2018年高考数学 热门考点与解题技巧 考点5 复数及其运算

2018届高考数学热点难点突破—熟记概念巧解复数问题考纲要求:1．理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件．2.了解复数的代数表示形式及其几何意义．会进行复数代数形式的四则运算．3.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义．基础知识回顾:一、复数的有关概念 1．复数的概念形如a ＋bi (a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋bi 为实数；若b ≠0，则a ＋bi 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋bi 为纯虚数． 2．复数相等a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 3共轭复数a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 4．复数的模向量OZ的模r 叫做复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋bi |，即|z |＝|a ＋bi |＝a 2＋b 2.二、复数的几何表示及意义(1)复数z ＝a ＋bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R ) ←−−−→一一对应平面向量 OZ .三、复数的运算1．复数的乘、除运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di (a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi )·(c ＋di )＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(2)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ a ＋b i c －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i (c ＋di ≠0)．2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．应用举例:类型一复数的概念例1．【2017-2018学年辽宁省沈阳市四校协作体高三年级联合考试】若复数z 满足()()325z i --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（） A . 2i +B . 2i -C . 5i +D . 5i - 【答案】D点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式，复数z a b i =+实部为a ，虚部为b ，共轭复数OP 实部为()1O P t O A t O B =-+，虚部为()1O P t O A t O B=-+，在复平面内对应的点关于是轴对称。

1.理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示法及其几何意义4.会进行复数代数形式的四则运算5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义热点题型一 复数的有关概念例1、【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数知选C ．【变式探究】(1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ． 2－i C ．5＋i D ．5－i (2)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 【答案】（1）D （2）D【提分秘籍】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理。

【举一反三】设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】ab ＝0⇒a ＝0或b ＝0，这时a ＋b i ＝a －b i 不一定为纯虚数，但如果a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则有a ＝0且b ≠0，这时有ab ＝0，由此知选B 。

热点题型二 复数的几何意义例2、【2017课标3，文2】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C.【变式探究】(1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)复数z ＝－2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25B .41C ．5 D. 5【答案】（1）B （2）C【提分秘籍】(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ →。

高考数学应试技巧之复数数学作为高考的必考科目之一，对于许多学生来说是一个极大的挑战。

尤其是在复数的应用中，许多学生常常感到棘手。

复数是高考数学中的一个重要知识点，也是一个需要深入理解和掌握的知识点。

本文将介绍几个复数的应试技巧，并提供一些例题帮助读者更好地掌握复数的应用。

一、基本定义复数是指形如 a+bi 的数，其中 a 和 b 分别为实数，i 表示虚数单位，它满足 i²=-1。

实数和虚数是复数中的两个部分，实数 a 被称为复数的实部，虚数 b 被称为复数的虚部。

二、极坐标表示法复数在极坐标表示法中的表示方式是：z=r(cosθ+isinθ)，其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的幅角。

在使用极坐标表示法求解问题时，可以利用三角函数的相关知识进行计算。

例题：已知复数 z=1+2i，求其极坐标形式。

解：复数的模为r=√(1²+2²)=√5，复数的幅角为cosθ=1/√5，sinθ=2/√5，因此θ=arctan(2/1)。

所以，复数 z 的极坐标表示形式为z=√5(cosθ+isinθ)=√5(cos(arctan(2))+isin(arctan(2)))。

三、共轭复数共轭复数是指保持实部不变但虚部变号的复数，可以表示为z*=a-bi。

共轭复数的一个重要性质是，任何实数的平方都是非负的，因此，复数与其共轭复数的乘积的实部是一个非负实数。

例题：已知 z=1+2i，求其共轭复数 z*。

解：由定义可知，z*=1-2i。

四、四则运算（1）加减法复数的加减法与实数的加减法类似，只是加减的对象从实数变成了复数。

需要注意的是，复数的实部与虚部分别相加减。

例题：已知 z1=1+2i，z2=3-4i，求 z1+z2 和 z1-z2。

解：z1+z2=(1+2i)+(3-4i)=4-2iz1-z2=(1+2i)-(3-4i)=-2+6i（2）乘法复数的乘法需要特别注意的是，(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²，其中 i²=-1。

复数的概念与运算知识梳理【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中i叫做虚数单位。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

【复数的运算】1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i；3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。

4、复数的除法运算规则：。

共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

复数z=a+bi和=a-bi（a、b∈R）互为共轭复数。

【复数的运算律】1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1；结合律：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）；2、减法同加法一样满足交换律、结合律。

