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第十一章-无穷级数(习题及解答)

第十一章无穷级数

§11.1 级数的概念、性质

一、单项选择题

1. 若级数

n n a

q ∞

=∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A)1q =； (B)1q =-； (C)

1q <； (D)

1q >．答(D)．

2. 下列结论正确的是( )．

(A)若lim 0n n u →∞=，则1

n n u ∞

=∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1

n n u ∞

=∑收敛；

(C)若1

n n u ∞

=∑收敛，则lim 0n n u →∞

=；(D)若1

n n u ∞

=∑发散，则lim 0n n u →∞

≠. 答(C)．

3. 若级数1

n n u ∞=∑与1

n n v ∞

=∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )．

(A)121

()n

n n u

v S S ∞

=±=±∑； (B)

11n

n ku

kS ∞

==∑；

(C)

n n kv kS ∞==∑； (D)

n n n u S v S ∞

==∑．答(D). 4. 若级数1

n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )．

(A)1()n n u S ∞

=-∑收敛； (B)

n n

u ∞

=∑收敛； (C)

n n u

∞

+=∑收敛；

(D)

n ∞

=收敛. 答(C).

5. 若级数1

n n a ∞

=∑收敛，其和0S ≠，则级数121

()n n n n a a a ∞

++=+-∑收敛于( )．

(A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B).

6. 若级数

∑∞

=1n n

发散，

∑∞

n n

收敛则 ( )．

(A)

∑∞

=+1)(n n n

b a

发散；

(B)

∑∞

=+1)(n n n

b a

可能发散，也可能收敛；

(C)

∑∞

n n

n b

a 发散； (D)

∑∞

=+1

22)(n n n b a

发散. 答(A).

二、填空题

1. 设1a <，则

().n n a ∞

=-=

∑ 答：

11a +. 2. 级数0

(ln 3)2n

n ∞

=∑的和为．答：

1ln 3

级数0

n ∞=∑，其和是．答：

1 4.数项级数

∑∞

=+-1

)12)(12(1

n n n 的和为.答： 1

5*. 级数0

n n ∞

=-∑的和为. 答： 3.

三、简答题

1．判定下列级数的敛散性

(1)23238888(1)9999n

n -+-++-+L L 答：收敛.

解： (2) 1111

3693n

+++++L L 答：发散. 解：

(3)13+L L 答：发散. 解：

(4) 232333332222n

n +++++L L 答：发散.

解：

(5) 22

33111111112323

2323n n ????????+++++++++ ? ? ? ?????????

L L 答：收敛. 解：

§11.2 正项级数收敛判别法、P — 级数

一、单项选择题

1. 级数1n n u ∞

=∑与1

n n v ∞

=∑满足0,(1,2,)n n u v n <≤=L ，则( )．

(A)若1n n v ∞

=∑发散,则1n n u ∞=∑发散；(B)若1n n u ∞=∑收敛,则1n n v ∞

=∑收敛；

(C)若1

n n u ∞=∑收敛,则1

n n v ∞=∑发散；(D)若1

n n u ∞=∑发散，则1

n n v ∞

=∑发散. 答(D).

2. 若10,(1,2,)n a n n

≤<=L ，则下列级数中肯定收敛的是( )．

(A)1n

n a ∞

=∑； (B)1

1()n n n a a ∞

+=+∑；

(C)

21n n a

∞

=∑；

(D)

n ∞

=．答(C).

3. 设级数 (1) 12!n n n n n ∞

=∑与 (2) 13!

n n n n n

∞

=∑，则( )．

(A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；

(C)级数(1)收敛，级数(2)发散； (D) 级数(1)发散，级数(2)收敛．答(C).

4. 设级数

(1) n ∞

=与 (2) 110!n

n n ∞

=∑, 则( ).

(A)级数(1)、(2)都收敛； (B) 级数(1)、(2)都发散；

(C)级数(1)收敛,级数(2)发散；

(D) 级数(1)发散,级数(2)收敛．答(D). 5. 下列级数中收敛的是( )．

(A)1

n ∞= (B)1

sin n n ∞

=∑； (C)1(1)31n

n n n ∞=--∑； (D)1121n n ∞

=-∑．答(A).

6*. 若级数22116n n π∞

==∑，则级数2

(21)n n ∞

==-∑( ). (A)

π; (B)

π; (C)

π; (D)

π. 答(B).

