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高二数学导数与微分PPT优秀课件

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导数与微分(经典课件)

导数与微分(经典课件)

导数与微分引 言导数与微分是数学分析的基本概念之一。

导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。

导数的概念在于刻划瞬时变化率。

微分的概念在于刻划瞬时改变量。

求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。

本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；3． 讨论高阶导数、高阶微分以与参数方程所确定函数的求导法。

4． 可导与连续，可导与微分的关系。

§1 导数的概念教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。

教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉与函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。

教学重点：导数的概念，几何意义与可导与连续的关系。

教学难点：导数的概念。

教学方法：讲授与练习。

学习学时：3学时。

一、导数的定义：1．引入（背景）：导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。

导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。

这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。

在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。

问题1。

直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。

取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00)()(t t t s t s v --=，当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0)()(lim 0t t t s t s v t t --=→。

《导数与微分》ppt课件

《导数与微分》ppt课件

求 求导方法：
y
（1）求出函数的增量
B
M T
y f (x0 x) f (x0 )
Mo A αφ
x0
△y dy △x X0+△x x
２、作出比值： y
x
y
３、求出 x 0 时 x 的极限。
二、可导与连续的关系
函数在点 x0
连续，指
lim y 0
x0
存在。
,可导是
lim
x0
y x
定理：如果y=f(x) 在点x0处可导，则它在点x0 处一定连续。
9 5
k
1___ k
1 25
切线方程y x ____ y 1 x 25
例：一球在斜面上向上滚动，已知在t(s)时球与 起始位置的距离是s(t) 3t t2, 求初速度、何时 开始下滚？ 解：v(t) s' (t) 3 2t ___ t 0 v(0) 3m / s 当v 0时开始下滚， 3 2t 0 t 1.5s
数
u,对v, 应y 增量 u, v, y
y (u u)(v v) uv uv vu u v
y u v v u u v
x
x x x
y ' (uv)' uv' u 'v
例: 例1、2、3、4 p26
例：求y x sin x cosx 的导数 x cosx sin x
x
2!
y ' lim y nx n1 x0 x
即： (x n )' nxn1
对于n为任意实数时，上式也成立。
例7：正弦函数 y sin x 的导数
y sin(x x) sin x 2cos(x x) sin x
2

导数与微分PPT优秀课件

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x x0
当 f(x0)0 时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
1 yf(x0)f(x0)(xx0).
而当 f(x0)0时,曲线 f ( x ) 在 M 0 的法线方程为
x x0 (即法线平行y轴).
前页 后页 结束
例3 求函数 y 的x 2导数
解: (1)求增量:
yf(x x )f(x )
2.2.5 隐函数和由参数方程确定的函数的导数
1. 隐函数的导数
隐函数即是由 F(x, y)所确定的函数，其求导方法就是把y 看成x的函数，方程两端同时对x求导，然后解出 y 。
例9 求方程 eyx2yex0所确定的函数的导数
解： 方程两端对x求导得
eyy (2 x y x 2y ) e x 0
x0 x
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
y
y f (x) N
y
M
T
x P
O
x 0 x0 x x
前页 后页 结束
例2 产品总成本的变化率
设某产品的总成本C是产量Q的函数，即C=C(Q )，当产
量Q 从Q 0 变到 Q0 Q 时，总成本相应地改变量为
C C ( Q 0 Q ) C ( Q 0 )
定理3.1 y = f (x)在x =x0可导的充分必要条件是 y = f (x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.
前页 后页 结束
三、导数的几何意义
当自变量x 0 从变化到 x0 x 时，曲线y=f(x)
上的点由M0(x0, f(x0)).变到M (x 0 x ,f(x 0 x )).
x
即
(tanx)sec2x
类似可得(cotx)csc2x

