《三角函数与平面向量》知识点总结

一、平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L深化：1：若两相交平面有三个公共点，那么三点共线2：若两平面相交，则一个平面内直线与另一个平面的交点必定在两个平面的交线上。

纳入平面：不共线三点均分别在两个平面内，则两平面相等。

两直线均分别在两个平面内，则两平面相等。

二、空间中直线与直线之间的位置关系相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点，既不相交，也不平行。

2 公理4（平行的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。

这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。

5 注意点：P· αLβ 共面直线 2（1）直线所成的角θ∈(0，]。

（2）两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；（3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；三．线面平行1判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2直线与平面的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

（由线面平行推线线平行）四．平面与平面平行1判定定理1：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

2判定定理2：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。

三角函数知识点1. 三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦。

2. 弧度制: ○rl=||α； ○弧长公式:r l ||α=,其中||α为圆心角的弧度数．．．； ○扇形的面积公式:2||2121R R l S α=⋅=扇形； ○1弧度=815730.57'︒=︒，π弧度 180=。

3. 三角函数的公式:)2(cos sin tan 1cos sin 22Z k k ∈+≠==+，公式一ππαααααα 公式组二：xx k xx k x x k xx k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ 公式组三：xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- 公式组四：x x x x x x xx cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ公式组五：xx x x x x xx cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ 公式组六：xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ其中诱导公式记忆方法：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．。

其中奇．是指2π的系数为奇数，偶．是指2π的系数为偶数，变．是指：正弦与余弦互变，正切与余切互变。

看符号时是指对原三角函数进行判断，并且要将．．α视为锐角．．．．。

如：ααπcos )2(sin =+，ααπsin )2(cos -=+。

4. 三角恒变换的主要公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-αααcos sin 22sin ⋅= ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=ααα2tan 1tan 22tan -=v1.0 可编辑可修改化一公式：sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++(角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=)，常见：○)4sin(2cos sin πααα+=+a a a ，○)3sin(cos 23sin 21πααα+=+； 5.正余弦的齐次式转化为正切值求解如ααααααtan 3tan 32sin cos 3sin 3cos 2+-=+-； αααααααααα22222tan 11tan cos sin cos cos sin cos cos sin ++=++⋅=+⋅等。

第一章 《三角函数》一，任意角与弧度制1，角的定义：一条射线绕着顶点旋转到另一个位置所成的图形。

逆时针方向旋转为正角，顺时针方向旋转为负角，不作任何旋转形成零角。

2，角的象限：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，则角的终边落在哪一个象限，这个角就称为哪一象限的角。

第一象限的角2,2,2k k k Z παππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，第二象限的角2,2,2k k k Z παπππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，第三象限的角32,2,2k k k Z παπππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，第四象限的角32,22,2k k k Z παπππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，3，所有与角α终边相同的角的集合：{}|2,S k k Z ββαπ==+∈4，弧度制：如果半径为r 的圆的圆心角所对的弧长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是lrα=弧度与角度的互化：180********radradrad πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭5，弧长公式：l r α= 扇形的面积公式：21122S rl r α=扇形＝ 其中,,r l α分别为扇形的圆心角弧度、半径、弧长强化训练：1， 已知角α是第二象限角，试确定角2α，2α的终边所在的位置2， （1）若角α与角β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是_____________________（2）若角α与角β的终边关于原点对称，则α与β的关系是_____________________3， 如图所示，试分别表示终边落在阴影区域的角4， 若角α是第四象限角，则πα-是第_______象限角5， 在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是_________弧度，扇形面积是__________6， 已知一扇形的周长为40cm ，当它的半径和圆心角各取多少时，才能使扇形的面积最大？最大面积为多少？ 二，任意角的三角函数1，三角函数的第一定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点4，同角三角函数关系 平方关系：22sin cos 1αα+= 商数关系：sin tan (,)cos 2k k Z απααπα=≠+∈ 5，sin a 与cos α，sin a 与cos α的大小关系角α的终边在阴影部分内，则sin cos αα>角α的终边在阴影部分外，则sin cos αα<角α的终边在阴影部分内，则sin cos αα>角α的终边在阴影部分外，则sin cos αα<强化训练1， 已知角α的终边上有一点()3,4P a a ，分别求sin ,cos ,tan ααα的值2， 已知cos 0,tan 0αα><，试判断角α所在的象限3， 在()0,2π内，使sin cos αα>成立的α的取值范围是_____________4， 12sin 5cos5_____________-= 5， 已知1sin 3α=，且角α为钝角，求cos ,tan αα的值 6， 已知tan 2θ=，求sin ,cos θθ的值7， 已知tan 2α=，求下列各式的值1）sin 2cos 3cos 4sin αααα+- 2）22sin 3cos sin 2cos αααα--8，已知7sin cos ,054πααα⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，求 1）sin cos αα 2）sin cos αα- 3）tan α三，三角函数的诱导公式()()()sin 2sin ,cos 2cos ,tan 2tan k k k απααπααπα+=+=+=公式一： ()()()sin sin ,cos cos ,tan tan πααπααπαα===公式二：＋－＋－＋ ()()()sin sin ,cos cos ,tan tan αααααα-=--=-=-公式三： ()()()sin sin ,cos cos ,tan tan πααπααπαα-=-=--=-公式四：sin cos ,cos sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭公式五：sin cos ,cos sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭公式六：＋＋－诱导公式的规律： 奇变偶不变，符号看象限。

