山东科技大学概率论试题

习 题 一1.写出下列随机试验的样本空间：（1）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. （2）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果. 1.（1）{}10,11,;S = （2）{}1),(22<+=y x y x S ，（3）{}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S .其中0表示次品，1表示正品.2.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面.” B =“至少有一次出现正面.”C =“两次出现同一面.”2.【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反 3.设C B A ,,为三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生，B 与C 不发生. （2）A 与B 都发生，而C 不发生. （3）C B A ,,中至少有一个发生. （4）C B A ,,都发生. （5）C B A ,,都不发生.（6）C B A ,,中不多于一个发生. （7）C B A ,,中不多于两个发生. （8）C B A ,,中至少有两个发生.3.【解】（1） A BC （2） AB C （3）A ∪B ∪C （4）ABC (5) C B A (6) C B C A B A ⋃⋃(7) A BC ∪A B C ∪AB C ∪AB C ∪A BC ∪A B C ∪ABC =ABC =A ∪B ∪C (8) AB C ∪A B C ∪A BC ∪ABC= AB ∪BC ∪CA .4.在某系的学生中任选一名学生.令事件A 表示“被选出者是男生”；事件B 表示“被选出者是三年级学生”；事件C 表示“被选出者是运动员”.（1）说出事件C AB 的含义；（2）什么时候有恒等式C C B A = ； （3）什么时候关系式B C ⊆正确； （4）什么时候等式B A =成立.4.(1)该生是三年级男生但不是运动员;(2)当某系的运动员全是三年级男生时;(3)当某系除三年级外其它年级的学生都不是运动员时;(4)当某系三年级的学生都是女生,而其它年级都没有女生时.5.盒中有10只晶体管. 令i A 表示“10只晶体管中恰有i 只次品”， B 表示“10只晶体管中不多于3只次品”， C 表示“10只晶体管中次品不少于4只”.问事件(0,1,2,3)i A i =，B ，C 之间哪些有包含关系？哪些互不相容？哪些互逆？5. ,0,1,2,3i A B i ⊂=；0123,,,,A A A A C 两两互不相容，B 与C 互不相容；B 与C 互逆。