高数课件第2章 导数与微分

高数课件第2章 导数与微分

h0
h
h0 h
即 (C) 0.
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
lim cos( x
h0
h) 2
sin h 2
h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
(sin x) cos x
x
x
4
4
2. 2
例3 求函数 y xn (n为正整数)的导数.
解 ( x n ) lim ( x h)n x n
h0
h
lim[nx n1 n(n 1) x n2h hn1 ] nx n1
h0
2!
即 ( x n ) nx n1 .
更一般地 ( x ) x1 . ( R)
例如,
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
lim ( x0
x0
x) ( x0 )
x
f( x0 ) 存在,
且 f( x0 ) f( x0 ) a,
则 f ( x)在点x0 可导，
且 f ( x0 ) a.
三、由定义求导数
★ 如果 f ( x)在开区间a, b 内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b 上可导.
★
设函数
f
(x)
( x), ( x),
可导性.
x x0 , x x0
讨论在点 x0的
若 lim f ( x0 x) f ( x0 )

高数导数与微分PPT课件

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例1、设 y 2x5 sin x, 求 y和 y(0).
解: y 10x4 cos x, y 40x3 sin x,
y 120x2 cos x, y(0) 1
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三、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设u u( x), v v( x)可导，则
100!
练习2、设 f (x) x 1,用导数的定义求f (2).
解: f (2) lim f ( x) f (2) lim
x2 x 2
x2
lim 1 1 x2 x 1 1 2
x 11 x2
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6、导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)在点 M ( x0 , f ( x0 ))处切线
（1）(u v) u v,
（2）(cu) cu(c是常数),
（3）(uv) uv uv, [u( x) v( x)] u( x) v( x);
（4）
u v
uv v2
uv
(v
0)
.
u( x)
v(
x
)
u( x) v( x)
.
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dy
则
dy dx
dt dx
(t) ; (t )
dt
d2y dx2
d( dy ) dx
dx
d ( (t)) dt (t)
dx
dt
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例4、设
y
f
(
x
)

导数与微分(高等数学)市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

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k dy 1 3t 2 dx t1 2t
t 1
2 1 2
于是所求旳切线方程为 y =－x
例题：设
x ln(1 t 2 ) ，求 d 2 y
y t arctan t
dx2
(6) 对数求导法
先在方程两边取对数,然后利用隐函数旳求导措施 求出导数.
合用范围:
函数相乘和幂指函数 u(x)v(x)的情形.
两边对x求导数，得
1 y
y
1 2
1 x 1
1 x2
x
1 3
x
1
4
,
y
1 2
y
1 x 1
x
1
2
x
1 3
x
1
4
1 2
(x 1)(x (x 3)(x
2) 4)
1 x 1
x
1
2
x
1 3
x
1
4
.
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（7）抽象函数旳求导法则
1.y f (x2 ),求y
2.y f (x2 ),求y
1.已知f (x) xex ,求f (1)
2.已知y ln(1 x),求y
3.已知y xex ,求y(0)
练习：P51 2(1) (4) (5)
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8、微分
（1）微分旳定义
设函数y f ( x)在某区间内有定义 , x0及x0 x 在这区间内, 如果
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数),则称函数y f ( x)
一般地，可得 y( n ) e x .
n 例 求 y sin x 旳
阶导数.
解

导数与微分课件

导数与微分课件

导数和微分都与函数的局部性质 有关，它们都可以用来研究函数 的单调性、极值和曲线的形状等
。
导数与微分的区别
导数主要关注函数在某一点的变化率，而微分则更关注函数在某一点附近的局部变 化趋势。
导数是函数值的增量之比，而微分则是函数值增量的近似值。
导数是一种数学运算，可以通过求导公式或法则进行计算；而微分则是一种近似计 算方法，常常用于近似计算函数的值。
总结词
函数单调性与导数正负相关
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。导数的正负可以判断函数的增减性。
极值与导数
总结词
导数变化与极值点的关系
详细描述
函数极值点处的一阶导数为0，但一阶导数为0的点不一定是极值点。需要进一步 判断二阶导数的正负来确定是否为极值点。
公式
$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
解释
其中$Delta y = f(x + Delta x) - f(x)$，表 示函数在$x$处的变化量，$Delta x$表示 自变量的变化量。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率， 表示函数图像在该点的切线。
二项式定理
对于多项式函数，可以使 用二项式定理进行近似计 算。
泰勒级数
将函数展开成泰勒级数， 可以用来近似计算函数的 值。
误差估计
导数与误差
导数可以用来估计函数值 的误差大小。
微分中值定理
利用微分中值定理，可以 估计函数在某区间的变化 量。
误差传播
在误差传播过程中，可以 利用微分知识来估计误差 的大小。

