材料力学（土）笔记
第四章 弯曲应力
1．对称弯曲的概念及梁的计算简图 1.1 弯曲的概念
等直杆在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于杆轴线的横向外力或外力偶作用时 杆的轴线将变成曲线，这种变形称为弯曲 凡是以弯曲为主要变形的杆件，通称为梁 工程中常见的梁，其横截面都具有对称轴 若梁上所有的横向外力或（及）力偶均作用在包含该对称轴的纵向平面（称为纵对称面）内，由于梁的几何、物性和外力均对称于梁的纵对称面，则梁变形后的轴线必定是在该纵对称面内的平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲
若梁不具有纵对称面，或者，梁虽然具有纵对称面但横向力或力偶不作用在纵对称面内，这种弯曲统称为非对称弯曲
1.2 梁的计算简图
梁的计算简图可用梁的轴线表示
梁的支座按其对梁在荷载作用平面的约束情况，通常可简化为以下三种基本形式 ①固定端
这种支座使梁的端截面既不能移动，也不能转动
对梁端截面有3个约束，相应地，就有3个支反力，即水平支反力Rx F ，铅垂支反力Ry F 和支反力偶矩R M ②固定铰支座
这种支座限制梁在支座处沿平面内任意方向的移动，而不限制梁绕铰中心转动，相应地，就有2个支反力，即水平支反力Rx F 和铅垂支反力Ry F
③可动铰支座
这种铰支座只限制梁在支座处沿垂直于支承面的支反力R F
如果梁具有1个固定端，或具有1个固定铰支座和1个可动铰支座
则其3个支反力可由平面力系的3个独立的平衡方程求出，这种梁称为静定梁 工程上常见的三种基本形式的静定梁，分别称为简支梁、外伸梁和悬臂梁
梁的支反力数目多于独立的平衡方程的数目，此时仅用平衡方程就无法确定其所有的支反力，这种梁称为超静定梁
梁在两支座间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长 常见的静定梁大多是单跨的
2．梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图 2.1 梁的剪力和弯矩
为计算梁的应力和位移，应先确定梁在外力作用下任一横截面上的内力
当作用在梁上的全部外力（包括荷载和支反力）均为已知时，用截面法即可求出其内力 梁的任一横截面m-m ，应用截面法沿横截面m-m 假想地吧梁截分为二 可得剪力S F ，弯矩M
剪力和弯矩的正负号规定
dx 微段有左端向上右端向下的相对错动时，横截面m-m 上的剪力S F 为正，反之为负
dx 微段的弯曲为向下凸，即该段的下半部纵向受拉时，上半部纵向受压时，横截面上的弯
矩为正，反之为负
为简化计算，梁某一横截面上的剪力和弯矩可直接从横截面任意一侧梁上的外力进行计算，即
①横截面上的剪力在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上横向力的代数和
在左侧梁段上向上（或右侧梁段上向下）的横向力将引起正值剪力，反之则引起负值剪力 ②横截面上的弯矩在数值上等于截面的左侧（或右侧）梁段上的外力对该截面形心的力矩之代数和，对于截面左侧梁段，外力对截面形心的力矩为顺时针转向的引起正值弯矩，逆时针转向的引起负值弯矩；截面右侧梁段则与其相反
2.2 剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图
一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面的位置而变化的 设横截面沿梁轴线的位置用坐标x 表示
则梁各横截面上的剪力和弯矩可表示为坐标x 的函数，即
)(x F F S S =和)(x M M = 以上两式表示沿梁轴线各横截面上的剪力和弯矩的变化规律 分别称为梁的剪力方程和弯矩方程
以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，以横截面沿梁轴线的位置为横坐标 根据剪力方程或弯矩方程绘出)(x F S 和)(x M 的图线
表示沿梁轴线各横截面上剪力或弯矩的变化情况 分别称为梁的剪力图和弯矩图
绘图时将正值的剪力画在x 轴的上侧
正值的弯矩花在梁的受拉侧，也就是画在x 轴的下侧
应用剪力图和弯矩图可以确定梁的剪力和弯矩的最大值，及其所在截面的位置 作剪力、弯矩图步骤 ①计算支反力
②列剪力、弯矩方程 ③作剪力、弯矩图
可归纳规律如下
①在集中力或集中力偶作用处，梁的弯矩方程应分段列出；推广而言，在梁上外力不连续处（即在集中力、集中力偶作用处和分布荷载开始或结束处），梁的弯矩方程和弯矩图应该分段。对于剪力方程和剪力图，除去集中力偶作用处以外，也应分段列出或绘制
②集中力作用处，剪力图有突变，其左、右两侧横截面上剪力的代数差，即等于集中力值。而在弯矩图上的相应处则形成一个尖角。与此相仿，梁上受集中力偶作用处，弯矩图有突变，其左、右两侧横截面上的弯矩代数差，即等于集中力偶值，但在剪力图上相应处无变化 ③全梁的最大剪力和最大弯矩可能发生在全梁或各段梁的边界截面，或极值点的截面处
2.3 弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系及其应用 若将弯矩函数)(x M 对x 求导数，即剪力函数)(x F S 将剪力函数)(x F S 对x 求导数，则得均布荷载集度q
这些关系在直梁中是普遍存在的，设梁上作用有任意分布荷载，其集度
)(x q q =
是x 的连续函数，并规定以向上为正 取梁的左端为x 轴的坐标原点
用坐标为x 和dx x +的两横截面截取长度为dx 的梁段
设坐标为x 处横截面上的剪力和弯矩分别为)(x F S 和)(x M ，该处的荷载集度为)(x q 并均设为正值，则在坐标为dx x +处横截面上的剪力和弯矩将分别为)()(x dF x F S S +和
)()(x dM x M +
梁段在以上所有外力作用下处于平衡
由于dx 很小，可略去荷载集度沿dx 长度的变化，于是，由梁段的平衡方程
0=∑y
F
，0)()]()([)(=++-dx x q x dF x F x F S S S
从而得到
)()
(x q dx
x dF S = 以及
0=∑C M ，2
)()()()]()([dx dx x q dx x F x M x dM x M S ⨯
---+ 略去二阶微量，即得
)()
(x F dx
x dM S = 由上述两个式子又可得到
)()
(2
2x q dx
x M d = 以上三式子就是弯矩)(x M 、剪力)(x F S 和荷载集度)(x q 三函数间的微分关系式
两式子的意义分别为：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小
可检验所作剪力图和弯矩图的正确性，或直接作梁的剪力图和弯矩图
2.4 按叠加原理作弯矩图
当梁在荷载作用下为微小变形时，其跨长的改变可略去不计 在求梁的支反力、剪力和弯矩时，均可按原始尺寸进行计算 而所得到的结果均与梁上荷载成线性关系 在这种情况下，当梁上受几项荷载共同作用时
某一横截面上弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面上弯矩的叠加
叠加原理：当所求参数（内力、应力或位移）与梁上荷载为线性关系时，由几项荷载共同作用时所引起的某一参数，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加 当该参数处于同一平面内同一方向，叠加即为代数和 若处于不同平面或不同方向，则为几何和
3．平面刚架和曲杆的内力图
平面刚架是由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构 平面刚架各杆横截面上的内力分量通常有轴力、剪力和弯矩 轴力以拉为正
剪力、弯矩的正负号规定如下：设想人站在刚架内部环顾刚架各杆，则剪力、弯矩的正负号与梁的规定相同
轴力图及剪力图：画在刚架轴线任一侧（通常正值画在刚架的外侧），须标明正负号 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正负号