3、乘法运算律：（1）z1（z2z3）=（z1z2）z3；（2）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3；（3）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3示范例题【2017年高考全国Ⅰ卷，理3】 设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【考点】复数的运算与性质.【点拨】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成(,)z a bi a b R =+∈的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.答题思路【命题意图】 高考对本部分内容的考查主要体现在以下几个方面：1.理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件；2．了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示；3.会进行复数代数形式的四则运算；4.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【命题规律】 从近三年高考情况来看，本部分内容为高考的必考内容，尤其是复数的概念、复数相等，复数的四则运算以及共轭复数，复数的乘、除运算是高考考查的重点内容，一般为选择题或填空题，难度不大，解题时要正确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解.【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下三步：第一步：构造（求出）未知复数 设(,)z a bi a b R =+∈，根据具体的要求设定,a b （或求出,a b ）；第二步：借助复数四则运算，求出需求结果由z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋（bc －ad ）c 2＋d 2i(c 2＋d 2≠0)；z 1·z 2＝(a ＋b i )·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 等求出需求的结果；第三步：关注易错点，检验①共轭复数：a ＋b i(a ，b ∈R )与c ＋d i(c ，d ∈R )互为共轭复数⇔a ＝c ， b ＝－d ；②|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.【方法总结】 1．复数的相关概念(1)对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当且仅当b ＝0时，是实数；当b ≠0时，是虚数；当a ＝0且b ≠0时，是纯虚数．(2)复数相等：如果a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ；a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0.(3)共轭复数：a ＋b i(a ，b ∈R )与c ＋d i(c ，d ∈R )互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d . 2．复数的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )．3.常用结论 (1)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，n ∈N *.(2)(1±i)2＝±2i ，(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2. 4．复数的几何意义(1)复数加法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则； (2)复数减法的几何意义：复数减法即向量的减法，满足三角形法则． 5．复数的模向量OZ →的长度叫作复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 6．模的运算性质(1)|z |2＝|z －|2＝z ·z －； (2)|z 1·z 2|＝|z 1||z 2|； (3)1122||||z z z z =.真题练习1．【2017年高考全国Ⅲ卷】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C. 【考点】复数运算【点拨】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi2.【2017年高考全国Ⅱ卷】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -【答案】D 【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。

复数的概念与四则运算【母题原题1】 复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果. 详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.【母题原题2】 已知a ，b ∈R ， 2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ______，ab=________.【答案】 5 2【解析】由题意可得22234a b abi i -+=+，则223{ 2a b ab -==，解得224{ 1a b ==，则225,2a b ab +==．【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b a ， b ）、共轭为a bi -等．【命题意图】考查对复数概念的理解、复数四则运算法则，考查复数的基础知识的掌握和基本的运算能力. 【命题规律】主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数模的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算居多．【答题模板】以2018年高考题为例，解答此类题目，一般考虑如下三步： 第一步：计算化简.即利用复数的四则运算法则，将所给复数化简； 第二步：明确复数的实部、虚部.第三步：写出共轭复数.根据共轭复数的概念，写出共轭复数. 【方法总结】1.处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法． 2. 复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1.除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 3. 对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ，22()(),(,,.)+++-=∈++，a bi ac bd bc ad ia b c d R c di c d.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi4.2i 1=-中的负号易忽略. 1． 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】，所以共轭复数是 ，故选 .2．【2018届云南省玉溪市适应性训练】设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（ ）A.B.C.D.【答案】A2． 已知（﹣1+3i ）（2﹣i ）=4+3i （其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数），则z 的虚部为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. i D. ﹣i【答案】A【解析】分析：根据复数除法得，再得z，根据复数概念得结果.详解：因为（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，所以因此，虚部为1,选A.3．已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据已知求复数z，再求复数z的虚部得解.详解：由题得所以复数z的虚部为.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的虚部概念，意在考查复数的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)复数a+bi的实部是a,虚部是b，不是bi.5 已知i是虚数范围，若复数z满足411iz=-+，则•z z=（）A. 4B. 5C. 6D. 8 【答案】B【解析】由411iz=-+，得41121z ii=-=+-，则25z z z⋅==，故选B．6.若复数（是虚数单位），则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由复数乘法求得，再由共轭复数定义得结论.详解：由题意，∴，故选D.7.在复平面内，复数满足则对应的点为于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出对应的点的坐标即可.详解：由，得，，则对应的点的坐标为，位于第二象限，故选B.8.已知复数,是它的共轭复数,则（）A. B. C. D.【答案】A本题选择A选项.9.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B10．复数的虚部为，的共轭复数．【答案】，．【解析】试题分析：∵，∴虚部为，共轭复数．10.若复数满足（为虚数单位），则__________；__________．【答案】. .11.设复数52zi=-（其中i为虚数单位），则复数z的实部为__________ ，虚部为__________．【答案】 2 1【解析】()()()5252 222iz ii i i+===+ --+所以复数z的实部为2，虚部为1.。

