2010湖北高考数学试卷(理工类)

2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖北卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是 A ．E B ．F C ．G D ．H2.设集合22{(,)|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B 的子集的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3.在ABC ∆中，15a =，10b =，60A ∠=，则cos B = A.223-B.22366- 4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A.512 B.12 C.712 D.34 5已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实数m 使得AB AC +=mAM 成立，则m =A ．2B ．3C ．4D ．5 6将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，，600.采用系统抽样疗法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第1营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被抽中的人数依次为A ．26，16，8B ．25，17，8C ．25，16，9D ．24，17，9x y o FE G H117如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n x S →∞=A ．22r π B.283r π C.24r π D.26r π8现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A ．152B ．126C ．90D ．54 9.若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是 A.[1,122]-+ B.[122,122]-+ C.[122,3]- D.[12,3]- 10．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为 {}12min ,,n x x x …,.已知ABC ∆的三边长为a ，b ，c （a b c ≤≤），定义它的倾斜度为max{,,}min{,,}a b c a b cl b c a b c a=⋅则“1l =”是“ABC ∆为等边三角形”A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.在204(3)x +展开式中，系数为有理数的项共有 项.12己知2z x y =-，式中变量,x y 满足约束条件12y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为 .13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm ．Or14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ 78 9 10Px0.10.3y已知ξ的期望8.9E ξ=，则y 的值为 ． 15．设0a >，0b >,称2aba b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线殴AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段 的长度是a ，b 的几何平均数，线段 的长度是a ，b 的调和平均数．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()cos()cos()33f x x x ππ=+-，11()sin 224g x x =-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合． 17．（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万ABDOE元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()35kC x x =+（010x ≤≤），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． （Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用()f x 达到最小，并求最小值． 18.(本小题满分12分)如图，在四面体ABOC 中，OC OA ⊥，OC OB ⊥，120AOB ∠=，且OA OB =1OC ==.（Ⅰ）设P 为AC 的中点.证明：在AB 上存在一点Q ,使PQ OA ⊥,并计算ABAQ的值；（Ⅱ）求二面角O AC B --的平面角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点(1,0)F 的距离减去它到y 轴距离的差是1.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点(,0)M m 且与曲线C 有连个交点A ,B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 20.(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足：112a =，()()11312111n n n n a a a a ++++=--, 10n n a a +⋅<（1n ≥）；数列{}n b 满足：221n n n b a a +=-（1n ≥）.AOBC（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.21.(本小题满分14分)已知函数()bf x ax c x =++（0a >）的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-y.（Ⅰ）用a 表示出b ,c ；（Ⅱ）若()ln f x x >在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：1+1111ln(1)232(1)n n n n ++++>+++（1n ≥）.。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 为虚数单位，则201111i i +æöç÷-èø= A ．- iB ．-1 C ．iD ．1 2．已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y yx x ìü==>==>íýîþ,则U C P = A ．1[,)2+¥B ．10,2æöç÷èøC ．()0,+¥D ．1(,0][,)2-¥+¥3．已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-Î，若()1f x ³，则x 的取值范围为的取值范围为A ．|,3x k x k k Z pp p p ìü+££+ÎíýîþB ．|22,3x k x k k Z pp p p ìü+££+ÎíýîþC ．5{|,}66x k x k k Z p p p p +££+ÎD ．5{|22,}66x k x k k Z p pp p +££+Î 4．将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则，则A ．n=0 B ．n=1 C ． n=2 D ．n ³3 5．已知随机变量x 服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（x ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜x ＜2）＝）＝Ａ．0．6 B ．0．4 C ．0．3 D ．0．2 6．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222f x g x a a-+=-+（a ＞0,且0a ¹）．若()2g a =，则()2f = A ．2 B ．154C ． 174D ．2a7．如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。

