随机误差统计规律及单摆设计

实验一 随机误差分布规律的研究
一、实验目的
1. 通过对单摆周期多次重复性测量，理解对随机误差统计规律的认识
2. 学习用统计方法研究物理量的平均值、测量列的标准偏差，平均值的标准偏
差，及测量结果的正确表示
二、实验器材
单摆、数字计时器、光电门、秒表等
三、实验内容与数据处理
1. 用数字计时器和光电门多次（100次）重复测量单摆的单个完全摆动周期，
列出几率统计表，画出统计直方图。

2. 将100个数据分为10组，每组10个数据，计算其平均值x 、测量列的标准
偏差x σ和平均值的标准偏差x σ。

3. 将100个数据作为一个样本整体，计算其平均值x 、测量列的标准偏差x σ，
并与内容2中的结果相比较，说明测量次数对平均值、数据列标准偏差、平均值的标准偏差的影响，说明数据列标准偏差与平均值标准偏差的区别。

4. 利用excel 或其他数学分析软件，对原始数据进行拟合，求出标准偏差的拟
合值，并与内容3的结果进行比较。

5. 用秒表手动测量100个单周期，将这100个数据分为10组，计算测量列的平
均值、标准偏差及平均值的标准偏差等，并与数字计时器的测量结果相比较，分析影响秒表测量结果的系统误差及随机误差分散程度的因素。

四、思考题
1. 测量单摆周期时，摆角为何要小于5o ，且使单摆在竖直面内摆动？应选择哪
个位置作为计时的起点和重点？
2. 如果存在系统误差，它对统计直方图的形状、大小有何影响？。

随机误差的统计规律实验目的(1) 通过一些简单测量，加深对随机误差统计规律的认识 (2) 学习正确估算随机误差、正确表达直接测量结果的一般方法 (3) 了解运用统计方法研究物理现象的简单过程实验方法原理对某一物理量在相同条件下进行n 次重复测量(n>100),得到n 个结果,,,,21n x x x 先找出它的最小值和最大值，然后确定一个区间[]x x ''',，使这个区间包含了全部测量数据。

将区间[]x x ''',分成若干个小区间，比如K个，则每个小区间的间隔∆为 Kx x '-''=∆，统计测量结果出现在各个小区间的次数M (称为频数)。

以测量数据为横坐标，只需标明各区间的中点值，以频数M 为纵坐标，画出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一组矩形图，这就是统计直方图。

直方图的包络表示频数的分布，它反映了测量数据的分布规律，也即随机误差的分布规律。

实验步骤(1) 用钢卷尺测量摆线长。

(2) 用游标卡尺测量摆球直径。

(3) 当摆长不变，摆角(小于5o)保持一定时，摆动的周期是一个恒量，用数字秒表测量单摆的周期至少100次，计算测量结果的平均值T 和算术平均值的标准差)(x S 。

(4) 保持摆长不变，一次测量20个以上全振动的时间间隔，算出振动周期。

数据处理990.0=l m 03364.0=d m 00682.12=+=dl L m2044.40='T s051.21001001==∑=i ixT s0067240110012.)()()(=--=∑=n n x xx S i is)01.005.2()(2±=±=x S T T s022.22044.40=='T s 222/2910.94s m L T g T ==π222/5594.94s m L T g T ='='π20/80891.9s m g =%28.5%1000=⨯-=g g g E T T%54.2%1000=⨯-='g g g E T T思考1. 什么是统计直方图? 什么是正态分布曲线?两者有何关系与区别?答：对某一物理量在相同条件下做n 次重复测量，得到一系列测量值，找出它的最大值和最小值，然后确定一个区间，使其包含全部测量数据，将区间分成若干小区间，统计测量结果出现在各小区间的频数M ，以测量数据为横坐标，以频数M 为纵坐标，划出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一个矩形图，即统计直方图。

随机误差统计规律及单摆设计第三组 信院三 白潇 PB05210258实验目的1) 用单摆模型测量本地区的重力加速度2) 学习设计性实验基本方法的训练，学会应用误差均分原则。

