2022年上海15区中考数学一模考点分类汇编专题10 二次函数综合(解答24题压轴题)(练习版)

2022年中考数学一轮复习：二次函数的综合解答题专项练习题1、如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE =S△ABC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图1，抛物线y=ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO 与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．4、正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．（1）建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O、P、A三点坐标；②求抛物线L的解析式；（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．5、如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD的长；（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．7、在平面直角坐标系中,抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A,B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出A,C,D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B （1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A 重合．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．9、如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|x1﹣x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|y1﹣y2|求出．10、如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；（3）如图2，已知直线y=x﹣分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．11、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x 轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．12、如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．13、已知，抛物线y=ax2（a≠0）经过点A（4，4），（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线上存在点B，使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标：．（3）如图2，直线l经过点C（0，﹣1），且平行与x轴，若点D为抛物线上任意一点（原点O除外），直线DO交l于点E，过点E作EF⊥l，交抛物线于点F，求证：直线DF一定经过点G（0，1）．14、如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．15、如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．16、如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．17、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．参考答案1、如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE =S△ABC时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A、B两点坐标代入解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2+x﹣5；（2）在y=x2+x﹣5中，令x=0可得y=﹣5，∴C（0，﹣5），∵S△ABE =S△ABC，且E点在x轴下方，∴E点纵坐标和C点纵坐标相同，当y=﹣5时，代入可得x2+x=﹣5，解得x=﹣2或x=0（舍去），∴E点坐标为（﹣2，﹣5）；（3）假设存在满足条件的P点，其坐标为（m， m2+m﹣5），如图，连接AP、CE、AE，过E作ED⊥AC于点D，过P作PQ⊥x轴于点Q，则AQ=AO+OQ=5+m，PQ=|m2+m﹣5|，在Rt△AOC中，OA=OC=5，则AC=5，∠ACO=∠DCE=45°，由（2）可得EC=2，在Rt△EDC中，可得DE=DC=，∴AD=AC﹣DC=5﹣=4，当∠BAP=∠CAE时，则△EDA∽△PQA，∴=，即=，∴m2+m﹣5=（5+m）或m2+m﹣5=﹣（5+m），当m2+m﹣5=（5+m）时，整理可得4m2﹣5m﹣75=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），当m2+m﹣5=﹣（5+m）时，整理可得4m2+11m﹣45=0，解得m=或m=﹣5（与A点重合，舍去），∴存在满足条件的点P，其横坐标为或．2、如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．3、如图1，抛物线y=ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若将抛物线y=ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y=|ax2+b|图象上的任意一点，直线l是经过（0，1）且平行与x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO 与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意设抛物线解析式为y=ax2﹣1，将点A（﹣2，0）代入，得：4a﹣1=0，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）如图，根据题意，当﹣2≤x≤2时，y=﹣x2+1；当x＜﹣2或x＞2时，y=x2﹣1；由可得点M（﹣2，1）、点N（2，1），①当﹣2≤x≤2时，设点P坐标为（a，﹣a2+1），则PO﹣PD=﹣[1﹣（﹣a2+1）]=a2+1﹣a2=1；②当﹣2≤x＜﹣2或2时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），则PO﹣PD=﹣[1﹣（a2﹣1）]=a2+1﹣2+a2=a2﹣1；③当x＜﹣2或x＞2时，设点P的坐标为（a， a2﹣1），则PO﹣PD=﹣[（a2﹣1）﹣1]=a2+1﹣a2+2=3；综上，当x＜﹣2、﹣2≤x≤2或x＞2时，PO与PD的差为定值．4、正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．（1）建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O、P、A三点坐标；②求抛物线L的解析式；（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．【解答】解：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，∴点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）．②设抛物线L的解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线L经过O、P、A三点，∴有，解得：，∴抛物线L的解析式为y=﹣+2x．（2）∵点E是正方形内的抛物线上的动点，∴设点E的坐标为（m，﹣+2m）（0＜m＜4），∴S△OAE +SOCE=OA•yE+OC•xE=﹣m2+4m+2m=﹣（m﹣3）2+9，∴当m=3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9．5、如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点，∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，即y=﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB=，BC=3，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC=∠MNO=90°，∴当△ABC和△MNO相似时有=或=，①当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=|x|，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；②当=时，则有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．6、如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求AD的长；（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，B（10，8），∴A（10，0），又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（2）由题意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，设AD=x，则ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，∴AD=5；（3）∵y=﹣x2+x，∴其对称轴为x=5，∵A、O两点关于对称轴对称，∴PA=PO，当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时△PAD的周长最小，如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，由（2）可知D点的坐标为（10，5），设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=，∴直线OD解析式为y=x，令x=5，可得y=，∴P点坐标为（5，）．7、在平面直角坐标系中,抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A,B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）请直接写出A,C,D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把y＝0代入y＝－x2－2x＋3，得－x2－2x＋3＝0.解得x1＝－3,x2＝1.∵A 在B 的左侧，∴A 的坐标为（－3,0），B 的坐标为（1,0） 把x ＝0代入y ＝－x 2－2x ＋3，得y ＝3.∴C 的坐标为（0,3）. ∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4, ∴顶点为D 的坐标为（―1,4）.（2）作点C （0,3）关于x 轴的对称点C ′，则C ′的坐标为（0,－3）.连接DC ′,DC ′交x 轴于点E ，则点E 就是使得△CDE 的周长最小的点，如图1所示． 设直线DC ′的解析式为y ＝kx ＋b ,把D （―1,4），C ′（0,－3）分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b －3＝b ．解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－7b ＝－3． ∴直线DC ′的解析式为y ＝－7x －3.把y ＝0代入y ＝－7x －3，得0＝－7x －3. 解得x ＝―37.∴点E 的坐标为(―37，0)．（3）存在符合题意的点P ．设直线AC 的解析式为y ＝ax ＋c , 把A （－3,0），C （0,3）分别代入y ＝ax ＋c ,得⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋c ＝0c ＝3 ．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1c ＝3. ∴直线AC 的解析式为y ＝x ＋3. 设点F 的坐标为（m,m+3）.①当∠PAF＝90°时，P的坐标为（m,－m－3）.把P（m,－m－3）代入y＝－x2－2x＋3，得－m－3＝－m2－2m＋3.解得m1＝－3(不合题意，舍去),m2＝2.∴P的坐标为（2,－5）．②当∠AFP＝90°时，P的坐标为（2m＋3,0）.把P（2m＋3,0）代入y＝－x2－2x＋3，得－(2m＋3)2－2(2m＋3)＋3＝0.解得m1＝－3(不合题意，舍去),m2＝－1.∴P的坐标为（1,0）．③当∠APF＝90°时，P的坐标为（m,0）.把P（m,0）代入y＝－x2－2x＋3，得－m2－2m＋3＝0.解得m1＝－3(不合题意，舍去),m2＝1.∴P的坐标为（1,0）．综上可知，符合题意的点P的坐标为（2,－5）或（1,0）．8、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B （1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A 重合．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．【解答】解：（1）∵B（1，0），C（0，3），∴OB=1，OC=3．∵△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．∴OA=OC=3，∴A（﹣3，0），∵点A，B，C在抛物线上，∴，∴，∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，（2）设点P（x，0），则PB=1﹣x，∴S△PBE=（1﹣x）2，∴S△PCE =S△PBC﹣S△PBE=PB×OC﹣（1﹣x）2=（1﹣x）×3﹣（1﹣x）2=﹣（x﹣1）2+，当x=1时，S△PCE的最大值为．（3）∵二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标（﹣1，4），∵△OMQ为等腰三角形，OM为底，∴MQ=OQ，∴=，∴8x2+18x=7=0，∴x=，∴y=或y=，∴Q（，），或（，）．9、如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|x1﹣x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ=|y1﹣y2|求出．【解答】解：（1）∵直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，∴A（﹣1，0），C（0，5），∵二次函数y=ax2+4x+c的图象过A，C两点，∴，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+4x+5；（2）如图1，∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，∴由二次函数的表达式为y=﹣x2+4x+5得，点B的坐标B（5，0），设直线BC解析式为y=kx+b，∵直线BC过点B（5，0），C（0，5），∴，解得，∴直线BC解析式为y=﹣x+5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的纵坐标为﹣n+5，D点的坐标为D（n，﹣n2+4n+5），则d=|﹣n2+4n+5﹣（﹣n+5）|，由题意可知：﹣n2+4n+5＞﹣n+5，∴d=﹣n2+4n+5﹣（﹣n+5）=﹣n2+5n=﹣（n﹣）2+，∴当n=时，线段ND长度的最大值是；（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），作点H（2，9）关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1（﹣2，9），作点M（4，5）关于x轴的对称点HM1，则点M1的坐标为M1（4，﹣5），连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，所以H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F、E即为所求，设直线H1M1解析式为y=k1x+b1，直线H1M1过点M1（4，﹣5），H1（﹣2，9），根据题意得方程组，解得，∴y=﹣x+，∴点F，E的坐标分别为（，0）（0，）．10、如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；（3）如图2，已知直线y=x﹣分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把B（1，0）代入y=ax2+2x﹣3，可得a+2﹣3=0，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，∴A点坐标为（﹣3，0）；（2）若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′，由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，在△BPO和△B′PO中，∴△BPO≌△B′PO（ASA），∴BO=B′O=1，设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得，解得，∴直线AP解析式为y=x+1，联立，解得，∴P点坐标为（，）；若P点在x轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP，∴∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，综上可知P点坐标为（，）；（3）如图2，作QH⊥CF，交CF于点H，∵CF为y=x﹣，∴可求得C（，0），F（0，﹣），∴tan∠OFC==，∵DQ∥y轴，∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，∴tan∠HDQ=，不妨设DQ=t，DH=t，HQ=t，∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，=DE•HQ=×t×t=t2，∴若DQ=DE，则S△DEQ=DE•HQ=×2DH•HQ=×t×t=t2，若DQ=QE，则S△DEQ∵t2＜t2，∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大．设Q点坐标为（x，x2+2x﹣3），则D（x，x﹣），∵Q点在直线CF的下方，∴DQ=t=x﹣﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣x+，当x=﹣时，tmax=3，∴（S△DEQ ）max=t2=，即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为．11、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x 轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得，，∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，连接PC、PE，x=﹣=﹣=1，当x=1时，y=4，∴点D的坐标为（1，4），设直线BD的解析式为：y=mx+n，则，解得，，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x=2，则y=﹣2×2+6=2，∴点P的坐标为（2，2）；（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、G为顶点的四边形是正方形，∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，当2﹣a=﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5=0，解得，a=，∴当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．12、如图1，已知开口向下的抛物线y1=ax2﹣2ax+1过点A（m，1），与y轴交于点C，顶点为B，将抛物线y1绕点C旋转180°后得到抛物线y2，点A，B的对应点分别为点D，E．（1）直接写出点A，C，D的坐标；（2）当四边形ABCD是矩形时，求a的值及抛物线y2的解析式；（3）在（2）的条件下，连接DC，线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l⊥x轴，将矩形ABDE沿直线l折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系．【解答】解：（1）由题意得：将A（m，1）代入y1=ax2﹣2ax+1得：am2﹣2am+1=1，解得：m1=2，m2=0（舍），∴A（2，1）、C（0，1）、D（﹣2，1）；（2）如图1，由（1）知：B（1，1﹣a），过点B作BM⊥y轴，若四边形ABDE为矩形，则BC=CD，∴BM2+CM2=BC2=CD2，∴12+（﹣a）2=22，∴a=，∵y1抛物线开口向下，∴a=﹣，∵y2由y1绕点C旋转180°得到，则顶点E（﹣1，1﹣），∴设y2=a（x+1）2+1﹣，则a=，∴y2=x2+2x+1；（3）如图1，当0≤t≤1时，则DP=t，构建直角△BQD，得BQ=，DQ=3，则BD=2，∴∠BDQ=30°，∴PH=，PG=t，∴S=（PE+PF）×DP=t2，如图2，当1＜t≤2时，EG=E′G=（t﹣1），E′F=2（t﹣1），S不重合=（t﹣1）2，S=S1+S2﹣S不重合=+（t﹣1）﹣（t﹣1）2，=﹣；综上所述：S=t2（0≤t≤1）或S=﹣（1＜t≤2）．13、已知，抛物线y=ax2（a≠0）经过点A（4，4），（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线上存在点B，使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点B的坐标：B（﹣4，4）或（﹣8，16）．（3）如图2，直线l经过点C（0，﹣1），且平行与x轴，若点D为抛物线上任意一点（原点O除外），直线DO交l于点E，过点E作EF⊥l，交抛物线于点F，求证：直线DF一定经过点G（0，1）．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2（a≠0）经过点A（4，4），∴16a=4，∴a=，∴抛物线的解析式为y=x2，（2）存在点B，使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形，理由：如图1，∵使得△AOB是以AO为直角边的直角三角形∴直角顶点是点O，或点A，①当直角顶点是点O时，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，∵点A（4，4），∴直线OA解析式为y=x，∴直线OB解析式为y=﹣x，∵，∴（舍）或，∴B（﹣4，4），②当直角顶点为点A，过点A作AB⊥OA，由①有，直线OA的解析式为y=x，∵A（4，4），∴直线AB解析式为y=﹣x+8，∵，（舍）或，∴B（﹣8，16），∴满足条件的点B（﹣4，4）或（﹣8，16）；故答案为B（﹣4，4）或（﹣8，16）；（3）证明：设点D（m， m2），∴直线DO解析式为y=x，∵l∥x轴，C（0，﹣1），令y=﹣1，则x=﹣，∴直线DO与l交于E（﹣，﹣1），∵EF⊥l，l∥x轴，∴F横坐标为﹣，∵点F在抛物线上，∴F（﹣，）设直线DF解析式为y=kx+b，∴，∴，∴直线DF解析式为y=x+1，∴点G（0，1）满足直线DF解析式，∴直线DF一定经过点G．14、如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．【解答】解：（1）将点A（﹣3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx﹣2中，得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为y=x2+x﹣2．（2）令y=x2+x﹣2中x=0，则y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，∴M（﹣1，0），∴CM==．∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴，∴DC=．（3）将抛物线向上平移个单位长度后的解析式为y=x2+x﹣2+=x2+x ﹣，令y=x2+x﹣中y=0，即x2+x﹣=0，解得：x1=，x2=．∵点P在第三象限，∴＜x＜0．过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．在Rt△CDE中，CD=，CE=4，∴DE==，sin∠DCE==，在Rt△CDD′中，CD=，∠CD′D=90°，∴DD′=CD•sin∠DCE=，CD′==，OD′=CD′﹣OC=，∴D（﹣，），D′（0，），∵P（x， x2+x﹣），∴P′（0， x2+x﹣）．∴S△PDE =S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′=DD′•ED′+（DD′+PP′）•D′P′﹣PP′•EP′=﹣﹣x+2（＜x＜0），∵S△PDE=﹣﹣x+2=﹣+，＜﹣＜0，∴当x=﹣时，S△PDE取最大值，最大值为．故：△PDE的面积关于x的函数关系式为S△PDE=﹣﹣x+2（＜x ＜0），且△PDE面积的最大值为．15、如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，∴，∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4，（2）如图1，作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，由（1）得，抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4①，∴D（0，﹣4），∵点C是直线y=﹣x+4②与抛物线的交点，∴联立①②解得，（舍）或，∴C（﹣2，6），∵A（4，0），∴直线AC解析式为y=﹣x+4，∵直线BF⊥AC，且B（﹣1，0），∴直线BF解析式为y=x+1，设点F（m，m+1），∴G（，），∵点G在直线AC上，∴﹣，∴m=4，∴F（4，5），∵D（0，﹣4），∴直线DF解析式为y=x﹣4，∵直线AC解析式为y=﹣x+4，∴直线DF和直线AC的交点E（，），（3）∵BD=，由（2）有，点B到线段AC的距离为BG=BF=×5=＞BD，∴∠BED不可能是直角，∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），∴直线BD解析式为y=﹣4x+4，∵△BDE为直角三角形，∴①∠BDE=90°，∴BE⊥BD交AC于B，∴直线BE解析式为y=x+，∵点E在直线AC：y=﹣x+4的图象上，∴E（3，1），②∠BDE=90°，∴BE⊥BD交AC于D，∴直线BE的解析式为y=x﹣4，∵点E在抛物线y=x2﹣3x﹣4上，∴直线BE与抛物线的交点为（0，﹣4）和（，﹣），∴E（，﹣），即：满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（，﹣）．16、如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x=1，B（3，0），∴A（﹣1，0）∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3）∴当x=0时，c=3．又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）∴，∴∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC解析式为y=﹣x+3，∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）∵对于直线BC：y=﹣x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L向下平移h个单位长度，∴当h=2时，抛物线顶点落在BC上；当h=4时，抛物线顶点落在OB上，∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），则2≤h≤4；（3）设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN 垂直于MP的延长线于N点，如图所示：∵B（3，0），∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠BPQ=90°，BP=PQ，则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，在△PQM和△BPN中，，∴△PQM≌△BPN（AAS），∴PM=BN，∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6，解得：m=1或m=0，∴P（1，4）或P（0，3）．②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP 的延长线与N点，同理可得△PQM≌△BPN，∴PM=BN，∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3，则3+m=m2﹣2m﹣3，解得m=或．∴P（，）或（，）．综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（，）和（，）．17、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，∴，∴，∴y=﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y=kx+n，∴，∴，∴y=﹣x+3；（2）由运动得，OE=t，AF=t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，∵△AEF为直角三角形，∴①△AOB∽△AEF，∴，∴，∴t=，②△AOB∽△AFE，∴，∴，∴t=1；（3）如图，存在，过点P作PC∥AB交y轴于C，∵直线AB解析式为y=﹣x+3，∴设直线PC解析式为y=﹣x+b，联立，∴﹣x+b=﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3=0∴△=9﹣4（b﹣3）=0∴b=，∴BC=﹣3=，x=，∴P（，）．过点B作BD⊥PC，∴直线BD解析式为y=x+3，∴BD=，∴BD=，∵AB=3S=AB×BD=×3×=．最大即：存在面积最大，最大是，此时点P（，）．。