2010年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（ ）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】先化简集合A和B，注意集合B中的元素是整数，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，故A∩B={0，1，2}．应选D．【点评】本题主要考查集合间的交集运算以及集合的表示方法，涉及绝对值不等式和幂函数等知识，属于基础题．2．（5分）已知复数，是z的共轭复数，则=（ ）A．B．C．1D．2【考点】A5：复数的运算．【分析】因为，所以先求|z|再求的值．【解答】解：由可得．另解：故选：A．【点评】命题意图：本题主要考查复数的运算，涉及复数的共轭复数知识，可以利用复数的一些运算性质可以简化运算．3．（5分）曲线y=在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（ ）A．y=2x+1B．y=2x﹣1C．y=﹣2x﹣3D．y=﹣2x﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】1：常规题型；11：计算题．【分析】欲求在点（﹣1，﹣1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=﹣1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故选：C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．5．（5分）已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R 为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（ ）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【考点】2E：复合命题及其真假；4Q：指数函数与对数函数的关系．【专题】5L：简易逻辑．【分析】先判断命题p1是真命题，P2是假命题，故p1∨p2为真命题，（﹣p2）为真命题，p1∧（﹣p2）为真命题．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选：C．【点评】只有p1与P2都是真命题时，p1∧p2才是真命题．只要p1与p2中至少有一个真命题，p1∨p2就是真命题．6．（5分）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（ ）A．100B．200C．300D．400【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】11：计算题；12：应用题．【分析】首先分析题目已知某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，即不发芽率为0.1，故没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．又没发芽的补种2个，故补种的种子数记为X=2ξ，根据二项分布的期望公式即可求出结果．【解答】解：由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B（1000，0.1）．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X故X=2ξ，则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．故选：B．【点评】本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力．属于基础性题目．7．（5分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】28：操作型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=的值．∵S==1﹣=故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（5分）设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（ ）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜﹣2或x＞2}【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2解得x＞4，或x＜0．应选：B．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．9．（5分）若，α是第三象限的角，则=（ ）A．B．C．2D．﹣2【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GW：半角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．【点评】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力．10．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A．πa2B．C．D．5πa2【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题．【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选：B．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．11．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H：对数的运算性质；4N：对数函数的图象与性质．【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．12．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（ ）A．B．C．D．【考点】KB：双曲线的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而k==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近似值为 ．【考点】69：定积分的应用；CE：模拟方法估计概率；CF：几何概型．【专题】11：计算题．【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．【解答】解：由题意可知得，故积分的近似值为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．14．（5分）正视图为一个三角形的几何体可以是　三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）　（写出三种）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】21：阅读型．【分析】三棱锥一个侧面的在正视图为一条线段的情形；圆锥；四棱锥有两个侧面在正视图为线段的情形，即可回答本题．【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等．故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱．【点评】本题主要考查三视图以及常见的空间几何体的三视图，考查空间想象能力．15．（5分）过点A（4，1）的圆C与直线x﹣y=1相切于点B（2，1），则圆C 的方程为　（x﹣3）2+y2=2　．【考点】J1：圆的标准方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】16：压轴题．【分析】设圆的标准方程，再用过点A（4，1），过B，两点坐标适合方程，圆和直线相切，圆心到直线的距离等于半径，求得圆的方程．【解答】解：设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，则（4﹣a）2+（1﹣b）2=r2，（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2，=﹣1，解得a=3，b=0，r=，故所求圆的方程为（x﹣3）2+y2=2．故答案为：（x﹣3）2+y2=2．【点评】命题意图：本题主要考查利用题意条件求解圆的方程，通常借助待定系数法求解．16．（5分）在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则∠BAC=　60°　．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2=AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°=，，则=．故∠BAC=60°．【点评】本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）由题意得a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25++n•22n﹣1，由此入手可知答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a n+1=[（a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．而a1=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=22n﹣1．（Ⅱ）由b n=na n=n•22n﹣1知S n=1•2+2•23+3•25+…+n•22n﹣1①从而22S n=1•23+2•25+…+n•22n+1②①﹣②得（1﹣22）•S n=2+23+25+…+22n﹣1﹣n•22n+1．即．【点评】本题主要考查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及相应运算能力．18．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD ，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（Ⅰ）证明：PE⊥BC（Ⅱ）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【考点】MA：向量的数量积判断向量的共线与垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；13：作图题；14：证明题；35：转化思想．【分析】以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．【解答】解：以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）则．可得．因为所以PE⊥BC．（Ⅱ）由已知条件可得m=，n=1，故C（﹣），设=（x，y，z）为平面PEH的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力． 19．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：性别是否需要志愿者男女需要 40 30 不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由． P （K 2≥k ）0.050 0.010 0.0013.8416.63510.828附：K 2=．【考点】BL ：独立性检验．【专题】11：计算题；5I ：概率与统计．【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率， （2）求K 2的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为（2）K2的观测值因为9.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（12分）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【考点】83：等差数列的性质；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】（I）根据椭圆的定义可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，进而根据|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数表示出|AB|，进而可知直线l的方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入直线和椭圆方程，联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而根据，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，离心率可得．（II）设AB的中点为N（x0，y0），根据（1）则可分别表示出x0和y0，根据|PA|=|PB|，推知直线PN的斜率，根据求得c，进而求得a和b，椭圆的方程可得．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即得c=3，从而故椭圆E的方程为．【点评】本题主要考查圆锥曲线中的椭圆性质以及直线与椭圆的位置关系，涉及等差数列知识，考查利用方程思想解决几何问题的能力及运算能力21．（12分）设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II）f′（x）=e x﹣1﹣2ax由（I）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，于是当x≥0时，f（x）≥0．由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．从而当时，f′（x）＜e x﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a），故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．综合得a的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．22．（10分）如图：已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．（Ⅱ）BC2=BE•CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NB：弦切角．【专题】14：证明题．【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论．（II）欲证BC2=BE x CD．即证．故只须证明△BDC～△ECB即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以∠BCD=∠ABC．又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE=∠ABC所以∠ACE=∠BCD．（5分）（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，所以△BDC～△ECB，故．即BC2=BE×CD．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数f（x）=|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；7E：其他不等式的解法；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题．【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，函数y=f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工农医类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1zi+的点是 A ．E B.F C.G D.H2．设集合()22{,|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是A ．4B ．3C ．2D ．13.在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B = A －223 B 223 C －63 D 634.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A512 B 12 C 712 D 345．已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m=A ．2B ．3C ．4D ．56．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为A ．26, 16, 8,B ．25，17，8C ．25，16，9D ．24，17，97、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n s 为前n 个圆的面积之和，则lim n →∞n s =A ． 22r π B. 832r π C.42r π D.62r π8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