公式总结及图像性质一、角的概念的推广:1、与α角终边相同的角的集合为｛β｜β＝2()k k Z πα+∈｝2、象限角：第一象限角｛α｜πk 2＜α＜πk 2+2π(z k ∈)｝ 第二象限角｛α｜πk 2+2π＜α＜πk 2+π(z k ∈)｝ 第三象限角｛α｜πk 2+π＜α＜πk 2+23π(z k ∈)｝第四象限角｛α｜πk 2+23π＜α＜πk 2+π2(z k ∈)｝3、轴线角：终边在x 轴上｛α｜α＝k π (z k ∈)｝终边在y 轴上｛α｜α＝k π+ 2π(z k ∈)｝终边在坐标轴上｛α｜α＝2πk (z k ∈)｝二、角的度量：角度制、弧度制换算关系：π＝180°，1︒=rad rad 01745.0180≈π1弧度＝57.30°，弧度弧长公式l r α=⋅、扇形面积公式21122S lr r α==⋅；三、任意角的三角函数：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么1、定义：（1）α的正弦：sin y r α=；（2）α的余弦：cos x r α=；（3）α的正切：tan yx α=；4）α的余切：cot x y α=；（5）α的正割：sec rx α=；（6）α的余割：csc r y α=．2（Ⅲ）我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

四、同角三角函数的基本关系式：1、平方关系：1cos sin 22=+αα2、商数关系：αααcos sin tan =（()Ζ∈+≠k k 2ππα） 3、倒数关系：1cot tan =⋅αα（παk ≠且()Ζ∈+≠k k 2ππα）五、诱导公式：1、符号口诀：全正、s 、t 、c 。

23六、两角和与差的三角函数：1、正弦、余弦、正切公式公式：()βαβαβαsin cos cos sin sin ⋅±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos ⋅=±μ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan μ±=±2、二倍角公式：αααcos sin 22sin = ααα22sin cos 2cos -=ααα22sin 211cos 22cos -=-= ααα2tan 1tan 22tan -=3、半角公式：2cos 12sin αα-±= 2cos 12cos αα+±=αααcos 1cos 12tan +-±= αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=4、辅助角公式：asinx+bcosx=)cos sin (222222x ba b x ba ab a ++++令cos ϕ=baa22+,sin ϕ=bab22+,则原式=22b a +（sinxcos ϕ+cosxsin ϕ）=22b a +sin(x+ϕ),其中ϕ角所在象限由tan ϕ的符号决定，ϕ角的值由tan ϕ=ab决定.八、函数()ϕω+=x A y sin ，（其中0>A ，0>ω）,,正弦换余弦类似。

三角函数与平面向量三角函数、三角恒等变换与解三角形1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1801π=弧度，1弧度 )180(π='1857 ≈⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：22121R lR S θ==。

2．三角函数定义:角α终边上任一点（非原点）P ),(y x ,设r OP =|| 则：,cos ,sin r x r y ==ααxy=αtan 3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c ”）4．诱导公式记忆规律：212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数；212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数. 即:“奇变偶不变,符号看象限”.如απαsin 2cos -=⎪⎭⎫⎝⎛+,()ααπcos cos -=-. 5．同角三角函数的基本关系：x xxx x tan cos sin ;1cos sin 22==+ 6．三角函数的单调区间及对称性： ⑴sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,单调递减区间为32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈.⑵cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈,单调递减区间为[]2,2k k k Z πππ+∈，对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈. ⑶tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ()Z k ∈. 7．⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2x k πωϕπ+=+，得; =x 对称中心：))(0,(Z k k ∈-ωϕπ；⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ；对称中心：))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ；⑶周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).8.三角函数变换: ①相位变换:xy sin =的图象()()−−−−−−−−−→−<>个单位平移或向右向左φφφ00()φ+=x y sin 的图象； ②周期变换:xy sin =的图象()()−−−−−−−−−−−→−><<倍到原来的或缩短横坐标伸长ωωω1110x y ωsin =的图象；③振幅变换:x y sin =的图象()()−−−−−−−−−−−→−<<>倍到原来的或缩短纵坐标伸长A A A 101xA y sin =的图象.9．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.②22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-；22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.③sin cos a b αα+)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,tan baϕ=). 10．二倍角公式：①αααcos sin 22sin =.2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±②2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（升幂公式）.221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==（降幂公式）. (2)万能公式:22tan sin 21tan ααα=+；221tan cos 21tan ααα-=+；22tan tan 21tan ααα=-（正切倍角公式）.(3)半角公式:sin tan21cos ααα==+11．正、余弦定理：⑴正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 2是ABC ∆外接圆直径 ） 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②CR c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；③CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。

