第十一章-无穷级数(习题及解答)

第十一章 无穷级数一、选择题1、无穷级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ，是该无穷级数收敛的 C 条件。

A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 2、无穷级数∑∞=1n nu的一般项n u 趋于零，是该级数收敛的 C 条件。

A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 3、若级数∑∞=1n nu发散，常数0≠a ，则级数∑∞=1n nauBA 、一定收敛B 、一定发散C 、当0>a 收敛，当0<a 发散D 、当1<a 收敛，当1>a 发散。

4、若正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数必定收敛的是 AA 、∑∞=+1100n n uB 、∑∞=+1)100(n nuC 、∑∞=-1)100(n n u D 、∑∞=-1)100(n n u5、若级数∑∞=1n na 收敛，∑∞=1n nb发散，λ为正常数，则级数∑∞=-1)(n n nb aλ BA 、一定收敛B 、一定发散C 、收敛性与λ有关D 、无法断定其敛散性 6、设级数∑∞=1n nu的部分和为n S ，则该级数收敛的充分条件是 DA 、0lim =∞→nn u B 、1lim1<=+∞→r u u nn nC 、21n u n≤D 、n n S ∞→lim 存在7、设q k 、为非零常数，则级数∑∞=-11n n qk收敛的充分条件是 CA 、1<qB 、1≤qC 、1>qD 、1≥q8、级数∑∞=+111n p n发散的充分条件是 AA 、0≤pB 、1-≤pC 、0>pD 、1->p9、级数∑∞=1n na收敛，是级数∑∞=1n na绝对收敛的 C 条件A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分必要D 、既不充分，又非必要10、交错级数∑∞=++-111)1(n p n n绝对收敛的充分条件是 A A 、0>p B 、0≥p C 、1>p D 、1≥p11、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n n n n k BA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与k 有关 12、设常数0>a ，则级数∑∞=12sin n naAA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关13、级数∑∞=12!n nn 与∑∞=+-11)1(n nn 的敛散性依次是 、D A 、收敛，收敛 B 、发散，发散 C 、收敛，发散 D 、发散，收敛 14、下列级数中，为收敛级数的是 CA 、∑∞=131n n B 、∑∞=+111n n C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=+112n n n 15、下列级数中，为发散级数的是 BA 、∑∞=1!2n nn B 、∑∞=12!n nn C 、∑∞=+121n n n D 、∑∞=-12)1(n n n16、下列级数中，为绝对收敛级数的是 DA 、∑∞=+111n n B 、∑∞=+-11)1(n n n C 、∑∞=+-1212)1(n nn n D 、∑∞=-12)1(n nn17、下列级数中，为条件收敛级数的是 AA 、∑∞=+-121)1(n n n n B 、∑∞=+-11)1(n n n n C 、∑∞=+-121)1(n nnn D 、∑∞=-12!)1(n nn n 18、幂级数∑∞=+12)1(n nnn x 的收敛区间是 BA 、[-2，2]B 、[)2,2- C 、(-2,2) D 、(]2,2-19、幂级数∑∞=-+-111)1(n nn n x 的收敛域是 、DA 、(-1,1)B 、[-1，1]C 、[)1,1-D 、(]1,1-20、幂级数∑∞=+++-111)1()1(n n n n x 的收敛域是 CA 、[-2，0]B 、（-2，0）C 、(]0,2-D 、[)0,2-二、填空题21、当参数α满足条件 时，级数∑∞=--+111n n n n α收敛。