2010年高考试题——数学理（湖北卷）解析版1．【答案】D【解析】观察图形可知3z i =+,则3211z ii i i+==-++，即对应点H （2，－1），故D 正确. 2．【答案】A【解析】画出椭圆221416x y +=和指数函数3x y =图象，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则AB 的子集应为{}{}{}1212,,,,A A A A ∅共四种，故选A.3．【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a b A B =可得1510sin60sin B=解得sin B ，又因为b a <，则B A <，故B为锐角，所以cos B =，故D 正确. 4．【答案】C【解析】用间接法考虑，事件A 、B 一个都不发生的概率为451615()()()212C P AB P A P B C ==⨯=则所求概率 71()12P AB =-=， 故C 正确。

5．【答案】B【解析】由题目条件可知，M 为ABC ∆的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则23AM AD =①， 因为AD 为中线2AB AC AD mAM +==， 即 2AD mAM = ②, 联立①②可得 3m =，故B 正确。

6．【答案】B【解析】依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039⋅⋅⋅⋅⋅⋅构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人， 所以B 正确。

7．【答案】C【解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：c o s 30,(c o s 30)c o s 30,(c o s 3⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r ,r r r 即3r r 4⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，则面积依次为：22223927r r r r 41664ππππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，所以 22222n 339271limS lim(r r )r lim(1)r 4r 344166414n n n πππππ→∞→∞→∞=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯=-故C 正确. 8．【答案】B【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有233318C A ⨯=；若有1人从事司机工作，则方案有123343108C C A ⨯⨯=种，所以共有18+108=126种，故B 正确 9．【答案】C【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)x y y -+-=≤≤，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y x b =+与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，解得11b b =+=-1b =+，当直线过（0，3）时，解得b=3,故13,b -≤所以C 正确.10.【答案】A【解析】若△ABC 为等边三角形时，即a=b=c ，则m a x ,,1m i n ,,a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则l =1；若△ABC 为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则32max ,,,min ,,23a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎨⎬⎪⎭⎩⎭⎩，此时l =1仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以A 正确.11.【答案】6【解析】二项式展开式的通项公式为202012020)(020)r r r r r r r r T C x C x y r --+==≤≤要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.12.【答案】5【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x-z ， 当直线经过A （2，－1）时，z 取到最大值，max 5Z =.13.【答案】4【解析】设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得33224863r r r r πππ⨯+⨯=⨯,解得r=4.14.【答案】0.4【解析】由表格可知：0.10.39, 780.190.3108.9x y x y +++=+⨯+⨯+⨯=联合解得0.4y =. 15.【答案】CD DE【解析】在Rt △ADB 中DC 为高，则由射影定理可得2CD AC CB =⋅，故CD ，即CD 长度为a,b 的几何平均数，将OC=, 222a b a b a ba CD OD +-+-==代入OD CE OC CD ⋅=⋅可得CE =故2()2()a b OE a b -==+，所以ED=OD-OE=2aba b+，故DE 的长度为a,b 的调和平均数.16. 本小题主要考察三角函数的基本公式、周期和最值等基础知识，同事考察基本运算能力。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工农医类)本试题卷共4页，三大题21小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复数1zi+的点是 A ．E B.F C.G D.H2．设集合()22{,|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是A ．4B ．3C ．2D ．13.在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B =A －223 B 223 C －63 D 634.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是A512 B 12 C 712D 345．已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m=A ．2B ．3C ．4D ．56．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为A ．26, 16, 8B ．25，17，8C ．25，16，9D ．24，17，9 7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n s 为前n 个圆的面积之和，则lim n →∞n s =A ． 22r π B.832r π C.42r π D.62r π 8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