高考数学(三角与平面向量)知识点总结1高考数学中，三角与平面向量是必考的内容，这部分知识点的考察重点主要集中在以下一些方面：一、三角函数1.定义和基本性质：重点掌握正弦、余弦、正切等基本三角函数的定义，及其基本性质，如周期性、振幅、相位等。

2.三角恒等变换：需要掌握三角函数的和差倍角公式，例如两角和与差的三角函数公式，二倍角公式等。

这些公式在解决三角问题时极为重要。

3.三角函数的图像和性质：重点掌握正弦、余弦、正切等函数的图像，理解它们的性质，如单调性、最值等。

4.三角函数的应用：需要理解如何将实际问题转化为三角函数问题，例如利用三角函数解决最值问题、周期问题等。

二、平面向量1.向量的基本概念：需要理解向量的定义，掌握向量的表示方法，如坐标表示法、几何表示法等。

2.向量的基本运算：需要掌握向量的加法、减法、数乘等基本运算，理解它们的几何意义。

3.向量的数量积：重点掌握向量的数量积的定义和性质，理解其几何意义和应用。

4.向量的应用：需要理解如何将实际问题转化为向量问题，例如利用向量解决平面几何问题、立体几何问题等。

三、总结在高考数学中，对于三角与平面向量的考察通常会结合其他知识点一起出现，例如与函数、不等式、数列等知识点结合，形成综合性题目。

因此，在学习这部分内容时，需要注重以下几点：1.掌握基础：对于任何知识点来说，掌握基础是至关重要的。

对于三角和平面向量，需要理解并熟练运用各种基本概念和性质。

2.培养分析能力：学会分析问题是解决问题的关键。

对于三角和平面向量问题，需要学会从题目条件中分析出有用的信息，并进行合适的转化。

3.重视应用：理论知识只有在实践中才能发挥出其价值。

因此，需要重视将所学的三角和平面向量的理论知识应用到实际问题中。

4.温故知新：对于任何学过的知识点，都需要不断复习巩固，才能真正掌握。

因此，在平时的学习和练习中，要经常回顾和巩固三角与平面向量的知识点。

5.系统总结：在学习过程中，要时常进行系统总结，将学过的知识点形成系统化的知识网络，以便于在解题时能快速准确地调用相关知识。

第四章 三角函数基本知识一、基本概念、定义：1. 角的概念推广后，包括 、 、 ，与α终边相同的角表示为 。

终边角： x 轴上 y 轴上 第一象限 第二象限 第二四象限 直线y ＝x 上2. 弧度制：把 叫1弧度的角。

公式：|α|＝— 换算：180°＝ 弧度； 1弧度＝ 度； 1°＝ 弧度 扇形： 弧长L ＝ ＝ ，面积S ＝ ＝ 3. 任意角的三角函数：①定义：角α终边上任意一点P(x ，y)，则r ＝ ，六个三角函数的定义依次是 、 、 、 、 、 。

②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P ，过点P 作 轴的垂线，垂足为M ，则 。

过点A(1,0)作 ，交 于点T ，则 。

③同角三角函数关系式：平方关系： 商数关系： 倒数关系：二、基本三角公式：（1～2要求能熟练运用：顺用、逆用、变形用，3～6要求能证明，不记忆）1．和、差角公式=±)sin(βα =±)cos(βα=±)tan(βα2．二倍角公式=α2sin =α2cos ＝ ＝ =α2tan 倍角公式变形：降幂公式=ααcos sin =α2sin =α2cos3．半角公式(书P45～46)2cos 12sinαα-±=, 2cos 12cos αα+±=, αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=4．万能公式： 2tan12tan2sin 2ααα+=；2tan12tan 1cos 22ααα+-=；2tan12tan 2tan 2ααα-=．5．积化和差公式(书P46～47))]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=； )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=．6．和差化积公式(书P46～47)2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-；2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+； 2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-．应用公式解题的基本题型：化简、求值、证明基本技巧：①1的妙用：1＝ ＝ ＝②变角： (x+y)＋(x －y)＝ (x+y)＋(x －y)＝ α＝ ＝ ＝ 等 ③变名：切化弦；弦化切④化一：a sinx ＋b cosx ＝1、 作图：五点法，依次取ωx ＋ψ＝2、 周期T ＝3、 单调区间：A •ω>0时，增区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤ 减区间：解不等式 ≤ωx ＋ψ≤A•ω<0时，增区间：解不等式≤ωx＋ψ≤减区间：解不等式≤ωx＋ψ≤4、最大值：A>0时，当ωx＋ψ＝时，y取最大值A。

高中数学知识点一、平面向量1.1 平面向量的定义和表示平面向量是在平面上具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。

