人教版八年级(初二)上册数学电子课本(第11章)

人教版八年级数学上册全册课件第十一章三角形第十一章三角形知识管理11.1 与三角形有关的线段11．1.1三角形的边学习指南学习指南本节学习主要解决以下问题：1．三角形的概念及三角形的分类此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例1；【当堂测评】中的第3题；【分层作业】中的第5、10题．2．三角形的三边关系此内容为本节的重点，也是难点．为此设计了【归类探究】中的例2；【当堂测评】中的第1、2、4题；【分层作业】中的第1、2、3、4、6、7、8、9题．知识管理1．三角形的概念定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．边、顶点、内角：如图11-1-1所示．图11-1-1记读法：顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”．2．三角形的三边关系关系1：三角形两边的和第三边．关系2：三角形两边的差第三边．注意：通过三角形三边关系可判断三条线段能否构成三角形．3．等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边相等的三角形叫做等边三角形．腰、底：在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底．顶角：两腰的夹角叫做顶角．底角：腰和底边的夹角叫做底角．大于小于4．三角形按边的相等关系分类图11-1-2类型之一三角形的概念写出图11-1-3中所有的三角形及其边和角．图11-1-3【解析】先确定一条线段，再找出以这条线段为边的所有三角形，最后擦去这条线段，在剩下的图形中依次找出所有三角形．解：△ADE，边为AD，DE，EA，角为∠ADE，∠DEA，∠EAD；△ADB，边为AD，DB，BA，角为∠ADB，∠DBA，∠BAD；△ADF，边为AD，DF，F A，角为∠ADF，∠DF A，∠F AD；△ADC，边为AD，DC，CA，角为∠ADC，∠DCA，∠CAD；△DEB，边为DE，EB，BD，角为∠DEB，∠EBD，∠BDE；△DFC，边为DF，FC，CD，角为∠DFC，∠FCD，∠CDF；△ABC，边为AB，BC，CA，角为∠ABC，∠BCA，∠CAB.【点悟】找三角形时应按一定的规律，以边为线索找三角形或以角为线索找三角形，这体现了分类讨论的思想．类型之二三角形的三边关系A 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边的长可能是()A．6B．3C．2D．11【解析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．设第三边为x，则4＜x＜10，所以符合条件的边长为6，故选A.1．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是()A ．2cm ，3cm ，5cmB ．7cm ，4cm ，2cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．3cm ，3cm ，4cm2．已知a ，b ，c 是三角形三边的长，则下列不等式中不成立的式子是()A ．a ＋b ＞cB ．a －b ＞cC ．b －c ＜aD ．b ＋c ＞aDB3．如图11-1-4，图中三角形的个数为()图11-1-4A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】图中三角形有△ABD ，△ADC ，△ABC.C4．若一个三角形的三边长分别为2，3，x，则x的值可以为2(答案不唯一)(只需填一个数)．【解析】∵1＋2＝3，∴A 错误；∵1＋<3，∴B 错误；∵3＋4＜8，∴C 错误；∵4＋5＞6且6－4＜5，∴D 正确．1．下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A ．1，2，3B ．1，2，3C ．3，4，8D ．4，5，6D2．如图11-1-5，为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一D点P，测得P A＝16m，PB＝12m，那么A，B间的距离不可能是()图11-1-5A．5m B．15m C．20m D．28m【解析】三角形的三边要满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，因此可以得出三角形的第三边大于其他两边之差，且小于其他两边之和，故第三边长在4m和28m之间．3．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角8形的周长为____．【解析】设第三边长为x，∵两边长分别是2和3，∴3－2＜x＜3＋2，即1＜x＜5，∵第三边长为奇数，∴x＝3，∴这个三角形的周长为2＋3＋3＝8.4．等腰三角形两边长为4cm，6cm，求等腰三角形的周长．解：当腰长是4cm，底边长是6cm时，能构成三角形，则周长是4＋4＋6＝14cm；当腰长是6cm，底边长是4cm时，能构成三角形，则周长是4＋6＋6＝16 cm；所以等腰三角形的周长是14cm或16cm.5．指出图11-1-6中有几个三角形，并用字母分别表示出来．图11-1-6解：共8个，分别为△ABD，△ADC，△FBD，△BCE，△ABE，△ABF，△AEF，△ABC.6．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边长为5cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另外两边．