2020年辽宁省大连市高三双基考试数学(理科)试题及答案

2020年大连市高三双基测试卷数学(理科)说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第II 卷第22题～第23题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ＝{x|x 2－3x －10<0}，B ＝{x|2x <2}，则A ∩B ＝(A)(－2，1) (B)(－5，1) (C)∅ (D){0}2.设z ＝－1－i ，则在复平面内z 对应的点位于(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3.命题“∀x ∈R ，x 2－4≥0”的否定是(A)∀x ∈R ，x 2－4≤0 (B)∀x ∈R ，x 2－4<0(C)∃x ∈R ，x 2－4≥0 (D)∃x ∈R ，x 2－4<04.为了解某商品销售量y(件)与其单价x(元)的关系，统计了的10组值，并画成散点图如图，则由其图得到的回归方程可能是(A)ˆ10198yx =-+ (B)ˆ10198y x =-- (C)ˆ10198yx =+ (D)ˆ10198y x =- 5.已知二面角α－l －β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且b ⊥α，c ⊥β，则b 与c 所成的角的大小为(A)120° (B)90° (C)60° (D)30°6.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(2π，π)上单调递减的是 (A)y ＝cosx (B)y ＝2|sinx| (C)y ＝cos 2x (D)y ＝tanx 7.“剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过：“数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的”；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图”。

2020年大连市高三第二次模拟考试数 学（理科）本试卷满分150分，共6页，答卷时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题~第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}2|430A x x x =-+<，{}|24B x x =<<，则A B =U （ ） A. ()1,3B. ()1,4C. ()2,3D. ()2,42. 已知,a b R ∈，i 为虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +为（ ） A. 54i -B. 54i +C. 34i -D. 34i +3. 双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ） A. 14y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 4y x =±4. 瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3i e 表示的复数在复平面中位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 设函数21log (2),1(),1xx x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩，则(2)(ln 6)f f -+=（ ） A. 3B. 6C. 9D. 126. 已知各项均为正数的数列{}n a 为等比数列，1516a a ⋅=，3412a a +=，则7a =（ ） A. 16B. 32C. 64D. 2567. 已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的函数是（ ）A. ()sin x x y e e -=+ B. ()sin x x y e e --= C. ()cos x x y e e --=D. ()cos x x y e e -+=8. 已知关于某设备的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下的统计资料：由上表可得线性回归方程$0.08y bx=+$，若规定当维修费用12y >时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为（ ） A. 7B. 8C. 9D. 109. 已知点P 在抛物线C ：24y x =上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为-1，则点P 坐标为（ ）A. ()1,2B. ()1,2-C. (2,D. (2,-10. 下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④11. 已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，其图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若对,243x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，不等式1()2f x >恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A. ,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭12. 已知三棱锥P ABC -，面PAB ⊥面ABC ，4PA PB ==，AB =120ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积（ ）A. 20πB. 32πC. 64πD. 80π本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13. 设向量()2,4a =r 与向量(),6b x =r共线，则实数x =______.14. 已知5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项的系数为30，则a 的值为______.15. 数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++-=，则{}n a 的前8项和为______.16. 已知函数()ln 2exf x x =-，则()(2)f x f x +-值为______；若19119()10k k f a b =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，则22a b +的最小值为______.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos a c a b c abc C --+=. （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若1a =，b =ABC △的面积.18. 如图，已知平面四边形ABCP 中，D 为PA 的中点，PA AB ⊥，//CD AB ，且24PA CD AB ===.将此平面四边形ABCP 沿CD 折成直二面角P DC B --，连接PA 、PB 、BD .。

