线性代数B期末试卷及答案

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

线性代数期末考试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是线性代数的基本概念？A. 矩阵B. 向量C. 函数D. 行列式答案：C. 函数2. 矩阵A的转置记作A^T，则（A^T）^T等于A. AB. -AC. A^TD. 2A答案：A. A3. 对于矩阵A和B，满足AB = BA，则称A和B是A. 相似矩阵B. 对角矩阵C. 线性无关D. 对易矩阵答案：D. 对易矩阵4. 行列式的性质中，不能成立的是A. 行列式交换行B. 行列式某一行加上另一行不变C. 行列式等于数乘其中某一行对应的代数余子式的和D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变答案：D. 行列式的某一行的系数乘以另一行不变5. 给定矩阵A = [3, -1; 4, 2]，则A的秩为A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C. 2二、填空题1. 给定矩阵A = [2, 1; -3, 5]，则A的行列式为______答案：132. 设矩阵A的逆矩阵为A^-1，若AA^-1 = I，其中I是单位矩阵，则A的逆矩阵为______答案：I3. 若矩阵的秩为r，且矩阵的阶数为n，若r < n，则该矩阵为______矩阵答案：奇异三、简答题1. 解释什么是线性相关性和线性无关性？答案：若存在不全为零的数k1, k2，...，kn，使得方程组中的向量k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性相关；若该方程仅在k1 = k2 = ... = kn = 0时成立，则称向量组{v1, v2, ..., vn}线性无关。

2. 如何判断一个矩阵是对称矩阵？答案：若矩阵A的转置等于自身，即A^T = A，则称矩阵A是对称矩阵。

四、计算题1. 给定矩阵A = [1, 2; 3, 4]，求A的逆矩阵。

答案：A的逆矩阵为1/(-2)[4, -2; -3, 1]2. 求向量v = [1, 2, 3]的模长。

《线性代数》试卷（B ）考试时间： 类型：闭卷 时间：120分钟 总分：100分 专业：一、填空题（共10空，每空2分，共20分）1、=--b a b a 10210；()=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2,1321 。

2、向量α线性相关的充分必要条件是 。

3、设A 为3阶方阵，2=A ,则A A 31-= 。

4、向量组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+321,211,111a 的秩为2，则=a 。

5、已知3阶方阵A 的特征值为2,1,2-，则方阵A E +的特征值是 、 、 。

6、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10130002与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ200020004相似，则=x 。

7、设32212221321424),,(x x x x x x x x x f -++-=，则二次型矩阵为 。

二、选择题 （共5题，每题2分，共10分）1、下列选项是五阶行列式()ij a D det =的项，其中带负号的项是（ ） A 、5143352412a a a a a B 、5445332112a a a a a C 、5143322415a a a a a D 、5144352213a a a a a2、设B A 、为n 阶可逆方阵，则下列结论成立的是（ ）。

A 、B A B A +=+ B 、BA AB =C 、BA AB =D 、111)(---+=+B A B A3、已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11a α，且αA 与α线性相关，则=a （ ）。

A 、1-B 、1C 、 2D 、34、已知向量组B 可以由向量组A 线性表示，则)(A R 与 )(B R 的关系是（ ）。

A 、)()(B R A R ≥ B 、)()(B R A R ≤ C 、)()(B R A R = D 、)()(B R A R >5、若向量组m ααα,,,21⋅⋅⋅的秩为r ，则（ ）A 、向量组中任意少于r 个向量的部分组线性无关B 、必有m r <C 、向量组中任意1+r 个向量线性相关D 、 向量组中任意r 个向量线性无关 三、判断题（共5题，每题2分，共10分）1、设A 为n 阶方阵，若O ≠A ，则0≠A 。

