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当 x≤0 时，u=x2-1 是减函数，y= u 也是增函数，
又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，
∴函数 f(x)= x 2 -1 在(-∞,-1］上是减函数,
即函数 f(x)的单调递增区间是［1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1］.
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课堂小结
总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法.
第一章 章末复习
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1
提出问题 ①第一节是集合，分为几部分？ ②第二节是函数，分为几部分？ ③第三节是函数的基本性质，分为几部分？ ④画出本章的知识结构图.
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分析：从选项来看，本题是判断集合 P,Q 的关系，其关键是对集合 P,Q 的意义的理解 集合 P 是函数 y=x2 的定义域，则集合 P 是数集，集合 Q 是函数 y=x2 的图象上的点组成的
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6
例
3
求函数
y=
3x x2
4
的最大值和最小值.
解：（判别式法）由
y=
3x x2
4
得
yx2-3x+4y=0，
∵x∈R，∴ 关于 x 的方程 yx2-3x+4y=0 必有实数根.
当 y=0 时，则 x=0.故 y=0 是一个函数值；
当 y≠0 时，则关于 x 的方程 yx2-3x+4y=0 是一元二次方程,
上一定( )
A.有最小值
源自文库
B.有最大值
C.是减函数
D.是增函数
分析：函数 f(x)=x2-2ax+a 的对称轴是直线 x=a，由于函数 f(x)在开区间（-∞，1）上有最
小值，所以直线 x=a 位于区间（-∞，1）内，即 a<1.g(x)＝ f (x) = x a 2 ，下面用定义法
x
x
判断函数 g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.
答案：D
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变式训练
求函数 f(x)= x 2 - 1 的单调区间.
解：函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞).设 y= u ，u=x2-1，
当 x≥0 时，u=x2-1 是增函数，y= u 也是增函数，
又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，
∴函数 f(x)= x 2 -1 在［1,+∞)上是增函数.
设 1<x1<x2，则 g(x1)-g(x2)=(x1+ a -2)-(x2+ a -2)
x1
x2
a
=(x1-x2)+(
a
)=(x1-x2)(1
a
)=(x1-x2) x1 x2 a .
x1 x2
x1 x2
x1 x2
∵1<x1<x2，∴x1-x2<0，x1x2>1>0. 又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)<g(x2). ∴函数 g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数 g(x)在区间（1，+∞）上没有最值.
集合，则集合 Q 是点集，∴P∩Q= .
答案：A
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变式训练
1.设集合 M=｛x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是( )
A.M=P
B.P M
C.M P
D.M∩P=R
分析：P={3}，∵3>1,∴3∈M.∴P M. 答案：B
2.定义集合 A 与 B 的运算 A*B={x|x∈A 或 x∈B,且 xA∩B},则(A*B)*A 等于( )
作业 复习参考题 5、7 两题.
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A.A∩B
B.A∪B
C.A
D.B
分析：设 A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则 A*B={3,4,5,6,7}，于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B. 答案：D
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例 2 求函数 y=x2+1 的最小值.
解：方法一（观察法）∵函数y=x2+1的定义域是R, ∴观察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函数y=x2+1的最小值是1. 方法二:（公式法）函数y=x2+1是二次函数，其定义域是x∈R，则函 数y=x2+1的最小值是f(0)=1.
则有 Δ=(-3)2-4×4y2≥0.
∴0<y2≤ 9 .∴ 3 ≤y<0 或 0<y≤ 3 .
16 4
4
综上所得， 3 ≤y≤ 3 . 44
∴
函数 y=
3x x2 4
的最小值是
3
，最大值是
4
3 4
.
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例 4 函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数 g(x)= f (x) 在区间（1，+∞） x