2020年辽宁大连高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第1题5分2007年高考真题全国卷I理科第2题5分设a是实数，且a1+i +1+i2是实数，则a=（）．A. 12B. 1 C. 32D. 22、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第2题5分设集合M={x||x|⩾3，x∈R}，N={y|y=x2，x∈M}，则M∩N=（）．A. MB. NC. 空集D. R3、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第3题5分2017~2018学年6月广东深圳盐田区盐田高级中学高一下学期月考理科第9题5分已知函数y=sin⁡(ωx+φ)(ω>0,0<φ⩽π2)，且此函数的图象如图所示，则点P(ω,φ)的坐标是（）．A. (2,π2)B. (2,π4)C. (4,π2)D. (4,π4)4、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第4题5分设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，且f(1)>1，f(2)=2m−3m+1，则m的取值范围是（）．A. m<23且m≠−1B. m<23C. −1<m<23D. m<−1或m>235、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第5题5分2007年高考真题全国卷I理科第10题5分(x2−1x )n的展开式中，常数项为15，则n=（）．A. 3B. 4C. 5D. 66、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第6题5分2017年江西新余高三二模理科第7题5分在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+2−a n=1+(−1)n(n∈N+)，则S100=（）．A. 0B. 1300C. 2600D. 26027、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第7题5分2017~2018学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期末理科平行班第10题5分2017年四川成都双流区双流中学高三一模理科第8题5分如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x2和曲线y=√x围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）．A. 12B. 14C. 13D. 168、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第8题5分已知点A(3,√3)，O是坐标原点，点P(x,y)的坐标满足{√3x−y⩽0x−√3y+2⩾0y⩾0，设z为OA→在OP→上的投影，则z的取值范围是（）．A. [−√3,√3]B. [−3,3]C. [−√3,3]D. [−3,√3]9、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第9题5分如图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、⋯、A m[如A2表示身高(单位：cm)在[150,155]内的学生人数]．图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160∼180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）．A. i <9B. i <8C. i <7D. i <610、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第10题5分直线√2ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交于A 、B 两点（其中a ，b 是实数），且△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点），则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为（ ）．A. 0B. √2C. √2−1D. √2+111、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第11题5分|OA →|=1，|OB →|=√3，OA →⋅OB →=0 ，点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设OC →=mOA →+nOB →(m,n ∈R)，则m n 等于（ ）．A. 13B. 3C. √33D. √312、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第12题5分2019~2020学年安徽合肥蜀山区合肥一六八中学高二上学期期末理科第10题5分抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB =120°，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为M 1，则|MM 1||AB|的最大值为（ ）．A. 4√33B. √3C. 2√33D. √33二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第13题5分甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有 种．（用数字作答）14、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第14题5分2012年北京房山区高三期末已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 cm 3．15、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第15题5分已知a n=log n+1(n+2)(n∈N+)，我们把使乘积a1⋅a2⋅a3⋅⋯⋅a n为整数的数n叫做“劣数”，则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为．16、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第16题5分某学生对函数f(x)=xsin⁡x进行研究后，得出如下四个结论：①函数f(x)在[−π2,π2]上单调递增；②存在常数M>0，使|f(x)|⩽M|x|对一切实数x都成立；③函数f(x)在(0,π)上无最小值，但一定有最大值；④点(π,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心，其中正确的是．（填序号）三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第17题12分如图，在△ABC中，B=π4，AC=2√5，cos⁡C=2√55．(1) 求sin⁡A．(2) 记BC的中点为D，求中线AD的长．18、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第18题12分某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为15，路段CD发生堵车事件的概率为18）．(1) 请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小．(2) 若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望E(ξ)．19、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第19题12分在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E（图1），沿DE将△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BDEC（图2）．(1) 若F是AB的中点，求证：CF//平面ADE．(2) P是AC上任意一点，求证：平面ACD⊥平面PBE．(3) P是AC上一点，且AC⊥平面PBE，求二面角P−BE−C的大小．20、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．(1) 求直线ON（O为坐标原点）的斜率K ON．(2) 对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角θ(θ∈R)使等式：OM→=cos⁡θOA→+sin⁡θOB→成立．