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则2x＋2x＋x＝20，解得x＝4，∴2x＝8，∴各边长为8cm，8cm，4cm；(2)当5cm为底边长时，腰长为7.5cm；当5cm为腰长时，底边长为10cm，因为5＋5＝10，所以不能围成三角形，故舍去；故能围成有一边长为5cm的等腰三角形，另外两边长为7.5cm，7.5cm.7．从长为9，6，5，4的四根木条中选其中三根组成三角形，则选法共有()A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种【解析】四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；根据三角形的三边关系，知能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4.C8．已知三角形三条边的长分别为a ＋4，a ＋5，a ＋6，求a 的取值范围．解：由题意得⎩⎨⎧a ＋4>0，a ＋4＋a ＋5>a ＋6，解得a ＞－3.9．已知a，b，c为三角形的三边长．化简：|b＋c－a|＋|b－c－a|－|c－a－b|－|a－b＋c|.解：∵a，b，c为三角形的三边长，∴a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，∴原式＝|(b＋c)－a|＋|b－(c＋a)|－|c－(a＋b)|－|(a＋c)－b|＝b＋c－a＋a＋c－b－a－b＋c＋b－a－c＝2c－2a.10．如图11-1-7，P是△ABC内一点，连接BP，PC，延长BP交AC于D.图11-1-7(1)图中有几个三角形？(2)求证：AB＋AC>PB＋PC.(1)解：图中三角形有△ABC，△ABD，△BPC，△PDC，△BDC，共5个．(2)证明：∵AB＋AD>BD，PD＋CD>PC，∴AB＋AD＋PD＋CD>BD＋PC，∴AB＋AD＋PD＋CD>PB＋PD＋PC，∴AB＋AC>PB＋PC.知识管理11．1.2三角形的高、中线与角平分线学习指南学习指南本节学习主要解决以下问题：1．三角形的高、中线与角平分线的概念此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例1；【当堂测评】中的第1、2、4题；【分层作业】中的第1、3、5题．2．三角形的高、中线与角平分线的应用此内容为本节的重点，也是难点．为此设计了【归类探究】中的例2；【当堂测评】中的第3题；【分层作业】中的第2、4、6、7、8题．知识管理1．三角形的高、中线与角平分线的概念高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．中线：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线．角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：三角形的高、中线与角平分线均指，而垂线是，角平分线是．线段直线射线2．三角形的重心及面积公式重 心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．面积公式：S ＝12ah (a 是三角形的边，h 是这条边上的高)． 规 律：三角形一边上的中线把三角形面积两等分．类型之一三角形的高、中线与角平分线的概念如图11-1-8所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，给出下列结论：①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高．其中正确结论的个数是()B图11-1-8A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】由∠1＝∠2得AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，所以①不正确；同样BE虽然经过边AD的中点G，但BE也不是△ABD内的线段，所以②也不正确；由于CH⊥AD于H，所以CH是△ACD的边AD上的高，所以③是正确的．故选B.【点悟】三角形的角平分线、中线、高是三角形中的三种重要的线段，掌握它们的概念是关键．类型之二三角形的面积如图11-1-9所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC ＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°.试求：图11-1-9(1)AD的长；(2)△ABE的面积；(3)△AEC和△ABE的周长的差．【解析】 (1)直角三角形的面积等于两条直角边的积的一半，又等于斜边与斜边上的高的积的一半；(2)BE ＝CE ＝12BC ，所以△ABE 的面积是△ABC 的面积的一半；(3)△AEC 的周长与△ABE 的周长之差为AC ＋CE ＋AE －(AB ＋BE ＋AE )＝AC －AB .解：(1)S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×6×8＝24 cm 2. 又∵S △ABC ＝12AD ·BC ＝24 cm 2，BC ＝10 cm ， ∴AD ＝4.8 cm.(2)S △ABE ＝12BE ·AD ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AD ＝14BC ·AD ＝12 cm 2. (3)C △AEC －C △ABE ＝AC ＋CE ＋AE －(AB ＋BE ＋AE )＝AC －AB ＝8－6＝2 cm.【点悟】(1)利用面积关系可以求直角三角形斜边上的高；(2)三角形一边上的中线把三角形的面积两等分．