山东科技大学2009—2010学年第 二 学期《概率论与数理统计》（A 卷）考试试卷班级班级 姓名姓名 学号学号一、填空题（每题5分，共15分）分） 1、设(),31=A P ()21=B A P ，且B A ,互不相容，则()_____________=B P .2、设()()4.0,10~,6,0~21b X U X ，且21,X X 相互独立，则=-)2(21X X D . 3、设nXX X ,,,21为总体),(~2s m N X 的一个样本，则~)(122å=-ni i X s m ____________.二、选择题（每题每题55分，共分，共151515分分）1、设总体)4,(~m N X ，n X X X ,,,21是来自总体X 的容量为n 的样本，则均值m 的置信水平为a -1的置信区间为（）的置信区间为（） （A ）)2(a z n X ±(B) )2(2a z n X ±(C) ))1((-±n t n S X a (D) ))1((2-±n t n S X a 2、设随机变量),2(~2s N X ，若3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P （）（）（A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.6 （D ）0.83、设921,,,X X X 相互独立，且)9,,2,1(,1)(,1)( ===i X D X E i i ，对于0>"e ，有（），有（）（A ）2911}|1{|-=-³<-åee i i X P （B ）2911}|9{|-=-³<-åe e i i X P（C ）29191}|1{|-=-³<-åee i i X P （D ）29191}|9{|-=-³<-åe e i i X P 三、解答下列各题（共（共424242分）分）1、（10分）某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法，分）某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法，97%97%97%的患者检验结果为阳性，的患者检验结果为阳性，的患者检验结果为阳性，95%95%的未患病者检验结果为阴性，设该病的发病率为0.4%.0.4%.（（1）求某人检验结果为阳性的概率；）求某人检验结果为阳性的概率； （2）现有某人检验结果为阳性，求其患病的概率）现有某人检验结果为阳性，求其患病的概率. .题号题号 一 二 三 四 五 总得分评卷人评卷人审核人审核人得分得分2、（12分）设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为îíì>>=+-其他,00,0,)()2(y x cex f y x ，求：（1）常数c ；（2）Y X ,是否相互独立；（3）)|(x y fXY ；（4）(1)P X Y +£.3、（10分）二维随机变量(,)X Y 有如下的概率分布有如下的概率分布YX-1 01 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0.0 0.1 30.00.30.1（1）求)(),(Y E X E ，)(),(Y D X D ；（2）XY r ；（3）设,)(2Y X Z -=求)(Z E . 4、（10分）设X 的概率密度+¥<<¥-+=x x x f ,)1(1)(2p ，求31x Y -=的概率密度的概率密度. .四、解答下列各题（共20分）分）1、（10分）已知随机变量X 的概率密度为îíì>=+-其他,0,)()1(Cx xC x f q qq ，其中0>C 为已知，为已知， 其中1>q 为未知参数，n X X X ,,,21 是取自总体X 的样本，求q 的矩估计量与最大似然估计量的矩估计量与最大似然估计量. . 2、（10分）某种内服药品有使病人血压增高的副作用，已知血压的增高服从均值为22的正态分布的正态分布..现研制这种新药品，测试了10名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下：名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下：1818，，2727，，2323，，1515，，1818，，1515，，1818，，2020，，1717，，8 问能否肯定新药的副作用小？)05.0(=a （附表：2622.2)9(025.0=t，8331.0)9(05.0=t，96.1025.0=z，65.105.0=z）五、证明题（8分）设n X X X ,,,21 是总体),(~2s m N X 的简单随机样本，样本方差的简单随机样本，样本方差,)(11212å=--=n i i X X n S 证明12)(42-=n S D s .。

山东科技大学2010—2011学年第一学期《概率论与数理统计》考试试卷（A 卷）一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）1、1.设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P 。

2、设D(X)=4, D(Y)=9, 0.4xy ρ=，则D(X+Y)= 。

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得{}22P X -≥≤ 。

4、设随机变量X 的期望()3E X =,方差()5D X =,则期望()24E X ⎡⎤+=⎣⎦。

5、设123,,X X X 是来自正态总体X ~(),1N μ的样本,则当a = 时,12311ˆ32X X aX μ=++是总体均值μ的无偏估计。

6、设n X X X ,,,21 为正态总体),(2σμN （2σ未知）的一个样本，则μ的置信 度为1α－的单侧置信区间的下限为 。

二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分）1、设随机变量的概率密度21()01qx x f x x -⎧>=⎨≤⎩，则q=（ ）。

(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/22、设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功的概率为（ ）.(A)r n r r n p p C ----)1(11;(B)r n r r n p p C --)1( ;(C)1111)1(+-----r n r r n p pC ;(D)r n r p p --)1(. 3、设)4,5.1(~N X ，则P{-2<x<4}=（ ）。

(A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.25434、设,X Y 相互独立，且211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，则Z X Y =-服从正态分布，且Z 服从( ).(A) 22112(,)N μσσ+ ； (B)22212(,)N μσσ⋅； (C)221212(,)N μμσσ-+； (D)221212(,)N μμσσ++。