21、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第21题12分已知函数f(x)=ax+ln⁡x，a∈R．(1) 求函数f(x)的极值．(2) 对于曲线上的不同两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如果存在曲线上的点Q(x0,y0)，且x1<x0<x2使得曲线在点Q处的切线l//P1P2，则称l为弦P1P2的伴随直线，特别地，当x0=λx1+(1−λ)x2(0<λ<1)时，又称l为P1P2的λ−伴随直线．① 求证：曲线y =f (x )的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的．② 是否存在曲线C ，使得曲线C 的任意一条弦均有12−伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第22题10分已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos⁡θ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是{x =√22t +m y =√22t（t 是参数）． (1) 将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程转化为普通方程．(2) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|AB|=√14，试求实数m 的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年辽宁大连高三二模理科第23题10分已知不等式|x −a |<b 的解集是{x |−1<x <5}．(1) 求实数a ，b 的值．(2) 解不等式|a +b |+|a −b |⩾|a |(|x −1|+|x −2|)．1 、【答案】 B;2 、【答案】 B;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】72;;14 、【答案】4315 、【答案】2026;16 、【答案】②③;17 、【答案】 (1) 3√10．10;(2) √5．;18 、【答案】 (1) 路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．;(2) 37．60;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;(3) 45°．;20 、【答案】 (1) −1．3;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) 当a⩾0时，f(x)没有极值；)，没有极小值．当a<0时，f(x)的极大值为−1+ln⁡(−1a;(2)①证明见解析．②存在，证明见解析．;22 、【答案】 (1) (x−2)2+y2=4，y=x−m．;(2) m=1或m=3．;23 、【答案】 (1) a=2，b=3．;(2) {x|0⩽x⩽3}．;。

2020年辽宁省⼤连市⾼考数学⼆模试卷（理科）（有答案解析）2020年辽宁省⼤连市⾼考数学⼆模试卷（理科）题号⼀⼆三总分得分⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共36.0分）1.复数z=-1+i（i是虚数单位），则z的模为（）A. 0B. 1C.D. 22.已知全集U=R，集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x≥2}，则A∩（?U B）=（）A. {-1，0，1}B. {-1，0，1，2}C. {x|x＜2}D. {x|-1≤x＜2}3.命题“?α∈R，sinα=0”的否定是（）A. ?α∈R，sinα≠0B. ?α∈R，sinα≠0C. ?α∈R，sinα＜0D. ?α∈R，sinα＞04.下列函数中，既是奇函数⼜在（-∞，+∞）上单调递增的是（）A. y=sin xB. y=|x|C. y=-x3D. y=ln（+x）5.已知等⽐数列{a n}的前n项和为S n，S4=2S2，则数列{a n}的公⽐q=（）A. -1B. 1C. ⼠1D. 26.过椭圆+=1的中⼼任作⼀直线交椭圆于P、Q两点，F是椭圆的⼀个焦点，则△PQF周长的最⼩值是（）A. 14B. 16C. 18D. 207.把标号为1，2，3，4的四个⼩球分别放⼊标号为1，2，3，4的四个盒⼦中，每个盒⼦只放⼀个⼩球，则1号球不放⼊1号盒⼦的⽅法共有（）A. 18种B. 9种C. 6种D. 3种8.已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹⾓为30°，则此圆锥的体积为（）A. B. C. D.9.执⾏如图所⽰的程序框图，若输出结果为1，则可输⼊的实数x值的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 410.设a=log43，b=log52，c=log85，则（）A. a＜b＜cB. b＜c＜aC. b＜a＜cD. c＜a＜b11.已知F是双曲线E：（a＞0，b＞0）的左焦点，过点F且倾斜⾓为30°的直线与曲线E的两条渐近线依次交于A，B两点，若A是线段FB的中点，且C是线段AB的中点，则直线OC 的斜率为（）A. -B.C. -3D. 312.函数f（x）=e x-1-e-x+1+a sinπx（x∈R，e是⾃然对数的底数，a＞0）存在唯⼀的零点，则实数a的取值范围为（）A. （0，]B. （0，）C. （0，2]D. （0，2）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共12.0分）13.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C-sin B?sin C，则∠A=______．14.已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（2x-1）＞f（x-2）的解集为______．15.已知各项都为正数的数列,其前n项和为,若,则______．16.A，B为单位圆（圆⼼为O）上的点，O到弦AB的距离为，C是劣弧（包含端点）上⼀动点，若=λ+（λ，µ∈R），则λ+µ的取值范围为______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共84.0分）17.已知函数f（x）=+（ω＞0），x1，x2是函数f（x）的零点，且|x2-x1|的最⼩值为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α，β∈（0，），若f（）=，f（）=-，求cos（α-β）的值．18.某⼚包装⽩糖的⽣产线，正常情况下⽣产出来的⽩糖质量服从正态分布N（500，52）（单位：g）．（Ⅰ）求正常情况下，任意抽取⼀包⽩糖，质量⼩于485g的概率约为多少？（Ⅱ）该⽣产线上的检测员某天随机抽取了两包⽩糖，称得其质量均⼩于485g，检测员根据抽检结果，判断出该⽣产线出现异常，要求⽴即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．附：X～N（µ，σ2），则P（µ-σ≤X≤µ+σ）=0.6826，P（µ-2σ≤X≤µ+2σ）=0.9544，P（µ-3σ≤X≤µ+3σ）=0.9974．19.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点．（Ⅰ）若E为AB1上的⼀点，且DE与直线CD垂直，求的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设异⾯直线AB1与CD所成的⾓为45°，求直线DE与平⾯AB1C1成⾓的正弦值．20.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点M．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若l1⊥l2，求△MAB⾯积的最⼩值．21.已知是函数的极值点．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ求证：函数存在唯⼀的极⼩值点,且参考数据：,其中e为⾃然对数的底数22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，直线l1过原点且倾斜⾓为α（0）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建⽴坐标系，曲线C2的极坐标⽅程为ρ=2cosθ．