第2章：导数与微分-PPT课件

第2章：导数与微分-PPT课件

n f ( x ) x ( n N ) 在 x a处的导数 . 例2. 求函数
解:
xn an f (x) f (a) lim f (a) lim xa x a x a xa
2 n 3 a x lim ( x n 1 a xn2 an1)

二、导数的定义
) 在点 x 0 的某邻域内有定义 , 定义1 设函数 y f (x
若
x x0
y lim f (x) f (x0) lim
x x0
x 0 x
y f( x ) f( x ) 0 xxx 0
存在,则称函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导,并称此极限为 y f (x ) 在点 x 0 的导数. 记作: dy d f (x) ; y xx0 ; f (x x x 0); dx x x0 dx 0
时) (当
切线 MT 的斜率
C M
T
lim tan k tan

o x 0
x x
f( x ) f( x ) 0 割线 M N 的斜率 tan x x0 f( x ) f( x ) 0 k lim x x0 x x 0
f( t ) f( t ) 0 瞬时速度 v lim t t0 t t0
若上述极限不存在,就说函数f (x)在点x0不可导。 y , 也称 f ( x) 在 x 的导数为无穷大 . 若 lim 0 x 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导,就称函数在I 内可导. 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作:
y ;
注意:
f ( x) ;
dy ; dx
f( x 5x )f( x ) f( x h )f( x ) =5 f ( x ) f (x0 h) f (x0 ) 0 0 0 0 ( 1 )l i m lim 5 l i m 0 h 0 h0 h x 0 h x

《导数与微分§》课件

《导数与微分§》课件
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本课程介绍导数与微分的基本概念、计算方法以及几何和物理意义，深入而 生动地带你领略微积分的奥妙。
导数的定义与计算
1
导数公式的推导
2
通过推导，揭示导数计算的原理和方
法。
3
导数的几何意义与物理意义
4
深入理解导数在几何和物理问题中的 应用。
导数的概念与定义
探索导数的本质与含义，为后续学习 打下基础。
导数计算的基本方法
掌握导数计算的常用技巧和规则。
常见函数的导数公式
幂Hale Waihona Puke 数的导数公式掌握幂函数的导数计算规则，用于解决相关 问题。
对数函数的导数公式
理解对数函数的导数特性，解决涉及对数的 导数问题。
指数函数的导数公式
学习指数函数的导数性质和计算方法，应用 于实际情境。
三角函数的导数公式
探索三角函数的导数规律，应用于各种题型 中。
1
微分的几何意义与物理意义
2
深入探讨微分在几何和物理中的应用
与解释。
3
高阶微分的概念及其应用
4
理解高阶微分的定义和应用，拓展微 分的深度应用。
微分的定义与计算
学习微分的含义和计算方法，以及与 导数的关系。
微分的应用：求函数的极值与 最值
应用微分求解函数的极值和最值问题， 解决实际应用难题。
高阶导数与导函数
高阶导数的概念
了解高阶导数的定义及其在求解复杂函数中的 作用。
高阶导数的计算方法
掌握高阶导数计算的技巧与步骤，提升问题解 决能力。
导函数的概念与计算方法
深入研究导函数的定义和求解思路，加深理解。
导函数与原函数的关系
探索导函数与原函数之间的联系与性质，为进 阶探索打下基础。