上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试卷按题型难易度分层分类汇编-03解答题（较难题）目录一．二次函数综合题（共10小题） (2)二．三角形综合题（共1小题） (6)三．直角梯形（共1小题） (7)四．相似三角形的判定与性质（共1小题） (7)五．相似形综合题（共6小题） (8)六．解直角三角形（共1小题） (10)一．二次函数综合题（共10小题） (11)二．三角形综合题（共1小题） (35)三．直角梯形（共1小题） (37)四．相似三角形的判定与性质（共1小题） (41)五．相似形综合题（共6小题） (45)六．解直角三角形（共1小题） (60)一．二次函数综合题（共10小题）1．（2023•宝山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（2，0），将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，得到的新图象记为“图象U”，“图象U”与y轴交于点C．（1）写出“图象U”对应的函数解析式及定义域；（2）求∠ACB的正切值；（3）点P在x轴正半轴上，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，交“图象U”于点F，如果△CEF与△ABC相似，求点P的坐标．2．（2023•徐汇区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（4，0），与y 轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴，垂足为点D，直线PD与直线BC相交于点E．①当CP＝CE时，求点P的坐标；②联结AC，过点P作直线AC的平行线，交x轴于点F，当∠BPF＝∠CBA时，求点P的坐标．3．（2023•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2kx﹣4k（k＜0）的顶点为P，抛物线与y轴交于点A．（1）如果点A的坐标为（0，4），点B（﹣3，m）在抛物线上，联结AB．①求顶点P和点B的坐标；②过抛物线上点D作DM⊥x轴，垂足为M，DM交线段AB于点E，如果DE＝EM，求点D的坐标；（2）联结OP，如果OP与x轴负半轴的夹角等于∠APO与∠POA的和，求k的值．4．（2023•崇明区一模）如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线x＝的抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、点M（1，m），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D的坐标；的面积；（2）联结AB、AM、BM，求S△ABM（3）过M作x轴的垂线与AB交于点P，Q是直线MP上点，当△BMQ与△AMP相似时，求点Q的坐标．5．（2023•金山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，0），B（﹣2，﹣3），顶点为点P，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标；（2）将抛物线向上平移m（m＞0）个单位后，点A的对应点为点M，若此时MB∥AC，求m的值；（3）设点D在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，且点D在直线BC上方，当∠DBC＝∠BAC时，求点D的坐标．6．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，顶点为A，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE．①如果DE∥AC，求四边形ACDE的面积；②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当∠DQE＝∠CDQ时，求点Q的坐标．7．（2023•松江区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B （﹣1，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为P（m，n）．①如果PO＝PA，且新抛物线的顶点在△AOB的内部，求m+n的取值范围；②如果新抛物线经过原点，且∠POA＝∠OBA，求点P的坐标．8．（2023•青浦区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）已知点P（1，m）与点Q都是抛物线上的点．①求tan∠PBC的值；②如果∠QBP＝45°，求点Q的坐标．9．（2023•杨浦区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与直线AC交于点H．如果PH ＝AH，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结AP，试问点B关于直线CD对称的点E是否恰好落在直线AP上？请说明理由．10．（2023•长宁区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，O为坐标原点，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ．当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．二．三角形综合题（共1小题）11．（2023•长宁区一模）已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P、D分别在射线CB、射线AC上，且满足∠APD＝∠ABC．（1）当点P在线段BC上时，如图1．①如果CD＝4.8，求BP的长；②设B、P两点的距离为x，AP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（2）当BP＝1时，求△CPD的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）三．直角梯形（共1小题）12．（2023•松江区一模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，E是线段CD上一点，联结BE．（1）如图1，如果AD＝1，且CE＝3DE，求∠ABE的正切值；（2）如图2，如果BE⊥CD，且CE＝2DE，求AD的长；（3）如果BE⊥CD，且△ABE是等腰三角形，求△ABE的面积．四．相似三角形的判定与性质（共1小题）13．（2023•杨浦区一模）已知在正方形ABCD中，对角线BD＝4，点E、F分别在边AD、CD上，DE＝DF．（1）如图，如果∠EBF＝60°，求线段DE的长；（2）过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H．①求证：；②设BD的中点为点O，如果OH＝1，求的值．五．相似形综合题（共6小题）14．（2023•普陀区一模）如图，在矩形ABCD中，tan∠ABD＝，E是边DC上一动点，F是线段DE延长线上一点，且∠EAF＝∠ABD，AF与矩形对角线BD交于点G．（1）当点F与点C重合时，如果AD＝6，求DE的长；（2）当点F在线段DC的延长线上，①求的值；②如果DE＝3CF，求∠AED的余切值．15．（2023•徐汇区一模）如图1，已知菱形ABCD，点E在边BC上，∠BFE＝∠ABC，AE交对角线BD于点F．（1）求证：△ABF∽△DBA；（2）如图2，联结CF．①当△CEF为直角三角形时，求∠ABC的大小；②如图3，联结DE．当DE⊥FC时，求cos∠ABD的值．16．（2023•金山区一模）已知平行四边形ABCD中，AB＝3，cot∠ABC＝，BC＝5，点P是对角线BD上一动点，作∠EPD＝∠ABC，射线PE交射线BA于点E，联结AP．（1）如图1，当点E与点A重合时，证明：△ABP∽△BCD；（2）如图2，点E在BA的延长线上，当EP＝AD时，求AE的长；（3）当△APE是以AP为底的等腰三角形时，求AE的长．17．（2023•奉贤区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交对角线BD于点F，∠DCE＝∠ADB．（1）求证：AB•BC＝BF•CE；（2）如果AD＝3DE＝6．①求CF的长；②如果BD＝10，求cos∠ABC值．18．（2023•宝山区一模）如图1，在△ABC中，．点D、E分别在边AC、AB上（不与端点重合），BD和CE交于点F，满足∠ABD＝∠BCE．（1）求证：CD2＝DF•DB；（2）如图2，当CE⊥AB时，求CD的长；（3）当△CDF是等腰三角形时，求DF：FB的值．19．（2023•崇明区一模）已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，AD∥BC．点E为射线AD上的一个动点（不与A重合），过点E作EF⊥BE，交射线CA于点F，联结BF．（1）如图，当点F在线段AC上时，EF与AB交于点G，求证：△AEG∽△FBG；（2）在（1）的情况下，射线CA与BE的延长线交于点Q，设AE＝x，QF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当BE＝3时，求CF的长．六．解直角三角形（共1小题）20．（2023•虹口区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sin B＝，点D、E分别在边AB、BC上，满足∠CDE ＝∠B．点F是DE延长线上一点，且∠ECF＝∠ACD．（1）当点D是AB的中点时，求tan∠BCD的值；（2）如果AD＝3，求的值；（3）如果△BDE是等腰三角形，求CF的长．上海市2023年各地区中考数学模拟（一模）试卷按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（较难题）参考答案与试卷解析一．二次函数综合题（共10小题）1．（2023•宝山区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）、B（2，0），将该抛物线位于x轴上方的部分沿x轴翻折，得到的新图象记为“图象U”，“图象U”与y轴交于点C．（1）写出“图象U”对应的函数解析式及定义域；（2）求∠ACB的正切值；（3）点P在x轴正半轴上，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，交“图象U”于点F，如果△CEF与△ABC相似，求点P的坐标．【答案】（1）y＝；（2）tan∠ACB＝3；（3）点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1）（x﹣2）＝﹣x2+x+2，则翻折后的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣2，即y＝；（2）过点B作BH⊥AC于点H，＝AB×CO＝×AC×BH，则S△ABC即3×2＝×BH，解得：BH＝，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝3；（3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣2，设点P（m，0），在点E（m，m﹣2），点F（m，m2﹣m﹣2）或（m，﹣m2+m+2），则CE＝m，FE＝﹣m2+2m或m2﹣4，如下图∠E＝45°＝∠ABC，故当△CEF与△ABC相似时，∠ECF＝∠ACB或∠BCA，①当∠ECF＝∠ACB时，即tan∠ECF＝tan∠ACB＝3，在△CEF中，过点F作FH⊥CE于点H，设：CH＝t，则HF＝3t＝HE，则4t＝CE＝m且3t＝EF＝﹣m2+2m或m2﹣4，解得：m＝或（不合题意的值已舍去）；②当∠ECF＝∠CAO时，则tan∠ECF＝tan∠CAO＝2，同理可得：3t＝CE＝m且2t＝EF＝﹣m2+2m或m2﹣4，解得：m＝或（不合题意的值已舍去）；综上，点P的坐标为：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．2．（2023•徐汇区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（4，0），与y 轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴，垂足为点D，直线PD与直线BC相交于点E．①当CP＝CE时，求点P的坐标；②联结AC，过点P作直线AC的平行线，交x轴于点F，当∠BPF＝∠CBA时，求点P的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式：y＝﹣x2+x+3；（2）①P（2，），②P（3，3）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（4，0），∴，∴，∴抛物线的表达式：y＝﹣x2+x+3；（2）①过C作CH⊥PD于H，∵PC＝CE，∴PH＝EH，∵CH∥OB，∴∠HCE＝∠CBO，∴tan∠HCE＝tan∠CBO，∴＝＝，令EH＝3k，则CH＝4k，PH＝3k，PD＝3+3k，∴P的坐标是（4k，3+3k），∵P在抛物线上，∴﹣（4k）2+×（4k）+3＝3+3k，∴k＝或k＝0（舍），∴P的坐标是（2，）；②∵PG∥AC，∴∠CAB＝∠PFB，∵BC＝＝＝5，AB＝OA+OB＝5，∴AB＝CB，∴∠CAB＝∠BCA，∴∠PFB＝∠BCA，∵∠ABC＝∠BPF，∴∠CAB＝∠PBD，∵P在抛物线上，∴设P（a，﹣a2+a+3），∵∠CAB＝∠PBD，∴tan∠CAB＝tan∠PBD，∴＝＝3，∴＝3，∴a＝3或a＝4（舍），当a＝3时，﹣a2+a+3＝3，∴P的坐标是（3，3）3．（2023•虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2kx﹣4k（k＜0）的顶点为P，抛物线与y轴交于点A．（1）如果点A的坐标为（0，4），点B（﹣3，m）在抛物线上，联结AB．①求顶点P和点B的坐标；②过抛物线上点D作DM⊥x轴，垂足为M，DM交线段AB于点E，如果DE＝EM，求点D的坐标；（2）联结OP，如果OP与x轴负半轴的夹角等于∠APO与∠POA的和，求k的值．【答案】（1）①顶点P的坐标为（﹣1，5），点B的坐标为（﹣3，1）；②点D的坐标为（﹣2，4）；（2）k的值为2﹣．【解答】解：（1）①将点A的坐标为（0，4）代入y＝﹣x2+2kx﹣4k得，﹣4k＝4，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+5，∴顶点P的坐标为（﹣1，5），将x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+4得，y＝﹣9+6+4＝1，∴点B的坐标为（﹣3，1）；②∵A（0，4），B（﹣3，1），设直线AB的解析式为y＝ax+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+4，如图1，设点D（a，﹣a2﹣2a+4），则M（a，0），E（a，a+4），∴DE＝﹣a2﹣2a+4﹣a﹣4＝﹣a2﹣3a，EM＝a+4，∵DE＝EM，∴﹣a2﹣3a＝a+4，解得a＝﹣2，∴点D的坐标为（﹣2，4）；（2）如图2，过点P作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，∵y＝﹣x2+2kx﹣4k＝﹣（x﹣k）2+k2﹣4k，∴顶点P的坐标为（k，k2﹣4k），A（0，﹣4k），∴PM＝ON＝﹣k，PN＝OM＝k2﹣4k，OA＝﹣4k，∴AM＝OM﹣OA＝k2，∵∠PON＝∠APO+∠POA，∠APO+∠POA＝∠PAM，∴∠PON＝∠PAM，∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，∴∠PNO＝∠PMA，∴△PNO∽△PMA，∴，∴，∴k＝2+或2﹣，∵k＜0，∴k的值为2﹣．4．（2023•崇明区一模）如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线x＝的抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、点M（1，m），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D的坐标；的面积；（2）联结AB、AM、BM，求S△ABM（3）过M作x轴的垂线与AB交于点P，Q是直线MP上点，当△BMQ与△AMP相似时，求点Q的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2，抛物线顶点D的坐标为（，）；＝3；（2）S△ABM（3）Q的坐标为（1，）或（1，﹣1）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝，∴﹣＝①，∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0），∴16a+4b+2＝0②，由①②可得a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2，在y＝﹣x2+x+2中，令x＝得：y＝﹣×（）2+×+2＝，∴抛物线顶点D的坐标为（，）；（2）过M作MP∥y轴交AB于P，如图：在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，∴B（0，2），∵A（4，0），∴直线AB解析式为y＝﹣x+2，在y＝﹣x2+x+2中，令x＝1得y＝3，∴M（1，3），在y＝﹣x+2中，令x＝1得y＝，∴P（1，），∴PM＝3﹣＝，＝PM×|x A﹣x B|＝××4＝3；∴S△ABM（3）过B作BH⊥MP于H，如图：由（2）知，B（0，2），M（1，3），∴BH＝MH＝1，BM2＝2，∴△BMH是等腰直角三角形，∴∠BMQ＝45°，∵A（4，0），∴AB2＝20，AM2＝18，∴AM2+BM2＝AB2，∴∠AMB＝90°，∴∠AMP＝90°﹣∠BMQ＝45°＝∠BMQ，要使△BMQ与△AMP相似，只需＝或＝，设Q（1，t），则MQ＝3﹣t，当＝时，＝，解得t＝，∴Q（1，），当＝时，＝，解得t＝﹣1，∴Q（1，﹣1），综上所述，Q的坐标为（1，）或（1，﹣1）．5．（2023•金山区一模）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，0），B（﹣2，﹣3），顶点为点P，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标；（2）将抛物线向上平移m（m＞0）个单位后，点A的对应点为点M，若此时MB∥AC，求m的值；（3）设点D在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，且点D在直线BC上方，当∠DBC＝∠BAC时，求点D的坐标．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，顶点P的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）m的值为6；（3）点D的坐标为（，﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（1，0），B（﹣2，﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）如图1，y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线AC的解析式为y＝kx+c，，解得，∴直线AC的解析式为y＝3x﹣3，∵MB∥AC，∴设MB的解析式为y＝3x+d，∵B（﹣2，﹣3），∴﹣6+d＝﹣3，解得d＝3，∴MB的解析式为y＝3x+3，∵将抛物线向上平移m（m＞0）个单位后，点A的对应点为点M，A（1，0），∴点M为（1，m），代入MB的解析式为y＝3x+3得，m＝3+3＝6，∴m的值为6；（3）如图2，过点D作DH⊥BC于H，过点C作CK⊥AB于K，∵点A（1，0），B（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），∴∠ABC＝45°，BC＝2，AB＝＝3，∴sin∠ABC＝，∴CK＝BK＝，∵AB＝3，∴AK＝2，在Rt△ACK中，tan∠CAK＝，∵∠DBC＝∠BAC，∴tan∠DBC＝，在Rt△DCH中，设DH＝k，∴BH＝2k，∴CH＝2k﹣2，∴D（2k﹣2，k﹣3），∵点D在抛物线y＝x2+2x﹣3上，∴（2k﹣2）2+2（2k﹣2）﹣3＝k﹣3，解得k＝0（舍去）或，∴点D的坐标为（，﹣）．6．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，顶点为A，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE．①如果DE∥AC，求四边形ACDE的面积；②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当∠DQE＝∠CDQ时，求点Q的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①15；②（4，﹣4﹣1）或（4，4﹣1）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，经过点C（3，0），∴，解得：，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴A（2，﹣1）．设抛物线的对称轴交x轴于点G，∴AG＝1．令x＝0，则y＝3，∴D（0，3），∴OD＝3．令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（1，0）．如果DE∥AC，需将抛物线向左平移，设DE交x轴于点F，平移后的抛物线对称轴交x轴于点H，如图，∵点C的坐标为（3，0），∴OC＝3．由题意：∠ACB＝45°，∵DE∥AC，∴∠DFC＝∠ACB＝45°．∴OF＝OD＝3，∴F（﹣3，0），由题意：EH＝1，∴FH＝EH＝1，∴E（﹣4，﹣1）．∵AE∥x轴，DE∥AC，∴四边形EFCA为平行四边形，∵AE＝2﹣（﹣4）＝6，＝6×1＝6．∴S平行四边形EFCA＝FC•OD＝6×3＝9，∵S△DFC+S△DFC＝6+9＝15；∴四边形ACDE的面积＝S平行四边形EFCA②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，∠DQE＝∠CDQ，如图，当点Q在x轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x轴于F，由题意：EF＝1．∵OD＝OC＝3，∴∠ODC＝∠OCD＝45°，∴∠FCE＝∠OCD＝45°，∴CF＝EF＝1，∴E（4，﹣1）．∵CD＝＝3，CE＝＝，∴DE＝CD+CE＝4．∵∠DQE＝∠CDQ，∴EQ＝DE＝4，∴QF＝EF+EQ＝4+1，∴Q（4，﹣4﹣1）；当点Q在x轴的下方时，此时为点Q′，∵∠DQ′E＝∠CDQ′，∴EQ′＝DE＝4，∴Q′F＝EQ′﹣EF＝4﹣1，∴Q′（4，4﹣1）．综上，当∠DQE＝∠CDQ时，点Q的坐标为（4，﹣4﹣1）或（4，4﹣1）．7．（2023•松江区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B （﹣1，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为P（m，n）．①如果PO＝PA，且新抛物线的顶点在△AOB的内部，求m+n的取值范围；②如果新抛物线经过原点，且∠POA＝∠OBA，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+4；（2）①1＜m+n＜2；②（，）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4；（2）①∵PO＝PA，∴点P在OA的垂直平分线上，∵点A（2，0），∴点P的横坐标m＝1，设直线AB为y＝kx+b，∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴，解得，∴直线AB为y＝﹣x+2，当x＝1时，y＝﹣x+2＝1，∴OA的垂直平分线与AB的交点坐标为（1，1），∵新抛物线的顶点P（m，n）在△AOB的内部，∴n的取值范围为0＜n＜1，∴1＜m+n＜2；②如图，设OP与AB交于Q，Q（x，﹣x+2），∵∠POA＝∠OBA，∠OAQ＝∠BAO，∴△AOQ∽△ABO，∴，∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴OA＝2，BO＝＝，BA＝3，∴，∴OQ＝，∴＝，解得x＝或，∴Q（，）或（，）（舍去），∴直线OQ为y＝x，∵P（m，n），∴n＝m，∴新抛物线为y＝﹣（x﹣m）2+m，∵新抛物线经过原点，∴﹣（﹣m）2+m＝0，解得m＝0或m＝，∴点P的坐标为（，）．8．（2023•青浦区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）已知点P（1，m）与点Q都是抛物线上的点．①求tan∠PBC的值；②如果∠QBP＝45°，求点Q的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2，点C的坐标为（0，2）；（2）①；②点Q的坐标为（﹣，）．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得，，解得，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2．当x＝0时，y＝2，∴点C的坐标为（0，2）；（2）①连接PC，过点P作PH⊥BC，垂足为点H．∵P（1，m）在y＝﹣x2+x+2上，∴m＝﹣1+1+2＝2，P（1，2），∵C（0，2），B（2，0），∴，PC⊥OC，∠BCO＝45°，∴∠PCH＝45°，∴．∴BH＝BC﹣CH＝，∴tan∠PBC＝；②由题意可知，点Q在第二象限．过点Q作QD⊥x轴，垂足为点D．∵∠QBP＝∠CBA＝45°，∴∠QBD＝∠CBP，∵tan∠PBC＝．∴tan∠QBD＝，设DQ＝n，则BD＝3n，OD＝3n﹣2．∴Q（2﹣3n，n），将Q（2﹣3n，n）代入y＝﹣x2+x+2，得﹣（2﹣3n）2+2﹣3n+2＝n，解得n＝或0（舍去），∴点Q的坐标为（﹣，）．9．（2023•杨浦区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与直线AC交于点H．如果PH ＝AH，求点P的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，联结AP，试问点B关于直线CD对称的点E是否恰好落在直线AP上？请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+3；（2）P（﹣，）；（3）B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上，理由见解答过程．【解答】解：（1）把A（﹣4，0），C（0，3）代入x2+bx+c得：，解得，∴y＝﹣x2﹣x+3；（2）如图：由A（﹣4，0），C（0，3）可得直线AC解析式为y＝x+3，AC＝＝5，设P（m，﹣m2﹣m+3），则H（m，m+3），∴PH＝（﹣m2﹣m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，HG＝m+3，∵∠HAG＝∠CAO，∠AGH＝90°＝∠AOC，∴△AHG∽△ACO，∴＝，即＝，∴AH＝m+5，∵PH＝AH，∴﹣m2﹣3m＝m+5，解得m＝﹣或m＝﹣4（与A重合，舍去），∴P（﹣，）；（3）点B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上，理由如下：作B关于直线CD的对称点E，过E作EW⊥x轴于W，设BE交CD于K，如图：由y＝﹣x2﹣x+3得抛物线对称轴为直线x＝﹣，B（1，0），∴D（﹣，0），BD＝，∵C（0，3），∴CD＝，∵B，E关于直线CD对称，∴∠BKD＝90°＝∠DOC，BK＝EK，∵∠CDO＝∠BDK，∴△BDK∽△CDO，∴＝＝，即＝＝，∴BK＝，DK＝，∴BE＝2BK＝2，∵∠EWB＝90°＝∠DKB，∠WBE＝∠DBK，∴△EWB∽△DKB，∴＝＝，即＝＝，∴EW＝2，BW＝4，∴OW＝BW﹣OB＝3，∴E（﹣3，2），由A（﹣4，0），P（﹣，）得直线AP解析式为y＝2x+8，在y＝2x+8中，令x＝﹣3得y＝2，∴E在直线直线AP上，即B关于直线CD对称的点E恰好落在直线AP上．10．（2023•长宁区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和B（4，0），与y轴交于点C，O为坐标原点，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，联结OQ．当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣5x+4；（2）Q（2，﹣2）；（3）在直线QE上存在点F，使得△BEF与△ADC相似，F的坐标为（4，2）或（1.6，﹣2.8）．【解答】解：（1）∵B（4，0），OB＝OC，∴C（0，4），把A（1，0），B（4，0），C（0，4）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：，∴y＝x2﹣5x+4；（2）由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m+4），则Q（m，m2﹣5m+4），∴PQ＝﹣m+4﹣（m2﹣5m+4）＝﹣m2+4m，∵OC∥PQ，要使四边形OCPQ恰好是平行四边形，只需OC＝PQ，∴﹣m2+4m＝4，解得m＝2，∴Q（2，﹣2）；（3）在直线QE上存在点F，使得△BEF与△ADC相似，理由如下：∵D是OC的中点，点C（0，4），∴点D（0，2），由（2）知Q（2，﹣2），∴直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，∵A（1，0），∴A在直线DQ上，AD＝，AC＝，过点Q作QH⊥x轴于点H，过E作EK⊥x轴于K，如图：∵QH∥CO，故∠AQH＝∠ODQ，∵∠DQE＝2∠ODQ，∴∠HQA＝∠HQE，∴直线AQ和直线QE关于直线QH对称，∴∠DAO＝∠QAH＝∠QGH＝∠EGB，GH＝AH＝1，∴G（3，0），由点Q（2，﹣2），G（3，0）可得直线QE的表达式为y＝2x﹣6，联立，解得或，∴点E的坐标为（5，4），∵B（4，0），∴BK＝1，EK＝4，BE＝，∴＝＝，∵∠EKB＝90°＝∠COA，∴△EKB∽△COA，∴∠EBK＝∠CAO，∴∠CAO﹣∠DAO＝∠EBK﹣∠EGB，即∠DAC＝∠GEB，∴△BEF与△ADC相似，点E与点A是对应点，设点F的坐标为（t，2t﹣6），则EF＝，当△BEF∽△CAD时，有＝，∴＝，解得t＝4或t＝6（在E右侧，舍去），∴F（4，2）；当△BEF∽△DAC时，＝，∴＝，解得t＝8.4（舍去）或t＝1.6，∴F（1.6，﹣2.8），综上所述，F的坐标为（4，2）或（1.6，﹣2.8）．二．三角形综合题（共1小题）11．（2023•长宁区一模）已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点P、D分别在射线CB、射线AC上，且满足∠APD＝∠ABC．（1）当点P在线段BC上时，如图1．①如果CD＝4.8，求BP的长；②设B、P两点的距离为x，AP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（2）当BP＝1时，求△CPD的面积．（直接写出结论，不必给出求解过程）【答案】（1）①BP的长为4或12；②y＝（0＜x＜16）；（2）△CPD的面积为或．【解答】解：（1）①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠APD+∠DPC＝∠B+∠BAP，且∠APD＝∠B，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴＝，∵CD＝4.8，AB＝10，∴＝，BC＝16，解得x＝4或x＝12，∴BP的长为4或12；②由（1）△ABP∽△PCD，∴＝，∵B、P两点的距离为x，∴＝，∴CD＝，∴AD＝AC﹣CD＝10﹣，∵∠B＝∠C，∠APD＝∠ABC，∴∠C＝∠APD，∵∠PAD＝∠CAP，∴△PAD∽△CAP，∴＝，∴PA2＝AC•AD，∴y2＝10×[10﹣]＝100﹣16x+x2，∴y＝，∵16﹣x＞0，∴x＜16，∴y＝（0＜x＜16）；（2）过A作AH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，当P在边BC上时，如图：∵AH⊥BC，AB＝AC，∴BH＝BC＝8＝CH，∴AH＝＝6，由（1）知当BP＝1，即x＝1时，CD＝＝，CP＝BC﹣BP＝15，∵AH⊥BC于H，DG⊥BC，∴∠AHC＝90°＝∠DGC，∠C＝∠C，∴△AHC∽△DGC，∴＝，∴＝，∴DG＝，∴△CPD的面积为×15×＝，当P在CB延长线上时，如图：由△ABP∽△PCD可得CD＝，由△AHC∽△DGC可得DG＝，∴△CPD的面积为×17×＝，综上所述，△CPD的面积为或．三．直角梯形（共1小题）12．（2023•松江区一模）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，E是线段CD上一点，联结BE．（1）如图1，如果AD＝1，且CE＝3DE，求∠ABE的正切值；（2）如图2，如果BE⊥CD，且CE＝2DE，求AD的长；（3）如果BE⊥CD，且△ABE是等腰三角形，求△ABE的面积．【答案】（1）∠ABE的正切值为；（2）AD的长为；（3）△ABE的面积为或6+2或6﹣2或．【解答】解：（1）过D作DK⊥BC于K，过E作ET⊥BC于T，如图：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DK⊥BC，∴四边形ABKD是矩形，∴BK＝AD＝1，DK＝AB＝4，∴CK＝BC﹣BK＝6﹣1＝5，∵CE＝3DE，∴＝，∵∠DKC＝90°＝∠ETC，∠C＝∠C，∴△DKC∽△ETC，∴＝＝＝，即＝＝，∴ET＝3，KT＝，∴BT＝BK+KT＝，∵AB∥ET，∴∠ABE＝∠BET，∴tan∠ABE＝tan∠BET＝＝＝，∴∠ABE的正切值为；（2）过D作DR⊥BC于R，过E作ES⊥BC于S，如图：∵CE＝2DE，∴＝，同（1）可得＝＝，DR＝4，∴＝＝，∴ES＝，CR＝CS，∵BE⊥CD，∴∠BES＝90°﹣∠CES＝∠C，∵∠BSE＝90°＝∠ESC，∴△BSE∽△ESC，∴＝，即＝，∴CS＝或CS＝，∴CR＝（大于6舍去）或CR＝，∴BR＝BC﹣CR＝，∴AD＝；∴AD的长为；（3）当AB＝BE＝4时，过E作EW⊥BC于W，如图：∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°＝∠BWE，∵∠EBW＝∠CBE，∴△EBW∽△CBE，∴＝，即＝，∴BW＝，＝AB•BW＝×4×＝；∴S△ABE当AE＝BE时，过E作EP⊥BC于P，过E作EM⊥AB于M，如图：∴BM＝AB＝2＝EP，同（2）可得＝，∴＝，解得BP＝3+或BP＝3﹣，＝AB•BP＝×4×（3+）＝6+2或S△ABE＝AB•BP＝6﹣2；∴S△ABE当AB＝AE＝4时，过E作EQ⊥AB于Q，过E作EI⊥BC于I，如图：设QE＝x＝BI，则AQ＝＝，CI＝6﹣x，∴BQ＝EI＝4﹣，∵∠CEI＝90°﹣∠BEI＝∠QEB，∠EQB＝90°＝∠EIC，∴△EQB∽△EIC，∴＝，即＝，解得x＝0（舍去）或x＝，＝AB•EQ＝×4×＝，∴S△ABE综上所述，△ABE的面积为或6+2或6﹣2或．四．相似三角形的判定与性质（共1小题）13．（2023•杨浦区一模）已知在正方形ABCD中，对角线BD＝4，点E、F分别在边AD、CD上，DE＝DF．（1）如图，如果∠EBF＝60°，求线段DE的长；（2）过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H．①求证：；②设BD的中点为点O，如果OH＝1，求的值．【答案】（1）2﹣2；（2）①证明过程详见解答；（3）或．【解答】（1）解：如图1，连接EF，∵四边形ABCD是正方形，BD＝4，∴AB＝AD＝CD＝BC＝2，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，∵BE＝BF，∴△ABE≌△CBF（HL），∴BE＝BF，AE＝CF，∴DE＝DF，∵∠EBF＝60°，∴BE＝EF＝BF，设DE＝DF＝x，则AE＝2﹣x，EF＝x，∴BE2＝（2）2+（2﹣x）2＝x2+16﹣4x，∴（x）2＝x2+16﹣4x，∴x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），∴DE＝2﹣2；（2）①证明：如图2，延长EG，交BC于T，作CR∥ET，∵ET⊥BF，∴CR⊥BF，∴∠RCD+∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，∴四边形CTER是平行四边形，∠DRC+∠RCD＝90°，∴CR＝ET，∠BFC＝∠DRC，∴△BCF≌△CDR（AAS），∴CR＝BF，∴ET＝BF，∵BE＝BF，∴BE＝ET，∵AD∥BC，∴，∴；②如图3，当时，延长EG交BC于Q，作ER⊥BC于R，作BE的垂直平分线，交AB于T，∴BT＝ET，设AE＝a，则DE＝AD﹣AE＝2，由上可知：BE＝EQ，∴RQ＝BR＝AE＝a，∵AD∥BC，∴△DEH∽△BQH，∴，∴，∴a＝，∴设AT＝x，则ET＝BT＝2，在Rt△AET中，由勾股定理得，（22﹣x2＝（2，∴x＝，∴tan∠AET＝，∴cos∠AET＝，∵∠ATE＝2∠ABE＝∠ABE+∠CBT，∴∠AET＝∠EBG∴cos∠EBG＝，∴，∴；如图4，当时，同理可得：∴∴∴a＝，∴设AT＝x，则ET＝BT＝2，在Rt△AET中，由勾股定理得，（22﹣x2＝（）2，∴x＝，∴cos∠EBG＝cos∠AET＝，∴，∴，综上所述：或．五．相似形综合题（共6小题）14．（2023•普陀区一模）如图，在矩形ABCD中，tan∠ABD＝，E是边DC上一动点，F是线段DE延长线上一点，且∠EAF＝∠ABD，AF与矩形对角线BD交于点G．（1）当点F与点C重合时，如果AD＝6，求DE的长；（2）当点F在线段DC的延长线上，①求的值；②如果DE＝3CF，求∠AED的余切值．【答案】（1）；（2）①；②．【解答】解：（1）如图，当点F与点C重合时，设DE＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AC＝BD，DG＝BD，CG＝AC，∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠ABD＝∠BDC，DG＝CG，CD＝AB＝＝＝8，∴∠ACD＝∠BDC，∵∠EAF＝∠ABD，∴∠EAF＝∠ACD，∴AE＝CE＝8﹣x，∵∠ADC＝90°，∴AD2+DE2＝AE2，即62+x2＝（8﹣x）2，∴x＝，∴DE＝；（2）①如图，AE交BD于点M，连接EG，由（1）得，∠EAF＝∠BDC，∵∠AMG＝∠DME，∴△AMG∽△DME，∴＝，又∵∠AMD＝∠GME，∴△AMD∽△GME，∴∠ADB＝∠GEA，∵∠ABD＝∠EAF，∴△ABD∽△GAE，∴＝，∵tan∠ABD＝＝，∴设AD＝3a，则AB＝4a，∴BD＝＝＝5a，∴＝＝＝；②如图，连接EG，∵tan∠ABD＝＝，∴设AD＝3a，则CD＝AB＝4a，设CF＝x，且a＞0，x＞0，则DF＝4a+x，∵DE＝3CF，∴DE＝3x，∴cot∠AED＝＝＝，AE＝＝＝，AF＝＝，∵AB∥CD，∴△DGF∽△BGA，∴＝，即＝，∴AG＝，由①得，＝，∴5AG＝4AE，∴5×＝4×，两边平方并整理得，（3x﹣a）（x+7a）（3x2+28ax+7a2）＝0，∵a＞0，x＞0，∴3x﹣a≥0，3x2+28ax+7a2＞0，∴3x﹣a＝0，∴＝，∴cot∠AED＝，即∠AED的余切值．15．（2023•徐汇区一模）如图1，已知菱形ABCD，点E在边BC上，∠BFE＝∠ABC，AE交对角线BD于点F．（1）求证：△ABF∽△DBA；（2）如图2，联结CF．①当△CEF为直角三角形时，求∠ABC的大小；②如图3，联结DE．当DE⊥FC时，求cos∠ABD的值．【答案】（1）证明见解析：（2）①∠ABC＝60°或∠ABC＝45°；②cos∠ABD＝．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABF＝∠EBF，∵∠BFE＝∠ABC，∴∠ABF+∠BAF＝∠ABF+∠EBF，∴∠BAF＝∠EBF，∵∠ADB＝∠EBF，∴∠ADB＝∠BAF，∵∠ABF＝∠ABD，∴△ABF∽△DBA；（2）①∵菱形是轴对称图形，∴∠FCB＝∠BAF，令∠ABD＝α，则∠CBF＝∠BAE＝∠FCB＝α，当∠CEF＝90°时，∠CEF＝∠ABE+∠BAE＝3α＝90°，∴α＝30°，∴∠ABC＝2α＝60°；当∠ECF＝90°时，α＝90°，∴∠ABC＝2α＝180°，不符合题意；当∠EFC＝90°时，∠EFC＝180°﹣∠CEF﹣∠FCE＝180°﹣4α＝90°，∴α＝22.5°，∴∠ABC＝2α＝45°，∴当△CEF为直角三角形时，∠ABC＝60°或∠ABC＝45°；②连接AC交BD于O，交DE于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DE⊥FC，∴∠GCH+∠DFC＝∠FDG+∠DFC＝90°，∴∠GCH＝∠FDG，∵∠HEC＝∠DBE+∠BDE，∠HCE＝∠FCE+∠HCG，∠FCE＝∠DBE ∴∠HEC＝∠HCE，∴HE＝HC，∵EH：HD＝CH：AH，∴AH＝HD，∴AC＝DE，∴四边形AECD是等腰梯形，∴∠FEG＝∠DCH，∵∠HCE＝∠DCH，∴∠FEG＝∠CEG，∵∠FGE＝∠CGE＝90°，EG＝EG，∴△EFG≌△ECG（ASA），∴FG＝CG，∴DE垂直平分FC，∴DF＝DC，∵△ABF∽△DBA，∴AB：BD＝BF：AB，∴AB2＝BD•BF＝BF•（BF+DF），设BF＝x，菱形边长是a，∴a2＝x（x+a），∴x＝，或x＝（舍），∴BD＝BF+FD＝+a＝，∴BO＝BD＝，∴cos∠ABD＝＝＝．∴cos∠ABD的值是．16．（2023•金山区一模）已知平行四边形ABCD中，AB＝3，cot∠ABC＝，BC＝5，点P是对角线BD上一动点，作∠EPD＝∠ABC，射线PE交射线BA于点E，联结AP．（1）如图1，当点E与点A重合时，证明：△ABP∽△BCD；（2）如图2，点E在BA的延长线上，当EP＝AD时，求AE的长；（3）当△APE是以AP为底的等腰三角形时，求AE的长．【答案】（1）证明见解答；（2）AE的长是10﹣3；（3）AE的长是3或．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABP＝∠BDC，∵点E与点A重合，∴∠APD＝∠EPD＝∠ABC，∴∠APD﹣∠ABP＝∠ABC﹣∠ABP，∵∠BAP＝∠APD﹣∠ABP，∠DBC＝∠ABC﹣∠ABP，∴∠BAP＝∠DBC，。

2022中考数学真题分类汇编二次函数（填空题）解析一．填空题（共21小题）21．（2022常州）二次函数y=﹣某+2某﹣3图象的顶点坐标是．2．（2022漳州）已知二次函数y=（某﹣2）2+3，当某时，y随某的增大而减小．3．（2022杭州）函数y=某2+2某+1，当y=0时，某=；当1＜某＜2时，y随某的增大而（填写“增大”或“减小”）．21教育网4．（2022天水）下列函数（其中n为常数，且n＞1）①y=（某＞0）；②y=（n﹣1）某；③y=2（某＞0）；④y=（1﹣n）某+1；⑤y=﹣某+2n某（某＜0）中，y的值随某的值增大而增大的函数有个．5．（2022淄博）对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2某2+2某+8．当某=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．6．（2022十堰）抛物线y=a某2+b某+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当某＜﹣1时，y随着某的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是．（只填写序号）7．（2022乌鲁木齐）如图，抛物线y=a某+b某+c的对称轴是某=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）2第7题第8题第13题8．（2022长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=某2﹣2某+2上运动．过点A作AC⊥某轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．9．（2022河南）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（某﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．10．（2022乐山）在直角坐标系某Oy中，对于点P（某，y）和Q （某，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=某+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为．（2）若点P在函数y=﹣某2+16（﹣5≤某≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的取值范围是．11．（2022宿迁）当某=m或某=n（m≠n）时，代数式某2﹣2某+3的值相等，则某=m+n时，代数式某2﹣2某+3的值为．12．（2022龙岩）抛物线y=2某2﹣4某+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是．13．（2022湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1某2+b1某+c1和C2：y=a2某2+b2某+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与某轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．14．（2022绥化）把二次函数y=2某2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．15．（2022岳阳）如图，已知抛物线y=a某2+b某+c与某轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1某2+b1某+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．第15题第19题16．（2022莆田）用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是2cm．2-1-c-n-j-y17．（2022资阳）已知抛物线p：y=a某2+b某+c的顶点为C，与某轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于某轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=某2+2某+1和y=2某+2，则这条抛物线的解析式为．18．（2022营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大．19．（2022温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为m2．20．（2022湖州）已知在平面直角坐标系某Oy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和某轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=a某2+b某+c（a≠0）经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=a某2+b某+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．21．（2022衢州）如图，已知直线y=﹣某+3分别交某轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣某+2某+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣某+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．22022中考数学真题分类汇编：二次函数（填空题）参考答案与试题解析一．填空题（共21小题）21．（2022常州）二次函数y=﹣某+2某﹣3图象的顶点坐标是（1，﹣2）．考点：二次函数的性质．分析：此题既可以利用y=a某2+b某+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．21·世纪某教育网解答：解：∵y=﹣某2+2某﹣32=﹣（某﹣2某+1）﹣2=﹣（某﹣1）2﹣2，故顶点的坐标是（1，﹣2）．故答案为（1，﹣2）．点评：本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．2．（2022漳州）已知二次函数y=（某﹣2）2+3，当某＜2时，y随某的增大而减小．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；由a 的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．21教育名师原创作品解答：解：在y=（某﹣2）2+3中，a=1，∵a＞0，∴开口向上，由于函数的对称轴为某=2，当某＜2时，y的值随着某的值增大而减小；当某＞2时，y的值随着某的值增大而增大．故答案为：＜2．点评：本题考查了二次函数的性质，找到的a的值和对称轴，对称轴方程是解题的关键．23．（2022杭州）函数y=某+2某+1，当y=0时，某=﹣1；当1＜某＜2时，y随某的增大而增大（填写“增大”或“减小”）．考点：二次函数的性质．2分析：将y=0代入y=某+2某+1，求得某的值即可，根据函数开口向上，当某＞﹣1时，y随某的增大而增大．2解答：解：把y=0代入y=某+2某+1，得某2+2某+1=0，解得某=﹣1，当某＞﹣1时，y随某的增大而增大，∴当1＜某＜2时，y随某的增大而增大；故答案为﹣1，增大．点评：本题考查了二次函数的性质，重点掌握对称轴两侧的增减性问题，解此题的关键是利用数形结合的思想．4．（2022天水）下列函数（其中n为常数，且n＞1）①y=（某＞0）；②y=（n﹣1）某；③y=（某＞0）；④y=（1﹣n）某+1；⑤y=﹣某2+2n某（某＜0）中，y的值随某的值增大而增大的函数有3个．考点：二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．分析：分别根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质进行分析即可．解答：解：①y=（某＞0），n＞1，y的值随某的值增大而减小；②y=（n﹣1）某，n＞1，y的值随某的值增大而增大；③y=（某＞0）n＞1，y的值随某的值增大而增大；④y=（1﹣n）某+1，n＞1，y的值随某的值增大而减小；⑤y=﹣某2+2n某（某＜0）中，n＞1，y的值随某的值增大而增大；y的值随某的值增大而增大的函数有3个，故答案为：3．点评：此题主要考查了正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，关键是掌握正比例函数y=k某（k≠0），k＞0时，y的值随某的值增大而增大；一次函数的性质：k＞0，y随某的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随某的增大而减小，函数从左到右下降；二次函数y=a某2+b某+c（a≠0）当a＜0时，抛物线y=a某2+b某+c（a≠0）的开口向下，某＜﹣时，y随某的增大而增大；反比例函数的性质，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随某的增大而增大．5．（2022淄博）对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2某2+2某+8．当某=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式y2=某2+3，y2=（某+）2+3（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．考点：二次函数的性质．专题：开放型．分析：已知当某=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3，故抛物线的顶点坐标为（m，3），设出顶点式求解即可．解答：解：答案不唯一，例如：y2=某2+3，2y2=（某+）+3．故答案为：y2=某2+3，y2=（某+）2+3．点评：考查了二次函数的性质，二次函数y=a某+b某+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣）．6．（2022十堰）抛物线y=a某2+b某+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当某＜﹣1时，y随着某的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是③⑤．（只填写序号）考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0＜﹣＜，变形可得a+b＞0，则可对②进行判断；利用点A（﹣3，2，y1）和点B（3，y2）到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，两式相减得am2﹣a+bm+b=0，然后把等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b=0，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到＜c≤﹣1，变形得到b2﹣4ac＞4a，则可对⑤进行判断．点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．2·1·c·n·j·y2分析：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．解答：解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2某2的图象向左平移1个单位长22度所得抛物线的解析式为：y=2（某+1），即y=2（某+1）；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（某+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（某+1）2﹣2，即y=2（某+1）2﹣2．2故答案为：y=2（某+1）﹣2．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．15．（2022岳阳）如图，已知抛物线y=a某2+b某+c与某轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1某2+b1某+c1，则下列结论正确的是③④．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．考点：二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．分析：①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为某=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．②根据抛物线y=a某2+b某+c的图象，可得某=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底某高，求出阴影部分的面积是多少即可．④根据函数的最小值是解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为某=﹣＞0，，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．∴b＜0，∴结论①不正确；∵某=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y=a某2+b某+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2某2=4，∴结论③正确；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．点评：（1）此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．考点：二次函数的最值．解答：解：设矩形的一边长是某cm，则邻边的长是（16﹣某）cm．则矩形的面积S=某（16﹣某），即S=﹣某2+16某，当某=﹣=﹣=8时，S有最大值是：64．故答案是：64．点评：本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解．2分析：先求出y=某2+2某+1和y=2某+2的交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=某2+2某+1的顶点A坐标（﹣1，0），接着利用点C和点C′关于某轴对称得到C（1，2﹣4），则可设顶点式y=a（某﹣1）﹣4，然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．解答：解：∵y=某2+2某+1=（某+1）2，∴A点坐标为（﹣1，0），解方程组得或，∴点C′的坐标为（1，4），∵点C和点C′关于某轴对称，∴C（1，﹣4），2设原抛物线解析式为y=a（某﹣1）﹣4，把A（﹣1，0）代入得4a﹣4=0，解得a=1，∴原抛物线解析式为y=（某﹣1）2﹣4=某2﹣2某﹣3．故答案为y=某2﹣2某﹣3．18．（2022营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为22元时，该服装店平均每天的销售利润最大．考点：二次函数的应用．分析：根据“利润=（售价﹣成本）某销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价某（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．解答：解：设定价为某元，根据题意得：y=（某﹣15）[8+2（25﹣某）]=﹣2某2+88某﹣870∴y=﹣2某2+88某﹣870，2=﹣2（某﹣22）+98∵a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴当某=22时，y最大值=98．故答案为：22．。