7. 设1

n n u ∞

=∑与1

n n v ∞

=∑均为正项级数,若1lim

=∞→n

n v u ，则下列结论成立的是( ).

(A)1

n u ∞

=∑收敛, 1

n n v ∞

=∑发散； (B) 1

n n u ∞

=∑发散, 1

n n v ∞

=∑收敛；

(C)

n u

∞

=∑与1

n n v ∞=∑都收敛,或1

n n u ∞=∑与1

n n v ∞

=∑都发散. (D)不能判别. 答(C).

8. 设正项级数

∑∞

n n

收敛，则( ).

(A)极限1lim

n n n u u +→∞≤1； (B) 极限1lim n n n

u +→∞<1；

(C)

极限1n ； (D)无法判定. 答(A)

9. 用比值法或根值法判定级数1

n n u ∞

=∑发散，则

∑∞

n n

( ).

(A)可能发散； (B)一定发散；

(C)可能收敛； (D)不能判定. 答(B)

二、填空题

1. 正项级数1n n u ∞

=∑收敛的充分必要条件是部分和n

S .答：有上界.

设级数1

n n α

∞

=∑

收敛，则α的范围是. 答：3

2α>． 3. 级数1

n n u ∞

=∑的部分和21n n

S n =+，则n u =. 答：

2(1)n n +. 4. 级数021

2n n n ∞

=+∑是收敛还是发散. 答：收敛.

5. 若级数11sin p n n

n π

∞

=∑收敛，则p 的范围是. 答：0p >.

6. 级数13!

n n n n n

∞

=∑是收敛还是发散

. 答：发散.

三、简答题

1. 用比较法判定下列级数的敛散性：

(1) 2

111n n n ∞=++∑；答：发散. (2) 11

(1)(2)n n n ∞

=++∑；答：收敛.

(3) 1sin

n π

∞

=∑；答：收敛. (4) 11

(0)1n

n a a

∞

=>+∑

.答1a >收敛;1a ≤发

散.

2. 用比值法判定下列级数的敛散性：

(1) 132n n

n n ∞=?∑；答：发散. (2) 2

13n n n ∞

=∑；答：收敛. 解：

(3) 12!n n n n n ∞

=?∑；答：收敛. (4) 11

tan 2n n n π

∞

+=∑．答：收敛.

解：

3. 用根值法判定下列级数的敛散性：

(1) 121n

n n n ∞

=??

?+??∑；答：收敛. (2) 1

1[ln(1)]n

n n ∞

=+∑；答：收敛. 解：解：

(3) 21

131n n n n -∞

=??

-??∑；答：收敛.

解：

(4) 1n

n n b a ∞

=??

???

∑其中,()n a a n →→∞，,,n a b a 均为正数．

答：当b a <时收敛，当b a >时发散，当b a =时不能判断．

§11.3 一般项级数收敛判别法

一、单项选择题

1. 级数

n u

∞

=∑与

n v

∞

=∑满足,(1,2,)n n u v n ≤=L ,则( )．

(A) 若1n n v ∞=∑收敛,则1n n u ∞

=∑发散；(B) 若

n u

∞

=∑发散,则

n v

∞

=∑发散；

n n u ∞

=∑收敛,则1

n n v ∞

=∑发散；(D) 若1

n n v ∞

=∑收敛,则1

n n u ∞

=∑未必收敛．答(D).

2. 下列结论正确的是( )．

(A) 1n

n u

∞

=∑收敛，必条件收敛； (B) 1

n u

∞

=∑收敛，必绝对收敛；

n u ∞=∑发散，则1n

n u ∞

=∑必条件收敛；

(D)

n n u

∞=∑收敛，则

n u

∞

=∑收敛．答(D) .

2. 下列级数中，绝对收敛的是( )．

(A) 1(1)

31n

n n n ∞=--∑; (B) 121

1(1)n n n ∞

-=-∑； (C) 1

11(1)

ln(1)n n n ∞

-=-+∑； (D) 111(1)n n n ∞-=-∑．答(B) . 3. 下列级数中，条件收敛的是( )．

(A)

1(1)n n ∞

-=-∑； (B) 1

12(1)3n

n n ∞

-=??

