北师大版 九年级数学 上学期 第六章 频率与概率（一）
一、知识概括：
本章的主要内容是通过实验体会概率的意义，在具体情境中，了解频率与概率的关系，会用实验的方法估计一个事件发生的概率。知道在大量重复实验时，实验发生的频率可以作为事件发生概率的估计值；同时在具体情境中学习运用列举法（包括列表、画树状图等）来计算简单事件发生的概率。
经历“猜测结果–––进行实验––––分析实验结果”的过程，建立正确的概率直觉，进一步丰富对概率知识的认识。
1. 当实验的次数很大时，我们会发现事件发生的频率稳定在相应的概率附近。因此，我们可以通过大量实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率；同时能运用列举法（列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。
2. 一般地我们用实验的方法来估计一个事件发生的概率，但有时通过实验的方法估计一个事件发生的概率有一定的难度时，我们可以通过模拟实验的方法来估计该事件发生的概率的大小。
3. 求概率的方法： （1）列表；（2）画树状图；（3）实验或模拟实验的方法
二、要点分析：
1. 通过实验体会概率的意义，了解频率与概率的关系。随机现象表面看无规律可循，出现哪一个结果事先无法预料，但当我们大量地重复实验时，实验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性。如：通过实验获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率，在具体的实验活动中，对频率与概率之间的这种关系进行体会，通过实验感受到大量重复实验时频率可以作为事件发生概率的估计值，并可以利用这种方法来估计一些事件发生的概率。
2. 经历“猜测结果→进行实验→分析实验结果”的过程，建立正确的概率直觉。生活经验是学习概率的基础，但其中往往有一些是错误的，因此建立正确的概率直觉是非常重要的，必须亲自经历对随机现象的探索过程，亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较。如下面掷硬币游戏的公平性问题：小明和小亮在做掷硬币的游戏。任意掷一枚硬币两次，如果两次朝上的面相同，那么小明获胜；如果两次朝上的面不同，那么小亮获胜。这个游戏公平吗？小刚认为不公平，他认为小明获
胜的概率为
，而小亮获胜的概率是
。其实小刚存在的误解是把硬币出现的
23
13
结果认为两正和两反的次数比一正一反的次数多，实际上澄清小刚误解的一个重要方法是亲身经历实验，通过实验结果修正自己的想法。同时在实验的过程中可以发现，每一次实验的结果事先是无法预料的，收集到的实验数据都带有不确定性，但大量实验后，四种情况（两正、两反、一正一反、一反一正）出现的频率都是稳定在同一数值上，所以小刚的猜测是不正确的。
3. 学习利用列举法计算简单事件发生的概率。了解概率的意义，理解现实世界中随机现象的特点是本章的重点和难点，通过现实生活中熟悉和感兴趣的问题，丰富对概率背景的认识，积累大量的活动经验，探索计算概率的方法，体会随机观念的特点。如：即使告诉
你中奖的概率为
，那么你买张奖券也不一定能中奖；又如：明天的降
11000
1000水概率为10％，后天的降水概率是90％，但却有可能明天下雨了，而后天没有下雨。从这些例子可以说明我们不能在实验之前预知实验的确切结果，只能知道每个结果发生的概率，这就是随机观念。
4. 学会用实验的方法估计一个事件发生的概率，并会设计一个方案来估计一个事件发生的概率。用模拟实验的方法来估计一个事件发生的概率是本章的一个难点。如某种“36选6”的彩票规定：从1～36这36个数字中选择6个（可以重复），如果其中有2个与所公布的中奖号码（不妨设为3，1，8，6，6）相同，即可获取四等奖，我们就可以利用计算器模拟实验估计获得四等奖的概率，利用计算器产生1～36之间的随机数，并记录下来，每产生6个随机数为一次实验，通过多次实验来看看有与上面中奖号码中2个相同的数的频率是多少，从而估计出四等奖的中奖概率。
5. 运用统计与概率的知识和方法解决一些简单的实际问题。通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题，如：统计一段英文中字母“A ”或“G ”出现的频率，从而了解键盘的设计原理和破译某种密码的方法；又如调查学校周围道路交通状况，为交通方面提出合理的建议等；将统计与概率有机地结合起来，学会运用概率的相关知识解决日常生活中的一些问题，从而提高自己解决问题的能力。
三、典型例题
例1. 两袋分别盛着写有0，1，2，3，4，5六个数字的六张卡片，从每袋中各取一张，求所得之和等于6的概率，现有小刚和小颖分别给出了下述两种不同解答：
小刚的解法：两数之和共有0，1，2，3……10，这11种不同的结果，因此所求
的概率为
；
111
小颖的解法：从每袋中各任取一张卡片共有36种取法，其中和数为6的情况共有5种。（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）
因此所有的概率为
5
36 请问哪一种解法正确？为什么？
解：小刚的解法是错误的；小颖的解法是正确的。因为从每袋中各取一张组成两数之和的可能结果有36种情况，且每种情况发生的可能性相同，而出现和为6的情况共5次，
因此所得数字之和为的概率为
。而小刚的错误是没有考虑到事件发生的等
6536
可能性。
例2. 小华和小明做抛掷两枚硬币的游戏，每人各抛10次，看看不确定事件“出现两个正面”的次数。下表是小华和小明的实验记录：
在小华的10次实验中，“出现两个正面”的次数是2次，“出现两次正面”的频率是
2 10
2010
，也就是％，小明“出现两次正面”的频率是多少？那么次实验中，小
华和小明“出现不是两个正面”的频率是多少？小华和小明“出现两个正面”的频率之差是多少？并说明两人的“出现两个正面”的频率为什么不相同？
解：小明在10次实验中，“出现两次正面”的次数只有1次，所以“出现两次正面”的频率是10％。小华“出现不是两次正面”的频率是（1－20％）＝80％。小明“出现不是两次正面”的频率是（1－10％）＝90％。小华和小明“出现两个正面”的频率之差是（20％－10％）＝10％。在实验过程中，实验频率存在着偶然性、随机性。
例3.用列表的方法求下列概率
1. 已知|a|＝2，|b|＝5，求|a+b|的值为7的概率
2. 袋中有1个红球和1个黄球，它们除了颜色外其余都相同，任意摸出一球，再放回袋中再摸，求至少一次摸到红球的概率。
解：1. 因为|a|＝2，所以a＝±2
因为|b|＝5，所以b＝±5
∴|+=+=+=-=+=-+=+=--=
a b a b a b a b
||||||||||||||| 257253523527
或或或
∴+= P a b
(||)
的值为71 2
2.
∴P()
至少一次摸到红球＝3 4