中国海洋大学2021年秋季学期《线性代数》课程试卷试卷 B 考试方式 闭卷 考试时间（120分钟）一.填空题1.已知T T T )1,1,0(,)1,0,1(,)0,1,1(321===ααα是一组基,则Tu )0,0,2(=在这组基下的坐标为解:.)1,1,1(T- 设 332211a k a k a k u ++=解对应方程组即得.2.设n n A ,2,101020101≥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为正整数,则=--12n n A A解: 0.00)2(2221=⋅=-=----n n n n A E A A A A A3.设n A T T ,,)1,0,1(ααα=-=为正整数,则=-||nA aE 解:).2(2na a - 计算得,101000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=A,2020002022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A设n=k 时, ,2020002021111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=----k k k k k A 则n=k+1时,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=----+11111202000202k k k k k A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--101000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--k kk k 202000202,所以,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=----1111202000202n n n n n A .=-||n A aE =-=--------1111112001020202010202n n n n n n a aa a a ).2(2n a a -4.设,),31211(,321αββα==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 则nA = .解:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-123332123121131n n A.123332123121133)())(())(())((111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛====---n n n n n A αβββαβαβαααβαβαβαβ个个5. 已知,A B AB =-其中,20012021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B 则A = .解:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20001210211A由A B AB =-得,)(1--=E B B A 计算得 =-=-1)(E B B A .2000121021110000210210200012021⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6.设B A ,分别为n m ,阶方阵, |A |a =,|B |b =,C =⎪⎪⎭⎫⎝⎛00B A ,则|C |= 解:.)1(ab mn- 依次交换矩阵的第一列与第n+1列, 第二列与第n+2列,…,可将C 化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C 00,共计进行了mn 次交换,所以, .)1(||ab C mn-=二.计算题1. 已知3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,101,111321ααα和,343,432,121321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βββ 求由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵P . 解: P 应满足 =),,(321βββP ),,(321ααα所以1321),,(-=αααP ),,(321βββ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-3414323211110011111.1010104323414323212112121021010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2.设,2)(45=⨯B r TT T )9,8,1,5(,)1,4,1,1(,)3,2,1,1(321--=--==ααα是方程组0=BX 的解.求0=BX 解空间的一组标准正交基.解: 方程组0=BX 的一个基础解系就是0=BX 解空间的一组基. 以下只需求0=BX 的一个基础解系,再将其标准正交化. 基础解系包含向量个数为4-2=2.验证可见21,αα线性无关. 所以, 21,αα为一个基础解系. 下面将21,αα正交化:,11αβ=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=2310323432111551411),(),(1111222ββββααβ标准化:.)3,5,1,2(391||||,)3,2,1,1(151||||2212111TT --====ββηββη21,ηη即为一组标准正交基.3.设C B AX =+,其中XC B A 求,545,113,101111010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=.解:由题意得)(1B C A X -=-,构造矩阵)|(B C A -= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---61131112010,初等行变换得)|(B C A -->⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--25100201027001,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=25227X 4.设,200120031204312100110001100011⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=C B ，矩阵A 满足A E CBC E A T T 求,)(1=--.解:11111][})]({[])[(------=-=-=T T T T B C B C E C C B C E A ）（ 其中,12340123001200011000210032104321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-TTB C ）（利用分块矩阵逆矩阵求解得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1210012100120001A5.设,)2(,100210002101021,10021003210232111--=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=C A B C E C B T 求A .解: 由11)2(--=-C A B C E T 得111111)2()]2([)2(-------=-=-=B C B C E C C B C E A T ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1002100321043212B C ,所以111234012300120001]2[--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=T B C A ）（⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1210012100120001四.证明1.已知n 阶方阵A 满足)(2E A A -=3A , 求1)(--A E . 解:由)(2E A A -=3A 得02223=+-A A A ,将其改写为E E A A A =++-2223,即E E A A A E =+--))((2, 所以,E A A A E +-=--21)(. 2.设A 是n 阶非零矩阵,当TA A =*时,证明0||≠A .证明: 由T A A =*知 ),,,2,1,(n j i a A ij ij ==其中ij A 为元素ij a对应的代数余子式.因为A 是n 阶非零矩阵,所以不妨设,0≠ij a 由行列式的展开定理得||2222212211≠+++++=+++++=in ij i i inin ij ij i i i i a a a a A a A a A a A a A得证.3. 已知n 阶方阵A 满足k A k (0=为正整数).证明A E -可逆,求.)(1--A E 证明: 由0=kA 得))((12-++++-=-=k k A A A E A E A E E 所以, A E -可逆,且=--1)(A E .12-++++k A A A E。

同济大学课程考核试卷（B 卷）2009—2010学年第一学期命题教师签名： 审核教师签名：课号：122010 课名：线性代数B 考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( √ )试卷（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为 分钟.要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空题（每空3分，共24分）1．已知4阶方阵为()2131,,,A αααβ=, ()1232,2,,B αααβ=, 且 4A =-，2B =-，则行列式 =+B A 6 。

2. 设行列式1131100021034512D =，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则=+2414A A -9 .3. 已知矩阵222222a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，伴随矩阵0≠*A ，且0=*x A 有非零解，则 C .(A) 2=a ； （B ） 2=a 或4-=a ； (C) 4-=a ； (D) 2≠a 且4-≠a .4. 向量组s ααα，，，21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示， 则以下结论中不能成立的是 B(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α(1)j s ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价. 5. 已知3阶矩阵A 与B 相似且010100001A -⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭, 则201222B A -=300030001⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 设0η是非齐次线性方程组Ax b =的特解，12,,,s ξξξ是齐次方程组0Ax =的基础解系，则以下命题中错误的是 B(A) 001020,,,,s ηηξηξηξ---是Ax b =的一组线性无关解向量；(B) 0122s ηξξξ++++是Ax b =的解；(C) Ax b =的每个解均可表为001020,,,,s ηηξηξηξ+++的线性组合.7. 设4阶矩阵A 有一个特征值为2-且满足5T AA E =，||0A >，则其伴随矩阵*A 的一个特征值为 _________8. 已知实二次型2221,231231323(,)2624f x x x x x x ax x x x =++++正定,则常数a 的取值范围为22a -<<.二、（10分）设矩阵A 的伴随矩阵*110011102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且0A >, E BA ABA 311+=--。

同济大学课程考核试卷（A 卷）2013—2014学年第一学期命题教师签名： 审核教师签名：课号：122010 课名：线性代数Ｂ 考试考查：考试此卷选为：期中考试( )、期终考试(√)、重考( )试卷（注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟。