专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【例1】（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．【分析】（1）将（0，3）和（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c可得；（2）①求出△PCD的面积，设Q（a，3﹣a）利用S△QAB＝2S△PCD求得；②利用AQ＝AG列出方程，求出G点的坐标，根据联立直线BC和QF的关系式，求出F 的坐标，从而求得GF．【解答】解（1）由题意得，，∴b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（（x﹣1）2+4，∴P（1，4）．（2）①如图1，作CE⊥PD于E，∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC：y＝﹣x+3，∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a），∴CE＝PE＝DE，∴△PCD是等腰直角三角形，∴S△PCD＝PD•CE＝×2×1＝1，∴AB•|3﹣a|＝2，∴×4•|3﹣a|＝2，∴a＝2或a＝4．∴Q（2，1）或（4，﹣1）．②如图2，设G（m，m﹣），由AG2＝AQ2得，（m+1）2+＝（2+1）2+12，化简，得5m2+2m﹣16＝0，∴m1＝﹣2，m2＝，∴G1（﹣2，﹣3），G2（，﹣），作QH⊥AB于H，∵AQ⊥QF，∴△AHQ∽△QHM，∴QH2＝AH•HM，即：12＝3•HM，∴HM＝，∴M（，0），设直线QM是：y＝kx+b，∴，∴k＝﹣3，b＝7，∴y＝﹣3x+7，由得，x＝，y＝﹣∴F（，﹣）∴G1F＝＝，G2F＝＝．【例2】（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．【分析】（1）根据点A、B的横坐标分别为﹣3、，可以先求的点A和B的坐标，平行线分线段成比例定理可以得到EC＝ED，然后即可得到点P的坐标；（2）根据点B的横坐标为4，可以求得点B的坐标，然后根据相似三角形的判定与性质，可以求得点A的坐标，再根据（1）求中点坐标的方法可以求得点P的坐标；（3）根据相似三角形的判定与性质，可以求得点A和点B的坐标与点P坐标的关系，从而可以得到y与x的关系；（4）将y＝6代入（3）中的函数关系式，可以求得点P的横坐标的平方，然后根据勾股定理可以得到OP的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到线段AB的长．【解答】解：（1）∵点A、B在抛物线y＝x2上，点A、B的横坐标分别为﹣3、，∴当x＝﹣3时，y＝×（﹣3）2＝×9＝，当x＝时，y＝×（）2＝×＝，即点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（，），作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，作PE⊥x轴于点E，如右图1所示，则AC∥BD∥PE，∵点P为线段AB的中点，∴P A＝PB，由平行线分线段成比例，可得EC＝ED，设点P的坐标为（x，y），则x﹣（﹣3）＝﹣x，∴x＝＝﹣，同理可得，y＝＝，∴点P的坐标为（﹣，）；（2）∵点B在抛物线y＝x2上，点B的横坐标为4，∴点B的纵坐标为：y＝×42＝8，∴点B的坐标为（4，8），∴OD＝4，DB＝8，作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图2所示，∵∠AOB＝90°，∠ACO＝90°，∠ODB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∠BOD+∠OBD＝90°，∠ACO＝∠ODB，∴∠AOC＝∠OBD，∴△AOC∽△OBD，∴，设点A的坐标为（a，a2），∴CO＝﹣a，AC＝a2，∴，解得a1＝0（舍去），a2＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，），∴中点P的横坐标为：＝，纵坐标为＝，∴线段AB中点P的坐标为（，）；（3）作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图3所示，由（2）知，△AOC∽△OBD，∴，设点A的坐标为（a，a2），点B的坐标为（b，b2），∴，解得，ab＝﹣4，∵点P（x，y）是线段AB的中点，∴x＝，y＝＝＝，∴a+b＝2x，∴y＝＝x2+2，即y关于x的函数解析式是y＝x2+2；（4）当y＝6时，6＝x2+2，∴x2＝4，∵OP＝＝＝2，△AOB是直角三角形，点P时斜边AB的中点，∴AB＝2OP＝4，即线段AB的长是4．【例3】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC 交于点F．（1）点F的坐标为（4，2）；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E 出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．【分析】（1）先求出B（6，0），C（0，6），再求出直线BC的解析式为y＝﹣x+6，联立即可求F点坐标；（2）过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，证明△PMF∽△QNF，得＝，再由FH∥PG，得＝，可求PG＝，即为P点纵坐标为，则可求P（1，）或P（3，）；（3）过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，证明△ODE是等腰直角三角形，△EHL为等腰直角三角形，则有LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，EL＝t，EH＝LH＝t，OH＝t+2，SH＝3t，求出S（t+2，3t），求出t＝2，则可得点G的运动时间为2s．【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+2x+6中，令y＝0，则﹣x2+2x+6＝0，∴x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），令x＝0，则y＝6，∴C（0，6），在直线y＝x﹣2，令y＝0，则x＝2，∴E（2，0），令x＝0，则y＝﹣2，∴D（0，﹣2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+6，联立，解得，∴F（4，2），故答案为（4，2）；（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，∵PM⊥BC，QN⊥BC，∴∠PMF＝∠QNF，∴△PMF∽△QNF，∴＝，∵＝，∴＝，∵FH∥PG，∴＝＝，∵FH＝2，∴PG＝，∴P点纵坐标为，∴﹣x2+2x+6＝，∴x＝1或x＝3，∴P（1，）或P（3，）；（3）如图2，过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，由题意得，EG＝4t，∵SE＝SG，∴EK＝GK＝EG＝2t，在Rt△SEK中，tan∠SEG＝＝，∴SK＝t，∵E（2，0），D（0，﹣2），∴OE＝OD，∴△ODE是等腰直角三角形，∴∠OED＝45°，∴∠KEH＝∠OED＝45°，∴△EHL为等腰直角三角形，∴LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，∴EL＝EK﹣LK＝t，∴EH＝LH＝t，∴OH＝OE+EH＝t+2，SH＝SL+LH＝3t，∴S（t+2，3t），∴﹣（t+2）2+2（t+2）+6＝3t，∴t＝2或t＝﹣8（舍），∴点G的运动时间为2s．【例4】（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c即可求解析式；（2）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF ∥AE，可得＝，则求的最大值即可；（3）分三种情况讨论：当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，可证明△DBG∽△BCH，求出D（3，6）；当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，可证明△OBC∽△KCD，求出D（3，﹣9）；当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），设D（3，m），由DT＝BC，可求D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE，∴＝，设直线BC的解析式为y＝kx+d，∴，∴，∴y＝x﹣3，设P（t，t2﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），∴PF＝t﹣3﹣t2+t+3＝﹣t2+t，∵A（﹣2，0），∴E（﹣2，﹣4），∴AE＝4，∴＝＝＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，∴当t＝3时，有最大值，∴P（3，﹣）；（3）∵P（3，﹣），D点在l上，如图2，当∠CBD＝90°时，过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴＝，即＝，∴BG＝6，∴D（3，6）；如图3，当∠BCD＝90°时，过点D作DK⊥y轴交于点K，∵∠KCD+∠OCB＝90°，∠KCD+∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴＝，即＝，∴KC＝6，∴D（3，﹣9）；如图4，当∠BDC＝90°时，线段BC的中点T（3，﹣），BC＝3，设D（3，m），∵DT＝BC，∴|m+|＝，∴m＝﹣或m＝﹣﹣，∴D（3，﹣）或D（3，﹣﹣）；综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为（3，6）或（3，﹣9）或（3，﹣﹣）或（3，﹣）．【例5】（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：A（﹣3，0），B（﹣1，0），C（0，18），D（﹣2，﹣6）；（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=43，求a的值和CE的长；（3）如图2，在（2）的条件下，若点N 为OC 的中点，动点P 在第三象限的抛物线上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，交AN 于点F ；过点F 作FH ⊥DE ，垂足为H ．设点P 的横坐标为t ，记f ＝FP +FH ． ①用含t 的代数式表示f ；②设﹣5＜t ≤m （m ＜0），求f 的最大值．【分析】（1）当a ＝6时，抛物线的表达式为：y ＝6x 2+24x +18，即可求解；（2）由点C 、D 的坐标得，直线CD 的表达式为：y ＝2ax +4a ﹣6，进而求出点E （3a −2，0），利用tan ∠AED =OC OE =4a−63a−2=43，即可求解； （3）①证明△FJH ∽△ECO ，故FH OE=FJCE，则FH =OECE ×FJ =−t +1，即可求解； ②f =−23（t +3）2+263（﹣5＜t ≤m 且m ＜0），即可求解． 【解析】（1）当a ＝6时，抛物线的表达式为：y ＝6x 2+24x +18，令y ＝0，则x ＝﹣1或﹣3；当x ＝0时，y ＝18，函数的对称轴为x ＝﹣2， 故点A 、B 、C 、D 的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）； 故答案为：（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；（2）y ＝ax 2+4ax +4a ﹣6，令x ＝0，则y ＝4a ﹣6，则点C （0，4a ﹣6）， 函数的对称轴为x ＝﹣2，故点D 的坐标为（﹣2，﹣6）， 由点C 、D 的坐标得，直线CD 的表达式为：y ＝2ax +4a ﹣6， 令y ＝0，则x =3a −2，故点E （3a−2，0），则OE =3a −2，tan ∠AED =OCOE =6−4a 3a −2=43，解得：a =23， 故点C 、E 的坐标分别为（0，−103）、（52，0），则CE =√(103)2+(52)2=256；（3）①如图，作PF 与ED 的延长线交于点J ，由（2）知，抛物线的表达式为：y =23x 2+83x −103， 故点A 、C 的坐标分别为（﹣5，0）、（0，−103），则点N （0，−53）， 由点A 、N 的坐标得，直线AN 的表达式为：y =−13x −53； 设点P （t ，23t 2+83t −103），则点F （t ，−13t −53）；则PF =−23t 2﹣3t +53，由点E （52，0）、C 的坐标得，直线CE 的表达式为：y =43x −103，则点J （t ，43t −103），故FJ =−53t +53， ∵FH ⊥DE ，JF ∥y 轴，故∠FHJ ＝∠EOC ＝90°，∠FJH ＝∠ECO ， ∴△FJH ∽△ECO ，故FH OE=FJ CE，则FH =OECE ×FJ =−t +1，f ＝PF +FH =−23t 2﹣3t +53+（﹣t +1）=−23t 2﹣4t +83； ②f =−23t 2﹣4t +83=−23（t +3）2+263（﹣5＜t ≤m 且m ＜0）； ∴当﹣5＜m ＜﹣3时，f max =−23m 2﹣4m +83； 当﹣3≤m ＜0时，f max =263．【例6】（2020•恩施州）如图1，抛物线y =−14x 2+bx +c 经过点C （6，0），顶点为B ，对称轴x ＝2与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC 逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=√2（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．【分析】（1）根据点C在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B及已知点C的坐标，证明△ABC是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF与x轴的夹角为45°，因此设直线EF的解析式为y＝x+b，设点M的坐标为（m，0），推出点F（m，6﹣m），直线EF与抛物线y=−14x2+x+3只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m的方程，解方程得点M的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，设点M的坐标为（m，0），由PC=√2及旋转的性质，证明△EHM≌△MGP，得到点E的坐标为（m﹣1，5﹣m），再根据两点距离公式证明EA＝ED，注意分两种情况，均需讨论；②把E（m﹣1，5﹣m）代入抛物线解析式，解出m的值，进而求出CM的长．【解析】（1）∵点C（6，0）在抛物线上，∴0=−14×36+6b+c，得到6b+c＝9，又∵对称轴为x＝2，∴x=−b2a=−b2×(−14)=2，解得b＝1，∴c ＝3，∴二次函数的解析式为y =−14x 2+x +3； （2）当点M 在点C 的左侧时，如图2﹣1中：∵抛物线的解析式为y =−14x 2+x +3，对称轴为x ＝2，C （6，0） ∴点A （2，0），顶点B （2，4）， ∴AB ＝AC ＝4，∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠1＝45°；∵将△MPC 逆时针旋转90°得到△MEF ， ∴FM ＝CM ，∠2＝∠1＝45°， 设点M 的坐标为（m ，0）， ∴点F （m ，6﹣m ）， 又∵∠2＝45°，∴直线EF 与x 轴的夹角为45°， ∴设直线EF 的解析式为y ＝x +b ，把点F （m ，6﹣m ）代入得：6﹣m ＝m +b ，解得：b ＝6﹣2m ， 直线EF 的解析式为y ＝x +6﹣2m ，∵直线EF 与抛物线y =−14x 2+x +3只有一个交点， ∴{y =x +6−2m y =−14x 2+x +3， 整理得：14x 2+3−2m =0， ∴△＝b 2﹣4ac ＝0，解得m =32， 点M 的坐标为（32，0）．当点M 在点C 的右侧时，如下图：由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45°，因此直线EF 与抛物线y =−14x 2+x +3不可能只有一个交点．综上，点M 的坐标为（32，0）．（3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵PC =√2，由（2）知∠BCA ＝45°， ∴PG ＝GC ＝1， ∴点G （5，0），设点M 的坐标为（m ，0），∵将△MPC 逆时针旋转90°得到△MEF ， ∴EM ＝PM ，∵∠HEM +∠EMH ＝∠GMP +∠EMH ＝90°， ∴∠HEM ＝∠GMP ，在△EHM 和△MGP 中，{∠EHM =∠MGP∠HEM =∠GMP EM =MP，∴△EHM ≌△MGP （AAS ），∴EH ＝MG ＝5﹣m ，HM ＝PG ＝1，∴点H （m ﹣1，0），∴点E 的坐标为（m ﹣1，5﹣m ）；∴EA =√(m −1−2)2+(5−m −0)2=√2m 2−16m +34，又∵D 为线段BC 的中点，B （2，4），C （6，0），∴点D （4，2），∴ED =√(m −1−4)2+(5−m −2)2=√2m 2−16m +34，∴EA ＝ED ．当点M 在点C 的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为（m ﹣1，5﹣m ），因此EA ＝ED ．②当点E 在（1）所求的抛物线y =−14x 2+x +3上时，把E （m ﹣1，5﹣m ）代入，整理得：m 2﹣10m +13＝0，解得：m =5+2√3或m =5−2√3，∴CM =2√3−1或CM =1+2√3．【题组一】1．（2021•青山区模拟）已知抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣12a 与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且OC ＝OA ．设抛物线的顶点为M ，对称轴交x 轴于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当P A＝2PE时，求EF+BF的最小值．（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．【分析】（1）令y＝0可得A坐标，由OC＝OA得OC，即可得C的坐标，代入y＝ax2﹣4ax﹣12a求出a，即可得抛物线解析式；（2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，Rt△BOC中，可得sin ∠CBO＝＝，Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，可得FQ＝BF，要求EF+ BF的最小即是求EF+BF的最小值，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，求出E点坐标即可得到答案；（3）将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，分别求出Q 移动到Q1、Q2处时的t值，即可得到答案．【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴OA＝2，∵OC＝OA，∴OC＝3，即C（0，3），将C（0，3）代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；（2）过E作EH⊥x轴于H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，如图：∵y＝﹣x2+x+3对称轴为直线x＝2，∴P横坐标为2，即ON＝2，∴AN＝2﹣（﹣2）＝4，∵AP＝2PE，∴AN＝2NH，∴NH＝2，∴E横坐标为4，在y＝﹣x2+x+3中令x＝4得y＝3，∴E（4，3），由（1）可知：OC＝3，OB＝6，Rt△BOC中，BC＝＝3，∴sin∠CBO＝＝＝，∵EH⊥x轴，∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝＝，∴FQ＝BF，而EF+BF＝（EF+BF），∴EF+BF最小即是EF+BF最小，也是EF+FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF+BF的最小值，∵EH＝|y E|＝3，∴EF+BF的最小值为3，∴EF+BF的最小值为；（3）将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，如图：∵y＝﹣x2+x+3顶点M（2，4），又C（0，3），∴CM的解析式为y＝x+3，由MQ⊥CM，设MQ解析式为y＝﹣2x+b，将M（2，4）代入得：4＝﹣2×2+b，∴b＝8，∴MQ解析式为y＝﹣2x+8，在y＝﹣2x+8中令y＝0得x＝4，∴Q（4，0），而C（0，3），∴CQ解析式为y＝﹣x+3，将线段CQ向上平移t个单位长度，与C1Q1重合时，则Q1（4，t），代入y＝﹣x2+x+3得：t＝﹣×16+4+3＝3，将线段CQ向上平移t个单位长度，与C2Q2重合时，C2Q2解析式为y＝﹣x+3+t，由只有一个解，可得﹣x2+x﹣t＝0的判别式Δ＝0，即（）2﹣4×（﹣）•（﹣t）＝0，解得t＝，∴将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，3≤t＜．2．（2021•赣州模拟）已知抛物线C1：y＝x2﹣4x+3m和C2：y＝mx2﹣4mx+3m，其中m≠0且m≠1．（1）抛物线C1的对称轴是直线x＝2，抛物线C2的对称轴是直线x＝2；（2）这两条抛物线相交于点E，F（点E在点F的左侧），求E、F两点的坐标（用含m 的代数式表示）并直接写出直线EF与x轴的位置关系；（3）设抛物线C1的顶点为M，C2的顶点为N；①当m为何值时，点M与点N关于直线EF对称？②是否存在实数m，使得MN＝2EF？若存在，直接写出实数m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）对于C1：y＝x2﹣4x+3m，函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，同理可得：抛物线C2的对称轴是直线x＝2，即可求解；（2）联立C1、C2的表达式并解得或，进而求解；（3）①点M与点N关于直线EF对称，则3m＝（3m﹣4﹣m），即可求解；②由MN＝2EF得：|3m﹣4+m|＝8，即可求解．【解答】解：（1）对于C1：y＝x2﹣4x+3m，函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，同理可得：抛物线C2的对称轴是直线x＝2，故答案为：直线x＝2，直线x＝2；（2）联立C1、C2的表达式并解得或，故点E、F的坐标分别为（0，3m）、（4，3m），∵点E、F的纵坐标相同，∴EF∥x轴；（3）①当x＝2时，y＝x2﹣4x+3m＝3m﹣4，即点M的坐标为（2，3m﹣4），同理可得，点N的坐标为（2，﹣m），∵点M与点N关于直线EF对称，故3m＝（3m﹣4﹣m），解得m＝﹣1；②由①知，MN＝|3m﹣4+m|，而EF＝4﹣0＝4，∵MN＝2EF，∴|3m﹣4+m|＝8，解得m＝3或﹣1．3．（2021•桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H 为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．【分析】（1）将点A、B的坐标代入即可求出抛物线解析式；（2）过点P作PE⊥y轴，垂足为E点，连接PC，证明△PEH≌△HOB（AAS），由全等三角形的性质得出PE＝OH，EH＝OB，由直角三角形的性质可得出结论；（3）作点O关于直线PC的对称点F，连接BF，直线PC交x轴于点Q，连接FQ，由轴对称的性质及勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x+；（2）M（1，3）．∵矩形OBDC中，CO＝OB＝3．∴四边形OBDC是正方形，过点P作PE⊥y轴，垂足为E点，连接PC，如图2，∵∠PHB＝90°，∴∠PHE+∠BHO＝90°，∵∠OBH+∠BHO＝90°，∴∠PHE＝∠OBH，又HP＝HB，∴△PEH≌△HOB（AAS），∴PE＝OH，EH＝OB，∵OB＝OC，∴OC＝EH，∴EC＝OH，∴EC＝EP，∴∠ECP＝45°，∴∠PCD＝45°；（3）如图3，由（2）可知，点P在直线PC上运动，作点O关于直线PC的对称点F，连接BF，直线PC交x轴于点Q，连接FQ，∵CD‖x轴，∴∠PCD＝∠PQO＝45°，∴OQ＝OC＝OB＝3，由作图知，∠FQC＝∠PQO＝45°，FQ＝OQ＝3，∴∠FQB＝90°，∴BF＝，∴OP+BP的最小值为．4．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F 作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，得方程组，解得b与c的值，则可得出抛物线的解析式；（2）①先求出点C的坐标，用待定系数法求得直线BC的解析式，作FK⊥y轴于点K，可得：FH＝KF＝OE，由线段的和差可得：DF+HF＝DE﹣EF+OE，代入数据得到关于m的二次函数，由二次函数的性质可得DF+HF的最大值；②作GM⊥y轴于点M，记直线FH与x轴交于点N，由等腰三角形的判定可知EF＝EN，OH＝ON，由抛物线的性质可得MG＝1，继而求得HG的值；判定△EHG∽△FHE，得出比例式，代入数据可得关于m的方程，解方程即可．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）①当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，∴点C（0，3），又∵B（3，0），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，作FK⊥y轴于点K，又∵FH⊥BC，∴∠KFH＝∠KHF＝45°，∴FH＝KF＝OE，∴DF+HF＝DE﹣EF+OE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）+m＝﹣m2+（3+）m，由题意有0＜m＜3，且0＜﹣＜3，﹣1＜0，∴当m＝时，DF+HF取最大值，DF+HF的最大值为：﹣（）2+（3+）×＝；②作GM⊥y轴于点M，记直线FH与x轴交于点N，∵FK⊥y轴，DE⊥x轴，∠KFH＝45°，∴∠EFH＝∠ENF＝45°，∴EF＝EN，∵∠KHF＝∠ONH＝45°，∴OH＝ON，∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，∴MG＝1，∵HG＝MG＝，∵∠GEH＝45°，∴∠GEH＝∠EFH，又∠EHF＝∠GHE，∴△EHG∽△FHE，∴HE：HG＝HF：HE，∴HE2＝HG•HF＝×m＝2m，在Rt△OEH中，OH＝ON＝|OE﹣EN|＝|OE﹣EF|＝|m﹣（﹣m+3）|＝|2m﹣3|，∵OE＝m，∴HE2＝OE2+OH2＝m2+（2m﹣3）2＝5m2﹣12m+9，∴5m2﹣12m+9＝2m，解得：m＝1或．【题组二】5．（2021•攸县模拟）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图所示，已知抛物线C：y＝ax2﹣4ax的图象与x轴交于O、A两点，且过点．（1）求抛物线C的解析式和点A的坐标；（2）若将抛物线C的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C'的图象．①求抛物线C'的焦点坐标和准线方程．②设M为抛物线C'位于第一象限内图象上的任意一点，MN⊥x轴于点N，求MN+MA的最小值，并求出取得这个最小值时点M的坐标．【分析】（1）将代入y＝ax2﹣4ax，列方程求a的值；（2）①将抛物线C的解析式配成顶点式，求出平移后得到的抛物线C′的解析式，再由焦点和准线的定义求出焦点坐标和准线方程；②设抛物线C'的焦点为F，延长MN交直线y＝﹣1于点P，设AF交抛物线C′于点Q，由抛物线焦点及准线的性质可知，当点M与点Q重合时，MN+MA的值最小，由勾股定理求出AF的长，由直线AF的解析式与抛物线C′的解析式联立方程组，解方程组求出此时点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax经过点，∴，解得，∴抛物线C的解析式为；当y＝0时，由x2﹣x＝0，得x1＝0，x2＝4，∴A（4，0）．（2）∵＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线C平移后得到的抛物线C′的解析式为．①由题意，得，整理，得，∴，∴抛物线C′的焦点坐标为（0，1），准线方程为y＝﹣1．②如图，设抛物线C'的焦点为F，延长MN交直线y＝﹣1于点P，连结AF、MF，AF交抛物线C′于点Q．由抛物线焦点和准线的性质可得MP＝MF，∴PN+MN+MA＝MF+MA，∵PN＝1，∴MN+MA＝MF+MA﹣1；∵MF+MA≥AF，∴当点M与点Q重合时，MF+MA的值最小，此时MN+MA＝MF+MA﹣1＝AF﹣1的值最小．∵∠AOF＝90°，OF＝1，OA＝4，∴AF＝＝，∴AF﹣1＝，∴MN+MA的最小值为．设直线AF的解析式为y＝kx+b，把A（4，0）、F（0，1）代入y＝kx+b，得，解得，∴y＝x+1，由，得，（不符合题意，舍去），∴M（，）．∴MN+MA的最小值为，此时点M的坐标为（，）．6．（2021•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x 轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．（1）求m的值和直线AC的解析式．（2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值．（3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值．【分析】（1）利用待定系数法将A（﹣4，0）代入y＝mx2+x﹣4m，求出m的值，即可抛物线解析式，令x＝0，求出点C的坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A，C的坐标代入即可求出答案；（2）在x轴上方作射线AM，使∠MAO＝30°，过点D作DK⊥AM于K，当C、D、K 在同一条直线上时，CD+DK最小，即AD+CD取得最小值时，∠CDO＝∠ADK＝60°，应用三角函数定义即可求得答案；（3）根据△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6，可得出DN＝3DM，建立方程求出n的值，在y轴上取一点R，使得OR＝，连接AR，在AR上取一点E使得OE＝OD，构造相似三角形，可以证明AR就是AE+CE的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0），∴m•（﹣4）2+×（﹣4）﹣4m＝0，解得：m＝，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣3，令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣4，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3.（2）∵A（﹣4，0），D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，∴AD＝n﹣（﹣4）＝n+4，在x轴上方作射线AM，使∠MAO＝30°，过点D作DK⊥AM于K，∴∠AKD＝90°，∴DK＝AD，∠ADK＝60°，当C、D、K在同一条直线上时，CD+DK最小，即AD+CD取得最小值时，∠CDO＝∠ADK＝60°，∵OD＝﹣n，∠COD＝90°，∴＝tan∠CDO＝tan60°，即＝，∴n＝﹣．（3）∵DM⊥x轴，NP⊥AC，∴∠ADM＝∠NPM＝90°，∵∠AMD＝∠NMP，∴△AMD∽△NMP，∵△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6，∴＝，∵＝sin∠DAM＝＝，∴＝，∴DN＝3DM，∵DM＝n+3，DN＝﹣n2﹣n+3，∴﹣n2﹣n+3＝3（n+3），解得：n1＝﹣2，n2＝﹣4（舍去），∴D（﹣2，0），∴OD＝2，如图2中，在y轴上取一点R，使得OR＝，连接AR，在AR上取一点E使得OE＝OD＝2．∵OE＝2，OR•OC＝×3＝4，∴OE2＝OR•OC，∴＝，∵∠COE＝∠ROE，∴△ROE∽△EOC，∴＝＝，∴RE＝CE，∴当A、R、E共线时，AE+CE＝AE+ER＝AR，此时AE+CE最小，∴AE+CE的最小值＝AR＝＝＝．7．（2021•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物线解析式；（2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；（3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP+BQ的最小值并求此时点P的坐标．【分析】（1）根据点A，B的坐标设出抛物线的交点式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）过点A作AG⊥x轴交BM的延长线于G，则＝，设ON＝t，则AG＝4t，CN＝3﹣t，进而得出＝或2，进而建立方程求解，即可得出结论；（3）先判断出△PCD∽△OBQ，进而得出PC＝OQ，再判断出点A，P，C在同一直线上时，BP+BQ的最小，再求出直线AC的解析式，即可得出结论．【解答】解：（1）∵二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵点C（0，3）在抛物线上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过点A作AG⊥x轴交BM的延长线于G，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，设点M（m，﹣m2﹣2m+3）（﹣3＜m＜0），∴S△BCM＝CN（1﹣m），S△ABM＝S△ABG﹣S△AMG＝AG[（1+3）﹣（m+3）]＝AG（1﹣m），∴＝＝，∵ON∥AG，∴＝，设ON＝t，则AG＝4t，CN＝3﹣t，∵BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，∴＝或2，∴，∴，∴t＝1或，∴N（0，1）或N（0，），当N（0，1）时，∵B（1，0），∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1①，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）②，联立①②解得，或，∴M（﹣2，3）；当N（0，）时，∵B（1，0），∴直线BM的解析式为y＝﹣x+③，联立②③解得，或，∴M（﹣，）；即M（﹣2，3）或（）；（3）如图2，连接PC，CD，过点C作CH⊥DP于H，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2m+3＝﹣（m﹣1）2+4，∴D（﹣1，4），∵C（0，3），∴CD＝，DH＝1，CH＝1，∴DH＝CH，∴∠CDP＝45°，∵点Q为直线y＝x第一象限上的动点，∴∠BOQ＝45°＝∠CDP，∵DP＝OQ，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴△PCD∽△OBQ，∴，∴PC＝OQ，∴BP+OQ＝BP+PC，连接AP，∵点P是抛物线的对称轴上的点，∴PC＝P A，∴BP+OQ＝BP+PC＝BP+P A，∴当点A，P，C在同一条直线上时，BP+OQ最小，最小值为AC＝＝，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝2，∴点P（﹣1，2）．8．（2021•茶陵县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；（3）如图②，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），分别代入y＝ax2+bx+3求解即可得表达式；（2）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G，设P（m，﹣m2+2m+3），利用PG∥OC，△PDG∽△ODC，用含m的代数式表示，配方即可得当的值最大时m的值，从而得到答案；（3）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，过E作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K，设P（m，﹣m2+2m+3），利用PD与BC的解析式用含m代数式表示E的坐标，再由△PEI∽△CAO，△BEK∽△BCO，对应边成比例，用含m的代数式表示BE，配方即可得最大值及点m的值，从而得到P的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），分别代入y＝ax2+bx+3（a≠0）中得：，解得∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G，如图：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝﹣1，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；设P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），∴PG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵PG∥OC，∴△PDG∽△ODC，∴，当时，有最大值，此时点P（）；（3）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，过E作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K，如图：由（2）知直线BC解析式为y＝﹣x+3；设直线AC解析式为y＝px+3，则﹣p+3＝0，解得p＝3，∴直线AC：y＝3x+3，设P（m，﹣m2+2m+3），∵PD∥AC，∴设直线PD解析式为y＝3x+n，则﹣m2+2m+3＝3m+n，解得n＝﹣m2﹣m+3，∴直线PD解析式为：y＝3x﹣m2﹣m+3，由得，∴E，∵∠CAO＝∠PDB＝∠PEI，∠COA＝∠PIE，∴△PEI∽△CAO，而AC＝＝，BC＝＝3，∴EI：PI：PE＝OA：OC：AC＝1：3：，∴PE＝EI，∴PE＝10EI＝10（OH﹣OK）＝10（m﹣）＝m﹣m2，∵∠BOC＝∠BKE＝90°，∠EBK＝∠CBO，∴△BEK∽△BCO，∴EK：BK：BE＝CO：BO：BC＝3：3：3＝1：1：，∴BE＝BK，∴BE＝2BK＝2（3﹣）＝6﹣﹣，∴BE＝m﹣m2﹣（6﹣﹣）＝﹣2m2+8m﹣6＝﹣2（m﹣2）2+2，∴当m＝2时，BE的最大值，最大值为2，此时P（2，3）．【题组三】9．（2021•东莞市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当P A+PC的值最小时，求P A+PC长；（3）已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求得C（0，3）．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入可求得a的值；（2）依据轴对称图形的性质可知P A＝PB，则P A+PC＝PB+PC，则当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值，P A+PC的最小值＝BC，接下来，依据勾股定理求解即可；（3）当△BMC∽△NQM时，则，即，解得QN＝，当△BMC∽△NMQ时，同理可解．【解答】解：（1）把x＝0代入得：y＝3，∴C（0，3）．设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C的坐标代入上式得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1．∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图所示：∵点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上，∴P A＝PB．∴P A+PC＝PC+PB．∵两点之间线段最短，∴当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值，P A+PC的最小值＝BC．∵OC＝3，OB＝3，∴BC＝3．∴P A+PC的最小值＝3．（3）存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，则点M（1，0），由点M、C、B的坐标知，BM＝2，BC＝3、CM＝，由点M、N的坐标知，∠ONM＝45°，MN＝，当△BMC∽△NQM时，则，即，解得QN＝，则点Q的坐标为（0，﹣）；当△BMC∽△NMQ时，同理可得，点Q的坐标为（0，2），综上，点Q的坐标为（0，﹣）或（0，2）．10．（2021•怀化模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣1，0）．（1）直接写出点B的坐标并求出抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①当∠PCB＝∠OCB时，求点P的坐标；②当点P在B、C两点之间运动时，连接AP，交BC于点Q，设t＝，求当t值最大时点P的坐标．【分析】（1）由点B与点A（﹣1，0）关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，得B（3，0），把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，列方程组求a、b的值；（2）①由（1）可得，OB＝OC＝3，所以∠OCB＝45°，可得∠OCP＝60°或30°，再求PC与x轴的交点坐标及PC的解析式并且与抛物线的解析式组成方程组求得点P的坐标；③过点P作x轴的平行线交射线BC于点L，设点P的横坐标为r，用r表示PL的长，由相似三角形的性质列出t关于r的函数解析式，再利用二次函数的性质求出当t的值最大时r的值及点P的坐标．【解答】解：（1）∵点B与点A（﹣1，0）关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴B（3，0），把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3.（2）①如图1，当点P在BC上方时，延长CP交x轴于点D．∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠PCB＝∠OCB＝15°，∴∠OCP＝60°，∴OD＝OC•tan60°＝3，∴D（3，0）．设直线CP的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝，∴y＝x+3.由，得，，∴P（，）；如图2，当点P在BC下方时，设PC交x轴于点E．则∠OCP＝45°﹣15°＝30°，∴OE＝OC•tan30°＝，∴E（，0）．设直线CP的解析式为y＝mx+3，则m+3＝0，解得m＝，∴y＝x+3．由，得，∴P（2+，）.综上所述，点P的坐标为（，）或（2+，）．②如图3，过点P作PL∥x轴，交射线BC于点L．设直线BC的解析式为y＝nx+3，则3n+3＝0，解得n＝﹣1，∴y＝﹣x+3；设P（r，﹣r2+2r+3）（0＜r＜3），则L（r2﹣2r，﹣r2+2r+3），∴PL＝r﹣（r2﹣2r）＝﹣r2+3r；∵△PQL∽△AQB，∴t＝＝（r﹣）2+，∴当r＝时，t的值最大，。

