数学分析-1样题(一)
一. (8分)用数列极限的N ε-
定义证明1n =.
二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a
g x b →=;
(2) 0()x U a ∀∈,有0
()()g x U b ∈ (3) 用ε三
(n x n n
=
++
⋅+四()f x x
=
在五六七八九. )b ,使
(f ''数学分析-1样题(二)
一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常
数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.
二. (10分)设0
lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0
11
lim
()x x f x b
→=.
三. (10分)设0n a >,且1
lim
1n
n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞
=.
四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且
lim ()x a f x +
→,lim ()x b
f x -
→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.
六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2
[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七.
八. ,都有
f 九.
一.(各1. x ⎰3.
ln 0
⎰
二.(10三. (10四. (15分)证明函数级数
(1)n x x
=-在不一致收敛, 在[0,](其中)一致收敛.
五. (10分)将函数,0
(),0x x f x x x ππππ
+ ≤≤⎧=⎨
- <≤⎩展成傅立叶级数.
六. (10分)设22
22
0(,)0,0
xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩
证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;
(3) (,)f x y 在(0,0)可微.
七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板? 八. (15分)设01σ<<, 证明
111
(1)
n n n σ
σ∞
=<+∑.
一1.
3.
二1. 三0,有
b
a
⎰
四11n f x n ⎪
⎪
0 , <≤⎪⎩
证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数
0(1)n
n n x ∞
=+∑的和函数.
六. (10分)用εδ-定义证明
2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.
七. (12分)求函数2
2
(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.
八. (13分)设正项级数1
n
n a
∞
=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞
=.
数学分析-3样题(一)
一 二 (10 n x 的最大值三 (14()f x =四 (10五 (14六 (10七 (10八 (12分) 求
22
C
xdy ydx
x y -+⎰
，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.
九 (10分) 求dS z ∑
⎰⎰，其中∑是球面2222
x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部.
数学分析-3样题(二)
一 (10分) 求曲面2
2
3
3
, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面
二 (10三 (141
(f +∞
⎰
四 (12五 (12六 (10A .
七 (10，
f 八 (10分) 应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数. 九 (12分) 计算 S
xyz dx dy ⎰⎰，其中S 是球面2
221x
y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面
外侧.
