23. 模糊聚类分析原理及实现
聚类分析，就是用数学方法研究和处理所给定对象，按照事物间的相似性进行区分和分类的过程。
传统的聚类分析是一种硬划分，它把每个待识别的对象严格地划分到某个类中，具有非此即彼的性质，这种分类的类别界限是分明的。
随着模糊理论的建立，人们开始用模糊的方法来处理聚类问题，称为模糊聚类分析。由于模糊聚类得到了样本数与各个类别的不确定性程度，表达了样本类属的中介性，即建立起了样本对于类别的不确定性的描述，能更客观地反映现实世界。
本篇先介绍传统的两种（适合数据量较小情形，及理解模糊聚类原理）：基于择近原则、模糊等价关系的模糊聚类方法。
（一）预备知识
一、模糊等价矩阵
定义1 设R=(r ij )n ×n 为模糊矩阵，I 为n 阶单位矩阵，若R 满足 i) 自反性：I ≤R （等价于r ii =1）； ii) 对称性：R T =R;
则称R 为模糊相似矩阵，若再满足
iii) 传递性：R 2
≤R （等价于1
()n
ik kj ij k r r r =∨∧≤）
则称R 为模糊等价矩阵。
定理1 设R 为n 阶模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数k
（k 定义2 设A =(a ij )n ×m 为模糊矩阵，对任意的λ∈[0,1], 作矩阵 () () ij n m A a λλ⨯= 其中， ()1, 0, ij ij ij a a a λλλ≥⎧=⎨<⎩ 称为模糊矩阵A 的λ-截矩阵。显然，A λ为布尔矩阵，且其等价性与与A 一致。 意义：将模糊等价矩阵转化为等价的布尔矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当λ在[0,1]上变动时，由A λ得到不同的分类。 若λ1＜λ2, 则A λ1≥A λ2, 从而由A λ2确定的分类是由A λ1确定的分类的加细。当λ从1递减变化到0时，A λ的分类由细变粗，逐渐归并，形成一个分级聚类树。 例1 设U={u 1, u 2, u 3, u 4, u 5}, 对给定的U 上的模糊等价关系 让λ从1到0变化，观察分类过程。 (1) 当λ=1时， 110000 01000 00100 00010 00001 R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ 分类结果为5类：（每行代表一类，1代表对应元素在该类） {u1}, {u2}, {u3}, {u4}, {u5} (2) 当λ=0.8时， 0.810100 01000 10100 00010 00001 R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ 分类结果为4类：{u1, u3}, {u2}, {u4}, {u5} (3) 当λ=0.6时， 0.610100 01000 10100 00011 00011 R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ 分类结果为3类：{u1, u3}, {u2}, {u4, u5} (4) 当λ=0.5时， 0.510111 01000 10111 10111 10111 R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ 分类结果为2类：{u1, u3, u4, u5}, {u2} (4) 当λ=0.4（R 中的最小值）时， 0.4 111111111111111111111 1111R ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ =⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 分类结果为1类：{u 1, u 2, u 3, u 4, u 5} 整个动态分类过程如下： （二）基于择近原则的模糊聚类 择近原则就是利用贴近度来实现分类操作，贴近度用来衡量两个模糊集A 和B 的接近程度，用N (A ,B )表示。贴近度越大，表明二者越接近。 设论域有限或者在一定区间，即U={u 1, u 2, …, u n }或U=[a,b], 常用的贴近度有以下三种： (1) 海明贴近度 11(,)1|()()|n i i i N A B A u B u n ==--∑ 1(,)1|()()|d b i i a N A B A u B u u b a =---⎰ (2) 欧氏贴近度 1 2 2 1 (,)1[()()] n i i i N A B A u B u = ⎫ =--⎪ ⎭ ∑ )122 (,)1[()()]d b i i a N A B A u B u u =-- ⎰ (3) 格贴近度 (,)()() c c N A B A B A B =∧ 其中，() 1 ()() n i i i A B A u B u = =∨∧. Matlab实现：格贴近度的实现函数fuz_closing.m function y=fuz_closing(A,B,type) %要求A与B列数相同的行向量 [m,n]=size(A); switch type case 1 %海明贴近度 y=1-sum(abs(A-B))/n; case 2 %欧氏贴近度 y=1-(sum(A-B).^2)^(1/2)/sqrt(n); case 3 %格贴近度 y1=max(min(ones(m,n)-A,ones(m,n)-B)); %ones(m,n)-A等于A^c y2=max(min(A,B)); y=min(y1,y2); end 例2设某产品的质量等级分为5级，其中一级有5种评判因素u1, u2, u3, u4, u5. 每一等级的模糊集为 B1={0.5 0.5 0.6 0.4 0.3}