要求写出解题过程，否则不予计分）一、填空与单项选择题（每小题3分，共24分）1、 设三阶矩阵()123,,A ααα=，()123121201320,14,14B αααααα=+++，如果||2A =， 则||B = .2、 设,αβ是三维列向量，121242363T αβ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则T βα= .3、 设230A A E ++=,则1()A E -+= .4、 设A 为n 阶矩阵， *A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若|2||3|||0A E A E A E -=-=-=，且||1A =，则*||A = .5、 设A 为4阶对称矩阵, 且432A A O +=，若A 的秩为3，则A 相似于（ ）A ．2222-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭B ． 2220-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ C. 2200-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D. 2000-⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭6、 已知AB C =，且||0B ≠，则下列说法正确的是 ： A. 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B. 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价D. 矩阵C的列向量组与矩阵B 的列向量组等价7、 二次型2222424f x y z xy xz =++--是 ：A.正定二次型B.负定二次型C.非正定也非负定二次型D.无法判断 8、 设12,,...,s ααα为n 维列向量组，A 为m n ⨯矩阵,下列选项正确的是 A.若12,,...,s ααα线性相关,则12,,...,s A A A ααα线性相关B.若12,,...,s ααα线性相关,则12,,...,s A A A ααα线性无关C.若12,,...,s ααα线性无关,则12,,...,s A A A ααα线性相关D.若12,,...,s ααα线性无关,则12,,...,s A A A ααα线性无关二、（10分）解矩阵方程: 设131302112A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭， 3,AX X A O ++=求矩阵X .三、（12分）已知向量组：11 2 3 1α⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，22121α⎛⎫⎪⎪=⎪-⎪-⎝⎭，34541α⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，43212α⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，512α⎛⎫⎪⎪=⎪⎪-⎝⎭，求该向量组的秩及一个最大线性无关组，并将不属于最大线性无关组的向量用该最大线性无关组线性表示.（13分）问当λ为何值时, 线性方程组123123123(1)3(1)3(1)0x x xx x xx x xλλλλ-++=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有唯一解、无解、有无穷多解? 并在有无穷多解时求出其通解. 五、（15分）求一个正交变换,x Py=把二次型2213122322f x x x x x x=++-化为标准形，并写出标准形．六、（10分）设2()M 为所有二阶方阵按照通常矩阵的加法和数乘运算构成的线性空间. 给定可逆矩阵2()P M ∈ ，在2()M 上定义如下相似变换：对任意2()A M ∈ ,1()T A P AP -=. (1) 证明：映射T 是2()M 上的一个线性变换；(2）若1112P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出线性变换T 在基111221221001000000001001E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，下的矩阵．七、证明题:(1)（6分）设A 是n m ⨯矩阵, B 是m n ⨯矩阵, E 是n 阶单位矩阵. 若AB E =，证明矩阵B 的列向量组线性无关.(2)（10分)设矩阵2,T T A ααββ=+其中,αβ是两个互相正交的三维单位列向量. 证明：矩阵A 能够相似于对角矩阵1=20⎛⎫ ⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭.。