- ???∑； (C) 1211(1)n n n ∞-=-∑； (D) 1

1(1)2n n n n ∞

-=-?∑．答(A) . 4. 设α

为常数，则级数2

1sin n n n α

∞

=?- ?

∑( ). (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛；

5. 设),3,2,1()11ln(cos Λ=+

=n n

n a n π，则级数( ).

(A)

∑∞

=1n n

与

∑∞

2n n

都收敛. (B)

∑∞

=1n n

与

∑∞

2n n

都发散.

(C)

∑∞

n n

收敛，

∑∞

2n n

发散. (D)

∑∞

n n

发散，

∑∞

2n n

收敛. 答(C).

6.设),3,2,1(1

0Λ=<

a n ,则下列级数中肯定收敛的是( ). (A)∑∞

=1n n a . (B)∑∞

=-1)1(n n n

a . (C) ∑

∞

=2ln n n n a . (D)∑∞

ln n n n a . 答(D). 7.下列命题中正确的是( ).

(A) 若

∑∞

n n

与

∑∞

2n n

都收敛,则

21)(n n n

v u

+∑∞

=收敛.

(B)若

∑∞

n n

n v u

收敛,则∑∞

n n u 与∑∞

n n v 都收敛.

∑∞

n n

发散,则n

u n 1≥

. (D)若),3,2,1(Λ=

∑∞

n n

发散,则

∑∞

n n

发散. 答(A).

二、填空题

1. 级数1

(1)n n n α-∞

=-∑绝对收敛，则α的取值范围是．答： 1.α>

2. 级数1

1sin 2n n n απ

∞

=∑条件收敛，则α的取值范围是．答：0 1.α<≤

3. 级数2

n n a ∞=∑收敛，则0(1)n

n n a n ∞=-∑是条件收敛还是绝对收敛．

答：绝对.收敛

三、简答题

1. 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？

(1) 11(1)n n ∞

-=-∑；答： .条件收敛

解：

(2) 1

1(1)3n n n n

∞

--=-∑；答： .绝对收敛解： (3) 2

sin (1)n n n α

∞

=+∑；答： .绝对收敛解：

(4) 1

(1)32n n

n ∞

-=-?∑；答： .绝对收敛解：

(5) 1

11(1)ln(1)

n n n ∞

-=-+∑；答： .条件收敛解：

(6) 2

12(1)

n n n ∞

+=-∑ 答： .发散解：

§11.4 幂级数收敛判别法

一、单项选择题

1. 幂级数1n

n x n

∞

=∑的收敛区间是( )．

(A)[1,1]-； (B)(1,1)-； (C)[1,1)-； (D)(1,1]-．答(C).

2. 幂级数1

(1)(1)2n

n x n ∞

=+-?∑的收敛区间是( )． (A)[2,2]-； (B)(2,2)-； (C)[2,2)-； (D)(2,2]-．答(D).

3. 幂级数2213

n n x n ∞

=?∑的收敛半径是( ).

(A)3R =；

(B)R ； (C)1

3R =

；

(D)R = 答(B). （A ） (C)

（B ）

(D)

4. 若级数

∑∞

=+1

)

2(n n

x C 在4x =处是收敛的，则此级数在1x =处( ).

(A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定．答(C).

5. 若级数

∑∞

=+1

)

2(n n

x C 在4x =-处是收敛的，则此级数在1x =处( ).

(A)发散；(B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定．答(D).

6．若幂级数

n n

x a

)1(0

-∑∞

=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞

n n a ( ).

(A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性不能确定. 答(B).

二、填空题

1. 幂级数21n

n x n

∞

=∑的收敛域是．答： [1,1].-

2. 幂级数2123n n n

n x n

n ∞

=??+ ???∑的收敛域是

．答： 11

,.33??-????

3. 幂级数121

(1)(21)!n n n x n --∞

=--∑的收敛半径R = ，和函数是．

答：,sin .R x =+∞

4. 幂级数20

(1)(2)!n n

n x n ∞

=-∑的收敛半径R = ，和函数是．

答：,cos .R x =+∞

5. 设0

n n a x ∞

=∑的收敛半径为R ，则20

n n n a x ∞

=∑的收敛半径为

．答：

6. 设幂级数0

n n a x ∞=∑的收敛半径为4，则210

n n n a x ∞

-=∑的收敛半径为．答：2.

