全集：某集合含有我们所研究的各个 集合的全部元素，用U表示
三、集合的并集、交集、全集、补集
1、A B {x | x A或x B} A
B
2、A B {x | x A且x B}
3、CU A {x | x U且x A}
全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全
部元素，用U表示
是R上的增函数
是R上的减函数
比较下列各题中两数值的大小
(1)1.72.5,1.73.
(2) 0.8-0.1 ,0.8-0.2 (3) 2.13.4 ,0.42.8
11
(4) 2 3 ,33
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1)
a＞1
0＜a＜1
图y
y
0 (1,0)
象
x
0 (1,0)
x
定义域 : ( 0,+∞)
一、集合 二、函数 三、初等函数 四、函数应用 五、函数的零点与二分法
一、集合的概念
1、集合：把研究对象称为元素， 把一些元素组成的总体叫做集合
2、元素与集合的关系： 或
3、元素的特性：确定性、互异性、无序性 4、常用数集： N 、N、Z、Q、R
二、集合的表示
1、列举法：把集合中的元素一一列举出 来，并放在{ }内
例13 已知f x是R上的奇函数， 且当x 0时，f x x(1 x),
（1）求f (x)； （2）求x 0时，f (x)表达式 ； （3）求 f (x).
指数幂与根式运算
1.指数幂的运算性质 (1)am • an am n
(2)(am )n amn
(3)
am an
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
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已知函数f x的图象是连续不断的, 且有如下的x, f x的对应值表：
x 1 2 3 4 5 67 89
f x 14 8 2 2 7 3 2 1 8
问：函数f x在哪几个区间内有零点 ?为什么?
(1) loga (M N) loga M loga N;
(2)
M
log
a
N
loga M loga N;
(3) log a Mn n log a M(n R).
几个重要公式
(1) logam
bn
n m
log
a
b
(2) loga
b
log c log c
b a
1 (3) loga b logb a
函数的奇偶性
1.奇函数:对任意的 x I ,都有 f (x) f (x) 2.偶函数:对任意的 x I ,都有 f (x) f (x)
3.奇函数和偶函数的必要条件:
定义域关于原点对称.
注:要判断函数的奇偶性,首先要看其定 义域区间是否关于原点对称!
例1、判断下列函数的奇偶性
图 象 间 的 关 系
例1.
设f(x)= loga
1 1
x x
a＞0 ,
且a≠1, (1) 求f(x)的定义域;
(2) 当a＞1时,求使f(x)＞0的
x的取值范围.
函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变 量，α是常数.
零点
y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标叫 做该函数的零点。即f(x)=0的解。
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、
x2，当x1<x2时，都有f(x1) >f(x2) ，那么就说函数在区间 上是减函数。区间D叫做函数的减区间。
增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的某个区间而言的。
函数单调性：
用定义证明函数单调性的步骤:
(1). 设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值; (2). 作差 f(x1)－f(x2) ; (3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号: (4). 作结论.
数值的集合f (x) x A叫做函数的值域。
例2、下列题中两个函数是否表示同一个函数
2
1) f (x) x g(x) ( x ) 2) f (x) x g(x) x2 3) f (x) x g(x) 3 x3 4) f (x) x2 4 g(x) x 2
(1) f x x 1 x 1
(2)
f
x
3 x2
(3) f x x 1
x
(4) f x x2 , x 2,3
例2、已知f x是奇函数，且在3，7是
增函数，且最大值是4，那么f x
在 7， 3上是
函数
且最
值是
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2、描述法：用文字或公式等描述出元素 的特性，并放在{ }内
例1、已知x {1,2, x2}, 则x 0或2
例2、已知集合A {x | ax2 2x 1 0, a R}, 若A中元素至多只有一个，求a的取值范围
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三、集合间的基本关系
1、子集：对于两个集合A，B如果集合A 中的任何一个元素都是集合B的元素，我 们称A为B的子集
(换底公式)
指数函数的概念
指数 自变量
函数 y = a x 叫作指数函数
底数(a>0且a≠1) 常数
a>1
图
0<a<1
象
性 定义域为(-∞，+ ∞ )，值域为(0，+ ∞ ) 图像都过点(0，1)，当x=0时，y=1
质 当x>0时,y>1;x<0时,0<y<1 当x>0时,0<y<1;x<0时,y>1
三、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 像 法
例 (1)已知f (x) x2 4x 3,求f (x 1) (2)已知f (x 1) x2 2x,求f (x)
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x2 3
(3)已知f
(
x)Biblioteka 1x 4
x0 x 0 ，求f [ f (4)] x0
(1)正数的分数指数幂：
m
a n n am
m
,a n
1
n am
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5.对数
a x N x loga N.
负数和零没有对数；
常用关系式：
log a 1 0, log a a 1, aloga N N
loga ax x
对数运算性质如下：
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么：
x2 5) f (x) (x 2)2 g(x) x 2
二、函数的定义域
例3、求下列函数的定义域
1) f (x) 3 4 x (x 4)0 x 1 log2(x 1)
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2、抽象函数的定义域
1）已知函数y=f(x)的定义域是[1，3]， 求f(2x-1)的定义域
(4)已知f [ f (x)] 4x 1，求一次函数 f (x)的解析式
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函数单调性
定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、
x2，当x1<x2时，都有f(x1) < f(x2) ，那么就说函数在区间 上是增函数。区间D叫做函数的增区间。
amn
(4)(ab)n an • bn
2.a的n次方根
如果 xn a，(n>1,且n N ),那么x就叫做a
的n次方根．
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3.根式
当n为正奇数时，n an a ，
当n为正偶数时，
n
an
| a |
a
,a 0
a , a 0
4.分数指数幂
(2) log0.31.8 , log0.32.7;
(3) log3 , log20.8.
(4) log67, log76;
2.填空题：
(1)y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是
(2)y= lg(8 x2 ) 的定义域是
3.已知3lg(x－3)＜1,求x的范围.
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指数函数与对数函数
值域: R
性
过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数
质 当x>1时，y>0
当x=1时，y=0
当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
例1.比较下列各组数中两个值 的大小：
(1) log23.4 , log28.5 ;
Q1 2x 1 3,1 x 2,函数的定义域为x |1 x 2.
2）已知函数y=f(x)的定义域是[0，5)， 求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域
Q
0 0
x x
1 1
5, 5,
1 1
x
6, 1
x 4,
x
4,
函数的定义域为x |1 x 4.
例6、已知集合A {x | 1 x 2}, B {x | x k 0},
(1)若A B ,求k的取值范围
(2)若A B A,求k的取值范围
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一、函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有惟一确定的数f（x）和它对应， 那么就称f：A B为从集合A到集合B的一个 函数。记作y f（x），x A 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函