1．[2015·长沙]过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是()A B CDA2．如图11-1-10，已知∠1＝∠2，则AH 必为△ABC 的()图11-1-10A ．角平分线B ．中线C ．一角的平分线D．角平分线所在的射线A3．如图11-1-11，图中共有个三角形，若BC ＝CD ＝DE ，则AC ，AD 分别是，的中线．图11-1-11【解析】图中共有6个三角形，它们分别是△ABC ，△ACD ，△ADE ，△ABD ，△ACE ，△ABE .因为BC ＝CD ，所以AC 是△ABD 的中线；因为CD ＝DE ，所以AD 是△ACE 的中线．6△ABD △ACE4．如图11-1-12，AD，AM，AH分别是△ABC的角平分线、中线和高．图11-1-12(1)因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠ ＝∠ ＝12∠ ； (2)因为AM 是△ABC 的中线，所以 ＝ ＝12； (3)因为AH 是△ABC 的高，所以∠ ＝∠ ＝90°. BAD CAD BAC BM CM BC AHB AHCC 1．下列说法不正确的是() A．三角形的中线在三角形的内部B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部D．三角形必有一高线在三角形的内部2．三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等的两部分的是() AA．中线B．角平分线C．高D．以上答案均正确【解析】因为三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，所以三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分．3．如图11-1-13，在△ABC 中，BD 为角平分线，BE 为中线．如果AC ＝12cm ，则AE ＝；如果∠ABC ＝80°，则∠ABD ＝．图11-1-136cm 40°4．[2016·丹阳期中]如图11-1-14，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角6形有个．【解析】∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线BC上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．5．如图11-1-15，已知△ABC，过点A画△ABC的角平分线AD，中线AE和高线AF.图11-1-15解：如答图所示．6．如图11-1-16，已知在△ABC中，CF，BE分别是AB，AC边上的中线，若AE＝2，AF＝3，且△ABC的周长为15，求BC的长．图11-1-16解：∵CF，BE分别是AB，AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，∴AB＝2AF＝2×3＝6，AC＝2AE＝2×2＝4，∵△ABC的周长为15，∴BC＝15－6－4＝5.7．如图11-1-17所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．(1)作出△ABD的边BD上的高；(2)若△ABC的面积为10，求△ADC的面积；(3)若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．图11-1-17解：(1)如答图所示，AE即为所求作的高；。

人教版八年级数学上册第11 章§11． 2三角形全等的条件§11． 2．1三角形全等的条件（一）§11． 2．1三角形全等的条件（二）§11． 2．3三角形全等的条件（三）§11． 2．3三角形全等的条件---直角三角形全等的判定（四）§11． 3角的平分线的性质（一）§11． 3．2角的平分线的性质（二）§ 11．1全等三角形教学目标1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．教学重点全等三角形的性质．教学难点找全等三角形的对应边、对应角．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？A A1B C B1C1这两个三角形是完全重合的．2．学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样．3．获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．要是把两个图形放在一起，能够完全重合， ?就可以说明这两个图形的形状、大小相同．概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求．Ⅱ．导入新课利用投影片演示将△ ABC沿直线 BC平移得△ DEF；将△ ABC沿 BC翻折 180°得到△ DBC；将△ABC 旋转 180°得△ AED．AA DBD E CAB C E F D B C甲乙丙议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：△ABC≌△ DEF，△ ABC≌△ DBC，△ ABC≌△ AED．（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．全等三角形的对应角相等．[ 例 1] 如图，△ OCA≌△ OBD，C 和 B，A 和 D 是对应顶点， ?说出这两个三角形中相等的边和角．C BOA D问题：△ OCA≌△ OBD，说明这两个三角形可以重合， ?