货郎担问题 其他应用

旅行商问题的中心辐射算法与应用摘要：针对经典旅行商问题，本文提出了中心辐射算法，该算法首先计算节点中心，然后比较节点与中心连线的与横坐标轴夹角，再按角度从小到大按顺序依次连接节点，完成了走行路线设计。

算例分析并与贪心算法结果比较。

表明该算法具有简单实用性，能够对具体问题实现快速计算，为工程问题分析提供基础。

关键词：旅行商问题；中心辐射算法；可视化设计旅行商问题（traveling salesman problem，简称为tsp），也称为货郎担问题，是著名的组合优化问题，也是一个多局部最优解的问题。

它是由爱尔兰数学家sir william rowan hamilton和英国数学家thomas penyngton kirkman在19世纪提出的。

tsp是这样提出的[1]：假设有一个旅行商人要拜访n个城市，已知这些城市之间的距离，为了每个城市都会到达并且只拜访一次，而且最终要回到原来出发的那个城市，那么他需要怎么选择才能够得到一条最优路径呢？路径的选择目标是要求得的路径总路程为所有路径之中的最小值。

换言之，数据包括一个边权值是整数的，且边数有限的完全图。

目标是找到一个边权值之和最小的哈密尔顿回路。

1954年，tsp问题研究获得重大突破，george dantzig等描述了一种求解tsp的方法；50年后，2004年，获得一个包含多座城市的tsp问题的解决办法。

tsp问题目前研究主要有精确算法和近似算法。

精确算法主要包括回溯法，分支定界法和动态规划算法；能保证得到最优解，但是运行时间复杂度是呈指数增加，难以适应大规模计算的要求；近似算法则只能求得近似解，称为次优解。

包括构造算法和环路改进算法等。

构造算法从某个非法解开始，通过某种增广策略逐步改变该解，直到得到一个合法解为止。

这类算法包括最近邻算法、贪心算法等。

环路改进算法则在给定初始的合法解之后，使用某种策略来改进初始解，这些策略包括局部搜索、模拟退火、遗传算法等，其中最为简单和有效的方法为局部搜索法。

模拟退火算法模拟退火是一种通用概率算法，目的是在固定时间内在一个大的搜寻空间内寻求给定函数的全局最优解。

它通常被用于离散的搜索空间中，例如，旅行商问题。

特别地，对于确定的问题，模拟退火算法一般是优于穷举法。

这是由于我们一般只需得到一个可接受的最优解，而不是精确的最优解。

退火一词来源于冶金学。

退火（见图1）是将材料加热后再经特定速率冷却，目的是增大晶粒的体积，并且减少晶格中的缺陷。

材料中的原子原来会停留在使内能有局部最小值的位置，加热使能量变大，原子会离开原来位置，而随机在其他位置中移动。

退火冷却时速度较慢，使得原子有较多可能可以找到内能比原先更低的位置。

因此，我们将热力学的理论应用到统计学上，将搜寻空间内每一点想象成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。

而模拟退火算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。

模拟退火原理最早是 S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt 和 M. P. Vecchi 在1983年所创造的。

而 V . Černý 在1985年也独立发明了此算法。

1. 问题描述数学上的最优化问题一般描述为如下形式：()()minimize()g 0,1,2,,subject to 0,1,2,,i i f x x i m h x i p≤=⎧⎪⎨==⎪⎩ 其中，():R n f x R →称作问题的目标函数，()g 0i x ≤称作问题的不等式约束条件，()0i h x =称作问题的等式约束条件。

寻求上述问题的最优解的过程就类似于从热动力系统的任意一个初始状态向内能最小的状态转移的过程，即退火过程。

2. 模拟退火算法基本思想模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有图1 物理退火原理图序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

实验一找最大和最小元素与归并分类算法实现（用分治法）一、实验目的1．掌握能用分治法求解的问题应满足的条件；2．加深对分治法算法设计方法的理解与应用；3．锻炼学生对程序跟踪调试能力；4．通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。