高考数学（文科）高频考点（2、复数的运算）一、历年考点：1、复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

2、 复数的实部、虚部——a+bi=c+di ⇔ a=c,且 b=d 。

3、复数代数形式的四则运算 复数的加法法则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i复数的减法法则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i复数的乘法法则—(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i复数的除法法则—di ++c bi a =22d c bd ac +++22dc ad -bc +i注：虚数单位i 2=-1 i 4k =1 i 4k+1=I i 4k+2=-1 i 4k+3=-i(k ∈N) i 1=-i (1±i)2=±2i i -1i 1+=i i11+-i =-i 4、共轭复数（1）当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

（2）复数z 的共轭复数用 z 表示，即如果z=a+bi ，那么z =a-bi ．5、复平面的概念(1)复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面.复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.(2)复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ； 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ ； 复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ . 注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量 OZ ，规定相等的向量表示同一复数.(3)复数的模 向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知:||||0,)z a bi r r r R =+=≥∈ 练习题1、复数z 满足(1)2z i i +=，则复数z 的实部与虚部之差为（ A ）A.0B.1-C.3-D.32、已知复数1z i =+，则221z zz --＝（B ）A. 2B.2iC. -2D.-2i3、若将复数2i i +表示为a bi + (,,a b R i ∈是虚数单位)的形式，则ba 的值为 ( C )A ．2B ．12-C ．-2D ．124、复数512()12mi i m R i -=-∈+，则m 的值为（ A ）A ．0B ．-1C ．1D ．25、若复数(t ∈R)的实部与虚部之和为0，则t 为( C )A ．-1B ．0C ．1D ．2历年高考题1、已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（ ）（A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i2、若a 为实数，且231aii i +=++，则a =（ ）A ．-4B ．-3C ．3D ．43、设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ）（A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i -4、若43i z =+，则||zz =（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）43+i 55 （D ）43i 55-5、设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（ ）A ．－3B ．－2C ．2D ．3。

高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。

2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。

二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。

三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。

复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。

复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。

此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。

复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。

通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。

高中数学中的复数运算知识点总结在高中数学学习中，复数运算是一个重要的知识点。

复数是由实数和虚数构成的数，其运算包括四则运算、乘方运算等。

下面将对高中数学中的复数运算进行总结。

一、复数的定义复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位。

实部和虚部都是实数，虚部的系数b前面必须加上虚数单位i。

二、复数加法和减法1. 加法复数a+bi和c+di相加，实部和虚部分别相加即可，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

2. 减法复数a+bi和c+di相减，实部和虚部分别相减即可，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

三、复数乘法和除法1. 乘法复数a+bi和c+di相乘，按照分配律展开式进行计算，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。