平面向量的表示方法有两种：坐标表示和数量与方向表示。

•坐标表示：设平面向量$\\vec{AB}$的起点为A(A1,A1)，终点为A(A2,A2)，则向量$\\vec{AB}$的坐标表示为$\\vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。

•数量与方向表示：设平面向量$\\vec{AB}$的起点为A，终点为A，则向量$\\vec{AB}$的数量表示为$|\\vec{AB}|=\\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，方向表示是线段AA的方向。

1.2 平面向量的运算平面向量的运算有加法、减法和数量乘法。

•加法：设有平面向量$\\vec{A}$和$\\vec{B}$，则它们的和为$\\vec{A}+\\vec{B}=(x_1+x_2, y_1+y_2)$。

•减法：设有平面向量$\\vec{A}$和$\\vec{B}$，则它们的差为$\\vec{A}-\\vec{B}=(x_1-x_2, y_1-y_2)$。

•数量乘法：设有平面向量$\\vec{A}$和实数A，则$k\\vec{A}=(kx, ky)$。

1.3 平面向量的性质平面向量的性质主要包括以下几点：•相等性：两个向量相等的充分必要条件是它们的坐标或起点和终点相同。

•共线性：若两个向量的方向相同或相反，它们为共线向量。

•共面性：若三个向量共面，则它们必定落在同一个平面上。

•数量乘法：向量的数量乘法可以改变向量的大小和方向。

二、三角函数2.1 弧度制和角度制在三角函数中，角度可以用弧度制或角度制来表示。

•弧度制：弧度制是以圆的半径为单位来度量角的大小。

一个圆的周长为$2\\pi$，一周所对应的角为$2\\pi$弧度。

常见的角度制与弧度制的换算关系是$180^\\circ=\\pi$弧度。

•角度制：角度制是以度为单位来度量角的大小。

三角函数与平面向量三角函数和平面向量是数学中最常用的基础概念，两者之间具有紧密的联系。

三角函数是一类特殊的数学函数，它是以弧度为单位、以正弦函数、余弦函数和正切函数为基础的函数，它们可以表示圆上任意一点的位置。

而平面向量是一种特殊的几何形式，它以一个箭头来表示，由一个起点和一个终点组成，可以表示二维平面上的任意方向。

三角函数和平面向量之间的关系可以从三个方面来理解：第一，三角函数可以用来表示平面向量的大小；第二，三角函数可以用来表示平面向量的方向；第三，三角函数可以用来表示平面向量的旋转。

（1）三角函数可以用来表示平面向量的大小。

如果将一个平面向量等分成两部分，一部分为x轴方向的分量，另一部分为y轴方向的分量，那么这两个分量的比例就可以用三角函数来表示。

具体来说，如果将平面向量的起点固定在原点，那么平面向量的长度可以用极坐标系中的模m=|a|=√(x2+y2)来表示，而平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y分别为平面向量的x 轴和y轴分量。

（2）三角函数可以用来表示平面向量的方向。

平面向量的方向可以用极角θ=arctan(y/x)来表示，其中x和y分别为平面向量的x轴和y轴分量。

这里的极角θ可以被看作是平面向量的方向，即平面向量与x轴之间的夹角。

通过求解极角θ，就可以得到平面向量的方向。

（3）三角函数可以用来表示平面向量的旋转。

在三维空间中，平面向量可以沿着一个指定的轴旋转，而这个旋转的角度可以用三角函数来表示。

比如，在二维空间中，平面向量沿着x轴旋转θ角度后，可以使用余弦函数cosθ来表示新的x轴分量，使用正弦函数sinθ来表示新的y轴分量，从而可以得到新的平面向量。

总之，三角函数和平面向量之间具有千丝万缕的联系，它们在数学中都具有重要的意义，在几何学中也发挥着重要的作用。

只有充分理解了它们之间的联系，才能在数学和几何学中取得更好的成绩。

三角函数平面向量知识与公式总结三角函数和平面向量是数学中非常重要的概念，它们在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。