思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将△ OCA翻折可以使△ OCA与△ OBD重合．因为 C和 B、A 和 D是对应顶点，?所以 C 和 B 重合， A 和 D重合．∠C=∠B；∠ A=∠ D；∠ AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．[ 例 2] 如图，已知△ ABE≌△ ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，?指出其他的对应边和对应角．AB D E C分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ ABE和△ ACD从复杂的图形中分离出来．根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素， ?然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．解：对应角为∠ BAE和∠ CAD．对应边为 AB与 AC、AE与 AD、BE与 CD．[ 例 3] 已知如图△ ABC≌△ ADE，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）ACEOB D借鉴例 2 的方法，可以发现∠ A=∠A，?在两个三角形中∠ A 的对边分别是 BC和DE，所以 BC和 DE是一组对应边．而 AB与 AE显然不重合，所以 AB?与 AD是一组对应边，剩下的 AC与 AE自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角是对应角可得∠ B 与∠ D 是对应角，∠ ACB与∠ AED是对应角．所以说对应边为AB与AD、AC与 AE、BC与 DE．对应角为∠ A 与∠ A、∠ B 与∠ D、∠ ACB与∠ AED．做法二：沿 A 与 BC、DE交点 O的连线将△ ABC?翻折 180°后，它正好和△ ADE 重合．这时就可找到对应边为： AB与 AD、 AC与 AE、 BC与 DE．对应角为∠ A 与∠A、∠ B 与∠ D、∠ ACB与∠ AED．Ⅲ．课堂练习课本 P90 练习 1．课本 P90 习题 14． 1 复习巩固1．Ⅳ．课时小结通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质， ?并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．找对应元素的常用方法有两种：（一）从运动角度看1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．（二）根据位置元素来推理4 / 281．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．Ⅴ．作业课本 P90习题 14．1、复习巩固 2、综合运用 3．课后作业 : ＜＜三级训练＞＞板书设计§11．1 全等三角形一、概念二、全等三角形的性质三、性质应用例1：（运动角度看问题）例2：（根据位置来推理）例3：（根据位置和运动角度两种办法来推理）四、小结：找对应元素的方法运动法：翻折、旋转、平移．位置法：对应角→对应边，对应边→对应角．§11．2 三角形全等的条件§11．2．1 三角形全等的条件（一）教学目标1．三角形全等的“边边边”的条件．2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、 ?归纳获得数学结论的过程．教学重点三角形全等的条件．教学难点寻求三角形全等的条件．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形．已知△ ABC≌△ A′B′C′，找出其中相等的边与角．A A'B C B'C'图中相等的边是： AB=A′ B、 BC=B′ C′、 AC=A′C．相等的角是：∠ A=∠ A′、∠ B=∠B′、∠ C=∠C′．展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．Ⅱ．导入新课出示投影片1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）， ?画出的两个三角形一定全等吗？2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．①三角形一内角为30°，一条边为 3cm．②三角形两内角分别为30°和 50°．③三角形两条边分别为4cm、 6cm．学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．结果展示：1．只给定一条边时：只给定一个角时：2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．①3030303cm3cm3cm3050②3050③4cm4cm6cm6cm可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？1．作图方法：先画一线段 AB，使得 AB=6cm，再分别以 A、B 为圆心， 8cm、10cm为半径画弧， ?两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为 AB=6cm，AC=8cm， BC=10cm．2 ．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．?这说明这些三角形都是全等的．3 ．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A′B′C′，使AB=A′B′、 AC=A′C′、 BC=B′C′．