专题10 二次函数一．选择题1．（2022·山东泰安）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：下列结论不正确的是（ ）A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线12x =C ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为()2,0D ．函数2y ax bx c =++的最大值为254 2．（2022·新疆）已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大 3．（2022·湖南株洲）已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ． 4．（2022·陕西）已知二次函数y =x 2−2x −3的自变量x 1，x 2，x 3对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3．当−1<x 1<0，1<x 2<2，x 3>3时，y 1，y 2，y 3三者之间的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y << 5．（2022·浙江宁波）点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ）A ．2m >B ．32m >C ．1m <D ．322m <<6．（2022·山东泰安）一元二次方程2152121543x x x -++=-+根的情况是（ ） A ．有一个正根，一个负根B ．有两个正根，且有一根大于9小于12C ．有两个正根，且都小于12D ．有两个正根，且有一根大于127．（2022·四川成都）如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴相交于()1,0A -，B 两点，对称轴是直线1x =，下列说法正确的是（ ）A ．0a >B ．当1x >-时，y 的值随x 值的增大而增大C ．点B 的坐标为()4,0D ．420a b c ++>8．（2022·四川泸州）抛物线2112y x x =-++经平移后，不可能得到的抛物线是（ ） A ．212y x x =-+ B ．2142=--y x C ．21202120222=-+-y x x D ．21y x x =-++ 9．（2022·四川自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）A ．方案1B ．方案2C ．方案3D ．方案1或方案210．（2022·山东泰安）如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2022·湖北随州）如图，已知开口向下的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点1,0对称轴为直线1x =．则下列结论：①0abc >；②20a b +=；③函数2y ax bx c =++的最大值为4a -；④若关于x 的方数21ax bx c a ++=+无实数根，则105a -<<．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．（2022·浙江杭州）已知二次函数2y x ax b =++（a ，b 为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x 轴的交点位于y 轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线1x =．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ） A ．命题① B ．命题② C ．命题③ D ．命题④13．（2022·天津）已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a c <<）经过点(1,0)，有下列结论：①20a b +<；②当1x >时，y 随x 的增大而增大；③关于x 的方程2()0ax bx b c +++=有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．314．（2022·浙江温州）已知点(,2),(,2),(,7)A a B b C c 都在抛物线2(1)2y x =--上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是（ ）A ．若0c <，则a c b <<B ．若0c <，则a b c <<C ．若0c >，则a c b <<D ．若0c >，则a b c << 15．（2022·浙江绍兴）已知抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x mx +=的根是（ ） A ．0，4B ．1，5C ．1，－5D ．－1，516．（2022·山东滨州）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()()2,0,6,0A B -，与y 轴相交于点C ，小红同学得出了以下结论：①240b ac ->；②40a b +=；③当0y >时，26x -<<；④0a b c ++<．其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．117．（2022·四川南充）已知点()()1122,,,M x y N x y 在抛物线222(0)y mx m x n m =-+≠上，当124x x +>且12x x <时，都有12y y <，则m 的取值范围为（ ）A ．02m <≤B ．20m -≤<C ．2m >D ．2m <-二、填空题18．（2022·新疆）如图，用一段长为16m 的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______2m ．19．（2022·甘肃武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系：2520h t t =-+，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t =_________s ．20．（2022·江苏连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．21．（2022·四川成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h （米）与物体运动的时间t （秒）之间满足函数关系25h t mt n =-++，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w 表示0秒到t 秒时h 的值的“极差”（即0秒到t 秒时h 的最大值与最小值的差），则当01t ≤≤时，w 的取值范围是_________；当23t ≤≤时，w 的取值范围是_________．22．（2022·四川遂宁）抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）的部分图象如图所示，设m =a -b +c ，则m 的取值范围是______．23．（2022·湖北武汉）已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）开口向下，过()1,0A -，(),0B m 两点，且12m <<．下列四个结论：①0b >；②若32m =，则320a c +<； ③若点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线上，12x x <，且121x x +>，则12y y >；④当1a ≤-时，关于x 的一元二次方程21ax bx c ++=必有两个不相等的实数根．其中正确的是_________（填写序号）．24．（2022·四川南充）如图，水池中心点O 处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O 在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m 时，水柱落点距O 点2.5m ；喷头高4m 时，水柱落点距O 点3m ．那么喷头高_______________m 时，水柱落点距O 点4m ．三．解答题25．（2022·湖北荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y ＝24－x ，第一年除60万元外其他成本为8元/件．(1)求该产品第一年的利润w （万元）与售价x 之间的函数关系式；(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？26．（2022·湖北十堰）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y （件）与销售时间x （天）之间的关系式是203062403040x x y x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩，，，销售单价p （元/件）与销售时间x （天）之间的函数关系如图所示．(1)第15天的日销售量为_________件；(2)当030x <≤时，求日销售额的最大值；(3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？27．（2022·四川广元）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？28．（2022·湖北黄冈）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．(1)当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．29．（2022·江苏扬州）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且8AB= dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度8OC=dm．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．30．（2022·江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA 为66m ，基准点K 到起跳台的水平距离为75m ，高度为m h （h 为定值）．设运动员从起跳点A 起跳后的高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的函数关系为2(0)y ax bx c a =++≠．(1)c 的值为__________；(2)①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时19,5010a b =-=，求基准点K 的高度h ； ②若150a =-时，运动员落地点要超过K 点，则b 的取值范围为__________；(3)若运动员飞行的水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ，试判断他的落地点能否超过K 点，并说明理由．31．（2022·陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE 表示水平的路面，以O 为坐标原点，以OE 所在直线为x 轴，以过点O 垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：10m OE =，该抛物线的顶点P 到OE 的距离为9m ．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A 、B 处分别安装照明灯．已知点A 、B 到OE 的距离均为6m ，求点A 、B 的坐标．32．（2022·浙江温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1：确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2：探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3：拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．33．（2022·浙江嘉兴）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．(1)求抛物线L 1的函数表达式．(2)将抛物线L 1向上平移m （m ＞0）个单位得到抛物线L 2．若抛物线L 2的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线L 1上，求m 的值．(3)把抛物线L 1向右平移n （n ＞0）个单位得到抛物线L 3，若点B (1，y 1)，C (3，y 2)在抛物线L 3上，且y 1＞y 2，求n 的取值范围．34．（2022·浙江杭州）设二次函数212y x bx c =++（b ，c 是常数）的图像与x 轴交于A ，B 两点．(1)若A ，B 两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数1y 的表达式及其图像的对称轴．(2)若函数1y 的表达式可以写成()2122y x h =--（h 是常数）的形式，求b c +的最小值．(3)设一次函数2y x m =-（m 是常数）．若函数1y 的表达式还可以写成()()122y x m x m =---的形式，当函数12y y y =-的图像经过点()0,0x 时，求0x m -的值．35．（2022·浙江宁波）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y 千克与每平方米种植的株数x （28x ≤≤，且x 为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．(1)求y 关于x 的函数表达式．(2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？36．（2022·浙江绍兴）已知函数2y x bx c =-++（b ，c 为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．(1)求b ，c 的值．(2)当﹣4≤x ≤0时，求y 的最大值．(3)当m ≤x ≤0时，若y 的最大值与最小值之和为2，求m 的值．37．（2022·安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED 和矩形ABCD 构成，矩形的一边BC 为12米，另一边AB 为2米．以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，规定一个单位长度代表1米．E （0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点1P ，4P 在x 轴上，MN 与矩形1234PP P P 的一边平行且相等．栅栏总长l 为图中粗线段12PP ，23P P ，34PP ，MN 长度之和．请解决以下问题：（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点2P ，3P 在抛物线AED 上．设点1P 的横坐标为()06m m <≤，求栅栏总长l 与m 之间的函数表达式和l 的最大值；（ⅰ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形1234PP P P 面积的最大值，及取最大值时点1P 的横坐标的取值范围（1P 在4P 右侧）．38．（2022·山东滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x （单位：元）的一次函数．(1)求y 关于x 的一次函数解析式；(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．39．（2022·湖南湘潭）已知抛物线2y x bx c =++．(1)如图①，若抛物线图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交点()0,3B -．连接AB ．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与线段AB 交于点M ．是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图②，直线43y x n =+与y 轴交于点C ，同时与抛物线2y x bx c =++交于点()3,0D -，以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．40．（2022·四川乐山）如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()1,0A -、()2,0B ，与y 轴交于点C ，且tan 2OAC ∠=．(1)求二次函数的解析式；(2)如图2，过点C 作CD x ∥轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBC BCD S S =△△，求点P 的坐标；(3)如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQ OQ的最大值．41．（2022·浙江湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是边长为3的正方形，其中顶点A ，C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴交于另一个点D ．(1)①求点A ，B ，C 的坐标；②求b ，c 的值．(2)若点P 是边BC 上的一个动点，连结AP ，过点P 作PM ⅰAP ，交y 轴于点M （如图2所示）．当点P 在BC 上运动时，点M 也随之运动．设BP ＝m ，CM ＝n ，试用含m 的代数式表示n ，并求出n 的最大值．42．（2022·云南）已知抛物线2y x c =-+经过点（0，2），且与x 轴交于A 、B 两点．设k 是抛物线2y x c =-+与x 轴交点的横坐标；M 是抛物线2y x c =-+的点，常数m >0，S 为ⅰABM 的面积．已知使S =m 成立的点M 恰好有三个，设T 为这三个点的纵坐标的和．(1)求c 的值；(2)直接写出T 的值；(3)求486422416k k k k k ++++的值．43．（2022·四川自贡）已知二次函数()20y ax bx c a =++≠．(1)若1a =-，且函数图象经过()0,3，()2,5-两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x 轴交点及顶点的坐标；(2)在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值3y ≥时自变量x 的取值范围；(3)若0a b c ++=且a b c >>，一元二次方程20ax bx c ++= 两根之差等于a c -，函数图象经过121P c,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()132Q c,y +两点，试比较12,y y 的大小 ．44．（2022·四川凉山）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A （－1，0）和点B （0，3），顶点为C ，点D 在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点M ，使得MP ＋ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．45．（2022·江苏连云港）已知二次函数2(2)4y x m x m =+-+-，其中2m >．(1)当该函数的图像经过原点()0,0O ，求此时函数图像的顶点A 的坐标；(2)求证：二次函数2(2)4y x m x m =+-+-的顶点在第三象限；(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线2y x =--上运动，平移后所得函数的图像与y 轴的负半轴的交点为B ，求AOB 面积的最大值．46．（2022·浙江舟山）已知抛物线1L ：2(1)4y a x =+-（0a ≠）经过点(1,0)A ．(1)求抛物1L 的函数表达式．(2)将抛物线1L 向上平移m （0m >）个单位得到抛物线2L ．若抛物线2L 的顶点关于坐标原点O 的对称点在抛物线1L 上，求m 的值．(3)把抛物线1L 向右平移n （0n >）个单位得到抛物线3L ．已知点(8,)P t s -，(4,)Q t r -都在抛物线3L 上，若当6t >时，都有s r >，求n 的取值范围．47．（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．48．（2022·山东泰安）若二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()2,0A -，()0,4B -，其对称轴为直线1x =，与x 轴的另一交点为C ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M 在直线AB 上，且在第四象限，过点M 作MN x⊥轴于点N ．①若点N 在线段OC 上，且3MN NC =，求点M 的坐标；②以MN 为对角线作正方形MPNQ （点P 在MN 右侧），当点P 在抛物线上时，求点M 的坐标．49．（2022·四川眉山）在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(5,0)-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．50．（2022·湖南衡阳）如图，已知抛物线2y x x 2=--交x 轴于A 、B 两点，将该抛物线位于x 轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；=-+与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(2)若直线y x b∥轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM y△与OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．P，使CMN21。

2022中考数学真题汇编——二次函数解答题1.(2022·浙江省绍兴市)已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，-3），（-6，-3）．2.（1）求b，c的值．3.（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值．4.（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．5.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）．6.（1）求抛物线L1的函数表达式．7.（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．8.（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s），Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围．9.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．10.（1）求抛物线的解析式；11.（2）求点P的坐标；12.（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13.(2022·浙江省丽水市)如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y=a（x-2）2-1（a＞0）的图象上，且x2-x1=3．14.（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．15.①求这个二次函数的表达式；16.②若y1=y2，求顶点到MN的距离；17.（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．18.19.(2022·山东省滨州市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．20.（1）求线段AC的长；21.（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标；22.（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．23.(2022·四川省南充市)抛物线y=1x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴3交于点C（0，-4）．24.（1）求抛物线的解析式．25.（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．26.（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM=2ON，连接BN并延长到点D，使ND=NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB=2tan∠DBE，求点M的坐标．27.(2022·四川省德阳市)抛物线的解析式是y=-x2+4x+a．直线y=-x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称．28.（1）如图①，求射线MF的解析式；29.（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；30.（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y=-x+2交于的最大值．点N．求PNAN31.(2022·重庆市B卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-3x2+bx+c与x轴交于点A4（4，0），与y轴交于点B（0，3）．32.（1）求抛物线的函数表达式；33.（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+6AM的最大值及此时点P的坐标；534.（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y=-3x2+bx+c的对称轴对称．将4x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线抛物线y=-34上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．35.(2022·重庆市A卷)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=1x2+bx+c与直线AB交于2点A（0，-4），B（4，0）．36.（1）求该抛物线的函数表达式；37.（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；38.（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．39.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）．40.（1）求抛物线的解析式；41.（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，-2），求△DEF周长的最小值；42.（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN 为等腰三角形时，求点N的坐标．43.(2022·四川省成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-3（k≠0）与抛物线y=-x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．44.（1）当k=2时，求A，B两点的坐标；45.（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；46.（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．47.(2022·四川省达州市)如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．48.（1）求该二次函数的表达式；49.（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；50.（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．51.(2022·四川省泸州市)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（-2，0），B（0，4）两点，直线x=3与x轴交于点C．52.（1）求a，c的值；53.（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x=3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；54.（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．55.(2022·江苏省连云港市)已知二次函数y=x2+（m-2）x+m-4，其中m＞2．56.（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；57.（2）求证：二次函数y=x2+（m-2）x+m-4的顶点在第三象限；58.（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y=-x-2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．59.(2022·山东省)如图，抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已2知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，-2），连接AC，BC.60.（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；61.（2）将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；62.（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，△BPQ的面积记为S1，△ABQ的面积记为S2，求S1的值最大时点P的坐标.S263.(2022·四川省)如图，已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a-5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．64.（1）求a的值及P的坐标；65.（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；66.（3）如图（2），点Q是x正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．67.(2022·安徽省)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．68.（1）求此抛物线对应的函数表达式；69.（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：70.（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；71.（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．72. (2022·浙江省金华市)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：73. ①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y 需求（吨）关于售价x （元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y 需求=ax 2+c ，部分对应值如下表：②该蔬莱供给量y 供给（吨）关于售价x （元/千克）的函数表达式为y 供给=x -1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x 售价（元/千克）、成本x 成本（元/千克）关于月份t 的函教表达式分别为x 售价=12t +2，x 成本=14t 2-32t +3，函数图象见图2．请解答下列问题：（1）求a ，c 的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．参考答案1.解：（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y=-x2+bx+c，得b=-6，c=-3．（2）∵y=-x2-6x-3=-（x+3）2+6，又∵-4≤x≤0，∴当x=-3时，y有最大值为6．（3）①当-3＜m≤0时，当x=0时，y有最小值为-3，当x=m时，y有最大值为-m2-6m-3，∴-m2-6m-3+（-3）=2，∴m=-2或m=-4（舍去）．②当m≤-3时，当x=-3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为-4，∴-（m+3）2+6=-4，∴m=−3−√10或m=−3+√10（舍去）．综上所述，m=-2或−3−√10．2.解：（1）把A（1，0）代入y=a（x+1）2-4得：a（1+1）2-4=0，解得a=1，∴y=（x+1）2-4=x2+2x-3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x-3；（2）抛物线L1：y=（x+1）2-4的顶点为（-1，-4），将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为（-1，-4+m），而（-1，-4+m）关于原点的对称点为（1，4-m），把（1，4-m）代入y=x2+2x-3得：12+2×1-3=4-m，解得m=4，答：m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=（x-n+1）2-4，∵点P （8-t ，s ），Q （t -4，r ）都在抛物线L 3上，∴s =（8-t -n +1）2-4=（9-t -n ）2-4，r =（t -4-n +1）2-4=（t -n -3）2-4，∵当t ＞6时，s ＞r ，∴s -r ＞0，∴[（9-t -n ）2-4]-[（t -n -3）2-4]＞0，整理变形得：（9-t -n ）2-（t -n -3）2＞0，（9-t -n +t -n -3）（9-t -n -t +n +3）＞0，（6-2n ）（12-2t ）＞0，∵t ＞6，∴12-2t ＜0，∴6-2n ＜0，解得n ＞3，∴n 的取值范围是n ＞3．3.解：（1）把A （-1，0）和点B （0，3）代入y =-x 2+bx +c ，得{−1−b +c =0c =3， 解得：{b =2c =3， ∴抛物线解析式为y =-x 2+2x +3；（2）∵y =-（x -1）2+4，∴C （1，4），抛物线的对称轴为直线x =1，如图，设CD =t ，则D （1，4-t ），∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处，∴∠PDC =90°，DP =DC =t ，∴P （1+t ，4-t ），把P （1+t ，4-t ）代入y =-x 2+2x +4得：-（1+t ）2+2（1+t ）+3=4-t ，整理得t 2-t =0，解得：t 1=0（舍去），t 2=1，∴P （2，3）；（3）∵P 点坐标为（2，3），顶点C 坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，∴E 点坐标为（1，-1），∴点E 关于y 轴的对称点F （-1，-1），连接PF 交y 轴于M ，则MP +ME =MP +MF =PF 的值最小，设直线PF 的解析式为y =kx +n ，∴{2k +n =3−k +n =−1， 解得：{k =43n =13， ∴直线PF 的解析式为y =43x +13，∴点M 的坐标为（0，13）． 4.解：（1）①∵二次函数y =a （x -2）2-1（a ＞0）经过（3，1），∴1=a -1，∴a =2，∴二次函数的解析式为y =2（x -2）2-1；②∵y 1=y 2，∴M ，N 关于抛物线的对称轴对称，∵对称轴是直线x =2，且x 2-x 1=3，∴x 1=12，x 2=72，当x =12时，y 1=2（12-2）2-1=72，∴当y 1=y 2时，顶点到MN 的距离=72+1=92；（2）设抛物线与X 轴的交点为A （m ，0），B （n ，0）（m ＞n ）． ∵x 1≤x ≤x 2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M ，N 在对称轴的异侧， 又∵二次函数y 的最小值为-1，∴x =x 1或x 2时，y 的值为0，点M ，点N 在x 轴上或在x 轴的下方， ∴AB ≥3，∴m -n ≥3，令y =0，可得a （x -2）2-1=0，∴m =2+√a ，n =2-√a ，∴（2+√a ）-（2-√a ）≥3， ∴√a ≥3，又∵a ＞0，∴0＜a ≤49． 5.解：（1）针对于抛物线y =x 2-2x -3，令x =0，则y =-3，∴C （0，-3）；令y =0，则x 2-2x -3=0，∴x =3或x =-1，∵点A 在点B 的左侧，∴A （-1，0），B （3，0），∴AC =√(−1−0)2+(0+3)2=√10；（2）∵抛物线y =x 2-2x -3的对称轴为直线x =-−22=1，∵点P 为该抛物线对称轴上，∴设P （1，p ），∴PA =√(1+1)2+p 2=√p 2+4，PC =√12+(p +3)2=√p 2+6p +10，∵PA=PC，∴√p2+4=√p2+6p+10，∴p=-1，∴P（1，-1）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，-3），∴OB=OC=3，设M（m，m2-2m-3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM=90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM=m，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠HCM=90°-∠OCB=45°，∴∠HMC=45°=∠HCM，∴CH=MH，∵CH=-3-（m2-2m-3）=-m2+2m，∴-m2+2m=m，∴m=0（不符合题意，舍去）或m=1，∴M（1，-4）；②当∠CBM=90°时，过点M作M'H'⊥x轴，同①的方法得，M'（-2，3）；③当∠BMC=90°时，如图2，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM=∠E=90°，∴∠DCM+∠DMC=90°，∵∠DMC +∠EMB =90°，∴∠DCM =∠EMB ，∴△CDM ∽△MEB ，∴CD ME =MD BE ，∵M （m ，m 2-2m -3），B （3，0），C （0，-3），∴DM =m ，CD =m 2-2m -3+3=m 2-2m ，ME =3-m ，BE =-（m 2-2m -3）=-m 2+2m +3， ∴m 2−2m 3−m =m−m 2+2m+3，∴m =0（舍去）或m =3（点B 的横坐标，不符合题意，舍去）或m =1−√102（不符合题意，舍去）或m =1+√102，∴M （1+√102，-5+2√104）， 即满足条件的M 的坐标为（1，-4）或（-2，3）或（1+√102，-5+2√104）． 6.解：（1）由题意得，{13×42+4b +c =0c =−4， ∴{b =−13c =−4， ∴y =13x 2-13x −4；（2）如图1，作直线l ∥BC 且与抛物线相切于点P 1，直线l 交y 轴于E ，作直线m ∥BC 且直线m 到BC 的距离等于直线l 到BC 的距离，∵BC 的解析式为y =x -4，∴设直线l 的解析式为：y =x +b ，由13x 2−13x −4=x +b 得，x 2-4x -3（b +4）=0，∵Δ=0，∴-3（b +4）=4，∴b =-163，∴x 2-4x +4=0，y =x -163，∴x =2，y =-103，∴P 1（2，-103），∵E （0，-163），C （0，-4），∴F （0，-4×2-（-163））， 即（0，-83），∴直线m 的解析式为：y =x -83，∴{y =13x 2−13x −4y =x −83， ∴{x 1=2+2√2y 1=2√2−23，{x 2=2−2√2y 2=−2√2−23， ∴P 2（2-2√2，-2√2-23），P 3（2+2√2，2√2-23），综上所述：点P （2，-103）或（2-2√2，-2√2-23）或（2+2√2，2√2-23）； （3）如图2，作MG ⊥x 轴于G ，作NH ⊥x 轴于H ，作MK ⊥DF ，交DF 的延长线于K ， 设D 点的横坐标为a ，∵BN =DN ，∴BD =2BN ，N 点的横坐标为：a+42，∴OH=a+42，∵MH∥DF，∴△BHN∽△BFD，∴NH DF =BNBD=12，∴DF=2NH，同理可得：△OMG∽△ONH，∴MG NH =OGOH=OMON=2，∴MG=2NH，OG=2OH=a+4，∴KF=MG=DF，∵tan∠DEB=2tan∠DBE∴DF EF =2•DFBF，∴EF=12BF，∵BF=4-a，∴EF=12(4−a)，∵EF∥MK，∴△DEF∽△DMK，∴EF MK =DF DK，∴12(4−a) 2a+4=12，∴a=0，∴OG=a+4=4，∴G（-4，0），当x=-4时，y=13×(−4)2-13×(−4)-4=83，∴M（-4，83）．7.解：（1）∵点F与直线上的点G（5，-3）关于x轴对称，∴F（5，3），∵直线y=-x+2与x轴交于点M，∴M（2，0），设直线MF的解析式为y=kx+b，则有{2k +b =05k +b =3， 解得{k =1b =−2， ∴射线MF 的解析式为y =x -2（x ≥2）；（2）如图①中，设折线EMF 与抛物线的交点为P ，Q ．∵抛物线的对称轴x =-4−2=2，点M （2，0），∴点M 值抛物线的对称轴上，∵直线EM 的解析式为y =-x +2，直线MF 的解析式为y =x -2， ∴直线EM ，直线MF 关于直线x =2对称，∴P ，Q 关于直线x =2对称，∴2=x 1+x 22，∴x 1+x 2=4；（3）如图②中，过点P 作PT ∥AB 交直线ME 于点T ．∵C（0，5），∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，∴A（-1，0），B（5，0），设P（t，-t2+4t+5），则T（t2-4t-3，-t2+4t+5），∵PT∥AM，∴PN AN =PTAM=13（t-（t2-4t-3）=-13（t-52）2+3712，∵-13＜0，∴PN AN 有最大值，最大值为3712．8.解：（1）∵抛物线y=-34x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．∴{−12+4b+c=0c=3，∴{b=9 4c=3．∴抛物线的函数表达式为y=-34x2+94x+3；（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，由勾股定理得，AB=5，∵PQ⊥OA，∴PQ∥OB，∴△AQM∽△AOB，∴MQ：AQ：AM=3：4：5，∴AM=53MQ，65AM=2MQ，∴PM+65AM=PM+2MQ，∵B（0，3），A（4，0），∴l AB：y=-34x+3，∴设P（m，-34m2+94m+3），M（m，-34m+3），Q（m，0），∴PM+2MQ=-34m2+32m+6=-34(m−1)2+274，∵-34＜0，∴开口向下，0＜m＜4，∴当m=1时，PM+65AM的最大值为274，此时P（1，92）；（3）由y=-34x2+94x+3知，对称轴x=32，∴P'（2，92），∵直线l：x=4，∴抛物线向右平移52个单位，∴平移后抛物线解析式为y'=-34x2+6x−11716，设D（4，t），C（c，-34c2+6c−11716），①AP'与DC为对角线时，{4+2=4+c0+92=t+(−34c2+6c−11716)，∴{c=2t=4516，∴D（4，4516），②P'D与AC为对角线时，{2+4=4+c92+t=0+(−34c2+6c−11716)，∴{c=2t=−4516，∴D（4，-4516），③AD与P'C为对角线时，{4+4=2+c0+t=92+(−34c2+16c−11716)，∴{c=6t=9916，∴D（4，9916），综上：D （4，4516）或（4，-4516）或（4，9916）．9.解：（1）把A （0，-4），B （4，0）代入y =12x 2+bx +c 得：{c =−48+4b +c =0， 解得{b =−1c =−4，∴抛物线的函数表达式为y =12x 2-x -4；（2）设直线AB 解析式为y =kx +t ，把A （0，-4），B （4，0）代入得： {t =−44k +t =0， 解得{k =1t =−4，∴直线AB 解析式为y =x -4，设P （m ，12m 2-m -4），则PD =-12m 2+m +4， 在y =x -4中，令y =12m 2-m -4得x =12m 2-m ， ∴C （12m 2-m ，12m 2-m -4）， ∴PC =m -（12m 2-m ）=-12m 2+2m ，∴PC +PD =-12m 2+2m -12m 2+m +4=-m 2+3m -4=-（m -32）2+254， ∵-1＜0，∴当m =32时，PC +PD 取最大值254， 此时12m 2-m -4=12×（32）2-32-4=-358， ∴P （32，-358）；答：PC +PD 的最大值为254，此时点P 的坐标是（32，-358）；（3）∵将抛物线y =12x 2-x -4向左平移5个单位得抛物线y =12（x +5）2-（x +5）-4=12x 2+4x +72， ∴新抛物线对称轴是直线x =-42×12=-4，在y =12x 2+4x +72中，令x =0得y =72， ∴F （0，72），将P （32，-358）向左平移5个单位得E （-72，-358）， 设M （-4，n ），N （r ，12r 2+4r +72），①当EF 、MN 为对角线时，EF 、MN 的中点重合， ∴{0−72=−4+r72−358=n +12r 2+4r +72，解得r =12，∴12r 2+4r +72=12×（12）2+4×12+72=458， ∴N （12，458）；②当FM 、EN 为对角线时，FM 、EN 的中点重合， ∴{0−4=−72+r72+n =−358+12r 2+4r +72，解得r =-12，∴12r 2+4r +72=12×（-12）2+4×（-12）+72=138， ∴N （-12，138）；③当FN 、EM 为对角线时，FN 、EM 的中点重合， ∴{0+r =−72−472+12r 2+4r +72=−358+n ， 解得r =-152，∴12r 2+4r +72=12×（-152）2+4×（-152）+72=138， ∴N （-152，138）；综上所述，N 的坐标为：（12，458）或（-12，138）或（-152，138）．10.解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A （-1，0），点C （0，-3）．∴{1−b +c =0c =−3， ∴{b =−2c =−3， ∴抛物线的解析式为y =x 2-2x -3；（2）如图，设D 1为D 关于直线AB 的对称点，D 2为D 关于ZX 直线BC 的对称点，连接D 1E ，D 2F ，D 1D 2．由对称性可知DE =D 1E ，DF =D 2F ，△DEF 的周长=D 1E +EF +D 2F ， ∴当D 1，E ．F ．D 2共线时，△DEF 的周长最小，最小值为D 1D 2的长， 令y =0，则x 2-2x -3=0， 解得x =-1或3， ∴B （3，0）， ∴OB =OC =3，∴△BOC 是等腰直角三角形， ∵BC 垂直平分DD 2，且D （-2，0）， ∴D 2（1，-3）， ∵D ，D 1关于x 轴的长， ∴D 1（0，2），∴D 1D 2=√D 2C 2+D 1C 2=√52+12=√26， ∴△DEF 的周长的最小值为√26．（3）∵M 到x 轴距离为d ，AB =4，连接BM ． ∴S △ABM =2d ， 又∵S △AMN =2d ， ∴S △ABM =S △AMN ，∴B ，N 到AM 的距离相等， ∵B ，N 在AM 的同侧， ∴AM ∥BN ，设直线BN 的解析式为y =kx +m ， 则有{m =−33k +m =0，∴{k =1m =−3， ∴直线BC 的解析式为y =x -3， ∴设直线AM 的解析式为y =x +n ， ∵A （-1，0），∴直线AM 的解析式为y =x +1，由{y =x +1y =x 2−2x −3，解得{x =1y =0或{x =4y =5， ∴M （4，5）， ∵点N 在射线BC 上， ∴设N （t ，t -3），过点M 作x 轴的平行线l ，过点N 作y 轴的平行线交x 轴于点P ，交直线l 于点Q ．∵A （-1，0），M （4，5），N （t ，t -3），∴AM =5√2，AN =√(t +1)2+(t −3)2，MN =√(t −4)2+(t −8)2， ∵△AMN 是等腰三角形，当AM =AN 时，5√2=√(t +1)2+(t −3)2， 解得t =1±√21，当AM =MN 时，5√2=√(t −4)2+(t −8)2， 解得t =6±√21，当AN =MN 时，√(t +1)2+(t −3)2=√(t −4)2+(t −8)2， 解得t =72， ∵N 在第一象限， ∴t ＞3，∴t 的值为72，1+√21，6+√21，∴点N 的坐标为（72，12）或（1+√21，-2+√21）或（6+√21，3+√21）．11.解：（1）当k =2时，直线为y =2x -3，由{y =2x −3y =−x 2得：{x =−3y =−9或{x =1y =−1， ∴A （-3，-9），B （1，-1）； （2）当k ＞0时，如图：∵△B 'AB 的面积与△OAB 的面积相等， ∴OB '∥AB ， ∴∠OB 'B =∠B 'BC ， ∵B 、B '关于y 轴对称，∴OB =OB '，∠ODB =∠ODB '=90°， ∴∠OB 'B =∠OBB '， ∴∠OBB '=∠B 'BC ，∵∠ODB =90°=∠CDB ，BD =BD ， ∴△BOD ≌△BCD （ASA ）， ∴OD =CD ，在y =kx -3中，令x =0得y =-3， ∴C （0，-3），OC =3， ∴OD =12OC =32，D （0，-32）， 在y =-x 2中，令y =-32得-32=-x 2， 解得x =√62或x =-√62，把B （2，-2）代入y =kx -3得：-32=√62k -3，解得k =√62；当k ＜0时，过B '作B 'F ∥AB 交y 轴于F ，如图：在y =kx -3中，令x =0得y =-3， ∴E （0，-3），OE =3，∵△B 'AB 的面积与△OAB 的面积相等， ∴OE =EF =3，∵B 、B '关于y 轴对称， ∴FB =FB '，∠FGB =∠FGB '=90°， ∴∠FB 'B =∠FBB '， ∵B 'F ∥AB ， ∴∠EBB '=∠FB 'B ， ∴∠EBB '=∠FBB '，∵∠BGE =90°=∠BGF ，BG =BG ， ∴△BGF ≌△BGE （ASA ）， ∴GE =GF =12EF =32，∴OG =OE +GE =92，G （0，-92）， 在y =-x 2中，令y =-92得-92=-x 2， 解得x =3√22或x =-3√22，把B （2，-2）代入y =kx -3得：-92=3√22k -3，解得k =-√22，综上所述，k 的值为√62或-√22；（3）直线AB '经过定点（0，3），理由如下： 由{y =−x 2y =kx −3得： {x =−k−√k 2+122y =−k 2−k√k 2+12−62或{x =−k+√k 2+122y =−k 2+k√k 2+12−62， ∴A （−k−√k2+122，−k2−k√k 2+12−62），B （−k+√k2+122，−k2+k√k 2+12−62），∵B 、B '关于y 轴对称， ∴B '（k−√k2+122，−k2+k√k 2+12−62），设直线AB '解析式为y =mx +n ，将A （−k−√k2+122，−k2−k√k 2+12−62），B '（k−√k 2+122，−k2+k√k 2+12−62）代入得：{−k 2−k√k 2+12−62=−k−√k 2+122m +n−k 2+k√k 2+12−62=k−√k 2+122m +n，解得{m =√k 2+12n =3，∴直线AB '解析式为y =√k 2+12•x +3， 令x =0得y =3，∴直线AB '经过定点（0，3）．12.解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +2经过点A （-1，0），B （3，0），∴{a −b +2=09a +3b +2=0， 解得：{a =−23b =43，∴该二次函数的表达式为y =−23x 2+43x +2； （2）存在，理由如下： 如图1，当点P 在BC 上方时， ∵∠PCB =∠ABC ，∴CP ∥AB ，即CP ∥x 轴，∴点P 与点C 关于抛物线对称轴对称， ∵y =−23x 2+43x +2， ∴抛物线对称轴为直线x =-432×(−23)=1，∵C （0，2）， ∴P （2，2）；当点P 在BC 下方时，设CP 交x 轴于点D （m ，0）， 则OD =m ，DB =3-m ， ∵∠PCB =∠ABC ， ∴CD =BD =3-m ，在Rt △COD 中，OC 2+OD 2=CD 2， ∴22+m 2=（3-m ）2， 解得：m =56， ∴D （56，0），设直线CD 的解析式为y =kx +d ，则{56k +d =0d =2，解得：{k =−125d =2，∴直线CD 的解析式为y =−125x +2， 联立，得{y =−125x +2y =−23x 2+43x +2， 解得：{x 1=0y 1=2（舍去），{x 2=225y 2=−21425， ∴P （225，-21425），综上所述，点P 的坐标为（2，2）或（225，-21425）；（3）由（2）知：抛物线y =−23x 2+43x +2的对称轴为直线x =1， ∴E （1，0），设Q （t ，−23t 2+43t +2），且-1＜t ＜3， 设直线AQ 的解析式为y =ex +f ，则{−e +f =0te +f =−23t 2+43t +2，解得：{e =−23t +2f =−23t +2， ∴直线AQ 的解析式为y =（−23t +2）x -23t +2， 当x =1时，y =-43t +4， ∴M （1，-43t +4），同理可得直线BQ 的解析式为y =（-23t -23）x +2t +2， 当x =1时，y =43t +43， ∴N （1，43t +43）， ∴EM =-43t +4，EN =43t +43， ∴EM +EN =-43t +4+43t +43=163， 故EM +EN 的值为定值163．13.解：（1）把A （-2，0），B （0，4）两点代入抛物线y =ax 2+x +c 中得：{4a −2+c =0c =4解得：{a =−12c =4；（2）由（2）知：抛物线解析式为：y =-12x 2+x +4， 设直线AB 的解析式为：y =kx +b ， 则{−2k +b =0b =4，解得：{k =2b =4， ∴AB 的解析式为：y =2x +4， 设直线DE 的解析式为：y =mx ， ∴2x +4=mx ， ∴x =4m−2， 当x =3时，y =3m ， ∴E （3，3m ），∵△BDO 与△OCE 的面积相等，CE ⊥OC ， ∴12•3•（-3m ）=12•4•42−m ， ∴9m 2-18m -16=0， ∴（3m +2）（3m -8）=0， ∴m 1=-23，m 2=83（舍），∴直线DE的解析式为：y=-23x；（3）存在，B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况：设P（t，-12t2+t+4），①如图1，过点P作PH⊥y轴于H，∵四边形BPGF是矩形，∴BP=FG，∠PBF=∠BFG=90°，∴∠CFG+∠BFO=∠BFO+∠OBF=∠CFG+∠CGF=∠OBF+∠PBH=90°，∴∠PBH=∠OFB=∠CGF，∵∠PHB=∠FCG=90°，∴△PHB≌△FCG（AAS），∴PH=CF，∴CF=PH=t，OF=3-t，∵∠PBH=∠OFB，∴PH BH =OBOF，即t−12t2+t+4−4=43−t，解得：t1=0（舍），t2=1，∴F（2，0）；②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M，同①可得：NG =FM =3，OF =t -3， ∵∠OFB =∠FPM ， ∴tan ∠OFB =tan ∠FPM ， ∴OB OF =FM PM ，即4t−3=3−12t 2+t+4，解得：t 1=1+√2014，t 2=1−√2014（舍），∴F （√201−114，0）；综上，点F 的坐标为（2，0）或（√201−114，0）．14.（1）解：把O （0，0）代入y =x 2+（m -2）x +m -4得：m -4=0， 解得m =4，∴y =x 2+2x =（x +1）2-1，∴函数图象的顶点A 的坐标为（-1，-1）；（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y =x 2+（m -2）x +m -4的顶点为（2−m 2，−m 2+8m−204），∵m ＞2， ∴2-m ＜0， ∴2−m 2＜0，∵−m 2+8m−204=-14（m -4）2-1≤-1＜0，∴二次函数y =x 2+（m -2）x +m -4的顶点在第三象限；（3）解：设平移后图象对应的二次函数表达式为y =x 2+bx +c ，其顶点为（-b2，4c−b 24），当x =0时，B （0，c ），将（-b 2，4c−b 24）代入y =-x -2得：4c−b 24=b2-2， ∴c =b 2+2b−84，∵B （0，c ）在y 轴的负半轴， ∴c ＜0， ∴OB =-c =-b 2+2b−84，过点A 作AH ⊥OB 于H ，如图：∵A （-1，-1）， ∴AH =1， 在△AOB 中， S △AOB =12OB •AH =12×（-b 2+2b−84）×1=-18b 2-14b +1=-18（b +1）2+98， ∵-18＜0，∴当b =-1时，此时c ＜0，S △AOB 取最大值，最大值为98， 答：△AOB 面积的最大值是98．15.解：（1）∵抛物线y =ax 2+32x +c 过点A （1，0），C （0，-2），∴{0=a +32+c −2=c ，解得：{a =12c =−2． ∴抛物线的表达式为y =12x 2+32x −2． 设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则 {k +b =0b =−2，解得：{k =2b =−2． ∴直线AC 的表达式为y =2x -2．（2）点D 不在抛物线的对称轴上，理由是：∵抛物线的表达式为y=12x2+32x−2，∴点B坐标为（-4，0）．∵OA=1，OC=2，∴OA OC =OCOB．又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC～△COB．∴∠ACO=∠CBO．∴∠ACO+∠BCO=∠COB+∠BCO=90°，∴AC⊥BC．∴将△ABC沿BC所在直线折叠，点D一定落在直线AC上，延长AC至D，使DC=AC，过点D作DE⊥y轴交y轴于点E，如图1．又∵∠ACO=∠DCE，∴△ACO≌△DCE（AAS）．∴DE=AO=1，则点D横坐标为-1，∵抛物线的对称轴为直线x=-32．故点D不在抛物线的对称轴上．（3）设过点B、C的直线表达式为y=mx+n，∵C（0，-2），B（-4，0），∴{−2=n0=−4m+n，解得：{m=−12n=−2．∴过点B、C的直线解析式为y=−12x−2．过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，点M坐标为（1，-52），过点P作x轴的垂线交BC于点N，垂足为H，如图2．设点P坐标为（m，12m2+32m−2），则点N坐标为（m，−12m−2），∴PN=−12m−2-（12m2+32m−2）=−12m2−2m，∵PN∥AM，∴△AQM～△PQN．∴PQ AQ =PNAM．若分别以PQ 、AQ 为底计算△BPQ 和△BAQ 的面积（同高不等底），则△BPQ 与△BAQ 的面积比为PQ AQ ，即S 1S 2=PQAQ ．∴S 1S 2=PNAM =−12m 2−2m 52=−m 25−4m 5=−15(m +2)2+45． ∵-15＜0，∴当m =-2时，S 1S 2的最大值为45，此时点P 坐标为（-2，-3）．16.解：（1）由抛物线C 1：y =a （x +2）2-5得，顶点P 的坐标为（-2，-5）， ∵点B （1，0）在抛物线C 1上， ∴0=a （1+2）2-5， 解得a =59；（2）连接PM ，作PH ⊥x 轴于H ，作MG ⊥x 轴于G ，∴∠PHB =∠MGB =90°，∵点P 、M 关于点B 成中心对称， ∴PM 过点B ，且PB =MB ，PH =MG ∴Rt △PBH ≌Rt △MBG （HL ）， ∴MG =PH =5，BG =BH =3， ∴顶点M 的坐标为（4，5），抛物线C 2由C 1关于x 轴对称得到，抛物线C 3由C 2平移得到， ∴抛物线C 3的表达式为y =-59（x -4）2+5；（3）∵抛物线C 4由C 1绕点x 轴上的点Q 旋转180°得到， ∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称， 由（2）得点N 的纵坐标为5， 设点N 坐标为（m ，5），作PH ⊥x 轴于H ，作NG ⊥x 轴于G ， 作PK ⊥NG 于K ，∵旋转中心Q 在x 轴上，∴点B 与点E 是对应点，点A 与点F 是对应点， ∴EF =AB ．∵点P 是抛物线的顶点， ∴AH =BH ， ∴BH =3 ∴AB =2BH =6∵点N 是抛物线的顶点， ∴FG =EG =12EF =12AB =3 ∴点F 坐标为（m +3，0）．H 坐标为（-2，0），K 坐标为（m ，-5）， ∵顶点P 的坐标为（-2，-5）， 根据勾股定理得：PN 2=NK 2+PK 2=m 2+4m +104， PF 2=PH 2+HF 2=m 2+10m +50， NF 2=52+32=34，①当∠PNF =90°时，PN 2+NF 2=PF 2，解得m =443， ∴Q 点坐标为（193，0）．②当∠PFN =90°时，PF 2+NF 2=PN 2，解得m =103， ∴Q 点坐标为（23，0）． ③∵PN ＞NK =10＞NF ， ∴∠NPF ≠90°综上所得，当Q 点坐标为（193，0）或（23，0）时，以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形．17.解：（1）由题意可得：A （-6，2），D （6，2），又∵E （0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y =ax 2+8，将A （-6，2）代入， （-6）2a +8=2， 解得：a =-16，∴抛物线对应的函数表达式为y =-16x 2+8；（2）（ⅰ）∵点P 1的横坐标为m （0＜m ≤6），且四边形P 1P 2P 3P 4为矩形，点P 2，P 3在抛物线AED 上，∴P 2的坐标为（m ，-16m 2+8）， ∴P 1P 2=P 3P 4=MN =-16m 2+8，P 2P 3=2m ，∴l =3（-16m 2+8）+2m =-12m 2+2m +24=-12（m -2）2+26， ∵-12＜0，∴当m =2时，l 有最大值为26，即栅栏总长l 与m 之间的函数表达式为l =-12m 2+2m +24，l 的最大值为26； （ⅱ）方案一：设P 2P 1=n ，则P 2P 3=18-3n ，∴矩形P 1P 2P 3P 4面积为（18-3n ）n =-3n 2+18n =-3（n -3）2+27， ∵-3＜0，∴当n =3时，矩形面积有最大值为27， 此时P 2P 1=3，P 2P 3=9， 令-16x 2+8=3， 解得：x =±√30，∴此时P 1的横坐标的取值范围为-√30+9≤P 1横坐标≤√30， 方案二：设P 2P 1=n ，则P 2P 3=18−2n 2=9-n ，∴矩形P 1P 2P 3P 4面积为（9-n ）n =-n 2+n =-（n -92）2+814， ∵-1＜0，∴当n =92时，矩形面积有最大值为814，此时P 2P 1=92，P 2P 3=92， 令-16x 2+8=92， 解得：x =±√21，∴此时P 1的横坐标的取值范围为-√21+92≤P 1横坐标≤√21．18.解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y 需求=ax 2+c ，{9a +c =7.2①16a +c =5.8②，②-①，得7a =-1.4， 解得：a =-15，把a =-15代入①，得c =9， ∴a 的值为-15，c 的值为9；（2）设这种蔬菜每千克获利w 元，根据题意， w =x 售价-x 成本=12t +2-（14t 2-32t +3）=-14（t -4）2+3， ∵-14＜0，且1≤t ≤7， ∴当t =4时，w 有最大值，答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大； （3）当y 供给=y 需求时，x -1=-15x 2+9， 解得：x 1=5，x 2=-10（舍去）， ∴此时售价为5元/千克，则y 供给=x -1=5-1=4（吨）=4000（千克）， 令12t +2=5，解得t =6，∴w =-14（t -4）2+3=-14（6-4）2+3=2， ∴总利润为w •y =2×4000=8000（元）， 答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．。