《线性代数》期末考试试卷B一、(30分)填空题(E 表示相应的单位矩阵).1. 设3阶矩阵A = (α1, α2, α3)的行列式|A | = 3, 矩阵B = (α2, α3, α1), 则矩阵A − B 的行列式|A − B | =______.解: (法一) |A − B | = |α1−α2, α2−α3, α3−α1| = |α1, α2−α3, α3−α1| + |−α2, α2−α3, α3−α1|= |α1, α2−α3, α3| + |−α2, −α3, α3−α1| = |α1, α2, α3| + |−α2, −α3, −α1| = |α1, α2, α3| − |α2, α3, α1| = |α1, α2, α3| − |α1, α2, α3| = 0.(法二) A − B = (α1−α2, α2−α3, α3−α1) = (α1, α2, α3)101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠= AP ,其中P =101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠, |P | =101110011−−−= 0, 故|A − B | = |AP | = |A ||P | = 0.2. 若矩阵A 满足A 2 = O , 则E +A 的逆矩阵(E +A )−1 = _______.解: A 2 = O ⇒ (E +A )(E −A ) = E 2 −A 2 = E ⇒ (E +A )−1 = E −A .3. 若向量组α1 = (1, t , 1), α2 = (1, 1, t ), α3 = (t , 1, 1)的秩为2, 则参数t 满足条件___________.解: 令A = (α1, α2, α3), 则秩(A ) = 秩(α1, α2, α3) = 2 ⇒111111tt t = |A | = 0 ⇒ (t +2)(t −1)2 = 0 ⇒ t = −2或1.当t = −2时, 秩(A ) = 2; 当t = 1时, 秩(A ) = 1. 故t = −2.4. 假设3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1, 矩阵B = E −2A *, 其中A *是A 的伴随矩阵, 则B 的行列式|B |= _______.解: 3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1 ⇒存在P 使得P −1AP =100020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠记为Λ, 而且|A | = 1×2×(−1) = −2.故P −1A −1P = (P −1AP )−1 = Λ−1 =10001/20001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. 由A *A = |A |E 可得A * = |A |A −1 = −2A −1, 于是有|B | = |P |−1⋅|B |⋅|P | = |P −1|⋅|B |⋅|P | = |P −1BP | = |P −1(E −2A *)P | = |P −1EP −2P −1A *P | = |E − 2P −1A *P |= |E + 4P −1A −1P | = |E + 4Λ−1| =500030003−= −45.5. 若矩阵A =10022312x −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠与矩阵B =03y ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠相似, 则(x , y ) =________.解: |A | = 2(1−x ), |B | = 0, tr(A ) = 1+x , tr(B ) = 3+y . 因为矩阵A 与B 相似, 所以|A | = |B |, tr(A ) = tr(B ).由此可得x = 1, y = −1. (x , y ) = (1, −1). 6. 设(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 是3阶实对称矩阵A 的相应于某个非零二重特征值的特征向量. 若A 不可逆,则A 的另一个特征值为______, 相应的一个特征向量为__________.解: 3阶矩阵A 有非零二重特征值而且A 不可逆 ⇒ A 的另一个特征值为0.设ξ为对应于0的特征向量, 则ξ与(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 正交, 即ξ为12130x x x x −=⎧⎨−=⎩的非零解向量. 由此可得A 的一个对应于0的特征向量为ξ = (1, 1, 1)T .7. 已知3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2, 并且α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量, 其中α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T , 则Ax = b 的通解是_______________.解: 3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2 ⇒ Ax = 0的基础解系中有且仅有1个解向量.α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量 ⇒ A (α2 + α3 − 2α1) = A α2 + A α3 − 2A α1 = b + b − 2b = 0. α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T ⇒ α2 + α3 − 2α1 = (0, 2, 4)T . 可见ξ = (0, 2, 4)T 是Ax = 0的基础解系,因而Ax = b 的通解是x = k (0, 2, 4)T + (1, 1, 1)T , 其中k 为任意实数. 8. 若4阶方阵A , B 的秩都等于1, 则矩阵A +B 的行列式|A +B | = ________.解: 4阶方阵A , B 的秩都等于1 ⇒ 秩(A +B ) ≤ 秩(A )+秩(B ) = 2 < 4 ⇒ |A +B | = 0. 9. 若矩阵A =211x ⎛⎞⎜⎟⎝⎠与矩阵B =1221⎛⎞⎜⎟−⎝⎠合同, 则参数x 满足条件___________.解: 设λ1, λ2为A 的特征值, µ1, µ2为B 的特征值.µ1µ2 = |B | = −5 < 0 ⇒ µ1, µ2异号 ⇒ B 的秩为2, 正惯性指数为1.A 与B 合同 ⇒ A 的秩为2, 正惯性指数为1 ⇒ λ1, λ2异号 ⇒ 2x − 1 = |A | = λ1λ2 < 0 ⇒ x < 1/2.二、(10分)计算下述行列式的值: D =111+11111+11111111x x x x −−. 解: +1111+111111111111x x x x −−=1111+111111111111x x x −−+1111+11000111111x x x x−−=0000001111x x x−−+ x111+111111x x x −− =000000x x x −−+ x 111+111111x x x −−= x 3 + x 2111+00x x x x x −−= x 3 + x 22111+000x x x x x−= x 3 + (x 4 − x 3) = x 4. 三、(15分)设线性方程组1231231233032314x x x x x x x x x λµ++=⎧⎪++=−⎨⎪−++=⎩. 问: 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有唯一解? 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有无穷多组解? 当线性方程组有无穷多组解时, 求出其通解.解: 该方程组的增广矩阵(A , b ) =1310(3)1323114λµ×−×⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠→13100701071λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+⎝⎠→131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠. (1) 当λ ≠ −1, µ为任意实数时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 3, 此时线性方程组有唯一解.(2) 当λ = −1, µ = 1时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 2 < 3, 此时线性方程组有无穷多组解,131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠=1713100701()0000⎛⎞⎜⎟−−×−⎜⎟⎝⎠→171310010(3)0000⎛⎞⎜⎟×−⎜⎟⎝⎠→37171010100000−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠由此可得3137127x x x +=−⎧⎨=⎩, 即3137127x x x =−−⎧⎨=⎩. 故通解为x = k (−1, 0, 1)T + (−37,17, 0)T , 其中k 为任意实数.四、(12分)设矩阵A =101012001⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, C =103101⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, 矩阵X 满足A −1X = A *C + 2X , 其中A *是A 的伴随矩阵,求X .解: |A | = −1, 在A −1X = A *C + 2X 两边同时左乘以A 得X = −C + 2AX . 故(E −2A )X = −C .(E −2A , −C ) =10210(1)0343100101(1)−−−×−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟−−×−⎝⎠→1021003431001014(2)⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟××−⎝⎠→13100120303500101−⎛⎞⎜⎟−×⎜⎟⎝⎠→5312100010100101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 由此可得X =5312101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 五、(10分)已知向量组η1, η2, η3线性无关, 问: 参数a , b , c 满足什么条件时, 向量组a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1线性相关?解: (a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) = (η1, η2, η3)011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 令P =011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则|P | = abc + 1. 由条件可知:a η1+η2,b η2+η3,c η3+η1线性相关 ⇔ 秩(a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) < 3 ⇔ 秩(P ) < 3 ⇔ |P | = 0 ⇔ abc = −1. 六、(15分)已知二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + 2x 22 + x 32 − 2x 1x 3.1. 写出二次型f 的矩阵;2. 求一正交变换x = Qy , 将f 变成其标准形(并写出f 的相应的标准形)；3. 求当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3)的最大值.解: 1. 二次型f 的矩阵A =101020101−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.2. |λE −A | =101020101λλλ−−−= (λ−2)2λ, 可见A 的特征值为λ1 = λ2 = 2, λ3 = 0.解(2E −A )x = 0得对应于λ1 = λ2 = 2的两个正交的特征向量ξ1 = (1, 0, −1)T , ξ2 = (0, 1, 0)T ,解(0E −A )x = 0得对应于λ3 = 0的一个特征向量ξ3 = (1, 0, 1)T .令Q = (11||||ξξ,22||||ξξ,33||||ξξ) =1/00101/0⎛⎜⎜⎜−⎝, 则正交变换x = Qy 将f 变成标准形2y 12 + 2y 22.3. x T x = 1 ⇔ (Qy )T (Qy ) = 1 ⇔ y T Q T Qy = 1 ⇔ y T y = 1 ⇔ y 12 + y 22 + y 32 = 1, 此时y 12 + y 22 ≤ 1. 故当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3) = 2y 12 + 2y 22的最大值为2.七、(8分)证明题.1. 设向量组α1, α2, α3, α4中, α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, 证明: α1能由α2, α3, α4线性表示. 证明: 因为α1, α2, α3线性相关, 所以α1, α2, α3, α4线性相关.又因为α2, α3, α4线性无关, 所以α1能由α2, α3, α4线性表示.2. 设A 是n 阶正定矩阵, 证明: 矩阵A +A −1−E 也是正定矩阵.证明: 设λ1, …, λn 为A 的特征值, Λ =1n λλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠O . A 是n 阶正定矩阵 ⇒ 存在可逆矩阵P 使得P −1AP = Λ, 其中λ1, …, λn > 0⇒ P −1(A +A −1−E )P = P −1AP + P −1A −1P − P −1EP = Λ + Λ−1 − E =111111n n λλλλ+−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠O, 其中 λ1+11λ−1, …, λn +1n λ−1> 0 ⇒ A +A −1−E 也是正定矩阵.。

