2021南师大数学602数学分析考研复习笔记重难点真题答案

湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲考试科目代码：[602] 考试科目名称：高等数学一、考试内容及要点微积分与线性代数1、函数与极限（适用于地图学与地理信息系统专业和自然地理学专业）考试内容(1)函数：函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形，初等函数；简单应用问题的函数关系的建立。

(2)极限：数列极限与函数极限的定义及其性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限。

(3)连续：函数连续的概念；左连续与右连续，函数间断点的类型；连续函数的四则运算法则，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质(有界性定理，最大值、最小值定理，介值定理)。

考试要点理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式；了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的基本概念；理解极限的概念；理解函数左极限与右极限的概念，掌握函数极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则，掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。

2、一元函数的微积分（适用于地图学与地理信息系统专业和自然地理学专业）考试内容(1)导数与微分：导数和微分的定义，左导数与右导数，导数的几何意义；函数的可导性、可微性与连续性的关系；导数和微分的四则运算法则，导数和微分的基本公式；复合函数、反函数、隐函数和由参数方程所确定的函数的求导法，高阶导数，一阶微分形式的不变性。

2021年研究生考试数学高数真题答案解析由于今年比较崩溃，尤其是数学二的高等数学部分，还是有一些偏难。

一个比较明显的特点大家都知道，2021年是数一难， 2021年是数三难，那么今年2021年比较典型的特点就是数二难。

下面我简单从这个高等数学部分给大家讲解一下咱们2021年考试题的这个特点，纵观这个2021年的高数题目，包括数一数二数三的题目，它有以下几个特点。

第一个特点题目本身比较常规，就像它考的分部积分，约束条件的这种极值都是比较常规的题目。

但是它有一个比较明显的特点，就是题目比较灵活。

虽然是常规题目，但是出题的角度比较灵活，又间杂着一些计算量大，会导致大家在做题过程中不太容易掌握好节奏。

那就说明大家在复习过程中是否注意到了计算量。

如果今天来听直播的有2021的同学，那么大家一定要注意，咱们要引以为戒。

不能热热闹闹一年，年初定个雄心壮志，那你忽略了咱们考研最基本的要求。

基本功要扎实，那基本功扎实要求两个方面，一是基本概念、基本原理要熟练。

第二个就是计算要扎实。

在考场上咱们说了唯一能保证你的是计算能力。

天下武功唯快不破，你计算能力不过关，那你节奏被打乱了，你整个考试的心情就会糟。

大家注意考试题目，咱们该考的都考了，那么你看题目分部积分，包括极限的反问题，给出极限让你求参数，或者让你求极限，或者是连续性，可导性。

在分段间的这种连续性、可导性。

一元函数积分的这种对称性，或者是极坐标和直角坐标这种转换，都是一些常规的题目。

但是题目本身它有一个灵活性，而且还要求一些所谓的计算能力，这是大家应该注意的。

2021的同学更应该注意，计算能力是我们未来所要面对的，千年不变的就是计算能力，这是考研2021年考试题的一个特点。

第二个特点就是怎么体现这种计算能力?今年的命题的一个思路就是函参数，函参数的一个特点是让你讨论，讨论给你AB一个极限，或者是一个方程，给你AB让你去讨论参数，或者是给你一个参数方程，或者是把这种应用题的条件都隐含了，虽然是代等数约束条件的极值，问你给出一个L长的一个线，让你围成圆、正三角形、正方形它的体积最大。

2021年研究生考试数学全科综合真题答案解析同学们好，今天做2021考研数学真题情况的总结，给大家一个参考。

首先根据咱们发现的命题小规律，2021是偶数年，通过大家的反馈也知道，今年的数学卷子难度确实比2021年大。

2021年数一数二的平均分达到八十，估计今年会降10分甚至更多，大概65分到70分之间，注意这里是平均分，不是录取线。

数三应该与去年持平。

我给你们传递一个重要的信息：水降船低，同学们个人的成绩离开群体没有意义。

所以大家不用担心自己的成绩是降或者升。

认真准备的同学，只要把会写的写完，不会有不好的结果，大家静待结果，不要悲观。

对于2021年考试的同学，根据咱们的大小年规律，可能数学会相对轻松。

但如果明年考研数学的平均成绩大幅上升，同学们自己准备不好，水涨船高的驱使下，所占位置反而会落后。

考研后最想跟大家说，我们首先要静一静思考一下，沉淀心情。

第二，给大家整体说明下试卷情况。

第一条，这三份试卷第一大特点是突出基础和重点。

这个特点占大部分分数，同学们知道考研数学与其他学科相比有一个明显的特点， 150分里有将近100分是大题，所以大题的成败会决定这张卷子的总成绩。

大题中不管是数学一考到的二型面积分、数列的敛散性、条件最值，数学二考到的二重积分，数列极限的证明;数学三也涉及二重积分、级数的展开，这些知识都是常规性的基础和重点，所以未来考研的学生依然应该在数学上加强重点知识复习，这是整个复习的主体。