本文将对三角函数和平面向量的知识进行总结，并介绍常用的公式和性质。

一、三角函数2. 余弦函数：在直角三角形中，余弦函数被定义为邻边与斜边的比值。

其定义域为实数集R。

常用的余弦函数记作cos(x)。

余弦函数也具有周期性，即cos(x+2π)=cos(x)。

3. 正切函数：在直角三角形中，正切函数被定义为对边与邻边的比值。

其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。

常用的正切函数记作tan(x)。

正切函数也具有周期性，即tan(x+π)=tan(x)。

4. 余切函数：在直角三角形中，余切函数被定义为邻边与对边的比值。

其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。

常用的余切函数记作cot(x)。

余切函数也具有周期性，即cot(x+π)=cot(x)。

5. 正割函数：在直角三角形中，正割函数被定义为斜边与邻边的比值。

其定义域为实数集R-{(2k+1)π/2, k∈Z}。

常用的正割函数记作sec(x)。

正割函数也具有周期性，即sec(x+2π)=sec(x)。

6. 余割函数：在直角三角形中，余割函数被定义为斜边与对边的比值。

其定义域为实数集R-{kπ, k∈Z}。

常用的余割函数记作csc(x)。

余割函数也具有周期性，即csc(x+2π)=csc(x)。

三角函数之间有一些重要的关系：1.三角函数的互逆关系：sin(x) = 1/csc(x)cos(x) = 1/sec(x)tan(x) = 1/cot(x)cot(x) = 1/tan(x)sec(x) = 1/cos(x)csc(x) = 1/sin(x)2.三角函数的和差化积公式：sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))3.三角函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)tan(2x) = 2tan(x)/(1-tan^2(x))4.三角函数的半角公式：sin(x/2) = ±√((1-cos(x))/2)co s(x/2) = ±√((1+cos(x))/2)tan(x/2) = ±√((1-cos(x))/(1+cos(x)))二、平面向量1.平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量。

第二部分三角函数与平面向量一、知识框图：二、基础知识要点剖析：1、与角α终边相同的角的集合{}Z k k ∈+=,2|απββ; 十六条终边所对应的角能记住吗？集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k ,3|ππγγ表示怎样的终边的角？区分锐角、小于090的角、090~0的角、钝角、对顶角、区域角、区间角、象限角等。

2、弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈3、三角函数的定义（r y x ,,三个量的比值）：r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα。

㈠任意角的三角函数值在各个象限的符号知道吗？特别是特殊角的三角函数值记准了吗？ ㈡正弦线、余弦线、正切线会画吗？利用它们求三角不等式很简便哦！有印象吗？ ㈢常见三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<，(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤(3) 2cos sin 1,≤+≤∈x x R x 则若.4、同角三角函数的基本关系式 ：①22sin cos 1θθ+=，②ta n θ=θθcos sin ，注意公式变形：2)cos (sin cos sin 21)1(θθθθ±=±.)42sin(22cos2sinsin 1πθθθθ±=±=±2s i n 2c o s 1θθ=-， 2co s 2co s 1θθ=+（2）如t =±ααcos sin ,d =ααcos sin ,αtan 之间互相转换懂吗？知一求二：(3)若t =+ααcos sin ，则21c o s s i n 2-=t αα；12sin 2-=t α；22cos sin t -±=-αα（4）若t =ααcos sin ，则t 21cos sin +±=+αα；t 21cos sin -±=-αα.5、诱导公式分两大类：为偶数与奇数）k k(2απ±。

数学爱好者专高考文科数学爱好者业精心策划Ｓ专题辅导题知识整合三角函数是高中数学的重要内容之一，也是历年高考的重点．跨学科应用是它的鲜明特点，在解答函数、不等式、立体几何、解析几何问题时，三角函数是常用的工具．在实际问题中也有着广泛的应用，因而是高考对基础知识和基本技能方面考查的重要内容．三角函数这一章的主要知识点是：角的概念的推广、弧度制、任意角的三角函数、单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式，正、余弦的诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切，正弦函数、余弦函数的图象和性质，函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图象，正切函数的图象和性质，已知三角函数值求角．由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使之成为中学数学知识的一个“交汇点”，成为联系数和形的有力纽带，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究．在解题过程中，善于利用化归思想处理共线、平行、垂直问题，向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．题型例析河南陈长松热点题型一三角函数的求值、化简、证明等基本问题例１已知ｃｏｓ（π４＋ｘ）＝３５，１７π１２＜ｘ＜７π４，求ｓｉｎ２ｘ＋２ｓｉｎ２ｘ１－ｔａｎｘ的值．分析先把所求式化简，再利用已知条件求值．解由题设得ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝３２!５，ｓｉｎ２ｘ＝７２５，又５π３＜ｘ＋π４＜２π，所以原式＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘ（ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ）ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＝ｓｉｎ２ｘ・１＋ｔａｎｘ１－ｔａｎｘ＝ｓｉｎ２ｘｔａｎ（π４＋ｘ）＝－２８７５．评注在处理条件求值问题时，一要处理好角的终边位置和三角函数的符号；二应转化题设条件与待求式，以创造条件寻求时机代入求值．踪练习追ｚｈｕｉｚｏｎｇｌｉａｎｘｉｔａｎ１０°－３!ｃｓｃ４０°的值为．后反思练ｌｉａｎｈｏｕｆａｎｓｉ原式＝ｓｉｎ１０°ｃｏｓ１０°－３!ｃｓｃ４０°＝ｓｉｎ１０°－３!ｃｏｓ１０°ｃｏｓ１０°・ｃｓｃ４０°＝２１２ｓｉｎ１０°－３!２ｃｏｓ１０"#°ｃｏｓ１０°・ｃｓｃ４０°＝－２ｃｏｓ４０°・ｓｉｎ４０°ｃｏｓ１０°＝－ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°＝－１．热点题型二三角函数的最值问题例２求函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的最大值和最小值．分析求函数的最值可用多种方法求解，最常用的有两种方法：几何法、有界性法．几何法运用数形结合思想，要掌握转化的方法．与专三角函数平面向量"#。