第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。

2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。

n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。

28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。

xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。

30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。

无穷级数是高等数学的一个重要内容，是无限个常量或变量之和的数学模型，它是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具，在数学理论以及工程技术中都有广泛的应用．11.1 数项级数的概念及性质11.1.1 数项级数的概念 实例1 小球运动的时间小球从1米高处自由落下, 每次跳起的高度减少一半, 问小球运动的总时间． 解 由自由落体运动方程221gt s =知g s t 2=．设k t 表示第k 次小球落地的时间, 则小球运动的总时间为+++++=k t t t t T 222321.这里出现了无穷多个数依次相加的式子.在物理、化学等许多学科中，也常能遇到这种无穷多个数或函数相加的情形，在数学上称之为无穷级数．上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数相加呢？我们可以从有限项出发，观察它们的变化趋势，由此来理解无穷多个数量相加的含义.令n n u u u S +++= 21，称n S 为级数(11.1.1)的部分和．当n 依次为1,2,3,…,时，得到一个数列1S ，2S ，…，n S ，…，称为级数(11.1.1)的部分和数列．从形式上不难知道∑∞=1n n u =n n S ∞→lim ，所以我们可以根据部分和数列的收敛与发散来定义级数的敛散性. 当级数∑∞=1n n u 收敛于S 时，常用其部分和S n 作为和S 的近似值，其差∑∑∑∞+==∞==-=-111n k knk k k k n u u u S S叫做该级数的余项，记为n r ．用部分和S n 近似代替和S 所产生的绝对误差为| r n |．例11.1.1 判定级数 ++⋅++⋅+⋅)1(1321211n n 的敛散性．解 所给级数的一般项为111)1(1+-=+=n n n n u n ，部分和)1(1321211+⋅++⋅+⋅=n n S n 111)111()3121()211(+-=+-++-+-=n n n ，所以1)111(lim lim =+-=∞→∞→n S n n n ，故该级数收敛于1，即1)1(11=+∑∞=n n n ． 例11.1.2 考察波尔察诺级数∑∞=--11)1(n n 的敛散性．解 它的部分和数列是1, 0, 1, 0, … ,显然n n S ∞→lim 不存在，∑∞=--11)1(n n 发散．例11.1.3 讨论几何级数(也称等比级数)∑∞=0n naq +++++=n aq aq aq a 2的敛散性，其中a ≠ 0, q 称为级数的公比．解 该几何级数前n 项的部分和21(1),11 ,1n n n a q q qS a aq aq aq na q -⎧-≠⎪-=++++=⎨⎪=⎩， 当q = 1时，由于lim lim n n n S na →∞→∞==∞，所以级数发散；当q = -1时，级数变为 +-+-a a a a ，显然lim n n S →∞不存在，所以级数发散；当| q | > 1时，由于lim n n S →∞=∞，所以级数发散；当| q | < 1时，由于lim 1n n a S q →∞=-，所以级数收敛于1a q-．因此，几何级数0n n aq ∞=∑当| q | < 1时收敛于qa-1；当| q | ≥ 1时发散． 几何级数的敛散性非常重要，许多级数敛散性的判别，都要借助几何级数的敛散性来实现．11.2 .2 数项级数的性质根据级数敛散性的概念，可以得到级数的几个基本性质．12()n n n ku k u u u kS ++=+++=,112)()k k k n k u u u u u u +++++++-+++S S -lim ．从性质1的证明可以看出，如果n S 没有极限且k ≠0，则n σ也不可能有极限.换句话说，级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不改变．例如，47412)31(1313213231(32(3)1(2111=-=---+-=-+=-+∑∑∑∞=∞=∞=nn nn n n n n ．由性质4知，若级数加括号后发散，则原级数必发散．但加括号后收敛的级数，去括号后未必收敛．例如，级数⋅⋅⋅+-+-+-)11()11(11(）收敛，但去括号后级数⋅⋅⋅+-+-+-111111却发散．由级数收敛的必要条件可知，如果0lim ≠∞→n n u 或不存在，则级数一定发散．因此可用性质5判定级数∑∞=1n n u 发散性，有时性质５也称为“级数发散的第n 项判别法”．例11.1.4 判定级数∑∞=+112n n n 的敛散性．解 由于02112limlim ≠=+=∞→∞→n n u n n n ，故此级数发散．例11.1.5 证明调和级数 +++++n131211发散． 证明 将调和级数的两项、两项、四项、…、2m 项、… 加括号，得到一个新级数++++++++++++++++)21221121()81716151()4131()211(1m m m ．因为 2141414131 ,21211=+>+>+， ,218181818181716151=+++>+++，21212121212211211111=+++>+++++++++m m m m m m ， 所以新级数前m + 1项的和大于21+m ，故新级数发散．由性质4知，调和级数发散． 由于调和级数的一般项)(01∞→→=n nu n ，因此例5说明：级数的一般项u n 趋于零仅仅是级数收敛的必要条件，并非充分条件．所以，不可用性质５来判定级数的收敛性．例11.1.6 有甲，乙，丙三人按以下方式分一个苹果：先将苹果分成4份，每人各取一份；然后将剩下的一份又分成4份，每人又取一份；按此方法一直下去.那么最终每人分得多少苹果？解 依题意，每人分得的苹果为+++++n 4141414132． 它是41==q a 的等比级数，因此其和为 3141141=-=S ． 即最终每人分得苹果的31．习题 11.11.写出下列级数的一般项．(1) -+-+-5645342312； (2) +-+-97535432a a a a ．2.判断下列级数的敛散性． (1))1(1n n n -+∑∞=； (2)∑∞=16sinn n π； (3) ++⋅-++⋅+⋅)12()12(1531311n n ； (4) +++++++41312110021；(5)n n n n-∞=-+-∑)11()1(11； (6))31(1n n n+∑∞=．11.2 数项级数的审敛法11.2.1正项级数及其审敛法对于正项级数∑∞=1n n u ，其部分和S n = S n -1 + u n ≥ S n -1 (n = 2, 3, …)，即部分和数列{S n }单调递增．若数列{S n }有界，则由单调有界数列必有极限的准则知，数列{S n }收敛，所以正项级数∑∞=1n n u 必收敛，设其和为S ，则有S n ≤ S ．反之，若正项级数∑∞=1n n u 收敛于S ，则由收敛数列必有界的性质知，数列{S n }必有界．于是我们得到下述重要结论：例11.2.1证明正项级数 +++++=∑∞=!1!21!111!10n n n 收敛．证明 因为),2,1( 2122211211!11 ==⋅⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=-n n n n ， 于是对任意的n ，有2221212111)!1(1!21!111-+++++≤-++++=n n n S,3213211211121<-=--+=--n n即正项级数∑∞=0!1n n 的部分和数列有界，故级数∑∞=0!1n n 收敛．利用定理11.2.1，可导出正项级数的若干审敛法，这里只介绍其中较为重要的两个．例11.2.2讨论广义调和级数(又称p —级数) +++++=∑∞=pppn pn n13121111 (其中p为常数)的敛散性．解 当 p ≤ 1时，有n n p 11≥，由于∑∞=11n n发散，由定理2.2知，p 级数发散． 当p >1时，取n x n ≤<-1，有ppx n 11≤，得到11111d d (2,3,)n n p pp n n x x n n n x --=≤=⎰⎰ 于是p 级数的部分和111123n p p p S n=++++231211111d d d np p pn x x x x x x -≤++++⎰⎰⎰1111111d 1(11,11n p p x x p n p -=+=+-<+--⎰即部分和数列{S n }有界，由定理11.2.1知，p 级数收敛．综上所述，当p > 1时，p 级数收敛 ；当p ≤ 1时，p 级数发散，以后我们常用p 级数作为比较审敛法时使用的级数．例11.2.3 判定下列级数的敛散性． (1) 2111n n ∞=+∑； (2)n ∞=． 解 (1) 因为22111n n u n ≤+=，而级数∑∞=121n n为p = 2 > 1的p 级数，故收敛，所以由比较审敛法知，级数∑∞=+1211n n 也收敛． (2) 因为n n n u n 111122=≥-=，而调和级数∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=-1211n n 也发散．使用比较审敛法时，需要找到一个敛散性已知的正项级数来与所给正项级数进行比较，这对有些正项级数来说是很困难的.自然提出这样的问题：能否仅通过级数自身就能判定级数的敛散性呢？如果正项级数的一般项中含有乘积、幂或阶乘时，常用比值审敛法判定其敛散性． 例11.2.4 判定下列级数的敛散性：(1) 2132nnn n ∞=∑； (2) 11(1)!n n ∞=-∑； (3)11(21)n n n ∞=+∑． 解 (1) 因为123)1(23lim 322)1(3lim lim 2221211>=+=⋅+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n nn n ，所以级数∑∞=1223n n n n 发散．(2) 因为101lim !)!1(lim lim1<==-=∞→∞→+∞→n n n u u n n nn n ，所以级数∑∞=-1)!1(1n n 收敛． (3) 因为1)32)(1()12(lim lim1=+++=∞→+∞→n n n n u u n nn n ，此时比值审敛法失效，必须改用其他方法判别此级数的敛散性．由于22121)12(1n n n n u n <<+=，而级数∑∞=121n n为p = 2 > 1的p 级数，故收敛，所以由比较审敛法可知，级数∑∞=+1)12(1n n n 也收敛．11.2.2 交错级数及其审敛法交错级数的特点是正负项交替出现．关于交错级数敛散性的判定，有如下重要定理． 例11.2.5 判定交错级数 +-++-+--nn 1)1(41312111的敛散性．解 此交错级数的n u n 1=，且满足 1111+=+>=n n u n n u 且01lim lim ==∞→∞→n u n n n ，由定理11.2.4知，该交错级数收敛，其和小于1．11.2.3 任意项级数及其审敛法设有级数∑∞=1n n u ，其中u n ( n = 1, 2,…)为任意实数，称此级数为任意项级数．对于任意项级数，如何来研究其敛散性？除了用级数定义来判断外，还有什么办法？为此要介绍绝对收敛与条件收敛概念．1,2,)的级数，称为交错级例如，级数2111)1(n n n ∑∞=--绝对收敛，级数n n n 1)1(11∑∞=--条件收敛．定理11.2.5说明，对于任意项级数∑∞=1n n u ，如果它所对应的级数∑∞=1||n n u 收敛，则该级数必收敛，从而将任意项级数的敛散性判别问题转化为正项级数来讨论．但应注意，如果级数∑∞=1||n n u 发散，不能判定级数∑∞=1n n u 也发散．例11.2.6 判定级数∑∞=12)sin(n nn α的敛散性，其中α为常数． 解 由于n nn 212)sin(0≤≤α，而级数∑∞=121n n 是收敛的，由比较审敛法可知，级数∑∞=12)sin(n n n α收敛，即级数∑∞=12)sin(n n n α绝对收敛，由定理11.2.5知，级数∑∞=12)sin(n n n α收敛． 例11.2.7讨论交错p-级数p n n n 1)1(11∑∞=--的绝对收敛与条件收敛性，其中p 为常数．解 当p ≤ 0时，pn n nu 1)1(1--=不趋于)(0∞→n ，故该级数发散．当p >1时，有ppn n n11)1(1=--，且级数∑∞=11n p n收敛，故该级数绝对收敛．当0<p ≤ 1时，级数∑∞=11n p n 发散，但p n n n 1)1(11∑∞=--是交错级数，且满足定理11.2.4的条件，故所给级数条件收敛．习题11.21.用比较审敛法判定下列级数的敛散性． (1) ∑∞=-+133)1(n n n ；(2) )0(111>+∑∞=a an n ．2.用比值审敛法判定下列级数的敛散性．(1) ∑∞=⋅1!2n n nnn ； (2) ∑∞=123n n n ．3.判定下列级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？(1) ;3)1(111-∞=-∑-n n n n (2) ∑∞=13sin n nn α． 11.3 幂 级 数11.3.1函数项级数的概念 实例1存款问题设年利率为r (实际上其随时间而改变)，依复利计算，想要在第一年末提取1元，第二年末提取4元，第三年末提取9元，第n 年末提取2n 元，要能永远如此提取，问至少需要事先存入多少本金？分析：这里本金为存入的钱，设为A ，则一年后本金与利息之和为一年的本利和，即为)1(r A +，两年后的本利和为2)1(r A +，n 年后的本利和为n r A )1(+.解 若本金A 为n r -+)1(元，n 年后可提取本利和1)1()1(=+⋅+-n n r r （元）.从而 若要n 年后提取本利和2n 元，则本金应为n r n -+)1(2元.所以为使第一年末提1元本利和，则要有本金1)1(-+r ；第二年末能提取本利和22=4元，则要有本金22)1(2-+r 元；第三年末能提取本利和32=9元，则要有本金32)1(3-+r 元，…第n 年末能提取2n 元本利和，则要有本金n r n -+)1(2元；如此下去，所需本金总数为∑∞=-+12)1(n n r n.令r x +=11，得∑∑∞=∞=-=+1212)1(n n n nx n r n .实例2中的∑∞=12n n x n 即为一个无穷级数，但通项不再是我们前面所学的常数，而是函数，称为函数项无穷级数．对于区间I 上的任意确定值x 0，函数项级数(3.1)便成为数项级数++++)()()(00201x u x u x u n ． (11.3.2) 如果数项级数(11.3.2)收敛，则称点x 0为函数项级数(11.3.1)的收敛点；如果数项级数 (11.3.2)发散，则称点x 0为函数项级数(3.1)的发散点．函数项级数(11.3.1)的全体收敛点（或发散点）的集合叫做该级数的收敛域（或发散域）．设函数项级数(11.3.1)的收敛域为D ，则对于任意的x ∈D ，函数项级数(11.3.1)都收敛，其和显然与x 有关，记作S (x )，称为函数项级数(11.3.1)的和函数，并记作D x x u x u x u x S n ∈++++=,)()()()(21 ．例如，级数201n n n x x x x ∞==+++++∑的收敛域为(-1,1)，和函数为x-11，即 01(1, 1)1n n x x x ∞==∈--∑．把函数项级数(11.3.1)的前n 项的和记作S n (x )，则在收敛域上有)()(lim 1x S x S un n n n==∞→∞=∑．将 r n (x ) = S (x ) -S n (x )称作该函数项级数的余项，则0)(lim =∞→x r n n ．11.3.2 幂级数及其收敛性特别地，当x 0 = 0时，+++++=∑∞=n n n nn x a x a x a a x a 22100(11.3.4)称为关于x 的幂级数．本节主要讨论幂级数(11.3.4)，幂级数(11.3.3)可通过代换t = x – x 0化成幂级数(11.3.4)来研究．下面首先讨论幂级数(11.3.4)的收敛域问题，即x 取数轴上哪些点时幂级数(11.3 .4) 收敛．