05参数估计基础

第五讲：参数 估计基础
现实中的研究过程
总体
样 本
样本统计量
例如：样本均 值、比例、方 差
统计推断（statistical inference）
采用抽样研究的方法，由某总体中随 机抽取一个有代表性的样本，并根据 样本提供的信息（统计量）推断总体 特征、性质（参数）的过程称为统计 推断
统计推断（statistical inference）
在上个章节中我们讨论了药物的毒理试验， 已知其致死率为1/3；在观察试验动物时， 动物的死亡率并非全都是1/3，有时并没有 观察到死亡，有时所有动物都死亡 显然，由于个体差异和偶然性的影响，样 本率通常也和总体情况不同 由抽样造成样本率与总体率的差异称为率 的抽样误差

样本率的抽样分布 (sampling distribution of rate)
率波动，样本含量n越大，这种波动越小 当n的值充分大时，而且p不是很极端时(np与n(1p)均大于5)，p的分布就近似于均数为p，标准差 为 p 的正态分布。 当总体率p＝0.5时，则样本率p的分布为对称分布 当样本含量n为定值时，总体率p越接近0.5，样本 率p近似正态分布的程度就越好
样本均数的均数为证明*
x x E ( x ) x ,E x E n n n E ( x1 x2 K xn ) E ( x1 ) E ( x2 ) K E ( xn ) n n K n n n
样本均数的抽样分布 (sampling distribution of mean)

仍以某地高三男生的身高为例，设身高变量为x， 假定x服从正态分布，记为x~N(168.15, 62) 从总体X中反复随机抽样，样本含量分别为n=4， n=16和n=36，分别随机抽10000个样本并计算样 本均数，把同一样本含量的10000个样本均数视为 一个新的样本资料作频数图，并且分别给出同一 样本含量的前20个样本均数
可见如果总体不服从正态分布，在样本含 量较小时，均数的抽样分布不满足正态； 只要样本含量n足够大，样本均数的抽样分 布仍然逼近正态 不论总体是否满足正态以及样本含量是否 足够，样本均数的均数仍与个体值的均数 相同；样本均数的标准差仍然等于个体值 的标准差除于样本含量的平方根

样本率的抽样分布 (sampling distribution of rate)
173.7
171.9
167.5
164.1
171.33
5
164.1
166.6
169.6
169.6
173.8
173.2
164.3
166.6
182.1
165.4
169.53
各个样本均数之间都不相同 各个样本均数都不等于总体均数，
有的比总体均数大，有的比它小
相对于各样本的个体值，样本均数
间的变异程度较小
均数
166.71 167.76 169.46 168.31 167.90 168.43 167.60
8
9 10
166.65
170.71 170.84
18
19 20
164.72
165.83 169.83
8
9 10
168.66
170.01 167.19
18
19 20
167.15
166.19 166.15
均数
167.91 170.19 168.60 165.48 168.95 168.54 167.87 11 12 13 14 15 16 17
均数
168.10 166.45 168.85 169.72 168.74 172.50 168.52 1 2 3 4 5 6 7
均数
168.37 167.47 170.36 167.16 168.68 168.78 169.54 11 12 13 14 15 16 17
x
164.82
1
2
166.8
159.1
159.1
166.1
173.3
173.3
169.1
169.1
165.2
165.2
166.63
3
157.4
174.0
172.3
175.8
166.6
182.1
163.1
159.4
159.4
177.3
168.74
4
174.5
182.1
168.5
171.3
174.1
165.6
2 σ 1. 样本均数 x i 服从正态分布 N μ , n
资料 x 的标准差 2.样本均数 x i 的标准差 x＝ n
3. 样本均数 xi 的总体均数为 x
样本均数的标准误 (standard error，SE)



为了与个体的标准差相互区别，样本均数的标准差又称 为样本均数的标准误，简称标准误或理论标准误 反映了样本均数间的离散程度，如果标准误很大，则不 同的样本均数间参差不齐，同时样本均数的分布范围较 大，也反映了样本均数与总体均数间的差异可能较大， 因而标准误反映均数抽样误差的大小；它与总体标准差 成正比，与总体中的个体数的平方根成反比 代表样本均数的标准误，其表达式为
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(a) n=5 n=10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(b)
n=20
(c) n=30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
从不对称分布总体抽样实验的结果 (a)是原分布,呈钩形；其它为不同样本含量时样本均数的直方图
(d)
(e)
样本均数的抽样分布 (sampling distribution of mean)
非正态总体样本均数的分布
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(a) n=5 n=10
1
2
3
4
5
7
8
4
5
6
(b)
(c来自百度文库 n=30
n=20
2
4
6
7
8
9
1
2
3
4
6
8
9
(e) 从正偏态的分布总体分布抽样实验的结果 (a)是原分布,正偏态；其它为不同样本含量时样本均数的直方图 (d)
非对称总体样本均数的分布

n=4
n=16
n=36
均数
1 2 3 4 5 6 7 169.22 169.61 165.73 166.60 169.99 166.43 171.77 11 12 13 14 15 16 17
均数
166.82 162.47 170.02 171.53 168.16 164.25 164.63 1 2 3 4 5 6 7
8
9 10
168.77
167.61 168.95
18
19 20
167.17
168.94 169.29
样本含量n=4
样本含量n=16
样本含量n=36
x 的均数＝168.198 x 的标准差＝2.9995
x 的均数＝168.185 x 的标准差＝1.4868
x 的均数＝168.135 x 的标准差＝0.9997
x
x n
样本均数的标准误 (standard error，SE)