分析基本误差的来源，提出正确修正和估算方法。

实验原理①单摆的结构参见左图，F=mg θsin 。

因为θ→0，所以sinθ=θ,而θ=x/L,则F=mgx/L 当θ→0，单摆的摆动可视为简谐振动，所以振动系数k=mg/L ,根据振动周期T =kmπ2,则一级近似公式为 T=gLπ2，从而可知g=224T L π.②要求测量精度Δg/g<1%,而g=224T L π,L=l+D/2,TTD D l l g g ∆+∆+∆=∆2.因为Δg/g<1%，所以，l l∆<0.25%,D D ∆<0.25%,TT ∆2<0.5%;而摆长l ≈60.00cm,摆球直径D ≈2.20cm,摆动周期T ≈1.600s;可得=∆l 0.35cm,D ∆=0.01cm,nTt t+∆∆≈0.02s.所以用米尺测摆长，用游标卡尺或千分尺测摆球直径，用秒表测单摆周期,且测n>47次,取n=50. 实验步骤1,组装仪器如右图.2,测量单摆的摆长l,估算单摆的周期,根据所须精度,确定测量单摆周期的次数n.3,测量摆长L 5次，记录数据.4,测量摆球直径D 5次,从不同的方向测量,记录数据. 5,测量摆球摆动50次所需时间t 5次,记录数据. 6,处理数据,计算当地的重力加速度g. 数据处理:测量的数据如下表所示:㈠ ①由5次测量摆长l 可得摆长:l =554321l l l l l ++++=(62.82+63.30+63.05+63.22+63.18)=63.11cm.标准差1δ=0.188, 平均值标准差1μ=0.0839cm ②由5次测量摆球直径D 可得: 摆球直径D =5)(54321D D D D D ++++=(21.90+21.80+21.94+21.80+22.02)/5 =21.89mm.标准差2δ=0.094, 平均值标准差2μ= 0.0422mm. ③由5次测量50个周期的摆动时间:=++++=554321t t t t t t （79.72+79.84+79.65+79.96+79.80）=79.79s 标准差3δ=0.118, 平均值标准差3μ=0.0529s则可知单摆的周期T=t/50=1.596s , 平均值标准差T μ=0.0319s单摆的整个摆长L=l+D/2;所以L 的不确定度L μ=2221μμ+=0.0939 mm. 因为g=224TLπ,则224T L g μμμ+= =0.1135则A 类不确定度A μ=0.1135㈡ 米尺的精度米∆=0.05cm, 游标卡尺的精度千∆=0.002cm,实验人员开,停秒表的总反应时间近似为人∆=0.2s.因为g=224T Lπ,则B ∆=42)2/(2)2/(*4t tD L t D L t ∆++∆+∆π/C=0.109.则B 类的不确定度B μ=0.109.㈢ 则测量值的合成标准不确定度为B A U μμ+=68.0=0.157则2295.095.0)/()(C B k t U p A ∆+=μ=268.0U =0.314㈣ 由g=224TLπ=9.9412/s m .可得测量结果为g=(9.941±0.230)2/s m (P=0.95)。

普通物理实验报告一、实验目的1. 熟悉使用J-T25周期测定仪2. 通过对单摆周期多次重复地测量，加深对随机误差的统计规律的理解3. 熟悉列表和作图的方法 二、实验原理 1.单摆库摆测重力加速度 当单摆的摆角很小(小于5°),其运动可看成简谐振动,单摆的周期近似为:故只要测出摆长L 和周期T,即可算出重力常数g 。

许多物理定律从本质上说,都是具有统计性质的。

测量的目的是为了求得尽可能接近真值的数值,以达此目的,一方面须设法排除系统误差,另一方面还要通过一系列测量取得足够多的数据,进统计处理,从而推断得到最接近真值的读数值并且推断得到该读数接近真值的程度(即误差)。

统计直方图是通过实验粗略地研究某一物理现象统计分规律趋势的一种方法。

对某一物理量在相同条件下做n次重复测量,得到一系列测量值,X1，X2,…Xn根据测量值中的最大值和最小值确定一个区间[x,x"]将区间分成若干小区间,比如K 个,则每个小区间的间隔为统计测量结果出现在各个小区间内的次数(频数),以测量数据为横坐标,以频数或相对频数为纵坐标,画出出各小区间及其对应的频数或相对频数的高度,则可得到一个矩形图,这就是统计直装订处方图。

根据分布情况画成光滑曲线,这就是随机误差的分布规律(概率密度分布曲线)。

三、实验过程与数据处理1. 用三足铁架和钢球等材料组成单摆2. 立柱铅直。

以摆球为重锤调节底座的水平螺丝，使摆线与立柱平行。

3. 测量单摆周期。

（1）用钢卷尺测量摆线长l，用螺旋测微器测量小球直径D，分别测量三次，则摆长为L=l+D/2。

（2）使摆球停止摆动，静止于平衡位置上，然后用箭头符号或其他标记标出平衡位置，作为计时参考点。

（3）移动小球，是小球在竖直平面内来回摆动，注意摆角要小于5°。

当单摆来回摆动达到平衡位置时开始计时。

为了减少误差，每次至少测10个周期，重复测量100次，表格自拟。

不需要每测一次就使单摆起摆一次，只要单摆的摆幅足够，就可以继续再测。

实验题目： 单 摆 的 设 计 与 研 究 (设计性实验)【实验简介】单摆实验是个经典实验，许多著名的物理学家都对单摆实验进行过细致的研究。

本实验的目的是学习进行简单设计性实验的基本方法，根据已知条件和测量精度的要求，学会应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，学习累积放大法的原理和应用，分析基本误差的来源及进行修正的方法。

【设计任务与要求】1、用误差均分原理设计一单摆装置，测量重力加速度，测量精度要求%2〈∆gg。

2、 对重力加速度g 的测量结果进行误差分析和数据处理，检验实验结果是否达到设计要求。

3、自拟实验步骤研究单摆周期与质量、空气阻力等因素的关系，试分析各项误差的大小。

【设计的原理思想】一根不可伸长的细线，上端悬挂一个小球。

当细线质量比小球的质量小很多，而且小球的直径又比细线的长度小很多时，此种装置称为单摆，如图1所示。

如果把小球稍微拉开一定距离，小球在重力作用下可在铅直平面内做往复运动，一个完整的往复运动所用的时间称为一个周期。

当单摆的摆角很小（一般θ<5°）时，可以证明单摆的周期T 满足下面公式gL T π2= （1） 224TL g π= （2） 式中L 为单摆长度。

单摆长度是指上端悬挂点到球心之间的距离；g期T 、单摆长度L ，利用上面式子可计算出当地的重力加速度g 。

从上面公式知T 2和L 具有线性关系，即L gT 224π=。

对不同的单摆长度L 测量得出相对应的周期，可由T 2～L 图线的斜率求出g 值。

【测量方案的制定和仪器的选择】本实验测量结果的相对误差要求≤2℅，由误差理论可知，g 的相对误差为22)2()(ttL L g g ∆+∆=∆从式子可以看出，在ΔL 、Δt 大体一定的情况下，增大L 和t 对测量g 有利。