热点05 二次函数在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。

而考察的内容主要有：二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。

其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。

1. 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的解析式：根据已知条件，选择合适的表达式求解；一般情况下：①当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）求其表达式；②当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式y ＝a （x-m ）2+h （a ≠0）求其表达式；③若（x 1，0）(x 2，0)是抛物线与x 轴的两个交点坐标，故知道抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式y ＝a （x-x 1）(x-x 2)（a ≠0）求其表达式；2.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象及其性质：牢记顶点公式、注意识别图象与系数的关系、注意抛物线的对称性及其性质的应用；其中：二次函数符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶①a 、b 、c 单个字母的判断，a 由开口判断，b 由对称轴判断（左同右异），c 由图象与y 轴交点判断;②含有a 、b 两个字母时，考虑对称轴;③含有a 、b 、c 三个字母，且a 和b 系数是平方关系，给x 取值，结合图像判断， 另：含有 a 、b 、c 三个字母，a 和b 系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶④含有b 2和 4ac ，考虑顶点坐标，或考虑△.⑤其他类型，可考虑给x 取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。

3.二次函数的简单应用：认真审题、分清问题类型、注意计算；利润最大化问题与二次函数模型：两公式：①单位利润=售价-进价；②总利润=单位利润×销量；两转化：①销量转化为售价的一次函数；②总利润转化为售价的二次函数；函数性质：利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题；二次函数在中考中单独出题和结合出题的形式都比较常见，和实际应用结合时，多考察现实生活中的“生意问题”或者“省钱问题”；数学模型考察热点有：一次函数与二次函数结合问题、二次函数图象与性质、二次函数与几何图形结合的面积最值问题、二次函数与其他几何图形结合的点在坐标特征问题等。

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线233333y x x =--+“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =-+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=； 联立两解析式求交点2234323332323y=y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，3B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=23∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，233），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=32343，即E 的纵坐标为43∴ E（-1，-433）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-3），F（-4，1033）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-433）、（0，233）或E（-1，43 -3），F（-4，1033）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题3．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝kx +b （k ＜0，b ＞0），与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴交于点C 、与y 轴交于点D ．若直线CD 的解析式为y ＝﹣1k（x +b ），则称直线CD 为直线AB 的”姊线”，经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”．（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为： （直接填空）；（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2142y x x =-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH ＝5，请直接写出AB 的”母线”的函数解析式．【答案】（1）1(6)3y x =+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3．【解析】【分析】（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标， 由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣1m（x+3），令x ＝0，得 y 值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式．【详解】（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6， 则答案为：y ＝13（x+6）； （2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），则直线CD 的表达式为：y ＝12（x+4）＝12x+2； （3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝n mx ， 将直线OP 和CD 表达式联立得122n y x m y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：点Q （2438m m m --+，222838m m m m +-+-） 则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣32m+3， 当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）直线CD的表达式为：y＝﹣1m（x+3），令x＝0，则y＝﹣3m，令y＝0，则x＝﹣3，故点C、D的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣3m），则点H（﹣32，﹣32m），同理可得：点G（﹣32m，32），则GH2＝（32+32m）2+（32﹣32m）2＝（5）2，解得：m＝﹣3（正值已舍去），则点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），则“母线”函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故：“母线”函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．【点睛】此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.6．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，322a b b a+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14a b -⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x 2-4x ， 令y=0，得x 2-2x=0，解得x=0或4， 结合图象知，A 的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x 的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为F ，设P （x ，x 2-4x ）, ∵PA ⊥BA ∴∠PAF+∠BAE=90°, ∵∠PAF+∠FPA=90°, ∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA ∽△AEB,∴PF AF AE BE =，即244213x x x--=-， 解得，x= −1，x=4（舍去） ∴x 2-4x=-5∴点P 的坐标为（-1，-5），又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（14，0） ∴S △PAB=115531524⨯⨯+= 【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．7．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC 于点D，求△DMH周长的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH周长的最大值为．考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想8．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．【解析】试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P1（1，）；②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，），m ＝，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P2（1，－4）．综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．考点：二次函数综合题．9．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c 分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m 为何值时，△MAB 面积S 取得最小值和最大值？请说明理由； （3）求满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标．【答案】（1）点P 的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x 2+3x+4；（2）当m=0时，S 取最小值，最小值为12；当m=3时，S 取最大值，最大值为5．（3）满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标为（0，4）或（247，12449）．【解析】【分析】（1）代入y=c 可求出点C 、P 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标，再由△PCB ≌△BOA 即可得出b 、c 的值，进而可得出点P 的坐标及抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F 的坐标，过点M 作ME ∥y 轴，交直线AB 于点E ，由点M 的横坐标可得出点M 、E 的坐标，进而可得出ME 的长度，再利用三角形的面积公式可找出S=﹣12（m ﹣3）2+5，由m 的取值范围结合二次函数的性质即可求出S 的最大值及最小值；（3）分两种情况考虑：①当点M 在线段OP 上方时，由CP ∥x 轴利用平行线的性质可得出：当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ，由此可找出点M 的坐标；②当点M 在线段OP 下方时，在x 正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA ，设点D 的坐标为（n ，0），则DO=n ，()()22304n -+-DO=DP 可求出n 的值，进而可得出点D 的坐标，由点P 、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线PD 的解析式，再联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M 的坐标．综上此题得解． 【详解】（1）当y=c 时，有c=﹣x 2+bx+c ， 解得：x 1=0，x 2=b ，∴点C 的坐标为（0，c ），点P 的坐标为（b ，c ）， ∵直线y=﹣3x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点， ∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，3）， ∴OB=3，OA=1，BC=c ﹣3，CP=b ， ∵△PCB ≌△BOA ，∴BC=OA ，CP=OB ， ∴b=3，c=4，∴点P 的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x 2+3x+4； （2）当y=0时，有﹣x 2+3x+4=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=4， ∴点F 的坐标为（4，0），过点M 作ME ∥y 轴，交直线AB 于点E ，如图1所示， ∵点M 的横坐标为m （0≤m≤4），∴点M 的坐标为（m ，﹣m 2+3m+4），点E 的坐标为（m ，﹣3m+3）， ∴ME=﹣m 2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m 2+6m+1， ∴S=12OA•ME=﹣12m 2+3m+12=﹣12（m ﹣3）2+5， ∵﹣12＜0，0≤m≤4， ∴当m=0时，S 取最小值，最小值为12；当m=3时，S 取最大值，最大值为5； （3）①当点M 在线段OP 上方时，∵CP ∥x 轴， ∴当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ， ∴点M 的坐标为（0，4）；②当点M 在线段OP 下方时，在x 正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA ，设点D 的坐标为（n ，0），则DO=n ，∴n 2=（n ﹣3）2+16， 解得：n=256， ∴点D 的坐标为（256，0）， 设直线PD 的解析式为y=kx+a （k≠0）， 将P （3，4）、D （256，0）代入y=kx+a ， 342506k a k a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：2471007k a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线PD 的解析式为y=﹣247x+1007， 联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组，得：2241007734y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩﹣，解得：1134x y =⎧⎨=⎩，2224712449x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴点M 的坐标为（247，12449）． 综上所述：满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标为（0，4）或（247，12449）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b 、c 的值；（2）利用三角形的面积公式找出S=﹣（m ﹣3）2+5；（3）分点M 在线段OP 上方和点M 在线段OP 下方两种情况求出点M 的坐标．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。

2022年中考数学试题汇编：二次函数（解答题）1．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？2．（2022•盘锦）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：x（天）123 (x)每天的销售量（千克）101214…设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如上图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）（1）将表格中的最后一列补充完整；（2）求y关于x的函数关系式；（3）求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？3．（2022•营口）某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：售价（元/本）……22232425……每天销售量（本）……80787674……（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？4．（2022•贵阳）已知二次函数y＝ax2+4ax+b．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．5．（2022•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），与y轴交于点C，点P为为物线上一动点．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，作PE⊥x 轴，垂足为E，交AB于点F，设△PDF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当＝时，求点P坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．6．（2022•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D 沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．7．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，9），点D在y轴正半轴上，OD＝4，点P是线段OB上的一点，过点B作BE⊥DP，BE交DP的延长线于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若＝，求点P的坐标；（3）点F为第一象限抛物线上一点，在（2）的条件下，当∠FPD＝∠DPO时，求点F 的坐标．8．（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．9．（2022•张家界）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B （4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；（2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E 运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图象上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．10．（2022•铜仁市）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于 5.5千元．请解答以下问题：（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？11．（2022•辽宁）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：……202224……每千克售价x（元）日销售量y（千……666054……克）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？12．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M ，使△MDF 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME 的长．13．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m ），（3，n ）在抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）上，设抛物线的对称轴为x ＝t ．（1）当c ＝2，m ＝n 时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；（2）点（x 0，m ）（x 0≠1）在抛物线上．若m ＜n ＜c ，求t 的取值范围及x 0的取值范围．14．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ＜0）．某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离x /m0 2 5 8 11 14竖直高度y /m20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y ＝a （x﹣h）2+k（a＜0）；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）．15．（2022•呼和浩特）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE 是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x 轴于点M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标．16．（2022•辽宁）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0），点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+b 经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC 于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接P A，PC，△BAF的面积记为S1，△P AC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；（3）如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．17．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P的坐标．18．（2022•常州）已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：x…﹣10123…y…430﹣5﹣12…（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；（2）将二次函数y＝ax2+bx+3的图像向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图像，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝，实数k的取值范围是；（3）A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图像上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB的度数．19．（2022•辽宁）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？20．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．21．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x 轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．（1）求b，c的值；（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？22．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x 轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．23．（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．24．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c 称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．25．（2022•海南）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；（3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．26．（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x 取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y＝，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？27．（2022•大庆）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．（1）图中点P所表示的实际意义是，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少kg；（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？28．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A 的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标．29．（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A （1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．（3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m．①求m的值．②以P A为边作等腰直角三角形P AQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．30．（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，B 两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；（3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．32．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．（1）求b的值；（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．33．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．34．（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？35．（2022•威海）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值．36．（2022•湖北）某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：销售单价x（元/千克）…2022.52537.540…销售量y（千克）…3027.52512.510…（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．37．（2022•湖北）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y 轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线AC的解析式；（2）当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；（3）平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．38．（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？39．（2022•广西）打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．40．（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B 的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为线段OC的中点，则△POD能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．41．（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B 两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．42．（2022•荆州）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y＝24﹣x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；（2）该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？43．（2022•河南）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m．身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．44．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？45．（2022•随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（1≤x≤15，且x为正整数）的供应量y1（单位：个）和需求量y2（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量y2与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）第x天12...6...11 (15)150150+m…150+5m…150+10m…150+14m 供应量y1（个）220229...245...220 (164)需求量y2（个）（1）直接写出y1与x和y2与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．46．（2022•湖北）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．参考答案与试题解析1．（2022•青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？。

2022中考数学专题练习二次函数的综合应用（解析版）【例题1】二次函数y=a某2+b某+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a （m≠1），其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由抛物线与某轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，可判断①；根据对称轴是某=﹣1，可得某=﹣2、0时，y的值相等，所以4a﹣2b+c＞0，可判断③；根据﹣=﹣1，得出b=2a，再根据a+b+c＜0，可得b+b+c＜0，所以3b+2c＜0，可判断②；某=﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．【解答】解：∵图象与某轴有两个交点，∴方程a某2+b某+c=0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，①正确；∴﹣=﹣1，∴b=2a，∵a+b+c＜0，∴b+b+c＜0，3b+2c＜0，∴②是正确；∵当某=﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，③错误；∵由图象可知某=﹣1时该二次函数取得最大值，∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．∴m（am+b）＜a﹣b．故④错误∴正确的有①②两个，故选B．【例题2】荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润某销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）求出w=2400时某的值，结合函数图象即可得出答案；（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴y=﹣2t+200（1≤某≤80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，∴当t=30时，w最大=2450；②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，∴当t=41时，w最大=2301，∵2450＞2301，∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．（3）由（2）得：当1≤t≤40时，w=﹣（t﹣30）2+2450，令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函数w=﹣（t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400，∴t的取值范围是20≤t≤40，∴共有21天符合条件．（4）设日销售利润为w，根据题意，得：w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，其函数图象的对称轴为t=2m+30，∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，解得：m≥5，又m＜7，∴5≤m＜7．【例题3】如图，已知抛物线y=a某2+2某+c与y轴交于点A（0，6），与某轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？【分析】（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；（2）过P作PC⊥y轴于点C，由条件可求得∠PAC=60°，可设AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作P E⊥某轴于点E，交AB于点F，则可表示出F的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出△PAB的面积，利用S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB，可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．【解答】解：6）B0）（1）根据题意，把A（0，，（6，代入抛物线解析式可得∴抛物线的表达式为y=﹣某2+2某+6，∵y=﹣某2+2某+6=﹣（某﹣2）2+8，∴抛物线的顶点坐标为（2，8）；（2）如图1，过P作PC⊥y轴于点C，，解得，∵OA=OB=6，∴∠OAB=45°，∴当∠PAB=75°时，∠PAC=60°，∴tan∠PAC=，即=，设AC=m，则PC=∴P（m，m，6+m），m）2+2m+6，解得m=0或m=把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=﹣（﹣，经检验，P（0，6）与点A重合，不合题意，舍去，∴所求的P点坐标为（4﹣，+）；（3）当两个支点移动t秒时，则P（t，﹣t2+2t+6），M（0，6﹣t），如图2，作PE⊥某轴于点E，交AB于点F，则EF=EB=6﹣t，∴F（t，6﹣t），∴FP=t2+2t+6﹣（6﹣t）=﹣t2+3t，∵点A到PE的距离竽OE，点B到PE的距离等于BE，∴S△PAB=FPOE+FPBE=FP（OE+BE）=FPOB=某（﹣t2+3t）某6=﹣t2+9t，且S△AMB=AMOB=某t某6=3t，∴S=S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB=﹣t2+12t=﹣（t﹣4）2+24，∴当t=4时，S有最大值，最大值为24．【例题4】如图1，抛物线C1：y=某2+a某与C2：y=﹣某2+b某相交于点O、C，C1与C2分别交某轴于点B、A，且B为线段AO的中点．（1）求的值；（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；（3）抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由两抛物线解析式可分别用a和b表示出A、B两点的坐标，利用B为OA的中点可得到a和b之间的关系式；（2）由抛物线解析式可先求得C点坐标，过C作CD⊥某轴于点D，可证得△OCD∽△CAD，由相似三角形的性质可得到关于a的方程，可求得OA和CD的长，可求得△OAC的面积；（3）①连接OC与l的交点即为满足条件的点P，可求得OC的解析式，则可求得P点坐标；②设出E点坐标，则可表示出△EOB的面积，过点E作某轴的平行线交直线BC于点N，可先求得BC的解析式，则可表示出EN的长，进一步可表示出△EBC的面积，则可表示出四边形OBCE的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及E点的坐标．【解答】解：（1）在y=某2+a某中，当y=0时，某2+a某=0，某1=0，某2=﹣a，∴B（﹣a，0），在y=﹣某2+b某中，当y=0时，﹣某2+b某=0，某1=0，某2=b，∴A（0，b），∵B为OA的中点，∴b=﹣2a，∴；（2）联立两抛物线解析式可得，消去y整理可得2某2+3a某=0，解得某1=0，，当时，，∴，，过C作CD⊥某轴于点D，如图1，∴，，∵∠OCA=90°，∴△OCD∽△CAD，∴，∴CD2=ADOD，即，∴a1=0（舍去），（舍去），，∴，，∴；（3）①抛物线：，∴其对称轴：，点A关于l2的对称点为O（0，0），，，则P为直线OC与l2的交点，设OC的解析式为y=k某，∴，得，∴OC的解析式为，当时，，∴，；②设，，，则，而，，，，设直线BC的解析式为y=k某+b，，解得，，由∴直线BC的解析式为，过点E作某轴的平行线交直线BC于点N，如图2，则，即某=，∴EN=，∴∴S四边形OBCE=S△OBE+S△EBC==，∵，∴当时，最大，当时，，∴，，最大．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）中分别表示出A、B的坐标是解题的关键，在（2）中求得C点坐标，利用相似三角形的性质求得a的值是解题的关键，在（3）①中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）②中用E点坐标分别表示出△OBE和△EBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量较大，难度较大．巩固练习一、选择题：1.抛物线y=﹣（某+）2﹣3的顶点坐标是（）A．（，﹣3）B．（﹣，﹣3）C．（，3）D．（﹣，3）【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：y=﹣（某+）2﹣3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣，﹣3）．故选B．2.已知二次函数y=a某2+b某+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④【分析】①由抛物线开口向上可得出a＞0，结论①正确；②由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可得出c＜0，结论②错误；③由抛物线与某轴有两个交点，可得出△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④由抛物线的对称轴在y轴右侧，可得出﹣上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线开口向上，＞0，结论④错误．综∴a＞0，结论①正确；②∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，结论②错误；③∵抛物线与某轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，结论④错误．故选C．3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=2cm，点P在边AC 上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是（）A．20cmB．18cmC．2cmD．3cm==，【分析】根据已知条件得到CP=6﹣t，得到PQ=于是得到结论．【解答】解：∵AP=CQ=t，∴CP=6﹣t，∴PQ=∵0≤t≤2，∴当t=2时，PQ的值最小，∴线段PQ的最小值是2故选C．==，，4.如图，抛物线y=a某2+b某+c（a≠0）的对称轴为直线某=﹣2，与某轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与某轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由某=﹣1时y＞0可判断③，由某=﹣2时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线某=﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线某=﹣∴4a﹣b=0，所以①正确；∵与某轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；∵由②知，某=﹣1时y＞0，且b=4a，即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＞0，所以③正确；由函数图象知当某=﹣2时，函数取得最大值，∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；=﹣2，∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线某=﹣2，∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，∴y1＜y3＜y2，故⑤错误；故选：B．0）5.已知抛物线y=a某2+b某+c（a≠0）的对称轴为直线某=2，与某轴的一个交点坐标为（4，，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b+c=0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当某＜2时，y随某增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与某轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=﹣4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当某=5时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；④将某=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当某＜2时，yy随某增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线y=a某2+b某+c（a≠0）的对称轴为直线某=2，与某轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与某轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；②∵抛物线y=a某2+b某+c（a≠0）的对称轴为直线某=2，且抛物线过原点，∴﹣=2，c=0，∴b=﹣4a，c=0，∴4a+b+c=0，结论②正确；③∵当某=﹣1和某=5时，y值相同，且均为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；④当某=2时，y=a某2+b某+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；⑤观察函数图象可知：当某＜2时，yy随某增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故选C．二、填空题：6.经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是y=﹣某2+某+3．【分析】根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y=a （某﹣2）（某﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y=a（某+2）（某﹣4），把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（某+2）（某﹣4）=﹣某2+某+3，故答案为y=﹣某2+某+3．7.飞机着陆后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是=60t﹣t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为20秒．【分析】将=60t﹣1.5t2，化为顶点式，即可求得的最大值，从而可以解答本题．【解答】解：解：=60t﹣t2=﹣（t﹣20）2+600，∴当t=20时，取得最大值，此时=600．故答案是：20．8.对于函数y=某n+某m，我们定义y'=n某n﹣1+m某m﹣1（m、n为常数）．例如y=某4+某2，则y'=4某3+2某．已知：y=某3+（m﹣1）某2+m2某．（1）若方程y′=0有两个相等实数根，则m的值为；（2）若方程y′=m﹣有两个正数根，则m的取值范围为且．【分析】根据新定义得到y′=某3+（m﹣1）某2+m2=某2﹣2（m﹣1）某+m2，（1）由判别式等于0，解方程即可；（2）根据根与系数的关系列不等式组即可得到结论．【解答】解：根据题意得y′=某2﹣2（m﹣1）某+m2，（1）∵方程某2﹣2（m﹣1）某+m2=0有两个相等实数根，∴△=[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2=0，解得：m=，故答案为：；（2）y′=m﹣，即某2+2（m﹣1）某+m2=m﹣，化简得：某2+2（m﹣1）某+m2﹣m+=0，∵方程有两个正数根，＜∴＞，解得：且．故答案为：且．【点评】本题考查了抛物线与某轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，正确的理解题意是解题的关键．9.如图是抛物线y1=a某2+b某+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与某轴的一个交点是B（4，0），直线y2=m某+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程a某2+b某+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与某轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜某＜4时，有y2＞y1；⑤某（a某+b）≤a+b，其中正确的结论是②⑤．（只填写序号）【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程a某2+b某+c=3有两个相等的实数根，故②正确．根据对称性可知抛物线与某轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，观察图象可知，当1＜某＜4时，有y2＜y1，故④错误，因为某=1时，y1有最大值，所以a某2+b某+c≤a+b+c，即某（a某+b）≤a+b，故⑤正确，所以②⑤正确，故答案为②⑤．10.小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为24﹣8cm．【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=a某2+b某+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣某2+某+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标为6+8，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，∴BQ=12﹣8=4，由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，∴=，即=，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C（20，0），又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），∴可设抛物线为y=a某2+b某+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得，，解得2∴抛物线为y=﹣某+某+24，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则10.2=﹣某2+某+24，解得某1=6+8，某2=6﹣8（舍去），∴点E的横坐标为6+8，又∵ON=30，∴EH=30﹣（6+8）=24﹣8．故答案为：24﹣8．【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．三、解答题：1.如图，已知抛物线y=﹣某2+b某+c与某轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C和点D的坐标；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y=a某2+b某+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令某=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（某，y）（某＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．【解答】解：（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得解得：，，∴抛物线的解析式为y=﹣某2+2某+3；（2）令某=0，则y=3，∴C（0，3），∵y=﹣某2+2某+3=﹣（某﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（某，y）（某＞0，y＞0），S△COE=某1某3=，S△ABP=某4y=2y，∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4某，∴y=3，∴﹣某2+2某+3=3，解得：某1=0（不合题意，舍去），某2=2，∴P（2，3）．2.如图，直线y=k某+b（k、b为常数）分别与某轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣某2+2某+1与y轴交于点C．（1）求直线y=k某+b的函数解析式；y）（2）若点P（某，是抛物线y=﹣某2+2某+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于某的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣某2+2某+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；（2）过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥某轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，则可证明△PHQ∽△BAO，设H（m，m+3），利用相似三角形的性质可得到d与某的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标；（3）设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，则可知当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，由C点坐标可确定出C′点的坐标，利用（2）中所求函数关系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值．【解答】解：（1）由题意可得∴直线解析式为y=某+3；（2）如图1，过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥某轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，，解得，则∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠PHQ=∠BA O，且∠AOB=∠PQH=90°，∴△PQH∽△BOA，∴==，设H（m，m+3），则PQ=某﹣m，HQ=m+3﹣（﹣某2+2某+1），∵A （﹣4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，∴==，，，整理消去m可得d=某2﹣某+=（某﹣）2+∴d与某的函数关系式为d=（某﹣）2+∵＞0，∴当某=时，d有最小值，此时y=﹣（）2+2某+1=∴当d取得最小值时P点坐标为（，）；，（3）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，∴CE+EF=C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，∵C（0，1），∴C′（2，1），由（2）可知当某=2时，d=某（2﹣）2+即CE+EF的最小值为．=，3.如图1，抛物线y=a某2+b某+2与某轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．【解答】解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，∴OB=1，∵AB=4，∴OA=3，∴A（﹣3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣某2﹣某+2；（2）在y=﹣某2﹣某+2中，令y=2可得2=﹣某2﹣某+2，解得某=0或某=﹣2，∴E（﹣2，2），∴直线OE解析式为y=﹣某，由题意可得P（m，﹣m2﹣m+2），∵PG∥y轴，∴G（m，﹣m），∵P 在直线OE的上方，∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+∵直线OE解析式为y=﹣某，∴∠PGH=∠COE=45°，∴l=PG=[﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+；，，∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则∠ALF=∠ACO=∠FNM，在△MFN和△AOC中∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，∴点M到对称轴的距离为3，又y=﹣某2﹣某+2，∴抛物线对称轴为某=﹣1，设M点坐标为（某，y），则|某+1|=3，解得某=2或某=﹣4，当某=2时，y=﹣，当某=﹣4时，y=）或（﹣4，﹣，）；∴M点坐标为（2，﹣②当AC为对角线时，设AC的中点为K，∵A（﹣3，0），C（0，2），∴K（﹣，1），∵点N在对称轴上，∴点N的横坐标为﹣1，设M点横坐标为某，∴某+（﹣1）=2某（﹣）=﹣3，解得某=﹣2，此时y=2，∴M（﹣2，2）；综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．。