第二条，我们要加强计算。

比如今年卷子上一道二重积分的题目。

它包含两个新意：数学一中多元积分学考的二型面积分，这比较简单。

但是数学二和数学三，积分区域不好划，不好计算。

我们在模考时一直给大家强调，二重积分没有思路问题，全是计算能力。

另外一张卷子考的是参数方程，是用一个参数方程的形式给出大家积分区域。

这个题的二重积分实际是命题八套卷上的原题，其实我们现在很少跟大家说我有原题。

包括各类统计，我们讲过如果期望算出来是零，要改成二阶原点。

2021数学分析考研南京师大与复旦配套考研真题一、南京师范大学《602数学分析》考研真题二、复旦大学第一部分极限初论第1章变量与函数一、选择题是（）。

[同济大学研]A．右界函数B．单调函数C．周期函数D．偶函数【答案】D查看答案【解析】二、解答题1．证明下列不等式：[浙江师范大学2006研]证明：因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以2．设，当y=1时，z=x，求f（x）和z。

[西安交通大学研] 解：依题意令，则，所以3．设求f（x）的表达式。

[北京大学研]解：令t=lnx，则，所以4．设，求f（x）的定义域和[中国人民大学研] 解：由，解得，从而f（x）的定义域为5．求函数的定义域和值域．[华东师范大学研]解：由可得．解得函数的定义域为又因为所以函数的值域：6．已知的定义域为，求的定义域．[武汉大学研]解：，即f（x）的定义域为．再由解得，∴所求定义域为7．设函数f（x）在（－∞，＋∞）上是奇函数，f（1）＝a且对任何x值均有（1）试用a表示f（2）与f（5）；（2）问a取什么值时，f（x）是以2为周期的周期函数．[清华大学研]解：（1）在①式中，令x＝－1．（2）由①式知当且仅当f（2）＝0，即a＝0时，f（x）是以2为周期的周期函数．8．已知，设．[南京邮电大学研]解：令，可用数学归纳法证明①当n＝1时，显然①式成立．假设当n＝k时，①式成立．当n＝k＋1时，即对n＝k＋1，①式也成立。

