重力加速度的研究
一、单摆法
实验内容
1．学习使用秒表、米尺。
2．用单摆法测量重力加速度。
教学要求
1.理解单摆法测量重力加速度的原理。
2.研究单摆振动的周期与摆长、摆角的关系。
3.学习在实验中减小不确定度的方法。
实验器材
单摆装置（自由落体测定仪）秒表钢卷尺
重力加速度是物理学中一个重要参量。地球上各个地区重力加速度的数值，随该地区的地理纬度和相对海平面的高度而稍有差异。一般说，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北两极，重力加速度的值越大，最大值与最小值相差约1/300。研究重力加速度的分布情况，在地球物理学中具有重要意义。利用专门仪器，仔细测绘各地区重力加速度的分布情况，还可以对地下资源进行探察。
伽利略在比萨大教堂内观察一个圣灯的缓慢摆动，用他的脉搏跳动作为计时器计算圣灯摆动的时间，他发现连续摆动的圣灯，其每次摆动的时间间隔是相等的，与圣灯摆动的振幅无关，并用实验证实了观察的结果，为单摆作为计时装置奠定了基础。这就是单摆的等时性原理。
应用单摆来测量重力加速度简单方便，因为单摆的振动周期是决定于振动系统本身的性质，即决定于重力加速度g和摆长L，只需要量出摆长，并测定摆动的平均周期，就可以算出g值。
实验原理
单摆是由一不能伸长的轻质细线和悬在此线下端体积很小的重球所构成。在摆长远大于球的直径，摆球质量远大于线的质量的条件下，将悬挂的小球自平衡位置拉至一边（很小距离，摆角小于5°），然后释放，摆球即在平衡位置左右往返作周期性摆动，如图2-1所示。
图2-1 单摆原理图
摆球所受的力f 是重力和绳子张力的合力，f 指向平衡位置。当摆角很小时（θ<5°），圆弧可近似地看成直线，f 也可近似地看作沿着这一直线。设摆长为L ，小球位移为x ，质量为m ，则 sin θ=L x
f=psin θ=-mg L x =-m L g
x （2-1）
由f=ma ， 可知 a=-L
g
x
式中负号表示f 与位移x 方向相反。
单摆在摆角很小时的运动，可近似为简谐振动，比较谐振动公式： a =
m f =-ω2x 可得ω=l
g 于是得单摆运动周期为： T =2π/ω=2π
g
L
（2-2） T 2
=
g
2
4πL （2-3）
或 g=4π2
2
T L
（2-4）
一般作单摆实验时，采用某一个固定摆长L ，精密地多次测量周期T ，代入（2-4）式，即可求得当地的重力加速度g 。
由式（2-3）可知，T 2
和L 之间具有线性关系，g
2
4π为其斜率，
如就各种摆长测出各对应周期，则可从T 2—L 图线的斜率求g 值。 上述单摆测量g 的方法依据的公式是(2-2)式,这个公式的成立是有条件的，否则将使测量产生如下系统误差:
1. 单摆的摆动周期与摆角的关系，可通过测量θ<5°时两次不同摆角θ1、θ2的周期值进行比较。在本实验的测量精度范围内，验证出单摆的T 与θ无关。
实际上，单摆的T 随θ增加而增加，根据振动理论，周期不仅与摆长L 有关，而且与摆动的角振幅有关，其公式为：
T=T 0[1+(21)2sin 22
θ+(
4
231⨯⨯)2sin 22θ
+……]
式中T 0为θ接近于0o 时的周期，即T 0=2πg
L
2．悬线质量m 0应远小于摆球的质量m ，摆球的半径r 应远小于摆长L ，实际上任何一个单摆都不是理想的，由理论可以证明，此时考虑上述因素的影响，其摆动周期为：
2
1
0220221212135212⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=L r m m L r L r m m L r g L T π 3．如果考虑空气的浮力，则周期应为：⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=摆球空气ρ
ρ210T T 式中T 0是同一单摆在真空中的摆动周期，ρ空气是空气的密度，ρ摆球 是摆球的密度，由上式可知单摆周期并非与摆球材料无关，当摆球密度很小时影响较大。
4．忽略了空气的粘滞阻力及其他因素引起的摩擦力，实际上单摆摆动时，由于存在这些摩擦阻力，使单摆不是作简谐振动而是作阻尼振动，使周期增大。
上述四种因素带来的误差都是系统误差，均来自理论公式所要求的条件在实验中未能很好地满足，因此属于理论方法误差。此外，使用的仪器如停表、米尺也会带来仪器误差。
操作步骤
1．仪器调整：
本实验是在自由落体测定仪上进行，故须要把自由落体测定仪的支柱调成铅直。调整方法是：安装好摆锤后，调节底座上的水平调节螺丝，使摆线与立柱平行。 2．测量摆长L
测量摆线支点与摆球质心之间的距离L 。由于摆球质心位置难找，可用米尺测悬点到摆球最低点的距离L 1，（测三次），用千分尺测球的直径d ，（测三次），则摆长：
L=L 1-d/2
3．测量摆动周期T
使摆球摆动幅度在允许范围内，测量摆球往返摆动50次所需时间t 50，重复测量3次，求出T =50
350⨯∑
t 。测量时，选择摆球通过最
低点时开始计时，最后计算时单位统一为秒。
4. 将所测数据列于下表中，并计算出摆长、周期及重力加速
对g =4π
2
2
12/T d L -
根据不确定度的相对式有：
2
222221)ln ()ln ()ln (T d n g T
g d g l g g σσσσ∂∂+∂∂+∂∂=
其中：
1ln l g ∂∂=L
d L 1
2/11=- L d L d g 212/21ln 1-=--
=∂∂ T
T g 2
ln -=∂∂ 2
22)2(
)2(
)(
T
L
L
g T d
L
g σσσσ++= 注意事项：
1．摆长的测定中，摆长约为1米，钢卷尺与悬线尽量平行，尽量接近，眼睛与摆球最低点平行，视线与尺垂直，以避免误差。 2．测定周期T (50）时，要从摆球摆至最低点时开始计时，并