第二部分 三角函数与平面向量角的概念任意角的三角函数的定义 三角函数 弧度制弧长公式、扇形面积公式三角函数线同角三角函数的关系诱导公式 和角、差角公式 二倍角公式公式的变形、逆用、“1”的替换 化简、求值、证明（恒等变形）三角函数 的 图 象定义域奇偶性 单调性 周期性 最值对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x 轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对称中心为(k π2，0)（k ∈Z ）.正弦函数y ＝sin x= 余弦函数y ＝cos x 正切函数y ＝tan x y ＝A sin(ωx ＋ϕ)＋b①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意ω的符号）； ④最小正周期T ＝2π| ω |；⑤对称轴x ＝(2k ＋1)π－2ϕ2ω，对称中心为(k π－ϕω，b )（k ∈Z ）. 平面向量 概念 线性运算 基本定理 加、减、数乘几何意义坐标表示数量积几何意义模共线与垂直共线（平行）垂直 值域图象a →∥b →⇔b →＝λa → ⇔ x 1y 2－x 2y 1=0 a →⊥b →⇔b →·a →＝0 ⇔ x 1x 2＋y 1y 2=0解三角形余弦定理 面积 正弦定理 解的个数的讨论实际应用 S △＝12ah ＝12ab sin C ＝p (p －a )(p －b )(p －c )（其中p ＝a ＋b ＋c 2）投影b →在a →方向上的投影为|b →|cos θ＝a →·b→|a →|设a →与b →夹角θ，则cos θ＝a →·b→|a →|·|b →|对称性 |a →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2夹角公式sin sin αβtan tan 1tan tan αβα±凑”)、函数名的变换，其核心是角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和、“差”、“倍α。

三角函数知识与公式总结1.终边相同的角：2,k k Z βπα=+∈2.象限角的集合第一象限：{}22,2k k k Z παπαπ<<+∈第二象限：{}22,2k k k Z παπαππ+<<+∈第三象限：{}322,2k k k Z παππαπ+<<+∈ 第四象限：{}3222,2k k k Z παπαππ+<<+∈ 3.轴线角的集合终边在x 轴正半轴：{}2,k k Z ααπ=∈ 终边在x 轴负半轴：{}2,k k Z ααππ=+∈终边在y 轴正半轴：{}2,2k k Z πααπ=+∈ 终边在y 轴负半轴：{}32,2k k Z πααπ=+∈ 终边在x 轴上：{},k k Z ααπ=∈ 终边在y 轴上：{},2k k Z πααπ=+∈终边在坐标轴上：{},2k k Z παα=∈ 终边在一三象限角分线上：{},4k k Z πααπ=+∈终边在二四象限角分线上：{}3,4k k Z πααπ=+∈ 终边在象限角分线上：{},24k k Z ππαα=+∈ 4.角度与弧度转化1180rad π= '18015718rad π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭5.扇形弧长及面积公式：6.θπR R n l ==180θπ222121360R lR R n S ===扇形7三角函数的定义：p （x,y ）为终边上一点坐标，r ＝sin y r α=cos x r α=tan y x α=cot x yα= （1）重要结论：当(0,)2πα∈时，(sin cos 1,2αα⎤+∈⎦sin α＜α＜tan α ⑵ 符号规律：正弦上正 ，余弦右正，正切一三正8.同角三角函数基本关系式22sin cos 1αα+=tan cot 1αα= sin tan cos ααα=cos cot sin ααα= 9.诱导公式（奇变偶不变 符号看象限）()sin 2sin k παα+=()cos 2cos k παα+=()tan 2tan k παα+= ()sin sin παα-=()cos cos παα-=-()tan tan παα-=-()sin sin αα-=-()cos cos αα-=()tan tan αα-=-()sin sin παα+=-()cos cos παα+=-()tan tan παα+=sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭tan cot 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭3tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭3tan cot 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 10.两角和与差的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+(注：两式相加可求sin αsin β两式相减可求cos αcos βf 进而可求tan α tan β)11.两角和与差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-(注：两式相加可求sin αcos β两式相减可求cos αsin βf 进而可求tan α/tan β)12.两角和与差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ 12.辅助角公式()22sin cos sin a b a b αααϕ+=++ 其中tan baϕ=()22sin cos cos a b a b αααϕ+=+- 其中tan a bϕ=13.二倍角公式sin 22sin cos ααα=22tan tan 21tan ααα=- 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-14.升幂公式：21cos 22sin αα-=21cos 22cos αα+= 15.降幂公式：21cos 2sin 2αα-=21cos 2cos 2αα+= 16.万能公式：22tan2sin 1tan 2ααα=+221tan 2cos 1tan 2ααα-=+22tan2tan 1tan 2ααα=-17.半角公式：1cos sin22αα-=±1cos cos 22αα+=±1cos 1cos sin tan 21cos sin 1cos ααααααα--=±==++18.三角函数中的值域法（1）能化为关于sinx 或cosx 的一元二次函数 （2）能化为y=Asin(wx+θ)+B 的形式（3）形如y=sinx+cosx+sinxcosx 的类型用换元法也能转化 为一元二次函数 （4）利用正弦余弦值有界性 19.sinx+cosxsinx-cosx sinxcosx三者之间的关系主要通过对前两式平方体现出来。