命题得证．9．已知．求．[北京理工大学研]解：由解得，互换x，y得当10．设，试验证，并求．[华中科技大学研]解：又。

2021考研数学真题及答案解析数学(二)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)⑴当0时，£_(/-i)必时％7的(A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小. 【答案】C.【解析】因为当时，=2x(/-1)〜2%7,所以边是％7高阶无穷小，正 确答案为C.>-1(2)函数 /(%>#u，在 ％=o 处 1,% = 0【答案】D.【解析】因为lim/⑶=lim —=1=/(0)，故/(%)在％ = 0处连续；n_i x因为 1in/(x )"(0)=ii m——=lim eX -1~X =-,故/'(0) =丄，正确答案为 D. x-0x-0 %2 2 2(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s, -3 cm/s,当底面半径为10 cm ， 高为5 cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为(A) 125 兀cm 3 / ^ , 40 兀cm 2 / 5 . (B) 125 7vcm 3 / s ，-40 7rcm 2 / s . (C) - 1007rcm 3 / 5 , 40 ncm / 5 . (D) -100 7rcm 3 / s ，-40 Ticm 1 / s . 【答案】C.【解析】由题意知，— = 2, —= -3,又V = 7ir 2h.S = l7irh + l7ir 2⑷设函数/(%) = ax-blnx(a>0)有两个零点，则$的取值范围是 (A) (e ，+oo).(A) 连续且取极大值.(C)可导且导数为0. 连续且取极小值. (D)可导且导数不为0.(C)(0，一).dt dtdtdt dt dtdt dt dt 当 r = 10，/z = 5 时，=40/r ，选 C.【答案】A.【解析】/(x) = ax-Z7lnx = 0 , f\x) =a~ —,令/''(%) = 0 有驻点 ％ = —，f x a 从而ln->l,可得->e,正确答案为A.a a(5)设函数/(x) = secx 在* = 0处的2次泰勒多项式为1 + ax + bx 2，则 ,z 1、， 1(A) a = (B) a = l,b =—. (C) a = O^b = (D) a = Q^b =【答案】D.f (0) = sec 0 = 1，/ '(0) = (sec x tan x) 则 f (x ) - secx = 1 + ^-x 2 + a(x 2).故选 D.(6)设函数/(x ，j)可微，且/(x + l ，e x ) = x(x + l)2，/(x,x 2)=2x 2lnx ,则= (A) dx + dy . (W )dx-dy .(C)办.(D) ~dy【答案】c.【解析】乂'(x + l ，e x ) + e%(x + l ，e x ) = (x + 1)2 + 2X (X + 1)① f; (x ，x 2) + 2xf^ (x ，x 2) =4xlnx + 2x②X=1分别带入①②式有J = 1矶 1）壤 1） = 1，胭+ 2側1） = 2联立可得乂'（1，1） = 0，人'（1，1） = 1，#（1，1） = 乂'（1，1）办+人（1，1）办=办，故正确答案为C.（7）设函数/（%）在区间［0，1］上连续，则^f （x ）dx =即选B.(8) 二次型f (x p x 2，x 3) = (x x + %2)2 + (x 2 + x 3)2 — (x 3 — x x )2的正惯性指数与负惯【解 析】 由 /(x) = /(0) + /'(0)x + ifx 2+ a(x 2)知 当 /(x) = secx 时， x=o - 0,/ "(0) = (sec x tan 2x + sec 3x)尸⑼【答案】 【解析】 n2n2nk-V\ 1 (B) limj ；/«^oo<2^-012nv 各 M 2 (D) i 1培limV/B.由定积分的定义知，将［0，l ］分成77份，取中间点的函数值，则 —， n2n )lf /(x)d?x = lim S / JO n^oo k=l2n a .L b .ln ha a性指数依次为(A)2,0. (B)l，l. (C)2,l. (D)l,2. 【答案】B.【解析】/(x1?x2,x3) = (x t +x2)2 +(x2 +x3)2 -(x3 -xj2 = 2X22+2X{X2+2X2X3 + 2x^3，0 1n所以d =1 2 1，故特征多项式为1 1 0;2-1 -1\AE-A\= -1 -2-1 =(2+ 1)(2-3)2-1-1 乂令上式等于零，故特征值为-1，3, 0,故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.(9)设3阶矩阵J = (a p a 2，a 3)，B ，若向量组a p a 2，a 3可以由向量组為，代线 性表出，贝IJ(A) Ax = 0的解均为Bx = Q 的解. (B) A T X = 0的解均为B T X = 0的解. (C) Bx = 0的解均为Ax = 0的解. (D) B T X = 0的解均为A T x = 0的解. 【答案】D.【解析】令A = h ，a”a 3\B = (H/^，由题a”a 2,a 3可由A ，/W 3线性表示，即存在矩阵尸， 使得BP = A ，则当B T X Q = 0时，【答案】C. 【解析】r i0 0、2 -1 0「32 bp0 -1 1 0 0、p0 -11 00、p 0-1 1 0 0、2 -11 0 1 00 -13 -2 1 00 1-3 2 -1 02 -5 0 0 b2-610 b0 -32 b(為五)=A T X Q = (BPf x Q = P TB TX . = 0.恒成立，即选 D.若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵使/Mg 为对角(B)-1 20、 0b，1 0 0、o r0 0、(C)2-10 ， 0 1 3.(D) 0 1 0「3 2 1,、0 0 1,J 3 b(I0 、0 00、 0 b -3、 272 -1 02021,2填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置(13)设函数z=z(x,y)由方程(x + l)z + jInz - arctan(2xj^) = 1 确定，则一 dx【答案】1.【解析】方程酿对X 求导得Z + (X + 1)盖”艺-南^x = 0,y = 2带入原方程得z = l,再将x = 0,少=2，z = 1带入得& = 1. dxycQS^-dy-^ ycGsydyCt COSU 7 cyli7ycosydy(1 0-p 00、0 1 -30 1’F、0 0 0 -> 0 0 01 0 0 1 0 1 0 10 1 3<0 0<0 0 b，则Q= 01 3 .故应选C.io二、上.)(11) j |%|3_%2 dx = 【答案】—.In 3 醐】［|x|yXdx = 2\{ :\3-々x =-p_»-忐.3_ {XX 、确定’则>。

第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。

3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。

12.13.提示：由1 未定式结果可得。

14.提示：分子有理化，再同除以n即可。

15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。

16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。

18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。

20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。

三、 解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。

(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。

(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。

22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。

24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。

25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。