导数与微分的定义通用课件

导数与微分的定义通用课件
导数与微分的定义通用课件
目录
• 导数定义与性质 • 微分定义与性质 • 导数与微分的关系 • 导数与微分在各领域的应用 • 导数与微分常见问题解析
01
导数定义与性质
导数的定义
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数 值随自变量变化的速率。
符号表示
用 f'(x) 表示函数 f 在 x 处的导数。
单调性与极值综合问题
掌握如何结合单调性和极值解决综合问题的方法。
THANK YOU
感谢各位观看
导数的性质
线性性质
若 c 是常数，f 和 g 是可导函数，则 (c * f)' = c * f' 和 (f + g)' = f' + g'。
链式法则
若 u = g(x) 是可导函数，y = f(u) 是可导函数，则 (f ∘ g)' = f'(g(x)) * g'(x)。
乘积法则
若 f 和 g 是可导函数，则 (fg)' = f'g + fg'。
03
导数与微分的关系
导数是微分的商
导数定义为函数在某一点的变化率， 即函数在这一点上切线的斜率，用微 分除以自变量的增量得到。
导数表示函数在某一点附近的小范围 内变化的速度或趋势，是微分的一种 数学表达。
导数与微分的应用
01
导数在经济学中用于研究边际 成本、边际收益和边际利润等 概念，帮助理解经济行为的变 化趋势和最优决策。
详细描述
在物理学中，导数和微分被用于描述物体的速度、加速度、温度变化、电磁场等物理量随时间或空间 的变化规律。例如，在经典力学中，物体的速度和加速度可以通过导数和微分来计算；在热力学中， 温度的变化率可以用导数来描述。