绝密★启用前 试卷类型：B2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工农医类)本试题卷共4页，三大题21小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.若i 为虚数单位，图中复平面内点z 表示复数z ，则表示复数1z i +的点是 A.E B.F C.G D.H 2.设集合A=22{(,)|1}416x y x y +=，B={(,)|3}xx y y =,则A ∩B 的子集的个数是A. 4B.3C.2D.13.在△ABC 中，a=15，b=10, ∠A=060，则cos B = A.223- B.223 C.63 D.63- 4投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上 的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是A.512 B.12 C.712 D.345已知ABC V 和点M 满足0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r .若存在实数m 使得AB AC mAM +=uu u r uuu r uuu r 成立，则m =A ． 2 B. 3 C. 4 D. 56将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，… ，600.采用系统抽样疗法抽取一个 容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第1营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.三个营区被 抽中的人数依次为A ． 26,16,8 B. 25,17,8 C. 25,16,9 D. 24,17, 97如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设n S 为前n 个 圆的面积之和，则lim n x S →∞=A ．22r π B. 283r π C.24r π D.26r π8现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、 导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事 其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A ． 152 B. 126 C. 90 D. 54 9若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是A ． 1,122⎡⎤-+⎣⎦ B. 122,122⎡⎤-+⎣⎦C. 122,3⎡⎤-⎣⎦D. 12,3⎡⎤-⎣⎦10．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …,.已知ABC V 的三边长为,,()a b c a b c ≤≤，定义它的倾斜度为max ,,min ,,a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫=•⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭l 则“1=l ”是“ABC V 为等边三角形”A.必要而不充分的条件B.充分而不必要的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在204(3)x y +展开式中，系数为有理数的项共有 项.12己知2z x y =-，式中变量,x y 满足约束条件,1,2,y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则z 的最大值为 .13．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm ．14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望8.9E ξ=，则y 的值为 ．15．设00a b ＞，＞，称2ab a b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线殴AB 上的点，且AC =a ，CB =b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段 的长度是a ，b 的几何平均数，线段 的长度是a ，b 的调和平均数．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()cos cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11sin 224g x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合．17．（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()01035k C x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用()f x 达到最小，并求最小值．18. (本小题满分12分)如图, 在四面体ABOC 中，O C ⊥OA, OC ⊥OB,∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1. (Ⅰ) 设P 为AC 的中点.证明：在AB 上存在一点Q,使PQ ⊥OA,并计算=AB AQ 的值； (Ⅱ) 求二面角O-AC-B 的平面角的余弦值.19. (本小题满分12分)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上没一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1. (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有连个交点A,B 的任一直线，都有FA FB•u u u r u u u r ﹤0 ? 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.20. (本小题满分13分)已知数列{}n a 满足: 112a =, ()()11312111n n n n a a a a ++++=--, ()101n n n a a +≥p ；数列{}nb 满足：n b =21n a +-2n a （n ≥1）. (Ⅰ)求数列{}n a ，{}nb 的通项公式; (Ⅱ)证明:数列{}nb 中的任意三项不可能成等差数列.21. (本小题满分14分)已知函数f(x)=ax+bx+c(a＞0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为y=x-1.(Ⅰ)用a表示出b,c;(Ⅱ)若f(x)＞㏑x在[1,∞]上恒成立，求a的取值范围；(Ⅲ)证明：1+12+13+…+1n＞㏑(n+1)+()21nn+)(n≥1).。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分．1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数1zi的点是A． E B. FC. GD. H2．设合集A＝{(x，y)|24x＋216y＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则BA 的子集的个数是A．4B．3C．2D．13．在△ABC中，a＝15，b＝10 ，A＝60度，则cosB＝A. －223Ｂ．223Ｃ．－63Ｄ．634．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是A．512B．12C．712D．345．已知△ABC和点M满足MA+MB+MC＝0．若存在实数m使得AB+AC＝m AM成立，则m＝A．2 B．3 C．4 D．56．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002…600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I 营区，从301到495在第II营区，从496到600在第III营区．三个营区被抽中的人数依次为A．26，16，8 B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9注：考查系统抽样的概念，这里一定要弄清楚抽取的规则，属于简单题。

７．如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设ns为前n个圆的面积之和，则n n s ∞→lim ＝A ．22r π B ．283rπC ．24r π D ．6r π８．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

甲、乙不会开车但能从事业其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A ．152 B ．126 C ．90 D ．549．若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取 值范围是A ．[1,122]-+B ． [122,122]-+C ． ]3,221[-D ．[12,3]-10．记实数12,,x x …,n x 中的最大数为max ｛12,,x x …,n x ｝， 最小数为min ｛12,,x x …,n x ｝．已知△ABC 的三边边长为,,a b c （a b c ≤≤）， 定义它的倾斜度为L ＝max ｛,,a b c b c a ｝⨯min ｛,,a b cb c a｝，则“L ＝1” 是“△ABC 为等边三角形“的A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．在204(3)x y +的展开式中，系数为有理数的项共有 项．12．已知Z ＝y x -2，式中变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤21x y x x y ，则Z 的最大值＝_________；13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示）。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试题卷共4页，三大题21小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对于应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1. 若i 为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数1zi的点是A． E B. F C. G D. H2. 设合集A={(x,y)| 24x +216y =1}, B={(x,y)|y=3x },则 B={(x,y)|y=3x }， A B I 的子集的个数是A. 4B. 3C. 2D.13.在△ABC 中, a =15, b=10 , A=60，则cosB=A. －22 Ｂ．22 Ｃ．－6 Ｄ．6 4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A.512 B.12 C.712 D.345.已知△ABC 和点M 满足MA u u u r +MB u u u r +MC u u u u r = 0。