上海市中考数学精选专题《二次函数》（含答案）1．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知平面直角坐标系xOy （如图7），直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B .（1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求ABP ∠sin 的值；（3）设点Q 在直线m x y +=上，且在第一象限内，直线m x y +=与y 轴的交点为点D ，如果DOB AQO ∠=∠，求点Q 的坐标.24.解：（1） ∵直线m x y +=的经过点)0,4(-A∴04=+-m ……………………1分∴4=m ………………………………1分 ∵直线m x y +=的经过点)3,(n B图7∴34=+n ……………………1分∴1-=n …………………………………………1分（2）由可知点B 的坐标为)3,1(-∵抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ∴⎩⎨⎧=+-=+-310416c b c b∴6=b ， 8=c∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862++=x x y …………………1分∴抛物线862++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P ……………1分∴23=AB ,2=AP ,52=PB ∴222PB BP AB =+∴︒=∠90PAB ……………………………………1分∴PBAP ABP =∠sin ∴1010sin =∠ABP …………………………………………1分 （3）过点Q 作x QH ⊥轴，垂足为点H ，则QH ∥y 轴∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠∴△OBD ∽△QBO∴OBDBQB OB =……………1分 ∵直线4+=x y 与y 轴的交点为点D ∴点D 的坐标为)4,0(,4=OD 又10=OB ，2=DB∴25=QB ，24=DQ ……………1分 ∵23=AB∴28=AQ ,24=DQ ∵QH ∥y 轴 ∴AQADQH OD = ∴28244=QH ∴8=QH ……………………………………1分即点Q 的纵坐标是8又点Q 在直线4+=x y 上点Q 的坐标为)8,4(……………1分2．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上 ∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4）（ 2分）备用图第24题图（2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分） ∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOAC BOAD ，∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ）过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-= ①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BOAO OHPH=，∴326=-tt，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分）②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P（ 2分）综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P3．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）已知抛物线经过点(0,3)A 、(4,1)B 、(3,0)C ． （1）求抛物线的解析式；（2）联结AC 、BC 、AB ，求BAC ∠的正切值；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作PG AP ⊥交y 轴于点G ，当点G 在点A 的上方，且APG △与ABC △相似时，求点P 的坐标．解：（1将A （0,3）、B （4，）、C （3,0）代入，得 1641,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得12523a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩………2分 所以，这个二次函数的解析式为215322y x x =-+ ………………………1分 （2）∵A （0,3）、B （4，）、C （3,0） ∴AC =BC =AB =∴222AC BC AB +=∴90ACB =︒∠ ……………2分∴13BC tan BAC AC ===∠ ………2分 （3）过点P 作PH y ⊥轴，垂足为H 设P 215(,3)22x x x -+，则H 215(0,3)22x x -+ ∵A （0,3）∴21522AH x x =-，PH x = ∵90ACB APG ==︒∠∠∴当△APG 与△ABC 相似时，存在以下两种可能： 1° PAG CAB =∠∠ 则13tan PAG tan CAB ==∠∠ 即13PH AH = ∴2115322x x x =- 解得11x = ……1分 ∴点P 的坐标为(11,36) ……………………1分 2° PAG ABC =∠∠ 则3tan PAG tan ABC ==∠∠ 即3PH AH = ∴231522x x x =-解得173x = ………1分 ∴点P 的坐标为1744(,)39………………………1分 4．（本题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （0,3），其顶点为D . （1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD 的面积；（3）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若△DPH 与△AOB 相 似，求点P 的坐标.解：（1）由题意得：013b cc=++⎧⎨=⎩，———————————————————（2分） 解得：43b c =-⎧⎨=⎩，—————————————————————————（1分）所以抛物线的表达式为243y x x =-+. ——————————————（1分）（2）由（1）得D （2，﹣1），———————————————————（1分）作DT ⊥y 轴于点T ,则△ABD 的面积=()11124131211222⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=.————————（3分）（3）令P ()()2,432p p p p -+>.————————————————（1分）由△DPH 与△AOB 相似，易知∠AOB =∠PHD =90°，所以243132p p p -++=-或2431123p p p -++=-，————————————（2分）解得：5p =或73p =，所以点P 的坐标为（5,8），78,39⎛⎫- ⎪⎝⎭.————————————————（1分）5．（本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （3,0），与y 轴相交于点C ，顶点为P ． （1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标； （2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA =EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线 上，∠MEQ =∠NEB ，求点Q 的坐标．图8解：（1）∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （1，0）和B （3，0）， ∴10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得：4b =-，3c =．………（2分）∴这条抛物线的表达式是243y x x =-+……………………………（1分）顶点P 的坐标是（2，-1）．…………………（1分）（2）抛物线243y x x =-+的对称轴是直线2x =，设点E 的坐标是（2，m ）．…（1分）根据题意得： =，解得：m=2，…（2分）∴点E 的坐标为（2，2）．…………………（1分） （3）解法一：设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+，记MN 与x 轴相交于点F ．作QD ⊥MN ，垂足为D ，则2DQ t =-，2243241DE t t t t =-+-=-+………（1分） ∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF ，∴△QDE ∽△BFE ，…………（1分）∴DQ DEBF EF=，∴224112t t t --+=， 解得11t =（不合题意，舍去），25t =．…………（1分）∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．………………（1分） 解法二：记MN 与x 轴相交于点F ．联结AE ，延长AE 交抛物线于点Q ，∵AE=BE ， EF ⊥AB ，∴∠AEF=∠NEB ，又∵∠AEF=∠MEQ ，∴∠QEM=∠NEB ，……………（1分） 点Q 是所求的点，设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+， 作QH ⊥x 轴，垂足为H ，则QH =243t t -+，OH =t ，AH =t -1， ∵EF ⊥x 轴，∴EF ∥QH ，∴EFAFQH AH=，∴221431t t t =-+-，……（1分）解得11t =（不合题意，舍去），25t =．…………（1分） ∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．………………（1分）6．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，（1）求抛物线的解析式和顶点D （2）求证：∠DAB=∠ACB ；（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 是以AD 底的等腰三角形，求Q 点的坐标．解：（1）把B （1，0）和C （0，3）代入22y ax x c =-+中，得9603a c c ++=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩．………………（2分）∴抛物线的解析式是：223y x x =--+………（1分） ∴顶点坐标D （－1，4）．…………………（1分） （2）令0y =，则2230x x --+=，13x =-，21x =，∴A （－3，0）（第24题图）∴3OA OC ==，∴∠CAO =∠OCA ．………………（1分） 在Rt BOC∆中，1tan 3OB OCB OC ∠==．………………………………（1分）∵AC =DC =AD =， ∴2220AC DC +=，220AD =；∴222AC DC AD +=，ACD ∆是直角三角形且90ACD ∠=， ∴1tan 3DC DAC AC∠==，又∵∠DAC 和∠OCB 都是锐角，∴∠DAC =∠OCB ．…………………（1分）∴DAC CAO BCO OCA ∠+∠=∠+∠， 即DAB ACB ∠=∠．……………………………………………………（1分）（3）令(Q x ，)y 且满足223y x x =--+，(3A -,0)，(1D -，4）∵ADQ ∆是以AD 为底的等腰三角形，∴22QD QA =，即2222(3)(1)(4)x y x y ++=++-， 化简得：220x y -+=．………………………………………………（1分）由222023x y y x x -+=⎧⎨=--+⎩，……………………………………………………（1分）解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴点Q的坐标是⎝⎭，⎝⎭．…（2分）7．（本题满分12分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，并与抛物线21742y x bx =-++的对称轴交于点()2,2C ，抛物线的顶点是点D ． （1）求k 和b 的值；（2）点G 是y 轴上一点，且以点B 、C 、G 为顶点的三角形与△BCD 相似，求点G 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E ：它关于直线AB 的对称点F 恰好在y 轴上．如果存在，直接写出点E 的坐标，如果不存在，试说明理由． 解：（1） 由直线3y kx =+经过点()2,2C ，可得12k =-.（1分）由抛物线21742y x bx =-++的对称轴是直线2x =，可得1b =.（1分）（2） ∵直线132y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ， ∴点A 的坐标是()6,0，点B 的坐标是()0,3.（2分） ∵抛物线的顶点是点D ，∴点D 的坐标是92,2⎛⎫⎪⎝⎭. ·· （1分）∵点G 是y 轴上一点，∴设点G 的坐标是()0,m . ∵△BCG 与△BCD 相似，又由题意知，GBC BCD ∠=∠，∴△BCG 与△BCD 相似有两种可能情况： ····· （1分） ①如果BG BC CB CD ＝，那么35552m -＝，解得1m ＝，∴点G 的坐标是()0,1.（1分）图10xy1 1O②如果BG BCCD CB＝，那么352m -，解得12m ＝，∴点G 的坐标是10,2⎛⎫⎪⎝⎭.（1分）综上所述，符合要求的点G 有两个，其坐标分别是()0,1和10,2⎛⎫⎪⎝⎭． （3）点E 的坐标是91,4⎛⎫- ⎪⎝⎭或92,2⎛⎫⎪⎝⎭.（2分+2分）8.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分） 已知：如图8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的图像与x 轴交于点 A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线2x =上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处．（1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标． ．解：（1）∵顶点C 在直线2x =上，∴22=-=bx a，∴4=-b a ． （1分） 将A （3，0）代入23y ax bx =++，得933=0++a b ，（1分） 解得1=a ，4=-b ． ············ （1分） ∴抛物线的解析式为243=-+y x x ． ····· （1分）（2）过点C 作CM ⊥x 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．∵243=-+y x x =()221=--x ，∴C （2，1-）． · （1分） ∵1==CM MA ，∴∠MAC =45°，∴∠ODA =45°， ∴3==OD OA ． ············· （1分） ∵抛物线243=-+y x x 与y 轴交于点B ，∴B （0，3）， ∴6=BD （1分）∵抛物线在平移的过程中，线段BC 所扫过的面积为平行四边形BCDE 的面积，∴12262122==⨯⨯⋅=⨯=BCDEBCDSSBD CN ． ·· （1分）（3）联结CE .∵四边形BCDE 是平行四边形，∴点O 是对角线CE 与BD 的交点，即OE OC ==（i ）当CE 为矩形的一边时，过点C 作1CF CE ⊥，交x 轴于点1F ，设点1F a （,0），在1Rt OCF 中，22211=OF OC CF +， 即 22(2)5a a =-+，解得 52a =，∴点152F （,0） ···· （1分） 同理，得点252F （-,0） ·············· （1分） （ii ）当CE 为矩形的对角线时，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧分别交x 轴于点3F 、4F ，可得 34=OF OF OC ==3F ）、4F （）（2分）综上所述：满足条件的点有152F （,0），252F （-,0），3F ）），4F （）． 9．（本题满分12分，每小题各4分）如图，已知抛物线y=ax 2+bx 的顶点为C （1，1-），P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线对称轴于点B ，直线CP 交x 轴于点A ．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，试用m 的代数式表示线段BC 的长； （3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点P 坐标．解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx 的顶点为C （1，-∴ 112a b b a+=-⎧⎪⎨-=⎪⎩ 解得：12a b =⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的表达式为：y=x 2-2x （2）∵点P 的横坐标为m ，∴P 的纵坐标为：m 2-2m ……………………………1分 令BC 与x 轴交点为M ，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N(第24题图)(第24题图)∵P 是抛物线上位于第一象限内的一点， ∴PN = m 2-2m ，ON =m ，O M =1由PN BMON OM=得221m m BM m -=………………………1分 ∴ BM =m -2…………………………………………………1分 ∵ 点C 的坐标为（1，1-），∴ BC= m -2+1=m -1………………………………………1分（3）令P (t ，t 2-2t ) ………………………………………………1分 △ABP 的面积等于△ABC 的面积 ∴AC =AP过点P 作PQ ⊥BC 交BC 于点Q ∴CM =MQ =1∴t 2-2t =1 …………………………………………………1分∴1t =+1t =舍去）………………………………1分∴ P 的坐标为（1）……………………………………1分计算题专题1．（本题满分10分）先化简，再求值：xx x x x --+++-2321422，其中32+=x . .解：原式2321)2)(2(2-+++++-=x x x x x x …………2分)2)(2()2(3)2)(1(2+-++-++=x x x x x x ………………………1分)2)(2(442+-++=x x x x …………………………………………2分)2)(2()2(2+-+=x x x ………………………2分22-+=x x …………………………………………1分 把32+=x 代入22-+x x 得： 原式232232-+++=………………1分 1334+=………………………………1分 2．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分)=2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分)=2)1(2+x (1分) 当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分)3．（本题满分10分）12022)9( 3.14)π+-+--解：原式731=-+-……………………………………………………8分9=- …………………………………………………………………2分 4．（本题满分10分）计算：())102322220183++--.解：原式()13-—————————————————————（6分）=13-————————————————————————（2分） =4—————————————————————————————（2分）5/计算：21o o 21tan 452sin 60122-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭．解：原式=124-+……………………………………………（8分）14+……………………………………………（1分）=5．………………………………………………………（1分） 5．（本题满分10分） 计算：102018)30(sin )3(32)45cot (18---+-+-+ π．解：原式=12018)21(1)23()1(23--+-+-+ …………………（5分）=2123123-+-++ …………………………（3分） =322+ …………………………………（2分） 6．（本题满分10分）120183(1)2cos45+8-+--．解：原式112+……………………………………（2分+2分+2分+2分）2=．……………………………………………………………………（2分）7．（本题满分10分）先化简，再求值：42442222---++÷+x x x x x x x ，其中2x =-. 解：原式()()22+22(2)22x x x x x x x -=-+-+ ················· （3分）122x x x =-++ ······················ （2分） 12x x -=+. ························· （1分）当2x =时，原式=·················· （1分）=··················· （1分）=8．（本题满分10分）计算：031-．计算：031-+．解：原式=11)-+2分）=22分。

专题10 二次函数的应用考向二次函数的应用【母题来源】（2021·浙江台州）【母题题文】以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h （单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝．【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根据h1＝2h2，求出v1＝v2，可得结论．【解答】解：由题意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，∵h1＝2h2，∴v1＝v2，∴t1：t2＝v1：v2＝：1，故答案为：：1．【母题来源】（2021·浙江金华）【母题题文】某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同,可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离;（3）代入x＝10求出y值，进而可得出点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上，将与1.8比较后即可得出顶部F不会碰到水柱．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣（0﹣5）2+6＝，∴点A的坐标为（0，），∴雕塑高m．（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴点D的坐标为（11，0），∴OD＝11m．∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．（3）当x＝10时，y＝﹣（10﹣5）2+6＝，∴点（10，）在抛物线y＝﹣（x﹣5）2+6上．又∵≈1.83＞1.8，∴顶部F不会碰到水柱．【母题来源】（2021·浙江衢州）【母题题文】如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解；（2）①由图像分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），然后利用待定系数法求函数解析式；②根据题意，列式y2﹣y1利用二次函数的性质求最值．【解答】解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1＝，∴y1＝x2，当x＝12时，y1＝×122＝﹣6，∴桥拱顶部离水面高度为6m．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2＝，∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2＝（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3＝（x+6）2+1②设彩带的长度为Lm，则L＝y2﹣y1＝（x﹣6）2+1﹣（x2）＝＝，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2m．【母题来源】（2021·浙江绍兴）【母题题文】小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求A′B′的长．【分析】（1）运用待定系数法，由题意设顶点式y＝ax2+4，进而求得答案；（2）由题意知：＝0.6，进而求得OD′＝10，再由题意得抛物线y＝x2+4过B′(x1,10),A′(x2,10),从而列方程求出x1和x2，进而求得A′B′的长．【解答】解：（1）∵CO＝4，∴顶点C(0，4)，∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+4，∵AB＝4，∴AD＝DB＝2，∵DO＝8，∴A(﹣2，8)，B(2，8)，将B(2，8)代入y＝ax2+4，得：8＝a×22+4，解得：a＝1，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+4；（2）由题意得：＝0.6，CO＝4,∴＝0.6，∴CD′＝6，∴OD′＝OC+CD′＝4+6＝10，又∵杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，∴设B′(x1，10)，A′(x2，10),∴当y＝10时，10＝x2+4，解得：x1＝，x2＝﹣，∴A′B′＝2，∴杯口直径A′B′的长为2．【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5），B（5，0）．（1）求b，c的值；（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．①求点M的坐标；②将抛物线L向左平移m（m＞0）个单位得到抛物线L1．过点M作MN∥y轴，交抛物线L1于点N．P是抛物线L1上一点，横坐标为﹣1，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．若PE+MN＝10，求m的值．【分析】（1）用待定系数法可求出答案；（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0），由A点及B点坐标可求出直线AB的解析式，由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x＝2，则可求出答案；②由题意可得点N的坐标是（2，m2﹣9），P点的坐标是（﹣1，m2﹣6m），分三种情况，（Ⅰ）如图1，当点N在点M及下方，即0＜m＜时，（Ⅱ）如图2，当点N在点M的上方，点Q在点P及右侧，（Ⅲ）如图3，当点N在M上方，点Q在点P左侧，根据PE+MN＝10列出方程可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，﹣5）和点B（5，0），∴，解得：，∴b，c的值分别为﹣4，﹣5．（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0），把A（0，﹣5），B（5，0）的坐标分别代入表达式，得，解得，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣5．由（1）得，抛物线L的对称轴是直线x＝2，当x＝2时，y＝x﹣5＝﹣3，∴点M的坐标是（2，﹣3）；②设抛物线L1的表达式为y＝（x﹣2+m）2﹣9，∵MN∥y轴，∴点N的坐标是（2，m2﹣9），∵点P的横坐标为﹣1，∴P点的坐标是（﹣1，m2﹣6m），设PE交抛物线L1于另一点Q，∵抛物线L1的对称轴是直线x＝2﹣m，PE∥x轴，∴根据抛物线的对称性，点Q的坐标是（5﹣2m，m2﹣6m），（Ⅰ）如图1，当点N在点M及下方，即0＜m＜时，∴PQ＝5﹣2m﹣（﹣1）＝6﹣2m，MN＝﹣3﹣（m2﹣9）＝6﹣m2，由平移的性质得，QE＝m，∴PE＝6﹣2m+m＝6﹣m，∵PE+MN＝10，∴6﹣m+6﹣m2＝10，解得，m1＝﹣2（舍去），m2＝1，（Ⅱ）如图2，当点N在点M及上方，点Q在点P及右侧，即＜m＜3时，PE＝6﹣m，MN＝m2﹣6，∵PE+MN＝10，∴6﹣m+m2﹣6＝10，解得，m1＝（舍去），m2＝（舍去）．（Ⅲ）如图3，当点N在M上方，点Q在点P左侧，即m＞3时，PE＝m，MN＝m2﹣6，∵PE+MN＝10，∴m+m2﹣6＝10，解得，m1＝（舍去），m2＝，综合以上可得m的值是1或．【试题分析】以上题目都考察了二次函数的实际应用；【命题意图】二次函数的实际应用一般都需要先根据实际意义建议适合的平面直角坐标系，所以此考点主要考察考生对实际问题的转化问题，怎么讲实际问题数学化是解决这类问题的关键；【命题方向】在浙江中考中，二次函数的应用是综合性问题的主要结合考点，一般都是在简答题的综合问题中出现，可以是代数型的二次函数最值问题，也可以是和其他几何图形结合的综合问题，难度一般都在中等以上，是考生复习备考中必须熟练掌握的一个考点。

2022年上海市徐汇区中考数学总复习：二次函数1．在疫情防控期间，各景区限量、有序开放．某旅游公司在某景区内配置了64辆观光车供游客租赁使用，为确保游客乘车安全，每天用完后对车辆内部进行清洁消毒，若每辆观光车一天内最多能出租一次，设每辆车的日租金为x （元），x 不少于100元且是5的倍数，发现每天的营运规律如下：每天租出去的观光车y （辆）与每辆车的日租金x （元）之间成如下函数关系： 日租金x （元） 135 115 110 105 租出去的观光车y （辆）50586062已知所有观光车每天的管理费总计是1200元．（1）求每天租出去的观光车y （辆）与每辆车的日租金x （元）之间的函数关系式； （2）设每日净收入为W 元，请写出即与x 之间的函数关系式；（注；净收入＝租车收入﹣管理费）（3）若某日的净收入不低于5520元，则当天的观光车最多租出多少辆？【解答】解：（1）从表格看，y （辆）与每辆车的日租金x （元）之间的函数关系式为一次函数，设该函数为y ＝kx +b ，将点（135，50）、（115，58）代入上式得{50=135k +b 58=115k +b ，解得{k =−25b =104， 故函数的表达式为：y =−25x +104；（2）由题意得：W ＝yx ﹣1200＝（−25x +104）x ﹣1200=−25x 2+104x ﹣1200（x ≥100，且x 是5的倍数）；（3）由题意得：W ≥5520，即−25x 2+104x ﹣1200≥5520， 解得：120≤x ≤140， 当x ＝120时，y 最大，当x ＝120时，y =−25x +104＝﹣48+104＝56，故某日的净收入不低于5520元，则当天的观光车最多租出56辆．2．某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x 天（x 为整数）的生产成本为m （元/台），m 与x 的关系如图所示．（1）若第x 天可以生产这种设备y 台，则y 与x 的函数关系式为 y ＝2x +20 ，x 的取值范围为 1≤x ≤12 ；（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？ （3）求当天销售利润低于10800元的天数．【解答】解：（1）根据题意，得y 与x 的解析式为：y ＝22+2（x ﹣1）＝2x +20（1≤x ≤12），故答案为：y ＝2x +20，1≤x ≤12； （2）设当天的销售利润为w 元， 则当1≤x ≤6时，w ＝（1200﹣800）（2x +20）＝800x +8000， ∵800＞0，∴w 随x 的增大而增大，∴当x ＝6时，w 最大值＝800×6+8000＝12800． 当6＜x ≤12时，设m ＝kx +b ，将（6，800）和（10，1000）代入得： {800=6k +b 1000=10k +b ， 解得：{k =50b =500，∴m 与x 的关系式为：m ＝50x +500， ∴w ＝[1200﹣（50x +500）]×（2x +20） ＝﹣100x 2+400x +14000＝﹣100（x ﹣2）2+14400．∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w 随x 的增大而减小，天数x 为整数， ∴当x ＝7时，w 有最大值，为11900元， ∵12800＞11900，∴当x ＝6时，w 最大，且w 最大值＝12800元，答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元． （3）由（2）可得，1≤x ≤6时，800x +8000＜10800， 解得：x ＜3.5则第1﹣3天当天利润低于10800元，当6＜x ≤12时，﹣100（x ﹣2）2+14400＜10800， 解得x ＜﹣4（舍去），或x ＞8， ∴第9﹣12天当天利润低于10800元， 故当天销售利润低于10800元的天数有7天．3．已知抛物线y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴的一个交点为A （﹣1，0），另一个交点为B ，与y 轴交于点C （0，﹣3），顶点为D ． （1）求二次函数的解析式和点D 的坐标；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，当MN 取最大值时，点M 的坐标；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点D 落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后的对应点为Q ，如果∠OQP ＝∠OPQ ，试求点Q 的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过A （﹣1，0），C （0，﹣3）， ∴{1−b +c =0c =−3， ∴{b =−2c =−3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴y ＝（x ﹣1）2﹣4， ∴顶点D （1，﹣4）． （2）∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0， 解得x 1＝3，x 2＝﹣1， ∴B （3，0）．设直线BC 解析式为y ＝kx +b （k ≠0）， 把B （3，0）、C （0，﹣3）代入y ＝kx +b ， 可得{3k +b =0b =−3，解得：{k =1b =−3，∴直线BC 解析式为y ＝x ﹣3，设M （m ，m 2﹣2m ﹣3），N （m ，m ﹣3），∴MN ＝m ﹣3﹣（m 2﹣2m ﹣3）＝﹣m 2+3m =−(m −32)2+94， ∴当MN 最大时，点M 的坐标为（32，−154）． （3）设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）． ∵原抛物线的顶点D （1，﹣4），∴抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3向上平移4个单位得到新抛物线y ＝x 2﹣2x +1， ∴Q （m ，m 2﹣2m +1）， ∵∠OQP ＝∠OPQ ， ∴P ，Q 关于x 轴对称， ∴m 2﹣2m ﹣3+m 2﹣2m +1＝0， ∴2m 2﹣4m ﹣2＝0， 解得m ＝1±√2，∴Q （1+√2，2）或（1−√2，2）．4．如图，一条抛物线与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），D 为抛物线的顶点，点P 在x 轴上． （1）求抛物线解析式；（2）若∠PCB ＝∠CBD ，求点P 的坐标；（3）过点P 作直线l ∥AC 交抛物线于Q ，是否存在以点A ，P ，Q ，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）坐标平面内一点M 到点B 的距离为1个单位，求DM +13OM 的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点， ∴设此抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3）， 将点C （0，3）代入，得a ＝﹣1， ∴y ＝﹣（x +1）（x ﹣3）＝﹣x 2+2x +3；（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴顶点D （1，4），设直线DB 解析式为y ＝kx +b ，将D （1，4），B （3，0）代入得{k +b =43k +b =0，解得：{k =−2b =6，∴直线DB 解析式为y ＝﹣2x +6， ①如图1，当点P 在点B 左侧时，∵∠PCB ＝∠CBD ， ∴CP ∥BD ，设直线CP 解析式为y ＝﹣2x +m ， 将C （0，3）代入，得m ＝3， ∴直线CP 解析式y ＝﹣2x +3， 当y ＝0时，x =32，∴P （32，0）；②如图2，当点P 在点B 右侧时，作点P 关于直线BC 的对称点N ，延长CN 交x 轴于点P '，此时∠P 'CB ＝∠CBD ，∵C （0，3），B （3，0）， ∴OC ＝OB ，∴△OBC 为等腰直角三角形， ∴∠CPB ＝45°， ∴∠NBC ＝45°，∴△PBN 为等腰直角三角形， ∴NB ＝PB ＝3−32=32， ∴N （3，32）；设直线CN 的解析式为：y ＝nx +t ，将C （0，3），N （3，32）代入直线CN 解析式y ＝nx +t 得{t =33n +t =32，解得{n =−12t =3， ∴直线CN 解析式为y =−12x +3， 当y ＝0时，x ＝6， ∴P '（6，0），综上所述，点P 坐标为（32，0）或（6，0）．（3）①如图3，当四边形APQC 为平行四边形时，∴CQ∥AP，CQ＝AP，∵y C＝3，∴y Q＝3，令﹣x2+2x+3＝3，解得：x1＝0，x2＝2，∴Q（2，3），②如图4，当四边形AQPC为平行四边形时，AC∥PQ，AC＝PQ，∴y C﹣y A＝y P﹣y Q＝3，∵y P＝0，∴y Q＝﹣3，令﹣x2+2x+3＝﹣3，解得，x1＝1+√7，x2＝1−√7，∴Q1（1+√7，﹣3），Q2（1−√7，﹣3），综上所述，点Q的坐标为Q（2，3）或（1+√7，﹣3）或（1−√7，﹣3）．（4）∵点M到点B的距离为1个单位，∴点M在以点B为圆心，半径为1的圆上运动，如图5，在x 轴上作点E （83，0），连接BM 、EM 、DE ，∴BE ＝OB ﹣OE ＝3−83=13， ∵BM ＝1， ∴BE BM=131=13=BM OB，∵∠MBE ＝∠OBM ， ∴△MBE ∽△OBM ， ∴ME OB=MB OB=13，∴ME =13OM ，∴DM +13OM ＝DM +ME ，∴当点D 、M 、E 在同一直线上时，DM +13OM ＝DM +ME ＝DE 最短， ∵D （1，4），∴DE =√(83−1)2+42=133，∴DM +13OM 的最小值为133．5．如图，抛物线y =3+√36x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，点A ，B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C ，D ，BC =√3CD ． （1）求b ，c 的值；（2）求直线BD 的函数解析式；（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．【解答】解：（1）∵BO ＝3AO ＝3， ∴点B （3，0），点A （﹣1，0）， ∴抛物线解析式为：y =3+√36（x +1）（x ﹣3）=3+√36x 2−3+√33x −3+√32， ∴b =−3+√33，c =−3+√32； （2）如图1，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∴CO ∥DE ， ∴BC CD=BO OE，∵BC =√3CD ，BO ＝3， ∴√3=3OE ， ∴OE =√3，∴点D 横坐标为−√3，∴点D 坐标为（−√3，√3+1）， 设直线BD 的函数解析式为：y ＝kx +b ， 由题意可得：{√3+1=−√3k +b 0=3k +b，解得：{k=−√33b=√3，∴直线BD的函数解析式为y=−√33x+√3；（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（−√3，√3+1），∴AB＝4，AD＝2√2，BD＝2√3+2，对称轴为直线x＝1，∵直线BD：y=−√33x+√3与y轴交于点C，∴点C（0，√3），∴OC=√3，∵tan∠CBO=COBO=√33，∴∠CBO＝30°，如图2，过点A作AK⊥BD于K，∴AK=12AB＝2，∴DK=√AD2−AK2=√8−4=2，∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若∠CBO ＝∠PBO ＝30°， ∴BN =√3PN ＝2，BP ＝2PN ， ∴PN =2√33，BP =4√33， 当△BAD ∽△BPQ ， ∴BP BA=BQ BD，∴BQ =4√33×(2√3+2)4=2+2√33， ∴点Q （1−2√33，0）； 当△BAD ∽△BQP ， ∴BP BD=BQ AB，∴BQ =4√33×42√3+2=4−4√33，∴点Q （﹣1+4√33，0）； 若∠PBO ＝∠ADB ＝45°， ∴BN ＝PN ＝2，BP =√2BN ＝2√2， 当△DAB ∽△BPQ ， ∴BP AD=BQ BD，∴√22√2=2√3+2， ∴BQ ＝2√3+2 ∴点Q （1﹣2√3，0）； 当△BAD ∽△PQB ，∴BP BD=BQ AD，∴BQ =2√2×2√22√3+2=2√3−2，∴点Q （5﹣2√3，0）；综上所述：满足条件的点Q 的坐标为（1−2√33，0）或（﹣1+4√33，0）或（1﹣2√3，0）或（5﹣2√3，0）．6．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象，经过点A （1，0），B （3，0），C （0，3）三点，过点C ，D （﹣3，0）的直线与抛物线的另一交点为E ． （1）请你直接写出：①抛物线的解析式 y ＝x 2﹣4x +3 ； ②直线CD 的解析式 y ＝x +3 ； ③点E 的坐标（ 5 ， 8 ）；（2）如图1，若点P 是x 轴上一动点，连接PC ，PE ，则当点P 位于何处时，可使得∠CPE ＝45°，请你求出此时点P 的坐标；（3）如图2，若点Q 是抛物线上一动点，作QH ⊥x 轴于H ，连接QA ，QB ，当QB 平分∠AQH 时，请你直接写出此时点Q 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线经过A （1，0），B （3，0）， ∴可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）（x ﹣3）， 把C （0，3）代入得到a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x +3，设直线CD 的解析式为y ＝kx +b ，则有{b =3−3k +b =0，解得{k =1b =3，∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，由{y =x +3y =x 2−4x +3，解得{x =0y =3或{x =5y =8， ∴E （5，8）．故答案为：y ＝x 2﹣4x +3，y ＝x +3，5，8．（2）如图1中，过点E 作EH ⊥x 轴于H ．∵C （0，3），D （﹣3，0），E （5，8）， ∴OC ＝OD ＝3，EH ＝8，∴∠PDE ＝45°，CD ＝3√2，DE ＝8√2，EC ＝5√2， 当∠CPE ＝45°时，∵∠PDE ＝∠EPC ，∠CEP ＝∠PED ， ∴△ECP ∽△EPD ， ∴EC EP=EP ED，∴PE 2＝EC •ED ＝80，在Rt △EHP 中，PH =√PE 2−EH 2=√80−64=4， ∴把点H 向左或向右平移4个单位得到点P ， ∴P 1（1，0），P 2（9，0）．（3）延长QH 到M ，使得HM ＝1，连接AM ，BM ，延长QB 交AM 于N ．设Q （t ，t 2﹣4t +3），由题意点Q 只能在点B 的右侧的抛物线上，则QH ＝t 2﹣4t +3，BH ＝t ﹣3，AH ＝t ﹣1， ∴QH AH=(t−1)(t−3)t−1=t ﹣3=BHHM ，∵∠QHB ＝∠AHM ＝90°， ∴△QHB ∽△AHM ， ∴∠BQH ＝∠HAM ，∵∠BQH +∠QBH ＝90°，∠QBH ＝∠ABN ， ∴∠HAM +∠ABN ＝90°， ∴∠ANB ＝90°， ∴QN ⊥AM ，∴当BM ＝AB ＝2时，QN 垂直平分线段AM ，此时QB 平分∠AQH ， 在Rt △BHM 中，BH =√BM 2−HM 2=√22−12=√3， ∴t ＝3+√3，∴Q （3+√3，3+2√3）．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与直线y ＝﹣x ﹣2相交于A （﹣2，0），B （m ，﹣6）两点，且抛物线经过点C （5，0）．点P 是直线下方的抛物线上异于A 、B 的动点．过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）连结P A 、PB 、BD ，当S △ADB ═23S △P AB 时，求S △P AB ；（3）是否存在点P ，使得△PBE 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意A （﹣2，0），B （4，﹣6）， ∵抛物线经过A （﹣2，0），C （5，0），∴可以假设抛物线的解析式y ＝a （x +2）（x ﹣5）， 把B （4，﹣6）代入y ＝a （x +2）（x ﹣5），可得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣3x ﹣10．（2）设P （x ，x 2﹣3x ﹣10）， ∵直线AB 的解析式为y ＝﹣x ﹣2， ∴D （x ，0），E （x ，﹣x ﹣2）， ∴PE ＝﹣x 2+2x +8， ∵S △ADB ═23S △P AB ，∴12×（x +2）×6=23×12×（﹣x 2+2x +8）×6，整理得：2x 2﹣x ﹣10＝0， 解得x =52或﹣2（舍弃）． ∴PE =274，∴S △P AB =12×6×274=814．（3）①当∠PBE ＝90°时，PB ⊥AB ， ∴直线PB 的解析式y ＝x ﹣10，由{y =x 2−3x −10y =x −10，解得{x =0y =−10或{x =4y =−6，∴p （0，﹣10）．②当∠BPE ＝90°时，PB ∥x 轴， 由﹣6＝x 2﹣3x ﹣10，解得x ＝4或﹣1， ∴p （﹣1，﹣6），综上所述，满足条件点P 的坐标为（0，﹣10）或（﹣1，﹣6）．8．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3经过点A （1，0），B （4，0）． （1）求抛物线的表达式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形P AOC 的周长最小？若存在，求出四边形P AOC 的周长最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点Q 是OB 上的一动点，连接BC ，在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 是直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3经过点A （1，0）、B （4，0）， ∴{a +b +3=016a +4b +3=0， 解得{a =34b =−154， ∴该抛物线的解析式：y =34x 2−154x +3；（2）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3经过点A （1，0），B （4，0）， ∴A 、B 关于对称轴对称， 如图1，连接BC ，∴BC 与对称轴的交点即为所求的点P ，此时P A +PC ＝BC ， ∴四边形P AOC 的周长最小值为：OC +OA +BC ， ∵A （1，0），B （4，0），C （0，3），∴OA ＝1，OC ＝3，BC =√OC 2+OB 2=√32+42=5， ∴OC +AB +BC ＝1+3+5＝9，∴在抛物线的对称轴上存在点P ，使四边形P AOC 的周长最小，四边形P AOC 周长的最小值为9；（3）设直线BC 解析式为y ＝kx +n ，把B 、C 两点坐标代入可得{4k +n =0n =3，解得{k =−34n =3， ∴直线BC 的解析式为y =−34x +3， ①当∠BQM ＝90°时，如图2，∵M 在线段BC 上 ∴设M （m ，−34m +3）， ∵∠CMQ ＞90°，∴只能CM ＝MQ =−34m +3， ∵MQ ∥y 轴， ∴△MQB ∽△COB ， ∴BM BC=MQOC ，即5−(−34m+3)5=−34m+33，解得：m =32∴M （32，158）；②当∠QMB ＝90°时，如图3，∵∠CMQ ＝90°， ∴只能CM ＝MQ ， 设CM ＝MQ ＝m ， ∴BM ＝5﹣m ，∵∠BMQ ＝∠COB ＝90°，∠MBQ ＝∠OBC ， ∴△BMQ ∽△BOC ， ∴MQ OC=BM OB ，即m 3=5−m 4，解得m =157，即CM =157 作MN ∥OB ， ∴MN OB=CMBC ，即MN 4=1575，∴MN =127，∵BC 的解析式为y =−34x +3，当x =127时，y =127， ∴M （127，127）．综上，在线段BC 上存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形，点M 的坐标为（127，127）或（32，158）．9．在水果销售旺季，某水果店购进一批优质水果，进价为20元/千克，利润不低于10%，且不超过40%，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y （千克）与该天的售价x （元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y （千克） … 34.8 32 29.6 28 … 售价x （元/千克）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为24.5元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利168元，那么该天水果的售价为多少元？ （3）售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大日利润是多少元？ 【解答】解：（1）设水果的售价x 元/千克，而进价为20元/千克， 当利润不低于10%时，即售价不低于20（1+10%）＝22元/千克； 当利润不超过40%时，同理售价不高于28元/千克， 故x 的取值范围为：22≤x ≤28，把（22.6，34.8）和（24，32）代入一次函数表达式为y ＝kx +b ， 则{34.8=22.6k +b 32=24k +b ，解得{k =−2b =80， 故函数表达式为y ＝﹣2x +80（22≤x ≤28）， 当x ＝24.5时，y ＝﹣2×24.5+80＝31；售价为24.5元/千克，求当天该水果的销售量31千克；（2）设：利润为W ＝（x ﹣20）y ＝﹣2（x ﹣20）（x ﹣40）＝168， 解得：x ＝26或x ＝34（舍去），答：某天销售这种水果获利168元，那么该天水果的售价为26元/千克；（3）w ＝﹣2（x ﹣20）（x ﹣40），函数的对称轴为x ＝30， 而22≤x ≤28，故x ＝28（元/千克）时，函数取得最大值，此时，W ＝192（元）， 故：水果的售价为28元/千克时获利最大，最大利润192元．10．今年在全球大疫情的影响下，人们更加关注身边的空气质量．某电商代理销售A 、B 两种型号的智能空气净化器，已知每台A 型智能空气净化器比每台B 型智能空气净化器的售价高300元；4台A 型的智能空气净化器的售价与5台B 型的智能空气净化器的售价相等．（1）求每台A 、B 两种智能空气净化器的售价分别多少元？（2）若卖出每台A 、B 两种智能空气净化器的利润分别为200元与150元，七月份前平均每周可以分别卖出A 、B 型号智能空气净化器18台与20台；进入七月份后，开始降价促销，A 、B 两种型号的智能空气净化器都是每降价20元平均每周可多卖4台；问该电商要得到最大利润，问每台智能空气净化器应降价多少元，最大利润多少元？ 【解答】解：（1）设每台A 、B 两种智能空气净化器的售价分别x 元和y 元， 由题意得：{4x =5y x =y +300，解得{x =1500y =1200，故每台A 、B 两种智能空气净化器的售价分别1500元和1200元；（2）设每台智能空气净化器应降价x 元，此时利润最大，设总利润为w 元， 由题意得：w ＝（18+4x20）（200﹣x ）+（20+4x20）（150﹣x ）=−25x 2+72x +6600， ∵−25＜0，故w 有最大值，此时x =−b2a=90（元），w 的最大值为9840（元）， 故每台智能空气净化器应降价90元时，最大利润为9840元．。

