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f ( x) ln(1 x), f (0) 0, f (t) 1 , 1 t
ln(1 x) x ,
1
又0 x,
1 1 1 x,
1 1 1,
1 x 1
x x x,
1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 ...... x
12
推论 若 f ( x) 在区间 I 上连续,且在(I )内的导数恒为零 , 则 f (x) 在区间 I 上是一个常数.
f ( x) 2( x 1), 显然f ..(...1. ) 0, 1 (1,3). 3
★罗尔定理的证明: 费马(Fermat )引理 若f ( x)在U ( x0 )内有定义,在x0处可导, 且x U ( x0 ),有f ( x) f ( x0 )(或f ( x) f ( x0 )), 则 f ( x0 ) 0.
......
b a 10
◆拉氏中值公式(有限增量公式):
f ( ) f (b) f (a) f (b) f (a) f ( )(b a).
ba
表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内 某点处的导数之间的关系.
设 f ( x)在[ x1, x2 ]上连续,在( x1, x2 )内可导,则
(2) 在(a,b)内可导;
结论 : f ( ) 0, (a,b).
(3) f (a) f (b).
则至少存在一点 (a,b),
o y 1
使得 f ( ) 0.
1 1 2 3 x
例如 f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1),
在[1,3]上连续, 在(1,3)内可导, 且 f (1) f (3) 0,
至少存在一点 ( x1, x2 ),使得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 ).
......
11
例1 证明当 x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t),
则 f (t) 在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
第三章 中值定理与导数的应用
中值定理
泰
勒
中
罗尔定理
值
定
柯西中值定理
理 （
泰
勒
公
拉格朗日中值定理
式 ）
......
1
第一节 微分中值定理
观察图形 y f ( x), x [a,b]:
y
y
o a
b
y
o a 1 2 3 4 5 b
x o a 1 2 b
x
条件 : f ( x)满足
(1) 在[a,b]上连续;
bx
则至少存在一点 (a,b), y
罗尔定理
使得f ( ) f (b) f (a) .
ba
o a
......
bx 9
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
若f ( x)满足 : (1) 在[a,b]上连续,
证明: 令F ( x) f ( x) f (a)
f (b) f (a)( x a), ba
其证明见罗尔定理的证明过程
......
4
★罗尔定理的证明: f ( x) 在 [a,b] 连续, f ( x)在[a,b]可取得最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M m. 则 对x [a,b],有f ( x) M .
从而对x (a,b),有f ( x) 0. 即 (a,b), 有 f ( ) 0.
(2) 在(a,b)内可导;
(3) f (a) f (b).
x 结论 : f ( ) 0, (a,b).
......
2
一、罗尔(Rolle)定理
条件 :
若f ( x)满足 : (1) 在[a,b]上连续;
(1) 在[a,b]上连续; (2) 在(a,b)内可导; (3) f (a) f (b).
若 x 0, 则有 f ( x) f ( ) 0,
x
若 x 0, 则有 f ( x) f ( ) 0,
x
即
f( )
lim
x0
f (
x) x
f ( ) 0,
f( )
lim
x0
f (
x) x
f ( ) 0,
f ( )存在, f( ) f( ) f ( ),
f ( ) 0且f ( ) 0, f ( ) 0.
但 f ( x) 5( x4 1) 0, x (0,1), 矛盾,
∴在(0,1)内f (x)有且仅有一个零点,
即原方程在(0,1)内有且仅......有一个实根.
8
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 y
若f ( x)满足 :
(1) 在[a,b]上连续,
(2) 在(a,b)内可导,
o a
......
6
注: 罗尔定理是一个充分性定理.
例如:
y
f (x)
1,
1,
1 x 0 .
0 x 1
例题
......
7
例1 证明: 在(0,1)内,方程 x5 5x 1 0 有且仅有
一个实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3. 由零点定理, 知
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0. 即方程在(0,1)内有实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 , 使 f ( x1 ) 0, 不妨设 x1 x0 . 关于[ x0, x1], f ( x) 满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 ( x0, x1),使得 f ( ) 0.
(2) 若 M m. f (a) f (b), 最大值和最小值中至少有一个在区间(a , b)内取得,
不妨设 f ( ) M , (a f ( x) f ( ) 0,
......
5
f ( x) f ( ), 即有 f ( x) f ( ) 0,
则F ( x)满足 :
(2) 在(a,b)内可导,
(1) 在[a,b]上连续,
(2) 在(a,b)内可导,
则至少存在一点 (a,b),
(3) F(a) F(b) 0,
使得f ( ) f (b) f (a) .
ba
由罗尔定理,知 :
至少存在一点 (a,b),
使得F( ) 0,
即f ( ) f (b) f (a) .
证 设 x1与x2为I上任意两点, x1 x2 , 则拉格朗日中值定理,知 :