习题七1. 已知总体X 的概率密度为(1),01,(,)0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其他. 其中1θ>-为未知参数,n X X X ,,,21 是来自总体X 的一组样本,试求θ的最大似然估计量. 解 构造似然函数11()(;)(1)()n nnjjj j L f x x θθθθ====+∏∏,故1ln ()ln(1)ln()ni j L n x θθθ==++∑， 令1ln ()ln 01nj j d L nx d θθθ==+=+∑， 所以θ的最大似然估计量为 1ˆ 1.ln njj nxθ==--∑2. 已知总体X 的概率密度为(1),,(,)0,C x x C f x θθθθ-+⎧>=⎨⎩其他. 其中0>C 为已知，1>θ为未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，试求θ的矩估计量与最大似然估计量. 解 (1)()()1cC E X xf x dx x C x dx θθθθθ∞∞-+-∞===-⎰⎰， 由1-=θθC X ,所以θ的矩估计量为CX X -=θˆ. 构造似然函数(1)1()njj L C xθθθθ-+==∏, 12,,,,n x x x C >1ln ()ln ln (1)ln ,nj j L n n c x θθθθ==+-+∑令方程1ln ()ln ln 0,nj j d L nn C x d θθθ==+-=∑ 所以θ的最大似然估计量为1ln ln njj nXn Cθ==-∑.3. 设总体X 服从参数为n ，p 的二项分布,n 为已知,p 为未知,),,,(21n X X X 是总体X 的一个样本,),,,(21n x x x 为其样本观察值,试求(1) 参数p 的矩估计量和最大似然估计量; (2) p 与()1p -之比的矩估计值.解 (1)()E X np =，令()1,E X A X ==所以p 的矩估计量为ˆ.Xp n=构造似然函数()()11,jj jnn x xx n j L p C pp -==-∏取对数()()()1ln ln ln ln 1,j nx nj j j L p Cx p n x p =⎡⎤=++--⎣⎦∑ ()()111ln ln ln 1,j nnnx nj j j j j Cp x p n x ====++--∑∑∑令()()11ln 110,1n n j j j j d L p x n x dp p p ===--=-∑∑ 所以p 最大似然估计量ˆ.Xpn= (2) 1p p -的矩估计值为.1XXn X n Xn=--4. 设总体X 的概率密度为1(1)(1),01,(,)0,x x x f x θθθθ-⎧+-<<=⎨⎩其它.其中0>θ为未知参数,),,,(21n X X X 是总体X 的一个样本,试求(1) 参数θ的矩估计量;(2) 当样本观察值为（43.0,35.0,5.0,6.0,4.0,2.0）时,求未知参数θ的矩估计量; (3) 未知参数θ的最大似然估计量. 解 (1) ()()110(1)(1)E X xf x dx x x x dx θθθ+∞--∞==+-⎰⎰()11111120001(1)(1)2x dx x dx x x θθθθθθθθθθθθ++++=+-+=-+⎰⎰()122θθθθθθ+=-=++，令()1,E X A X ==所以θ的矩估计量为2ˆ.1XXθ=- (2) 0.20.40.60.50.350.43 1.2463X +++++==所以θ的矩估计量为 1.2423ˆ 1.409.1.2413θ⨯==-(3)构造似然函数()11(1)(1),nj j j L x x θθθθ-==+-∏取对数 ()()()()1ln ln ln 11ln ln 1njj j L xx θθθθ=⎡⎤=+++-+-⎣⎦∑()()()11ln ln 11ln ln 1,n njjj j n n x x θθθ===+++-+-∑∑令()1ln ln 0,1nj j d L n n x d θθθθ==++=+∑得()1211ln ,1n j j x c n θθθ=+=-=+∑ 即()()2224210,2c c c c cθθθ-±++--==由于0θ>所以θ的最大似然估计量为()21241ln .2nj j c c c x cn θ=-+==-∑5. 