2. 除法复数a+bi除以c+di，先将被除数和除数的虚部有理化，然后根据乘法的倒数性质进行计算。

先将除数的虚部变号，得到复数的共轭复数，然后将除数乘以其共轭复数，再将结果化简为标准形式即可。

四、复数的乘方和开方1. 乘方复数的乘方可以使用二项式定理进行展开，然后根据i的幂次去化简。

2. 开方复数的开方可以先将复数化为三角形式或指数形式，然后利用根式的性质进行计算。

五、复数的模和辐角1. 模复数a+bi的模用|a+bi|表示，|a+bi|=√(a²+b²)。

2. 辐角复数a+bi的辐角用θ表示，可以通过a和b的值以及复数所在象限求得，tanθ=b/a。

六、复数的共轭与倒数1. 共轭复数复数a+bi的共轭复数记作a-bi，共轭复数的实部相同，虚部的符号相反。

2. 复数的倒数复数a+bi的倒数记作1/(a+bi)，倒数的实部和虚部由实部和虚部的比例求得。

综上所述，高中数学中的复数运算涉及到复数的加法、减法、乘法、除法，以及乘方、开方等运算。

同时，复数的模、辐角、共轭与倒数也是重要的概念。

专题42 复数1.理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示法及其几何意义4.会进行复数代数形式的四则运算5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义热点题型一 复数的有关概念例1、【2017山东，理2】已知a R ∈,i 是虚数单位，若,4z a z z =⋅=，则a=（A ）1或-1 （B （C ）（D 【答案】A【解析】由3,4z a i z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【变式探究】 (1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i(2)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R)是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：(1)由(z －3)(2－i)＝5， 得z ＝52－i ＋3＝＋2－i 2＋i＋3＝＋5＋3＝5＋i ，∴z ＝5－i.故选D 。

(2)复数a －103－i＝a －＋10＝(a －3)－i 为纯虚数，∴a －3＝0，∴a ＝3。

故选D 。

答案：（1）D （2）D【提分秘籍】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理。

【举一反三】设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：ab ＝0⇒a ＝0或b ＝0，这时a ＋b i ＝a －b i 不一定为纯虚数，但如果a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则有a ＝0且b ≠0，这时有ab ＝0，由此知选B 。

答案：B热点题型二 复数的几何意义例2、(1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)复数z ＝－2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25B .41C ．5 D. 5【提分秘籍】(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)⇔Z (a ，b )⇔OZ →。

复数高考基础题型总结及解题技巧近年来，随着我国高考改革的深入，考试内容也在不断地进行调整和优化。

其中，复数基础题型一直是考试中的一个重要组成部分。

针对这一主题，我们将就复数高考基础题型进行总结及解题技巧，帮助考生更好地掌握和应对这一考试难点。

一、基础概念总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i^2=-1）的乘积所构成的数，形如a+bi （a、b为实数，i为虚数单位）。