常规选择题2022年上海数学中考一模汇编1.已知二次函数y=(a−1)x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是( )A．a>0B．a<0C．a>1D．a<12.下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A(0,1)，那么这个函数是( )A．y=3x2B．y=3x2+1C．y=3(x+1)2D．y=3x2−x3.如图，在△ABC中，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是( )A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．ADAC =AEABD．ADAB=DEBC4.已知a⃗，b⃗⃗，c⃗都是非零向量，如果a⃗=2c⃗，b⃗⃗=−2c⃗，那么下列说法中，错误的是( )A．a⃗∥b⃗⃗B．∣a⃗∣=∣∣b⃗⃗∣∣C．a⃗+b⃗⃗=0D．a⃗与b⃗⃗方向相反5.已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于( )A．1B．4C．5D．86.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果AC=4，BC=3，那么∠A的正切值为( )A．34B．43C．35D．457.如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是( )A．y=x2+1B．y=x2−1C．y=(x+1)2D．y=(x−1)28.下列各组图形中一定是相似形的是( )A．两个直角三角形B．两个等边三角形C．两个菱形D．两个矩形9.在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，如果AD=2，BD=3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是( )A．DEBC =23B．DEBC=25C．AEAC=23D．AEAC=2510.已知e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗，那么下列结论中错误的是( )A．a⃗∥e⃗B．∣a⃗∣=3C．a⃗与e⃗方向相同D．a⃗与e⃗方向相反11.已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=15，那么下列等式正确的是( )A．sinA=817B．cosA=815C．tanA=817D．cotA=81512.已知线段MN=4cm，P是线段MN的黄金分割点，MP>NP，那么线段MP的长度等于( )A．(2√5+2)cm B．(2√5−2)cmC．(√5+1)cm D．(√5−1)cm13.已知二次函数y=−(x+3)2，那么这个二次函数的图象有( )A．最高点(3,0)B．最高点(−3,0)C．最低点(3,0)D．最低点(−3,0)14.如果将抛物线y=x2+4x+1平移，使它与抛物线y=x2+1重合，那么平移的方式可以是( )A．向左平移2个单位，向上平移4个单位B．向左平移2个单位，向下平移4个单位C．向右平移2个单位，向上平移4个单位D．向右平移2个单位，向下平移4个单位15.如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )A．mcotα−cotβ千米B．mcotβ−cotα千米C．mtanα−tanβ千米D．mtanβ−tanα千米16. 抛物线 y =x 2−1 与 y 轴交点的坐标是 ( ) A ． (−1,0)B ． (1,0)C ． (0,−1)D ． (0,1)17. 如果抛物线 y =(a +2)x 2 开口向下，那么 a 的取值范围为 ( ) A ． a >2B ． a <2C ． a >−2D ． a <−218. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，如果 AC =5，AB =13，那么 cosA 的值为 ( )A ．513B ．1213C ．125D ．51219. 如果向量 a ⃗ 与单位向量 e ⃗ 的方向相反，且长度为 3，那么用向量 e ⃗ 表示向量 a ⃗ 为 ( ) A ． a ⃗=3e ⃗ B ． a ⃗=−3e ⃗ C ． e ⃗=3a ⃗ D ． e ⃗=−3a ⃗20. 下列函数中，是二次函数的是 ( ) A ． y =2x +1 B ． y =(x −1)2−x 2 C ． y =1−x 2D ． y =1x 221. 已知抛物线 y =x 2+3 向左平移 2 个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ( ) A ． y =(x +2)2+3 B ． y =(x −2)2+3 C ． y =x 2+1D ． y =x 2+522. 已知在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，BC =5，那么 AB 的长为 ( ) A ． 5sinAB ． 5cosAC ．5sinAD ．5cosA23. 如图，在 △ABC 中，点 D 是在边 BC 上，且 BD =2CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，那么 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A ． AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+b⃗⃗ B ． AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23a ⃗+23b ⃗⃗ C ． AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗−23b⃗⃗ D ． AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+23b⃗⃗24. 如果点 D ，E 分别在 △ABC 中的边 AB 和 AC 上，那么不能判定 DE ∥BC 的比例式是 ( ) A ． AD:DB =AE:EC B ． DE:BC =AD:ABC ． BD:AB =CE:ACD ． AB:AC =AD:AE25.下列函数是二次函数的是( )A．y=x B．y=1x C．y=x−2+x2D．y=1x226.在Rt△ABC中，∠C=90∘，那么sin∠B等于( )A．ACAB B．BCABC．ACBCD．BCAC27.如图，已知BD与CE相交于点A，ED∥BC，AB=8，AC=12，AD=6，那么AE的长等于( )A．4B．9C．12D．1628.已知e⃗是一个单位向量，a⃗，b⃗⃗是非零向量，那么下列等式正确的是( )A．∣a⃗∣e⃗=a⃗B．∣e⃗∣b⃗⃗=b⃗⃗C．1∣∣a⃗⃗∣∣a⃗=e⃗D．1∣∣a⃗⃗∣∣a⃗=1∣∣b⃗⃗∣∣b⃗⃗29.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示，那么a，b，c的取值范围是( )A．a<0，b>0，c>0B．a<0，b<0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<030.已知线段a，b，如果a:b=5:2，那么下列各式中一定正确的是( )A．a+b=7B．5a=2b C．a+bb =72D．a+5b+2=131.关于二次函数y=12(x+1)2的图象，下列说法正确的是( ) A．开口向下B．经过原点C．对称轴右侧的部分是下降的D．顶点坐标是(−1,0)32. 如图，在直角坐标平面内，射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 α，如果 OA =√10，tanα=3，那么点 A 的坐标是 ( )A ． (1,3)B ． (3,1)C ． (1,√10)D ． (3,√10)33. 对于非零向量 a ⃗，b ⃗⃗，如果 2∣a ⃗∣=3∣∣b ⃗⃗∣∣，且它们的方向相同，那么用向量 a⃗ 表示向量 b ⃗⃗ 正确的是 ( ) A ． b ⃗⃗=32a ⃗B ． b ⃗⃗=23a ⃗C ． b ⃗⃗=−32a ⃗D ． b ⃗⃗=−23a ⃗34. 某同学在利用描点法画二次函数 y =ax 2+bx +c (a =0) 的图象时，先取自变量 x 的一些值，计算出相应的函数值 y ，如表所示：x⋯01234⋯y⋯−30−10−3⋯接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是 ( ) A ． {x =0,y =−3B ． {x =2,y =−1C ． {x =3,y =0D ． {x =4,y =335. 下列图形中，一定相似的是 ( ) A ．两个正方形 B ．两个菱形 C ．两个直角三角形D ．两个等腰三角形36. 如图，已知 AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线 l 1，l 2 于点 A ，D ，F 和点 B ，C ，E ，如果AD:DF =3:1，BE =10，那么 CE 等于 ( )A ．103B ．203 C ． 52D ．15237. 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，如果 ∠A =α，BC =a ，那么 AC 等于 ( ) A ． a ⋅tanαB ． a ⋅cotαC ． a ⋅sinαD ． a ⋅cosα38. 下列判断错误的是 ( )A ． 0⋅a ⃗=0⃗⃗B ．如果 a ⃗+b ⃗⃗=2c ⃗，a ⃗−b ⃗⃗=3c ⃗，其中 c ⃗≠0⃗⃗，那么 a ⃗∥b⃗⃗ C ．设 e ⃗ 为单位向量，那么 ∣e ⃗∣=1D ．如果 ∣a ⃗∣=2∣∣b ⃗⃗∣∣，那么 a⃗=2b ⃗⃗ 或 a ⃗=−2b ⃗⃗39. 如图，已知 △ABC ，D ，E 分别在边 AB ，AC 上，下列条件中，不能确定 △ADE ∽△ACB 的是( )A ． ∠AED =∠B B ． ∠BDE +∠C =180∘ C ． AD ⋅BC =AC ⋅DED ． AD ⋅AB =AE ⋅AC40. 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为 a ，b ，c ，下列等式中不成立的是( ) A ． tanB =baB ． cosB =acC ． sinA =acD ． cotA =ab41. 如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东 30∘ 方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的 ( ) A ．北偏东 30∘B ．北偏西 30∘C ．北偏东 60∘D ．北偏西 60∘42. 将二次函数 y =2(x −2)2 的图象向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得图象的函数解析式为 ( ) A ． y =2(x −2)2−4 B ． y =2(x −1)2+3 C ． y =2(x −1)2−3D ． y =2x 2−343. 已知二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么根据图象，下列判断中不正确的是 ( )A ． a <0B ． b >0C ． c >0D ． abc >044. 已知：点 C 在线段 AB 上，且 AC =2BC ，那么下列等式正确的是 ( ) A ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=43AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗C ． ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣D ． ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣45. 下列四条线段能成比例线段的是 ( )A ． 1，1，2，3B ． 1，2，3，4C ． 2，2，3，3D ． 2，3，4，546.如果a:b=3:2，且b是a，c的比例中项，那么b:c等于( )A．4:3B．3:4C．2:3D．3:247.如果△ABC中，∠C=90∘，sinA=12，那么下列等式不正确的是( )A．cosA=√22B．cotA=√3C．sinB=√32D．tanB=√348.下列关于向量的运算中，正确的是( )A．a⃗−b⃗⃗=b⃗⃗−a⃗B．−2(a⃗−b⃗⃗)=−2a⃗+2b⃗⃗C．a⃗+(−a⃗)=0D．0+a⃗=a⃗49.如果二次函数中函数值y与自变量x之间的部分对应值如表所示：x⋯−1201212⋯y⋯−34321463⋯那么这个二次函数的图象的对称轴是直线( )A．x=0B．x=12C．x=34D．x=150.某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是( )A．1:2000B．1:200C．200:1D．2000:151.将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为( )A．y=(x−1)2+2B．y=(x+1)2+2C．y=(x−1)2−2D．y=(x+1)2−252.若斜坡的坡比为1:√33，则斜坡的坡角等于( )A．30∘B．45∘C．50∘D．60∘53.如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是( )A．∠ADC=∠ACB B．ABBC =ACCDC．∠ACD=∠B D．AC2=AD⋅AB54.若a⃗=2e⃗，向量b⃗⃗和向量a⃗方向相反，且∣∣b⃗⃗∣∣=2∣a⃗∣，则下列结论中不正确的是( )A．∣a⃗∣=2B．∣∣b⃗⃗∣∣=4C．b⃗⃗=4e⃗D．a⃗=−12b⃗⃗55.抛物线y=2(x+2)2−3的顶点坐标是( )A．(2,−3)B．(−2,−3)C．(−2,3)D．(2,3)56.如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，下列条件中能够判定DE∥BC的是( )A．ADAB =DEBCB．ADBD=AEACC．BDAB=CEAED．ADAE=ABAC57.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果cosB=13，BC=a，那么AC的长是( )A．2√2a B．3a C．√10a D．√24a58.如果∣a⃗∣=2，b⃗⃗=−12a⃗，那么下列说法正确的是( )A．∣∣b⃗⃗∣∣=2∣a⃗∣B．b⃗⃗是与a⃗方向相同的单位向量C．2b⃗⃗−a⃗=0D．b⃗⃗∥a⃗59.在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是(3,2)，点B的坐标是(3,−4)．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A，B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取( )A．5B．4C．3D．260.化简(−x3)2的结果是( )A．−x6B．−x5C．x6D．x561.下列抛物线中，顶点坐标为(2,1)的是( )A．y=(x+2)2+1B．y=(x−2)2+1C．y=(x+2)2−1D．y=(x−2)2−162.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果∠A=α，AB=3，那么AC等于( )A．3sinαB．3cosαC．3sinαD．3cosα63.点P把线段AB分割成AP和PB两段，如果AP是PB和AB的比例中项，那么下列式子成立的是( )A．PBAP =√5+12B．APPB=√5−12C．PBAB=√5−12D．APAB=√5−1264.如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE与BC不平行．下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是( )A．ADAC =AEABB．ADAE=ABACC．DEBC=AEABD．DEBC=ADAC65.如果两个相似三角形对应边的比为4:5，那么它们对应中线的比是( )A．2:√5B．2:5C．4:5D．16:25 66.已知，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，则sinA的值为( )A．34B．43C．35D．4567.在平面直角坐标系中，如果把抛物线y=−2x2向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是( )A．y=−2(x+1)2B．y=−2(x−1)2C．y=−2x2+1D．y=−2x2−168.已知a⃗，b⃗⃗，c⃗都是非零向量．下列条件中，不能判定a⃗∥b⃗⃗的是( )A．∣a⃗∣=∣b⃗⃗∣B．a⃗=3b⃗⃗C．a⃗∥c⃗，b⃗⃗∥c⃗D．a⃗=2c⃗，b⃗⃗=−2c⃗69.已知某条传送带和地面所成斜坡的坡度为1:2，如果它把一物体从地面送到离地面9米高的地方，那么该物体所经过的路程是( )A．18米B．4.5米C．9√3米D．9√5米答案1. 【答案】D【解析】由题意可知a−1<0，∴a<1．2. 【答案】B【解析】当x=0时，y=3x2=0；当x=0时，y=3x2+1=1；当x=0时，y=3(x+1)2=9；当x=0时，y=3x2−x=0，∴抛物线y=3x2+1与y轴交于点(0,1)．3. 【答案】D【解析】由题意得，∠A=∠A．A．当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意；B．当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意；C．当ADAC =AEAB时，△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意；D．当ADAB =DEBC时，不能推断△ADE与△ABC相似，故选项符合题意．4. 【答案】C【解析】A．因为a⃗=2c⃗，b⃗⃗=−2c⃗，所以a⃗∥b⃗⃗，且a⃗与b⃗⃗方向相反，故本选项说法正确；B．因为a⃗=2c⃗，b⃗⃗=−2c⃗，所以∣a⃗∣=∣∣b⃗⃗∣∣=∣2c⃗∣，故选项说法正确；C．因为a⃗=2c⃗，b⃗⃗=−2c⃗，所以a⃗∥b⃗⃗，则a⃗⋅b⃗⃗=0，故本选项说法错误；D．因为a⃗=2c⃗，b⃗⃗=−2c⃗，所以a⃗∥b⃗⃗，且a⃗与b⃗⃗方向相反，故本选项说法正确．5. 【答案】B【解析】∵两圆相内切，设小圆半径为x，圆心距为2，∴3−x=2，∴x=1，∴小圆半径为1，这两圆外切时，圆心距为1+3=4．6. 【答案】A【解析】∵AC=4，BC=3，∴tanA=BCAC =34．7. 【答案】D【解析】抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向右平移1个单位得到点的坐标为(1,0)，∴所得的抛物线的表达式为y=(x−1)2．8. 【答案】B【解析】∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形．9. 【答案】D【解析】当ADDB =AEEC或ADAB=AEAC时，DE∥BD，即AEEC=23或AEAC=25．10. 【答案】C【解析】A．由e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗知：两向量方向相反，相互平行，即a⃗∥e⃗，故本选项错误；B．由a⃗=−3e⃗得到∣a⃗∣=3，故本选项错误．C．由e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗知：两向量方向相反，故本选项正确；D．由e⃗为单位向量，a⃗=−3e⃗知：两向量方向相反，故本选项错误．11. 【答案】D【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=15，∴由勾股定理可得AB=17，∴sinA=BCAB =1517，故A选项错误；cosA=ACAB =817，故B选项错误；tanA=BCAC =158，故C选项错误；cotA=ACBC =815，故D选项正确．12. 【答案】B【解析】MP=√5−12MN=√5−12×4=2√5−2(cm)．故线段MP的长度等于(2√5−2)cm．【解析】在二次函数 y =−(x +3)2 中，a =−1<0，∴ 这个二次函数的图象有最高点 (−3,0)．14. 【答案】C【解析】 ∵ 抛物线 y =x 2+4x +1=(x +2)2−3 的顶点坐标为 (−2,3)，抛物线 y =x 2+1 的顶点坐标为 (0,1)，∴ 顶点由 (−2,3) 到 (0,1) 需要向右平移 2 个单位再向上平移 4 个单位．15. 【答案】A【解析】作 PC ⊥AB 交 AB 于点 C ，如图所示．AC =PC tanα，BC =PC tanβ，∵m =AC −BC ，∴m =PC tanα−PC tanβ，∴PC =m 1tanα−1tanβ=m cotα−cotβ．16. 【答案】C【解析】当 x =0 时，y =x 2−1=−1，∴ 抛物线 y =x 2−1 与 y 轴交点的坐标为 (0,−1)．17. 【答案】D【解析】 ∵ 抛物线 y =(a +2)x 2 开口向下，∴a +2<0，∴a <−2．18. 【答案】A【解析】 ∵∠C =90∘，AC =5，AB =13，∴cosA =AC AB =513．19. 【答案】B【解析】 ∵ 向量 e ⃗ 为单位向量，向量 a ⃗ 与向量 e ⃗ 方向相反，∴a ⃗=−3e ⃗．【解析】A 、 y =2x +1 是一次函数，故此选项错误；B 、 y =(x −1)2−x 2，是一次函数，故此选项错误；C 、 y =1−x 2，是二次函数，符合题意；D 、 y =1x 2，是反比例函数，不合题意．21. 【答案】A【解析】由“左加右减”的原则可知，将抛物线 y =x 2+3 向左平移 2 个单位所得直线的解析式为：y =(x +2)2+3；故选：A ．22. 【答案】C【解析】 ∵Rt △ABC 中，∠C =90∘，BC =5，∴sinA =BC AB =5AB ．∴AB =5sinA ．23. 【答案】D【解析】 ∵BD =2CD ，∴BD =23BC ． ∵BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23b ⃗⃗． 又 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+23b⃗⃗． 故选：D ．24. 【答案】B【解析】当 AD:DB =AE:EC 时，DE ∥BC ；当 BD:AB =CE:AC 时，DE ∥BC ；当 AB:AC =AD:AE 时，则 AD:AB =AE:AC ，所以 DE ∥BC ．故选：B ．25. 【答案】C【解析】A ．y =x 属于一次函数，故本选项错误；B．y=1x的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；C．y=x−2+x2=x2+x−2，符合二次函数的定义，故本选项正确；D．y=1x2的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误．26. 【答案】A【解析】∵∠C=90∘，∴sin∠B=ACAB．27. 【答案】B【解析】∵ED∥BC，∴ABAD =ACAE，即86=12AE，∴AE=9．28. 【答案】B【解析】A．由于单位向量只限制长度，不确定方向，故本选项错误；B．符合向量的长度及方向，故本选项正确；C．得出的是a⃗的方向不是单位向量，故本选项错误；D．左边得出的是a⃗的方向，右边得出的是b⃗⃗的方向，两者方向不一定相同，故本选项错误．29. 【答案】D【解析】由图象开口可知a<0，由图象与y轴交点可知c<0，由对称轴可知−b2a<0，∴a<0，b<0，c<0．30. 【答案】C【解析】A．当a=10，b=4时，a:b=5:2，但是a+b=14，故本选项错误；B．由a:b=5:2，得2a=5b，故本选项错误；C．由a:b=5:2，得a+bb =72，故本选项正确；D．由a:b=5:2，得a+5b+2=52，故本选项错误．【解析】A．由二次函数二次函数y=12(x+1)2中a=12>0，则抛物线开口向上，故本项错误；B．当x=0时，y=12，则抛物线不过原点，故本项错误；C．由二次函数y=12(x+1)2得，开口向上，对称轴为直线x=−1，对称轴右侧的图象上升，故本项错误；D．由二次函数y=12(x+1)2得，顶点为(−1,0)，故本项正确．32. 【答案】A【解析】过点A作AB⊥x轴于点B，由于tanα=3，∴ABOB=3，设AB=3x，OB=x，∵OA=√10，∴由勾股定理可知9x2+x2=10，∴x2=1，∴x=1，∴AB=3，OB=1，∴A的坐标为(1,3)．33. 【答案】B【解析】∵2∣a⃗∣=3∣∣b⃗⃗∣∣，∴∣∣b⃗⃗∣∣=23∣a⃗∣．又∵非零向量a⃗与b⃗⃗的方向相同，∴b⃗⃗=23a⃗．34. 【答案】B【解析】由表中数据得x=0和x=4时，y=3；x=1和x=3时，y=0，它们为抛物线上的对称点，而表格中有一组数据计算错误，∴只有x=2时y=−1错误．【解析】A．两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B．两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C．两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D．两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．36. 【答案】C【解析】∵AB∥CD∥EF，∴ADDF =BCCE=3，∴BC=3CE，∵BC+CE=BE，∴3CE+CE=10，∴CE=52．37. 【答案】B【解析】cotα=ACBC，∴AC=BC⋅cotα=a⋅cotα．38. 【答案】D【解析】A、0⋅a⃗=0⃗⃗，故本选项不符合题意．B、由a⃗+b⃗⃗=2c⃗，a⃗−b⃗⃗=3c⃗得到：a⃗=52c⃗，b⃗⃗=−12c⃗，故两向量方向相反，a⃗∥b⃗⃗，故本选项不符合题意．C、e⃗为单位向量，那么∣e⃗∣=1，故本选项不符合题意．D、由∣a⃗∣=2∣∣b⃗⃗∣∣只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．39. 【答案】C【解析】A．由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；B．由∠BDE+∠C=180∘，∠ADE+∠BDE=180∘得∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；C．由AD⋅BC=AC⋅DE得ADAC =DEBC，不能判断△ADE∽△ACB；D．由AD⋅AB=AE⋅AC得ADAC =AEAB，∠A=∠A，故能确定△ADE∽△ACB．40. 【答案】D【解析】∵Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∴tanB=ba，故A选项成立；cosB=ac，故B选项成立；sinA=ac，故C选项成立；cotA=ba，故D选项不成立．41. 【答案】B【解析】∵从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30∘方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的北偏西30∘方向．42. 【答案】C【解析】由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y=2(x−2)2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，得以新的抛物线的表达式是y=2(x−2+1)2−3，即y= 2(x−1)2−3．43. 【答案】B【解析】（A）由图象的开口方向可知：a<0，故A正确；（B）由对称轴可知：x=−b2a<0，∴b<0，故B错误；（C）由图象可知：c>0，故C正确；（D）∵a<0，b<0，c>0，∴abc>0，故D正确．44. 【答案】C【解析】∵AC=2BC，∴BC=13AB，AC=23AB，∴AC +2BC =43AB ，AC −2BC =0，AC +BC =AB ，AC −BC =BC ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=3∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣．故选项ABD 等式不成立，选项C 等式正确．45. 【答案】C【解析】A 、 1:2≠1:3，则 a:b ≠c:d ，即 a ，b ，c ，d 不成比例；B 、 1:3≠2:4，则 a:b ≠c:d ．故 a ，b ，d ，c 不成比例；C 、 2:2=3:3，即 b:a =c:d ，故 b ，a ，c ，d 成比例；D 、 2:4≠3:5，则 a:b ≠c:d ，即 a ，b ，c ，d 不成比例．46. 【答案】D【解析】 ∵a:b =3:2，b 是 a 和 c 的比例中项，即 a:b =b:c ，∴b:c =3:2．47. 【答案】A【解析】设 BC =1，∵△ABC 中，∠C =90∘，sinA =12，∴AB =2，AC =√3，∴cosA =√32，故A 选项错误；cotA =√3，故B 选项正确；sinB =√32，故C 选项正确；tanB =√3，故D 选项正确．48. 【答案】B【解析】A 、 a ⃗−b ⃗⃗=−b ⃗⃗+a ⃗，故本选项错误．B 、 −2(a ⃗−b ⃗⃗)=−2a ⃗+2b⃗⃗，故本选项正确． C 、 a ⃗+(−a ⃗)=0⃗⃗，故本选项错误．D 、 0⃗⃗+a ⃗=a ⃗，故本选项错误．49. 【答案】D【解析】 ∵x =0，x =2 时的函数值都是 3 相等，∴ 此函数图象的对称轴为直线 x =0+22=1．50. 【答案】B【解析】因为2毫米=厘米，则0.2厘米:40厘米=1:200；所以这幅设计图的比例尺是1:200．51. 【答案】A【解析】将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移+2个单位长度所得的抛物线解析式为y=(x−1)2+2．52. 【答案】D【解析】∵斜坡的坡比为1:√33，设坡角为α，∴tanα=√33=√3，∴α=60∘．53. 【答案】B【解析】A．由∠ADC=∠ACB，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；B．由ABBC =ACCD不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；C．由∠ACD=∠B，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；D．由AC2=AD⋅AB，即ACAD =ABAC，且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意．54. 【答案】C【解析】A、由a⃗=2e⃗推知∣a⃗∣=2，故本选项不符合题意．B、由b⃗⃗=−4e⃗推知∣∣b⃗⃗∣∣=4，故本选项不符合题意．C、依题意得：b⃗⃗=−4e⃗，故本选项符合题意．D、依题意得：a⃗=−12b⃗⃗，故本选项不符合题意．55. 【答案】B【解析】∵y=2(x+2)2−3，∴抛物线的顶点坐标是(−2,−3)．56. 【答案】D【解析】A．由ADAB =DEBC，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；B．由ADBD =AEAC，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；C．由BDAB =CEAE，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；D．由ADAE =ABAC，能得到DE∥BC，故本选项符合题意．【解析】∵cosB=13，BC=a，∴AB=3a，∵∠C=90∘，∴Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=√(3a)2−a2=2√2a．58. 【答案】D【解析】A、由b⃗⃗=−12a⃗得到∣∣b⃗⃗∣∣=12∣a⃗∣=1，故本选项说法错误．B、由b⃗⃗=−12a⃗得到b⃗⃗是与a⃗的方向相反，故本选项说法错误．C、由b⃗⃗=−12a⃗得到2b⃗⃗+a⃗=0⃗⃗，故本选项说法错误．D、由b⃗⃗=−12a⃗得到b⃗⃗∥a⃗，故本选项说法正确．59. 【答案】B【解析】∵点A的坐标是(3,2)，点B的坐标是(3,−4)，∴OA=√32+22=√13，OB=√32+42=5，∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A，B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，∴√13<r<5，∴r=4符合要求．60. 【答案】C【解析】原式=x6．61. 【答案】B【解析】y=(x+2)2+1的顶点坐标是(−2,1)，故选项A不符合题意，y=(x−2)2+1的顶点坐标是(2,1)，故选项B符合题意，y=(x+2)2−1的顶点坐标是(−2,−1)，故选项C不符合题意，y=(x−2)2−1的顶点坐标是(2,−1)，故选项D不符合题意，故选：B．【解析】∵∠A=α，AB=3，∴cosα=ACAB，∴AC=AB⋅cosα=3cosα．63. 【答案】D【解析】∵点P把线段AB分割成AP和PB两段，AP是PB和AB的比例中项，∴根据线段黄金分割的定义得：APAB =√5−12．64. 【答案】A【解析】在△ADE与△ACB中，∵ADAC =AEAB，且∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．65. 【答案】C【解析】∵两个相似三角形对应边的比为4:5，∴它们对应中线的比为4:5．66. 【答案】D【解析】由勾股定理得AB=√AC2+BC2=√32+42=5，sinA=BCAB =45．67. 【答案】C【解析】把抛物线y=−2x2向上平移1个单位，则得到的抛物线的表达式是：y=−2x2+1．68. 【答案】A【解析】A．∣a⃗∣=∣b⃗⃗∣只能说明a⃗与b⃗⃗的模相等，不能判定a⃗∥b⃗⃗，故本选项符合题意．B．a⃗=3b⃗⃗说明a⃗与b⃗⃗的方向相同，能判定a⃗∥b⃗⃗，故本选项不符合题意．C．a⃗∥c⃗，b⃗⃗∥c⃗，能判定a⃗∥b⃗⃗，故本选项不符合题意．D．a⃗=2c⃗，b⃗⃗=−2c⃗说明a⃗与b⃗⃗的方向相反，能判定a⃗∥b⃗⃗，故本选项不符合题意．69. 【答案】D【解析】如图：由题意得：斜坡AB的坡度：i=1:2，AE=9米，AE⊥BD，∵i=AEBE =12，∴BE=18米，∴在Rt△ABE中，AB=√AE2+BE2=9√5（米）．。