由误差均分原理的要求，各独立因素的测量引入的测量误差应相等，则 22%)1()(〈∆LL ，本实验中单摆的摆长约为100cm,可以计算出摆长的测量误差要求为 ΔL <1cm,故选择米尺测量一次就足以满足测量要求；同理 22%)1()2(〈∆tt ，当摆长约为1m 时，单摆摆动周期约为2秒，可以计算出周期的测量误差要求为Δt ≤0.01s,要作到单次测量误差小于0.01s 相当不容易，停表的误差主要是由判断计时开始和终止时的不准确以及动作反应快慢所产生的，因而可以采用连续测量多个周期来减小每个周期的误差，若每次测量引入约四分之一周期的误差，即0.5s 则连续72次的周期测量即可满足测量误差的要求。

核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-24时间测量中的随机误差分布规律PB10214023 张浩然一、实验题目：时间测量中的随机误差分布规律二、实验目的：同常规仪器测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。

三、实验仪器：电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1、仪器原理机械节拍器能按一定频率发出有规律的声响，前者利用齿轮带动摆作周期运动，后者利用石英晶体的振荡完成周期运动；电子秒表用石英晶体振荡器作时标测时，精度可达0.01s ； 2、统计分布规律原理在近似消除了系统误差的前提下，对时间t 进行N 次等精度测量，当N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示：222)(21)(σπσx x ex f --=其中n x x ni i∑==1，为测量的算术平均值，1)(12--=∑n x xniσ，为测量列的标准差，有 ⎰-=aa dxx f a P )()(，σσσ3,2,=a利用统计直方图表示测量列的分布规律，简便易行、直观明了。

在本实验中利用f(x)得到概率密度分布曲线，并将其与统计直方图进行比较，在一定误差范围内认为是拟合的，可认为概率密度分布基本符合正态分布，其中的误差是由于环境、仪器、人的判断误差、N 的非无穷大等所决定的。

五、实验步骤：1、检查实验仪器是否能正常工作，秒表归零；2、将机械节拍器上好发条使其摆动，用秒表测量节拍器四个周期所用时间，在核科学技术学院2010 级学号PB10214023 姓名张浩然日期2011-3-24等精度条件下重复测量约200次（本实验中实际测量224次），记录每次的测量结果；3、对数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）；六、数据处理：1.实验数据如下：（单位：s）初步分析得2.由公式（2）（3）计算得: （单位：s）x=平均值 2.415σ=标准差0.1198473.机械节拍器的频数和频率密度分布：令K=16核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-24有 0max min ()/0.04625x x x K ∆=-= （单位：s ） 取max min ()/0.05x x x K ∆=-=（单位：s ）有测量数据的频数和频率密度分布表如下： 小区域/s 小区域中点值/s 频数i n /s 相对频数(/)/%i n N累计频数(/)/%i n N ∑1.95-2.20 1.975 1 0.446428571 0.446428571 2.20-2.05 2.025 1 0.446428571 0.892857143 2.05-2.10 2.075 1 0.446428571 1.339285714 2.10-2.15 2.125 3 1.339285714 2.678571429 2.15-2.20 2.175 2 0.8928571433.571428571 2.20-2.25 2.225 7 3.1256.696428571 2.25-2.30 2.275 177.589285714 14.28571429 2.30-2.35 2.325 31 13.83928571 28.125 2.35-2.40 2.375 28 12.540.6252.40-2.45 2.425 44 19.64285714 60.26785714 2.45-2.50 2.475 26 11.60714286 71.875 2.50-2.55 2.525 35 15.625 87.5 2.55-2.60 2.575 14 6.2593.752.60-2.65 2.625 10 4.464285714 98.21428571 2.65-2.70 2.675 3 1.339285714 99.55357143 2.70-2.752.72510.4464285711004.统计直方图和概率密度分布曲线图像：核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-245.不确定度分析：0.950.015694973s A U t n==对于电子秒表，人的反应时间为0.2s ，远大于0.01s ，则取B ∆=∆估；对于秒表，取C=3。

随机误差的统计分布实验报告随机误差的统计分布实验报告引言：在科学研究和实验中，我们经常会遇到各种误差。

其中，随机误差是不可避免的，它是由于实验条件的不完美、测量仪器的误差以及实验者的技术水平等因素引起的。

为了更好地理解随机误差的特性和分布规律，我们进行了一系列的实验。

实验目的：本次实验的主要目的是通过对一组数据的收集和分析，探究随机误差的统计分布规律，并验证中心极限定理的适用性。

实验步骤：1. 实验器材准备：我们准备了一台精密天平，用于测量实验中所需的物品的质量。

2. 实验样本选择：我们随机选择了50个物品作为实验样本，这些物品的质量在一定范围内波动。

3. 实验数据收集：我们使用天平测量了每个样本的质量，并记录下来。

4. 数据处理与分析：在收集完实验数据后，我们进行了一系列的数据处理和分析，以探究随机误差的统计分布规律。

实验结果：通过对实验数据的分析，我们得到了以下结果：1. 随机误差的分布呈现正态分布的趋势：我们将实验数据绘制成直方图，发现其呈现出典型的钟形曲线，符合正态分布的特征。