二、实验内容1、找最大和最小元素输入n 个数，找出最大和最小数的问题。

2、归并分类将一个含有n个元素的集合，按非降的次序分类（排序）。

三、实验要求（1）用分治法求解问题（2）上机实现所设计的算法；四、实验过程设计（算法设计过程）1、找最大和最小元素采用分治法，将数组不断划分，进行递归。

递归结束的条件为划分到最后若为一个元素则max和min都是这个元素，若为两个取大值赋给max，小值给min。

否则就继续进行划分，找到两个子问题的最大和最小值后，比较这两个最大值和最小值找到解。

2、归并分类使用分治的策略来将一个待排序的数组分成两个子数组，然后递归地对子数组进行排序，最后将排序好的子数组合并成一个有序的数组。

在合并过程中，比较两个子数组的首个元素，将较小的元素放入辅助数组，并指针向后移动，直到将所有元素都合并到辅助数组中。

五、源代码1、找最大和最小元素#include<iostream>using namespace std;void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin); int main() {int n;int left=0, right;int fmax, fmin;int num[100];cout<<"请输入数字个数：";cin >> n;right = n-1;cout << "输入数字:";for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}MAXMIN(num, left, right, fmax, fmin);cout << "最大值为：";cout << fmax << endl;cout << "最小值为：";cout << fmin << endl;return 0;}void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin) { int mid;int lmax, lmin;int rmax, rmin;if (left == right) {fmax = num[left];fmin = num[left];}else if (right - left == 1) {if (num[right] > num[left]) {fmax = num[right];fmin = num[left];}else {fmax = num[left];fmin = num[right];}}else {mid = left + (right - left) / 2;MAXMIN(num, left, mid, lmax, lmin);MAXMIN(num, mid+1, right, rmax, rmin);fmax = max(lmax, rmax);fmin = min(lmin, rmin);}}2、归并分类#include<iostream>using namespace std;int num[100];int n;void merge(int left, int mid, int right) { int a[100];int i, j,k,m;i = left;j = mid+1;k = left;while (i <= mid && j <= right) {if (num[i] < num[j]) {a[k] = num[i++];}else {a[k] = num[j++];}k++;}if (i <= mid) {for (m = i; m <= mid; m++) {a[k++] = num[i++];}}else {for (m = j; m <= right; m++) {a[k++] = num[j++];}}for (i = left; i <= right; i++) { num[i] = a[i];}}void mergesort(int left, int right) { int mid;if (left < right) {mid = left + (right - left) / 2;mergesort(left, mid);mergesort(mid + 1, right);merge(left, mid, right);}}int main() {int left=0,right;int i;cout << "请输入数字个数：";cin >> n;right = n - 1;cout << "输入数字:";for (i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}mergesort(left,right);for (i = 0; i < n; i++) {cout<< num[i];}return 0;}六、运行结果和算法复杂度分析1、找最大和最小元素图1-1 找最大和最小元素结果算法复杂度为O(logn）2、归并分类图1-2 归并分类结果算法复杂度为O(nlogn）实验二背包问题和最小生成树算法实现（用贪心法）一、实验目的1．掌握能用贪心法求解的问题应满足的条件；2．加深对贪心法算法设计方法的理解与应用；3．锻炼学生对程序跟踪调试能力；4．通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。

在企业生产和日常生活中，人们总是希望用最少的人力、物力、财力和时间去办更多的事，这就是所谓的最优化问题。

线性规划方法是解决最优化问题的有效方法之一，因此受到人们的普遍关注。

在企业生产过程中，生产计划安排直接影响到企业的经济效益，而生产计划本质就是在目标一定时，对于人力、时间和物质资源的优化配置问题。

1。

综述了最优化方法，归纳了最优化闯题中线性规划和非线性规划模型的解法，并给出了相应的matlab求解代码。

2。

提出了基于信息增益率的用电客户指标选择方法，根据信息增益率的大小选择对分类有贡献的指标。

关键词：Matlab，最优化方法，应用举例In enterprise production and daily life, people always hope with the least amount of human, material and financial resources and time to do more things, this is the so-called optimization problem. Linear programming method is to solve the optimal problem, so one of the effective method by people's attention. In enterprise production process, production plan directly affect the enterprise economic benefit, but in essence is the production plan for the target certain human, time and material resources optimization allocation problem.1·Studying the optimization,summing up the solutions ofoptimization problem for both linear and non-linear programming model and proposing the matlabcode．2·Proposing a new way based on information-gain-ratio to choose the powercustomer indices,selecting the indices which are more contributive to theclassification,in order to avoid over learning。

