单自由度系统振动

mg = kδ st
比较式（a）与（b） ，得
（b）
k = k1 + k 2
（c）
图 2-2 并联弹簧
k 称为并联弹簧的等效弹簧常量。式（c）表明，并 联后的等效弹簧常量是各并联弹簧常量的算术和。 弹簧并联的特征是：二弹簧变形相等。 由式（2-8 ） ，可求出系统的固有频率
f =
（2）串联弹簧
1 k 1 k1 + k 2 = 2π m 2π m
f =
k1 k 2 1 k 1 = 2π m 2π m(k1 + k 2 )
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例 2-2 一个质量为 m 的物块从 h 的高处自由落下，与一根抗弯刚度为 EJ、长为 l 的简支梁作塑 性碰撞(图 2-4)，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。 解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹 簧来代替，因此这是一个单自由度系统。如果知道系统 的静变形 δ st ，则由式（2-10 ）可求出系统的固有频率
图 2-5 扭振系统
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定圆轴的抗扭刚度为 k n ，它表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。根据刚体转动微分方程建立该系 统的运动微分方程
&& = −k nϕ I Oϕ
令
pn =
1 2 & T = mx 2 V = 1 kx 2 2
（2-15 ）
当系统在平衡位置时， x = 0 ,速度为最大，于是势能为零，动能具有最大值 Tmax ；当系统在最大偏 离位置时，速度为零，于是动能为零，而势能具有最大值 Vmax 。由于系统的机械能守恒，因此
Tmax = Vmax
串联轴系的等效弹簧常量为
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kn =
k n1 k n 2 k n1 + k n 2
为了应用上的方便，将不同弹性构件的等效弹簧刚度 k 编入附录，供读者查阅。
2.2 计算固有频率的能量法
mg ,代入式（2-2）得 δ st pn = g δ st
（2-10）
这是用弹簧静变形时的变形量 δ st 表示自由振动固有圆频率的计算公式。 例 2-1 在图 2-2 和 2-3 中，已知物块的质量为 m，弹簧的弹簧常量分别为 k 1 、k 2 ，分别求并联 弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解： （1）并联情况 图 2-2（a）所示的振动系统在运动过程中，物块始终作平行移动。取平衡位置时的物块为研究 对象。 物块受重力、 弹性力作用处于平衡状态。 两根弹簧的静变形都是 δ st 。 弹性力分别是 F1 = k1δ st ，
式（2-4） 、 （2-5）是物块振动方程的两种形式，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。
（2-6 ）
2.1.2 振幅、初相位和频率
式（2-5 ）表明，无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为中心的简谐振动。系统的静平衡位置称 为振动中心，其振幅 A 和初相位角 α 由式（2-6）决定 系统振动的周期
T=
系统振动的频率
第2章
单自由度系统的振动
以弹簧一质量系统为力学模型，研究单自由度系统的振动有着非常普遍的实际意义，因为工程 上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。而同时对多自由度系统 和连续系统的振动，在特殊坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态。因此，揭示单自 由度振动系统的规律、特点，为进一步研究复杂振动系统奠定了基础
这是用能量法计算固有频率的公式。
（2-16 ）
例 2-3 船舶振动记录仪的原理图如图 2-8 所示。重物 D 连同杆 BD 对于支点 B 的转动惯量为 IE ,求重物 D 在铅直方向的振动频率。已知弹簧 AC 的弹簧刚度系数是 k。 解：这是单自由度的振动系统。系统的位置可 由杆 BD 自水平的平衡位置量起的 ϕ 角来决定。 系统 1 的动能为 I B ω 2 。 2 设系统作简谐振动，则其运动方程
图 2-3 串联弹簧
mg δ st = k
将式（e） 、式（f）代入式（d） ，得
（f）
k=
k1 k 2 k1 + k 2
k 称为串联弹簧的等效弹簧常量。表明串联后的弹簧常量的倒数等于各串联弹簧常量倒数的算术和。 由此可知，串联后的等效弹簧常量是降低了，而且比原来任一根的弹簧常量都要小。 可求出系统的固有频率为
（2-4 ）
&0 x sin p n t pn
x = A sin( p n t + α )
（2-5 ）
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其中
&0 2 x 2 A = x0 + ( ) pn p α = arctan( n x 0 ) &0 x
当物块在静平衡位置时，它的静位移 δ st 等于每根弹簧的静变形之和，即
δ st = δ 1st + δ 2 st
（d）
因为弹簧是串联的，其特征是：二弹簧受力相等，即每 根弹簧所受的拉力都等于重力 mg 。
δ 1 st =
mg mg , δ 2 st = k1 k2
（e）
如果用一根弹簧常量为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧， 此弹簧的静变形等于 δ st (图 2-3（b）)。
计算振动系统的固有频率，是研究振动系统特征的重要任务之一。在上节中，一般是在求出振 动系统的运动微分方程的基础上确定其固有频率的。在本节中，将介绍计算固有频率的能量法。能 量法的理论基础是机械能守恒定律。应用能量法能够比较容易地求出保守系统的固有频率。 在图 2-1 所示无阻尼单自由度振动系统中，作用在该系统上的重力和弹性力都是保守力。根据 保守力场中的机械能守恒定律，该系统在振动过程中，其势能与动能之和保持不变。即 T + V = 常量 式中 T 是动能，V 是势能。如果取平衡位置 O 为势能的零点，则系统在任一位置时，
2π m = 2π pn k