在平⾯直⾓坐标系xOy中，曲线C2与曲线C1关于直线y=x对称．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标⽅程；（Ⅱ）若直线l2过原点且倾斜⾓为，设直线l1与曲线C1相交于O，A两点，直线l2与曲线C2相交于O，B两点，当α变化时，求△AOB⾯积的最⼤值．23.已知函数f（x）=|x+1|+|x+a|．（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）＞2x的解集；（Ⅱ）当不等式f（x）＞1的解集为R时，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵z=-1+i，∴|z|=．故选：C．由已知直接利⽤复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，是基础题．2.答案：A解析：解：?U B={x|x＜2}；∴A∩（?U B）={-1，0，1}．故选：A．进⾏交集、补集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及补集、交集的运算．3.答案：B解析：解：特称命题的否定是全称命题，∴?α∈R，sinα=0的否定为：?α∈R，sinα≠0，故选：B．直接利⽤特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=sin x，为正弦函数，在（-∞，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于B，y=|x|，为偶函数，不符合题意；对于C，y=-x3，是奇函数但在（-∞，+∞）上单调递减，不符合题意；对于D，y=ln x（+x），既是奇函数⼜在（-∞，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5.答案：C 解析：解：根据题意，等⽐数列{a n}中，S4=2S2，则（a1+a2+a3+a4）=2（a1+a2），变形可得：a3+a4=a1+a2，进⽽可得：q2=1，解可得q=±1，故选：C．根据题意，分析可得（a1+a2+a3+a4）=2（a1+a2），变形可得：a3+a4=a1+a2，进⽽可得q2=1，解可得q的值，即可得答案．本题考查等⽐数列的前n项的性质以及应⽤，属于基础题．6.答案：C解析：【分析】本题考查了椭圆的简单⼏何性质，考查了椭圆定义的应⽤，体现了数学转化思想⽅法，是中档题．由题意画出图形，然后利⽤椭圆的对称性把△PFQ的周长转化为椭圆上的点到两焦点的距离之和及过原点的线段的长度问题，则答案可求．【解答】解：如图，由椭圆的定义知|PF|+|PF1|=2a由椭圆的对称性知|QF|=|PF1|，∴有|PF|+|QF|=2a，⽽|PQ|的最⼩值是2b，∵+=1，∴a=5，b=4，∴△PFQ的周长的最⼩值为2a+2b=2（a+b）=18故选：C．7.答案：A解析：解：由于1号球不放⼊1号盒⼦，则1号盒⼦有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放⼊剩下的三个盒⼦中，则2号⼩球有3种选择，3号⼩球还剩2种选择，4号⼩球只有1种选择，根据分步计数原理可得1号球不放⼊1号盒⼦的⽅法有?1=18种，故选：A．先确定1号盒⼦的选择情况，再确定2、3、4号盒⼦的选择情况，根据分步计数原理即可求解．本题考查排列组合问题，对于特殊对象优先考虑原则即可求解，属于基础题．8.答案：B解析：【分析】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积的计算，属于基础题．根据勾股定理得出圆锥的底⾯半径，代⼊侧⾯积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为6，母线与轴的夹⾓为30°，∴圆锥的底⾯半径为3，⾼为．圆锥的体积为：π×9×3=9π．故选：B．9.答案：B解析：解：根据题意，该框图的含义是：当x≤2时，得到函数y=x2-1；当x＞2时，得到函数y=log2x，因此，若输出的结果为1时，（1）若x≤2，得到x2-1=1，解得x=，（2）若x＞2，得到log2x=1，解得x=2，（舍去），因此，可输⼊的实数x的值可能为-，，共有2个．故选：B．根据程序框图的含义，得到分段函数y=，由此解出关于x的⽅程f（x）=1，即可得到可输⼊的实数x值的个数．本题主要考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题．10.答案：B解析：解：∵，；∴a＞c；⼜，；∴c＞b；∴a＞c＞b；∴b＜c＜a．故选：B．根据换底公式即可得出，从⽽得出a＞c，容易得出，从⽽得出c＞b，这样即可得出a，b，c的⼤⼩关系．考查对数的运算性质，以及对数的换底公式，对数函数的单调性．11.答案：D解析：【分析】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线渐近线的位置关系，考查中点坐标公式与斜率公式，属于中档题．设B（x0，），表⽰出A点坐标，代⼊渐近线⽅程得出x0=，求出C点坐标，根据斜率公式求出的值，即可得出OC的斜率．【解答】解：F（-c，0），设B（x0，），则A（，），把A点坐标代⼊⽅程y=-x可得=-?，整理可得x0=，∴A（-，），B（，），∴C（，），故k OC=，⼜直线BF的斜率为=tan30°=，∴=，∴k OC=3．故选D．12.答案：A解析：解：函数f（x）=e x-1-e-x+1+a sinπx（x∈R，e是⾃然对数的底数，a＞0）存在唯⼀的零点等价于：函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯⼀⼀个交点，∵φ（1）=0，g（1）=0，∴函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1唯⼀交点为（1，0），⼜∵g′（x）=-e1-x-e x-1，且e1-x＞0，e x-1＞0，∴g′（x）=-e1-x-e x-1在R上恒⼩于零，即g（x）=e1-x-e x-1在R上为单调递减函数，⼜∵φ（x）=a sinπx（a＞0）是最⼩正周期为2，最⼤值为a的正弦函数，∴可得函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1的⼤致图象如图：∴要使函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯⼀⼀个交点，则φ′（1）≥g′（1），∵φ′（1）=πa cosπ=-πa，g′（1）=-e1-1-e1-1=-2，∴-πa≥-2，解得a，⼜∵a＞0，∴实数a的范围为（0，]．故选：A．函数f（x）=e x-1-e-x+1+a sinπx（x∈R，e是⾃然对数的底数，a＞0）存在唯⼀的零点等价于函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯⼀⼀个交点，由φ（1）=0，g（1）=0，可得函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1唯⼀交点为（1，0），g（x）的单调，根据单调性得到φ（x）与g（x）的⼤致图象，从图形上可得要使函数φ（x）=a sinπx与函数g（x）=e1-x-e x-1只有唯⼀⼀个交点，则φ′（1）≥g′（1），即可解得实数a的取值范围．本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯⼀零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进⾏分析研究，属于难题．13.答案：解析：【分析】本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊⾓的三⾓函数值，属于中档题．利⽤正弦定理化简已知的等式，再利⽤余弦定理表⽰出cos A，将化简后的式⼦整理后代⼊求出cos A 的值值，由A为三⾓形的内⾓，利⽤特殊⾓的三⾓函数值即可求出A的值．【解答】解：由正弦定理化简sin2A=sin2B+sin2C-sin B?sin C，得：a2=b2+c2-bc，即b2+c2-a2=bc，∴cos A===，⼜∠A为三⾓形的内⾓，则∠A=．