设总体X 的分布律为2}1{θ==X p ，)1(2}2{θθ-==X p ，2)1(}3{θ-==X p其中θ,)10(<<θ为未知参数,已知取得了样本值11=x ,22=x ,13=x ，试求未知参数θ的矩估计值和最大似然估计值.解 ()2222(1)3(1)32,E X θθθθθ=+⨯-+⨯-=-令()132,E X A X θ===-所以θ的矩估计量为3ˆ,2X θ-=又因为1214,33X ++== 所以4353ˆ.26θ-== 构造似然函数()()()()()()()32251,1,2,1,2121,j j L f x f f f θθθθθθθθθθθ====-=-∏取对数 ()()ln 25ln ln 1,L θθθ=+-⎡⎤⎣⎦ 令()ln 5120,1d L d θθθθ⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭所以θ的最大似然估计量为5.6θ= 6. 设),(321X X X 是总体X 的一个样本,试证统计量3211525152X X X T ++=, 3212213161X X X T ++= , 321314914371X X X T ++= 都是总体X 的均值()E X 的无偏估计量,并指出那一个统计量的估计最有效.解 ()()()()()()1123123212212212.555555555E T E X X X E X E X E X E X E X ⎛⎫⎛⎫=++=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同理 ()()()2123111111.632632E T E X X X E X E X ⎛⎫⎛⎫=++=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()3123139139.7141471414E T E X X X E X E X ⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以123T T T ，，都是无偏估计量.()()()()()()()12341491447,,.252525253698D T D X D X D T D X D T D X ⎛⎫=++=== ⎪⎝⎭因为()()()()1213,,D T D T D T D T <<所以1T 最有效.7. 设总体2~(,)X N μσ,),,,(21n X X X 是总体X 的一个样本,如果参数μ为已知,试证统计量∑=-=nj j X n 122)(1ˆμσ是总体方差2σ的无偏估计量. 解 2222221111111ˆ()22,n n nn j j j j j j j j X X u X nu X u X u n n n σμ====⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ 又因为()()()()2222,,j j jE X D X EX u E X u σ=+=+=所以()()22222221111ˆ22.n n j j j E E X u X u u uu u n n σσσ==⎛⎫=-+=+-+= ⎪⎝⎭∑∑ 所以统计量∑=-=nj j X n 122)(1ˆμσ是总体方差2σ的无偏估计量. 8. 设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的一个样本,记∑==ni i X n X 11，212)(11X X n S n i i --=∑=,221S nX U -=,证明：U 是2μ的无偏估计量. 证 )1()()1()(2222S nE X E S n X E U E -=-= 221()[()]()D X E X E S n=+-22221μσμσ=-+=nn ， 所以U 是2μ的无偏估计量。