0,1,2,)，因此．定理11.3.1表明，如果幂级数(11.3.4)在x= x0处收敛(发散)，则对于开区间(-| x0 |, | x0 |)内(闭区间[-| x0 |, | x0 |]外)的一切x，幂级数(11.3.4)都收敛(发散) ．这样的正数R称为幂级数(11.3.4)的收敛半径．由于幂级数(11.3.4 )在区间(-R, R)一定是绝对收敛的，所以我们把(-R, R)称为幂级数(11.3.4)的收敛区间．幂级数在收敛区间内部有很好的性质．幂级数(11.3.4)在区间(-R, R)的两个端点x = ±R处可能发散也可能收敛，需要把x = ±R代入幂级数(11.3.4)，化为数项级数来具体讨论．一旦知道了x =±R处幂级数(3.4)的敛散性，则幂级数(11.3.4)的收敛域为下面四个区间(-R, R), [-R, R) , (-R, R ], [-R, R ]之一．若幂级数(11.3.4)仅在x = 0处收敛，则规定收敛半径R = 0，此时收敛域退缩为一点，即原点；若对一切实数x，幂级数(11.3.4)都收敛，则规定收敛半径R = +∞，此时收敛区间与收敛域都是(-∞, +∞)．下面给出幂级数(11.3.4)的收敛半径的求法．例11.3.1求下列幂级数的收敛半径．(1) 1(1)31nn n n x ∞=-+∑ (2) 0!n n x n ∞=∑； (3) 202n n n x ∞=∑．解 (1) 因311313lim 13)1(13)1(lim lim1111=++=+-+-==+∞→++∞→+∞→n n n n n n n n nn n a a ρ，故收敛半径31==ρR ． (2) 因011lim !1)!1(1lim lim1=+=+==∞→∞→+∞→n n n a a n n nn n ρ，故收敛半径R = + ∞．(3) 因为该级数缺少奇次幂的项，定理3.2失效，换用比值审敛法求收敛半径．由于2(1)121212limlim 22n n n n n n nnx u x x u +++→∞→∞==，因此，由正项级数的比值审敛法知，当2112x <，即2||<x 时该幂级数绝对收敛；当2112x >，即2||>x 时该幂级数发散．故收敛半径2=R ． 例11.3.2 求下列幂级数的收敛区间和收敛域．(1) 11(1)n nn x n +∞=-∑； (2) 21(2)n n x n ∞=-∑． 解 (1) 因为11lim )1(1)1(lim lim121=+=-+-==∞→++∞→+∞→n nnn a a n n n n nn n ρ， 所以收敛半径11==ρR ，收敛区间是(-1, 1)，即该级数在(-1, 1)内绝对收敛．在端点x = 1处，级数成为交错级数∑∞=+-11)1(n n n ，这是收敛的级数．在端点x = -1处，级数成为∑∞=-11n n，这是发散的级数，故该级数的收敛域为(-1, 1]．(2) 令t = x -2，则所给级数变成∑∞=12n n nt ．因为 ,1)1(lim 1)1(1lim lim22221=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n nn n ρ故级数∑∞=12n n n t 的收敛半径11==ρR ，即级数∑∞=12n n nt 在区间(-1, 1)内绝对收敛．在端点t = 1处，级数∑∞=12n n n t 变成p 级数∑∞=121n n ，故收敛；在t = -1处，级数∑∞=12n n n t 变成交错级数∑∞=-121)1(n n n 也收敛．因此，幂级数∑∞=12n n n t 的收敛区间为(-1,1)，收敛域为[-1, 1]，从而级数∑∞=-12)1(n nn x 的收敛区间为(1,3)，收敛域为[1, 3]．(因为-1 ≤ t ≤ 1，即-1 ≤ x - 2 ≤ 1，所以13x ≤≤)．11.3.3幂级数的运算 1. 四则运算设幂级数∑∞=0n n n x a 和∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R 1和R 2，它们的和函数分别为S 1(x )和S 2( x )，令R = min{ R 1, R 2}，则在(-R , R )内有(1) 加法运算(2) 乘法运算2. 分析运算设幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为(0)R R >)，在(-R , R )内的和函数为S (x )，则有(1) 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数S ( x )在其收敛区间 (-R , R ) 内连续．(2) 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数S ( x )在其收敛区间 (-R , R ) 内可导，且有逐项求导公式：(3) 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数S ( x )在其收敛区间 (-R , R ) 内可积，且有逐项积分公式：注意：逐项求导和逐项积分前后，两幂级数具有相同的收敛半径和收敛区间． 例11.3.3 求下列幂级数的和函数． (1)11(11)n n nx x ∞-=-<<∑； (2)10(11)1n n x x n ∞+=-<<+∑．解 (1) 设11(), (1, 1)n n S x nx x ∞-==∈-∑，两端积分，得111()d d 1xxn n n n xS x x nx x x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰， 上式两端对x 求导，得21(), (1, 1)(1)S x x x =∈--．(2) 设10(), (1, 1)1n n x S x x n ∞+==∈-+∑，两端对x 求导，得 ∑∑∞=∞=+-=='+='10111)1()(n n n n x x n n x S ．上式两端从0到x 积分，得01()(0)d ln(1)1xS x S x x x-==---⎰， 而S ( 0 ) = 0，所以()ln(1), (1, 1)S x x x =∈---．例11.3.4求幂级数20, (1, 1)21nn x x n ∞=∈-+∑的和函数，并计算()2011212nn n ∞=+∑的值．解 设20(), (1, 1)21nn x S x x n ∞==∈-+∑，两端同时乘以x ，得,12)(012∑∞=++=n n n x x xS 两端对x 求导，得 ,1112])([202012x x n x x xS n nn n -=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='∑∑∞=∞=+ 上式两端从0到x 积分，得 20111()ln ,211xx x x x xx S +==--⎰d 所以 11()ln , (1, 1)21x S x x x x+=∈--．因为21=x 在(-1, 1)内部，代入上式，得 3ln 211211ln21212112120=-+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∞=nn n ． 习题 11.31.求下列幂级数的收敛区间．(1) +⋅⋅+⋅+64242232x x x ； (2)∑∞=++-11212)1(n n nn x ；(3)∑∞=--122212n n nx n ； (4)∑∞=-1)5(n n n x ．2.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数． (1) )11( 14014<<-+∑∞=+x n x n n ; (2)∑∞=+<<-+0)1(2)11( )1(2n n x x n ，并求级数∑∞=-+01221n n n 的和． 11.4 函数展开成幂级数前面我们讨论了幂级数在收敛域内求和函数的问题，在实际应用中常常遇到与之相反的问题，就是对一个给定的函数，能否在一个区间内展开成幂级数？如果可以，又如何将其展开成幂级数？其收敛情况如何？本节就来解决这些问题．11.4.1泰勒(Taylor)级数如果函数f (x )在点x 0的某邻域U ( x 0, δ )内有定义，且能展开成x - x 0的幂级数，即对于任意的x ∈U ( x 0, δ )，有+-++-+-+=n n x x a x x a x x a a x f )()()()(0202010 ． (11.4.1)由幂级数的分析性质知，函数f (x )在该邻域内一定具有任意阶导数，且 ),2,1( )()!1(!)(01)( =+-++=+n x x a n a n x fn n n ． (11.4.2)在式(11.4.1)和式(11.4.2)中，令x = x 0，得)(00x f a =，!1)(01x f a '=，,!2)(02x f a ''= ,!)(,0)(n x f a n n =． (11.4.3) 将式(11.4.3)代入式(11.4.1)中，有+-++-''+-'+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000．这说明，如果函数f (x )在x 0的某邻域U ( x 0, δ )内能用形如式(11.4.1)右端的幂级数表示，则其系数必由式(11.4.3)确定，即函数f (x )的幂级数展开式是唯一的．函数f (x )的泰勒级数(11.4.4)的前n + 1项之和记为S n +1(x )，即n n n x x n x f x x x f x x x f x f x S )(!)()(!2)()(!1)()()(00)(2000001-++-''+-'+=+ ，并把差式f (x )- S n +1(x )叫做泰勒级数(4.4)的余项，记作R n ( x )，即)()()(1x S x f x R n n +-=．显然，只要函数f (x )在点x 0的某邻域U ( x 0，δ )内具有任意阶导数，则它的泰勒级数(11.4.4) 就已经确定，问题是级数(11.4.4)是否在x 0的某邻域内收敛？若收敛，是否以f (x )为其和函数？为此有下面的定理．显然，使用定理11.4.1来进行收敛性的判定是困难的．下面直接给出余项R n (x )的表达式称上式为拉格朗日型余项．在实际应用，若取常数x 0 = 0，此时泰勒级数(11.4.4)变成称为f (x )的麦克劳林(Maclaurin)级数，其余项为11.4.2函数展开成幂级数将函数)(x f 展开成0x x -或x 的幂级数，就是用其泰勒级数或麦克劳林级数表示)(x f ．下面结合例题来研究如何将函数展开成幂级数．1. 直接展开法直接利用麦克劳林公式将函数f (x )展开为x 的幂级数的方法称为直接展开法，可以按照下列步骤进行(展开为(x -x 0)的幂级数与之类似)：第一步 求出函数f ( x )在x = 0处的各阶导数 ),0(,),0(),0(),0()(n ff f f '''．若函数在x = 0处的某阶导数不存在，就停止进行，该函数不能展开为x 的幂级数．例如，在点x = 0处，37)(x x f =的三阶导数不存在，它就不能展开为x 的幂级数．第二步 写出幂级数+++''+'+nn x n f x f x f f !)0(!2)0()0()0()(2并求出收敛半径R 及收敛区间(-R , R )．第三步 在收敛区间(-R , R )内，考察余项R n ( x )的极限1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ(ξ介于0与x 之间)， 是否为零？如果为零，第二步所写出的幂级数就是函数f ( x )在(-R , R )内的展开式，即),(,!)0(!2)0()0()0()()(2R R x x n f x f x f f x f nn -∈+++''+'+= ．如果不为零，第二步写出的幂级数虽然收敛，但它的和并不是所给的函数f ( x )． 例11.4.1将下列函数展开为x 的幂级数．(1) ()e x f x =； (2) x x f sin )(=； (3) m x x f )1()(+=(m 为任意常数)． 解 (1) 因为f (x ) = e x ，故f (n )(0 ) = 1( n = 0,1, 2,…)．从而e x 的麦克劳林级数为++++++!!3!2132n x x x x n ． 容易求得它的收敛半径R = +∞，下面考察余项1e ()(1)!n n R x x n ξ+=+， (ξ介于0与x 之间)． 因为ξ介于0与x 之间，所以||e e x ξ<，因而有||11e e |()|||||(1)!(1)!x n n n R x x x n n ξ++=<++． 对于任一确定的x 值，e |x |是一个确定的常数，而级数++++++!!3!2132n x x x x n是绝对收敛的，由级数收敛的必要条件可知0)!1(||lim 1=++∞→n x n n ， 所以 1||||lime 0(1)!n x n x n +→∞=+．由此可得，0)(lim =∞→x R n n ，这表明级数收敛于e x ，所以23e 1 ()2!3!!n x x x x x x n =++++++-∞<<+∞．(2) 因为x x f sin )(=，所以),2,1( )2sin()()( =+=n n x x f n π，则 ,)1()0(,0)0(,,1)0(,0)0(,1)0(,0)0()12()2(n n n ff f f f f -==-='''=''='=+．于是sin x 的麦克劳林级数为++-++-+-+)!12()1(!7!5!312753n x x x x x n n ．它的收敛半径R = + ∞，考察余项的绝对值)(0)!1(||)!1()21sin()(11∞→→+≤+++=++n n x n x n x R n n n πξ．于是得展开式)( )!12()1(!5!3sin 1253+∞<<-∞++-+-+-=+x n x x x x x n n．(3) 用同样的方法，可以推得牛顿二项展开式)11( !)1()1(!2)1(1)1(2<<-++--++-++=+x x n n m m m x m m mx x nm ．这里m 为任意实数．当m 为正整数时，就退化为中学所学的二项式定理．最常用的是12m =±的情形，读者可自己写出这两个式子．2．间接展开法以上几个例子是用直接展开法把函数展开为麦克劳林级数，直接展开法虽然步骤明确，但运算常常过于繁琐，尤其最后一步要考察n →∞时余项R n ( x )是否趋近于零，这不是一件容易的事．下面我们从一些已知函数的幂级数展开式出发，利用变量代换或幂级数的运算求得另外一些函数的幂级数展开式，这种将函数展开成幂级数的方法叫间接展开法．例11.4.2将下列函数展开为x 的幂级数． (1) x x f cos )(=; (2) )1ln()(x x f +=．解(1) 由例1中的(2)知，)( )!12()1(!5!3sin 1253+∞<<-∞++-+-+-=+x n x x x x x n n，两边对x 逐项求导，得).( !2)1(!4!21cos 242+∞<<-∞+-+-+-=x n x x x x nn ）（ (2) 由牛顿二项展开式得)11( )1(11132<<-+-++-+-=+x x x x x xn n ．上式两端从0到x 逐项积分，得)11( 1)1(432)1ln(1432<<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n ． 又因为当x = -1时该级数发散，当x = 1时该级数收敛，故有)11(11)1()1ln(10≤<-+-=++∞=∑x x n x n n n．例11.4.3将下列函数展开为x - 1的幂级数： (1) x x f ln )(=； (2) 2)(2--=x x x x f ． 解 (1) )]1(1ln[ln )(-+==x x x f ，利用)1ln(x +的展开式得),111( 1)1()1(3)1(2)1()1(ln 132≤-<-++--+--+---=+x n x x x x x n n 即 )20(1)1()1(ln 1≤<+--=+∞=∑x n x x n n n．(2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=--=--=x x x x x x x x x f 221131)1)(2(2)(2 ][)1(12)211(2131----+=x x ． 由)11( )1(110<<--=+∑∞=x x x n n n ，得 )1211( 21)1(212112111 2<-<-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+x x x x x nn ． )111( )1()1()1(1)1(112<-<-+-++-+-+=--x x x x x n ． 