利用LINGO建立最优化模型洪文1，朱云鹃1，金震1，王其文21（安徽大学商学院 合肥 230039）2（北京大学光华管理学院 北京 100871）摘 要：本文借助于最优化软件LINGO建立了最小树、最短路、最大流、最小费用流和货郎担问题的LINGO模型，并对模型中的难点给出了注释。

利用本文提供的模型，可以很容易地求出上述5个最优化问题的最优解。

关键词：最小树、最短路、最大流、最小费用流、货郎担问题、LINGO中图分类号：0211.6 文献标识码：A 文章编号：0 引言求解最小树、最短路、最大流、最小费用流和货郎担问题的方法虽然很多，但是利用最优化求解软件LINGO建立相应的模型来求解上述5个问题是一种新的尝试。

本文建立的模型有两个突出的特点。

第一个特点是模型的数据与公式完全分离，这样使得问题的求解变得特别方便（对于不同的问题只要更换数据即可）。

第二个特点是这五个模型都是利用最优化求解软件LINGO编写而成，可进行快速求解。

1 LINGO简介LINGO是一个简单而实用的最优化软件。

利用线性和非线性最优化的方法，LINGO可以用公式简明地表示复杂的规划问题，并可以快速地求出问题的最优解。

LINGO是由美国芝加哥LINDO系统公司研制。

该公司根据用户信息、线性和非线性规划的理论和方法及计算机发展的需要不断推出新的版本。

目前LINGO已成为世界上最为流行的最优化软件之一。

LINGO在我国已经有了相当多的用户。

它的主要特点是：1）LINGO含有一系列的接口函数。

这些接口函数可用在文本文件、电子表格和数据库中，可与外部的输入/输出源进行连接。

2）LINGO可以直接嵌入到Excel中，也可以将Excel嵌入到LINGO模型中。

这样就可以将数据与模型分离，使得模型的维护和调试变得非常容易。

3）LINGO使用Windows的窗口展开优化分析功能，使用对话框展示各种功能。

清晰、直观、易学易用。

4）LINGO具有强大的计算功能。

标题：算法分支限界法在货郎担问题中的应用摘要：分支限界法是一种高效的解决组合优化问题的算法，本文将详细介绍分支限界法在货郎担问题中的应用，包括问题的描述、算法原理、实现步骤以及案例分析等内容。

一、问题描述货郎担问题，又称为旅行商问题（TSP），是一个经典的组合优化问题。

问题的描述为：有n个城市，货郎担需要从一个城市出发，经过所有的城市且只经过一次，最后回到出发的城市，要求找到一条最短的路径。

这是一个NP-hard问题，传统的穷举法在城市数量较大时难以找到最优解。

二、算法原理分支限界法是一种以深度优先搜索为基础的优化算法。

其核心思想是根据当前问题状态的下界（或上界）对搜索空间进行剪枝，从而减少搜索空间，提高搜索效率。

在货郎担问题中，分支限界法通过动态规划的方式记录已经访问过的城市，从而避免重复计算，同时利用启发式信息（如最近邻居、最小生成树等）进行路径选择，不断更新路径的下界，直至找到最优解或者搜索空间被完全剪枝。

三、实现步骤1. 初始化：设置初始的城市路径、已访问城市集合、路径长度、下界等参数。

2. 搜索：利用深度优先搜索，根据当前路径确定下一个访问的城市，并更新路径长度和下界。

3. 剪枝：根据当前路径长度与下界的关系，对搜索空间进行剪枝。

4. 回溯：如果搜索路径无法继续扩展，进行回溯，更新路径状态。

5. 结束条件：当所有城市都被访问过一次后，得到一条完整的路径，更新最优解。

四、案例分析假设有5个城市，它们的坐标为：A(0, 0)、B(1, 2)、C(3, 1)、D(5, 3)、E(4, 0)利用分支限界法求解货郎担问题，我们按照以下步骤进行计算：（1）初始化：选择一个城市作为出发点，并初始化已访问城市集合、路径长度和下界。