7. 幂级数1

(23)

(1)21

n n x n ∞

-=---∑的收敛域是 . 答：(1,2].

8. 幂级数∑∞

=-0

2)1(n n n

x a

在处2=x 条件收敛，则其收敛域为 .答：]2,0[.

一、简答题

1. 求下列幂级数的收敛域．

(1) 1n

n nx ∞=∑；答： (1,1).- (2) 1

(1)

n n x n

∞

-=-∑；答： [1,1].- (3) 13

n n n x n ∞

=?∑；答：[3,3)-． (4) 2121n n n x n ∞

=+∑；答：11,22??

???．

(5) n n ∞

=; 答：[4,6). (6) 211(1)21n n n x n +∞

=-+∑．答：[1,1].-

2. 用逐项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数． (1) 11n n nx ∞

-=∑；答：2

(),(1,1)(1)S x x x =

∈--．

解：

(2) 21121

n n x n -∞

=-∑．答：11()ln ,(1,1)21x

S x x x +=∈--．

解：

3*. 求级数1

n n ∞

=?∑的和．答：2ln 2. 解：

§11.5 函数展开成幂级数

一、单项选择题

1. 函数2

()x f x e -=展开成x 的幂级数是( )．

(A) 462

12!3!x x x ++++L ；(B) 462

12!3!x x x -+-+L ；

12!3!

x x x -+-+L ．答(B).

2. 如果()f x 的麦克劳林展开式为20

n n n a x ∞

=∑，则n a 是( )．

()(0)

(A)

!n f n ；(2)(0)

(B)!

n f n ；(2)(0)

(C)(2)!n f n ；()(0)

(D)(2)!

n f n ．答(A). 3. 如果()f x 在0x x =的泰勒级数为00

()n n n a x x ∞=-∑，则n a 是( )．

()

0(A)()n f x ；(2)0()(B)!n f x n ；(2)0()

(C)!

n f x n ；()0()

(D)

n f x n ．答(C). 4. 函数()sin 2f x x =展开成x 的幂级数是( )．

357(A)3!5!7!x x x x -+-+L ； 224466

222(B)12!4!6!x x x -+-+L ；

335577222(C)23!5!7!x x x x -+-+L ； 462

(D)14!6!

x x x -+-+L ．答(C).

二、填空题

1. 函数()x

f x a =的麦克劳林展开式为．答： 0

(ln ).!n n

n a x n ∞

=∑ 2. 函数12

()3

x f x +=的麦克劳林展开式为

．

0ln 3.2!n

n n x

n ∞

=?? ?

? 3. 幂级数21

(1)

(21)!

n n n x n -∞

-=--∑的和函数是．答：sin .x

4. 函数1

()1f x x

=-的麦克劳林级数为

．答：0.n n x ∞

=∑

5. 函数1

()1f x x

=+的麦克劳林级数为

．答：0

(1).n n n x ∞=-∑

6. 函数()ln(1)f x x =+的麦克劳林级数为．答： 1

(1)

n n x n

∞

-=-∑ 7. 函数()x

f x e =在1x =处的泰勒级数

．答：0(1).!

n n e

x n ∞

=-∑

8. 函数1

()1f x x =+在1x =处的泰勒级数

．答： 1

(1)(1).2n

n n x ∞

+=--∑ 9. 函数1

()f x x

=展开成3x -的幂级数为

．答： 1

(3)(1).3n

n n x ∞

+=--∑ 10. 函数2

()cos f x x =展开成x 的幂级数为

．答：212012(1).2(2)!

n n

n n x n -∞=+-∑ 11. 级数0

(1)(2)!n

n n ∞

=-∑的和等于

. 答：cos1.

三、简答题

1. 将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间．

(1) ()ln(),(0)f x a x a =+>；解：

答：1

ln()ln (1)

n n n x a x a n a ∞

-=+=+-?∑ (2) 2()sin f x x =；

解：

答：22

1(2)sin (1)

,(,).2(2)!

n n x x n ∞

-==--∞+∞∑ (3) ()(1)ln(1)f x x x =++；解：

答：12(1)(1)ln(1),(1,1].(1)

n n

n x x x x n n -∞

=-++=+--∑

(4*) ()f x =；

解：

212(2)!(1),[1,1].(!)2n n n n x x n +∞

=??