若存在实数m 使得AB u u u r +AC u u u r = m AM u u u u r 成立，则m ＝A. 2B. 3C. 4D. 56. 将参加夏令营的600名学生编号为：001,002…600。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷word 版）数学（理工类）本试卷三大题21小题，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在试题卷和答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

在用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色墨水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题和答题卡一并交上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫⎪-⎝⎭=A ．- iB ．-1C ．iD ．12．已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭,则U C P = A ．1[,)2+∞B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．1(,0][,)2-∞+∞3．已知函数()3cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈4．将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n ≥35．已知随机变量ξ服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝Ａ．0．6 B ．0．4 C ．0．3 D ．0．26．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222f x g x a a-+=-+（a ＞0,且0a ≠）．若()2g a =，则()2f =A ．2B ．154C ．174D ．2a7．如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。

2010年高考试题——数学理（湖北卷）解析版1．【答案】D【解析】观察图形可知3z i =+,则3211z ii i i+==-++，即对应点H （2，－1），故D 正确. 2．【答案】A【解析】画出椭圆221416x y +=和指数函数3x y =图象，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则AB 的子集应为{}{}{}1212,,,,A A A A ∅共四种，故选A.3．【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a b A B =可得1510sin60sin B=解得sin B ，又因为b a <，则B A <，故B 为锐角，所以cos B =，故D 正确.8．【答案】B【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有233318C A ⨯=；若有1人从事司机工作，则方案有123343108C C A ⨯⨯=种，所以共有18+108=126种，故B 正确 9．【答案】C【解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)x y y -+-=≤≤，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y x b =+与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，解得11b b =+=-1b =+，当直线过（0，3）时，解得b=3,故13,b -≤所以C 正确.10.【答案】A【解析】若△ABC 为等边三角形时，即a=b=c ，则m a x ,,1m i n ,,a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则l =1；若△ABC 为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则32max ,,,min ,,23a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎨⎬⎪⎭⎩⎭⎩，此时l =1仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以A 正确.11.【答案】6【解析】二项式展开式的通项公式为202012020)(020)r r r r r r r r T C x C x y r --+==≤≤要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.12.【答案】5【解析】依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x-z ， 当直线经过A （2，－1）时，z 取到最大值，max 5Z =.13.【答案】4【解析】设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得33224863r r r r πππ⨯+⨯=⨯,解得r=4.14.【答案】0.4【解析】由表格可知：0.10.39, 780.190.3108.9x y x y +++=+⨯+⨯+⨯=联合解得0.4y =. 15.【答案】CD DE【解析】在Rt △ADB 中DC 为高，则由射影定理可得2CD AC CB =⋅，故CD ，即CD 长度为a,b 的几何平均数，将OC=, 222a b a b a ba CD OD +-+-==代入OD CE OC CD⋅=⋅可得CE=故2()2()a bOEa b-==+，所以ED=OD-OE=2aba b+，故DE的长度为a,b的调和平均数.。

试卷类型：A 2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工类)本试卷共4页，三大题21小题，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码横贴在答题卡的指定位置。

在用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=A.- iB.-1C. iD.12.已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭,则U C P = A. 1[,)2+∞ B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()0,+∞D. 1(,0][,)2-∞+∞3.已知函数11()cos ,f x x R θθ---∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为 A. |,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B. |22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C. 5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 4.将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A. n=0B. n=1C. n=2D. n ≥3试卷类型：Ａ5．已知随机变量ξ服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝Ａ.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.26.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()222f x g x a a -+=-+(a ＞0,且0a ≠).若()2g a =，则()2f =A ．2 B. 154 C. 174D. 2a 7.如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共4页，三大题21小题，全卷满分150分，考试用时120分钟。

*祝考试顺利*注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号走宝在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A（或B）后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题迁出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后。

再选涂其他答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分．1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数1zi的点是A． E B. FC. GD. H2．设合集A＝{(x，y)|24x＋216y＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则BA 的子集的个数是A．4B．3C．2D．13．在△ABC中，a＝15，b＝10 ，A＝60度，则cosB＝A. －223Ｂ．223Ｃ．－63Ｄ．634．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是A．512B．12C．712D．345．已知△ABC和点M满足MA+MB+MC＝0．若存在实数m使得AB+AC＝m AM成立，则m ＝A ．2B ．3C ．4D ．56．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002…600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I 营区，从301到495在第II 营区，从496到600在第III 营区．三个营区被抽中的人数依次为A ．26，16，8B ．25，17，8C ．25，16，9D ．24，17，9 注：考查系统抽样的概念，这里一定要弄清楚抽取的规则，属于简单题。

