﹣75°﹣75°=30°,故答案为30°.三.解答题(共8小题)20.解:∵∠B=40°,∴∠B=∠BAD=40°,∴∠ADC=80°,∴∠C=∠ADC=80°,∴∠DAC=180°﹣80°﹣80°=20°.21.解:(1)∵AD∥BE,(已知)∴∠B=∠F AD.(两直线平行,同位角相等)(2)∵∠E+∠ACE=180°,(已知)∴AC∥DE.(同旁内角互补,两直线平行)(3)∵AD∥BE,(已知)∴∠ACB=∠DAC.(两直线平行,内错角相等)故答案为:(1)F AD;两直线平行,同位角相等;(2)ACE;同旁内角互补,两直线平行;AD;BE;两直线平行,内错角相等.22.解:∵∠B=60°,∠C=40°,∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣60°﹣40°=80°,∵AD是角平分线,∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°,∵AE是高,∴∠BEA=90°,∴∠BAE=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°,∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=40°﹣30°=10°.23.解:∵∠1=∠2(已知)∠1=∠3(对顶角相等)∴∠2=∠3(等量代换)∴BD∥CE(同位角相等,两直线平行)∴∠4=∠C(两直线平行,同位角相等)又∵∠A=∠F(已知)∴AC∥DF(内错角相等,两直线平行)∴∠4=∠D(两直线平行,内错角相等)∴∠C=∠D(等量代换);故答案为:对顶角相等;CE;同位角相等,两直线平行;∠C;两直线平行,同位角相等;DF;内错角相等,两直线平行;∠D;两直线平行,内错角相等.24.解:(Ⅰ)∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,∠A=60°,∴∠CBO+∠BCO=(180°﹣∠A)=(180°﹣60°)=60°,∴∠BOC=180°﹣(∠CBO+∠BCO)=180°﹣60°=120°;故答案为:120°;(Ⅱ)同理,若∠A=100°,则∠BOC=180°﹣(180°﹣∠A)=90°+∠A=140°,故答案为140°;(Ⅲ)同理,若∠A=α,则∠BOC=180°﹣(180°﹣∠A)=90°+.25.证明:∵∠1与∠CGD是对顶角,∴∠1=∠CGD(对顶角相等),∵∠1+∠2=180°(已知),∴∠CGD+∠2=180°(等量代换),∴AE∥FD(同旁内角互补,两直线平行),∴∠A=∠BFD(两直线平行,同位角相等),又∵∠A=∠D(已知),∴∠BFD=∠D(等量代换),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).26.解:(1)∵△ABC中,∠A=64°,∠B=76°,∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣64°﹣76°=40°,∵∠1=17°,∴∠CNM=,在△CMN中,∠CMN=180°﹣∠C﹣∠CNM=180°﹣40°﹣81.5°=58.5°,∴∠2=180°﹣2∠CMN=180°﹣2×58.5°=63°.(2)由题意可知:2∠CNM+∠1=180°,2∠CMN+∠2=180°,∴2(∠CNM+∠CMN)+∠1+∠2=360°,∵∠C+∠CNM+∠CMN=180°,∴∠CMN+∠CMN=180°﹣∠C,∴2(180°﹣∠C)=360°﹣(∠1+∠2),∴∠1+∠2=2∠C.27.解:∵∠AGB=∠DGF(对顶角相等)∠AGB=∠EHF(已知)∴∠DGF=∠EHF(等量代换)∴BD∥CE(同位角相等,两直线平行)∴∠D=∠CEF(两直线平行,同位角相等)∵∠D=∠C(已知)∴∠CEF=∠C(等量代换)∴DF∥AC(内错角相等,两直线平行)∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等)故答案为:对顶角相等;等量代换;BD;CE;同位角相等,两直线平行;∠CEF;两直线平行,同位角相等;∠CEF;等量代换;DF;AC;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等.。
人教版七年级下册数学平行线证明题专项训练1.完成下面的推理,并在括号内标注理由:如图,∠DEH +∠EHG =180°,∠1=∠2,∠C =∠A .求证:∠AEH =∠F .证明:∠∠DEH +∠EHG =180°∠ED ∥ ( )∠∠1=∠C ( )∠2= ( )∠∠1=∠2,∠C =∠A∠∠A =∠AB ∥DF ( )∠∠AEH =∠F ( )2.如图,已知CD DA ⊥,DA AB ⊥,12∠=∠.求证:DF AE ∥.请你完成下列填空,把证明过程补充完整证明:∠_____________,_____________∠90CDA ∠=︒,90DAB ∠=︒(______________),∠1390∠+∠=︒,2490∠+∠=︒.又∠12∠=∠,∠34∠=∠(______________),∠DF AE ∥(______________).3.如图,AB∠CD,点E在线段CD上,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F,连接BD,∠1=∠2,∠3=∠4∥求证:AF BC证明:理由如下:∠AB∠CD,∠∠4=.