=+-- ?

??∑

(5). 2()23

f x x x =--．

解：

答：21

1221112(2)!(1),(1,1).2343(!)2n n n n n x n x x x x n +∞-=????

=-+-- ?

??--??

??∑

2. 将函数()cos f x x =展开成3x π?

?+ ??

?的幂级数．

解：

答：

221

011cos (1),(,).2(2)!33n

n n n

n x x x n ππ+∞

=?????=-+++-∞+∞?? ?????????

?∑

3*. 将函数2()ln(3)f x x x =-在1x =展开成幂级数．解：

答： 2

01(1)ln(3)ln 2(1),(0,2].2n n n n x x x n ∞

-=-??-=+--??

?∑ 4*. 将函数21

()32

f x x x =++展开成4x +的幂级数.

解：

答： 2

11011

1(4),(6,2).3223n n n n x x x ∞

++=??=-+-- ?++??

∑

§11.6 2π为周期的傅里叶级数

一、单项选择题

1. 函数系{}1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,(

).x x x x nx nx L L

(A) 在区间[,]ππ-上正交； (B) 在区间[,]ππ-上不正交；

2. 函数系{}1,sin ,sin 2,,sin ,(

).x x nx L L

(A) 在区间[0,]π上正交； (B) 在区间[0,]π上不正交；

3. 下列结论不正确的是( )．

(A)

cos cos d 0,()nx mx x n m ππ

-=≠?

；(B)

sin sin d 0,()nx mx x n m ππ

-=≠?

；

(C)

cos sin d 0nx mx x π

-=?

； (D)

cos cos d 0nx nx x π

-=?

．答(D).

4. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是奇函数时，其傅里叶系数为( )．

(A)0

0,()sin d n n a b f x nx x π

π==?；(B)0

0,()cos d n n a b f x nx x π

π==?； (C)02

0,()sin d n n a b f x nx x ππ==

?；(D)0

0,sin d n n a b nx x π

π==

?．答(C).

5. ()f x 是以2π为周期的函数，当()f x 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．

(A)0

0,()sin d n n b a f x nx x π

π==?；(B)02

0,()cos d n n b a f x nx x π

π==?； (C)0

0,()cos d n n b a f x nx x ππ==

?；(D)0

0,cos d n n b a nx x π

π==

?．答(B).

二、填空题

1. ()f x 是以2π为周期的函数，()f x 傅里叶级数为

．

答：01

(cos sin ).2n n n a a nx b nx ∞

=++∑其中

1()cos d ,0,1,2,,n a f x nx x n ππ

-==?L 1()sin d ,1,2,.n b f x nx x n π

-==?L

2. ()f x 是以2π为周期的偶函数，()f x 傅里叶级数为．

答：01cos .2n n a a nx ∞=+∑ 0

2()cos d ,0,1,2,.n a f x nx x n π

π==?L 其中

3. ()f x 是以2π为周期的奇函数，()f x 傅里叶级数为．

答：1

sin .n n b nx ∞

=∑ 02

()sin d ,1,2,.n b f x nx x n π

π=

=?L 其中

4. 在(),()f x x x πππ=--≤≤的傅里叶级数中，sin x 的系数为．答：2.

5. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，sin 2x 的系数为．答： 1.-

6. 在()1,()f x x x ππ=+-<≤的傅里叶级数中，cos2x 的系数为．答：0.

三、简答题

1. 下列函数()f x 的周期为2π，试将其展开为傅里叶级数．

(1) 2()31,()f x x x ππ=+-≤<；解：

第十一章无穷级数(已改)