将△ A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．[ 例] 如图，△ ABC是一个钢架， AB=AC， AD是连结点 A 与 BC中点 D 的支架．求证：△ ABD≌△ ACD．AB D C[ 师生共析 ] 要证△ ABD≌△ ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．证明：因为 D 是 BC的中点所以 BD=DC在△ ABD和△ ACD中AB ACBD CDAD AD (公共边)所以△ ABD≌△ ACD（ SSS）．生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的， ?而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性． ?例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．Ⅲ．随堂练习如图，已知 AC=FE、BC=DE，点 A、D、B、F 在一条直线上， AD=FB．要用“边边边”证明△ ABC≌△ FDE，除了已知中的 AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？A CDBE F2．课本 P94 练习．Ⅳ．课时小结本节课我们探索得到了三角形全等的条件， ?发现了证明三角形全等的一个规律 SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．Ⅴ．作业1 ．习题 14．2 复习巩固 1、 2．习题14．2综合运用9．课后作业：《课堂感悟与探究》Ⅵ．活动与探索如图，一个六边形钢架ABCDEF由 6 条钢管连结而成，为使这一钢架稳固，请你用三条钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？A BF CE D本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用．结果：（1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线，?把这个六边形划分成四个三角形．如图（ 1）为其中的一种．（ 2）也可以把这个六边形划分成四个三角形．如图（ 2）．(2)(1)板书设计§11．2．1 三角形全等的条件（一）一、三角形全等的条件三边对应相等的两三角形全等（ SSS）二、例三、课堂练习四、小结§11．2．1 三角形全等的条件（二）教学目标1．三角形全等的“边角边”的条件．2 ．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、?归纳获得数学结论的过程．3．掌握三角形全等的“ SＡS”条件，了解三角形的稳定性．4．能运用“ SＡS”证明简单的三角形全等问题．教学重点三角形全等的条件．教学难点寻求三角形全等的条件．教学过程一、创设情境，复习提问1．怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？3．指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：图(1)中：△ ABD ≌△ ACE ，AB 与AC 是对应边；图(2)中：△ ABC ≌△ AED ，AD 与 AC是对应边．４．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？二、导入新课1．三角形全等的判定（二）(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：如图 2，AC 、BD相交于 O，AO、BO 、CO、 DO的长度如图所标，△ ABO 和△ CDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：AO ＝CO，∠AOB ＝∠ COD，BO＝DO．如果把△ OAB绕着 O点顺时针方向旋转，因为 OA ＝OC，所以可以使 OA 与OC 重合；又因为∠ AOB ＝∠ COD， OB＝OD ，所以点 B与点 D重合．这样△ ABO 与△ CDO就完全重合．(此外，还可以图 1(1)中的△ ACE 绕着点 A 逆时针方向旋转∠ CAB 的度数，也将与△ ABD 重合．图 1( 2)中的△ ABC 绕着点 A 旋转，使 AB 与 AE重合，再把△ ADE沿着 AE(AB) 翻折 180°．两个三角形也可重合 )由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：①画∠ DAE ＝45°，②在 AD 、 AE 上分别取B、C，使 AB ＝3.1cm，AC＝ 2.8cm．③连结 BC，得△ ABC ．④按上述画法再画一个△A ＇B＇C＇．(2)把△ A ＇B＇C＇剪下来放到△ ABC 上，观察△ A ＇B＇C＇与△ ABC 是否能够完全重合？3．边角边公理．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边” 或“ SAS”)三、例题与练习1．填空：(1)如图 3，已知 AD ∥ BC，AD ＝ CB，要用边角边公理证明△ABC ≌△ CDA ，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD ＝ CB(已知 )，二是___________；还需要一个条件 _____________(这个条件可以证得吗？ )．(2)如图 4，已知 AB ＝AC ，AD ＝AE，∠ 1＝∠ 2，要用边角边公理证明△ABD ≌ ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________这(个条件可以证得吗？ )．2、例 1已知：AD ∥BC，AD ＝ CB(图3)．求证：△ ADC ≌△ CBA ．问题：如果把图 3中的△ ADC 沿着 CA 方向平移到△ ADF的位置 (如图 5)，那么要证明△ ADF ≌ △CEB，除了 AD ∥ BC、AD ＝CB的条件外，还需要一个什么条件 (AF＝ CE或AE ＝ CF)？怎样证明呢？例2 已知： AB ＝ AC、 AD ＝AE、∠ 1＝∠ 2(图4)．求证：△ ABD ≌△ ACE ．四、小结：1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等 )，并要善于运用学过的定义、公理、定理．五、作业：1．已知：如图， AB ＝AC ，F、E分别是 AB 、AC 的中点．求证：△ ABE ≌△ACF．2．已知：点 A、 F、 E、C在同一条直线上，AF ＝CE，BE∥ DF， BE＝DF．求证：△ ABE≌△ CDF．课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞§ 11．2．3三角形全等的条件（三）教学目标1．三角形全等的条件：角边角、角角边．2．三角形全等条件小结．3．掌握三角形全等的“角边角” “角角边”条件．4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．教学重点已知两角一边的三角形全等探究．教学难点灵活运用三角形全等条件证明．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境1．复习：（ 1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？三种：①定义；② SSS；③ SAS．2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？Ⅱ．导入新课问题 1：三角形中已知两角一边有几种可能？1．两角和它们的夹边．2．两角和其中一角的对边．问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，?你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ ASA”）．问题 3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，?能不能作一个△ A′B′C′，使∠ A=∠A′、∠ B=∠B′、 AB=A′B′呢？①先用量角器量出∠ A 与∠ B 的度数，再用直尺量出AB的边长．②画线段 A′B′，使 A′B′=AB．③分别以 A′、 B′为顶点， A′B′为一边作∠ DA′B′、∠ EB′A，使∠ D′AB=∠ CAB，∠ EB′A′ =∠ CBA．④射线 A′D 与 B′ E 交于一点，记为 C′即可得到△ A′B′C′．将△ A′ B′ C′与△ ABC重叠，发现两三角形全等．EDC C'A B A'B'两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ ASA”）．思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？探究问题 4：如图，在△ ABC和△ DEF中，∠ A=∠D，∠ B=∠E，BC=EF，△ ABC与△ DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？A DB C EF证明：∵∠ A+∠B+∠ C=∠D+∠E+∠ F=180°∠A=∠D，∠ B=∠E∴∠ A+∠B=∠D+∠ E∴∠ C=∠F在△ ABC和△ DEF中B EBC EFC F∴△ ABC≌△ DEF（ ASA）．两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“ AAS”）．[ 例] 如下图， D在 AB上， E 在 AC上， AB=AC，∠ B=∠C．求证： AD=AE．[ 分析 ]AD 和 AE分别在△ ADC和△ AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ ADC ≌△ AEB即可．证明：在△ ADC和△ AEB中A AAC ABC B所以△ ADC≌△ AEB（ASA）所以 AD=AE．Ⅲ．随堂练习（一）课本 P99 练习 1、2．（二）补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由．DDA 4550CE45502929B AC B(1)(2)答案：图（ 1）中由“ ASA”可证得△ ACD≌△ ACB．图（ 2）由“AAS”可证得△ACE≌△ BDC．Ⅳ．课时小结至此，我们有五种判定三角形全等的方法：1．全等三角形的定义2．判定定理：边边边（ SSS）边角边（ SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．Ⅴ．作业1．课本习题 14．2─5、6、14 题．课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞板书设计11． 2． 3 三角形全等的条件（三）两角及其夹边一、两角一边两角和其中一角的对边二、三角形全等的条件1 ．两角及其夹边对应相等的两三角形全等（ASA）2．两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等（AAS）§11．2．3 三角形全等的条件 ---直角三角形全等的判定（四）教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。