()∠∠3=∠4,(已知)∠∠3=.(等量代换)∠∠1=∠2,()∠∠1+=∠2+.(等式性质)即=.(等式性质)∠∠3=.(等量代换)∠AF∠BC.()4.如图,点E在BC上,BD∠AC,EF∠AC,垂足分别为D,F,点M,G在AB上,∠AMD=∠AGF,∠1=∠2.求证:(1)∠2=∠CBD;(2)MD∥B C.5.完成下列推理结论及推理说明:如图,已知∠B +∠BCD =180°,∠B =∠D .求证:∠E =∠DFE .证明:∠∠B +∠BCD =180°(已知),∠AB ∥CD ( ),∠∠B =__________( ),又∠∠B =∠D (已知),∠________= ________ (_____________________),∠AD ∥BE ( ),∠∠E =∠DFE ( ).6.如图,已知12∠=∠,34∠=∠,5A ∠=∠,试说明:BE //CF .完善下面的解答过程,并填写理由或数学式.解:因为34∠=∠(已知),所以AE //_________(_________),所以5EDC ∠=∠(两直线平行,内错角相等).因为5A ∠=∠(已知),所以EDC ∠=_________(等量代换),所以DC //AB (_________),所以5180ABC ∠+∠=︒(_________)即523180∠+∠+∠=︒.因为12∠=∠(已知),所以513180∠+∠+∠=︒(等量代换),即3180BCF ∠+∠=︒.所以BE //_________(同旁内角互补,两直线平行).7.如图,110,70A ABC ∠=︒∠=︒.(1)求证:ADB DBC ∠=∠;(2)若EF //BD ,40,46ADB C ︒∠=∠=︒,求EFC ∠的度数.8.请把下面的证明过程补充完整:已知,如图,C 为BE 上一点,AB CD ,F 是AE 与CD 的交点,12,34∠=∠∠=∠.求证:AD BE .证明:∠AB CD (已知)∠4∠=_____________(__________________________)∠34∠=∠(已知)3∠=_____________(等量代换)∠12∠=∠(已知)∠12CAF CAF ∠+∠=∠+∠(等式的性质)即BAF ∠=_____________∠3∠=_____________(等量代换)∠AD BE (__________________________)9.如图,已知∠AMB =∠GNB ,∠CEA =∠FGB .(1)求证:AB CD ∥;(2)若∠ABD =∠D +40°,求∠D 的度数.10. 如图,已知:12180∠+∠=︒,3B ∠=∠,试判断AED ∠与C ∠的关系,并说明理由.解:AED C ∠=∠.理由:∠1180ADG ∠+∠=︒(平角定义),12180∠+∠=︒(已知).∠2ADG ∠=∠(______)∠EF //AB (______)∠3ADE ∠=∠(______)∠3B ∠=∠(已知)∠B ADE ∠=∠(等量代换)∠DE //BC (同位角相等两直线平行)∠AED C ∠=∠(______)11.如图,∠A=∠ADE ,∠EDC =3∠C .求∠C 的度数.12.如图,//CD AB ,70DCB ∠=︒,20CBF ∠=︒,130EFB ∠=︒,求证://EF AB .13.在四边形ABCD 中,CF BD ⊥于点F ,过点A 作AG BD ⊥,分别交BD ,BC 于点E ,G ,若DAG BCF ∠=∠,AD 与BC 平行吗?为什么?14.请将下列证明过程补充完整:已知:如图,点E 在线段BC 上,点G 在线段AC 上,CD AB ⊥于点D ,EF AB ⊥于点F ,连接DG ,180B BDG ∠+∠=︒.求证:12∠=∠.证明:∠CD AB ⊥于D ,EF AB ⊥于F (已知),∠____∠____(在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行),∠13∠=∠(________________),∠180B BDG ∠+∠=︒(已知),∠//BC DG (______________),∠23∠∠=(______________),15.如图.三角形ABE ,1234AB CD ∠=∠∠=∠∥,,.求证:AD BE ∥.解:AB CD ∥∴____________BAE =∠( )12BAE CAE CAD CAE ∠=∠+∠∠=∠+∠,又12∠=∠∴____________=____________4∴∠=____________又34∠∠=∴____________=____________AD BE ∴∥( )16.如图,直线AB 与CD ,AE 与FD 均被直线BC 所截,已知12∠=∠.(1)求证:AE DF .(2)若A D ∠=∠,30B ∠=︒,求C ∠的度数.17.如图,已知AD BC ⊥于点D ,EF BC ⊥于点F ,3C ∠=∠.试说明:12∠=∠.(请在下面的解答中,填上适当的理由或数学式). 解:∠3C ∠=∠,∠GD AC ∥( ),∠24∠∠=( ).∠AD BC ⊥,EF BC ⊥,∠AD EF ∥( ),∠4∠=∠ ,∠12∠=∠( ).18.如图,已知CE 平分BCD ∠,2BCD E ∠=∠,180DAE CBF ∠+∠=︒.(1)CD 与EF 是否平行,请说明理由.(2)若DF 平分ADC ∠,求DOC ∠的度数.19.如图,A D ∠=∠,BE 平分∠ABC ,交AD 于点.CF 平分∠BCD ,交AD 于点F ,试说明AEB DFC =∠∠.20.如图所示.AB BF ⊥于点B ,CD BF ⊥于点D ,12∠=∠,证明:3E ∠=∠.证明:∠AB BF ⊥,CD BF ⊥(已知), ∠ABD ∠=∠______90=︒. ∠AB CD ∥(______). ∠12∠=∠. ∠AB ∥______(内错角相等,两直线平行) ∠CD ∥______(______). ∠3E ∠=∠(______).。