第十一章无穷级数一、常数项级数（A:§11.1,§11.2; B:§10.1,§10.2） Ⅰ、内容要求：（ⅰ）理解无穷级数敛散及和的概念。（ⅱ）记忆无穷级数收敛的必要条件，了解无穷级数的基本性质。（ⅲ）记忆等比级数和p 级数的敛散性。（ⅳ）掌握正项级数的比值审敛法，学会运用正项级数的比较审敛法及其极限形式，了解正项级数收敛的充要条件。（ⅴ）掌握交错级数的莱布尼兹定理，了解一般项级数绝对收敛与条件收敛的概念及关系。 Ⅱ、基本题型：（ⅰ）无穷级数基本性质的客观题。 1．是非题：（每题4分）（1）∑∞ =1 n n u 收敛，则0lim =∞ →n n u ，反之亦然。（ ? ）（2）∑∞=1 n n u 收敛，∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =+1 )(n n n v u 必发散。（√ ）（ⅱ）涉及等比级数和p 级数敛散性的客观题。 2．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ C ） (A) ∑ ∞ =1 1n n (B) )1(1 ∑ ∞ =- n n (C) ∑ ∞ =--1 1 2 )1(n n n (D) ∑ ∞ =1 1n n 3．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ D ）（A ）∑∞ =1 3n n （B ）∑ ∞ =+1 3 1n n （C ）∑ ∞ =+1 1 n n n （D ）∑ ∞ =+1 3 1 1n n （ⅲ）运用比较审敛法及其极限形式判定简单正项级数的敛散性。 4．判别下列级数的敛散性：（每题6分）（1）∑ ∞ =+12 1 n n n （2）∑∞ =1 2sin n n π （3）∑∞ =+ 1 )11ln(n n （4）∑∞ =+1 )1 2( n n n n 解：（1）解：11 1 lim 2 =+∞→n n n n ∑ ∞ =1 1n n 发散 ∴ ∑ ∞ =+1 2 1 n n n 发散。

高等数学：第11章无穷级数自测题答案

《高等数学》单元自测题答案第十一章无穷级数一．选择题： 1.B ； 2. D ； 3.A ； 4.B ； 5.B ； 6.B ； 7. C ； 8.C . 二．填空题： 1. () ∑∞=-021n n n x ，()1,1-∈x ；2. ()x +1ln ； 3. [)6,0； 4. 2 k . 三．判断题： 1. 解因为02121lim ≠=+∞ →n n n ，故级数发散. 2. 解因为n n n n n n n 1)3(3)3(32=++>++，而∑∞=11n n 发散，故原级数发散. 3. 解设n n n n u )13( +=，因为13113lim lim <=+=∞→∞→n n u n n n n ，故级数收敛. 4. 解因为()∑∞=-+1 212n n n ∑∑∞=∞=--+=111)21()21(n n n n ,并且级数∑∑∞=∞=--111)21()21(n n n n 和均收敛,故级数()∑∞=-+1212n n n 收敛. 四．判断题： 1. 解 ()∑∑∞=-∞=--=-11111221n n n n n n n ，因为12121lim 221lim lim 11<=+=?+=∞→-∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n 故∑∞=-112n n n 收敛，从而()∑∞=---11121n n n n 绝对收敛. 2. 解 ∑∞=-+-=++-+++-1 212221)1(14413312221n n n n ， ∑∑∞=∞=-+=+-1212111)1(n n n n n n n ，因为11lim 11lim 222=+=+∞→∞→n n n n n n n ，而级数∑∞=11n n 发散，故绝对值级数∑∞=-+-121 1 )1(n n n n 发散，因此所给级数不是绝对收敛的.由于所给级数是交错级数，且满足1 )1(11,01lim 222+++>+=+∞→n n n n n n n ，据莱布尼兹判别法知，

第十一章-无穷级数(习题及解答)

第十一章无穷级数 §11.1 级数的概念、性质一、单项选择题 1. 若级数 1 n n a q ∞ =∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A)1q =； (B)1q =-； (C) 1q <； (D) 1q >．答(D)． 2. 下列结论正确的是( )． (A)若lim 0n n u →∞=，则1 n n u ∞ =∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1 n n u ∞ =∑收敛； (C)若1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =；(D)若1 n n u ∞ =∑发散，则lim 0n n u →∞ ≠. 答(C)． 3. 若级数1 n n u ∞=∑与1 n n v ∞ =∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )． (A)121 ()n n n u v S S ∞ =±=±∑； (B) 11n n ku kS ∞ ==∑； (C) 21 n n kv kS ∞==∑； (D) 1 12 n n n u S v S ∞ ==∑．答(D). 4. 若级数1 n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )． (A)1()n n u S ∞ =-∑收敛； (B) 11 n n u ∞ =∑收敛； (C) 1 1 n n u ∞ +=∑收敛； (D) n ∞ =收敛. 答(C). 5. 若级数1 n n a ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则级数121 ()n n n n a a a ∞ ++=+-∑收敛于( )． (A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B). 6. 若级数 ∑∞ =1n n a 发散， ∑∞ =1 n n b 收敛则 ( )． (A) ∑∞ =+1)(n n n b a 发散； (B) ∑∞ =+1)(n n n b a 可能发散，也可能收敛； (C) ∑∞ =1 n n n b a 发散； (D) ∑∞ =+1 22)(n n n b a 发散. 答(A).