这表明随机误差在一定程度上服从正态分布。

2. 中心极限定理的适用性：我们对实验数据进行了多次抽样，并计算了每次抽样的均值。

结果显示，随着抽样次数的增加，抽样均值的分布逐渐接近正态分布。

这验证了中心极限定理的适用性，即当样本容量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。

3. 随机误差的大小与分布：通过对实验数据的统计分析，我们发现随机误差的大小与分布与所测量的物理量有关。

在某些情况下，随机误差的大小与物理量的大小成正比，而在其他情况下，则呈现出不同的关系。

这表明随机误差的大小和分布是一个复杂的问题，需要进一步研究和探索。

结论：通过本次实验，我们得出了以下结论：1. 随机误差在一定程度上服从正态分布。

2. 中心极限定理适用于随机误差的分布，当样本容量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。

3. 随机误差的大小和分布与所测量的物理量有关，需要进行更深入的研究和探索。

实验3 单摆周期的测量和随机误差统计规律的研究(3#205室)一 实验目的1．通过对单摆周期多次重复测量，理解随机误差的正态分布规律。

2．掌握测量数据的统计直方图处理方法。

3．掌握智能数字测时器测量时间的方法。

二 实验仪器单摆及支架、智能数字测时器、光电门等。

三 实验内容1.仪器调整a 、调节单摆实验仪底部的调平螺母，使实验仪处于铅直状态；b 、调节镜子与刻度的位置，使得两者平行，同时利用摆绳使镜中的虚线与0刻度成一条直线（观测时，选择正确的观测位置，使得摆绳、虚线及摆绳的象三者重合，确保视线垂直于摆面）；d 、通过摆头的左右旋钮（左：伸缩摆长；右：固定摆长），选取摆线≥1m （摆绳+摆球半径），固定之，并记录摆长；e 、调节摆头，使得单摆静止时处于0刻度位置；d 、摆动单摆，使其摆幅≤5○，消除扭摆，保证摆面与刻度面平行；2.自动测量单摆周期5次a 、打开测时器，到达主界面“HELLO ”，选择“1pr ”功能；b 、按“选择”键6次，选择“6pd ”功能（自动测量单摆周期）；c 、按“执行”键，界面显示为“0”，按“选择”键1次，选择测量1周期，界面显示“1”,再次按“执行”键，进入测量状态；d 、把光电门固定在铁架台上，调节铁架台的位置，使得摆球下的小木棍切割光电门（避免木棍与光电门发生碰撞）；e 、使单摆小角度起摆（≤5O ），记录所得数据。

重复c~e 步骤，自动测量单摆周期5次。

计算单摆周期的平均值和平均值标准偏差，做结果报导T T T δ+=3.手动法测单摆单个周期200次a、打开测时器，选择“1pr”功能；b、按“执行”键，进入测量状态；c、使单摆作简谐运动，通过镜子观测，在摆线第一次及第三次经过0刻度位置即“三线重合”时，两次划动小铁片，切割光电门，触发及中止测时计计时；d、记录所得数据，重复b~d步骤，手动测量单摆周期200次。

完成概率统计表，绘制统计直方图。

四实验报告写作提示1．请按报告写作规范进行写作。

随机误差统计规律
小朋友可能不太理解“随机误差统计规律”这么复杂的词呢！不过没关系，让我这个小学生来跟您讲讲我对它的理解。

咱就先说，啥叫随机误差呀？就好比我和小伙伴们一起扔沙包，每次扔出去的距离都不太一样，有时候远，有时候近，这中间的差别就是随机误差。

那统计规律又是啥呢？就好像我们把扔沙包的距离都记下来，然后发现扔得远的次数和近的次数好像有个什么规律似的。

比如说，我第一次扔了5 米，第二次4 米，第三次6 米，这中间的1 米、2 米的差别不就是随机误差嘛。

然后我和小伙伴们都扔了好多次，发现大多数时候扔的距离都在4 米到6 米之间，这难道不是一种规律吗？
再举个例子，老师让我们做数学题，有时候我会不小心算错一个数，这就算是随机误差。

可要是全班同学都做这道题，老师把大家做错的地方都统计起来，说不定就能发现我们容易犯错的规律呢！
您说，这随机误差统计规律是不是挺有意思的？就像在黑暗中找宝藏，每次找到的宝贝都不太一样，但找得多了，就能发现一些线索，知道宝藏大概藏在哪些地方啦！
我觉得呀，搞懂随机误差统计规律能让我们更好地理解生活中的很多事情。

比如说，为啥天气预报有时候不太准？可能就是因为有很多随机误差在里面，但是科学家们通过统计规律，就能让预报越来越准啦！
反正我觉得，虽然这东西一开始挺难理解的，但只要我们多观察、多思考，就一定能搞明白！您觉得呢？。