故答案为.14.答案：（-∞，-1）∪（1，+∞）解析：【分析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运⽤，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进⾏转化是解决本题的关键，为中档题．根据题意，由偶函数的性质结合函数的单调性可得f（|2x-1|）＞f（|x-2|），进⽽可得|2x-1|＞|x-2|，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意：当f（2x-1）＞f（x-2）时，即f（|2x-1|）＞f（|x-2|）?|2x-1|＞|x-2|，变形可得：4x2-4x+1＞x2-4x+4，解可得x＜-1或x＞1，即不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）；故答案是（-∞，-1）∪（1，+∞）．15.答案：2n-1解析：【分析】本题考查数列的通项公式的求法，关键是得出数列{a n}为单调递增的等差数列，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．n=1时，4a1=（a1+1）2，解得a1=1，当n≥2时，4S n-1=，推导出（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，从⽽a n-a n-1=2，进⽽数列{a n}是⾸项为1，公差为2的等差数列，由此能求出结果．【解答】解：∵各项都为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，4S n=（a n+1）2=，①∴n=1时，4a1=（a1+1）2=a12+2a1+1=0，解得a1=1，当n≥2时，4S n-1=，②①-②，得：4a n=+2（a n-a n-1），∴（a n+a n-1）（a n-a n-1-2）=0，∵数列各项都为正数，∴a n-a n-1=2，∴数列{a n}是⾸项为1，公差为2的等差数列，∴a n=1+（n-1）×2=2n-1，且验证n=1时也成⽴，故答案为：2n-1．16.答案：[1，]解析：解：如图以圆⼼O为坐标原点建⽴直⾓坐标系，设A，B两点在x轴上⽅且线段AB与y轴垂直，∵A，B为单位圆（圆⼼为O）上的点，O到弦AB的距离为，∴点A（-，），点B（，），∴=（-，），=（，），即λ=（-，），µ=（，），∴=λ+µ=（，），⼜∵C是劣弧AB（包含端点）上⼀动点，设点C坐标为（x，y），∴，∵=λ+µ=（，）=（x，y），∴≤y=≤1，解得：1≤λ+µ≤，故λ+µ的取值范围为[1，]．以圆⼼O为坐标原点建⽴直⾓坐标系，设A，B两点在x轴上⽅且线段AB与y轴垂直，分别表⽰出A，B两点的坐标，求出、向量，即可表⽰出向量，由于C是劣弧AB（包含端点）上⼀动点，可知向量横纵坐标的范围，即可求出λ+µ的取值范围．本题主要考查了向量的综合问题以及圆的基本性质，解题的关键是建⽴直⾓坐标系，表⽰出各点坐标，属于中档难度题．17.答案：解：（Ⅰ）f（x）=+=sin2ωx-cos2ωx=2in（2ωx-），∵|x2-x1|的最⼩值为．∴=，即T==π，得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin（2x-），∴f（）=sin（α+-）=sin（α+）=cosα=，f（）=sin（β--）=sin（β-π）=-sinβ=-，则sinβ=，⼜α，β∈（0，），∴sinα=，cosβ=，∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=+=．解析：（Ⅰ）利⽤⼆倍⾓公式和辅助⾓公式整理出f（x）=sin（2ωx-），根据周期求得ω；（Ⅱ）根据f（x）解析式可求解出cosα，sinβ；再利⽤同⾓三⾓函数关系求出sinα，cosβ；代⼊两⾓和差余弦公式求得结果．本题考查三⾓函数解析式的求解及应⽤问题，关键是考查学⽣对于⼆倍⾓公式、辅助⾓公式、同⾓三⾓函数关系以及两⾓和差公式的掌握情况，考查学⽣的运算能⼒，属于常规题型．18.答案：解：（Ⅰ）设正常情况下，该⽣产线上包装出来的⽩糖质量为Xg，由题意可知X～N（500，52）．由于485=500-3×5，所以根据正态分布的对称性与“3σ原则”可知：P（X＜485）=；（Ⅱ）检测员的判断是合理的．因为如果⽣产线不出现异常的话，由（Ⅰ）可知，随机抽取两包检查，质量都⼩于485g的概率约为：0.0013×0.0013=1.69×10-6，⼏乎为零，但这样的事件竟然发⽣了，所以有理由认为⽣产线出现异常，检测员的判断是合理的．解析：（Ⅰ）由正常情况下⽣产出来的⽩糖质量服从正态分布N（500，52）（单位：g），要求得正常情况下，任意抽取⼀包⽩糖，质量⼩于485g的概率，化为（µ-3σ，µ+3σ）的形式，然后求解即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知正常情况下，任意抽取⼀包⽩糖，质量⼩于485g的概率为0.0013，可求得随机抽取两包检查，质量都⼩于485g的概率⼏乎为零，即可判定检测员的判断是合理的．本题主要考查了正态分布中3σ原则，考查基本分析应⽤的能⼒，属于基础题．19.答案：（Ⅰ）证明：取AB中点M，连接CM，DM，有MD∥AB1，因为AC=BC，所以CM⊥AB，⼜因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以平⾯ABC⊥平⾯ABB1A1，⼜因为平⾯ABC∩平⾯ABB1A1=AB，所以CM⊥平⾯ABB1A1，⼜因为DE?平⾯ABB1A1，所以CM⊥DE，⼜因为DE⊥CD，CD∩DM=D，CD?平⾯CMD，CM?平⾯CMD，所以DE⊥平⾯CMD，⼜因为MD?平⾯CMD，所以DE⊥MD，因为MD∥AB1，所以DE⊥AB1，连接A1B交AB1于点O，因为ABB1A1为正⽅形，所以A1B⊥AB1，⼜因为DE?平⾯ABB1A1，A1B?平⾯AA1B1B，所以DE∥A1B，⼜因为D为BB1的中点，所以E为OB1的中点，所以=．（Ⅱ）如图以M为坐标原点，分别以MA，MO，MC为x轴、y轴、z轴，建⽴空间直⾓坐标系，设AB=2a，由（Ⅰ）可知∠CDM=45°，所以AB1=2a，所以DM=CM=a，所以A（a，0，0），B1（-a，2a，0），C1（0，2a，a），D（-a，a，0），E（-a，a，0），所以=（-2a，2a，0），=（a，0，a），=（a，a，0），设平⾯AB1C1的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=-1可得=（，，-1）．所以 cos＜＞===．所以直线DE与平⾯AB1C1所成⾓的正弦值为．解析：（Ⅰ）取AB中点M，连接CM，MD，证明DE⊥平⾯CMD，即可说明DE⊥AB1，由底⾯为正⽅形，可求得=；（Ⅱ）以M为坐标原点建⽴空间直⾓坐标系，求得各点的坐标，以及平⾯AB1C1的法向量为，根据线⾯所成⾓的正弦值的公式即可求解．本题主要考查线⾯垂直的证明、中位线定理以及利⽤空间向量求线⾯⾓的正弦值，考查了学⽣空间想象能⼒和计算能⼒，属于中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意知，抛物线焦点为（0，），准线⽅程为y=-，焦点到准线的距离为2，即p=2；（Ⅱ）抛物线的⽅程为x2=4y，即y=x2，所以y′=x，设A（x1，y1），B（x2，y2），l1：y-=（x-x1），l2：y-=（x-x2），由于l1⊥l2，所以?=-1，即x1x2=-4，设直线l⽅程为y=kx+m，与抛物线⽅程联⽴，得x2-4kx-4m=0，△=16k2+16m＞0，x1+x2=4k，x1x2=-4m=-4，所以m=1，即l：y=kx+1，联⽴⽅程得，即M（2k，-1），M点到直线l的距离d==，|AB|=?=4（1+k2），所以S=?4（1+k2）?=4（1+k2）≥4．当k=0时，△MAB⾯积取得最⼩值4．解析：（Ⅰ）根据抛物线的性质即可得到结果；（Ⅱ）由直线垂直可构造出斜率关系，得到x1x2=-4，通过直线与抛物线⽅程联⽴，根据根与系数关系求得m；联⽴两切线⽅程，可⽤k表⽰出M，代⼊点到直线距离公式，从⽽得到关于⾯积的函数关系式，求得所求最值．本题考查抛物线的性质的应⽤、抛物线中三⾓形⾯积最值的求解，关键是能够将所求⾯积表⽰为关于斜率的函数关系式，从⽽利⽤函数最值的求解⽅法求出最值．