第十二章无穷级数A同步测试卷教学文案

第十二章无穷级数A 同步测试卷

第十二章无穷级数同步测试A 卷一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1．下列级数中，收敛的是（） 2100111111 () 22223++++++++L L L A n 2111111()23100222 ++++++++L L L n B 211111 ()(1)()()2222+++++++L L n C n 2111111 ()(1)()23222++++++++++L L L L n D n 2．设1 ∞ =∑n n u 为数项级数，下列结论中正确的是（） 1 ()lim ,1+→∞=

4. 设常数0>k ，则级数1 21 (1)∞ -=+-∑n n k n n （）. ()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关. 5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为 (0) ()2(2)πππππ≤≤?=? -≤≤?x f x x x ，设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （）. () ()()2()02 π ππA B C D 二、填空题(每小题4分，共20分) 6. 级数111 ( )23∞ =+∑n n n 的和为 . 7. 幂级数21 12(3) ∞ -=+-∑ n n n n n x 的收敛半径为 . 8. 已知级数1 211 1 (1)2,5∞ ∞ --==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1 ∞ ==∑n n u . 9．将1 ()2= -f x x 展开为x 的幂级数时，其收敛域为 . 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a . 三、解答题(共65分) 11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为1 1ln(1)(1) ∞ -=+=-∑n n n x x n ，因此取2=x 得11 2ln 3(1)∞ -==-∑n n n n . 12. （8 分）讨论级数2∞ =n . 13. （8分）求级数2012!∞ =+∑g n n n n x n 的和函数.

高数第七章无穷级数知识点

高数第七章无穷级数知识点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第七章无穷级数一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散；级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满足条件l U U n n n =+∞→1 lim ：当1l 时，级数发散（或+∞=l ）；当1=l 时，无法判断。 5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞ =1n n U ，满足条件λ =∞→n n n U lim ：当1<λ时，级数收敛；当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）；当1=λ时，无法判断。注：当1,1==λl 时，方法失灵。

6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩）推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散性的级数) 若+∞<

第十一章无穷级数

第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质 1、由P189性质2引出的类似问题（考研经常考到这类选择题）：（1） 1 n n u ∞ =∑、 1n n v ∞ =∑都为收敛级数 ① 级数 1()n n n u v ∞ =±∑收敛 ② 级数 1 ()n n n u v ∞ =?∑收敛（2） 1 n n u ∞ =∑收敛， 1 n n v ∞ =∑发散 ① 1()n n n u v ∞ =±∑必发散 ② 1 ()n n n u v ∞ =?∑不一定发散，有可能收敛。例如，当1()2n n u =、1(1)n n v -=-时，级数231 1111 ()()()2222 n n n u ∞ == +++++∑ 必收敛（这是一个等比级数，公比1 112q -<=<），级数11(1)1(1)n n v ∞==+-++-+∑ 发散，但是对于级数1 ()n n n u v ∞=?∑而言，由于 1 1 ||n n n n n u v u ∞ ∞ ==?=∑∑收敛，即1 ()n n n u v ∞ =?∑绝对收敛，那么1 ()n n n u v ∞ =?∑本身也收敛。（关于绝对收敛P201页，你复习了后面的内容后就会理解这个例子了）（3） 1 n n u ∞ =∑、 1n n v ∞ =∑都发散 ① 1 ()n n n u v ∞ =±∑不一定发散，有可能收敛。当n n u v =-，且1 n n u ∞=∑发散时，那么1 n n v ∞ =∑也发散，而 1 ()000n n n u v ∞ =+=++++∑ 必收敛。同样当n n u v =时，且1 n n u ∞ =∑发散时，

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章无穷级数

第十一章无穷级数教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。教学重点： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数；

