一、情境导入
我们欣赏下列两个建筑物(如图)，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的，有什么性质？
二、合作探究
探究点一：等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，求证：DE ∥BC .
证明：因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB .又因为CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，所以∠AEB ＝∠ADC ＝90°，所以∠ABE ＝∠ACD ，所以∠ABC －∠ABE ＝∠ACB －∠ACD ，所以∠EBC ＝∠DCB .在△BEC 与△CDB 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠BEC ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，所以△BEC ≌△CDB ，所以BD ＝CE ，所以AB －BD ＝AC －
CE ，即AD ＝AE ，所以∠ADE ＝∠AED .又因为∠A 是△ADE 和△ABC 的顶角，所以∠ADE ＝∠ABC ，
所以DE ∥BC .
方法总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等． 探究点二：等边三角形的相关性质
【类型一】 利用等边三角形的性质求角度
如图，△ABC 是等边三角形，E 是AC 上一点，D 是BC 延长线上一点，连接BE ，DE .若∠ABE
＝40°，BE ＝DE ，求∠CED 的度数．
解析：因为△ABC 三个内角为60°，∠ABE ＝40°，求出∠EBC 的度数，因为BE ＝DE ，所以得到∠EBC ＝∠D ，求出∠D 的度数，利用外角性质即可求出∠CED 的度数．
解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝60°－40°＝20°.∵BE ＝DE ，∴∠D ＝∠EBC ＝20°，∴∠CED ＝∠ACB －∠D ＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．
【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等
如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥
BC ，垂足为M ，求证：BM ＝EM .
解析：要证BM ＝EM ，由题意证△BDM ≌△EDM 即可．
证明：连接BD ，∵在等边△
ABC
中，D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝1
2×60°＝30°，∠
ACB ＝60°.∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠E .∵∠ACB ＝∠CDE ＋∠E ，∴∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°.∵DM ⊥BC ，∴∠DMB ＝∠DME ＝90°，在△DMB 和△DME 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠DMB ＝∠DME ，∠DBM ＝∠E ，DM ＝DM ，∴△DME ≌△
DMB .∴BM ＝EM .
方法总结：证明线段相等可利用三角形全等得到．还应明白等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合等边三角形．
【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用
△ABC 为正三角形，点M 是边BC 上任意一点，点N 是边CA 上任意一点，且BM ＝CN ，BN
与AM 相交于Q 点，求∠BQM 的度数．
解析：先根据已知条件利用SAS 判定△ABM ≌△BCN ，再根据全等三角形的性质求得∠AQN ＝∠ABC ＝60°.
解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC .在△AMB 和△BNC 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，BM ＝CN ，
∴△AMB ≌△BNC (SAS)， ∴∠BAM ＝∠CBN ，∴∠BQM ＝∠ABQ ＋∠BAM ＝∠ABQ ＋∠CBN ＝∠ABC ＝60°.
方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等． 三、板书设计
1．等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质 等腰三角形两底角的平分线相等； 等腰三角形两腰上的高相等； 等腰三角形两腰上的中线相等． 2．等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
作 业 设 计
1．如图，△ABC 是等边三角形，则∠1+∠2=（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．120°
D ．180°
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ） A ． 180° B ． 220° C ． 240° D ． 300°
3.如图，等边△ABC 的边长为5个单位长度，△ABC ≌△A ′B ′C ′，BC ′=9，则线段B ′C 的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4.下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确的（）
A．①③B．①④C．①③④D．①②③④
5.如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD=_________.
6.若等边三角形的边长为2，则它的面积是___________．
7.等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角的度数为______度，底角的度数为 _______.
8.如图，边长为4的等边△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点A的坐标为_______________．
第5题图第8题图
9．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE△△CAD；
（2）求△BFD的度数．
10．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
11．已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF 为等边三角形．求证：△AEF△△CDE.