山东科技大学2019—2020学年第二学期《概率论与数理统计》考试试卷（A 卷）班级 姓名 学号一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知()0.3P A =，()0.6P B =，A 与B 互不相容，则()P A B =（）A. 0.9B. 0.66C. 0.18D. 0.24 2. 随机变量(4,0.25)X b ，41Y X =-， 则()E Y =（）。

A. 0.6B. - 0.6C.3D. 43. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为和()X F x 和()Y F y ，则min(,)Z X Y =的分布函数为( )。

A. ()()X Y F z F zB. 1()()X Y F z F z -C. [1()][1()]X Y F z F z --D. 1[1()][1()]X Y F z F z --- 4. 设总体2(,)XN μσ，12,,,n X X X 是一个样本, 下列哪项不是μ的无偏估计( ).A.XB.1231122X X X ++ C. 121122X X + D. 123111263X X X ++ 5. 在假设检验中，如果待检验的原假设为0H ，那么犯第二类错误是指（ ）A. 0H 成立，接受0HB. 0H 成立，拒绝0HC. 0H 不成立，接受0HD. 0H 不成立，拒绝0H二、填空题（每题5分，共15分）1. 掷一枚硬币，重复掷4次，则恰有3次出现正面的概率为 .2. 已知()0.6P A B =，()0.3P B =，则P (AB )= .3. 设ξ在)6,1(上服从均匀分布，则方程012=++x x ξ有实根的概率是 .4.设随机变量Y X 与相互独立，且)1,2(~N X ，~(3)Y π(参数为3的泊松分布),则(235)D X Y --= .5. 设随机变量X 满足，()E X μ=，2()D X σ=，则由切比雪夫不等式得{}3P X u σ-≥≤______________.三、计算题（共35分）1. (15分) 工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知甲、乙、丙三个车间的产量分别占总产量的25％，25％ ，50% , 每个车间的次品率分别为5%, 3%，2%. 现从全厂产品中任取一件产品，（1）求取到的为次品的概率；（2）已知取到的产品为次品，求该次品来自甲车间的概率.2.(10分)设连续型随机变量X 的概率密度为3,01,()0,.cx x f x ⎧<<=⎨⎩其他（1）确定常数c ；（2）求随机变量X 的分布函数()F x ； （3）求概率112P X ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 3. (10分) 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为：21,01,02(,)30,x xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求(1)求X 和Y 的边缘概率密度()X f x 和()Y f y ；(2)判断X 与Y 是否相互独立．四、综合题（共35分）1、（20分）已知总体X 的概率密度函数为(1),1,(,)0,.x x f x θθθ-+⎧>=⎨⎩其他，1θ>为未知参数，n X X X ,,,21 是总体X 的简单随机样本，求未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量.2.（15分） 某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为X （%）：3.25， 3.27 ， 3.24 ， 3.26，3.24 ，设测定值服从正态分布，问能否认为在显著性水平0.01α=下，这批矿砂的镍含量为 3.25？ （附表：0.0050.0050.010.01(5)=4.0322, (4)=4.6041, (5)=3.3649,(4)=3.7469,t t t t ）。

一、（20分）在一天中进入某超市的顾客人数ξ服从参数为λ的泊松分布，而进入超市的每一个人以概率p 购买1件商品，以概率1A p -不购买商品，假设顾客是否购买商品是相互独立的，记A A η为一天中顾客在该超市购买商品的件数。

A 1、求η的概率分布；2、求条件概率{|}p l k ξη==，其中为非负整数； ,k l 二、（20分）设随机向量(,ξηy )的联合密度函数为,01,1(,)0,Axy x x f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它 1、求常数；A 2、求,ξη的边缘密度函数，,ξη是否独立？为什么？ 3、求概率(1/2P )η<及概率(P 1)ξη+=的值； 11(|22P ηξ)<= 4、求条件概率),(ηξ三、（20分）设二维随机变量的联合分布函数为(1)(1),0,0(,)0x y e e if x y F x y else αβ--⎧-->=⎨⎩>其中0,0αβ>> 与η1、问ξ是否独立？为什么？ 2、 求),(ηξ的联合密度函数；(2)E ξη+、()E ξη及协方差cov(,)ξηξη-+3、 求数学期望；4、 若0αβ=>，试证明ξη+与/ξη独立。

四、（14分）假设(,)X Y 服从二元正态分布221(0,2;3,4;2N -，Z X Y =+//321、求数学期望，方差；EZ DZX 与Z 2、问是否相关？是否独立？为什么？服从参数为n p }{五、（16分）1、随机变量序列n ξn ξ相互独立，的贝努利分布，其中01n p <<，证明}{n ξ服从大数定律，即对任意0ε>有11{|()|)i i P p n ξ}0,(εni =n ->→→∞∑。

2、设随机变量n ξξξ,,,21 ,(2)=0.9775,Φ相互独立，且均服从均匀分布六、（20分）1、设(0.05,0.05)U -（注：(1)0.8Φ=，试利用中心极限定理求1i i = 的近似值。

概率论与数理统计》考试试卷班级姓名学号一、填空题（每题5分，共20分）1．设 A、B、C是三个随机事件。

试用 A、B、C分别表示事件：A、B、C 至少有一个发生2．设两事件相互独立，且已知，，则3．设~,则=.4．设相互独立,期望分别为9，10，12，方差分别为2，1，4，则,.二、选择题（每题5分，共20分）1．设事件A、B满足=1，则（）（A）A是必然事件（B）（C）B（D）2．设服从的泊松分布，则的数学期望和方差分别为（）。