21.答案：解：（Ⅰ）由已知f（x）的定义域为（0，+∞）且，所以，即a=；此时，设g（x）=f′（x），则，则0＜x＜2 时g（x）为减函数．⼜，所以当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．所f（x）的极⼤值点x=1，符合题意．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜2 时f（x）为减函数．当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，g（4）=，g（2）＜0；所以存在x0∈（2，4），使得g（x0）=0；当 2＜x＜x0时，g（x）＜0，f（x）为减函数；当x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）当0＜x＜1时f（x）为增函数，1＜x＜x0时f（x）为减函数，x＞x0时，g（x）＞0，f（x）为增函数；所以函数f（x）存在唯⼀的极⼩值点x0．⼜；所以，且满⾜；所以=；故函数f（x）存在唯⼀的极⼩值点x0，且0＜f（x0）＜．解析：本题考查利⽤函数极值与导数关系的综合应⽤问题，解决本题的关键是能够利⽤零点存在定理确定零点处理问题，从⽽可将证明问题转化为某⼀个区间内⼆次函数值域问题的求解，考查了学⽣基本计算能⼒以及转化与划归思想，属于难题．（Ⅰ）根f′（1）=0，求得实数a的值，通过导数验证函数单调，可知极值点x=1，满⾜题意；（Ⅱ）由（Ⅰ）函数f（x）的极⼩点值位于（2，+∞），此时f′（x）的零点位于x0∈，且x0为f（x）的极⼩点值点，代⼊f（x），f′（x），化简即可得f（x0）关于x0的⼆次函数，求解⼆次函数在区间上的值域即可证明结论．22.答案：解：（Ⅰ）由题可知，C1的直⾓坐标⽅程为：x2+y2-2x=0，设曲线C2上任意⼀点（x，y）关于直线y=x对称点为（x0，y0），∴，⼜∵，即x2+y2-2y=0，∴曲线C2的极坐标⽅程为：ρ=2sinθ；（Ⅱ）直线l1的极坐标⽅程为：θ=α，直线l2的极坐标⽅程为：．设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2）．∴，解得ρ1=2cosα，，解得．∴==．∵0≤α＜，∴＜．当，即时，sin（）=1，S△AOB取得最⼤值为：．解析：（Ⅰ）将C1化为直⾓坐标⽅程，根据对称关系⽤C2上的点表⽰出C1上点的坐标，代⼊C1⽅程得到C2的直⾓坐标⽅程，再化为极坐标⽅程；（Ⅱ）利⽤l1和l2的极坐标⽅程与C1，C2的极坐标⽅程，把A，B坐标⽤α表⽰，将所求⾯积表⽰为与α有关的三⾓函数解析式，通过三⾓函数值域求解⽅法求出所求最值．本题考查轨迹⽅程的求解、三⾓形⾯积最值问题的求解，涉及到三⾓函数的化简、求值问题．求解⾯积的关键是能够明确极坐标中ρ的⼏何意义，从⽽将问题转化为三⾓函数最值的求解．23.答案：解：（Ⅰ）a=-1时，f（x）=当x＜-1时，f（x）=-2x＞2x，即x＜0，此时x＜-1，当-1≤x≤1时，f（x）=2＞2x，得x＜1，∴-1≤x＜1，当x＞1时，f（x）=2x＞2x，⽆解，综上，f（x）＞2x的解集为（-∞，1）．（Ⅱ）f（x）=|x+1|+|x+a|≥|x+a-x-1|=|a-1|，即f（x）的最⼩值为|a-1|，要使f（x）＞1的解集为R，∴|a-1|＞1恒成⽴，即a-1＞1或a-1＜-1，得a＞2或a＜0，即实数a的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．解析：（Ⅰ）根据x的范围得到分段函数f（x）的解析式，从⽽分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；（Ⅱ）由绝对值三⾓不等式得到f（x）的最⼩值，则最⼩值⼤于1，得到不等式，解不等式求得结果．本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三⾓不等式的应⽤问题，属于常规题型．。

2020年辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学(理科)第I卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2⑴已知集合A {x|x 4x 3 0}, B {x|2 x 4}则AUB ()A 1,3B 1,4C 2,3D 2,4(2)已知a,b R,i为虚数单位，若a-i与2+bi互为共轲复数，则代+")2为( )(A)5-4i (B)5+4i (C)3-4i (D)3+4i2(3)双曲线—y21的渐近线方程是( )41 1 一(A)y x (B)y x (C)y 2x (D)y 4x 4 2(4)瑞士数学家欧拉发明了著名的欧拉公式e ix cosx i sin x(i为虚数单位)”，欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为数学中的天桥根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于( )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限1 log2 2 x ,x 1(5)设函数f x 则f 2 f ln6 ( )e x, xT(A)3 (B)6 (C)9 (D)12(6)已知各项均为正数的数列{a n}为等比数列a1 a5 16® a412,则a?()(A)16 (B)32 (C)64 (D)256(7)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的函数是()(A)y sin e x e x(B)y sin e x e xx x x(C)y cos e e (D)y cos e e(8)已知关于某设备的使用年限单位：年和所支出的维修费用(单位：万元有如下的统计资料:由上表可得线性回归方程若规定当维修费用时该设备必须报废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为()(A)7 (B)8 (C)9 (D)10(9)已知点P 在抛物线C: y 2 4x 上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若直线AB 的斜率为-1,则点P 坐标为()(A)(1,2) (B) 1,-2 (C)2,2 ,2) (D)(2, 2.2)(10)下列四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB //平面MNP 的图形的序号是()0,| | —,其图象与直线 y 1相邻两个交点的距离为 T t,若对21.......x ——，一,不等式f x1恒成立，则。

12020年大连市高三双基测试数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题 （1）（A ）；（2）（B ）；（3）（D ）；（4）（A ）；（5）（C ）；（6）（B ）； （7）（D ）；（8）（C ）；（9）（B ）；（10）（D ）；（11）（C ）；（12）（C ），（D ）.二.填空题（13）2； （14）1-；(15) 16． 9,42π-.三.解答题（17）(本小题满分12分)解： (I)连接AC ，CE ，ACE ∆即为所求，…………3分 ∵ABCD 是菱形，AD AB ∴=，又PA AB =，AD PA ∴=， ∵E 为PD 中点，AE PD ∴⊥，同理CE PD ⊥， 又AE CE E =，AE CE α⊂，，PD α∴⊥.