2010年湖北省高考数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若函数的反函数图像过点，则= .2．已知函数的值域为，集合，则= .3．已知，且，则=___________.4．已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为__________（结果保留）. 5．已知（为虚数单位）是一元二次方程( 均为实数)的一个根，则=__________.6．如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入.7. 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是__________.8. 将参数方程（为参数，）化为普通方程，所得方程是_____ _____.9. 在二项式的展开式中，常数项的值是，则= .10．一质地均匀的正方体三个面标有数字，另外三个面标有数字.将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望=___________. 11．已知椭圆内有两点为椭圆上一点，则的最大值为.12.如图，为直线外一点，若中任意相邻两点的距离相等，设，用表示，其结果为.13.设函数，将向左平移个单位得到函数，将向上平移个单位得到函数,若的图像恒在的图像的上方，则正数的取值范围为.14.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以为顶点，任意向上翻折，折痕与交于点，然后复原，记；第二步，将纸片以为顶点向下翻折，使与重合，得到折痕,然后复原，记；第三步，将纸片以为顶点向上翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；按此折法从第二步起重复以上步骤……，得到，则.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16．已知函数，设，则是（）A.奇函数，在上单调递减B.奇函数，在上单调递增C.偶函数，在上递减，在上递增D.偶函数，在上递增，在上递减17．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 (0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为，众数为；②乙地：5个数据的中位数为，总体均值为；③丙地：5个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为；则肯定进入夏季的地区有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个18. 如图所示，向量的模是向量的模的倍，的夹角为,那么我们称向量经过一次变换得到向量.在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过次变换得到的向量为，其中为逆时针排列，记坐标为，则下列命题中不正确的是（）A.B.C.D.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)在中，分别是角的对边，且,若的面积，求的值.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为.轮船的最大速度为海里/小时.当船速为海里/小时，它的燃料费是每小时元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时元.假定运行过程中轮船以速度匀速航行．（1）求的值；（2）求该轮船航行海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是，为侧棱的中点．（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线到平面的距离.22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列的前项和为,数列是首项为，公差为的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，对任意的正整数，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列；（3）对（2）题中的，求集合的元素个数.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、6分、8分.已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点，是它的一条渐近线的一个方向向量.(1) 求双曲线的方程；(2) 若过点( )任意作一条直线与双曲线交于两点( 都不同于点)，求证：为定值；(3) 对于双曲线 : ，为它的右顶点，为双曲线 上的两点(都不同于点)，且，那么直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）.情形一：双曲线及它的左顶点；情形二：抛物线及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点.（理）参考答案一．填空题:(本题共有14题，每小题4分)1． 2. 3. 4. 5. 19 6．7.8. ( ) 9. 10. 11. 12.13. 14.二．选择题：（本题共有4小题，每小题5分）15. B 16. B 17. C 18.D三．解答题19．（本题12分）解：由条件可得，……………2分即，……………4分………………………………8分由余弦定理,得………………10分于是，. ………………………………………12分20.（本题14分）本题共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）由题意得燃料费，………………………………2分把=10，代入得.………………………………………………6分（2），……………………………………9分= ，………………………11分其中等号当且仅当时成立，解得，……………13分所以，该轮船航行海里的总费用的最小值为2400（元）. (14)分21．（本题14分）本题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分.解：（1）方法一：以中点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.………1分由题意得则. .............3分设为向量的夹角，则，.....5分异面直线与所成角的大小为arccos . ...... 6分方法二：取中点，连结.………………………………….2分（或其补角）为异面直线所成的角. ……3分由题意得:在中，;在中，;……………………4分在等腰三角形中，………5分所以异面直线与所成角的大小为. .... 6分（2）方法一：由题意可得,所以，到平面的距离即为到平面的距离，设为. …………….8分设平面的法向量为，,由得,…………………11分,即. ……………………………………………………12分所以故直线到平面的距离为.…………………………………14分方法二：由题意可得,所以，到平面的距离即为到平面的距离，设为.…………….8分由题意得，等腰底边上的高为，则，且到平面的距离为，………………………………………12分由得……………………………………………………………13分，则，所以，直线到平面的距离为.……………14分22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分, 第（3）小题满分6分.解：(1)由条件得，即,…………………………..2分所以，. ……………………………………………………..4分(2) 由（1）可知所以，，,，…………………………..7分由及得依次成递增的等差数列,……………..8分所以，…………………………..9分满足为常数，所以数列为等比数列. …………………………..10分（3）①当为奇数时，，…………………………..12分同样，可得,所以，集合的元素个数为；……..13分②当为偶数时，同理可得集合的元素个数为. .…..16分23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、7分、8分。