实 验 报 告5－实验一：实验题目：单摆的设计与研究——测量重力加速度。

实验目的：利用经典单摆公式，给出的器材和对重力加速度的精度要求设计实验，学习应用误差均分原理，选用适当仪器，学习累积放大法的原理运用。

实验原理：1．由一级单摆近似周期公式：gLT π2=得224T L g π=，通过测量单摆周期T,摆长L ，求出重力加速度g 的大小。

2．根据224T L g π=，根据最大不确定度计算，有T T L L g g ∆+∆=∆2 所以：%5.0≤∆L L ，即%5.05.05.0≤+∆+∆dl dl ，有 Δl ≤%×l =0.35cm Δd ≤%×2×d=0.002mm所以：%25.0≤∆TT，有ΔT ≤%×T= 由此可知：l 应用米尺测量，d 用游标卡尺测量即可，5000425.02.0T≈=∆∆人，所以单摆周期应该一组测量50个。

实验器材：米尺，电子秒表，游标卡尺，支架、细线（尼龙绳）、钢球、摆幅测量标尺。

实验步骤：1．用米尺测量摆线长6次；2．用游标卡尺测量小球直径6次；3．利用电子秒表测量单摆50个周期的时间，共6组； 4．记录并分析处理数据，计算重力加速度g 。

数据处理：由L=l+,T=t/50,根据公式224T L g π=，得到合肥地区重力加速度为：2/801.9s m g = 1．对摆线长l （6组数据）的处理：米尺误差分布为正态分布95.0t = 仪∆=0.1cmc=3005.0))1(/()(61=--=∑=-i iAl n n l lu由不确定度合成公式得0.0112()2295095.0=∆+=）（仪。

cku t U Al l则 cm )011.0(65.608l ±= P=2．对摆球半径（6组数据）的处理：游标卡尺误差分布为均匀分布95.0t =仪∆=0.002cm c =30001.0))1(/()(61=--=∑=-i i Ar n n r r u由不确定度合成公式得0.0001()2295095.0=∆+=）（仪。

单摆测定重力加速度实验误差分析－资料类一、关键信息1、实验目的：分析单摆测定重力加速度实验中的误差来源和影响。

2、实验方法：通过理论推导和实际操作数据对比。

3、误差分类：系统误差和随机误差。

4、数据处理方式：采用统计学方法进行分析。

5、改进措施：针对误差来源提出相应的改进方案。

二、协议内容11 引言单摆测定重力加速度实验是物理学中的一个基础实验，其目的是通过测量单摆的周期和摆长来计算重力加速度。

然而，在实验过程中，由于多种因素的影响，实验结果往往存在一定的误差。

本协议旨在对这些误差进行全面的分析，并提出相应的改进措施，以提高实验的准确性和可靠性。

111 实验原理单摆的运动可以用简谐运动的公式来描述，其周期公式为 T ＝2π√（L/g)，其中 T 为单摆的周期，L 为摆长，g 为重力加速度。

通过测量单摆的周期和摆长，即可计算出重力加速度 g ＝4π²L/T² 。

112 误差来源1121 系统误差摆长测量误差：测量摆长时，由于尺子的精度、读数的误差以及摆线的伸缩等因素，可能导致摆长测量值与实际值存在偏差。

周期测量误差：使用秒表测量周期时，人的反应时间、秒表的精度以及计数误差等都会影响周期的测量结果。

摆角误差：理论上单摆的摆动应在小角度（小于 5°）下进行，若摆角过大，单摆的运动将不再是简谐运动，从而导致周期计算的误差。

空气阻力：在实际实验中，单摆运动时会受到空气阻力的作用，使得单摆的能量逐渐损耗，周期变长，从而影响重力加速度的测量结果。

1122 随机误差实验环境的干扰：如振动、气流等外界因素可能对单摆的运动产生随机的影响，导致周期测量的不确定性。

测量的重复性误差：多次测量摆长和周期时，由于操作的细微差异，每次测量结果可能会有所不同。

12 误差分析方法121 理论分析通过对实验原理的推导和公式的变形，分析各个误差因素对实验结果的理论影响。

例如，考虑摆长测量误差对重力加速度计算结果的影响，可以通过对 g ＝4π²L/T² 求导，得出摆长误差与重力加速度误差之间的关系。

实验三单摆实验与偶然误差的统计规律重力加速度是一个重要的地球物理常数。

各地区的重力加速度数值，随该地区的地理纬度和海拔高度不同而不同。

在理论、生产和科学研究中，重力加速度的测定都具有很重要的意义。

本实验用单摆测定重力加速度，同时，通过手控多次测量单摆的周期以验证偶然误差的正态分布规律。

【实验目的】1．了解镜尺、光电计时装置的使用方法；2．掌握用单摆测量重力加速度的方法；*3．从单摆的周期测量值的变化，认识偶然误差的规律性。

【实验仪器】单摆、秒表、光电计时装置、镜尺、钢卷尺、游标卡尺等【实验原理】简单地说，单摆就是由一个不能伸长的轻质细线和悬在该细线下端且体积很小的金属摆球所构成的装置。

要求摆线的长度远大于摆球的直径，摆球质量远大于细线质量的条件。

，单摆装置（如图3-1所示）的调节：调节底座的水平螺丝，使摆线与铅直的立柱平行；调节摆幅测量标尺高度与镜面位置，使得标尺的上弧边中点与顶端悬线夹下平面间距离为50cm；调节标尺平面垂直与顶端悬线夹的前伸部分；调节标尺上部平面镜平面与标尺平面平行，镜面上指标线处于仪器的对称中心。

