考点5 复数及其运算
题型1 复数的概念及运算
例1（1）（2017天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若
i 2i
a -+为实数，则a 的值为 . (2)计算：3（1＋i ）2i －1
＝________； (3)计算(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i
＝________； `(4)计算：－
23＋i 1＋23i ＋(21－i )2 018＝________． 【解题技巧】无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚.
变式1.（2017全国1卷理科3）设有下面四个命题：
1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；
3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为（ ）.
A.13,p p
B.14,p p
C.23,p p
D.24,p p
解析 1:p 设i z a b =+，则22
11i i a b z a b a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1p 正确； 2:p 若z 1=-2，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；
3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；
4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确.故选B.
变式2．（2015广东理2）若复数()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ）
A ．23i -
B ．23i +
C ．32i +
D ．32i -
解析 因为()i 32i 23i z =-=+，所以23i z =-．故选A ．
变式3．复数z 满足()()25z i i --=，则z 为
.A -2-2i .B -2+2i .C 2-2i D 2+2i
解析 令(),R,R z a bi a b =+∈∈，则()()()()212z i i a b i i --=+--⎡⎤⎣⎦
[]2(1)12b a i b a =--+-+ 5=，所以()210,21 5.
b a a b --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩解得22a b =⎧⎨=⎩，所以22z i =+.故选D .
例2．（2016全国乙理2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ ）.
解析 由()1i 1i x y +=+，得1x y ==，所以i 1i x y +=+故选B.
【解题技巧】若复数i z x y =+，则=
z 变式1 已知35(
,)44
ππθ∈，则复数(cos sin )(sin cos )z i θθθθ=++-在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
解法二：，π）π（π）π（π，π，π，π2
4,234)4543(
∈-∈+∈θθθ， 则0)4sin(2sin cos <+=+πθθθ，0)4sin(2cos sin >-=-πθθθ，故
)cos (sin )sin (cos θθθθ-++=i z 在复平面上对应的点在第二象限，故选B 。
变式2 02,,||a z a i z <<=+的取值范围为（ ）
A
． B
． C ．(1,3) D ．(1,5)
解析：代数法.)2,0(12∈+=a a z 在上单调递增，得)5,1(∈z 。故选B 。
变式3 已知z C ∈，且|22|1z i --=，则|22|z i +-的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．
5
题型2 复数的几何意义
例3 （2017北京理2）若复数
()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）.
A.()–1∞，
B.()––1∞，
C.()1+∞，
D.()–1+∞，
解析 由()()()()1i i i i 111i a a a a a -+=+-+=++-，则1010a a +<⎧⎨->⎩
，即1a <-.故选B. 【解题技巧】复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点.
变式1.复数()()i 1i i z =⋅+为虚数单位在复平面上对应的点位于（ ）.
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 解析：B
变式2.已知复数z 的共轭复数12i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
解析：D
变式3．在复平面内，复数2i 1i
z =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）. A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 解析：D
【高考真题链接】
1.（2015天津理9）i 是虚数单位，
若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 . 解析 ()()()12i i 212i a a a -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.
2．（2016江苏2）复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 解析 由复数乘法法则可得55i z =+，故z 的实部是5．
3．（2015湖北理1）i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．
为（ ）． A ．i B ．i - C ．1 D ．1-
解析 依题意可得：6074151+332i =i =i =i i=i ⨯⋅-，故选A.
4.（2015全国二理2）若a 为实数，且()()2i 2i 4i a a +-=-，则a =（ ）．
A.1-
B. 0
C.1
D. 2
5.(2015山东理2）若复数z 满足
i 1i z =-，其中i 为虚数单位，则z =( ) A ．1i -
B ．1i +
C ．1i --
D ．1i -+ 解析 因为i 1i
z =-，所以()1i i =1+i z =-，所以1i z =-．故选A ． 6．（2016山东理1）若复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）.
A ．12i +
B ．12i -
C ．12i -+
D ．12i --
解析 设i,(,)z a b a b =+∈R ，则2()i 2z z z z z a b a +=++=++=3i 32i a b +=-，