□高考必备公式、结论、方法、细节二：三角函数与平面向量一、必备公式1．三角函数 (1)同角三角函数①平方关系： sin 2 α＋cos 2 α＝1 (又叫 1字替换式)； ②商数关系：sin αcos α＝tan α (又叫切弦互化式)； (2)和差倍角关系 ①cos(α±β)＝_____ cos αcos βsin αsin β___； ②sin(α±β)＝_____ sin αcos β±cos αsin β____；③tan(α±β)＝ tan α±tan β1tan αtan β； ④sin 2α＝____2sin αcos α__；⑤cos 2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 1－2sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ；⑥tan 2α＝________2tan α1－tan 2 α__________；(3)辅助角公式： a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) ，其中， tan φ＝b a ， |φ|＜π2， a ＞0 ．2．正余弦定理(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 为 外接圆半径 ；注意：正弦定理变式与性质：①边化正弦：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； ②正弦化边：sin A ＝a2R ，sin B ＝b2R ，sin C ＝c2R ； ③a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；④a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝ 2R ； (2)余弦定理：①a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ； ②b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； ③c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C注意：变式：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ； ②cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ； ③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(3)三角形面积 ：①S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ②S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是切圆的半径)3．平面向量：(1)两点间向量表示：若A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则AB →＝ (x 2－x 1，y 2－y 1) ； (2)向量运算公式：若a ＝(x 1，y 1)、b ＝(x 2，y 2) ，则： ①a ±b ＝ (x 1±x 2，y 1±y 2) ； ②λa ＝ (λx 1，λy 1) ；③a·b ＝ |a ||b |cos θ ＝ x 1x 2＋y 1y 2 ； ④|a |＝ a 2 ＝ x 21＋y 21 ；⑤cos 〈a ，b 〉＝ a ·b |a ||b | ＝ x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 ； ⑥a 在b 方向上的投影为： |a |cos θ ＝ a·b|b| ； (3)平行与垂直定理：①共线定理：a ∥b ⇔___ a ＝λb ___⇔___ x 1y 2＝x 2y 1 _； ②垂直定理：a ⊥b ⇔___a ·b ＝0___⇔__ x 1x 2＋y 1y 2＝0_.二、必备结论1．三角函数符号判断口诀：一正二正弦，三切四余弦2．诱导公式：①口诀：奇变偶不变，符号看象限； ②原则：负化正、大化小、小化锐；3．函数y ＝tan x 的定义域是：{x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }4．形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及性质 (1)图像变换：①相位变换：y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)| φ|个单位；②周期变换：y ＝sin (x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的|1ω|倍；③振幅变换： y ＝sin (ωx ＋φ) →y ＝A sin(ωx ＋φ) 的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A |倍；注意：y ＝sin ωx→y ＝sin(ωx ＋φ)变换规则是：先提取后者x 的系数ω，然后在左(右)平移|φω|个单位；(2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合” ②值域：由内向外 ③单调性：同增异减(3)周期公式：①y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω| ②y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的周期T ＝π|ω|.(3)对称性： 换元思想，将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①对称轴：最值处，令sin(ωx ＋φ) ＝1，则ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程；②对称中心：零点处，令sin(ωx ＋φ) ＝0，ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标； (4)奇偶性：利用“反向诱导法”理解掌握①函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；②函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；③函数y ＝A tan(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．5．平面向量： ①a|a |是与a 同方向的单位向量． ②共线第二定理：若A 、B 、C 三点共线⇔OC →＝xOA →＋yOB →且x ＋y ＝1．6．平面向量与三角形的心：①OA →＋OB →＋OC →＝0⇔点O 为△ABC 的重心(中线交点)； ②OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →⇔点O 是△ABC 的垂心(高线交点)③若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心(角平分线交点)．7．三角形中：①sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ； ②sin A ＋B 2＝cos C 2， cos A ＋B 2＝sin C2；③三角形中，任何一个角的正弦值恒大于0； ④a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A ＜cos B ．三、必备方法1．三角函数求值、化简时，常用方法有：(1)化简的基本原则是：①切化弦：公式tan x ＝sin xcos x ；②降次数：公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(2)和积转换法：运用公式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ解决sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4； (4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2等2．换元法：即整体思想，对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．3．确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)观察确定A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)通过周期公式求ω：即ω＝2πT. (3)特殊点代入求φ：通常代入“最值点”或“零点”；四、必备细节1．角度制与弧度制不可混合使用；2．利用平方关系求值时，开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的值域求解时，由内向外，先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合y ＝sin t 的图像；4．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来． 5．平面向量：(1)相等向量具有传递性，但平行向量不一定具有传递性．(2)平行向量所在直线不一定平行． (3)向量平移后，起终点坐标改变，但向量坐标不变． 2．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立．。