（A）（B）（C）（D）3．如果估计量满足（），我们称是的一个无偏的估计量。

（A）（B）（C）（D）4．根据一个具体的样本求出的总体均值95%的置信区间（）。

（A）以95%的概率包含总体均值（B）. 有5%的可能性包含总体均值（C）一定包含总体均值（D）可能包含也可能不包含总体均值三、计算题（15分）设离散型随机变量的概率分布为求（1）；（2）分布函数；（3）四、（20分）设某种清漆的9个样品，其干燥时间分别为6.0 5.7 5.8 6.57.0 6.3 5.6 6.1 5.0设干燥时间总体服从正态分布，求的置信度为0.95的置信区间。

（1）若由以往经验知=0.6（小时）（2）若为未知。

（注：，=2.3060）五、（15分）.一种罐装饮料采用自动生产线生产，每罐的容量是255ml，标准差为3ml，为检验每罐容量是否符合要求，质检人员在某天生产的饮料中随机抽取了36罐进行检验，测得每罐平均容量为255.8ml。

取显著性水平，检验该天生产的饮料容量是否符合标准要求。

（注：）六、（10分）已知，，求下列情况下的概率：（1）当A、B互不相容时，求，（2）当时，求（3）当A、B相互独立时，求，。

山东科技大学2014—2015学年第二学期《 概率论与数理统计》考试试卷（B 卷）班级 姓名 学号一、填空题（每题5分，共15分）1、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，()______P A B ⋃=.2、设X ~2(,)N μσ，Y ~(0,1)N ,X 与Y 相互独立，则2~Y X -________ .3、设随机变量X 满足(),()5E X D X μ==，则{3}P X μ-<≥ . 二、单项选择题（每题5分，共15分）1、设总体)4,(~μN X ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的容量为n 的样本，则均值μ的置信水平为α-1的置信区间为（ ）. （A ）)2(αz nX ±; (B) )2(2αz nX ±;(C) ))1((-±n t nS X α; (D) ))1((2-±n t nS X α.2、设,X Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别是()(),X Y F x F y ，则{}min ,Z X Y =的分布函数是( ).()()() Z X A F z F z =； ()()()() 111Z X Y B F z F z F z =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；()()()() Z X Y C F z F z F z =； ()()() Z Y D F z F z =.3、在假设检验中，显著性水平α的意义是( ) .)(A 原假设0H 成立，经检验被拒绝的概率；)(B 原假设0H 成立，经检验被接受的概率；)(C 原假设0H 不成立，经检验被拒绝的概率；)(D 原假设0H 不成立，经检验被接受的概率.三、解答题（第3题25分，其他每题10分，共45分）1、保险公司认为人可以分为两类，一类为容易出事故者，另一类则为安全者。

他们的统计表明，一个易出事故者在一年内发生事故的概率为0.4，而安全者，这个概率则减少为0.2，若假定第一类人占人口的比例为30%，现有一个新的投保人来投保，问该人在购买保单后一年内将出事故的概率有多大？假设一个新的投保人在购买保单后一年内出了事故，问他是容易发生事故者的概率是多大?2、设(,)X Y 的概率密度为 000 , (),,(,)x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它.(1) 试求边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(2) 求概率{}(,)P x y G ∈，其中区域G 由x 轴,y 轴以及直线1=+y x 所围成. 3、文具盒里有3只蓝色钢笔，2只红色钢笔和3只绿色钢笔。

<概率论>试题一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。

试用 A 、B 、C 分别表示事件1）A 、B 、C 至少有一个发生2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。

则P(B)A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为_________10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥=12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<=13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<=14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。