于是⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=--∑∑∞=∞=002)1(2)21()1(21312n n n n n x x x x x n n n n x )1(22)1(3101-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∞=+，)20(<<x ． 习题 11.41.将下列函数展开成x 的幂级数，并指出其收敛区间． (1) xx f -=31)(； (2) x x f 2cos )(=； (3) x x f arcsin )(=． 2.将函数231)(2++=x x x f 展开成(x + 4)的幂级数．11.5幂级数展开式的应用利用函数的幂级数展开式，可以进行近似计算，即展开式成立的区间内，函数值用级数的部分和按规定的精度要求近似计算.例11.5.1计算2的近似值( 精确到小数点四位，即误差不超过0.0001).解 由于 ++--++-+⋅+=+n x n n x x x !)1()1(!2)1(!11)1(2ααααααα21)211(2242-=-=根据上一节二项式展开式，取21-=x ，21=α 21)211(2242-=-=)21!453121!33121!21211(28642 -⋅⋅-⋅---=取前四项的和作为近似值，其差（称截断误差）为4r )21!5753121!4531(2108 +⋅⋅⋅+⋅⋅=0098.025225))21()21(211(21!45312910328≈=⋅=++++⋅⋅< 于是，近似值为≈24219.1)21!33121!21211(2642≈⋅---=.由“四舍五入”引起的误差叫做舍入误差. 计算时取五位小数，四舍五入后误差不会超过小数点后四位.本题如果用下面做法，展开的级数收敛很快，同样取前四项计算，误差很小.2150114.12-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+⋅+⋅+⋅+⨯= 43250112835501165501835012114.1取前四项来作计算， 则4142.1]50116550183501211[4.1232≈⋅+⋅+⋅+⨯≈前四项的截断误差⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⨯< 544501*********.1r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⨯⨯= 245015011501128354.1 83341025.65012814950128354.14950501128354.1-⨯≈⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=例11.5.2 计算2ln 的近似值(精确到小数点后第4位). 解 将展开式)11()1(432)1ln(1432≤<-+-++-+-=+-x nx x x x x x nn 中的x 换成x -，得)11(432)1ln(432<≤--------=-x nx x x x x x n两式相减，得到不含有偶次幂的展开式)11(7531211ln 753<<-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-+x x x x x x x令211=-+xx ，解出31=x .以31=x 代入得⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+⋅+⋅+⋅= 753317131513131311122ln若取前四项作为2ln 的近似值，则误差为0001.0700001341911132])91(911[32)31131311113191(2||911211131194<<⨯=-⨯=+++<+⨯+⨯+⨯= r于是取 6931.0317131513131311122ln 753≈⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+⋅+⋅≈.例11.5.3 利用x sin 求12sin 的近似值(精确到小数点后第6位). 解 由于展开式+--+-+-=--!)12()1(!5!3sin 12153n x x x x x n n （+∞<<∞-x ） 是交错级数，取前n 项部分和做近似估计，误差!)12(!)12()(1212+=+≤++n x n x x R n n n （+∞<<∞-x ）151801212ππ=⨯== x ，取前三项能满足精度要求，于是53)15(!51)15(!311515sin12sin ππππ+-≈= 20791170.0)20943951.0(1201)20943951.0(6120943951.053≈+-≈ 精确到六位小数，207912.012sin ≈.例11.5.4 计算定积分⎰=10sin dx x xI 的近似值，精确到0.0001.解 因1sin lim0=→xxx ，所给积分不是广义积分，若定义函数在0=x 处的值为1，则它在区间]1,0[上连续.由前一节知，被积函数的展开时为+--+-+-=--!)12()1(!5!31sin )1(2142n x x x x x n n （∞<<∞-x ） 在区间]1,0[上逐项积分，得⎰10sin dx x x+-⋅--++⋅-⋅+⋅-=-!)12()12(1)1(!771!551!33111n n n这是交错级数，因为第四项5109.2352801!771-⨯<=⋅，所以取前三项的和作为积分的近似值就能满足精度要求.0.9461!551!3311≈⋅+⋅-≈I 例11.5.5 在爱因斯坦（Einstein ）的狭义相对论中，速度为v 的运动物体的质量为220/1cv m m -=其中0m 为静止着的物体的质量，c 为光速.物体的动能是它的总动能与它的静止能量之差202c m mc K -=（1）证明在v 与c 相比很小时，关于K 的表达式就是经典牛顿物理学中的动能公式2021v m K =（2）估计s m v /100≤时，这两个动能公式的差别.解 （1）]1)1[(212220202--=-=-cv c m c m mc K ，记22c v x -=，展开成泰勒级数，有]1)16583211[(66442220-+⋅+⋅+⋅+= cv c v c v c m K)1658321(66442220 +⋅+⋅+⋅=cv c v c v c m当cv 很小时，2022202121v m c v c m K =⋅⋅≈.(2) 由解(1)可见，泰勒公式中一阶余项为（22cv x -=）252240225202252021)-(83)1(83)1(83!2)()(v c cv m x x c m x x c m x x f x r =+≤+=''=θθ（10<<θ）.因为s m c /1038⨯=，s m v /100≤，则252240225201)(83)1(83)(v c cv m x x c m x r +=-≤010252283840)107.4(]100-103[8)103(1003m m -⨯<⨯⨯⨯⨯≤）（）（.可见，误差极小，说明两个公式极为接近.习题 11.51．利用函数的幂级数展开式求下列各函数的近似值： （1）ln 3（误差不超过0.0001）； （2）cos2︒（误差不超过0.0001）；2．利用函数的幂级数展开式求下列定积 分的近似值：（1）0.54011dx x +⎰（误差不超过0.0001）； （2）0.5arctan xdx x⎰（误差不超过0.001）； 11.6傅里叶级数实例1振动问题一根弹簧受力后产生振动，如不考虑各种阻尼，其振动方程为)sin(ϕω+=t A y ，其中A 为振幅，ω为频率，ϕ为初相，t 为时间，称为简谐振动.人们对它已有充分的认识.如果遇到复杂的振动，能否把它分解为一系列简谐振动的叠加，从而由简谐振动去认识复杂的振动呢?实例2正弦波问题在电子线路中，对一个周期性的脉冲)(t f ，能否把它分解为一系列正弦波的叠加，从而由正弦波去认识脉冲)(t f 呢?实际上科学技术中其他一些周期运动也有类似的问题，这些问题的解决都要用到一类重要的函数项级数―傅里叶级数.为了研究傅里叶级数，我们先来认识下面一个概念—三角级数.它在数学与工程技术中有着广泛的应用．三角级数的一般形式是)sin cos (210nx b nx a a n n n ++∑∞=, 其中n n b a a ,,0 ( n = 1,2,…)都是常数，称为三角级数的系数．特别地，当a n = 0 ( n = 0,1,2,…)时，级数只含正弦项，称为正弦级数；当b n = 0 ( n = 1,2,…)时，级数只含常数项和余弦项，称为余弦级数．对于三角级数，我们讨论它的收敛性以及如何把一个周期为2l 的周期函数展开为三角级数的问题．11.6.1 以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 1三角函数系 函数列,sin cos , ,2sin ,2cos ,sin ,cos 1nx nx x x x x ，， (11.6.1)称作三角函数系．三角函数系(11.6.1)有下列重要性质．这个定理的证明很容易，只要通过积分的计算即可验证，请读者自己进行．设两个函数ϕ和φ在[,]a b 上可积，且满足⎰=bax x x 0d )()(φϕ，则称函数ϕ和φ在[,]a b 上正交．由定理11.6.1，三角函数系(11.6.1)在[,]ππ-上具有正交性，称为正交函数系．-π2 周期为2π的函数的傅里叶级数设函数f (x )是周期为2π的周期函数，且能展开成三角级数，即设)sin cos (2)(10nx b nx a a x f n n n++=∑∞= (11.6.2)为了求出式(11.6.2)中的系数，假设式(11.6.2)可逐项积分，把它从-π到π逐项积分，得1()(cos sin ),2n n k a f x x x a nx x b nx x ππππππππ∞----==++∑⎰⎰⎰⎰d d d d 由三角函数系的正交性知，上式右端除第一项外均为0，所以0(),2a f x x x a πππππ--==⎰⎰d d 于是得01(),a f x x πππ-=⎰d 为求a n ( n = 1,2,…)，先用cos kx 乘以式(5.2)两端，再从-π到π逐项积分，得1()cos cos (cos cos sin cos )2n n k a f x kx x kx x a nx kx x b nx kx x ππππππππ∞----==++∑⎰⎰⎰⎰d d d d ．由三角函数系正交性知，上式右端除k = n 的一项外其余各项均为0，所以2()cos cos ,n n f x nx x a nx x a πππππ--==⎰⎰d d于是得1()cos (1,2,3,) n a f x nx x n πππ-==⎰d ．类似地，为求b n ( n = 1,2,…)，用sin kx 乘以式(11.6.2)两端，再从-π到π逐项积分，得1()sin (1,2,3,). n b f x nx x n πππ-==⎰d显然，当f (x )为奇函数时，公式(5.3)中的a n = 0 (n = 0, 1, 2, 3,…)；当f (x )为偶函数时，公式(11.6.3)中的b n = 0 (n = 1, 2, 3,…)，所以有(1) 当f (x )是周期为2π的奇函数时，其傅里叶级数为正弦级数nx b n n sin 1∑∞=，其中2()sin (1,2,3,) n b f x nx x n πππ-==⎰d ；(2) 当)(x f 是周期为2π的偶函数时,其傅里叶级数为余弦级数nx a a n n cos 21∑∞=+，其中 2()cos (1,2,3,) n a f x nx x n πππ-==⎰d ．3 傅里叶级数的收敛性对于给定的函数)(x f ，只要)(x f 能使公式(5.3)的积分可积，就可以计算出)(x f 的傅里叶系数，从而得到)(x f 的傅里叶级数．但是这个傅里叶级数却不一定收敛，即使收敛也不一定收敛于)(x f ．为了确保得出的傅里叶级数收敛于)(x f ，还需给)(x f 附加一些条件．对此有下面的定理．2,3,)2,3,)例11.6.1 正弦交流电i (x ) = sin x 经二极管整流后变为(如图11.6.1)⎩⎨⎧+<≤<≤-=ππππ)12(2,sin 2)12(,0)(k x k x k x k x f ,其中k 为整数．把函数f (x )展开为傅里叶级数．解 函数)(x f 满足收敛定理的条件，且在整个数轴上连续，因此)(x f 的傅里叶级数处处收敛于)(x f ．函数f (x )的傅里叶系数为00112()sin a f x x x x ππππππ-===⎰⎰d d ，图11.6.120,11()cos d sin cos d 2,1)n n a f x nx x x nx x n n ππππππ-⎧⎪===⎨-⎪-⎩⎰⎰为奇数为偶数（， 00,111()sin d sin sin d 1, 12n n b f x nx x x nx x n πππππ-≠⎧⎪===⎨=⎪⎩⎰⎰．所以)(x f 的傅里叶展开式为)142cos 356cos 154cos 32cos (2sin 211)(2 +-++++-+=k kx x x x x x f ππ，)(+∞<<-∞x ． 例11.6.2 如图11.6.2所示，一矩形波的表达式为⎩⎨⎧+<≤<≤--=ππππ)12(2,12)12(,1)(k x k k x k x f ，k 为整数．求函数)(x f 的傅里叶级数展开式．图11.6.2解 函数)(x f 除点x = k π ( k 为整数)外处处连续，由收敛定理知，在连续点(x ≠ k π)处，)(x f 的傅里叶级数收敛于)(x f ．在不连续点(x = k π)处，级数收敛于02)1(1=-+．又因)(x f 是周期为2π的奇函数，因此，函数)(x f 的傅里叶系数为0 (0,1,2,3,)n a n ==，004,22()sin d 1sin d 0, n n n b f x nx x nx x n πππππ⎧⎪==⋅=⎨⎪⎩⎰⎰为奇数为偶数．所以)(x f 的傅里叶展开式为)( )12)12sin(55sin 33sin (sin 4)(为整数，k k x k xk x x x x f ππ≠+--++++= ．该例中)(x f 的展开式说明：如果把)(x f 理解为矩形波的波函数，则矩形波可看作是由一系列不同频率的正弦波叠加而成．4 [-,]ππ或[0,]π上的函数展开成傅里叶级数在实际应用中，经常会遇到函数)(x f 只在[-π, π]上有定义，或虽在[-π, π]外也有定义但不是周期函数，而且函数)(x f 在[-π, π]上满足收敛定理的条件，要求把其展开为傅里叶级数．由于求)(x f 的傅里叶系数只用到)(x f 在[-π, π]上的部分，所以我们仍可用公式(11.6.3)求()f x 的傅里叶系数，至少)(x f 在(-π，π)内的连续点处傅里叶级数是收敛于)(x f的，而在x =±π处，级数收敛于)]0()0([21+-+-ππf f ．类似地，如果)(x f 只在[0, π]上有定义且满足收敛定理条件，要得到)(x f 在[0, π]上的傅里叶级数展开式，可以任意补充)(x f 在[-π, 0]上的定义(只要公式(11.6.3)中的积分可积)，称为函数的延拓，常用的两种延拓办法是把)(x f 延拓成偶函数或奇函数(称为奇延拓或偶延拓)，然后将奇延拓或偶延拓后的函数展开成傅里叶级数，再限制x 在[0, π]上，此时延拓后的函数F (x )≡f (x )，这个级数必定是正弦级数或余弦级数，这一展开式至少在(0, π)内的连续点处是收敛于)(x f 的．这样做的好处是可以把)(x f 展开成正弦级数或余弦级数．例11.6.3 将函数f (x ) = x, x ∈[0, π ]分别展开成正弦级数和余弦级数．解 为了把)(x f 展开成正弦级数，先把)(x f 延拓为奇函数F (x ) = x, x ∈[-π, π]，如图11.6.3所示，则1222()sin sin (1)n n b F x nx x x nx x nππππ+==⋅=-⎰⎰d d ． 由此得F (x )在(-π, π)上的展开式，也即)(x f 在[0, π)上的展开式为)0( )sin )1(33sin 22sin (sin 21π<≤+-+-+-=+x nnxx x x x n ． 在x = π处，上述正弦级数收敛于 图11.6.30)(21)]0()0([21=+-=-++-ππππf f ． 为了把)(x f 展开成余弦级数，把)(x f 延拓为偶函数||)(x x F =, x ∈[-π, π]，如图11.6.4所示，则0022()a F x x x x πππππ===⎰⎰d d ，222()cos d cos d 4, (1,2,)0,n a F x nx x x nx xn n n n πππππ==-⎧⎪==⎨⎪⎩⎰⎰为奇数时为偶数时 于是得到)(x f 在[0, π]上的余弦级数展开式为 图11.6.4。