平面向量与三角函数平面向量与三角函数是高中数学中的重要概念，它们在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中具有广泛的作用。

本文将介绍平面向量和三角函数的基本概念、性质以及它们之间的关系。

一、平面向量的基本概念平面向量可以用空间中的箭头表示，箭头的长度表示向量的模，箭头的方向表示向量的方向。

平面向量的运算主要包括加法、减法、数乘和数量积。

向量加法满足交换律和结合律，向量的数乘满足分配律。

二、平面向量的坐标表示平面向量可以使用坐标进行表示。

二维平面上的向量可以使用坐标对(x, y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

通过坐标表示，我们可以进行向量的运算，并用向量表示点、线段以及其他几何对象。

三、平面向量的模与方向角平面向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理计算。

平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角，可以使用三角函数来计算。

四、三角函数的基本概念三角函数是用来描述角度与边长之间的关系的函数。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。

五、平面向量与三角函数的关系平面向量与三角函数之间存在着紧密的联系。

对于任意一个角，可以使用三角函数来表示角的正弦值、余弦值和正切值。

而在平面向量中，向量的方向角正是角的一种度量。

六、平面向量的投影与单位向量平面向量的投影是指一个向量在某个方向上的投影长度，可以通过向量的模与投影夹角的三角函数计算得到。

单位向量是模为1的向量，通过标准化平面向量，可以得到单位向量。

七、平面向量的数量积平面向量的数量积也称为内积或点积，它表示两个向量之间的乘积与夹角的余弦值之间的关系。

数量积可以用来计算向量的模、判断向量的方向以及计算向量之间的夹角等。

八、平面向量与三角函数的应用平面向量与三角函数在解决几何问题、力学问题以及其他实际应用中广泛使用。

例如，通过平面向量可以求解三角形的面积、判断四边形是否为矩形或平行四边形。

同时，三角函数也可以用来描述力学问题中的分力、合力、角动量等。

地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）第一讲 三角函数与平面向量综合考点题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2010）已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅=，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例2】 （浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。

（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。

地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例3】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =． （1）求cos C ；题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例4】（2007年高考陕西卷）()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法【例5】（2007年高考湖北卷）将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量,24π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）Ａ．2cos 234x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例6】（2006年高考湖北卷）设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集.【跟踪训练】1．设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量(sin ,cos ),(sin ,3cos )a x x b x x =-=-，(cos ,sin ),c x x x R =-∈．（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d ．地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）2．已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<．（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；（Ⅱ）求a b +的最大值．3.(北京理） 已知函数12sin(2)4()cos x f x xπ--=. （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α的第四象限的角，且tan α43=-，求()f α的值.地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）4.（北京）已知函数f(x)=xxcos 2sin 1-(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan α=34-，求f(α)的值.5.（北京）已知函数2π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．数学史人物：戈特弗里德·威廉·莱布尼茨莱布尼茨，一般指戈特弗里德·威廉·莱布尼茨弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz ，1646年—1716年），德国哲学家、数学家，和牛顿先后独立发明了微积分。

三角函数1. 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转。

2. 时针在1小时内所转的角度为-30； 分针在1小时内所转的角度为-360。

3. 一般地，与角α终边相同的角的集合为：{}360,k k ββα=•+∈。

4. 终边落在直线上的角用180k α•+表示。

5. 1,,2L S LR R α===弧长弧度数即面积半径（经常联系起来考察）。

6. 180()rad π=。

7. 对任意角α：(()sin cos tan 0yr r xr yx xααα====≠正弦：余弦：正切： 8.＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ －sin α cos α tan /cot αα9. 22sin sin cos 1,tan cos ααααα+== “知其一就可以求其二”。

10.()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-奇函数偶函数奇函数诱导公式关键步骤：（1）把α看成锐角；（2）确定符号；（3）确定函数名称。

（π±同名函数，322ππ±±或需换函数名称）11. 周期函数：()()fx T f x +=。

不是任何函数都有最小正周期。

12. 一般地，()sin y A x ωϕ=+及()cos y A x ωϕ=+(),,A ωϕ其中为常数的周期2T πω=；()tan y A x ωϕ=+的周期T πω=。

13. 函数图象：y ＝tanx y ＝cotx14. 函数性质： （注：表中k 均为整数）15. 图象平移：以sin y x =变换到4sin(3)3y x π=+为例sin y x =向左平移3π个单位 （左加右减） sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变） sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变） 4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =横坐标变为原来的13倍（纵坐标不变）()sin 3y x =向左平移9π个单位 （左加右减） sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）4sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭注意：在变换中改变的始终是X 。