秒表和光电计时装置均可用来计时。

相关计时装置的使用请参见相应的说明书1．单摆测重力加速度将摆球自平衡位置拉至一边（摆角小于5°）释放，摆球即在平衡位置左右往返作周期性摆动，如图3-2所示。

设摆球的质量为m ，其质心到摆的支点O的距离为lmgθ。

它（摆长）。

作用在摆球上的切向力的大小为sin≈，切向力总指向平衡点O′。

当角θ很小时，则sinθθ图3-1的大小约为mgθ，按照牛顿第二定律，质点的运动方程为ma mg θ=-⇒切22d ml mg dtθθ=-220d gdt lθθ+= （3-1）这是一简谐运动方程，可知简谐振动角频率ω的平方等于g / l ，由此得出l g T ==πω2 gl T π2= 224Tlg π= （3-2） 式中T 为单摆的周期。

实验中，若测出摆长l 和周期T ，则重力加速度g 即可由上式求得。

实验5单摆及随机误差分布实验林一仙 一、实验目的1、 利用单摆测重力加速度；2、 利用单摆验证随机误差的正态分布规律；3、 学习统计直方图的画法并加深对随机误差统计规律的认识；4、 学习用计算平均值法处理数据。

二、实验仪器单摆实验装置一套，米尺，数字毫秒计三、实验原理（一）、如果在一固定点上悬挂一根不能伸长、无质量的线，并在线的末端悬一质量为m 的质点，这就构成了一个单摆。

我们知道单摆的幅角θ很小时，单摆的振动周期T 和摆长L 有如下关系：gL π2=T由于悬线有质量，实验中用小球或圆柱等的质心代替质点，所以以上单摆实际上并不存在，因此实验要求小球或圆柱的质量要远大于悬线的质量，而它的半径或高要远小于悬线的长度，这样质心才能代替质点，并可用（1）式进行计算。

但此时必须将悬挂点到质心的距离作为摆长 。

若L 固定，测出T 即可求出g 。

L g 224T=π（二）、测量的最终目的是为了求得被测物理量的真实大小，但是由于误差的存在，真值无法绝对准确地测得。

即使在排除了系统误差之后，也只有通过一系列的测量，取得一组足够多的数据之后，进行统计处理，来求得最接近真值的数值和这个数值接近真值的程度。

统计直方图是用实验研究某一物理现象统计分布规律的一种粗略的方法，它简便、直观。

在许多场合，尤其是在被研究的现象的规律完全无知的情况下，可作为一种初步分析手段。

下面介绍如何作出测量数据的统计直方图。

对某一物理量在相同条件下进行n 次重复测量（n ≥100），得到n 个结果X 1，X 2，…X n ， 先找出它的最小值和最大值，可确定一个区间[X ノ，X ノノ]，这个区间包含了全部测量数据，将区间[X ノ，X ノノ]分成若干个，比如K 个，则每个小区间的间隔△为：KX '-X ''=∆ 统计测量结果出现在X ノ+△，X ノ+2△，…，X ノ+K △各个小区间的次数称为频数用Δn 表示。

频数Δn 与测量次数n 之比，即Δn/n ，称为测量值在该区间内出现的相对频数 。

单摆实验报告的误差分析单摆实验是物理实验中常见的一个实验，也是考试中的重要实验之一。

在单摆实验中，我们通常通过测量单摆摆动的周期和长度，来分析摆动的频率和重力加速度的大小之间的关系。

在实验过程中，我们可能会遇到各种误差，包括系统误差和随机误差等。

本文将从误差类型和误差来源两方面来分析单摆实验中可能存在的误差。

误差类型：1.系统误差系统误差是由于实验仪器本身的设计、制造或使用上的限制而引起的误差。

在单摆实验中，可能存在的系统误差包括：摆线的摆动不是完全简谐：在实验过程中，摆线的弹性可能会对单摆的运动造成影响，使得摆动的周期不是完全简谐的，从而影响测量结果的准确性。

摆线的长度是否准确：单摆的长度是影响单摆运动最重要的因素之一，如果长度测量不准确，就会影响测量结果的准确性。

2.随机误差气温、气压、湿度等环境参数的更改：这些环境参数会影响单摆运动的速度和周期，从而影响测量结果的准确性。

实验者手误：由于实验过程中实验者的操作不精确或不稳定，可能会导致一些误差的产生。

误差来源：人为误差是实验中最常见的误差来源之一。

在单摆实验中，人为误差可能会来自于实验者的认知误差、测量误差和操作误差等。

为了降低人为误差的影响，实验者应该尽可能准确地测量摆线的长度，并在测量结果前多次重复实验以得到更加准确的数据。

仪器误差是指由于仪器的精度、刻度值等制约因素导致的误差。

在单摆实验中，仪器误差可能会来自于摆线的质量、长度等因素，以及实验仪器的制造精度等因素。

为了减少仪器误差的影响，实验者应该仔细选择测量仪器，并对不同的仪器进行比较以确定最好的选择。

3.环境误差环境误差是指由于实验环境（包括气温、湿度等因素）和外部因素（如风力和地震等）而导致的误差。

在单摆实验中，这些环境误差可能会影响到单摆的运动，从而影响测量结果的准确性。

为了减少环境误差的影响，实验者应该尽可能在相同的温度、湿度等环境条件下进行实验，并尽可能避免突发的外部因素对实验造成干扰。

一、实验目的1. 了解随机误差的基本概念和统计分布规律。

2. 通过实验验证随机误差的统计分布特性。

3. 掌握利用统计方法分析随机误差的方法。

二、实验原理随机误差是指由于测量条件难以完全控制而引起的偶然性误差。

在物理测量中，当重复测量次数足够多时，随机误差通常服从或接近正态分布。

正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有以下特点：1. 有界性：随机误差的绝对值（幅度）均不超过一定的界限。