2. 复数的实部和虚部在复数a+bi中，a为实部，b为虚部。

3. 复数的四则运算复数的加法、减法、乘法和除法的运算规则，需要考生熟练掌握。

二、高考基础题型总结1. 复数的加减法复数的加减法考查考生对实部和虚部的分别以及相同部分的相加减的能力。

2. 复数的乘法复数的乘法需要考生掌握实部和虚部相乘的规则，同时避免常见错误。

3. 复数的除法复数的除法同样需要考生掌握实部和虚部相除的规则，以及如何处理除数为复数的情况。

4. 复数的平方和立方考生需要掌握复数的平方和立方的运算技巧，注意复数单位i的运算与化简。

三、解题技巧1. 完全掌握基础概念考生在准备复数基础题型时，首先要完全掌握复数的定义、实部和虚部的概念，以及四则运算的规则。

2. 多做练习题通过大量的练习，考生可以更好地掌握复数基础题型的解题技巧，提高解题速度和准确性。

3. 注意细节在做题过程中，考生需要特别注意运算过程中的细节，避免因计算错误导致最终答案错误。

4. 熟练掌握化简规则在复数的乘法、除法以及平方、立方运算中，化简是非常关键的一步，考生需熟练掌握化简的规则和技巧。

复数高考基础题型在考试中占据重要地位，对考生的基本数学能力和逻辑思维能力提出了很高的要求。

考生需要在复习时充分掌握基础概念，多做练习，并且注重细节和化简的技巧，从而更好地应对考试。

复数基础题型的掌握也对于后续学习和工作中的数学运用具有重要意义。

以上观点仅代表个人观点，仅供参考。

希望对复数高考基础题型的解题技巧和应试能力有所帮助！复数的基础题型总结及解题技巧是高考复习中不可或缺的一部分。

考点5 复数及其运算 热门题型 题型1 复数的概念及运算 题型2 复数的几何意义题型1 复数的概念及运算例1（1）（2017天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i a -+为实数，则a 的值为 . (2)计算：3（1＋i ）2i －1＝________； (3)计算(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________； `(4)计算：－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 018＝________． 【解题技巧】无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.变式1.（2017全国1卷理科3）设有下面四个命题：1:p 若复数z 满足1z ∈R，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ ）.A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p解析1:p 设i z a b =+，则2211i i a b z a b a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1p 正确； 2:p 若z 1=-2，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确.故选B.变式2．（2015广东理2）若复数()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i - B ．23i + C ．32i + D ．32i -解析 因为()i 32i 23i z =-=+，所以23i z =-．故选A ．变式3．复数z 满足()()25z i i --=，则z 为.A -2-2i .B -2+2i .C 2-2i D 2+2i解析 令(),R,R z a bi a b =+∈∈，则()()()()212z i i a b i i --=+--⎡⎤⎣⎦[]2(1)12b a i b a =--+-+ 5=，所以()210,21 5.b a a b --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩解得22a b =⎧⎨=⎩，所以22z i =+.故选D .例2．（2016全国乙理2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.A. 1B.2C.3D.2解析 由()1i 1i x y +=+，得1x y ==，所以i 1i 2x y +=+=.故选B.【解题技巧】若复数i z x y =+，则22=z x y +. 变式1 已知35(,)44ππθ∈，则复数(cos sin )(sin cos )z i θθθθ=++-在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解法二：，π）π（π）π（π，π，π，π24,234)4543(∈-∈+∈θθθ， 则0)4sin(2sin cos <+=+πθθθ，0)4sin(2cos sin >-=-πθθθ，故)cos (sin )sin (cos θθθθ-++=i z 在复平面上对应的点在第二象限，故选B 。

高考数学如何应对复杂的复数运算问题高考数学中，复数运算是一个相对复杂的考点，需要掌握一定的基本概念和运算规则。

在解决复数运算问题时，有一些方法和技巧可以帮助我们更好地应对。

本文将介绍如何应对复杂的复数运算问题，包括对复数的基本认识、复数的四则运算、复数的平方根运算以及复数与实数的运算。

一、复数的基本认识复数是由实数和虚数部分组成的数，形式为a+bi。

其中，a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

复数可以用平面坐标系表示，实数部分对应横轴，虚数部分对应纵轴，复数表示平面上的一个点。

二、复数的四则运算1. 加法：对应部分相加即可，实数部分与实数部分相加，虚数部分与虚数部分相加。

2. 减法：对应部分相减即可，实数部分与实数部分相减，虚数部分与虚数部分相减。

3. 乘法：将复数按照分配律展开计算即可。

4. 除法：通过有理化的方法，将除数化为实数形式，然后进行分数的除法运算。

三、复数的平方根运算在高考数学中，常常会遇到求解复数的平方根的问题。

设复数z=a+bi，需要求解z的平方根，则可通过以下步骤进行计算：1. 将复数z表示为模长与幅角的形式，即z=√(a²+b²)·(cosθ+isinθ)。

2. 对z进行开根号操作，即求解√(a²+b²)的平方根和θ/2的一半。

3. 根据欧拉公式，将结果表示为复数形式。

四、复数与实数的运算复数与实数的运算相对简单，可以将实数看作虚数部分为零的复数，然后按照复数的运算规则进行计算。

实数与复数的加减乘除运算与复数的四则运算相同。

总结：在应对复杂的复数运算问题时，我们需要掌握复数的基本认识，了解复数的四则运算规则。

特别是对于复数的平方根运算，可以通过将复数表示为模长与幅角的形式，然后进行根号操作，最后将结果表示为复数形式。

此外，复数与实数的运算可以按照复数的运算规则进行处理。

通过熟悉这些方法和技巧，我们能够更好地应对和解决高考数学中的复杂复数运算问题。

高考数学知识点速记复数的运算与性质在高考数学中，复数是一个重要的知识点。

复数的运算与性质不仅是数学学科中的基础内容，也是解决许多数学问题的有力工具。

让我们一起来快速了解一下复数的运算与性质。

一、复数的定义形如\（a ＋ bi\）（＼（a\）、＼（b\）均为实数）的数称为复数，其中\（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。

当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）就是实数；当\（b ≠ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）被称为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ≠ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）被称为纯虚数。

二、复数的几何意义在平面直角坐标系中，以\（x\）轴为实轴，＼（y\）轴为虚轴，建立复平面。

复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应复平面内的点\（Z(a, b)＼），向量\（＼overrightarrow{OZ}＼）的坐标也是\（（a, b)＼）。

三、复数的运算1、复数的加法设\（z_1 ＝ a ＋ bi\），＼（z_2 ＝ c ＋ di\），则\（z_1 ＋ z_2 ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）。

复数的加法满足交换律和结合律，即\（z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1\），＼（（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋（z_2 ＋ z_3)＼）。

