现代控制理论试题B 卷及答案
一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤
=+=⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）
解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分）
2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）
1223
3131
835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）
写成
010*********x x u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
…..….…….（1分）
[]100y x = …..….…….（1分）
二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）
2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
，判定该系统是否完
全能观？(5分)
解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第
k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于
0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2.
[][]320300020012 110-=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分）
[][]940300020012 3202=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2
分）
三、已知系统1、2的传递函数分别为
2122211
(),()3232
s s g s g s s s s s -+==++-+
求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解
112(1)(1)11
()()()(1)(2)(1)(2)4
s s s s g s g s g s s s s s s -+++==
⋅=++--- …..….…….
（5分） 最小实现为
[]010,10401x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
…..….…….
（3分）
四、将下列状态方程u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11 4321 化为能控标准形。(8分) 解 []⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-==7111Ab b U C ……..…………….…….（1分） ()⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡-=-8181
81871C U ……..…………..…….…….（1分） 11188P ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
……..………….…..…….…….（1分） ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=434
12P ……..………….…...…….…….（1分） ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4341
8181
21P P P 1314
881148P -⎡⎤-⎢⎥
=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤
==⎢⎥
-⎣⎦………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡-==1011 434
1818
1Pb b C ……….…...…….…….（1分）
u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10 51010 ……….…...…….…….（1分）
五、利用李亚普诺夫第一方法判定系统1211x x -⎡⎤
=⎢⎥--⎣⎦
的稳定性。（8分） 解
2
12231
1I A λλλλλ+-⎡⎤⋅-==++⎢⎥+⎣⎦…………...……....…….…….（3分）
特征根1λ=-±…………...…...…….…….（3分）
均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定…...…….…….（2
分）
六、利用李雅普诺夫第二方法判断系统1123-⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
x x 是否为大范围渐近稳定： （8分） 解
11
1212
22p p P p p ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
T A P PA I +=-…………...……....…….…….（1分）
111211122212
22241
420261
p p p p p p p -+=-⎧⎪
-+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪
⎪
=⎨⎪
=⎪⎩
………...…………....…….…….（1分） 111212
227
5485
38
8p p P p
p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥
==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
...…………....…….…….（1分）
11121112
22757
17480 det det
0534648
8p p P p p ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥=
>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
………...（1分） P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1分）