（2）搜索：根据当前路径选择下一个访问的城市，并更新路径长度和下界。

（3）剪枝：根据当前路径长度与下界的关系，进行搜索空间的剪枝。

（4）回溯：如果搜索路径无法继续扩展，进行回溯，更新路径状态。

寻求中国货郎担问题最短回路的多项式时间算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：货郎担问题是一种经典的组合优化问题，旨在寻找一条路径，将货物从起点送达终点，并返回原位，使得路径中的总权值最小。

在中国货郎担问题中，货郎担通常是指一种人力车，货郎担问题也被称为旅行商问题或者是商旅者问题。

这个问题在实际应用中有着广泛的应用，例如物流配送、电路设计、航空航线规划等领域。

为了寻找中国货郎担问题的最短回路，数学家和计算机科学家们一直在寻找高效的算法。

多项式时间算法是一种能在多项式时间内完成的算法，它的时间复杂度随问题规模的增长而多项式增加。

在中国货郎担问题中，一种基于动态规划思想的多项式时间算法被广泛应用。

动态规划是一种常用的解决最优化问题的算法思想，它将一个大问题分解为多个子问题，通过保存已解决子问题的解来避免重复计算，从而减少时间复杂度。

在中国货郎担问题中，可以通过构建状态转移矩阵，来快速寻找最优解。

具体来说，对于n个城市的货郎担问题，我们可以定义一个二维状态转移矩阵dp[i][j]，其中i表示当前访问的城市集合，j表示当前所在的城市。

dp[i][j]的含义是，从起点出发，经过城市i中的所有城市一次后，在城市j处的最短路径长度。

初始时，dp[0][0]=0，表示从起点出发到起点的路径长度为0。

接下来，我们通过状态转移方程来更新dp数组。

假设当前状态为dp[S][j]，表示已访问过城市集合为S，当前在城市j处。

我们可以遍历所有可能的下一个城市k，计算从S∪{k}经过j到k的距离，即dist[j][k]。

则状态转移方程为：dp[S∪{k}][k] = min{dp[S][j]+dist[j][k]} (j∈S)最终，我们寻找dp[All][0]的最小值，其中All表示所有城市的集合，即找到从起点出发，经过所有城市一次后返回起点的最短路径长度。

通过动态规划的思想，我们可以在多项式时间内计算出中国货郎担问题的最短回路。

中国计量学院本科毕业设计（论文）哈密尔顿图的判定及应用Judgement and application of Hamiltongraph学生姓名徐杰一村学号0900801110学生专业信息与计算科学班级 09信算1班二级学院理学院指导教师陈琴中国计量学院2013年5月郑重声明本人呈交的毕业设计论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、图片资料真实可靠。

尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。

对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。

本学位论文的知识产权归属于培养单位。

学生签名：日期：分类号：O157 密级：公开UDC：62 学校代码：10356中国计量学院本科毕业设计（论文）哈密尔顿图的判定及应用Judgement and application of Hamiltongraph作者徐杰一村学号0900801110申请学位理学学士指导教师陈琴学科专业信息与计算科学培养单位中国计量学院答辩委员会主席评阅人2013年5月致谢论文的撰写工作已经基本上完成，这段时间也经历了很多的波折。