2、复数的减法＼（z_1 z_2 ＝（a c) ＋（b d)i\）3、复数的乘法＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2 ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、复数的除法＼＼begin{align}＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac adi ＋ bci bdi^2}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{（ac ＋ bd) ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼end{align}＼四、复数的性质1、共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。

复数高考基础题型总结及解题技巧复数高考基础题型总结及解题技巧一、概述复数在高考数学中是一个基础而重要的概念，涉及到代数、函数、方程等多个章节。

在高考中，复数的题型也是非常常见的，包括求模、共轭、乘法、除法、方程等多种类型。

了解复数的基础知识，并掌握解题技巧，对于高考数学的备考至关重要。

二、复数的基本概念1. 复数的定义复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，bi 为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。

2. 复数的表示形式复数可以表示为代数形式a+bi，也可以表示为三角形式r(cosθ + isinθ)，其中r为复数的模，θ为辐角。

3. 复数的运算复数的加法、减法、乘法、除法与实数的运算类似，需要分别对实部和虚部进行运算。

三、常见高考基础题型及解题技巧1. 求复数的模题型：已知复数z=a+bi，求z的模|z|。

解题技巧：利用复数的定义，|z|=√(a^2+b^2)。

2. 求复数的共轭题型：已知复数z=a+bi，求z的共轭复数z*。

解题技巧：z*的实部和虚部分别与z相同，但虚部的符号相反，即z*=a-bi。

3. 复数的乘法题型：计算复数z1=a+bi和z2=c+di的乘积。

解题技巧：根据复数的乘法规则，进行实部和虚部的分配、合并、整理，得到结果。

4. 复数的除法题型：计算复数z1=a+bi除以z2=c+di的商。

解题技巧：利用复数的定义和除法运算规则，将分母有理化，然后进行分子分母同乘后整理得到商的实部和虚部。

5. 解复数方程题型：解方程z^2=a，其中a为实数。

解题技巧：化为二元一次方程组，利用求根公式解得复数解。

四、个人观点与总结复数作为数学中的一个重要概念，不仅在高考中频繁出现，而且在数学建模、物理等领域也有着广泛的应用。

对复数的基础知识和解题技巧进行深入的学习和掌握，对于数学学科的发展至关重要。

希望同学们能够在备考高考数学的过程中，认真对待复数的学习，多加练习，提高对复数的理解和运用能力。

解决高考数学中的复数运算难题复数运算是高考数学中一个相对较难的部分，涉及到的知识点较多且概念较为抽象。

然而，只要我们掌握了一定的技巧和方法，就能够轻松解决这些难题。

本文将介绍几种解决高考数学中复数运算难题的方法和技巧，以帮助同学们提高解题能力。

一、复数的表示方法在复数运算中，我们通常使用复数表示法来表示一个复数。

复数表示法包括代数表示法和三角表示法两种。

1. 代数表示法：复数的代数表示法是由一个实数部分和一个虚数部分构成的，实数部分通常用字母a表示，虚数部分通常用字母b表示，复数的代数表示法可以写作 a+bi 的形式，其中 i 表示虚数单位。

2. 三角表示法：复数的三角表示法是由一个模和一个辐角构成的，模表示复数与原点的距离，辐角表示复数与实轴正方向的夹角。

复数的三角表示法可以写作r(cosθ + isinθ) 的形式，其中 r 表示模，θ 表示辐角。

掌握复数的表示方法，是解决复数运算难题的基本前提。

二、复数的加减法复数的加减法可以按照代数表示法或三角表示法进行，下面将介绍两种表示法的运算方法。

1. 代数表示法：对于两个复数 a+bi 和 c+di 的加减法运算，我们只需要将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减即可。

例如：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

2. 三角表示法：对于两个复数 r₁(cosθ₁ + isinθ₁) 和 r₂(cosθ₂ + isinθ₂) 的加减法运算，我们可以将它们转化为代数表示法后再进行运算。

例如：r₁(cosθ₁ + isi nθ₁) + r₂(cosθ₂ + isinθ₂) = (r₁cosθ₁ +r₂cosθ₂) + (r₁sinθ₁ + r₂sinθ₂)i，r₁(cosθ₁ + isinθ₁) - r₂(cosθ₂ + isinθ₂) = (r₁cosθ₁ - r₂cosθ₂) + (r₁sinθ₁ - r₂sinθ₂)i。

