杆梁结构的有限元分析原理

第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。

其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。

杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。

杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。

显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。

杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。

因此，本章将采用这种方法进行单元分析。

至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。

5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。

3． 外载荷均为作用于节点的集中力。

由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。

5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。

两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。

图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。

由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。

杆梁结构的有限元分析原理杆梁结构是工程中常用的一种结构形式，它由多个杆件或梁组成，用于承担载荷和传递力量。

有限元分析是一种通过将结构离散为许多小单元，利用数学方法对结构进行分析的技术。

下面将详细介绍杆梁结构的有限元分析原理。

一、杆件离散化在有限元分析中，首先需要将杆梁结构离散化为一组子结构，即离散化为一组离散的杆件。

离散后的每个杆件可以看作是一个子系统，每个子系统由两个节点组成，节点之间以杆件连接。

通过节点与杆件的连接方式，能够模拟出整个杆梁结构的受力特点。

离散化的过程中，需要确定杆件的几何形状、截面以及材料特性等参数，并根据实际情况设置合适的杆件单元数目。

通常，单元数目越多，离散程度越高，结果越接近真实情况，但计算成本也会增加。

二、有限元法的基本原理有限元方法的基本原理是将结构分成许多小的单元，每个单元内的行为可以用简单的数学函数来表示。

对于杆梁结构，常用的单元有梁单元和杆单元。

梁单元适用于承受弯曲强度较大的杆件，而杆单元适用于承受轴向载荷的杆件。

通过将结构分成小单元后，可以建立一个与原结构相似的离散模型，并在每个单元上建立相应的方程。

三、应力应变关系在进行有限元分析时，需要获得每个杆件的应变和应力。

应变与杆件的变形有关，而应力与应变之间的关系则与材料的本构关系有关。

对于线弹性材料，应力与应变之间可以通过胡克定律来描述。

胡克定律表明，应力与应变之间成线性关系，材料的弹性模量E、泊松比ν以及应变关系能够决定应力。

应根据结构中不同材料的应变特性来选择相应的材料模型。

四、施加边界条件在进行有限元分析前，需要施加适当的边界条件。

边界条件用于模拟实际情况中的约束和限制。

常见的边界条件有固定边界、弹性边界和施工阶段边界。

五、求解位移和应力当离散化杆梁结构、建立了位移和应变关系、施加了边界条件之后，可以通过数值求解方法，例如有限元法中的坐标变形法，计算得到结构的位移和应力。

坐标变形法能够基于得到的位移结果，进一步计算应力。

杆梁结构的有限元分析原理杆梁结构是一种常见的工程结构，广泛用于建筑、桥梁、机械等领域。

为了研究杆梁结构的力学性能和设计优化，常用的方法之一是有限元分析。

有限元分析是一种数值计算方法，通过将连续结构离散化为一个个有限的单元（元素），再通过计算单元之间的相互作用来近似表示整个结构的力学性能。

下面将逐步介绍杆梁结构的有限元分析原理。

1.离散化：首先，将杆梁结构离散化为一个个的单元，通常可以选择线性单元、二次单元等。

线性单元简单且计算效率高，而二次单元更准确但计算开销较大。

根据具体工程需求和分析要求，选择合适的单元进行离散化。

每个单元由节点和单元梁组成。

2.建立本地坐标系：为了方便计算，对于每个单元，可建立本地坐标系。

本地坐标系是以单元的一个节点为原点，并建立与该节点有关的坐标轴。

通过本地坐标系可以方便地描述单元内部的各种力和力矩。

3.单元刚度矩阵计算：对于每个单元，需要计算其刚度矩阵。

刚度矩阵描述了单元内部的相互作用，包括节点间的弯曲刚度和剪切刚度等。

通过根据材料的力学特性和几何信息，可以得到单元刚度矩阵。

4.装配全局刚度矩阵：将所有单元的刚度矩阵按照它们的几何关系组装成全局刚度矩阵。

全局刚度矩阵描述了整个杆梁结构的力学行为。

5.施加边界条件和加载情况：根据具体问题的边界条件和加载情况，在全局刚度矩阵中添加与之对应的约束和加载项。

边界条件通常涉及到约束的位移和力的平衡，加载情况则涉及到外界施加在结构上的力。

6.求解杆梁结构的位移：通过求解全局刚度矩阵与位移的乘积等式，可以得到结构的位移。

位移是描述结构变形的重要参数，可以用来计算应力、应变和变形等。

7.计算应力和应变：通过已知的位移以及杆梁的几何信息，可以计算单元内部的应力和应变。

应力和应变是评估杆梁结构受力情况的重要指标，在结构设计和安全评估中具有重要作用。

8.结果后处理：最后，可以通过后处理技术对有限元分析的结果进行处理和展示。

例如，可以绘制位移云图、应力云图等，以方便工程师对结构的力学性能进行评估和优化。