线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 0; 0, 0]2. 如果向量v = (3, -2)，那么其对应的单位向量是什么？A. (1, -2/3)B. (3/√13, -2/√13)C. (3/√29, -2/√29)D. (3/√10, -2/√10)3. 对于矩阵A，|A|表示其行列式，那么|A| = 0表示：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A是可逆矩阵4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的对角元素B. 矩阵的迹C. 满足Av = λv的非零向量v对应的λD. 矩阵的行列式5. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, -1; 1, 1]D. [1, 0; 0, 1]二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果矩阵A的秩为1，那么A的零空间的维数是_________。

7. 对于任意非零向量α和β，如果α + β和α - β都是零向量，那么向量α和β_________。

8. 一个向量空间的一组基的向量数量至少是_________。

9. 如果矩阵A是n阶方阵，且A^2 = I（单位矩阵），那么矩阵A是_________矩阵。

10. 对于实数域上的向量空间，任意两个非零向量的标量积是_________的。

三、简答题（每题10分，共20分）11. 解释什么是线性变换，并给出一个线性变换的例子。

12. 证明如果矩阵A和B是可交换的，即AB = BA，那么它们的行列式之积等于各自行列式的乘积，即|AB| = |A||B|。

四、计算题（每题15分，共30分）13. 给定矩阵A = [4, 1; 3, 2]，求A的逆矩阵A^-1。

14. 设向量空间V是所有2x2实对称矩阵的集合，证明V是一个向量空间，并找出一组基。

《线性代数》期末考试题及答案一、单项选择题(每小题3分，共24分).1.设行列式1112132122233132331a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233234234234a a a a a a a a a a a a --=-( ). A. 6； B. -6； C. 8； D. -8.2.设B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则下列一定成立的是( ).A. 0A =或0B =；B. 0A =且0B =；C. 0=A 或0=B ；D. 0=A 且0=B .3.设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确．．．的是( ). A. ()T T T A B A B +=+； B . 111()A B A B ---+=+； C. 111()AB B A ---= ； D. ()T T T AB B A =.4.设12,αα是非齐次线性方程组Ax b =的解，是β对应的齐次方程组0Ax =的解，则Ax b =必有一个解是( ).A ．21α+α；B ．21α-α；C ． 21α+α+β ；D ．121122βαα++.5.齐次线性方程组123234 020x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩的基础解系所含解向量的个数为( ).A. 1；B. 2；C. 3；D. 4. 6.向量组12,,αα…,s α(2)s ≥线性无关的充分必要条件是( ).A. 12,,αα…,s α都不是零向量；B. 12,,αα…,s α任意两个向量的分量不成比例；C. 12,,αα…,s α每一个向量均不可由其余向量线性表示；D. 12,,αα…,s α至少有一个向量不可由其余向量线性表示. 7.若( )，则A 相似于B .A. A B = ； B . 秩(A )=秩(B )；C. A 与B 有相同的特征多项式；D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同. 8.正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( )必成立.A. A 的所有顺序主子式为非负数；B. A 的所有顺序主子式大于零；C. A 的所有特征值为非负数；D. A 的所有特征值互不相同.二、填空题(每小题3分，共18分)1.设3阶矩阵100220333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，*A 为A 的伴随矩阵，则*A A =_____________.2.1111n⎛⎫⎪⎝⎭=__________________(n 为正整数). 3.设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且det()0A ad bc =-≠，则1A -=________________.4.已知4阶方阵A 的秩为2，则秩(*A )=_________________.5.已知向量组123(1,3,1),(0,1,1),(1,4,)a a a k ===线性相关,则k =____________.6.3阶方阵A 的特征值分别为1，-2，3，则1A -的特征值为_________.三、计算题(10分，共44分)1.(7分)计算行列式01231000100001x x a a a a ---2.(7分)设矩阵121348412363A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，问a 为何值时，(1) 秩(A )=1； (2) 秩(A )=2.3.(15分)给定向量组12103a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，21324a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，33021a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭=，40149a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，试判断4a 是否为123,,a a a 的线性组合；若是，则求出组合系数4.(15分)λ取何实值时，线性方程组12233414x x x x x x x x λλλλλλλλ-=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩有唯一解、无穷多解、无解？在有无穷多解的情况求通解。

