材料力学课件全套2 已打教材

(2)计算扭矩 (3) 扭矩图
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
MB
MC
MD
MA
T3 M A 1432N m
Tmax 1432N m
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同，轴所承 受的最大扭矩也 不同。
B
C
D
A
T3
MA
A
318N.m
795N.m
1432N.m
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
三、切应变 剪切胡克定律
在切应力的作用下，单 元体的直角将发生微小的
G
τ
改变，这个改变量
应变。
称为切
G
—
剪切弹性模量(GN/m2)
当切应力不超过材料 的剪切比例极限时，切应
变与切应力τ成正比，这
各向同性材料， 三个弹性常数之间的 关系：
个关系称为剪切胡克定律。 G E
2(1 )
§3.4 圆轴扭转时的应力
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
max
T Wt
在圆截面边缘上， 有最大切应力
§3.4 圆轴扭转时的应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
§3.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
§3.4 圆轴扭转时的应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
§3.4 圆轴扭转时的应力
Me
pq
Me
_扭转角（rad）
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
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d _ dx微段两截面的
x
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
§3.4 圆轴扭转时的应力
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
实心轴和空心轴横截面面积为
A1
D12
4
(0.0531)2
4
22.2104 m2
A2
4
(D2
d2)
4
[(90 103 )2
(85103)2 ]
6.87 104 m2
在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面 积之比。
A2 A1
6.87 104 22.2 104
0.31
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31% 。
R
p
b′ q
dx
R dx
d
d
距圆心为的圆周上e点的错动距离：
距圆心为处的切应变：
d —扭转角 沿x轴的变化率。
d
dx
dx
cc' d dx
也发生在垂直于 半径的平面内。
§3.4 圆轴扭转时的应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
距圆心为 处的切应力：
横截面上任意点的切应力
G
G
G
d
dx
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
例题3.1 传动轴,已知转速 n=300r/min,主动轮A输入功率
PA=45kW,三个从动轮输出功率分别为 PB=10kW,PC=15kW, PD=20kW.试绘轴的扭矩图.
解: (1)计算外力偶矩 由公式 M e 9549P / n
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆 周线划分；两端施以大小相等方向相反一 对力偶矩。
观察到：
圆周线大小形状不变，各圆周线间距 离不变；纵向平行线仍然保持为直线且 相互平行，只是倾斜了一个角度。
结果说明横截面上没有正应力
§3.3 纯剪切
采用截面法将圆筒截开，横截面 上分布有与截面平行的切应力。由于 壁很薄，可以假设切应力沿壁厚均匀 分布。
二、切应力互等定理
由平衡方程
，得Mz 0
M e 2 r r
Me 2 r 2
'
§3.3 纯剪切
切应力互等定理：
纯剪切
在相互垂直的
两个平面上，切
应力必然成对存
在，且数值相等；
两者都垂直于两
个平面的交线，
方向则共同指向
各个截面上只有切应
或共同背离这一 力没有正应力的情况称为
交线。
纯剪切
§3.3 纯剪切
1.变形几何关系
Me
Me
pq
观察变形：
x
圆周线长度形状不变，各圆周线间 距离不变，只是绕轴线转了一个微小角 度；纵向平行线仍然保持为直线且相互 平行，只是倾斜了一个微小角度。
Me
pq
pq
Me
x
圆轴扭转的平面假设：
pq
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍 保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线； 且相邻两截面间的距离不变。
max
Tmax Wt
（2）设计截面
Wt
Tmax
（3）确定载荷
Tmax Wt
§3.4 圆轴扭转时的应力
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径 D=89mm、壁厚=2.5mm，材料为20号钢，使用 时的最大扭矩T=1930N·m,[]=70MPa.校核此轴 的强度。
解：（1）计算抗扭截面模量
d 0.945
D
Wt 0.2D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3
（2） 强度校核
max
T Wt
1930 29 106
66.7106 Pa
66.7MPa [ ] 70MPa 满足强度要求
§3.4 圆轴扭转时的应力
例3.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求 它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。 并比较实心轴和空心轴的重量。
§3.4 圆轴扭转时的应力
例题3.4
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不 得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
垂直于半径
与该点到圆心的距离 成正比。
§3.4 圆轴扭转时的应力
3.静力关系
T A dA
T A dA
G d 2dA
dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dx
G
d
dx
T Ip
§3.4 圆轴扭转时的应力
公式适用于：
1）圆杆
2） max
p
横截面上某点的切应力的方向与扭矩 方向相同，并垂直于半径。切应力的大 小与其和圆心的距离成正比。
Wt
Ip
/R
1 D3
16
Wt I p /(D / 2)
§3.4 圆轴扭转时的应力
扭转强度条件：
max
Tmax Wt
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax Wt
max
(Tmax Wt
)max
§3.4 圆轴扭转时的应力
强度条件的应用
（1）校核强度
max
Tmax Wt
解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为[]时，两轴的许可扭矩分别为
T1
Wt [
]
16
D13[
]
T2
16
D3(1 4 )[
]
16
(90)3 (1
0.9444 )[
]
若两轴强度相等，则T1=T2 ，于是有
D13 (90)3 (1 0.9444 )
D1 53.1mm 0.0531m
§3.4 圆轴扭转时的应力