（2-7 ）
f =
而系统振动的圆频率为
1 pn 1 k = = T 2π 2π m pn = 2 π f
（2-8 ）
（2-9）
这表明，圆频率 pn 是物块在自由振动中每 2 π 秒内振动的次数。还可以看出， f、p n 只与振动系统 的弹簧常量 k 和物块的质量 m 有关，而与运动的初始条件无关。因此，通常将频率 f 称为固有频率， 将圆频率 pn 称为固有圆频率。 由式（A）知， k =
F2 = k 2δ st 。由平衡条件∑Fx = 0，得
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mg = F1 + F2 = ( k1 + k 2 )δ st
（a）
如果用一根弹簧常量为 k 的弹簧来代替原来的 两根弹簧，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产 生的静变形相等如图 2-2（b）所示，则
2 && + pn q q=0 kq pn = mq
（2Biblioteka Baidu14）
图 2-7(a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的
图 2-6 轴系扭振系统
等效系统。根据例 2-1 中有关串、并联弹簧的结论，可得到并联轴系的等效弹簧常量为
k n = k n1 + k n 2
则上式改写为
kn IO
（2-11 ）
2 && + p n ϕ ϕ =0
（2-12）
可以看到，式（2-12）与式（2-3）具有相同的形式，因此，扭振的运动规律也具有与式（2-4） 相同的形式，即
ϕ = ϕ 0 cos pn t +
&0 ϕ sin pn t pn
（2-13 ）
综上所述，对于单自由度振动系统来说，尽管直线振动和扭振的结构形式、振动形式不一样， 但其振动规律、特征是完全相同的。如果在弹簧质量系统中，将 m、k 理解为广义质量 mq 和广义弹 簧常量 k q ,将其坐标看成广义坐标 q ，则对于单自由振动系统来说，它的自由振动微分方程的典型形 式为
图 2-7 船舶振动记录仪的原理图
ϕ = Φ sin( pn t + α )
角速度及系统的最大动能分别为
&= ϕ
dϕ = Φpn cos( p n t + α ) dt 1 1 2 & max = I BΦ 2 p n I Bϕ 2 2
(a)
Tmax =
如取平衡位置为系统的势能零点。设在平衡位置时，弹簧的伸长量为δst 。此时，弹性力 Fst=kδst , 方向向上。
x = C1 cos p n t + C 2 sin p n t &=x & 0 。可解得 其中 C1 和 C2 为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设 t = 0 时， x = x 0 ，x C1 = x 0 x = x 0 cos pn t +
式（2-4）亦可写成下述形式
C2 =
&0 x pn
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ΣM B ( F ) = 0 ,
Fst b − FP l = 0 kδ st b − FP l = 0
(b)
该系统的势能
V =
式(b)代入式(c)得
2.1 无阻尼系统的自由振动
设有质量为 m 的物块(可视为质点)挂在弹簧的下端，弹簧的自然长度为 l0,弹簧刚度为 k，如不 计弹簧的质量，这就构成典型的单自由度系统，称之为弹簧质量系统如图 2-1 所示。工程中许多振 动问题都可简化成这种力学模型。例如，梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，梁和电 机组成一个振动系统，如不计梁的质量，则它在该系统中的作用相当于一根无重弹簧，而电机可视 为集中质量。于是这个系统可简化成如图 2-1 所示的弹簧质量系统。
&& = − kx mx
将式（2-1 ）两边除以 m，并令
（2-1 ）
pn =
则式（2-1 ）可写成
k m
2 & & + pn x x=0
（2-2 ）
（2-3 ）
这就是弹簧质量系统置之只在线弹性力－kx 的作用下所具有的振动微分方程，称之为无阻尼自由振 动的微分方程，是二阶常系数线性齐次方程。由微分方程理论可知，式（2-3）的通解为
前面研究的单自由度振动系统， 主要是弹簧质量组成的直线振 动系统。在工程实际中还有许多其它形式的振动系统，如内燃机 的曲轴、轮船的传动轴等等。在运转中常常产生扭转振动，简称 扭振。 图 2-5 所示为一扭振系统。其中 OA 为一铅直圆轴，上端 A 固 定， 下端 O 固结一水平圆盘， 圆盘对中心轴 OA 的转动惯量为 I O 。 如果在圆盘的水平面内加一力偶，然后突然撤去，圆轴就会带着 圆盘作自由扭振，这种装置称 为扭摆。在研究它的运动规律时， 假定圆轴的质量可以略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半 径线和该线的静止位置之间的夹角 ϕ 来决定，称之为扭角。再假
f =
1 g 2 π δ st
图 2-4 简支梁系统
由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点 的静挠度为
δ st =
mgl 3 48EJ
可求出系统的固有频率为
f =
1 48EJ 2 π ml 3
以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点 O， 建立坐标系如图 2-4 所示， 并以撞击时刻为零瞬时，
&0 = 则 t = 0 时，有 x 0 = −δ st ， x
2.1.1 自由振动方程
以图 2-1 所示的弹簧质量系统为研究对象。取物块的静平衡位置 为坐标原点 O， x 轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。 当物块在静平衡位 置时，由平衡条件∑Fx = 0 ，得到
mg = kδ st
δ st 称为弹簧的静变形。
（A）
当物块偏离平衡位置为 x 距离时，物块的运动微分方程为
代入式（2-6） ，自由振动的振幅为
2 gh
2 A = x0 +(
&0 2 x 2 ) = δ st + 2hδ st pn mgl 3 96 EJh (1 + 1 + ) 48 EJ mgl 3
梁的最大挠度为
2 δ max = A + δ st = δ st + 2hδ st + δ st =
2.1.3 单自由度系统的扭转振动