从标准误的计算公式中看出它与原先个体观察值 的总体标准差有关，同时也和样本含量n有关 在固定样本含量的情况下，总体标准差越大，则 样本均数间越参差不齐，抽样误差越大；但是总 体标准差是参数，在抽样之前就已经存在，无法 改变它的大小 故可行的方法是通过扩大样本含量减少标准误； 从而减少抽样误差



x Var x


n
例

2000年某研究者随机调查某地健康成年男性27人， 得到血红蛋白的均数为125g/L，标准差为15g/L， 试估计该样本的抽样误差？
样本均数的抽样误差可以用样本均数的标准差（即标准误）
x来反映；由于总体标准差未知，故用样本标准差代替，因
此得到标准误的估计值s x； sx s n 15 27 2.89 g / L
例 5－ 1

某市随机调查了50岁以上的中老年妇女776人，其 中骨质疏松患者有322人，患病率为41.5%，估计 本次抽样的误差？
样本率的抽样误差可以用样本率的标准差（即标准误） p 来反映；由于总体率未知，故用样本率代替，因此得到 标准误的估计值s p； sp p(1 p ) 0.415(1 0.415) 1.77% n 776

既往资料表明某市区新生女婴的平均出生体重 为3.10kg，标准差为0.59kg 。某研究者从该市区 中随机抽取一个由100个女婴组成的样本，测得 样本均数为2.87kg，请问本次抽样研究的结果算 不算是偶然事件？

抽样误差（sampling error）


实测值与真实值的差别称为误差；抽样误差为随机误差中 的随机抽样误差，它是指由随机抽样引起的，样本统计量 与相应总体参数间的差异 抽样误差的根源是个体变异，因此，只要有个体变异，抽 样就必将导致抽样误差，即抽样误差是不可避免的 但是抽样误差却有一定的规律性，可以通过统计学的方法 估计其大小，并通过适当扩大样本含量使之减小 抽样误差有两种表现形式，其一是样本统计量与总体参数 间的差异，其二是样本统计量间的差异

样本率的总体均数等于总体率 p 样本率的标准差(即率的标准误)
p
p

p (1 p )
n
由于总体率通常是未知的，因而用样本率p来估计p，故 率的标准误的估计值常表示为
sp
p(1 p) n 1
p(1 p) n
样本率的抽样分布的正态近似
对于大量重复随机抽样而言，样本率p围绕着总体
从正态分布总体N(168.15,62)中随机抽样10000次的结果 曲线是正态总体N(168.15,62)的概率密度曲线 直方图为正态分布总体N(168.15,62)的样本均数的频率密度图
理论上可以证明：从正态分布的总体 N , 2 中随机抽 取样本含量为n的一批样本，样本均数 xi 有如下性质 ：
统计推断包括两个重要的方面： 一是利用样本统计量的信息对相应总体参 数值做出推断，如用样本均数估计总体均 数，用样本标准差估计总体标准差等，称 之为参数估计 另一个是利用样本统计量来推断我们是否 接受一个事先的假设，称之为假设检验
在统计推断过程中的一些问题

不同的研究者对相同的总体作类似的抽样 研究可能会得到不同的样本统计量 各自用样本统计量估计总体的参数，样本 统计量与总体参数间是否完全相等？如何 评价他们的准确性？
中心极限定理(central limit theorem )*


概率论中有关论证随机变量之和的极限分布为正态分布的 一系列定理称为中心极限定理 这个定理的第一版被法国数学家莫阿弗尔发现, 他在1733 年发表的论文中使用正态分布去估计大量抛掷硬币出现正 面次数的分布；拉普拉斯扩展了莫阿弗尔的理论,指出二项 分布可用正态分布逼近：即当n→∞时，参数为n, p的二项 分布以np为均值、np(1-p)为方差的正态分布为极限 ；它 又被称为是de Movire - Laplace定理 这个定理的第二版为Lindberg-Levy定理，是上一个定理 的扩展，它表明，独立分布、且数学期望和方差有限的随 机变量的平均数是以正态分布为极限的 ：即当n→∞时， 样本均数满足正态分布
样本均数标准误的估计值
由于在实际研究中，我们往往只抽一次样，得到 一个样本均数，而且大多数情况下 是未知的， 此时常用样本标准差S估计总体标准差 ，这样 我们就得到样本均数标准误的估计值 S x S Sx n 抽样误差越小，表示样本均数与总体均数越接 近，用样本均数估计总体均数的可靠性越高； 反之则越低

样本均数的标准差为 x 证明*
x x 1 ,Var x Var Var ( x1 x2 K xn ) n n n 1 1 2 Var ( x1 x2 K xn ) 2 Var ( x1 ) Var ( x2 ) K Var ( xn ) n n 2 1 1 2 2 2 K 2 2 n 2 ; n n n x
已知某地高中三年级男生的身高满 足正态分布，其平均身高为168.15 厘米，这里，将该地高中三年级男 生的身高视为一个总体。现从该总 体中随机抽样5次，每次抽取一个 样本含量n=10的样本，得到的5个 样本的数据及各样本均数如下：
样本号
168 . 15 样本含量(n=10)
161.1 173.7 173.7 167.3 162.2 162.2 166.6 166.6 157.4 157.4