第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题一、单项选择题 1、若幂级数1(1)nn n a x ¥=+å在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然( ) (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散;(D) 收敛性不定.2、下列级数条件收敛的是(). (A) 1(1);210nn nn ¥=-+å (B) 131(1);n n n-¥=-å(C) 111(1)();2nn n ¥-=-å(D) 113(1).n n n¥-=-å3、若数项级数1nn a¥=å收敛于S ，则级数()121nn n n aa a ¥++=++=å() (A) 1;S a + (B) 2;S a + (C) 12;S a a +-(D) 21.S a a +- 4、设a 为正常数，则级数21sin 3n na n n ¥=éù-êúëûå( ). (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,n n S x b n x x ¥==-¥<<+¥å，其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==ò，则1()2S -等于() (A) 1;2- (B) 1;4- (C) 1;4(D) 12.二、填空题二、填空题 1、 设14nn u¥==å，则111()22n n n u ¥=-=å() 2、 设()111n n n a x ¥+=-å的收敛域为[)2,4-，则级数()11nn n na x ¥=+å的收敛区间为() 3、 设32,10(),01x f x x x -<ì=í<î≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ) 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ¥=++å则3b =()5、级数()1(1)221!n n n n ¥=-+å的和为( ) 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ¥=-×å的收敛域的收敛域2、求()21112n n n ¥=-×å的和的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f +4、求2012!nn n n x n ¥=+å的和函数的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n x n n f x f x x -¢=+，n 为正整数，且e (1)nf n=，求函数项级数()1n n f x ¥=å的和函数.6、 设有方程10nx nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当1a >时，级数1n n x a¥=å收敛. 四、证明题四、证明题设π4tan d nn a x x =ò（1） 求()211n n n a a n ¥+=+å （2） 试证：对任意常数0l >，级数1n n a nl¥=å收敛收敛提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n¥+=+=å.因为211n na an ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n n l l ¥¥+==<åå第十一章 无穷级数测试题答案与提示一、1、A ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B. 二、二、1、1；2、()4,2-；3、32；4、2π3；5、cos1sin1-. 三、三、1、答案：[)0,6.2、答案：53ln 284-提示：原式为级数()211n n x n¥=-å的和函数在12x =点的值. 而()22221121211nn nn n n x x xn n n ¥¥¥====--+-ååå,分别求出2121n n x n ¥=-å和2121n n x n ¥=+å的和函数即可.3、答案：11(1)211(),,122n n n n f x xx n +¥+=--éö=Î-÷ê+ëøå()1(1)(1)20!1n nn f nn ++--=×+. 提示:()()()2()ln 12ln 12ln 1f x x xx x =--=-++4、答案：222011e 1,2!42x n n n n x x x x n ¥=æö+=++--¥<<+¥ç÷èøå 提示：()2011112!1!2!2n nn n n n n n nx x x n n n ¥¥¥===+æöæö=+ç÷ç÷-èøèøååå， 而()1011e ,e 1!!xn x n nn x x x n n ¥¥====-åå5、答案：()()[)1e ln 1,1,1xn n f x x x ¥==--Î-å提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为()e xn x f x n=()111e e x xn n n n x x f x n n ¥¥¥=====ååå，记1()n x S x n¥==å，则可得()ln(1)S x x =--6、提示:设()1n n f x x nx =+-,则()()0,0n f x x ¢>>,故()n f x 在()0,+¥内最多有一个正根.而(0)10,(1)0nn f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知,110nx x nn-<=<,故当1a > 时，级数1nn x a ¥=å收敛.四、提示：()()2111n n a a nn n ++=+，()2111n n n a a n¥+=+=å.因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n nl l ¥¥+==<åå第十章 曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题一、单项选择题1、已知()()2d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于( ) (A) 1;- (B) 0; (C) 1;(D) 2. 2、设闭曲线c 为1x y +=的正向，则曲线积分d d cy x x yx y-++ò的值等于() (A) 0; (B) 2; (C) 4; (D) 6. 3、设S 为封闭柱面()22203x y az +=≤≤，其向外的单位法向量为{}c o s ,c o s,c o s n a b g =，则()cos cos cos d x y z s a b g S++òò等于( ) (A) 29π;a (B) 26π;;a (C) 23π;a(D) 0. 4、设曲线c 为22220x y z a x y z ì++=í++=î，则d c x s ò等于( ) (A) 23;a (B) 0; (C) 2;a(D) 213a . 5、设S 为下半球222z a x y =---的上侧，W 是由S 和0z =所围成的空间闭区域，则d d z x y åòò不等于()(A) d ;v W -òòò(B) 2π220d d aa r r r q -òò;(C) 2π22d d ;aa r r r q--òò(D) ()d d z x y x y å++òò.二、填空题二、填空题1、设c 是圆周222x y a +=，则()2d cx y s -=ò() 2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-的作用下沿椭圆2244x y +=的逆时针方向运动一周，则F 所做的功等于() 3、设S 是平面6x y z ++=被圆柱面221x y +=所截下的部分，则d z s åòò等于() 4、设S 是球面2221x y z ++=的外侧，则()23222d d xy z xy zS++òò等于() 5、设22()d ()d 1cxf x y x f x yx -++ò与路径无关，其中()f x ¢连续且(0)0f =，则()f x =( ) 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求()()xysin d cos d LI e y b x y x e y ax y éù=-++-ëûò，其中,a b 为正常数，L 为从点()2,0A a 沿曲线22y ax x =-到点()0,0O 的弧.2、计算2d LI y s =ò，其中L 为圆周22220x y z a x y z ì++=í++=î.3、在变力F y z i z x j x y =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a bc++=上第一卦挂线的点(),,M x h z ，问,,x h z 取何值时，力F 所做的功W 最大？并求出W 最大值.4、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S Î，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z r 为点()0,0,0O 到平面π的距离，求()d ,,Sz s x y z r òò.5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y S=++òò，其中S 为曲面()221014y z xx =--≤≤的上侧.6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有，，都有，2()d d ()d d e d d 0x Sxf x y z xyf x z x z x y --=òò，其中函数()f x 在()0,+¥内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +®=，求()f x . 答案：()e ()e 1xxf x x=-提示：由题设和高斯公式得提示：由题设和高斯公式得220()d d ()d d e d d ()()()e d xxSxf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v W¢éù=--=±+--ëûòòòòò由S 的任意性，知2()()()e 0xxf x f x xf x ¢+--=，解此微分方程即可.四、证明题四、证明题 已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证：的正向边界，试证：（1）sin sin sin sine d e d e d e d y x y xLLx y y x x y y x ---=-òò；（2）2sin sin 5πe d e d 2y x Lx y y x --ò≤第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、一、1、D ；2、C ；3、A ；4、B ；5、B. 二、二、1、3πa -；2、4π-；3、63π；4、4π3；5、211x +.三、三、1、答案：23ππ222I a b a æö=+-ç÷èø. 提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式. 2、答案：32π3I a =. 提示：利用变量“对等性”22231d d d d 3L L L LI y s x s z s a s ====òòòò.3、答案：,,333a b c x h z ===m a x 39W a b c =.提示：直线段:,,OM x t y t z t x h z ===，t 从0变到1，功W 为120d d d 3dOM W yz x zx y xy z t t xhz xhz =++==òò 再求W xhz =在条件2222221x y z a b c++=下的最大值即可.4、答案：、答案：()3d π,,2Szs x y z r =òò.提示：曲面S 在点(),,P x y z 处的法向量为{},,2x y z ，切平面方程为：022xyX Y zZ ++=， 点()0,0,0O 到平面π的距离()12222,,44x yx y z zr -æö=++ç÷èø.5、答案：d d 2d d 3d d πI xz y z zy z x xy x y S=++=òò.提示：添加曲面1S 为平面xoy 上被椭圆()221014y x x +=≤≤所围的下侧，在S 和1S 所围封闭曲面上用高斯公式. 注意到在1d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y S =++òò的积分等于3d d Dxy x y òò为0.6、提示：、提示：（1） 左边=()ππsinsinsin sin 0π0πed πed πe +e d yxx xy x x ---=òòò，同理，，同理，右边=()πsin sin 0πe+e d xx xx -ò（2） 由（1）得s i n s i n ed ed yxLx y y x --ò=()πsin sin 0πe+ed x xx -ò，而由sin ex 和sin ex-泰勒展开式知道式知道()π20π2sin d x x +ò≤()πsin sin 0πe +e d x x x -ò，而()π2205π2sin d π2x x +=ò.第九章 重积分测试题一、选择题一、选择题1、若区域D 是xoy 平面上以(1,1)，(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限中的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=òò(). (A) 12cos sin D x ydxdy òò;(B) 2cos sin Dx ydxdy òò(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +òò(D) 0 2、设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+òò，其中D 是xoy 平面上由20,y y x ==和1x =所围区域，则(,)f x y 等于().(A) xy ;(B) 2xy ; (C) 1xy + ; (D) 18xy +3、设2222222123cos d d ,cos()d d ,cos()d d ,DDDI x y x y I x y x y I x y x y =+=+=+òòòòòò其中(){}22,1D x y xy =≤+，则(). (A) 321I I I >>;(B) 123I I I >>; (C) 213I I I >> ; (D) 312I I I >> 4、设空间闭区域W 由2221x y z ++≤及z 0≤确定，1W 为W 在第一挂限的部分，则( ). (A) 1d 4d x v x v WW =òòòòòò; (B)1d 4d y v y v WW =òòòòòò;(C)1d 4d z v z v WW =òòòòòò; (D) 1d 4d xyz v xyz v WW =òòòòòò5、设空间闭区域(){}2222,,2z x y zx y x yW =-≤≤+-，d I z v W=òòò，则下列将I化为累次积分中不正确的是( ). (A) 222π120d d d r r I r r z z q -=òòò; (B) π2π224000d d cos sin d I q j r j r j r =×òòò; (C) 12221πd π(2)d I z z z z z =+-òò;(D) 22222112004d d d y x y x yI x y z z --++=òòò二、填空题二、填空题1、设区域D 为222x y R +≤，则2222d d D x y I x y a b æö=+ç÷èøòò的值等于() 2、设(){}22,1D x y xy=≤+，则2221lim ln(1)d d πx y r Dex y x yr-®++òò的值等于() 3、积分222d e d yx I x y -=òò的值等于() 4、积分2222222()d x y z R I f x y z v ++=++òòò≤可化为定积分0()d Rx x j ò，则()x j 等于() 5、积分22221()d x y z I ax by v ++=+òòò≤的值等于() 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求()22d d DI x y y x y =++òò，其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围的平面区域.2、求{}22max,ed d x y DI x y =òò，其中(){},1,1D x y x y =≤≤≤≤00.3、计算22()d I x y z v W =++òòò，其中W 由曲线220y zx ì=í=î绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面与平面4z =所围的立体.4、计算()d I x z v W=+òòò，W 由22x y z +=及224x y z --=确定.5、计算112111224d e d d e d yyyyx x y I y x y x =+òòòò.6、设有一高度为()h t （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时？的雪堆全部融化需多少小时？四、证明题四、证明题设函数()f x 在[]0,1上连续，并设1()d f x x A =ò，证明11201d ()()d 2xI x f x f y y A ==òò.第九章 重积分测试题答案与提示一、一、1、A ；2、D ；3、A ；4、C ；5、B. 二、二、1、22222πR 4x y a b æö+ç÷èø；2、1；3、()411e 2--；4、224π()x f x ；5、()224π+15a b . 三、三、 1、答案：()163π-29I =.提示:将D 看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可. 2、答案：e 1I =-提示：为确定{}22max ,x y ，必须将D 分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可. 3、答案：256π3I =提示:旋转曲面的方程为222x y z +=,用柱面坐标计算22π2242002d d ()d r I r r r z z q =+òòò即可.4、答案：π8I =. 提示:d 0x v W=òòò,ππ122400d 4d d cos sin d z v q j r j r j r W=×òòòòòò.5、答案：3e e 82I =-. 提示：交换积分次序. 6、答案：100t =小时小时提示：先利用三重积分求出雪堆的体积222()31()()2πd d d ()4h t x y h t h t zV zx y h t éù+-ëû==òòò≤； 再求出雪堆的侧面积2222221()21313ππ1d d ()12xy x y h t S z z x y h t +=++=òò≤；由题意d 0.9d V S t=-，所以d ()13d 10h t t =-，解出()h t 并令其等于0，则可得结果.四、提示：交换积分次序，四、提示：交换积分次序，并利用11111d ()()d d ()()d d ()()d 2yxy f x f y x x f x f y y xf x f y y ==òòòòòò.第八章 多元函数微分法及应用测试题一、选择题一、选择题1、已知函数()f x 在[]1,1-上连续,那么sin cos ()x y f t dt x ¶=¶ò(). (A)(sin )(cos )f x f y - (B)(sin )cos (cos )sin f x x f y y - (C) (sin )cos f x x ; (D) (cos )sin f y y2、在矩形域00:,D x x y y d d -<-<内，(,)(,)0x y f x y f x y =º是(,)f x y c º（常数）的（的（）. (A) 充要条件；充要条件； (B)充分条件；充分条件； (C) 必要条件; (D).既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 3、若函数(,)f x y 在区域D 内的二阶偏导数都存在，则（内的二阶偏导数都存在，则（） （A ） (,)(,)xy yx f x y f x y =在D 内成立；内成立； （B ）(,),(,)x yf x y f x y 在D 内连续； （C ） (,)f x y 在D 内可微分；内可微分； （D ）以上结论都不对）以上结论都不对 4、42002lim 3x y xyx y ®®+的值为（ ） (A)¥ ； (B) 不存在；不存在； (C) 23；(D) 0. 5、设有三元函数ln e 1xzxy z y -+=，据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程（）. （A ）只能确定一个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =；（B ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),y y x z =； （C ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),x x y z =； （D ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =.二、填空题二、填空题1、设(,)cos()(1)arctan2xy x f x y e x y yp=+-,则(1,1)x f 的值为（ ）. 2、设(,)f x y 具有连续偏导数，且(1,1)1,(1,1),(x yf f a f b ¢¢===，令[]{}(),,(,)x f x f x f x x j =，则(1)j ¢的值为（ ）. 3、设2(,,)xf x y z e yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f ¢-=（ ）.4、曲线222320x y z x y z ì++=í-+=î在点()1,1,1M 处的切线方程为（ ）.5、函数22223326u x y z xy x y z =++++--在点()0,0,0O 处沿（ ）方向的方向导数最大？）方向的方向导数最大？ 三、三、 计算和应用题计算和应用题 1、设()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y-+++为某一函数(,)f x y 的全微分，求a 和b 的值的值2、设()()ky x g y x y x f z +++-=,，g f ,具有二阶连续偏导数，且0º/¢¢g ，如果222222242fy z y x z x z ¢¢=¶¶+¶¶¶+¶¶，求常数k 的值. 3、在椭球2222221x y z a b c++=内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体积最大?4、设(,)y g x z =，而z 是由方程(,)0f x z xy -=所确定的,x y 的函数，求d d zx5、设),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy+=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值取得极值, ,判断此极值是极大值还是极小值极大值还是极小值, , 并求出此极值并求出此极值. .6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为(){}22,75D x y xy xy =≤+-，小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+（1） 设()000,M x y 为区域D 上一点，问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 的表达式.