线性代数B期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)B. \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)C. \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)D. \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}\)答案：C2. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(A^2 = I\)，则\(A\) 一定是：A. 正交矩阵B. 斜对称矩阵C. 单位矩阵D. 对角矩阵答案：A3. 线性方程组 \(\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 3x - 4y + 2z = 2 \\ 5x + 6y + 3z = 3 \end{cases}\) 的解的情况是：A. 有唯一解B. 有无穷多解C. 无解D. 不能确定答案：B4. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，若 \(\det(A) = 0\)，则 \(A\) 的秩：A. 等于3B. 小于3C. 等于0D. 大于等于3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的行列式\(\det(A) = 2\)，则 \(A\) 的伴随矩阵 \(\text{adj}(A)\) 的行列式是 _______。

答案：82. 若 \(A\) 是一个 \(3 \times 3\) 矩阵，且 \(A\) 的特征值为1，2，3，则 \(A\) 的迹数 \(\text{tr}(A)\) 等于 _______。

,考试作弊将带来严重后果！期末考试《 线性代数》试卷A1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：开（闭）卷；单项选择题（每小题2分，共30分）。

．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6 35 24 1C ,6 5 43 2 1B ,4 32 1A ，则下列矩阵运算无意义的是【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB设n 阶方阵A 满足A 2–E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有 【 】A. A=A -1B. A=-EC. A=ED. det(A)=1设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=12-,则*A = 【 】 A. 14-B. 14C. 1-D. 1 设A 为n 阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中 【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它n-1个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它n-1个行向量的线性组合．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 3121,,a a a a +6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是 【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】 A.03221= b b a a B.02121≠ b b a a C.332211b a b a b a == D. 02131= b b a a 9.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ax x x x x x x x x 32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=210. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12. n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni in aa a aC. 121{(,,,)|1}n a a a a = D. }1|),,,{(21∑=n inaa a a14. 下列矩阵中为正交矩阵的是 【 】A. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1- 1 01 1 00 0 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1- 22 151C. 1 -10 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1 00 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是 【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。

共3页第1页线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。

2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。

3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。

4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。

5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。

每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。

（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。

（ ）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。

（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。

（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。

( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。

每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

共3页第2页 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

河海大学2019–2020学年第二学期期末考试《线性代数》试题（B）卷考核方式：闭卷课程性质：必修课适用对象：2018级、2019级相关专业题号一二三四总分复核人满分102016得分一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分）1、设1D =3512，2D =345510200，则D =12D D O O=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题（每小题2分，共20分）1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是（）（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2；2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为（）（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=（）54100（A ）A E ；（B ）A ；（C ）nA A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（）（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭；（B ）100010011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（D ）010002100⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是（）（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++= ，则1,α2α，，mα线性无关；（B ）向量组1,α2α， ，mα若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α， ，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α， ，m α的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α， ，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

《线性代数》期末考试试卷附答案B 卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.设行列式=m ，=n ，则行列式等于（ ）A. m+nB. -(m+n)C. n -mD. m -n2. 设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ ）A. A =0B. B C 时A =0C. A 0时B =CD. |A |0时B =C 3.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =0 5.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为06.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.η1+η2是Ax=b 的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b 的一个解 7.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）A.秩(A )<nB.秩(A )=n -1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解8.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关9.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则a a a a 11122122a a a a 13112321a a a a a a 111213212223++≠≠≠1212必有（ ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3D. k>3 10.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 B.|A |必为1C.A -1=A TD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. .2.设A =，B =.则A +2B = .3.设A =(a ij )3×3，|A |=2，A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= .4.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= .5.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 .6.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .7.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 8.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 . 9.设矩阵A =，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 . 10.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .三、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、.设A =，B =.求（1）AB T ；（2）|4A |.11135692536=111111--⎛⎝⎫⎭⎪112234--⎛⎝ ⎫⎭⎪010********---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪2、给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