复数的概念与四则运算【母题原题1】 复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果. 详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.【母题原题2】 已知a ，b ∈R ， 2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ______，ab=________.【答案】 5 2【解析】由题意可得22234a b abi i -+=+，则223{ 2a b ab -==，解得224{ 1a b ==，则225,2a b ab +==．【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b a ， b ）、共轭为a bi -等．【命题意图】考查对复数概念的理解、复数四则运算法则，考查复数的基础知识的掌握和基本的运算能力. 【命题规律】主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数模的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算居多．【答题模板】以2018年高考题为例，解答此类题目，一般考虑如下三步： 第一步：计算化简.即利用复数的四则运算法则，将所给复数化简； 第二步：明确复数的实部、虚部.第三步：写出共轭复数.根据共轭复数的概念，写出共轭复数. 【方法总结】1.处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法． 2. 复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1.除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 3. 对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ，22()(),(,,.)+++-=∈++，a bi ac bd bc ad ia b c d R c di c d.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi4.2i 1=-中的负号易忽略. 1． 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】，所以共轭复数是 ，故选 .2．【2018届云南省玉溪市适应性训练】设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（ ）A.B.C.D.【答案】A2． 已知（﹣1+3i ）（2﹣i ）=4+3i （其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数），则z 的虚部为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. i D. ﹣i【答案】A【解析】分析：根据复数除法得，再得z，根据复数概念得结果.详解：因为（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，所以因此，虚部为1,选A.3．已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据已知求复数z，再求复数z的虚部得解.详解：由题得所以复数z的虚部为.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的虚部概念，意在考查复数的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)复数a+bi的实部是a,虚部是b，不是bi.5 已知i是虚数范围，若复数z满足411iz=-+，则•z z=（）A. 4B. 5C. 6D. 8 【答案】B【解析】由411iz=-+，得41121z ii=-=+-，则25z z z⋅==，故选B．6.若复数（是虚数单位），则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由复数乘法求得，再由共轭复数定义得结论.详解：由题意，∴，故选D.7.在复平面内，复数满足则对应的点为于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出对应的点的坐标即可.详解：由，得，，则对应的点的坐标为，位于第二象限，故选B.8.已知复数,是它的共轭复数,则（）A. B. C. D.【答案】A本题选择A选项.9.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B10．复数的虚部为，的共轭复数．【答案】，．【解析】试题分析：∵，∴虚部为，共轭复数．10.若复数满足（为虚数单位），则__________；__________．【答案】. .11.设复数52zi=-（其中i为虚数单位），则复数z的实部为__________ ，虚部为__________．【答案】 2 1【解析】()()()5252 222iz ii i i+===+ --+所以复数z的实部为2，虚部为1.。

高考数学必考知识点复数复数是高中数学中的重要概念，也是高考数学中必考的知识点之一。

许多学生对复数有些陌生，不太了解其概念和性质。

本文将详细介绍复数的基本概念、运算规则以及在解决实际问题中的应用等方面，帮助学生更好地掌握这一知识点。

1. 复数的概念复数是由实数和虚数构成的数。

其中，实数可以看作是复数的一部分，而虚数被定义为单位虚数 $i$ 与实数乘积所得。

一个复数可以表示为 $a+bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 分别代表实数部分和虚数部分。

例如，$3+2i$、$-5i$ 都是复数。

2. 复数的运算（1）复数的加法和减法：复数的加法和减法遵循实部相加（减），虚部相加（减）的规则。

即，设复数 $z_1 = a_1+b_1i$，$z_2 = a_2+b_2i$，则有$z_1+z_2 = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i$，$z_1-z_2 = (a_1-a_2) + (b_1-b_2)i$。

（2）复数的乘法：复数的乘法可以使用分配律展开，注意虚数 $i$ 与自身的乘积为 $-1$。

例如，$(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$。

需要注意的是，复数的乘法满足交换律和结合律。

（3）复数的除法：复数的除法需要将除数分母的虚数部分进行有理化，化为实数形式。

具体操作是将分母的虚数部分与其共轭相乘，即将分母化为实数。

然后将被除数与实数形式的除数进行乘法运算，得到的结果即为商。

例如，$(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)]$。

3. 复数的性质（1）复数的模：复数的模表示复数离原点的距离，可以用勾股定理求得。

设复数 $z = a+bi$，则有 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。

模的性质包括非负性、零模性、模的加法和乘法性质等。

（2）共轭复数：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取相反数的复数。

即，设复数 $z = a+bi$，则其共轭复数为 $\bar{z} = a-bi$。