………6分(II)连接BD ，交AC 于O ，连接PO ，ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，且O 为AC ，BD 中点，PA PC =，AC PO ∴⊥，同理BD PO ⊥，又=AC BD O ，⊂，平面AC BD ABCD ，PO ABCD ∴⊥面， 以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， ················································································· 7分 设2PA PC AB ===，60ABC ∠=︒，2AC ∴=，BD =(0,1,0)A -，B ，(D，P (3,0,DP =，(3,1,0)AB=，AP =，大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连2PD α⊥，α∴平面的一个法向量为(3,0,DP =， ·················· 8分设平面PAB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则00AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即00y y +==⎪⎩，设1x =，则y =，1z =，(1,=n ， ········································································ 10分设平面α与平面PAB 所成的锐二面角大小为θ，则cos |cos ,|||5|||6DPDP DP θ⋅====n n |n 综上平面α与平面PAB ······················· 12分(18)(本小题满分12分)解：（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列， 21212,421a a a a ∴=⋅∴=………2分 又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，2121122a a ∴-=，………4分解得1228=⎧⎨=⎩a a ………6分 方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列， 11(1)12,2n n n n a n n a a a nn++++∴=∴=①………2分 又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列，11122n n n n a a ++∴-=②………4分 由①②解得：2nn a n =⋅1228=⎧⎨=⎩a a ………6分 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院大连教育学院大连教育学院 大连教育学院3 （Ⅱ）1122,21-=⋅=∴=⋅n n n n n a a a n n ………7分 方法一：1231231222322=++++=⋅+⋅+⋅++⋅n n n S a a a a n 234121222322+∴=⋅+⋅+⋅++⋅n n S n ………9分 两式作差可得：231112(12)222222(1)2212n nn n n n S n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--， 1(1)22n n S n +∴=-⋅+………12分 方法二：12(22)2(24)2()n n n n a n n n n N -+=⋅=-⋅--⋅∈，………9分 设1(24)2n n b n -=-⋅，则1n n n a b b +=-.122132111()()()(22)22n n n n n n S a a a b b b b b b b b n ++∴=+++=-+-++-=-=-⋅+， 1(1)22n n S n +∴=-⋅+………12分 (19)(本小题满分12分) 解：(I)设事件A 表示：辩论队员甲收到队长的通知信息， 则3()8P A =，5()8P A =， ··························································· 1分 设事件B 表示：辩论队员甲收到副队长的通知信息， 则3()8P B =，5()8P B =， ··························································· 2分 设事件C 表示：辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息， 则2539()1()()1()864P C P A P B =-=-=， 所以辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息的概率为3964. ··················· 4分 (II)由题意可得随机变量X 可取值为3，4，5，6， ······························· 5分 则3833881(3)56C P X C C ===⋅，211865338815(4)56C C C P X C C ⋅⋅===⋅， 122875338815(5)28⋅⋅===⋅C C C P X C C ，338533885(6)28⋅===⋅C C P X C C ， ················· 9分所以随机变量X 的分布列为： 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院4························ 10分其数学期望11515539()3456565628288=⨯+⨯+⨯+⨯=E X ··················· 12分(20) （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2222121(2)1()(1)(1)(1)x a a x a x x g x x x x x x ++++++'=+==+⋅++………1分 10,222x x a a x >∴+++≥++，∴4a ≥-时，()0g x '≥恒成立， 所以()g x 在(0,)+∞单调递增，没有单调递减区间.……………2分 4a <-时，设2()(2)1m x x a x =+++，则对称轴2020,402a xa a +=->∆=+>， 解不等式()0m x >可得：(2)2a x -+>，或(2)2ax -+<. 所以此时()g x 的单调递增区间为(2)(0,2-+a 和(2)()2a -+++∞， 单调递减区间是.………3分 综上： 4a ≥-时，单调递增区间是(0,)+∞，没有单调递减区间； 4a <-时，单调递增区间为和)+∞， 单调递减区间是(2)(2)(22a a -+-++.………4分 （Ⅱ）（i ）1()()(1)ln(1)x h x f x f x ax e x ax -=-+-=-+-， 1()1x h x e a x '∴=--+在(0,)+∞单调递增，又因为(0)0h a '=-<， ln(1)1ln(1)(ln(1))0ln(1)1ln(1)1a a h a e a a a ++'+=--=>++++， 大连教育学院 大连教育学院 大育学院连教育学院 大连教育学院育学院50(0,ln(1))x a ∴∃∈+，使得0()0h x '=，且0(0,)x x ∈时，()0h x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x ∴在0(0,)x 单调递减，0(,)x +∞单调递增，()h x 在(0,)+∞上有且仅有一个零点，所以此零点为极小值点0x .………8分（ii ）由（i ）得00()0()0'=⎧⎨=⎩h x h x ，即00000101ln(1)0x x e a x e x ax ⎧--=⎪+⎨⎪-+-=⎩， 解得：0011x a e x =-+，且00000(1)ln(1)01x x x e x x -⋅-++=+.………9分 设()(1)ln(1)1x x u x x e x x =-⋅-+++，（(0,ln(1))x a ∈+） 22111()()1(1)(1)x x u x x e x e x x x '=-⋅-+=-⋅++++， 则()u x 在(0,ln(1))x a ∈+单调递减.因为131()ln 0223u =+>，1(1)ln 202u =-+<，01(,1)2x ∴∈.