导数与微分 PPT

导数与微分 PPT

lim v(xx)v(x)
x 0
所以 [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
(3)
u(x) v(x)
u(x)v(xv)2 (xu)(x)v(x)
(v(x)0)
特别地，当u(x)c ( c为常数)时，有
[c(vx)]cv(x)
x
x
(3)取极限,求得导数
f
(x0)
lim ylim f(x0 x)f(x0)
x x 0
x 0
x
例2.1.1 求函数 yc ( c为常数)的导数 y
解: 利用导数定义求:
因为 ycc0
所以 lim ylim cc0
x 0x x 0 x
即 (c) 0
例2.1.2 求函数 ysinx的导数 y 及 y(0)
定理2.2.1 设函数u(x) 和v( x)
数
u(x)v(x)
, u(x) 以及v ( x )
(v(x)0)
在x点 处可导,那u么(x)函v(x)
x
在 处也可导，且
（1） [ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x )
推广: 若 u1 (x), u2 (x), ,un(x) 在 x处都可导，则
lim
lim 1
x 0 x0
x x 0
f(0)
lim f(x)f(0 )lis m ixn 01 x 0 x0 x x 0
于是
f(0) f(0)1
即知 f (0)1
例2.1.4
设函数y
x2,
x 0 ,求 f (x) .
sinx, x 0
解:当 x 0时，f(x)(x2)2x
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第三章 导数与微分
2021/3/10
学习目标
（1）了解导数概念的某些实际背景；掌握函数在一点 处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概 念。
（2）熟记函数C、xn（其中n为有理数）,sinx,cosx, ex,ax,lnx,logax的导数公式；掌握两个函数四则运算 的求导法则和复合函数的求导法则，会求简单的初等 函数的导数。
2
2. 函数 yax的导数是
（B）
A a -x .B --l a x . a nC - a l x a . nD a x la n .
3. f(x)0是可导 f(x函 )单数 调递增的（B）
A.必要不充分条件 C.充分且必要条件
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 若 f(x)asix n1 3si3nx在 x3处有极a 值 （A， ） 那么
（3）掌握微分的概念，理解函数在一点处的微分是函 数增量的线性近似值，会求简单的初等函数的微分。
（4）会从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的 关系；掌握函数极值的定义，了解可微函数的极值点 的必要条件和充分条件；会求一些实际问题的最大值 与最小值。
内容提要
函数y=f(x)的导数 f (x)，就是当
我值函(们）ln数就就。xy是)=说物ff(x体(d)x1x的运0y)微是动f分函的(是数速x)f度d((x。lx)o的ag一x)个极1 x大lo值ag（e.或极小
微分的概念及其意义 函2.数导的数可增的导量运函△算数y法f可(则x以)：在用极y的值微点分处近的似导表数示为，0。即
的(导u 如数 果 异v函y )号 数 ，d fu 那(x或 么)在y v 点点y xx0 是0处(函fu 连数()续x fv ) ，(d xu 且)的v在 极x 点u 值v x0点处。两侧
动；v为负，表示反向运动。
2. 函数f(x)在极值点x0处不一定可导。如图：
y
y
x0
x
x0
x
3.在开区间内连续的函数不一定有最大值或最小值。
4.直线与曲线相切，直线与切线的公共点可能不止 一个。
参考例题
例1.求曲线 y 5 x 上与直线y=2x-4平行的切线方程 。
解：设所求切线过曲线 y 5 x 上的x0点，由 y 5 x
A 2 .
B 1 .
C2.3 3
D 0 .
5.下列结论：
①极值点所对应的曲线上的点如果有切线，则一定是水平的；
②任何二次函数有唯一的极值点；
③任何三次函数有两个极值点；
④函数f(x)在[a,b]上的最大值就是函数f(x)在[a,b]上的最大 的极大值
其中正确的是
（A）
A. ①② B. ②③ C. ③④
C
D
E
B
解：设CD⊥AB，垂足为E，DE的长为xkm. 由AB=0.6，AC=BC=0.5，得 AE=EB=0.3，
CE (0.5)2(0.3)20.4， CD=0.4-x A D B Dx2(0.3)2
动力线总长 l2x2(0.3)20.4x
令 l [ 2 x 2 ( 0 . 3 ) 2 0 . 4 x ] 2 •2 x 1 2 x x 2 0 . 0 0 9
D. ①④
布置作业
第145页 复习参考题A组1TCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
导数的应用
33.复.（（函合(12数u v函））)f数求将( x的ff)((在u导xx))[v数在的av,2：(各bua]v,极上b)值的y 内与最x的f大 极(a值值)y，与u ；f最• (b小u )比值x较的，求其法：
中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
应注意的几个问题
1.在运动问题中，求出的速度v为正，表示正向运
2x 2 0 . 09x 2 0 . 09
即 2xx20.09 0,求得唯一的极值点 x 3 0.17
10
答：D点选在距AB 0.17km处时，动力线最短。
做练习
1.
若 f(x 0 ) 2 ,则 k l i0f m (x 0 k 2 ) k f(x 0 )等于 （A）
1 A -1 . B-2 . C1. D.
导数的概念及其意义 求导数的方法
1f.当(△△x函)xx数→的0y0比,f =时f( 则x (函) xxy f)数的(在xl的)极某为i增限 个增m y 量，区 函△即l 间数yi 内与；f m 可( 自如x 导 变果 时量x f) ， 的(xf 如增( )x 果 量)0,
1.则2有常C.(f的设用就的(sx点函的是斜)0i为x ，数导(曲率函)n C减都f数为 线(数 函有x公y)y常 c数=在=式ff。数 ( xo (如xx x0 x 附))下） 在0 在;s 近：点x 点有((Pxx （定c 0x n 处 x义)0 x o 的0,，) f导(s如n x数0果 ) ）的n x s对 x 处1 几x(in 的0何x 附n 切意近Q 线义所)，; (ef(xx))＜物f体(ex位x0),移（函或数f(sx(()a t＞)x对)f于(x时0)a）间xtl的na导数，
得
y|xx0
2
5 x0
因为所求切线与直线y=2x-4平行，而直线y=2x-4 的斜率是2，所以
5 2 2 x0
x0
25 16
y0
25 4
因此，所求切线方程为 y252(x25),
4
16
即
16x-8y+25=0
例2.如图，两个工厂A、B相距0.6km， 变电站C距A、B都是0.5km计划铺设 动力线，先由C沿AB的垂线至D，再 与A、B相连，D点选在何处时，动力 A 线最短？

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