321DCB A 321EDCBA证明题专项1如图,已知A B ∥CD, ∠1=∠3, 试说明AC ∥BD.2、如图,已知CD ⊥AD ,DA ⊥AB ,∠1=∠2。
则DF 与AE 平行吗?为什么?3、如图,AB ∥CD,AD ∥BC,∠A=3∠B.求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数.4、如图,AB ∥CD,直线EF 交AB 、CD 于点G 、H.如果GM 平分∠BGF,HN 平分∠CHE ,那么,GM 与HN 平行吗?为什么?5、已知,如图15,∠ACB =600,∠ABC =500,BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ,EF 是经过点O 且平行于BC 的直线,求∠BOC 的度数。
6、已知:如图AB∥CD,EF交AB 于G ,交CD 于F ,FH 平分∠EFD ,交AB 于H ,∠AGE=500 求:∠BHF 的度数。
7、如图,直线AB 、CD 相交于点O ,OA 平分∠COE ,∠COE :∠EOD=4:5,求∠BOD 的度数。
8、已知一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90°,则这个角的度数等于多少度?9、如图:已知A D ∥BE, ∠1=∠2, 请说明∠A=∠E 的理由.10、已知,如图,BCE 、AFE 是直线,AB ∥CD ,∠1=∠2,∠3=∠4。
求证:AD ∥BE 。
EFA BC D12HGF E DCBADCBAB CDEFGHMNF OEC BA图15AD BCEF12 3411、已知如图,直线AB、CD相交于O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠2∶∠1=4∶1,求∠AOF的度数。
12、已知:如图∠1=∠2,∠C=∠D,∠A=∠F相等吗?试说明理由13、已知:如图,DE⊥AO于E,BO⊥AO,FC⊥AB于C,∠1=∠2,求证:DO⊥AB.14、如图,已知AB、CD、EF相交于点O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=28°,求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数.15、如图,AOC∠与BOC∠是邻补角,OD、OE分别是AOC∠与BOC∠的平分线,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.16、如图,AB∥DE,试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系.17、如图,已知∠1=∠2求证:a∥b.⑵直线//a b,求证:12∠=∠.18、如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,试说明EP∥FQ.19、如图,已知ABC∆,AD BC⊥于D,E为AB上一点,EF BC⊥于F,//DG BA交CA于G.求证12∠=∠.21 O EDC BAFH G21FEDCBAB D E 13A CF2 C ABOF E 20、如图,OE,OF 分别是∠AOC 与∠BOC 的平分线,且OE ⊥OF,求证:A,O,B•三点在同一直线上.21如图:已知∠A =∠F ,∠C =∠D ,求证:BD ∥CE 。
平行线的证明例1.如图,BD是∠ABC的平分线,ED∥BC,∠FED=∠BDE,则EF也是∠AED的平分线。
例2.如图,依据图形找出能使AD∥BC成立的题设。
例3.已知:如图,BE∥DF,∠B=∠D。
求证:AD∥BC。
例4.如图,直线AB∥CD∥EF,判断∠α、∠β、∠γ的关系,并说明理由.例5.如图①是长方形纸带,将纸带沿EF折叠成图②,再沿BF折叠成图③.(1)若∠DEF=200,则图③中∠CFE度数是多少?(2)若∠DEF=α,把图③中∠CFE用α表示.课堂练习:1.如图,PO ⊥OR ,OQ ⊥PR ,则点P 到OQ 所在直线的距离是线段( )的长.A.POB.ROC.OQD.PQ2.如图,能与∠α构成同旁内角的角有( )A.1个B.2个C.5个D.4个3.如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的4倍少30º,那么这两个角是( )A .42º、138ºB .都是10ºC .42º、138º或42º、10ºD . 以上都不对4.若三条直线两两相交于同一点,对顶角有m 对,交于不同三点时,对顶角有n 对,则m 与n 的关系是( )A.n m =B.n m >C.n m <D.10=+n m 5.