从论文开始到结束，一直是在陈琴老师的指导下完成的，可以说没有老师的悉心指导，就没有这篇论文的诞生，在此，衷心感谢陈琴老师对我的指导。

感谢老师不厌其烦的帮我修正论文中的错误，也感谢老师在我失去信心时的谆谆教诲。

陈琴老师的严谨教学，用于创新，善于发现的精神不但在学习上为我树立了榜样，也给我未来的生活带来了帮助。

再次感谢陈琴老师对我的指导！同时，也感谢理学院老师的辛勤教育，感谢所有给我帮助的同学和朋友们。

哈密尔顿图的判定及应用摘要：哈密尔顿图的研究是图论中不可或缺的一部分，这个问题的研究已经应用到了各个领域。

合理的利用哈密尔顿图的结论，不仅可以节约大量的时间，更可以降低发展的成本。

因此很多学者致力于哈密尔顿图的问题研究，也得到了很多了不起的突破。

一、教案基本信息教案名称：幼儿园大班《货郎》教案课时安排：25分钟教学目标：1. 让幼儿通过观察和体验，了解货郎的工作内容和买卖过程。

2. 培养幼儿的观察力、想象力和表达能力。

3. 培养幼儿的社交技能和合作精神。

4. 培养幼儿对传统文化的兴趣和尊重。

教学准备：1. 准备一辆小车或手推车，扮演货郎的角色。

2. 准备一些玩具或物品，作为货郎的货物。

3. 准备一块布或地毯，作为市场或交易场所。

4. 准备一些简单的交易工具，如钱包、钱等。

二、教学内容与步骤1. 引入话题（5分钟）教师以货郎的角色出现，推着小车进入教室，引起幼儿的兴趣和好奇心。

教师可以展示一些货物，与幼儿进行简单的互动，询问他们是否想要购买。

2. 讲述故事（5分钟）教师讲述《货郎》的故事，通过插图或实物展示，让幼儿了解货郎的工作内容和买卖过程。

故事可以简短有趣，突出货郎的辛勤劳动和乐观精神。

3. 角色扮演（5分钟）教师组织幼儿进行角色扮演，一部分幼儿扮演货郎，一部分幼儿扮演顾客。

让幼儿通过实际操作，体验买卖过程，培养他们的观察力、想象力和表达能力。

4. 小组活动（5分钟）教师将幼儿分成小组，每组选择一个角色，如货郎、顾客、老板等。

每组根据故事情节，进行小组讨论和表演，培养幼儿的社交技能和合作精神。

5. 总结与反思（5分钟）教师引导幼儿总结本次活动的内容和收获，让幼儿分享自己的感受和体验。

教师可以与幼儿讨论货郎的工作意义和价值，培养幼儿对传统文化的兴趣和尊重。

三、教学评价教师可以通过观察幼儿在活动中的参与程度、表达能力和合作精神，对幼儿进行评价。

教师还可以通过与幼儿的对话和讨论，了解他们对故事和角色的理解程度，以及对传统文化的认识。

四、教学延伸教师可以组织幼儿进行绘画或手工制作，让他们用自己的方式表达故事情节和角色形象。

教师还可以引导幼儿进行家庭访问或社区调查，了解现实生活中货郎的工作情况，培养幼儿对社会的认识和关注。

五、教学资源1. 《货郎》故事书或插图2. 货郎角色扮演服装和道具3. 交易工具，如钱包、钱等4. 绘画或手工制作材料六、教学活动1. 货郎游戏（5分钟）教师组织幼儿进行货郎游戏，让幼儿扮演货郎，推着小车四处叫卖。

货郎担问题分支与限界法货郎担问题是一个经典的优化问题，涉及到如何在给定负重限制下，选择携带的物品，使得总价值最大。

该问题有多种解决方法，其中分支与限界法是一种常用的方法。

以下是对分支与限界法的详细解释：一、问题的概述货郎担问题（Knapsack Problem）是一种组合优化问题，旨在确定给定一组物品，如何选择才能使得在满足负重限制的前提下获得最大的总价值。