（2） 现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置. 四、证明题四、证明题设(,)F u v 可微，试证曲面(,)0x a y b F z c z c--=--上任一点处的切平面都通过定点上任一点处的切平面都通过定点. .第八章 多元函数微分法及应用测试题答案与提示一、一、1、C ；2、A ；3、D ；4、B ；5、D.二、二、1、πe 2-；2、23(1)a b b b +++；3、1；4、111101x y z ---==-；5、326ogradu i j k =--. 三、三、1、答案：2,2a b ==-.提示：提示：利用xy yx f f ¢¢¢¢=这一条件. 2、答案：1k =-.提示: g f f xz ¢+¢+¢=¶¶21，g k f f yz ¢+¢+¢-=¶¶21，g f f f x z ¢¢+¢¢+¢¢+¢¢=¶¶221211222，g k f f f yz ¢¢+¢¢+¢¢-¢¢=¶¶2221211222， g k f f y x z ¢¢+¢¢+¢¢-=¶¶¶22112，()g k k f y z y x z xz ¢¢+++¢¢=¶¶+¶¶¶+¶¶222222222142， 又因为0º/¢¢g ，所以0212=++k k ，1-=k .3、答案：232323,,333a b c .提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为(),,x y z ，则求体积8V xyz =在条件2222221x y z a b c ++=下的极值就可. 4、答案：1221122d d f yf xf g z xf xfg ¢¢¢¢++=¢¢¢-.5、答案：故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.提示：由全微分的定义知提示：由全微分的定义知0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-=¢=¢yx f f x f y e f g xy x 221×¢+×¢=¢ y f x e f g xy y 221×¢+×¢=¢ 0)0,0(=¢x g 0)0,0(=¢y g 2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x ¢+×¢¢+×¢¢+×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xy xy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211×¢¢+×¢¢++×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ 2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xy xy xy xy y ¢+×¢¢+×¢¢+×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ A=2)0,1(2)0,0(22-=¢=¢¢f g x 1)0,1()0,0(1-=¢=¢¢=f g B xy2)0,1(2)0,0(22-=¢=¢¢=f g C y032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值. 6、答案: ()()22220000000000(,)22558g x y y x x y x y x y =-+-=+-攀登起点的位置: ()()125,5,5,5M M --.提示提示: : 沿梯度方向的方向导数最大沿梯度方向的方向导数最大,,方向导数的最大值即为梯度的模方向导数的最大值即为梯度的模. . 然后再求(,)g x y 在条件22750x y xy --+=下的极大值点就可下的极大值点就可. . 四、答案四、答案: :通过定点(),,M a b c . 第六章 微分方程测试题一、选择题一、选择题1、设()y f x =是240y y y ¢¢¢-+=的解,若0()0f x >且0()0f x ¢=,则在0x 点()f x ( ). (A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 在0x 某邻域内单增; (D) 在0x 某邻域内单减.2、微分方程2448xy y y e¢¢¢-+=的一个特解应具有形式的一个特解应具有形式( ) (,,,a b c d 为常数). (A) 2;xce (B) 22;xdx e (C) 2;xcxe (D) 22().x bx cx e + 3、微分方程21sin y y x x ¢¢+=++的特解形式可设为(). (A) (A) *2(sin ecos );y ax bx c x d x x =++++ (B) *2(sin ecos );y x ax bx c d x x =++++ (C) *2sin ;y ax bx c d x =+++(D) *2ecos .y ax bx c x =+++ 4、设线性无关的函数123,,y y y 都是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x ¢¢¢++=的解，12,c c 是任意常数，则该方程的通解为(). (A) (A) 11223;c y c y y ++ (B) ()1122123;c y c y c c y +-+ (C) ()11221231;c y c y c c y +---(D) ()11221231.c y c y c c y ++--5、方程0xy y ¢+=满足(1)2y =的特解为(). (A) 21;xy = (B) 22;x y = (C) 2;xy = (D) 1.xy = 二、填空题二、填空题1、已知微分方程23e xy y y -¢¢¢--=有一个特解1e 4x y x *-=-,则其通解为(). 2、以12e ,ex xy y x --==为特解的二阶常系数齐次微分方程是(). 3、若连续函数()f x 满足()()e xf t f x dt =ò，则()f x 等于(). 4、已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y x y xa D D =++，其中a 是比x D (0)x D ®高阶的无穷小，且(0)πy =，则(1)y 等于(). 5、2e xy y y x ¢¢¢++=的通解为(). 三、计算和应用题三、计算和应用题1、 设2e (1)e xxy x =++是二阶常系数线性微分方程e xy y y a b g ¢¢¢++=的一个特解，求该微分方程的通解. 2、 设函数()y y x =在(),-¥+¥内具有二阶导数，且()0,y x x y ¢¹=是()y y x =的反函数.(1)(1)试将()x x y =所满足的微分方程()322d d sin 0d d x x y x y y æö++=ç÷èø变换为()y y x =所满足的微分方程;(2)(2)求变换后的微分方程满足条件3(0)0,(0)2y y ¢==的解.3、已知22123e e ,e e ,e e e x x x x x x x y x y x y x --=+=+=+-都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程分方程的解，试求此微分方程4、 已知连续函数()f x 满足320()()d e 3xx tf x f t =+ò，求()f x .5、 已知连续函数()f x 满足()100()()d e2()d xxf x x u f u u x f xu u +-=+òò，求()f x .6、设函数()f x 在[)1,+¥上连续恒正，若曲线()y f x =，直线()1,1x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2π()(1)3t f t f éù-ëû，试求()y f x =所满足的微分方程，并求该方程满足2(2)9f =的特解.四、证明题四、证明题证明方程()y y f x ¢¢+=（其中()f x 连续）的通解为连续）的通解为()120cos sin ()sin d xy c x c x f t x t t =++-ò，其中为任意常数，其中为任意常数.. 第六章 微分方程测试题答案与提示一、一、1、A ；2、B ；3、A ；4、D ；5、C. 二、 1、3121ee e 4xxxc c x --+-；2、20y y y ¢¢¢++=；3、ln(1)x +；4、π4πe ；5、()()121e 1e 4x xy c c x x -=++-.三、三、1、答案：2212e e e (1)e x x xx c c x ++++. 提示：将2e(1)e xxy x =++代入原方程，比较同类项系数，求出,,a b g 的值，然后再去求解微分方程.2、答案、答案: (1): (1)sin y y x ¢¢-=; (2) 1e e sin 2x x y x -=--.3、答案、答案: :2e 2e x x y y y x ¢¢¢--=-.提示:21312e ,=e xxy y y y --=-是对应齐次微分方程的特解,从而可得出对应齐次微分方程为20y y y ¢¢¢--=, 设非齐次线性微分方程为2()y y y f x ¢¢¢--=,再将其中任意个非齐次特解代入,得出()e 2e x x f x x =-.4、答案、答案: : 32()3e 2e x x f x =-.5、答案、答案: : 21()12e 2xf x xx æö=++ç÷èø. 提示：作代换xu t =，则12()d 2()dt xx f xu u f t =òò.6、答案、答案:: 3()1x f x x =+. 提示：依题意可得：221π()(1)π()d 3tt f t f f x x éù-=ëûò，然后两边求导.四、略四、略. . 第五章 定积分及应用测试题一、选择题一、选择题1、设()f x 连续，0()d ,0,0stI tf tx x t s =>>ò，则I 的值是(). （A ） 依赖于s 和t ； （B ）是一个常数；）是一个常数； （C ）不依赖于s 但依赖于t ； （D ）依赖于s 但不依赖于t . 2、下列积分中,等于零的是( ). (A)12212cos ln(1)d x x x -+ò(B) 233(1)e d x x x -+ò(C) 4222sin cos d 1x xx x p p-+ò(C) 2121(1)d x x x --+ò3、设在[],a b 上()0,()0,()0f x f x f x ¢¢¢><>， 令()[]()1231()d ,(),()()2ba S f x x S fb b a S f a f b b a ==-=+-ò，则().(A) 321S S S >>;(B) 312S S S >>; (C) 213S S S >> ; (D) 132S S S >>. 4、已知sin πd 2x x x +¥=ò，则220sin d x x x +¥ò的值等于( ). (A) π;2(B) π; (C) 2π;4(D) π-1. 5、设()f x 在0处可导，且(0)0f =，则极限02()dt limxx f x t x ®-ò的值等于(). (A)不存在；不存在； (B) 0; (C) (0);f ¢ (D) 1(0).2f ¢ 二、填空题二、填空题1、设()f x 连续，310()dt x f t x -=ò，则(7)f 等于(). 2、定积分3π43π4(1arctan )1cos 2d x x x -++ò的值为(). 3、定积分11()e d xx x x -+ò的值为(). 4、若积分(21)d 4aax x --=-ò,则常数a 的值等于(). 5、曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的面积值等于( ). 三、计算和应用题三、计算和应用题1、已知(π)1f =，且[]0()()sin d 3f x f x x x p ¢¢+=ò，求(0)f .2、计算21212(e e )d 11xxx x x x --+++-ò3、设2π20sin ()d 12cos tf x t x t x =++ò，求(1)(0)f f4、 计算π320sin d sin cos x x x x+ò.5、设3e e()ln ()d xf x x f x x =+ò，求()f x .6、设()f x 可导，(0)1f =，且[]1()()d f x xf xt t +ò与x 无关，求()f x .四、证明题四、证明题设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内()0f x ¢>，证明存在唯一的(),a b x Î使曲线()y f x =和(),y f x a x ==所围面积1S 是()y f x =和(),y f x b x ==所围面积2S 的3倍.第五章 定积分及应用测试题答案与提示一、一、1、D ；2、C ；3、B ；4、A ；5、D. 二、二、 1、112；2、422-；3、2；4、2；5、3712.三、三、1、答案：(0)2f =. 提示：用分部积分提示：用分部积分. .2、答案：4π-.提示：利用奇偶对称性提示：利用奇偶对称性. . 3、答案：、答案：1. 1.提示：分别求出(0)f 和(1)f 的值即可. 4、答案：()1π14-. 提示：πππ33332220sin cos 1sin cos d d d sin cos sin cos 2sin cos x x x x x x x x xx xx x+==+++òòò.5、答案：ln 4()x f x x x=-. 6、答案：()e xf x -=.提示：令()[]11()()d ()()d ()()d xF x f x xf xt t f x x f xt t f x xf u u =+=+=+òòò，由()0F x ¢=得()()0f x f x ¢+=，所以e ()0x f x ¢éù=ëû. 四、提示：()()()10,,()()d tt a b S t t a f t f x x "Î=--ò，()()2()d ,bt S t f x x b t =--ò令()()12()3t S t S t j =-，用零点定理和单调性证明即可.第一章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、()f x 当0x x ®时的左极限和右极限都存在且相等是0lim ()x x f x ®存在的()条件. (A) 充分; (B) 必要; (C) 充要; (D) 无关. 2、设22212lim()n n n n n®¥+++= ( ). (A) 22212lim lim lim 0n n n nn n n®¥®¥®¥+++=; (B) ¥;(C) 21+2+1lim 2n n n ®¥+=;(D) 极限不存在. 3、设()=232x xf x +-，则当0x ®，有，有( ). (A) ()f x 与x 是等价无穷小; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小; (C) ()f x 是比x 高阶的无穷小;(D) ()f x 是比x 低阶的无穷小. 4、设11e 1()e 1xxf x -=+，则0x =是()f x 的(). (A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 第二类间断点;(D) 连续点.5、方程410x x --=至少有一个根的区间是( ).(A) 1(0,)2; (B) 1(,1)2; (C) (1,2); (D) (2,3).二、填空题二、填空题7、 若2211()3f x x xx+=++，则()f x =()． 8、 已知函数2(cos ), 0() , 0x x x f x a x -ì¹ï=í=ïî在0x =连续，则a = ( )． 9、 lim(3)1=n n n n ®¥+--()．10、 设2013sin coslim(1cos )(e 1)xx x x xx ®+=+-( )． 5、已知25lim 232n a bn n ®¥++=-，则a =( )，b = ( )．三、计算与应用题三、计算与应用题1、设0,0(), 0x f x x x ì=í>î≤，20, 0(), 0x g x x x ì=í->î≤，求函数项级数[()]f f x ，[()],g g x [()],[()]f g x g f x .2、设21sin ,0(),0x x f x x a x x ì>ï=íï+î≤，要使()f x 在(,)-¥+¥内连续，应当怎样选择数a ？ 3、设11e , 0()ln(1),10x x f x x x -ìï>=íï+-<î≤，求()f x 的间断点，并说明间断点所属类型．的间断点，并说明间断点所属类型． 4、计算极限tan π2lim(sin )xx x ®．5、计算极限123lim()21x x x x +®¥++6、设()f x 的定义域是[0,1]，求函数11()()22f x f x ++-的定义域.四、证明题四、证明题证明方程sin 10x x ++=在开区间ππ(,)22-内至少有一个根.第一章综合测试题答案与提示一、一、1、C ；2、C ；3、B ；4、B ；5、C. 二、二、1、21x +；2、1；3、32；4、32；5、任意常数，6. 三、三、1、答案：[()] = (),f f x f x[()]0,g g x = [()]0,f g x =[()]()g f x g x =. 2、答案：0a =．3、答案： 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点．是第二类间断点．4、答案：、答案： 1．5、答案：e .6、答案: 12x =.四、提示：利用零点定理．四、提示：利用零点定理．第二章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、若 e , 0()sin 2, 0axx f x b x x ì<=í+î≥在0x =处可导，则a b 、的值应为( ). (A) 2,1a b ==; (B) 1,2a b ==; (C) 2,1a b =-=;(D)2,1a b ==-. 2、设222, 1() 1 , 1x x x f x x ì-+>=íî≤ (). (A)不连续; (B)连续，但不可导; (C)连续，且有一阶导数; (D) 有任意阶导数 3、若()f x 为(,)l l -内的可导奇函数，则()f x ¢ (). (A) 必为(,)l l -内的奇函数; (B) 必为(,)l l -内的偶函数;(C) 必为(,)l l -内的非奇非偶函数; (D) 在(,)l l -内，可能为奇函数，也可能为偶函数. 4、()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x D ®-D -=D( ). (A) 02()f x ¢; (B)0()f x ¢-; (C) 0()f x ¢;(D) 0()f x ¢-.5、设()sin cos 2x f x x =+，则(15)(π)f = (). (A) 0; (B) 15112+; (C) 1-; (D) 1512-.二、填空题二、填空题 11、()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（连续的（ 充分充分）条件，()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（可微的（ ）条件．）条件．12、 设()(1)(2)() (2)f x x x x x n n =+++≥，则(0)f ¢=( )． 13、 设()f x 为可微函数，则当0x D ®时，在点x 处的d y y D -是关于x D 的()无穷小.14、 已知(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+ìí=-î，则3π4d d t x y== ( 1- )，223π4d d t x y == ( ) ． 15、 设函数()y f x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定，则d d yx= ( )． 三、计算与应用题三、计算与应用题1、讨论函数1sin , 0 0 , 0x x y x x ì¹ï=íï=î在0x =处的连续性和可导性. 2、已知22e 1,0() 1 ,0x x f x x x ì-ï¹=íï=î，求 ()f x ¢. 3、设()(e )e x f x y f =且()f x ¢存在，求d dyx . 4、设7777xy x =++，求微分2d x y =.5、用对数求导法计算函数452(3)(1)x x y x +×-=+的导数的导数6、求函数2cos y x =的n 阶导数. 四、证明题四、证明题设)(x f 在),(+¥-¥内有定义，且,(,)x y "Î-¥+¥，恒有()()()f x y f x f y +=×，()1()f x xg x =+，其中0lim ()1x g x ®=，证明()f x 在),(+¥-¥内处处可导.第二章综合测试题答案与提示一、一、1、A ；2、C ；3、B ；4、D ；5、B ． 二、二、1、充要；2、!n ；3、高阶；4、823πa -；5、1．三、三、1、答案：连续不可导.2、答案：223(22)e 2, 0() 0 ,0x x x f x x x ì-+ï¹¢=íï=î． 3、答案：()d e [(e )e (e )()]d f x x x xy f f f x x ¢¢=+.4、答案：67211d [7ln 7()]d 7xy xx x-=+-；7227d (ln 7)d 144x y x ==-×．5、答案：452(3)145[](1)2(2)31x x y x x x x +×-¢=×+-++-+.6、答案: ()1π2cos(2)2n n n yx -=+.四、提示: ,(,)x y "Î-¥+¥，有()[()1]()()y f x f x f x x g x =-=××，()limlim ()()().x x y f x f x g x f x x®®D ¢==×=D第三章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、下列函数在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是上满足拉格朗日定理条件的是( ). (A) ln(ln )x ; (B) ln x ; (C) 1ln x;(D) ln(2)x -. 2、设00()()0f x f x ¢¢¢== ，0()0f x ¢¢¢>，则(). (A) 0()f x ¢是()f x ¢的极大值;(B) 0()f x 是()f x 的极大值; (C)0()f x 是()f x 的极小值;(D) 00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点。