下列语句是命题的个数为( )①画∠AOB 的平分线; ②直角都相等; ③同旁内角互补吗? ④若│a │=3,则a=3. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 6.下列5个命题,其中真命题的个数为( )①两个锐角之和一定是钝角; ②直角小于夹角; ③同位角相等,两直线平行; • ④内错角互补,两直线平行; ⑤如果a<b ,b<c ,那么a<c. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 7.下列命题: ①两个连续整数的乘积是偶数;②带有负号的数是负数; ③乘积是1的两个数互为倒数;④绝对值相等的两个数互为相反数. 其中假命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.下列说法正确的是( )A.互补的两个角是邻补角B.两直线平行,同旁内角相等 C .“同旁内角互补”不是命题 D .“相等的两个角是对顶角”是假命题 9.下列命题中,正确的是( )A .在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行;B .相等的角是对顶角;C .两条直线被第三条直线所截,同位角相等;D .和为180°的两个角叫做邻补角.10.如图,∠1、∠2是直线 、 被第三条直线 所截成的 角。
七年级数学平行线经典证明题
经典平行线经典证明题
一、选择题:
1.如图,能与∠α构成同旁内角的角有( ) A . 5个 B .4个
C . 3个
D . 2
个
α
2.如图,AB ∥CD ,直线MN 与AB 、CD 分别交于点E
和点F ,GE ⊥MN ,∠1=130°,则∠2等于 ( ) A .50° B .40° C .30°
D .65°
3.如图,DE ∥AB ,∠CAE=31∠CAB ,∠CDE=75°,∠B=65°则∠AEB 是 ( ) A .70° B .65° C .60°
D .55°
4.如图,如果AB ∥CD ,则α∠、β∠、γ∠之间的关系是( )
A 、0
180=∠+∠+∠γβα B 、0
180=∠+∠-∠γβα
C 、0
180=∠-∠+∠γβα D 、0
270=∠+∠+∠γβα
5.如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( )
A.180°
B.360°
C.540°
D.720°
6.如图,OP∥QR∥ST,则下列各式中正确的是()
A、∠1+∠2+∠3=180°
B、∠1+∠2-∠3=90°
C、∠1-∠2+∠3=90°
D、∠2+∠3-∠1=180°
7.如图,AB∥DE,那么∠BCD于()
A、∠2-∠1
B、∠1+∠2
C、180°+∠1-∠2
D、180°+∠2-2∠1
二、填空题:
8.把一副三角板按如图方式放置,则两条斜边所形成的钝角α=_______度.
45°
α
30°
9.求图中未知角的度数,X=_______,y=_______.
10.如图,AB∥CD,AF平分∠CAB,CF平分∠ACD.(1)∠B+∠E+∠D=________;(2)∠AFC=________.
17.已知:如图23,AD平分∠BAC,点F在BD上,FE∥AD交AB于G,交CA的延长线于E,
求证:∠AGE=∠E。
18. 如图,AB∥DE,∠1=∠ACB,∠CAB=
1∠BAD,试说
2
明:AD∥BC.
19.已知:如图22,CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°,求证:DA⊥AB.
20.如图,已知∠D = 90°,∠1 = ∠2,EF⊥CD,问:∠B与∠AEF是否相等?若相等,请说明理由。
21.如图,已知:E、F分别是AB和CD上的点,DE、
AF分别交BC于G、H,∠A=∠D,∠1=∠2,
求证:∠B=∠C.
22.已知:如图8,AB∥CD,求证:∠BED=∠B-∠D。
23.已知:∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.求证:AD∥BC.
24.如图,直线l与m相交于点C,∠C=∠β,AP、BP 交于点P,且∠PAC=∠α,∠PBC=∠γ,
求证:∠APB=α+∠β+∠γ.
25.如图所示,已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠C的关系,•请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.
26.如图①是长方形纸带,将纸带沿EF折叠成图②,再沿BF折叠成图③.
(1)若∠DEF=200,则图③中∠CFE度数是
多少?
(2)若∠DEF=α,把图③中∠CFE 用α表示.
27、 如图,已知:∠AOE +∠BEF =180°,∠AOE +∠CDE =180°,
求证:CD ∥BE 。
28、 已知:如图:∠AHF +∠FMD =180°,GH 平分∠AHM ,MN 平分∠DMH 。
求证:GH ∥MN 。
A E
B F
C D
图
A E
B F C
D 图A
E B
F C D 图
29、 如图11,直线AB 、CD 被EF 所截,∠1 =∠2,∠CNF =∠BME。
求证:AB∥CD,MP∥NQ.
F
2 A B
C D
Q E
1 P
M N 图11。