常规选择题2022年上海数学中考一模汇编1.下列函数中是二次函数的是( )A．y=2x2B．y=(x+3)2−x2C．y=√x2+2x−1D．y=x(x−1)2.如图，已知在平面直角坐标系xOy内有一点A(2,3)，那么OA与x轴正半轴的夹角α的余切值是( )A．32B．23C．3√1313D．2√13133.将抛物线y=(x+1)2−3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为( )A．y=(x−1)2−3B．y=(x+3)2−3C．y=(x+1)2−1D．y=(x+1)2−54.下列命题正确的是( )A．如果∣a⃗∣=∣∣b⃗⃗∣∣，那么a⃗=b⃗⃗B．如果a⃗，b⃗⃗都是单位向量，那么a⃗=b⃗⃗C．如果a⃗=kb⃗⃗(k≠0)，那么a⃗∥b⃗⃗D．如果m=0或a⃗=0⃗⃗，那么ma⃗=05.已知在矩形ABCD中，AB=5，对角线AC=13．⊙C的半径长为12，下列说法正确的是( )A．⊙C与直线AB相交B．⊙C与直线AD相切C．点A在⊙C上D．点D在⊙C内6.已知a=√x+√y，b=√x−√y，那么ab的值为( )A．2√x B．2√y C．x−y D．x+y7.已知点P在线段AB上，且AP:PB=2:3，那么AB:PB为( )A．3:2B．3:5C．5:2D．5:38. 在 △ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD:DB =4:5，下列结论中正确的是 ( ) A ． DE BC =45B ． BC DE =94C ． AE AC =45D ． EC AC =549. 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为 a ，b ，c ，如果 a =3b ，那么 ∠A 的余切值为 ( ) A ． 13B ． 3C ．√24D ．√101010. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，下列式子中正确的是 ( )A ． DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+b ⃗⃗B ． DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗−b⃗⃗C ． DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−a ⃗+b⃗⃗ D ． DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−a ⃗−b⃗⃗11. 已知 xy =35，那么下列等式中，不一定正确的是 ( ) A ． 5x =3y B ． x +y =8 C ．x+y y=85D ． x y =x+3y+512. 下列二次函数中，如果函数图象的对称轴是 y 轴，那么这个函数是 ( ) A ． y =x 2+2x B ． y =x 2+2x +1 C ． y =x 2+2D ． y =(x −1)213. 已知在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，sinA =13，那么下列说法中正确的是 ( ) A ． cosB =13B ． cotA =13C ． tanA =2√23D ． cotB =2√2314. 下列说法中，正确的是 ( ) A ．如果 k =0，a ⃗ 是非零向量，那么 ka ⃗=0 B ．如果 e ⃗ 是单位向量，那么 e ⃗=1C ．如果 ∣∣b ⃗⃗∣∣=∣a ⃗∣，那么 b ⃗⃗=a ⃗ 或 b ⃗⃗=−a ⃗D ．已知非零向量 a ⃗，如果向量 b ⃗⃗=−5a ⃗，那么 a ⃗∥b⃗⃗15. 如果二次函数 y =(x −m )2+n 的图象如图所示，那么一次函数 y =mx +n 的图象经过( )A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限16.若cosα=12，则锐角α的度数是( )A．30∘B．45∘C．60∘D．90∘17.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果BC=2，tanB=2，那么AC=( )A．1B．4C．√5D．2√518.抛物线y=3(x+1)2+1的顶点所在象限是( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限19.已知抛物线y=x2经过A(−2,y1)，B(1,y2)两点，在下列关系式中，正确的是( )A．y1>0>y2B．y2>0>y1C．y1>y2>0D．y2>y1>0 20.已知a⃗，b⃗⃗和c⃗都是非零向量，在下列选项中，不能判定a⃗∥b⃗⃗的是( )A．∣a⃗∣=∣∣b⃗⃗∣∣B．a⃗∥c⃗，b⃗⃗∥c⃗C．a⃗+b⃗⃗=0D．a⃗+b⃗⃗=2c⃗，a⃗−b⃗⃗=3c⃗21.如果两个相似三角形对应边之比是1:2，那么它们的对应高之比是( )A．1:2B．1:4C．1:6D．1:822.如图，DE∥AB，如果CE:AE=1:2，DE=3，那么AB等于( )A．6B．9C．12D．1323.在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=1，AB=3，则下列结论正确的是( )A．sinB=√24B．cosB=√24C．tanB=√24D．cotB=√2424. 已知非零向量 a ⃗，b ⃗⃗，且有 a ⃗=−2b ⃗⃗，下列说法中，不正确的是 ( ) A ． ∣a ⃗∣=2∣∣b ⃗⃗∣∣ B ． a ⃗∥b ⃗⃗C ． a ⃗ 与 b⃗⃗ 方向相反 D ． a ⃗+2b⃗⃗=025. 如图，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，点 G 在线段 AD 上，GE ∥BD ，且交 AB 于点 E ，GF ∥AC ，且交 CD 于点 F ，则下列结论一定正确的是 ( )A ．AE AB=CF CDB ．AE EB=DF FCC ．EG BD=FG ACD ．AE AG=AD AB26. 下列选项中的两个图形一定相似的是 ( ) A ．两个等腰三角形 B ．两个矩形 C ．两个菱形D ．两个正五边形27. 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，AB =10，AC =8．下列四个选项，不正确是 ( ) A ． sinA =45B ． cosA =45C ． tanA =34D ． cotA =4328. 如果 A (−2,n )，B (2,n )，C (4,n +12) 这三个点都在同一个函数的图象上，那么这个函数的解析式可能是 ( ) A ． y =2xB ． y =−2xC ． y =−x 2D ． y =x 229. 如图，在平行四边形 ABCD 中，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b⃗⃗，那么向量 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可以表示为 ( )A ． 12a ⃗+12b⃗⃗ B ． 12a ⃗−12b⃗⃗ C ． −12a ⃗+12b⃗⃗ D ． −12a ⃗−12b⃗⃗30.三角形的重心是( )A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平分线的交点31.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果BC=5，AB=13，那么sinA的值为( )A．513B．512C．1213D．12532.下列函数中，是二次函数的是( )A．y=2x−1B．y=2x2C．y=x2+1D．y=(x−1)2−x233.抛物线y=x2−4x+5的顶点坐标是( )A．(−2,1)B．(2,1)C．(−2,−1)D．(2,−1)34.如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是( )A．ADBD =AECEB．ADAB=DEBCC．ABBD=ACCED．ADAB=AEAC35.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为( )A．3√10米B．2√10米C．√10米D．9米36.已知线段a，b，c，如果a:b:c=1:2:3，那么a+bc+b的值是( )A．13B．23C．35D．5337. 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，如果 ∠A 的正弦值是 14，那么下列各式正确的是 ( )A ． AB =4BC B ． AB =4AC C ． AC =4BCD ． BC =4AC38. 已知点 C 在线段 AB 上，AC =3BC ，如果 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，那么 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用 a ⃗ 表示正确的是 ( ) A ． 34a ⃗B ． −34a ⃗C ． 43a ⃗D ． −43a ⃗39. 下列命题中，真命题是 ( ) A ．邻边之比相等两个平行四边形一定相似 B ．邻边之比相等的两个矩形一定相似 C ．对角线之比相等的两个平行四边形一定相似 D ．对角线之比相等的两个矩形一定相似40. 已知抛物线 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表：x⋯01345⋯y ⋯−57272−5−152⋯根据如表，下列判断正确的是 ( )A ．该抛物线开口向上B ．该抛物线的对称轴是直线 x =1C ．该抛物线一定经过点 (−1,−152) D ．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的41. 下列各组图形一定相似的是 ( ) A ．两个菱形 B ．两个矩形 C ．两个直角梯形 D ．两个正方形42. 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，如果 AC =8，BC =6，那么 ∠B 的余切值为 ( )A ． 34B ． 43 C ． 35D ． 4543. 抛物线 y =−3(x +1)2+2 的顶点坐标是 ( ) A ． (1,2) B ． (1,−2) C ． (−1,2)D ． (−1,−2)44. 已知 c ⃗ 为非零向量，a ⃗=3c ⃗，b ⃗⃗=−2c ⃗，那么下列结论中错误的是 ( ) A ． a ⃗∥b⃗⃗ B ． ∣a ⃗∣=32∣∣b ⃗⃗∣∣C ． a ⃗ 与 b⃗⃗ 方向相同 D ． a ⃗ 与 b⃗⃗ 方向相反45.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的( )A．M B．P C．Q D．R46.符号sinA表示( )A．∠A的正弦B．∠A的余弦C．∠A的正切D．∠A的余切47.二次函数y=1−2x2的图象的开口方向( )A．向左B．向右C．向上D．向下48.直角梯形ABCD如图放置，AB，CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA=67∘，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的( )A．俯角67∘方向B．俯角23∘方向C．仰角67∘方向D．仰角23∘方向49.已知a⃗，b⃗⃗为非零向量，如果b⃗⃗=−5a⃗，那么向量a⃗与b⃗⃗的方向关系是( )A．a⃗∥b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向一致B．a⃗∥b⃗⃗，并且a⃗和b⃗⃗方向相反C．a⃗和b⃗⃗方向互相垂直D．a⃗和b⃗⃗之间夹角的正切值为550.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为( )A．π+√3B．π−√3C．2π−√3D．2π−2√351.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是( )A．a>0，b>0，c>0B．a<0，b<0，c<0C．a<0，b>0，c>0D．a<0，b<0，c>052.如果点A(1,3)，B(m,3)是抛物线y=a(x−2)2+ℎ上两个不同的点，那么m的值为( )A．2B．3C．4D．553.在以O为坐标原点的直角坐标平面内，有一点A(3,4)，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么cosα的值为( )A．35B．43C．45D．3454.下列两个三角形不一定相似的是( )A．两条直角边比都是2:3的两个直角三角形B．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形C．有一个内角为50∘的两个直角三角形D．有一个内角为50∘的两个等腰三角形55.如果a⃗+b⃗⃗=c⃗，a⃗−b⃗⃗=3c⃗，且c⃗≠0⃗⃗，下列结论正确的是( )A．∣a⃗∣=∣∣b⃗⃗∣∣B．a⃗+2b⃗⃗=0C．a⃗与b⃗⃗方向相同D．a⃗与b⃗⃗方向相反56.下列四条线段中，不能成比例的是( )A．a=4，b=8，c=5，d=10B．a=2，b=2√5，c=√5，d=5C．a=1，b=2，c=3，d=4D．a=1，b=2，c=2，d=457.把抛物线y=−2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是( )A．y=−2(x+1)2+1B．y=−2(x−1)2+1C．y=−2(x−1)2−1D．y=−2(x+1)2−158.如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1:2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为( )A．5米B．5√3米C．2√5米D．4√5米59.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，下列条件中：① ∠ADE=∠C；② AEAB =DEBC；③ ADAC =AEAB．使△ADE与△ACB一定相似的是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③60.下列判断错误的是( )A．0⋅a⃗=0⃗⃗B．如果a⃗+b⃗⃗=2c⃗，a⃗−b⃗⃗=3c⃗，其中c⃗≠0⃗⃗，那么a⃗∥b⃗⃗C．设e⃗为单位向量，那么∣e⃗∣=1D．如果∣a⃗∣=2∣b⃗⃗∣，那么a⃗=2b⃗⃗或a⃗=−2b⃗⃗61.下列各数中，无理数是( )A．−√4B．912C．√93D．22762.不等式−2x>3的解集是( )A．x>−23B．x<−23C．x>−32D．x<−3263.下列方程中，有实数根的是( )A．√x−1=−x B．√x−1+√x=0C．xx2−1=1x2−1D．x2+2022x−1=064.已知反比例函数y=kx，当x>0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y=2kx2−x−k图象的选项是( )A．B．C．D．65.要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是( )A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否互相垂直D．测量其中三个角是否是直角66.已知二次函数y=−x2+2x−3，那么下列关于该函数的判断正确的是( )A．该函数图象有最高点(0,−3)B．该函数图象有最低点(0,−3)C．该函数图象在x轴的下方D．该函数图象在对称轴左侧是下降的67.如图，AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，那么下列结论正确的是( )A．DF=154B．EF=154C．CD=154D．BF=15468.线段AB内一点P，且AP2=AB⋅BP，AB=1，则AP=( )A．√5+12B．3−√52C．√5−12D．3+√5269.在Rt△ABC中，∠B=90∘，BC=3，AC=5，那么下列结论正确的是( )A．sinA=34B．cosA=45C．cotA=54D．tanA=4370.跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60∘，那么此时小李离着落点A的距离是( )A．200米B．400米C．2003√3米D．4003√3米71.将抛物线y=x2向左平移1个单位，所得抛物线解析式是( )A．y=(x−1)2B．y=(x+1)2C．y=x2+1D．y=x2−172.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果AC=2，cosA=34，那么AB的长是( )A．52B．83C．103D．23√773.已知a⃗，b⃗⃗和c⃗都是非零向量，下列结论中不能判定a⃗∥b⃗⃗的是( )A．a⃗∥c⃗，b⃗⃗∥c⃗B．a⃗=12c⃗，b⃗⃗=2c⃗C．a⃗=2b⃗⃗D．∣a⃗∣=∣∣b⃗⃗∣∣74.如图，在6×6的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点A，B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M，N，那么AM:MN:NB的值是( )A．3:5:4B．3:6:5C．1:3:2D．1:4:275.广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y=−32x2+6x(0≤x≤4)，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是( )A．1米B．2米C．5米D．6米76.已知xy =35，那么下列等式中，不一定正确的是( )A．5x=3y B．x+y=8C．x+yy =85D．xy=x+3y+577.已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，sinA=13，那么下列说法中正确的是( )A．cosB=13B．cotA=13C．tanA=2√33D．cotB=2√2378.若a⃗，b⃗⃗为非零向量，满足∣∣a⃗+b⃗⃗∣∣=∣a⃗∣+∣∣b⃗⃗∣∣，则( )A．a⃗与b⃗⃗的长度必相等B．a⃗∥b⃗⃗C．a⃗与b⃗⃗相等D．a⃗与b⃗⃗的方向相同答案1. 【答案】D【解析】二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，y=x(x−1)=x2−x．2. 【答案】B【解析】过点A作AB⊥x轴，垂足为B，则OB=2，AB=3，在Rt△OAB中，cot∠AOB=cotα=OBAB =23．3. 【答案】A【解析】∵将抛物线y=(x+1)2−3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y=(x+1−2)2−3=(x−1)2−3．4. 【答案】C【解析】A．向量是既有大小又有方向，∣a⃗∣=∣∣b⃗⃗∣∣表示有向线段的长度，a⃗=b⃗⃗表示长度相等，方向相同，所以A选项不正确；B．长度等于1的向量是单位向量，所以B选项不正确；C. a⃗=kb⃗⃗(k≠0)⇔a⃗∥b⃗⃗，所以C选项正确；D．如果m=0或a⃗=0⃗⃗，那么ma⃗=0，不正确．故选：C．5. 【答案】D【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=13，AB=5，∴BC=√AC2−AB2=√132−52=12，∵⊙C的半径长为12，∴⊙C与直线AB相切，故A选项不正确．∵CD=AB=5<12，∴⊙C与直线AD相交，故B选项不正确．∵AC=13>12，∴点A在⊙C外，故C选项不正确．∵CD=5<12，∴点D在⊙C内，故D选项正确．6. 【答案】C【解析】∵a=√x+√y，b=√x−√y，∴ab=(√x+√y)(√x−√y)=x−y．7. 【答案】D【解析】由题意AP:PB=2:3，AB:PB=(AP+PB):PB=(2+3):3=5:3．8. 【答案】B【解析】如图所示：∵AD:DB=4:5，∴ADAB =49，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC =DEBC=ADAB=49，∴BCDE =94．9. 【答案】A【解析】 ∵ 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为 a ，b ，c ，a =3b ， ∴cotA =b a =13．10. 【答案】C【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB =CD ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−a ⃗+b⃗⃗．11. 【答案】B【解析】A 、由比例的性质得到 3y =5x ，故本选项不符合题意．B 、根据比例的性质得到 x +y =8k （k 是正整数），故本选项符合题意．C 、根据合比性质得到x+y y =85，故本选项不符合题意． D 、根据等比性质得到x y =x+3y+5，故本选项不符合题意．12. 【答案】C【解析】二次函数的对称轴为 y 轴，则函数对称轴为 x =0，即函数解析式 y =ax 2+bx +c 中，b =0，故选：C ．13. 【答案】A【解析】在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，sinA =13，则 cosA =√1−sin 2A =√1−19=2√23． A 、 cosB =sinA =13，故本选项符合题意．B 、 cotA =cosA sinA=2√2313=2√2．故本选项不符合题意． C 、 tanA =sinA cosA =132√23=√24．故本选项不符合题意． D 、 cotB =tanA =√24．故本选项不符合题意． 故选：A ．14. 【答案】D 【解析】A 、如果 k =0，a ⃗ 是非零向量，那么 ka ⃗=0，错误，应该是 ka ⃗=0⃗⃗．B、如果e⃗是单位向量，那么e⃗=1，错误．应该是∣e⃗∣=1．C、如果∣∣b⃗⃗∣∣=∣a⃗∣，那么b⃗⃗=a⃗或b⃗⃗=−a⃗，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量a⃗，如果向量b⃗⃗=−5a⃗，那么a⃗∥b⃗⃗，正确．故选：D．15. 【答案】B【解析】根据题意得：抛物线的顶点坐标为(m,n)，且在第四象限，∴m>0，n＜0，则一次函数y=mx+n经过第一、三、四象限．故选：B．16. 【答案】C，【解析】∵cosα=12∴α=60∘．17. 【答案】B【解析】如图，在Rt∠ACB中，∵∠C=90∘，=2，∴tanB=ACBC=2，∴AC2∴AC=4．18. 【答案】B【解析】∵抛物线y=3(x+1)2+1，∴该抛物线的顶点是(−1,1)，在第二象限．19. 【答案】C【解析】∵抛物线y=x2，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴A(−2,y1)关于y轴对称点的坐标为(2,y1)．又∵0<1<2，∴y1>y2>0．20. 【答案】A【解析】A．该等式只能表示两a⃗，b⃗⃗的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；B．由a⃗∥c⃗，b⃗⃗∥c⃗可以判定a⃗∥b⃗⃗，故本选项不符合题意．C．由a⃗+b⃗⃗=0可以判定a⃗，b⃗⃗的方向相反，可以判定a⃗∥b⃗⃗，故本选项不符合题意．D．由a⃗+b⃗⃗=2c⃗，a⃗−b⃗⃗=3c⃗得到a⃗=52c⃗，b⃗⃗=−12c⃗，则a⃗，b⃗⃗的方向相反，可以判定a⃗∥b⃗⃗，故本选项不符合题意．21. 【答案】A【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1:2，又∵相似三角形的对应高的比、中线、角平分线的比都等于相似比，∴它们的对应高之比是：1:2．22. 【答案】B【解析】∵CE:AE=1:2，∴CE:CA=1:3，∵DE∥AB，∴DEAB =CECA=13，∵DE=3，∴AB=3DE=9．23. 【答案】C【解析】如图所示：∵Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=1，AB=3，∴BC=√AB2−AC2=√32−12=2√2，∴sinB=ACAB =13，cosB=BCAB =2√23，tanB=ACBC =2√2=√24，cotB=BCAC =2√21=2√2．24. 【答案】D【解析】A．∵a⃗=−2b⃗⃗，表明向量a⃗与−2b⃗⃗是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∴∣a⃗∣=2∣∣b⃗⃗∣∣，该选项不符合题意错误；B．∵a⃗=−2b⃗⃗，表明向量a⃗与−2b⃗⃗是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然−2b⃗⃗与b⃗⃗方向相反，但还是相互平行，∴a⃗∥b⃗⃗，该选项不符合题意错误；C．∵a⃗=−2b⃗⃗，而−2b⃗⃗与b⃗⃗方向相反，∴a⃗与b⃗⃗的方向相反，该选项不符合题意错误；D．∵0只表示数量，不表示方向，而a⃗+2b⃗⃗是两个矢量相加是带方向的，应该是a⃗+2b⃗⃗=0⃗⃗，该选项符合题意正确．25. 【答案】A【解析】∵GE∥BD，∴AEAB =AGAD，∵GF∥AC，∴CFCD =AGAD，∴AEAB =CFCD，A选项正确；∵GE∥BD，∴AEEB =AGGD，∵GF∥AC，∴AGGD =CFFD，∴AEEB =CFFD，B选项错误；∵GE∥BD，∴EGBD =AGAD，∵GF∥AC，∴GFAC =DGAD，∴EGBD ≠GFAC，C选项错误；∵GE∥BD，∴AEAG =ABAD，D选项错误．26. 【答案】D【解析】A.两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确；B.两个矩形虽然角度相等，但是边不一定对应成比例，故不一定相似，故B 不正确；C.两个平行菱形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故C 不正确；D.两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故D 正确；故选择D ．27. 【答案】A【解析】A 、 sinA =BC AB =35，故该选项错误；B 、 cosA =AC AB=45，故该选项正确； C 、 tanA =BC AC =34，故该选项正确；D 、 cotA =AC BC =43，故该选项正确．故选A ．28. 【答案】D【解析】 ∵A (−2,n )，B (2,n )，∴ 点 A 与点 B 关于 y 轴对称．∵y =2x ，y =−2x 的图象都关于原点对称， ∴ 选项A ，B 错误；∵ 由 B (2,n )，C (4,n +12) 得，在对称轴右侧 y 随 x 增大而增大，∴a >0，∴ 选择D ：y =x 2．29. 【答案】A【解析】由题意可得OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12(a ⃗+b⃗⃗)=12a ⃗+12b ⃗⃗.30. 【答案】A31. 【答案】A【解析】如图：在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，BC =5，AB =13，sinA =BC AB =513．32. 【答案】C【解析】A．y=2x−1是一次函数，故A选项错误；B．y=2x2右边不是整式，不是二次函数，故B选项错误；C．y=x2+1右边是整式，自变量最高次数是2，是二次函数，故C选项正确；D．y=(x−1)2−x2整理为y=−2x+1是一次函数，故D选项错误．33. 【答案】B【解析】∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴顶点坐标为(2,1)．34. 【答案】B【解析】A、∵ADBD =AECE，∴DE∥BC，不符合题意；B、由ADAB =DEBC，不一定能推出DE∥BC，符合题意；C、∵ABBD =ACCD，∴DE∥BC，不符合题意；D、∵ADAB =AEAC，∴DE∥BC，不符合题意．35. 【答案】A【解析】设BC⊥AC，垂足为C，∵i=BC:AC=1:3，∴3:AC=1:3，∴AC=9，在Rt△ACB中，由勾股定理得AB=√AC2+BC2=√92+32=3√10．∴AB=3√10米．36. 【答案】C【解析】∵a:b:c=1:2:3，∴设a=k，b=2k，c=3k(k≠0)，∴a+bc+b =k+2k3k+2k=3k5k=35．37. 【答案】A【解析】 ∵ 在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，∠A 正弦值是 14， ∴sinA =BC AB =14， ∴AB =4BC ．38. 【答案】D【解析】 ∵ 点 C 在线段 AB 上，AC =3BC ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，∴BA =43AC ，∵BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−43a ⃗．39. 【答案】B【解析】 ∵ 邻边之比相等的两个平行四边形，对应角不一定相等，∴ 邻边之比相等的两个平行四边形不一定相似，故A 错误；∵ 邻边之比相等的两个矩形一定相似，故B 正确；∵ 对角线之比相等的两个平行四边形对应角不一定相等，∴ 对角线之比相等的两个平行四边形不一定相似，故C 错误；∵ 对角线之比相等的两个矩形，对应边之比不一定相等，∴ 对角线之比相等的两个矩形不一定相似，故D 错误．40. 【答案】C【解析】因为抛物线 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 过点 (1,72)，(3,72)，所以抛物线的对称轴是：直线 x =2，故B 错误；因为由表格可知：当 x ≤2 时，y 随 x 的增大而增大，所以该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A ，D 错误；因为该抛物线的对称轴是：直线 x =2，点 (5,−152) 在抛物线上， 所以该抛物线一定经过点 (−1,−152)， 故C 正确．41. 【答案】D【解析】A.任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；B.任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；C.任意两个直角梯形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；D.任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意．42. 【答案】A【解析】如图，在Rt△ABC中，∵∠C=90∘，AC=8，BC=6，∴cotB=BCAC =68=34．43. 【答案】C【解析】∵y=−3(x+1)2+2，∴顶点为(−1,2)．44. 【答案】C【解析】∵a⃗=3c⃗，b⃗⃗=−2c⃗，∴a⃗=−32b⃗⃗，∴a⃗∥b⃗⃗，∣a⃗∣=−32∣∣b⃗⃗∣∣，a⃗与b⃗⃗方向相反，∴A，B，D正确，C错误．45. 【答案】C【解析】作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图．它们都经过Q，∴点Q为这条圆弧所在圆的圆心．46. 【答案】A【解析】符号sinA表示∠A的正弦．47. 【答案】D【解析】∵二次函数y=1−2x2中−2<0，∴图象开口向下．48. 【答案】D【解析】∵BC⊥AB，∠BCA=67∘，∴∠BAC=90∘−∠BCA=23∘，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23∘方向．49. 【答案】B【解析】∵已知a⃗，b⃗⃗为非零向量，如果b⃗⃗=−5a⃗，∴a⃗∥b⃗⃗，a⃗与b⃗⃗的方向相反．50. 【答案】D【解析】过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60∘，∵AD⊥BC，∴BD=CD=1，AD=√3BD=√3，∴△ABC的面积为12BC⋅AD=12×2×√3=√3，S扇形BAC =60π×22360=23π，∴莱洛三角形的面积S=3×23π−2×√3=2π−2√3．51. 【答案】C【解析】抛物线开口向下a<0；对称轴在y轴右侧，b>0（与a异号）；图象交y正半轴，c>0．52. 【答案】B【解析】∵点A(1,3)，B(m,3)是抛物线y=a(x−2)2+ℎ上两个不同的点，∴这两个点关于抛物线的对称轴对称，∴由顶点式可知对称轴是x=2，对称轴位于A点的右侧，∴2<m，∴1+m2=2，解之得：m=3．53. 【答案】A【解析】∵在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A(3,4)，∴OA=√32+42=5，．∴cosα=3554. 【答案】D【解析】A．两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；B．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；C．有一个内角为50∘的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；D．有一个内角为50∘的两个等腰三角形，内角是50∘的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似．55. 【答案】D【解析】将a⃗+b⃗⃗=c⃗代入a⃗−b⃗⃗=3c⃗，计算得：a⃗=−2b⃗⃗（方向相反）．56. 【答案】C【解析】A、4×10=5×8，能成比例；B、2×5=2√5×√5，能成比例；C、1×4≠2×3，不能成比例；D、1×4=2×2，能成比例．故选C．57. 【答案】B【解析】∵函数y=−2x2的顶点为(0,0)，∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位顶点为(1,1)，∴将函数y=−2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+1．58. 【答案】C【解析】作BC⊥地面于点C．设BC=x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1:2，∴AC=2x米，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即(2x)2+x2=102，解得x=2√5，即BC=2√5米．59. 【答案】C60. 【答案】D【解析】A、0⋅a⃗=0⃗⃗，故本选项不符合题意．B、由a⃗+b⃗⃗=2c⃗，a⃗⋅b⃗⃗=3c⃗得到：a⃗=52c⃗，b⃗⃗=−12c⃗，故两向量方向相反，a⃗∥b⃗⃗，故本选项不符合题意．C、e⃗为单位向量，那么∣e⃗∣=1，故本选项不符合题意．D、由∣a⃗∣=2∣∣b⃗⃗∣∣只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项符合题意．61. 【答案】C【解析】A．−√4=−2，是整数，属于有理数；B．912，是分数，属于有理数；C．√93是无理数；D．227是分数，属于有理数．故选：C．62. 【答案】D【解析】不等式的两边同时除以−2得，x<−32．故选：D．63. 【答案】D【解析】∵√x−1≥0，x−1≥0，∴x≥1，∴−x<0，∴√x−1≠−x，∴A不正确；∵√x−1≥0，√x≥0，当x=1时，√x−1+√x有最小值1，∴√x−1+√x≥1，∴B不正确；x x2−1=1x2−1两边同时乘以x2−1，得x=1，经检验x=1是方程的增根，∴方程无解；∴C不正确；x2+2022x−1=0，∵Δ=20222+4>0，∴方程有两个不相等的实数根，∴D正确．64. 【答案】D【解析】∵反比例函数y=kx，当x>0时，y的值随x的值增大而增大，∴k<0，∴二次函数y=2kx2−x−k中，2k<0，则图象开口向下，−k>0，则图象与y轴交在正半轴上，又∵b=−1<0，∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y轴左侧，符合题意的只有选项D．65. 【答案】D【解析】∵对角线相互平分的四边形是平行四边形，故A错误；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B错误；∵对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故C错误；∵三个角是直角的四边形是矩形，故D正确；∴在这四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．66. 【答案】C【解析】∵二次函数y=−x2+2x−3=−(x−1)2−2，∴该函数图象有最高点(1,−2)，故选项A错误，选项B错误；该函数图象在x轴下方，故选项C正确；该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误．67. 【答案】D【解析】∵AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，∴ACCE =BDDF，即25−2=1.5DF，解得：DF=94．∴BF=BD+DF=94+32=154．68. 【答案】C【解析】设AP=x，则BP=1−x，∵AP2=AB⋅BP，∴x 2=1−x ，解得：x 1=−√5−12（舍去），x 2=√5−12． 故选C ．69. 【答案】B【解析】如图所示：∵∠ACB =90∘，BC =3，AC =5，∴AB =4，∴sinA =BC AC =35，故选项A 错误；cosA =AB AC =45，故选项B 正确；cotA =AB BC =43，故选项C 错误；tanA =BC AB =34，故选项D 错误．70. 【答案】D【解析】根据题意，此时小李离着落点 A 的距离是 200sin30∘=400√33．71. 【答案】B【解析】抛物线 y =x 2 向左平移 1 个单位得到 y =(x +1)2．72. 【答案】B【解析】 ∵cosA =AC AB =34，∴AB =AC ⋅43=83．73. 【答案】D【解析】A.因为 a ⃗∥c ⃗，b ⃗⃗∥c ⃗，所以 a ⃗∥b ⃗⃗，故本选项错误；B.因为 a ⃗=12c ⃗，b ⃗⃗=2c ⃗，所以 a ⃗∥b ⃗⃗，故本选项错误.C.因为 a ⃗=2b ⃗⃗，所以 a ⃗∥b⃗⃗，故本选项错误； D.因为 ∣a ⃗∣=∣∣b ⃗⃗∣∣，所以 a⃗ 与 b ⃗⃗ 的模相等，但不一定平行，故本选项正确； 故选：D ．74. 【答案】C【解析】如图，过 A 点作 AE ⊥BE ，交于点 E ，C ，D 为两个格点，连接 MC ，ND ，∵ 正方形网格中均为小正方形，AE ⊥MC ，AE ⊥ND ，∴MC ∥ND ∥BE ，∴AM:MN:NB =AC:CD:DE =1:3:2．75. 【答案】B【解析】 ∵y =−32x 2+6x =−32(x 2−4x )=−32[(x −2)2−4]=−32(x −2)2+6，∴ 当 x =2 时，y 有最大值，∴ 水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是 2．76. 【答案】B【解析】A 、由比例的性质得到 3y =5x ，故本选项不符合题意．B 、根据比例的性质得到 x +y =8k （k 是正整数），故本选项符合题意．C 、根据合比性质得到 x+y y=85，故本选项不符合题意． D 、根据等比性质得到 x y =x+3y+5，故本选项不符合题意．故选：B ．77. 【答案】A【解析】在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，sinA =13，则 cosA =√1−sin 2A =√1−19=2√23．A 、 cosB =sinA =13，故本选项符合题意． B 、 cotA =cosA sinA =2√2313=2√2．故本选项不符合题意．C、tanA=sinAcosA =132√23=√24．故本选项不符合题意．D、cotB=tanA=√24．故本选项不符合题意．故选：A．78. 【答案】D【解析】因为∣∣a⃗+b⃗⃗∣∣=∣a⃗∣+∣∣b⃗⃗∣∣，所以∣∣a⃗+b⃗⃗∣∣2=∣a⃗∣2+∣∣b⃗⃗∣∣2+2a⃗b⃗⃗=∣a⃗∣2+∣∣b⃗⃗∣∣2+2∣a⃗∣∣∣b⃗⃗∣∣cosθ；(∣a⃗∣+∣∣b⃗⃗∣∣)2=∣a⃗∣2+2∣a⃗∣∣∣b⃗⃗∣∣+∣∣b⃗⃗∣∣2，所以cosθ=1，即θ=0，其中θ是向量a⃗，b⃗⃗之间的夹角．。