高等数学第十二章级数

第十二章级数一、本章提要 1．基本概念正项级数，交错级数，幂级数，泰勒级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收敛，发散，绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收敛半径，收敛区间，收敛域． 2．基本公式 )1()(x f 在0x x =处的泰勒级数系数：)(00x f a =，! ) (0)(k x f a k k = ； (2)傅里叶系数： ππ ππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππ n n a f x nx x n b f x nx x n --= ===?? ． 3．基本方法比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法． 4．定理比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收敛半径定理，幂级数展开定理，傅里叶级数展开定理．二、要点解析问题1 有限个数相加与无穷个数相加有什么区别和联系？何谓无穷级数的和？解析有限个数相加与无穷个数相加是有本质区别的．为了叙述方便，称前者为有限加法，后者为无限累加．我们知道有限个数相加之和是一个确定的数值，而无穷个数相加只是一种写法，即沿用了有限加法的符号来表示无限累加．我们不可能用有限加法的方法来完成无限累加，尤其是无限累加未必是一个确定的数值．另外，有限加法中的结合律和交换律在无限累加中也不一定成立．但是，无限累加与有限加法又是紧密联系的．我们在研究无限累加时，是以有限加法(部分和)为基础的，即从部分和出发，讨论其极限是否存在．若极限存在，则无限累加有和，也就是无穷级数有和(收敛)，其和等于这个极限值；否则，无限累加无和，当然，无穷级数也无和(发散)．由此看出，级数的收敛与发散，反映了无穷多个数累加的趋势．级数收敛就是无穷多个数累加可以得到一个确定的数值．一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书上只就和是否存在，即级数是否收敛给出一些判别法则．例1 我们考察著名的波尔查诺（Bolzano ，B ．）级数的求和问题．设 +-+-=1111x ，则有：解一 0)11()11(=+-+-= x ；解二 1)11()11(1=-----= x ；解三 x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12 x = ．这些矛盾的结果，在历史上曾使人怀疑过数学的精确性不可靠．柯西指出：以上解法犯了墨守成规的错误，即把有限的结合律、交换律以及有限项总存在代数和的观念照搬到无限项的运算之中．柯西的研究，澄清了那个时代对无限运算的糊涂观念，引起了思想解放，其实级数 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n 是发散的．

第十二章无穷级数

第十二章无穷级数 1下列无穷级数中发散的无穷级数是（） A.∑ ∞ =+1 n 2 2 1n 3n B. ∑ ∞ =+-1 n n 1n )1( C. ∑ ∞ =--3 n 1 n n ln )1( D. ∑ ∞ =+1 n 1n n 32 2.设幂级数∑∞ --1 )3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定 3．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（） A ．∑ ∞ =++15312n n n B ．∑ ∞ =--+11)1(1n n n C ．∑ ∞ =-15 1 n n D ．∑ ∞ =--1 1 )1(n n n 4．设正项级数∑∞ =1 n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（） A ．∑∞=+1 100n n u B ．∑∞=++1 1)(n n n u u C ．∑∞ =1 )3(n n u D ．∑∞ =+1 )1(n n u 5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（） A.()∑ ∞ =+11 1 n n n B. ∑ ∞ =??? ??+13101n n C. ∑ ∞ =?? ? ??+12 110 1 n n n D. ∑ ∞ =+11 3 2n n n 6.无穷级数∑∞ =023n n n 的前三项和S 3=( ) A.-2 B. 419 C.8 27 D. 8 65 7.幂级数1! n n x n ∞ =∑的和函数为（） A.1x e - B.x e C.1x e + D.2x e + 8.已知幂级数()n 1 1n n a x ∞ =+∑在x =-3处收敛，则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 9.无穷级数1 1 !n n ∞ =∑ 的和为______. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上表达式为1()1 f x -?=?? , , 0x x ππ -≤≤≤＜

微积分第七章-无穷级数

第七章无穷级数一、本章的教学目标及基本要求：（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。（2）掌握几何级数与p —级数的收敛性。（3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。（4）会用交错级数的莱布尼茨定理。（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。（10）掌握函数α )1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x +-的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。（11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。二、本章教学内容的重点和难点：重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1 常数项级数的概念及性质一、内容要点 1、常数项级数概念：常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件：性质1：若级数∑∞= 1 n n u 收敛于和s ，则级数∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数 ∑∞=1 n n u 、∑∞= 1 n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞ =+1 n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞ = 1 n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；性质5(级数收敛的必要条件)：若级数 ∑∞ = 1 n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即