第一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念
第二章 (对应学生用书(文)、(理)1～2页)
考点新知
1. (必修1P 10第5题改编)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m}，若3∈A ，则m ＝________．
答案：－3
2
解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，
此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－
3
2
或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3满足题意．所以m ＝－3
2
.
2. (必修1P 7第4题改编)已知集合{a|0≤a<4，a ∈N }，用列举法可以表示为________． 答案：{}0，1，2，3
解析：因为a ∈N ，且0≤a<4，由此可知实数a 的取值为0，1，2，3.
3. (必修1P 17第6题改编)已知集合A ＝[1，4)，B ＝(－∞，a)，A ÍB ，则a ∈________． 答案：[4，＋∞)
解析：在数轴上画出A 、B 集合，根据图象可知．
4. (原创)设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则A 、B 的关系是________．
答案：A ＝B
解析：化简得A ＝{x|x ≥1}，B ＝{y|y ≥1}，所以A
＝B.
5. (必修1P 17第8题改编)满足条件{1}ÍM Í{1，2，3}的集合M 的个数是________． 答案：4个
解析：满足条件{1}ÍM Í{1，2，3}的集合M 有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．
1. 集合的含义及其表示 (1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．
(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．
(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn 图法．
(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．
(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N ；正整数集记作N 或N ＋；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作C ．
2. 两类关系
(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．
(2) 集合与集合之间的关系 ① 包含关系：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ÍB 或B ÊA ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”． ② 真包含关系：如果A ÍB ，并且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，读作“集合A 真包含于集合B ”或“集合B 真包含集合A ”．
③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素，则称这两个集合相等．
(3) 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n －1
个，非空真子集有2n －2
个.
题型1 正确理解和运用集合概念
例1 已知集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1) 若A 是空集，求a 的取值范围；
(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来； (3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．
解： (1) 若A 是空集，则Δ＝9－8a ＜0，解得a ＞9
8
.
(2) 若A 中只有一个元素，则Δ＝9－8a ＝0或a ＝0，解得a ＝98或a ＝0；当a ＝9
8
时这个
元素是43；当a ＝0时，这个元素是23
.
(3) 由(1)(2)知，当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是a ≥9
8
或a ＝0.
备选变式（教师专享）
已知a ≤1时，集合[a ，2－a]中有且只有3个整数，则a 的取值范围是________． 答案：－1 解析：因为a ≤1，所以2－a ≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a ＝0，集合中有0，1，2三个整数，所以a ＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a<4，解得－1 变式训练 设集合M ＝⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝{x|x ＝k 4＋1 2，k ∈Z }，则M________N. 答案：真包含于 题型2 集合元素的互异性 例2 已知a 、b ∈R ，集合A ＝{a ，a ＋b ，1}，B ＝⎩⎨⎧ ⎭ ⎬⎫b ，b a ，0，且A ÍB ，B ÍA ，求a －b 的值． 解：∵ A ÍB ，B ÍA ，∴ A ＝B. ∵ a ≠0，∴ a ＋b ＝0，即a ＝－b ，∴ b a ＝－1， ∴ b ＝1，a ＝－1，∴ a －b ＝－2. 备选变式（教师专享） 已知集合A ＝{a ，a ＋b, a ＋2b}，B ＝{a ，ac, ac 2}．若A ＝B ，则c ＝________．