《线性代数》样卷B一、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分)(从下列备选答案中选择一个正确答案) 1、排 列7352164的逆序数为（ ） （A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 2、若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是（ ） （A ）11(2)2A A --= （B ）0A A *⋅≠（C ）11()A A A-*-= （D ）111[()][()]T T TA A ---=3、以初等矩阵001010100⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭右乘初等矩阵001100010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相当于对矩阵A 施行初等变换为（ ） （A ）23r r ↔ （B ）23C C ↔ （C ）13r r → （D ）13C C ↔ 4、奇异方阵经过（ ）后，矩阵的秩有可能改变（A ）初等变换 （B ）左乘初等矩阵 （C ）左右同乘初等矩阵 （D ）和一个单位矩阵相加 5、 如果n 元齐次线性方程组0=Ax 有基础解系并且基础解系含有)(n s s <个解向量，那么矩阵A 的秩为（ ）（A ）n （B ）s （C ）s n - （D ）以上答案都不正确 6、向量组123,,βββ 线性无关，234,,βββ 线性相关，则有（ ）（A ）1β可由423,,βββ 线性表示 （B ）2β可由143,,βββ 线性表示 （C ）3β可由124,,βββ 线性表示 （D ）4β可由123,,βββ 线性表示 7、 以下结论正确的是（ ）（A ）一个零向量一定线性无关； （B ）一个非零向量一定线性相关； （C ）含有零向量的向量组一定线性相关； （D ）不含零向量的向量组一定线性无关 8、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件9、 关于x 的一次多项式10213111()2543111f x x ---=-----，则式中一次项的系数为（ ）（A ）2 （B ）—2 （C ）3 （D ）—3 10、下列不可对角化的矩阵是（ ）（A ）实对称矩阵 （B ）有n 个相异特征值的n 阶方阵 （C ）有n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵 （D ）不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分） （请将正确答案填入括号内）1、若三阶方阵A 的3重特征值为2，则行列式A =2、已知6834762332124321D --=--，则212223246834A A A A +-+= . 3. 设A 为三阶可逆矩阵，且13A =，则()13A -= 4、 125=13--⎛⎫ ⎪-⎝⎭5、矩阵112134134-⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭的秩是 6、行列式526742321-中元素－2的代数余子式是7、设0=AX 为一个4元齐次线性方程组，若321,,ξξξ为它的一个基础解系，则秩()R A =8、设211132121A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形为： .9、已知(6,4,3),(1,3,2)TTx y ==--，则[],x y = .10、 设向量T )2,2,3(-=α与向量Tt ),3,4(=β正交，则=t三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分） （要求写出主要计算步骤及结果） 1、计算4222242222422224n D =L L MM M M L L2、已知2()41f x x x =-+，120210002A -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，求()f A . 四、综合应用题（本题共4小题，共48分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、（8分）已知向量组()()()1231,2,3,2,1,1,3,0,5,7,3,4,T T Tααα==--=-，（1）求该向量组的秩. （2）求该向量组的一个最大无关组. （3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.2、（8分）验证123(0,2,1),(2,1,3),(3,3,4)T T T ααα==-=--为R 3的一个基 并求12(1,2,3),(2,3,1)T Tββ==-在这个基中的坐标。