这个问题在现实生活中有很多应用，如资源分配、时间安排、物流配送等。

二、分支与限界法分支与限界法是一种启发式搜索方法，用于求解复杂的组合优化问题。

货郎担问题可以通过构建状态树来表示，其中每个节点表示一种可能的物品组合，树的深度表示总重量，节点的价值表示该组合的总价值。

分支与限界法通过不断分支和剪枝来缩小状态树的搜索范围，从而提高求解效率。

1. 分支：在状态树的搜索过程中，每次将当前节点进行拆分，生成两个或多个子节点，每个子节点表示一种可能的物品组合。

分支的依据是选择哪种物品继续搜索，或者选择哪些物品组合起来作为一个整体进行搜索。

2. 限界：在分支过程中，对每个子节点设置一个界限值，用于判断是否需要继续搜索该子节点。

界限值的计算方法有多种，常见的有最大价值界限和最小重量界限。

最大价值界限是将当前节点的价值与子节点的价值进行比较，如果子节点的价值小于当前节点的价值，则剪枝该子节点。

最小重量界限是将当前节点的重量与子节点的重量进行比较，如果子节点的重量大于当前节点的重量，则剪枝该子节点。

3. 回溯：在搜索过程中，如果发现当前节点的总价值小于已找到的最优解，则回溯到上一个节点，继续搜索其他分支。

三、算法流程1. 初始化：设置根节点作为初始节点，将其加入到待搜索节点列表中。

2. 主循环：重复以下步骤直到待搜索节点列表为空：a. 从待搜索节点列表中取出一个节点；b. 如果该节点已经搜索过（即其总价值小于已找到的最优解），则跳过该节点；c. 否则，对该节点进行分支；d. 将分支生成的子节点加入到待搜索节点列表中；e. 如果该节点的总价值大于已找到的最优解，则更新最优解；f. 将该节点标记为已搜索；3. 输出最优解。

淮北师范大学2013届学士学位论文利用图论知识解决实际问题的方法探究学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向离散数学学生姓名杨波学号20091101179指导教师姓名刘楠楠指导教师职称讲师2013年3月25日利用图论知识解决实际问题的方法探究杨波（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要图论是数学的一个分支,是近年来发展迅速而又应用广泛的一门新兴学科。

随着科学的进步，图论知识越来越贴近于生产和生活，所以利用图论知识来解决实际问题又成为当今的一大热点。

着色、绘图、运输最短路径、集合等都与图论知识离不开。

本课题将重点利用图论知识来解决实际生活、生产中的问题。

本文首先介绍了图的基本概念，对图论所涉及的基本知识进行简单的阐述，使读者对图论知识有一定的了解；再介绍图论中两种特殊的图形：欧拉图和哈密顿图，并用它们分析如何解决最短路问题和货郎担问题；然后介绍着色问题以及其与实际生活的联系；最后通过实例来说明图论知识在日常生产、生活中的运用。

关键词图论，欧拉图，哈密顿图，最短路径，着色问题, 应用The method of using graph theory knowledge to solve practical problemsYang Bo（College of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000）AbstractGraph theory is a branch of mathematics that has been developed rapidly and used widely in recent years. With the progress of science, graph theory is increasingly close to the production and life, so using the knowledge of graph theory to solve practical problems has become a focus today. Coloring, drawing, the shortest path of transportation cannot be separated from graph theory knowledge. The article lays press on the using of graph theory to solve the practical problems in production knowledge in real life.This article first introduces the basic concept of graph, and make a further introduction to the basic knowledge of graph theory which involved a simple elaboration, then the reader can have a certain knowledge of graph theory knowledge; Then two kinds of special graphics are referred to: the Eulerian graph and Hamiltonian graph, along with their analysis of how to solve the problem of the short circuit and traveling salesman problem. Then the article discuss the coloring problem and its links with real life; Finally by an example to illustrate the application of graph theory knowledge in daily life and production.Keywords Graph theory, Eulerian graph, Hamiltonian graph, shortest paths,coloring, application目录引言 (1)（一）预备知识 (1)1 图的基本概念 (1)2 通路与回路 (4)3 图的连通性 (6)4 图的矩阵表示 (8)（二）欧拉图与哈密顿图 (10)1 欧拉图 (10)2 哈密顿图. (10)3 最短路问题与货郎担问题. (13)（三）着色 (16)1 点着色 (16)2 边着色 (16)（四）图论知识在实际生活、生产中的应用 (18)1 哥尼斯堡七桥问题 (18)2 哈密顿图的实际应用 (19)3 教师如何分配课时问题 (20)结论 (21)参考文献 (21)致谢 (23)引言在现实生活中，我们会遇到很多复杂的问题，介于此我们希望用到我们所学过的数学方法去简化它，优化它和解决它。