2010年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（）A．E B．F C．G D．H2．（5分）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（5分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，97．（5分）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n个圆的面积之和，则S n=（）A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D．6πr28．（5分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152 B．126 C．90 D．549．（5分）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3] 10．（5分）记实数x1，x2，…x n中的最大数为max{x1，x2，…x n}，最小数为min{x1，x2，…x n}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（）A．充分但不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）在（x+）20的展开式中，系数为有理数的项共有项．12．（5分）已知z=2x﹣y，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为．13．（5分）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．14．（5分）某射手射击所得环数ξ的分布列如表，已知ξ的期望Eξ=8.9，则y的值为．ξ78910P x0.10.3y 15．（5分）设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB 上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段的长度是a，b的几何平均数，线段的长度是a，b的调和平均数．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=cos（+x）cos（﹣x），g（x）=sin2x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x 的集合．17．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．18．（12分）如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1（Ⅰ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算的值；（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．19．（12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（13分）已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．21．（14分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．2010年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•湖北）若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是（）A．E B．F C．G D．H【分析】首先在图形上看出复数z的代数形式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，在坐标系中看出对应的点．【解答】解：观察图形可知z=3+i，∴，即对应点H（2，﹣1），故选D．2．（5分）（2010•湖北）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由题意集合，B={（x，y）|y=3x}，画出A，B集合所表示的图象，看图象的交点，来判断A∩B的子集的个数．【解答】解：∵集合，∴为椭圆和指数函数y=3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则A∩B的子集应为∅，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种，故选A．3．（5分）（2010•湖北）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．【解答】解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选D．4．（5分）（2010•湖北）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）、P（B），进而可得P（），由对立事件的概率计算，可得答案．【解答】解：根据题意，“事件A，B中至少有一件发生”与“事件A、B一个都不发生”互为对立事件，由古典概型的计算方法，可得P（A）=，P（B）=，则P（）=（1﹣）（1﹣）=，则“事件A，B中至少有一件发生”的概率为1﹣=；故选C．5．（5分）（2010•湖北）已知△ABC和点M满足．若存在实数m 使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．6．（5分）（2010•湖北）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选B7．（5分）（2010•湖北）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S n为前n 个圆的面积之和，则S n=（）A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D．6πr2【分析】依题意可知，图形中内切圆面积依次为：，由此可以求出则S n的值．【解答】解：依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：r，r•cos30°，（r•cos30°）cos30°，（r•cos30°，cos30°）cos30°，即，则面积依次为：，所以．故选C．8．（5分）（2010•湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152 B．126 C．90 D．54【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选B．9．（5分）（2010•湖北）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是（）A．[，]B．[，3]C．[﹣1，]D．[，3]【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．【解答】解：曲线方程可化简为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b 距离等于2，即解得或，因为是下半圆故可知（舍），故当直线过（0，3）时，解得b=3，故，故选D．10．（5分）（2010•湖北）记实数x1，x2，…x n中的最大数为max{x1，x2，…x n}，最小数为min{x1，x2，…x n}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（）A．充分但不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【分析】观察两条件的互推性即可求解．【解答】解：若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则t=1；假设△ABC为等腰三角形，如a=2，b=2，c=3时，则，此时t=1仍成立，但△ABC不为等边三角形，所以“t=1”是“△ABC为等边三角形”的必要而不充分的条件．故选B．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2010•湖北）在（x+）20的展开式中，系数为有理数的项共有6项．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，系数为有理数，r 必为4的倍数．【解答】解：二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0，4，8，12，16，20共6种，故系数为有理数的项共有6项．故答案为612．（5分）（2010•湖北）已知z=2x﹣y，式中变量x，y满足约束条件，则z的最大值为5．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x﹣y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x﹣y过可行域内的点A时，从而得到z=2x﹣y的最大值即可．【解答】解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x﹣z，当直线经过A（2，﹣1）时，z取到最大值，Z max=5．故答案为：5．13．（5分）（2010•湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm．【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：414．（5分）（2010•湖北）某射手射击所得环数ξ的分布列如表，已知ξ的期望Eξ=8.9，则y的值为0.4．