………11分 又因为1()1x v x e x =-+在1(,1)2单调递增，12121(),(1)232v e v e =-=-， 122132e a e ∴-<<-………12分 (21)（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵12c a =，∴2222143x y c c +=，又∵椭圆E 经过点3(1,)2， ∴1c =，∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=. ··································· 3分 （Ⅱ）方法一：l 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)C x y D x y ， 联立方程组22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得222(43)84120k x kmx m +++-=，由0∆>解得2234+>k m ，且21212228412,4343km m x x x x k k --+=⋅=++. ······ 4分 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院6 ∴12121212922224++⋅=⋅=⋅=-++++AC AD y y kx m kx m k k x x x x ， 221212(49)(418)()4360k x x km x x m ∴++++++=，222224128(49)(418)43604343m km k km m k k --+++⋅++=++ ····················· 6分化简可得：22230k km m -+=∴k m =或2k m =（舍），满足0∆> ··· 7分 ∴直线l 的方程为y kx k =+， ∴直线l 经过定点(1,0)-. ······························································ 8分 方法二：设l 的方程为x my n =+，设1122(,),(,)C x y D x y ， 联立方程组22143⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my n ，化简得222(34)63120m y mny n +++-=， 0∆>解得：2234m n +>，且21212226312,3434mn n y y y y m m --+=⋅=++ ······ 4分 12121212922(2)(2)4AC AD y y y y k k x x my n my n ⋅=⋅==-++++++， 221212(94)9(2)()9(2)0m y y m n y y n ∴++++++=， ······················· 6分 222223126(94)9(2)9(2)03434n mn m m n n m m --∴+++⋅++=++ 化简可得：2320n n ++=，1n ∴=-或者2n =-（舍）满足0∆> ······· 7分 ∴直线l 经过定点(1,0)-. ······························································ 8分 方法三：设2'=-⎧⎨'=⎩x x y y ，则有22(2)()143''-+=x y ，22()()043'''∴-+=x y x ， 设l 方程为1''+=mx ny ，22()()()043'''''∴-++=x y x mx ny ， 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院7 21034∴-+-=k nk m ，12194143-∴==-m k k ，1∴=m ， :1''∴+=l x ny ， 21∴++=x ny ，1∴+=-x ny ， ∴直线l 经过定点(1,0)-. ······························································ 8分 （Ⅲ）方法一：l 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)C x y D x y ， 联立方程组22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得222(43)84120k x kmx m +++-=， 由22=48(43)0∆-+>k m ，且21212228412,4343km m x x x x k k --+=⋅=++. ∵0++=OC OD OB ，∴点1212(,)B x x y y ----， 又∵点B 在椭圆E 上，∴221212()()143----+=x x y y ， ∴222211221212221434343+++++=x y x y x x y y ， ∴12121432+=-x x y y . 222212121223(4)=()43-+++=+m k y y k x x km x x m k 2222222341,443043432--+=-∴--=++m m k m k k k …………………………9分212||||4==m CD m .……………10分 点B 到直线l 距距离=d …………………………………………………11分大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连院 大连教育学院.19||22∆==BCD S CD d . 方法二：前面同法一点O 到直线l距离d =…………………………………………………11分∴13||2OCD S CD d∆==，∴932BCD OCD S S ∆∆==. ……………………………12分方法三：设(2cos),(2cos )C D ααββ，∵0++=OC OD OB ，∴点(2cos 2cos ,)Bαβαβ--， 又∵点B 在椭圆E 上，∴2(2cos 2cos )1,4αβ--+= ∴1cos()2αβ-=-，…………………………10分1|(2cos 2cos ))2BCDS αβαβ∆=--⨯-112cos )(2cos )|22ααββ---⨯(-）（………………………11分 3sin()|2αβ=-=，∴932BCD OCDS S ∆∆==. ……………………………12分(22)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解：(I) 2sin 4cos ρθθ=，22sin 4cos ρθρθ∴=， ∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =， ············································· 3分直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， ······························ 5分大连教育学院连教育学院大连育学院 大连教育学院 大连教育学院大连教育学院(II) 2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩与24y x =联立可得：22sin 4cos 80t t αα--=，0∆>，1224cos sin t t αα+=，1228sin t t α=-， 所以224212122222221212216cos 16()21111161sin sin 8||||()644()sin αααα++-+=+====-t t t t MA MB t t t t ．·································································································· 10分 (23)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲证明：（Ⅰ）3332+2()≥=a b ab ， 223333+()842∴≤==a bab ……5分 (II)方法一：∵3322+()()=+-+=a b a b a ab b 2()[()3]a b a b ab++- 22331()[()()]()44≥++-+=+ab a b a b a b ． ∴+4a b ≤． ··········································································· 10分 方法二：∵333+2+234a a ≥⨯……………① ∵333+2+234≥⨯b b ……………② 由①+②得4812()a b ≥+． ∴+4a b ≤． ··········································································· 10分大连教 大连教育学院大连教育学院大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院。