山东科技大学2011—2012学年第一学期《概率论与数理统计》考试试卷（A 卷）一、计算题（共18分）1、(6分)设随机事件B A ,及B A ⋃的概率分别为q p ,及r ，计算 （1）)(AB P (2) )(B A P2、（6分）甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.5和0.4，现已知目标被击中，则它是乙射中的概率是多少？3、（6分）甲, 乙两部机器制造大量的同一种机器零件, 根据长期资料总结, 甲机器制造出的零件废品率为1%, 乙机器制造出的废品率为2%, 甲机器生产的零件是乙机器生产的两倍，今从该批零件中任意取出一件, 经检查恰好是废品, 试由此检查结果计算这批零件为甲机器制造的概率。

二、解答题（共64分）1、（8分）设连续性随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<-=其他,021,)(2x Kx x f ，计算（1）求常数K 的值； （2）求随机变量X 的分布函数； （3）计算)10(<<X P 。

2、（10分）二维随机变量),(Y X 的联合密度函数⎩⎨⎧>>=+-其他,00,0,),()23(y x Ke y x f y x ，求（1）常数K ； （2）Y X ,的边缘密度函数； （3）计算)(Y X P ≤。

3、（10分）设二维随机变量),(ηξ的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它11),(22y x y x p π问ξ与η是否独立？是否不相关？4、（8分）设X 与Y 独立同分布，且2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它求Z X Y =+的概率密度。

5、（10分）用两种工艺生产的某种电子元件的抗击穿强度X Y 和为随机变量，分布分别为211(,)N μσ和222(,)N μσ（单位：V ）.某日分别抽取9只和6只样品，测得抗击穿强度数据分别为19,,x x 和16,,,y y 并算得99211370.80,15280.17,ii i i xx ====∑∑66211204.60,6978.93.ii i i yy ====∑∑（1） 检验X Y 和的方差有无明显差异（取0.05α=）. （2） 利用(1)的结果，求12μμ-的置信度为0.95的置信区间. 6、（10分）设是取自总体X 的一个样本，其中X 服从参数为的泊松分布，其中未知，，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值求的矩估计值与最大似然估计值。

山东科技大学2019—2020学年第二学期《概率论与数理统计》在线考试试卷（B 卷）班级 姓名 学号一、 填空题（每小题5分，共15分）1. 设111(),(|),(|)222P A P B A P A B ===，那么()P A B = 3/4 。

2. 若二维随机变量（X,Y ）的概率密度函数在以原点为圆心的单位圆内是1/π，其它区域都是0，那么2214P X Y ⎧⎫+<=⎨⎬⎩⎭1/4 。

3. 掷2枚骰子，记所得点数之和为X ，则()E X = 7 。

二、选择题（每小题5分，共15分）1. 设事件A 、B 互斥，且()0,()0P A P B >>，则下列式子成立的是（ D ） （A ）(|)()P A B P A = （B ）(|)0P B A > （C ）(|)()P A B P B = （D ）(|)0P B A =2. 设X ，Y ，Z 独立同分布且方差存在，记U = X +Y , V =Y +Z ，则UV ρ=（ C ） （A ）1 （B ）3/4 （C ）1/2 （D ）1/43. 若总体2(,)XN μσ，其中μ和0σ>均未知。

123,,X X X 是来自这一总体的一个样本，则非统计量的是 ( C )（A ） 13max(,)X X （B ）12min(,)X X ，（C ）123X X X μ+++σ， （D ）232X X + 三、解答题（每题10分，共70分）1. 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级8人，三级7人，四级1人。

已知一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9, 0.7, 0.5, 0.2。

求：（1）任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率；（2）对于任选的一名通过选拔进入比赛的射手，求这名射手是一级射手的概率。

解：设事件A 为能通过选拔进入比赛，事件i B 为任选的这名选手是第i 级选手，则由全概率公式和贝叶斯公式，得414871()()(|)0.90.70.50.20.645,20202020i i i P A P B P A B ===⋅+⋅+⋅+⋅=∑ 1111()()(|)0.18(|)0.279.()()0.645P B A P B P A B P B A P A P A ====2. 若X 在区间(1,6)上服从均匀分布，求方程210t Xt ++=有实数根的概率。

