第五章Nyquist稳定判据

×
不包围
×
不包围
逆包围一次
5.2.2奈魁斯特稳定判据应用
例5-3 开环为一阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K GH1 , Ts 1
GH 2
(1)
1 sT
K , Ts 1
K0
,开环稳定，p=0；
1 ,开环不稳定, p=1 s T
(2) 画开环系统的极坐标图
围原点一次
F(s)的极点是开环极点；
F(s)的零点是闭环极点
奈魁斯特稳定判据总结

奈魁斯特轨迹的围线映射
• 当取s＝jω(-∞＜ω＜+∞)，围线映射F(jω)＝1＋G (jω)H(jω)

F(jω)曲线对原点的包围情况相当于G(jω)H(jω)曲 线对于(-l，j0)点的包围情况
奈魁斯特轨迹包围F(s)的零极点问题可以等效为
习题已知开环传递函数为 ：
K s 2s 5s 1
试确定闭环稳定条件，并画出极坐标图 。 分析：
系统为开环不稳定系统，有一个不稳定开环极点，若使系
统闭环稳定，开环频率特性必须逆时针绕(－1,j0)点一次。
K G ( j j 2 j 5 j 1 K K [(6 2 10) j( 3 3 )] 2 3 (6 10) j( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
G(jω)H(jω)包围（－1，j0）点的问题
Hale Waihona Puke Baidu
•
奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，GH顺时针方向包 围(-1，j0)点一次 奈氏轨迹顺时针包围F(s)的一个极点，GH逆时针方向包 围(-1，j0)点一次
•
已知开环极点情况，考察G(jω)H(jω)图是否包围(-
1，j0) 点，判断闭环系统的稳定性
说明：
（1）通常遇到的是开环稳定系统，此时，记住第一条， 不用考虑方向。 （ 2 ）因为 G(jω)H(jω) 和 G(-jω)H(-jω) 共轭，与实轴对 称，只画出一半即可。判断是以 ω由- ∞→+∞变化为准 。方向：以ω增加的方向。 （3）何谓包围：绕点一个360°为准叫作包围一次。
×
×
逆包围2次
奈魁斯特稳定判据总结

利用开环频率特性判断闭环系统的 稳定性 F(s)=1+G(s)H(s)
闭环特征多项式

奈魁斯特轨迹
奈魁斯特轨迹包围F(s)=1+G(s)H(s)的零极点问题可
以等效为F(s)包围原点的问题
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，F(s)顺时针方向包
围原点一次
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个极点， F(s)逆时针方向包
(1) GH
P=0
K ﹣1 w ﹣K w
P=1
P=2
w
﹣1
﹣1
K
K>1，逆时针包围(-1， K取任意值，均不 K取任意值，曲线 j0)一次，闭环稳定。 包围(-1，j0)点，有 均不包围(-1，j0)点，K<1，不包围(-1，j0)点， 2个不稳定闭环极 闭环不稳定。 K ＝ 1 ， 闭环稳定。 点。闭环不稳定。 曲线穿过 (-1 ， j0) ，临 （奈氏判据第一条） (奈氏判据第二条) 界稳定。

G(jω)H (jω)
K 例： G( s) H ( s) s(Ts 1)
0﹣ A
解释：
F ( s ) 1 G( s ) H ( s )
F(s)的极点是开环极点 F(s)的零点是闭环极点
(1) 开环稳定情况： —[s]右半平面没有F(s)的极点
G(jω)H(jω) 不包围（-1，j0）点 = 奈氏轨迹不包围 F(s)的零点= 没有闭环极点在[s]右半平面= 闭环稳定 (2) 开环不稳定情况： — s右半平面有p个F(s)的极点 — p个开环极点 G(jω)H(jω) 逆时针包围（-1，j0）点p 次 = 奈氏轨 迹顺时针包围F(s)的p个极点 = 奈氏轨迹不包围F(s)的 任何零点 = 没有闭环极点在s右半平面 = 闭环稳定
K 0 ﹣ 1 ﹣K 0

﹣1,j0
无论K取何值，均不包围 -1，j0点，闭环系统稳定。
只要K>1，逆时针包围-1，j0点 一次，闭环系统稳定。K<1，不 包围，闭环系统不稳定。K＝1？
例
开环为二阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别 系统的闭环稳定性。
K K ( 2 ) GH T 2 s 2 2Ts 1 T 2 s 2 2Ts 1 ( 3)GH K T 2 s 2 2Ts 1
在正频范围内计算ω>0：
确定起始点：ω=0时， 终点：ω→∞
G( j K 0.1K
分析 ：
G j ) 0
当 3时， 虚部为零。 3时， 虚部为负， 3时， 虚部为正。 K 把 3代入实部， 求出Re [G( j 2 3 28
5.2.1 奈魁斯特稳定判据
利用开环频率特性G(jω)H(jω)判别系统闭环稳定性。
（ 1 ）当系统为开环稳定时，只有当开环频率特性 G(jω)H(jω)不包围（-1，j0）点，闭环系统才是稳定 的。 （ 2 ）当开环系统不稳定时，若有 P 个开环极点在 [s] 右半平面时，只有当G(jω)H(jω)逆时针包围 1，j0）点P次，闭环系统才是稳定的。 （-
K (6 2 10) K ( 3 2 ) G( j j 2 2 3 2 (6 10) ( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
K (6 2 10) K ( 3 2 ) G( j j 2 2 3 2 (6 10) ( 3 ) (6 2 10)2 ( 3 3 )2
与虚轴无交点（在正频范围内无解）。
K=15
闭环系统稳定范围 10<K<28
0.1 K
K=35
K / 28
K=10
K=28
5.2.3 奈魁斯特轨迹穿过F(s)奇点情况 若开环极点在虚轴上，则奈氏轨迹经过时，开环传递 函数为不定值，其映射不封闭，需改进奈氏轨迹。
C
0+ B
[S]