第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1．()∑∞=+-+112n n n ；2．()∑∞=+12221n n n判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=1100!n nn 2．()∑∞=++1332n n n n ；3．∑∞=14!n n n ； 求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=---11121n n n n ；2．Λ+-+-0001.1001.101.11.1； 3．Λ++-+++-144133********； 求下列幂级数的收敛半径和收敛区间1．∑∞=13n nn x n；2．∑∞=1!n nx n ；3．()∑∞=-1121n nnx n；4．∑∞=+-112121n n n x；5．∑∞=123n nn x n求下列级数的和函数1．∑∞=-11n n nx；2．121121+∞=+∑n n n x ；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．x 2cos ，00=x ；2．()()x x ++1ln 1，00=x ；3．x1，30=x ； (B)用定义判断下列级数的敛散性()()∑∞=++043131n n n 判断下列正项级数的敛散性1．∑∞=+1n )1(1n n ；2．1131++∑∞=n n n ；3．∑∞=13n n n ；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1．()∑∞=-⋅-11311n n n n ；2．()∑∞=--1n1211n n ； 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间1．()∑∞=-121n nnn x ；求下列幂级数的收敛区间、和函数与级数和 求∑∞=--11)1(n n x n 的收敛区间与和函数，并由此求数项级数∑∞=-112n n n 的和；将下列函数展开成0x x -的幂的级数1．()13212+-=x x x f ，00=x ；2．()21x x f =，10=x。