2. 单峰性：绝对值（幅度）小的随机误差总要比绝对值（幅度）大的随机误差出现的概率大。

3. 对称性：绝对值（幅度）等值而符号相反的随机误差出现的概率接近相等。

4. 抵偿性：当等精度重复测量次数足够大时，所有测量值的随机误差的代数和为零。

本实验通过测量时间间隔，利用统计方法分析随机误差的分布规律。

三、实验仪器与设备1. 电子秒表或毫秒计2. 摆钟或节拍器等具有固定周期事件的装置3. 数据处理软件（如Excel、Origin等）四、实验步骤1. 检查实验仪器是否能正常工作，秒表归零。

2. 将摆钟或节拍器上好发条使其摆动，用秒表测量节拍器四个周期所用时间，在等精度条件下重复测量150-200次，记录每次的测量结果。

3. 将测量数据输入数据处理软件，进行数据处理。

4. 绘制测量数据的直方图，观察其分布规律。

5. 利用数据处理软件拟合正态分布曲线，并与直方图进行比较。

6. 分析随机误差的分布规律，验证正态分布特性。

五、实验结果与分析1. 直方图分析将实验数据输入数据处理软件，绘制直方图，观察其分布规律。

根据直方图，可以得出以下结论：（1）随机误差的绝对值（幅度）均不超过一定的界限，符合有界性。

（2）随机误差的分布呈现单峰性，绝对值（幅度）小的随机误差出现的概率较大。

（3）随机误差的分布对称，符合对称性。

2. 正态分布拟合利用数据处理软件拟合正态分布曲线，并与直方图进行比较。

根据拟合结果，可以得出以下结论：（1）随机误差的分布基本符合正态分布，其概率密度函数呈钟形曲线。

单摆实验【实验目的】1．通过对单摆周期的大量精密测量，利用偶然误差统计分布规律验证高斯误差分布定律，从而加深对偶然误差统计规律的认识。

2．利用单摆测重力加速度，掌握用不确定度分析讨论测量结果的方法，学会测量结果表达式的正确书写。

【实验仪器】GM-1单摆实验仪（编号）数字毫秒计（编号）米尺【实验原理】一、利用偶然误差统计分布规律验证高斯误差分布定律构思：对偶然误差服从正态分布规律的最好验证是统计检验。

就是在一定条件下进行大量（几百次或更多）的精密测量，将其偏差的分布与理论值相比较，即是将偏差出现在一定区间的实际个数与理论计算的预期个数相比较，如果两者一致，则可以认为正态分布规律是成立的。

方案：1、统计直方图⋯⋯2、误差的置信概率⋯⋯二、利用单摆测重力加速度构思：⋯⋯方案：⋯⋯【实验内容及步骤】一、利用偶然误差统计分布规律验证高斯误差分布定律（自拟）二、利用单摆测重力加速度（自拟）【数据记录及处理】一、利用偶然误差统计分布规律验证高斯误差分布定律单摆次数累计时间 (s)周期（ T/s ）偶然误差（T/s ）T（s ）T2 (s 2）10.668 1.355-0.02200.0220.0004842 1.400 1.3810.00400.0040.0000163 2.023 1.3870.01000.0100.0001004 2.781 1.361-0.01600.0160.0002565 3.410 1.3970.02000.0200.0004006 4.142 1.369-0.00800.0080.0000647 4.807 1.373-0.00400.0040.0000168 5.511 1.3940.01700.0170.0002899 6.180 1.358-0.01900.0190.00036110 6.905 1.3830.00600.0060.000036 117.538 1.3830.00600.0060.000036 128.288 1.365-0.01200.0120.000144 138.921 1.3950.01800.0180.000324 149.653 1.369-0.00800.0080.000064 1510.316 1.375-0.00200.0020.000004 1611.022 1.3900.01300.0130.000169 1711.691 1.362-0.01500.0150.000225 1812.412 1.3830.00600.0060.000036 1913.053 1.3800.00300.0030.000009 2013.795 1.368-0.00900.0090.000081 2114.433 1.3920.01500.0150.000225 2215.163 1.369-0.00800.0080.000064 2315.825 1.3770.00000.0000.000000 2416.532 1.3870.01000.0100.000100 2517.202 1.365-0.01200.0120.000144 2617.919 1.3830.00600.0060.000036 2718.567 1.3780.00100.0010.000001 2819.302 1.370-0.00700.0070.000049 2919.945 1.3900.01300.0130.000169 3020.672 1.370-0.00700.0070.000049 3121.335 1.3780.00100.0010.000001 3222.042 1.3840.00700.0070.000049 3322.713 1.367-0.01000.0100.000100 3423.426 1.3830.00600.0060.000036 3524.080 1.3770.00000.0000.000000 3624.809 1.371-0.00600.0060.000036 3725.457 1.3890.01200.0120.000144 3826.180 1.371-0.00600.0060.000036 3926.846 1.3780.00100.0010.000001 4027.551 1.3830.00600.0060.000036 4128.224 1.368-0.00900.0090.000081 4228.934 1.3820.00500.0050.000025 4329.592 1.3780.00100.0010.000001 4430.316 1.372-0.00500.0050.000025 4530.970 1.3870.01000.0100.000100 4631.688 1.372-0.00500.0050.000025 4732.357 1.3780.00100.0010.000001 4833.060 1.3820.00500.0050.000025 4933.735 1.370-0.00700.0070.0000495034.442 1.3810.00400.0040.0000165135.1055235.823平均值（ s） 1.377标准误差：0.0098直方图：略误差的置信概率：略结论：⋯⋯二、利用单摆测重力加速度数据处理过程详见教材P19 例 1-3g (g g ) m / s2E g%【思考和讨论】你所作的统计直方图是否大致按正态分布的？通过置信概率的计算，能否验证高斯误差分布定律？若有出入，试分析其原因。