ξ78910P x0.10.3y【分析】根据分布列的概率之和是1，得到关于x和y之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x和y的关系式，联立方程，解出要求的y的值．【解答】解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1，7x+8×0.1+9×0.3+10×y=8.9解得y=0.4．故答案为：0.4．15．（5分）（2010•湖北）设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连接OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段DE的长度是a，b的调和平均数．【分析】在直角三角形中，由DC为高，根据射影定理可得CD2=AC•CB，变形两边开方，得到CD长度为a，b的几何平均数；根据a，b与OC之间的关系，表示出OC的长度，根据直角三角形OCE和直角三角形CDE之间边的关系得到CE 的长，得到OE进而ED，得到结果．【解答】解：在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2=AC•CB，∴，即CD长度为a，b的几何平均数，将OC=代入OD•CE=OC•CD可得故，∴ED=OD﹣OE=，∴DE的长度为a，b的调和平均数．故选CD；DE三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2010•湖北）已知函数f（x）=cos（+x）cos（﹣x），g（x）=sin2x﹣（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x 的集合．【分析】（Ⅰ）对于求函数f（x）的最小正周期，可以先将函数按照两角和，两角差的余弦公式展开后，再利用降幂公式化成一个角一个函数的形式后，用公式T=周期即可求出．（Ⅱ）对于函数h（x）=f（x）﹣g（x），把f（x）与g（x）解析式代入后，依照两角和余弦公式的逆用化成一个角一个函数为h（x）=cos（2x+），由于定义域为全体实数R，故易知最值为，而此时角2x+应为x轴正半轴的所有角的取值，即2x+=2kπ，k∈Z．由此确定角x的取值几何即可．【解答】解：（1）f（x）=cos（+x）cos（﹣x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx）=cos2x﹣=﹣=cos2x﹣，∴f（x）的最小正周期为=π（2）h（x）=f（x）﹣g（x）=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=（cos cox2x﹣sin sin2x）=cos（2x+）∴当2x+=2kπ，k∈Z，即x=kπ﹣，k∈Z时，h（x）取得最大值，且此时x取值集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}17．（12分）（2010•湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，因此．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令f'（x）=0，即．解得x=5，（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．18．（12分）（2010•湖北）如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1（Ⅰ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算的值；（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．【分析】解法一：（1）要计算的值，我们可在平面OAB内作ON⊥OA交AB 于N，连接NC．则根据已知条件结合平面几何中三角形的性质我们易得NB=ON=AQ，则易求出的值．（2）要求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值，我们可连接PN，PO，根据三垂线定理，易得∠OPN为二面角O﹣AC﹣B的平面角，然后解三角形OPN得到二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．解法二：取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，我们易根据已知给出四面体中各点的坐标，利用向量法进行求解，（1）由A、Q、B三点共线，我们可设，然后根据已知条件，构造关于λ的方程，解方程即可得到λ的值，即的值；（2）要求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值，我们可以分别求出平面OAC及平面ABC的法向量，然后根据求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值等于两个法向量夹角余弦的绝对值进行求解．【解答】解：法一：（Ⅰ）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC．又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC∵NC⊂平面ONC，∴OA⊥NC．取Q为AN的中点，则PQ∥NC．∴PQ⊥OA在等腰△AOB中，∠AOB=120°，∴∠OAB=∠OBA=30°在Rt△AON中，∠OAN=30°，∴在△ONB中，∠NOB=120°﹣90°=30°=∠NBO，∴NB=ON=AQ．∴解：（Ⅱ）连接PN，PO，由OC⊥OA，OC⊥OB知：OC⊥平面OAB．又ON⊂平面OAB，∴OC⊥ON又由ON⊥OA，ON⊥平面AOC．∴OP是NP在平面AOC内的射影．在等腰Rt△COA中，P为AC的中点，∴AC⊥OP根据三垂线定理，知：∴AC⊥NP∴∠OPN为二面角O﹣AC﹣B的平面角在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，∴在Rt△AON中，，∴在Rt△PON中，．∴解法二：（I）取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图所示）则∵P为AC中点，∴设，∵．∴，∴．∵，∴即，．所以存在点使得PQ⊥OA且．（Ⅱ）记平面ABC的法向量为=（n1，n2，n3），则由，，且，得，故可取又平面OAC的法向量为=（0，1，0）．∴cos＜，＞=．两面角O﹣AC﹣B的平面角是锐角，记为θ，则19．（12分）（2010•湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．（Ⅱ）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现•＜0的等价转化；最后通过m、t的不等式求出m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：化简得y2=4x（x＞0）．（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．设l的方程为x=ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，于是①又．⇔（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0②又，于是不等式②等价于③由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得．由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围．20．（13分）（2010•湖北）已知数列{a n}满足：，a n a n+1＜0（n≥1），数列{b n}满足：b n=a n+12﹣a n2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{b n}中的任意三项不可能成等差数列．【分析】（1）对化简整理得，令c n=1﹣a n2，进而可推断数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列通项公式求得c n，则a2n可得，进而根据a n a n+1＜0求得a n．（2）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}为等比数列，于是有b r＞b s＞b t，则只有可能有2b s=b r+b t成立，代入通项公式，化简整理后发现等式左边为2，右边为分数，故上式不可能成立，导致矛盾．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，令c n=1﹣a n2，则又，则数列{c n}是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，a n a n+1＜0故因为=，故（Ⅱ）假设数列{b n}存在三项b r，b s，b t（r＜s＜t）按某种顺序成等差数列，由于数列{b n}是首项为，公比为的等比数列，于是有2b s=b r+b t成立，则只有可能有2b r=b s+b t成立，∴化简整理后可得，2=（）r﹣s+（）t﹣s，由于r＜s＜t，且为整数，故上式不可能成立，导致矛盾．故数列{b n}中任意三项不可能成等差数列．21．（14分）（2010•湖北）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f （1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），则有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，（i）当，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立．（ii）时，若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为。