第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1．()∑∞=+-+112n n n ；2．()∑∞=+12221n n n ；3．∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+15131n n n ρ。

判断下列正项级数的敛散性4．∑∞=1100!n nn ；5．∑∞=1n n e e n ；6．∑∞=+121n n n ；7．()∑∞=++1332n n n n ；8．∑∞=14!n n n ； 9．nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+113；10．()∑∞=-+121n nnn 。

求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛11．()∑∞=---11121n n n n ；12．()∑∞=-2ln 11n nn；13． +-+-0001.1001.101.11.1； 14． ++-+++-14413312221222；求下列幂级数的收敛半径和收敛区间15．∑∞=13n nnx n ；16．()∑∞=-11n n n nn x ；17．∑∞=1!n nx n ；18．()∑∞=-1121n n n x n ；19．∑∞=+-112121n n n x；20．∑∞=123n nn x n ；求下列级数的和函数21．∑∞=-11n n nx；22．121121+∞=+∑n n n x ；将下列函数展开成0x x -的幂的级数23．2xx e e shx -=，00=x ；24．x 2cos ，00=x ；25．()()x x ++1ln 1，00=x ；26．x1，30=x ； 将下列函数在区间[]ππ,-上展开为付里叶级数27．()2cos xx A =，()ππ≤≤-x 。

28．()t x f 2-=，()ππ≤≤-x29．将函数()⎩⎨⎧≤≤≤≤-=30,03,2t x t x x x f 展开成付里叶级数。

30．将函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=lx l x l l x x x f 2,20,分别展开成正弦级数和余弦级数。

第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1nnn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()nn n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n nnC ．∑∞=-1321)1(n n nD ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）+++++321161814121（C ） +++3001.0001.0001.0（D ）()()()+-+-5353535343217．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ）（A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n nnB ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n nn19．幂级数∑∞=++11)21(n nnx 的收敛区间是（ C ）A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n nn n(B)()n n n111∑-∞=(C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23(B) 35(C) 52(D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=n a [D]A. 1)1(2+-n nB.nn)1(2- C.1)1(1+-n nD. 023. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=nb [A]A. 0B.nn)1(4- C.1)1(2+-n nD. 1)1(4+-n n二、填空题1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x 的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。

第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。

2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。

n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。

28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。

xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。

30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。

第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnn a x ∞=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然（ ） (A) 绝对收敛； (B ） 条件收敛; (C) 发散； （D ） 收敛性不定。

2、下列级数条件收敛的是（ ）.（A ） 1(1);210n n nn ∞=-+∑（B) 11n n -∞= （C ）111(1)();2nn n ∞-=-∑ （D) 11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1nn a∞=∑收敛于S ,则级数()121nn n n aa a ∞++=++=∑（ )(A) 1;S a + （B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑( ）.(A ） 绝对收敛； （B) 条件收敛； (C ） 发散; （D ） 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑,其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰,则1()2S -等于（ ） （A) 1;2- （B ） 1;4- （C) 1;4 （D) 12。

二、填空题1、 设14n n u ∞==∑,则111()22n nn u ∞=-=∑（ ) 2、 设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数()11nnn na x ∞=+∑的收敛区间为( ）3、 设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于（ ) 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =( )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为（ ）三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f+4、求2012!nnn n x n ∞=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数,且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、 设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ,并证明当1α>时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1） 求()211n n n a a n∞+=+∑ （2） 试证:对任意常数0λ>，级数1nn a n λ∞=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑。

无穷级数一、判断下列级数的敛散性，若收敛，求出其和1、1n∞=∑解：因为111nnknkS===⎡⎤=-⎣⎦=-=+-∑∑所以lim1nnS→∞=故11n∞==-∑2、1n∞=解：因为10n==≠，所以1n∞=发散。

3、13(1)nnnnn∞=+∑解：因为313lim3lim01(1)(1)nnn n nnn en→∞→∞==≠++，所以13(1)nnnnn∞=+∑发散。

4、11123n nn∞=⎛⎫+⎪⎝⎭∑解：111111111332.11232321123n n n n n n n ∞∞∞===⎛⎫+=+=+= ⎪--⎝⎭∑∑∑ 注：常用极限及公式：11, (0), 1, lim 1.nn n n a e n →∞⎛⎫=>=+= ⎪⎝⎭[]1(1)()(1)(1)nn k S f k f k f n f ==+-=+-∑，11||1, .1n n a q aq q∞-=<=-∑ 二、 用比较判别法判断下列正项级数的敛散性1、11cos n n π∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑解： 因为 2221c o s 2s i n 22n u nn nπππ=-=≤而级数 222211122n n n n ππ∞∞===∑∑收敛，故11cos n n π∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛。

2、11235(21)n n n -∞=⋅⋅-∑解：因为 112235(21)3n n n u n --⎛⎫=≤ ⎪⋅⋅-⎝⎭而级数1123n n -∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，故11235(21)n n n -∞=⋅⋅-∑收敛。

3、125nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑解：因为 1252nnn n u n ⎛⎫⎛⎫=≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭而级数112nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，故125nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛。

4、12(21)3nnn n ∞=-⋅∑ 解：因为 22(21)33nn n n u n ⎛⎫=≤ ⎪-⋅⎝⎭而级数123nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，故12(21)3n nn n ∞=-⋅∑收敛。