实验报告：单摆的设计和研究张贺 PB07210001一、实验题目：单摆的设计和研究二、实验目的：利用经典的单摆公式、给出的器材和对重力加速度g 的测量精度的要求，进行简单的设计性实验基本方法的训练。

学会应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，学习积累放大发的原理及应用。

分析基本误差的来源，提出进行修正和估算的方法。

三、实验仪器:游标卡尺、米尺、电子秒表、直架、细线（尼龙线）、钢球、摆幅测量标尺 四、实验原理：1.一级近似周期公式为：2242Tlg g l T ππ=⇒=2.不确定度均分原理：TTl l g g ∆+∆=∆2 要使 %1<∆gg则%21<∆l l%212<∆T T得47>n不妨取50=n3.修正的单摆周期公式：]162)21(12201[2200022θρρπ++++-+=m m l d m m ld g l T 其中T 为单摆震动周期，l 、m 0是单摆的线长和质量，d 、m 、ρ是摆球的直径、质量和密度，0ρ是空气密度，θ是摆角五、实验内容：1.用误差均分原理设计一单摆装置，测量重力加速度g ，测量精度要求%1<∆gg. 2.对重力加速度g 的测量结果进行误差分析和数据处理，检验实验结果是否达到设计要求。

3. 自拟实验步骤研究单摆周期与摆长、摆角、悬线和质量和弹性系、空气阻力等因素的关系，试分析各项误差的大小。

六、实验重点：根据测量精度的要求，用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法。

七、实验步骤：1.将细线一端固定在支架上，另一端连接钢球。

2.用米尺测量摆线长l ',根据所需精度估算单摆周期。

3.用游标卡尺测量钢球直径d ，用秒表测量摆动50个周期所用的时间t 。

4.步骤3进行5次。

5.处理数据，计算加速度。

八、数据处理： 1.摆线长l '：68.631='l 72.632='l 71.633='l （单位：cm ）平均值 703.63=l （单位：cm ）标准差 0208.01=σ （单位：cm ）平均值标准差 0120.01=u （单位：cm ） 不确定度 0159.00120.032.111=⨯==tu u A （单位：cm ）（P=0.68 n=3 t=1.32）2.钢球直径d ：00.221=d 94.212=d 92.213=d （单位：mm ） 平均值 953.21=d （单位：mm ）标准差 0416.02=σ （单位：mm ）平均值标准差 0240.02=u （单位：mm ） 不确定度 0317.00240.032.122=⨯==tu u A （单位：mm ）（P=0.68 n=3 t=1.32）3.5次测量50个周期的时间t ：65.801=t75.802=t 63.803=t 78.804=t 59.805=t （单位：s ）平均值 680.80=t（单位：s ）标准差 0812.03=σ （单位：s ）平均值标准差 0363.03=u （单位：s ）不确定度 0414.00363.014.133=⨯==tu u A （单位：s ）（P=0.68 n=5 t=1.14）4.计算重力加速度g ：0065.6482953.2110703.632=+⨯=+'=d l l （单位：mm ）6136.150==tT （单位：s ） ==224Tl g π9.825 （单位：m/s 2）5.计算A 类不确定度：由224T lg π=得 232222124⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t u l u u g u A A A A计算得A 类不确定度 =A u 0.0104 （单位：m/s 2）6.计算B 类不确定度：米尺精度cm 0.05≈∆米； 游标卡尺精度cm 0.002≈∆卡； 电子秒表精度s 0.01≈∆秒； 测量人员判定计时开停误差s 0.2≈∆人；计算得B 类不确定度06226.0=B u （单位：m/s 2 P=0.68）7.计算测量值的合成标准不确定度：0631.02268.0=+=B A u u u (单位：m/s 2 )126.01262.0268.095.0≈==u u (单位：m/s 2)8.判断g 的测量精度是否符合要求： 由ttl d l l g g ∆+∆+'∆=∆22计算得 2/0127.0s m g =∆≈∆gg0.13%<1% 符合精度要求9.测量结果的完整表达式：126.0825.9±=g (单位：m/s 2)九、误差分析： 1.实验仪器的系统误差 2.外界环境因素影响 3.实验人员心理因素4.不完全是等精度测量。