一、（20分）在一天中进入某超市的顾客人数ξ服从参数为λ的泊松分布，而进入超市的每一个人以概率p 购买1件商品，以概率1A p -不购买商品，假设顾客是否购买商品是相互独立的，记A A η为一天中顾客在该超市购买商品的件数。

A 1、求η的概率分布；2、求条件概率{|}p l k ξη==，其中为非负整数；,k l 二、（20分）设随机向量(,ξηy )的联合密度函数为,01,1(,)0,Axy x x f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它 1、求常数；A 2、求,ξη的边缘密度函数，,ξη是否独立？为什么？3、求概率(1/2P )η<及概率(P 1)ξη+=的值；11(|22P ηξ)<= 4、求条件概率),(ηξ三、（20分）设二维随机变量的联合分布函数为(1)(1),0,0(,)0x y e e if x y F x y else αβ--⎧-->=⎨⎩>其中0,0αβ>> 与η1、问ξ是否独立？为什么？2、 求),(ηξ的联合密度函数；(2)E ξη+、()E ξη及协方差cov(,)ξηξη-+3、 求数学期望；4、 若0αβ=>，试证明ξη+与/ξη独立。

四、（14分）假设(,)X Y 服从二元正态分布221(0,2;3,4;2N -，Z X Y =+//321、求数学期望，方差；EZ DZX 与Z 2、问是否相关？是否独立？为什么？服从参数为n p }{五、（16分）1、随机变量序列n ξn ξ相互独立，的贝努利分布，其中01n p <<，证明}{n ξ服从大数定律，即对任意0ε>有11{|()|)i i P p n ξ}0,(εni =n ->→→∞∑。

2、设随机变量n ξξξ,,,21 ,(2)=0.9775,Φ相互独立，且均服从均匀分布六、（20分）1、设(0.05,0.05)U -（注：(1)0.8Φ=，试利用中心极限定理求1i i = 的近似值。

习题八1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.1082).现在测了5炉铁水，其含碳量（%）分别为4.28 4.40 4.42 4.35 4.37问若总体标准差不改变，总体均值有无显著性变化（α=0.05）?1.【解】0010/20.0250.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.1084.364,(4.364 4.55)3.851,0.108.H Hn Z ZxxZZZαμμμμασ==≠=======-===->所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化.2. 某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取三十六名考生的成绩，算得平均成绩为65.5分，标准差为15分.问在显著性水平10.0=α下，能否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？2.解：按题意需检验01Hμ==70Hμ=7000：，：因为总体2X~Nμ,且15，故，选取检验统计量XZ=，从而拒绝域为z 1.α/20.05z=z=65又由已知可得x66.5n=36=，故有，|.70||z| 1. 1.15/36|x-μ|655865σ/n所以，在显著水平0.=1下，不可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差s2=0.1(g2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.3.设0010/20.02520.025: 1.1;: 1.1.36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,6 1.7456,1.7456(35)2.0301.H Hn t n t nx sxtttαμμμμα==≠===-=========<=所以接受H0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4. 试用第一节假设检验的基本思想. 方法和步骤验证定理1. 2. 3的第一条结论.5. 类似地用第一节单边假设检验的思想. 方法和步骤验证定理1. 2. 3的结论2、3条.6. 某种内服药品有使病人血压增高的副作用，已知血压的增高服从均值为22的正态分布.现研制这种新药品，测试了10名服用新药病人的血压，记录血压增高的数据如下：18，27，23，15，18，15，18，20，17，8问能否肯定新药的副作用小？（05.0=α）6.解： 根据题意需检验::2222，01H H 因为2XN(μ,σ)，且σ未知所以，选择检验统计量X T = 则拒绝域为：.005t-t(9)=-t (9)=-1.8331 又由已知可计算得.179x，s .5043所以，..x -μt ===-256-18331 拒绝0H ，即认为新药的副作用小。