南京信息工程大学试卷答案及评分标准2018 －2019学年 第 2 学期 线性代数 课程试卷( B 卷)一、填空题 (每小题3分，共15分)1. 设A 是n 阶方阵，且0A =≠a ，*A 是A 的伴随矩阵，则*A = . 答案：1-n a .2. 20192018010123001100456010001789100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案：456123789⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.3.设101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123αα,,α为线性无关的3维列向量组，则向量组123A αA αA ,,α的秩为 . 答案：2.4. 设矩阵10000101a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵100010001Λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则a = .答案：0.5. 设二次型1234()f x x x x ,,,的秩为3，负惯性指数为1，则1234()f x x x x ,,,的规范形为 . 答案：222123+-y y y .二、选择题 (每小题3分，共15分)1. 设A ,B 是四阶矩阵，且有4A =，1B =，234α,,,,βγγγ均为4维向量，()234A α=,,,γγγ，()234B =,,,βγγγ，则A B +=( C ).(A) 5； (B) 10； (C) 40； (D) 20. 2. 设A 是46⨯矩阵，则齐次线性方程组Ax =0( C ).(A) 无解； (B) 只有零解； (C) 有非零解； (D) 不一定有非零解.3. 设向量组123αα,,,αβ线性相关，向量组234αα,,,αβ线性无关，则( B ). (A) β能由向量组1234αα,,,αα线性表示； (B) 1α能由向量组123αα,,,αβ线性表示； (C) 向量组1234αα,,,αα线性相关； (D) 向量组1234αα,,,αα线性无关. 4. 设A 为3阶矩阵，()123P αα=,,α为可逆矩阵，使得1012P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()123A αα++=α( B ).(A) 12αα+; (B) 232α+α; (C) 23α+α; (D) 122αα+. 5. n 阶实对称矩阵A 正定的充要条件是( D ).(A) R()A =n ; (B) A 所有特征值非负; (C) A 的主对角线元素都大于零; (D) 1A -正定.三、计算题 (每小题6分，共18分)1. 设1235342111231211-=-D ，A ij 是D 中元素ij a 的代数余子式，求21222324A A A A +++.解：212223241235111111231211A A A A -+++=- ……………………3分11111111123503240112302121211100--=-=-=--. ………………6分2. 设120340121A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，231240B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求(1)TAB ; (2)4A .解：(1)T 120228634034181012110310AB -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……………………3分(2)12046464340128121A A ===--. ……………………6分3. 设3阶矩阵A 满足2A A E +=，求1A -和()13A E -+.解：矩阵A 满足2A A E +=可得()A A E E +=，故1A A E -=+.………2分矩阵A 满足2A A E +=可得265A A E E +-=-， ………4分分解因式可得：()()325A E A E E +-=-，即()235E A A E E -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故()1235E AA E --+=. ……………………6分 四、求向量组12342111112146223697αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示. (本题满分10分)解：令()123421111121112121114622231136973697A αααα---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,,, 112111211121022201110111055300020001033400010000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1010011000010000-⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪⎪⎝⎭， ……………………6分则向量组1234αααα,,,的秩为3，124ααα,,为该向量组的一个极大无关组， 且312ααα=--. ……………………10分五、设()T 1111,,,是线性方程组123412341234223240+-+=⎧⎪++-=⎨⎪-++=⎩x x x x x x x x x ax x x 的一个解向量，求该线性方程组的通解. (本题满分10分)解：将12341====x x x x 代入方程组可得3=a ， ……………………2分 对增广矩阵作初等行变换()111121111211112213240154001540131100420200981A b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭51410010432994545010010999981810010019999⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪ ⎪⎪→-→-⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭……………………8分 故齐次线性方程组的基础解系为T5481999ξ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,,，所以该线性方程组的通解为()TT 54811111999x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭k ,,,,,,.……………10分六、已知三阶实对称矩阵A 的三个特征值为12302λλλ===,，且对应于特征值0的特征向量为()T1101α=-,,，求矩阵A .(本题满分10分) 解：设对应于特征值2为的特征向量为()T123x =x x x ,,，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交的，故[]10x α=,.即130-=x x ，则其基础解系为()T 2101α=,,，()T3010α=,,. ………………4分 令()123110001110P ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭,,，求得11102211022010P -⎛⎫-⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，………………8分则1022P AP Λ-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭， 进而11102211001011100120020221102101010A P ΛP -⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.………10分 七、已知二次型21232121323(,,)=3282-+-f x x x x x x x x x x ，(1) 用正交变换x Qy =将此二次型化成标准形，并求出正交矩阵Q ； (2) 说明123(,,)=1f x x x 在几何上表示什么图形. (本题满分12分)解：(1)该二次型的矩阵为014131410A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则()()()14131425041A E λλλλλλλ---=---=-+--=--， 故特征值为123425λλλ=-==,,， ………………………4分当14λ=-时，有4141014171010414000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，对应于14λ=-的一个特征向量为1101p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当22λ=时，有2141012111012412000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，对应于22λ=的一个特征向量为2121p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当35λ=时，有2141015111011412000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，对应于35λ=的一个特征向量为3111p ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………7分由于123p p p ,,两两正交，故只需对它们单位化.令111101p e p -⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，222121p e p ⎛⎫⎪==⎪⎪⎭，333111p e p ⎛⎫⎪==-⎪⎪⎭，则正交矩阵0Q ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 且在正交变换x Qy =下，二次型可化成标准形222123123(,,)=425-++f y y y y y y . ………………………10分(2) 222123=425=1-++f y y y 表示单叶双曲面. ………………………12分 八、设向量组123ααα,,线性无关，且1123βααα=--,2123βααα=+-,3123βααα=-+.试证明向量组123βββ,,线性无关.(本题满分10分) 解：假设存在数123,,k k k 使得1122330βββ++=k k k ，则有 ()()()1231123212330ααα+++-+-+--+=k k k k k k k k k , ……………4分 因为向量组123ααα,,线性无关，所以123123123 000++=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩k k k k k k k k k ，解得: 1230===k k k , ……………8分因此向量组123βββ,,线性无关. ……………10分 注：有的题目有多种解法，以上解答和评分仅供参考。

线性代数B 期末试题（05）一、判断题(正确填√，错误填×。

每小题2分，共10分)1．A 是n 阶方阵，且｜A ｜≠0，则n 元方程组AX ＝b 有唯一解。

（ ）2．A ，B 是同阶相似方阵，则A 与B 有相同的特征值。

（ ）3．如果X 1 与X 2 皆是AX =b 的解，则X 1 ＋X 2 也是AX =b 的解。

( )4．若A 为n 阶方阵，其秩R (A )=r 且r < n ,那么A 任意r 个行向量线性无关。

( )5．从A 中划去一行得到矩阵B ，则R （A ）≥R （B ）的秩。

（ ） 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A 是n 阶矩阵，其伴随矩阵为A ＊，E 为单位矩阵。

则A A *为 ( )（A ）|A |E (B) E (C) A * (D) 不能乘2．设A 、B 、C 同为n 阶方阵，且满足ABC ＝E ，则必有（ ）。

（A ）ACB =E （B ）CBA =E （C ）BCA = E （D ）BAC =E3．设A 为n 阶方阵，且｜A ｜＝5，则｜（3A －1）T ｜＝（ ） (A)n 53 (B) n 35 (C)3n ·51(D) 3·5n4．设n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r <n ，则方程组（ ）。

（A ）其基础解系可由r 个解组成；（B ）有r 个解向量线性无关；（C ）有n –r 个解向量线性无关；（D ）无解。

5．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值，是A 与对角阵相似的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分而非必要（C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分也非必要三、填空题（每小题5分，共25分）1．g f k j e p hs bc da 0000＝ 。

2．A 为3阶矩阵，且满足=A 5,则1-A =______，*3A = 。

3．设齐次线性方程组的系数矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----β41352121此方程有可能无解吗? 你的回答及理由是 ，当β取值为 时方程组有无穷多解。